Дифференциальные уравнения | Реферат – бесплатно

12. Mетод переменных состояния.

До этого мы рассматривали системы с одной передаточной функцией, но жизнь всегда сложнее и как правило в системах есть несколько передаточных функций несколько входных воздейстий и несколько реакций системы. (см. рис. 2.12.1)

Рисунок 2.12.1 Моногомерная система автоматического управления.

В этом случае наиболее удобной формой пердставления систем для их анализа и расчета оказался метод переменных состояния. Для этого метода, вместо передаточных функций связывающих вход с выходом используются дополнительные переменные состояния, которые описывают систему.

Рисунок 2.12.2 Перменные состояния в многомерной системе.

В методе состояний, производные всех переменных состояния, в общем случае зависит от всех переменных и всех входных воздействия, и могут быть записаны в представленной ниже системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первой степени. Эта система уравнений называю системой ОДУ в форме Коши:

Выход из системы зависит от переменных состояния и, в общем случае от входных воздействий и описывается следующей системой уравнений:

где: n — количество перемнных состояния, m — количество входных воздействий, p — количество выходных переменных;

Данная система уравнений может быть записана в матричной форме:

где:

В нашем случае почти всегда все элементы матрицы D будут нулевыми: D = 0.

Такое описание системы позволяет с одной стороны стандартным образом описывать различные технические системы. Явная формула для расчета производных позволяет достаточно просто осуществлять численное интегрирование по времени. И это используется в различных программах моделирования

Другое использование данного представления для простых систем, описанных в переменных «вход-выход», зачастую позволяет устранить технические трудности, связанные с решением ОДУ высокой степени.

Еще одним преимуществом данного описания, является то, что уравнения в форме Коши можно получить из законов физики

Дифференциальное уравнение клеро

Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида

y=xy′ ψ(y′){displaystyle y=xy’ psi (y’)}⟷{displaystyle longleftrightarrow }(1){displaystyle (1)}

Такое уравнение носит название уравнения Клеро.

Легко видеть, что уравнение Клеро — частный случай уравнения Лагранжа, когда φ(y′)=y′{displaystyle varphi (y’)=y’}. Интегрируется оно так же путём введения вспомогательного параметра.
Положим y′=dydx=p{displaystyle y’={dy over dx}=p}. Тогда
y=xp ψ(p){displaystyle y=xp psi (p)}⟷{displaystyle longleftrightarrow }(2){displaystyle (2)}Продифференцируем это уравнение по x{displaystyle x}, так же, как это делали с уравнением Лагранжа, замечая, что p=dydx{displaystyle p={dy over dx}}, пишем
p=xdpdx p ψ′(p)dpdx{displaystyle p=x{dp over dx} p psi ‘(p){dp over dx}}

Преобразуем его к виду

[x ψ′(p)]dpdx=0{displaystyle [x psi ‘(p)]{dp over dx}=0}

Приравнивая каждый множитель к нулю, получим

dpdx=0{displaystyle {dp over dx}=0}⟷{displaystyle longleftrightarrow }(3){displaystyle (3)}[x ψ′(p)]=0{displaystyle [x psi ‘(p)]=0}⟷{displaystyle longleftrightarrow }(4){displaystyle (4)}Интегрируя уравнение (3){displaystyle (3)} получим p=C=const{displaystyle p=C=const}. Подставим значение p{displaystyle p} в уравнение (2){displaystyle (2)} найдём его общий интеграл
y=xC ψ(C){displaystyle y=xC psi (C)}⟷{displaystyle longleftrightarrow }(5){displaystyle (5)}С геометрической точки зрения, этот интеграл представляет собой семейство прямых линий. Если из уравнения (4){displaystyle (4)} найдём p{displaystyle p} как функцию от x{displaystyle x}, затем подставим её в уравнение (2){displaystyle (2)}, то получим функцию
y=xp(x) ψ[p(x)]{displaystyle y=xp(x) psi [p(x)]}⟷{displaystyle longleftrightarrow }(6){displaystyle (6)}Которая, как легко показать, является решением уравнения (1){displaystyle (1)}. Действительно, в силу равенства (4){displaystyle (4)} находим
dydx=p [x ψ′(p)]dpdx{displaystyle {dy over dx}=p [x psi ‘(p)]{dp over dx}}Но поскольку [x ψ′(p)]dpdx=0{displaystyle [x psi ‘(p)]{dp over dx}=0}, то dydx=p{displaystyle {dy over dx}=p}.
Поэтому подставляя функцию (6){displaystyle (6)} в уравнение (1){displaystyle (1)}, получаем тождество
xp ψ(p)=xp ψ(p){displaystyle xp psi (p)=xp psi (p)}.
Решение (6){displaystyle (6)} не получается из общего интеграла (5){displaystyle (5)} ни при каком значении произвольной постоянной C{displaystyle C}. Это решение — есть особое решение, которое получается вследствие исключения параметра p{displaystyle p} из уравнений
y=xp ψ(p){displaystyle y=xp psi (p)} и x ψ′(p)=0{displaystyle x psi ‘(p)=0}или, что без разницы, исключением C{displaystyle C} из уравнений
y=xC ψ(C){displaystyle y=xC psi (C)} и x ψ′(C)=0{displaystyle x psi ‘(C)=0}Следовательно, особое решение уравнения Клеро определяет огибающую семейства прямых, заданных
общим интегралом (5){displaystyle (5)}.

Дифференциальное уравнение лагранжа

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка следующего вида

y=xφ(y′) ψ(y′){displaystyle y=xvarphi (y’) psi (y’)}где φ{displaystyle varphi } и ψ{displaystyle psi } — известные функции от y′{displaystyle y’}, причём считаем, что функция φ(y′){displaystyle varphi (y’)} отлична от y′{displaystyle y’}. Такого вида уравнение называют уравнением Лагранжа. Оно является линейным относительно переменных x{displaystyle x} и y{displaystyle y}.
Такое дифференциальное уравнение приходится решать, как говорят, методом введения вспомогательного параметра. Найдём его общее решение, введя параметр y′=p{displaystyle y’=p}.
Тогда уравнение можно записать в виде:
y=xφ(p) ψ(p){displaystyle y=xvarphi (p) psi (p)}⟷{displaystyle longleftrightarrow }(1){displaystyle (1)}
Замечая, что p=dydx{displaystyle p={dy over dx}}продифференцируем обе части этого уравнения по x{displaystyle x}:
p=φ(p) [xφ′(p) ψ′(p)]dpdx{displaystyle p=varphi (p) [xvarphi ‘(p) psi ‘(p)]{dp over dx}}

Преобразуем его в виде

p−φ(p)=[xφ′(p) ψ′(p)]dpdx{displaystyle p-varphi (p)=[xvarphi ‘(p) psi ‘(p)]{dp over dx}}⟷{displaystyle longleftrightarrow }(2){displaystyle (2)}Уже сейчас из этого уравнения можно найти некоторые решения, если заметить, что оно обращается в верное равенство при всяком постоянном значении p=p0{displaystyle p=p_{0}}, удовлетворяющему условию p0−φ(p0)=0{displaystyle p_{0}-varphi (p_{0})=0}. В самом деле, при любом постоянном значении
p{displaystyle p}, производная dpdx{displaystyle {dp over dx}} тождественно обращается в нуль и тогда обе части уравнения можно приравнять к нулю.
Решение, соответствующее каждому значению p=p0{displaystyle p=p_{0}}, то есть,
dydx=p0{displaystyle {dy over dx}=p_{0}}, является линейной функцией от x{displaystyle x}, поскольку
производная dydx{displaystyle {dy over dx}}, постоянна только у линейных функций. Чтобы найти эту функцию, достаточно подставить в равенство (1){displaystyle (1)} значение p=p0{displaystyle p=p_{0}}, то есть
y=xφ(p0) ψ(p0){displaystyle y=xvarphi (p_{0}) psi (p_{0})}.

Если окажется, что это решение не получается из общего ни при каком значении произвольной постоянной, то оно будет являться особым решением.

Найдём теперь общее решение. Для этого запишем уравнение (2){displaystyle (2)} в виде
dxdp−xφ′(p)p−φ(p)=ψ′(p)p−φ(p){displaystyle {dx over dp}-x{varphi ‘(p) over p-varphi (p)}={psi ‘(p) over p-varphi (p)}}и будем считать x{displaystyle x}, как функцию от p{displaystyle p}. Тогда полученное уравнение есть не что иное как линейное дифференциальное уравнение относительно функции x{displaystyle x} от p{displaystyle p}. Решая его, найдём
x=ω(p,C){displaystyle x=omega (p,C)}⟷{displaystyle longleftrightarrow }(3){displaystyle (3)}Исключая параметр p{displaystyle p} из уравнений (1){displaystyle (1)} и (3){displaystyle (3)} найдём общий интеграл уравнения (1){displaystyle (1)} в виде
Φ(x,y,C)=0{displaystyle Phi (x,y,C)=0}.

Дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости (уравнение эйлера).

Дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости (уравнение Эйлера). Рассмотрим движущуюся невязкую жидкость плотностью p. выделим основной параллелепипед с ребрами xx, yy и yg, параллельными осям (рис. 4.1). на массу жидкости в объеме параллелепипеда, равную rihuiig, воздействует массовая сила, пропорциональная массе, а на поверхностное давление окружающей жидкости, пропорциональное площади соответствующей поверхности, вдоль внутренних нормалей грани, распределенной вдоль грани parallelepiped.

Если дифференциальная форма уравнений не может быть использована во всем пространстве, заполненном жидкой средой, то используется ее интегральная форма.
Людмила Фирмаль

• Построить уравнение движения-рис. 1 Из массы назначенной на проект Разрез по координатным осям. Произведение массы жидкости в параллелепипеде на проекцию ускорения движения центра массы (полюса) в направлении OX равно、 п-ых гг гг йих! У1.、 Здесь они представляют собой скорость центра тяжести в направлении X. Проекция направления OX массовой силы, действующей на массу выделяемой жидкости, равна、 Резус Роге Ю. Г.、 Где Px-проекция плотности распределения массовых сил на ось OX.

Рефераты:  Особенности отбывания наказаний в колониях поселения

Для записи проекции давления на ось OX, в непрерывной жидкой среде, напомним, что давление представляет собой непрерывную функцию P = p (x, y, r, I) с координатами точки жидкости. p обозначает давление любой точки с координатами x, y, r левой вертикальной плоскости. Непрерывность жидкости и непрерывность функции давления делают p = Hx> V> r> 0 справа от точки с координатами (x yx, y, d) давление равно P , точность D°dev Конечно, это небольшая второстепенная. Врач. Разница давлений-m-xx одинакова в обоих случаях Бой из 1 набора точек, выбранных в плоскости с одинаковыми координатами y и R.

• С другой стороны, проекция результирующего давления на ось OX dh. Да. Я написал уравнение движения для направления OX, поэтому оно выглядит так: Резус Роге Ю. Г. ых Ю. Г.-Ю. Г. Ю. Г. Ю. Роге ЦТ（ Или после деления на массу Рог ый г. ПХ1 др. Р ДХ(11 Аналогично можно получить уравнение движения для проекции направления оси OA и 02. г 1 д-р Йи、 И Г, -=Р ДГ г.（ Диапазон<11 Поэтому система дифференциальных уравнений Я-невязкая жидкость Р 1 Ф йих Г х р ДХ г（ Р 1 д-р ю «У Р ду й!» 』 Р 1 д-р _ _ МГП Г1 Р ДГ г! » Р 1 д-р _ _ _ г、 Я буду. {4.1).

Эти дифференциальные уравнения возникли в 1755 году в Петербургской Академии наук L. It был впервые приобретен полноправными членами Эйлера. йих МГП, МГП-ых, й(Диг-дю <а а / 1 ДХ ДУ <и ух и*делать _ и » ДГ Си <и г * ш = 78. Ров. дециграмм. уу Йи Для нестационарного движения составляющая скорости (проекция) является функцией времени, поэтому ускорение заданной массы можно записать в расширенном виде. Уравнения Эйлера.

Данное уравнение представляет собой векторную форму уравнения движения сплошной среды, и называется дифференциальным уравнением движения в напряжениях.
Людмила Фирмаль

• Для жидкостей, которые являются стационарными, их= uy = u2-0 уравнение(4.1) совпадает с дифференциальным уравнением равновесия жидкости (2.4). Уравнение движения невязкой жидкости вдоль обтекаемой поверхности、 п! _ 3& -=, (4.3） 1 п Д1 <и Где Pr-проекция плотности распределения массовой силы в направлении касательной к линии потока. s1i / sI-ускорение частиц. Формат преобразованного выражения (4.3)является п _1_ д-р.

В гидродинамических задачах массовые силы обычно считаются заданными(известными).Неизвестной является функция давления p = p (x, y, r, (), проекция их скоростей (x, y, r, I), yy(x, y, r, 0, D *.Y> 2> 0 и плотность p (x: y, r, () являются 5 неизвестными функциями. Для определения неизвестных переменных используется система уравнений Эйлера. Поскольку число неизвестных превышает число уравнений, к системе Эйлера добавляются уравнение неразрывности и уравнение состояния среды.

Смотрите также:

Задачи по гидравлике

Возможно эти страницы вам будут полезны:

1. Потоки жидкости.
2. Напряженное состояние движущейся невязкой жидкости.
3. Уравнения движения невязкой жидкости в форме Громеки.
4. Уравнения Громеки при действии массовых сил, имеющих потенциал

Дифференциальные уравнения лагранжа и клеро

Приложения уравнения клеро.

К уравнению Клеро приводят геометрические задачи, где требуется определить кривую, по заданному свойству её касательной, причём это свойство должно относится к самой касательной, а не к точке касания. В самом деле, уравнение касательной имеет вид

Y−y=y′(X−x){displaystyle Y-y=y'(X-x)}

или

Y=y′X (y−xy′){displaystyle Y=y’X (y-xy’)}Любое свойство касательной выражается соотношением между (y−xy′){displaystyle (y-xy’)} и y′{displaystyle y’}:
Φ(y−xy′,y′)=0{displaystyle Phi (y-xy’,y’)=0}Решая его относительно (y−xy′){displaystyle (y-xy’)}, придём к уравнению вида
y=xy′ ψ(y′){displaystyle y=xy’ psi (y’)}, то есть ни к чему иному, как к уравнению Клеро.

Пример

Решить уравнение:(1.1)  

Решение

Это уравнение Клеро. Его общее решение имеет вид:

Ищем особый интеграл. Перепишем общее решение в виде:.Дифференцируем по :.

Тогда особое решение может получиться исключением из уравнений:(1.2)   ;(1.3)   .

Исключаем . Из уравнения (1.3) имеем:(1.4)   .Возводим в квадрат и преобразуем:;;. Отсюда следует, что .Извлекаем квадратный корень:(1.5)   .

Поскольку мы возводили в квадрат, то, возможно, (1.5) содержит лишние решения, которые не удовлетворяют (1.4). Сейчас мы примем (1.5), а отсев лишних решений сделаем в самом конце.Подставим (1.4) и (1.5) в (1.2):.

Итак, особые решения имеют вид:(1.6)   .Теперь сделаем проверку, чтобы выяснить, удовлетворяет ли исходному уравнению (1.1):(1.1)   .

Находим производную (1.6) и выполняем преобразования:;;.

Подставляем в (1.1):(1.7)   .

При ,. Уравнение (1.7) принимает вид:.

Оно выполняется, если взять нижний знак:.

При ,. Уравнение (1.7) принимает вид:.

Оно выполняется, если взять верхний знак:.То есть при ,.

Ответ

Общее решение уравнения имеет вид:При уравнение имеет особое решение:.

При уравнение имеет особое решение:.

Пример решения задачи в форме коши.

Рассмотрим задачу моделирования гидравлического привода, при следующих условиях:

Дано: Цилиндрический плунжер диаметром 10 мм, с приведенной массой 100 кг, работает на пружину жесткостью 200 Н/мм и демпфер с коэффициентом вязкого трения — 1000 Н/(м/с). Полость начальным объемом 20 см3 соединяется с источником давлния дросселем диаметром диаметр которого 0,2 мм.

Рисунок 2.12.3 Гидравлическая система.

Уравенение движение плунжера:

Где:

– площадь плунжера,

– жесткость пружины,

– коэффициент вязкого трения, p – давление в камере.

Поскольку дифференциальное движения это уравнение второго порядка, превратим его в систему из двух уравнений первого порядка, добавив новую переменную — скорость

Уравнение давления в камере, для упрощения принимаем что изменениям объема камеры из-за перемещения плунжера можно пренебречь:

Где: Q – расход в камеру, V — объем камеры.

Расход через дроссель:

Где: f– площадь дросселя,

– давление в источнике, p – давление в камере.

Уравнение дросселя не линейное, по условию задачи, давление входное изменяется скачком, от 0 до 200 бар, проведем линеаризацию в окрестности точки давления 100 бар тогда:

Подставляем линеаризованную формул расхода в формулу давления:

Таким образом общая система уравнений в форме Коши, для рис 2.12.3 привода принимает вид:

Матрицы A, B, С, В для матричной формы системы уравнений принимают вид:

Проверим моделированием в SimInTech составленную модель. На рисунке 2.12.13 представлена расчетная схема содержащая три модели:1 — «Честная» модель со всеми уравнениями без упрощений.2 — Модель в блоке «Переменные состояние» (в матричной форме). 3 — Модель в динамическом блоке с линеаризованным дросселем.

Рисунок 2.12.4 Расчетная схема .

Все условия задачи задаются как глобальные константы проекта, в главном скрипте проекта, там же расчитываются на этапе инициализации расчета, площади плунжера и проходного сечения дросселя см. рис. 2.12.5:

Рисунок 2.12.5 Глобальный скрипт проекта. Рисунок 2.12.6 Скрипт расчета модели в форме Коши.

Модель в матричном форме задается с использованием глобальных констант в виде формул. (Матрица в SimInTech задается в виде последовательности из ее столбцов) см. рис. 2.12.7

Рисунок 2.12.7 Настройка блока расчета системы уравнений в пременных состояния в матричной форме.

Результаты расчета показывают, что модель в матричной форме и модель на скриптовом языке в форме Коши, практически полностью совпадают, это означает, что учет изменения объема полости практически не влияют на результаты. Кривые 2 и З совпадают. Процедура линеаризация расхода через дроссель вызывает заметное отличие в результатах. 1-й график c «честной» моделью дросселя, отличается от графиков 2 и 3. (см. рис. 2.12.8)

Рисунок 2.12.8 Результаты расчета трех моделей гидравлического плунжера.

Сравним полученные модели, с моделью созданной из библиотечных блоков SimInTech, в которых учитываются так же изменение свойств реальной рабочей жидкости — масла АМГ-10. Сама модель представлена на рис. 2.12.9, набор графиков на рисунке 2.12.10

Рисунок 2.12.9 Модель демпфера из библиотечных блоков. Рисунок 2.12.10 Результаты рассчета моделей демпфера. График 4 — модель из библиотечных блоков.

На графиках видно, что уточненная модель отличается от предыдущих, однако погрешность модели составлят наших упрощенных моделей составляют примерно 10%, в лишь в некоторые моменты времени.

Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом