История биометрии — наука не причем

История биометрии - наука не причем Реферат

Кафедра высшей математики и информатики

Ковальчук В.М.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Опорный конспект

Для студентов экономических специальностей

г. Бобруйск 2004

Лекция 1. Предмет теории вероятностей. Случайные события и вероятности событий

Предметом теории вероятностей является анализ явлений, наблюдения над которыми не всегда приводят к одним и тем же исходам и в то же время обладающим некоторой статистической регулярностью, которая проявляется в статистической устойчивости частот исходов.

Статистическая устойчивость частот делает весьма правдоподобной гипотезу о возможности количественной оценки случайности того или иного события, появляющегося в результате эксперимента. Как правило, эксперимент предпринимается для изучения некоторых свойств интересующих нас экономического процесса или явления. При этом производится построение математической модели эксперимента, которое включает описание:

· Возможных исходов;

· Класса рассматриваемых событий;

· Вероятностей наступления этих событий.

Современная теория вероятностей основана на аксиоматическом подходе Колмогорова, позволяющим охватить все классические разделы теории вероятностей и дать основу для развития ее новых разделов, вызванных запросами практики.

Одной из важных сфер приложения теории вероятностей является экономика, так как при исследовании и прогнозировании экономических показателей используется эконометрика, опирающаяся на теорию вероятностей. Практическое значение вероятностных методов состоит в том, что они позволяют по известным характеристикам простых случайных явлений прогнозировать характеристики более сложных явлений.

1.1.Случайные события. Вероятность.

Пространством элементарных событий
называют множество W взаимоисключающих исходов эксперимента такое, что каждый интересующий результат эксперимента может быть однозначно описан с помощью элементов этого множества. Элементы W называются элементарными событиями и обозначаются w.

Событием
называют любое подмножество AÍW элементов из W. Событие A произойдет, если произойдет какое-либо из элементарных событий wÎA. Пустое множество Æ называется невозможным событием.

Суммой
двух событий A и B называется событие A B(AÈB), состоящее из элементарных событий, принадлежащих хотя бы одному из событий A или B.

Произведением
двух событий A и B называется событие AB(AÇB), состоящих из элементарных событий, принадлежащих одновременно A и B.

Противоположным
событием событию A называют событие `A , состоящее из элементарных событий, не принадлежащих A.

Разностью
двух событий A и B называют событие AB, состоящее из элементарных событий, которые входят в событие B.

События A и B называются несовместными
, если у них нет общих элементарных событий.

Пусть F — поле событий для данного эксперимента. Вероятностью
P(A) называется числовая функция, определенная на всех AÎF и удовлетворяющая трем условиям (аксиомам вероятностей):

1. P(A)³ 0;

2. P(W)=1;

3. Для любой конечной или бесконечной последовательности наблюдаемых событий История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Существует 4 способа задания вероятности:

1. Классический способ задания вероятности

При данном способе пространство элементарных событий является конечным, и все элементарные события равновероятны. Тогда вероятность события определяется равенством

где История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

2. Геометрический способ задания вероятности

При данном способе пространство элементарных событий является бесконечным, но все элементарные события, входящие в это пространство, являются равновозможными.

Если отождествлять пространство элементарных событий с некоторой замкнутой областью пространства из История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

3. Дискретный способ задания вероятности

При данном способе пространство элементарных событий является бесконечным счетным. Числовая неотрицательная функция Р определяется таким образом, чтобы вероятность каждого элементарного события была равна некоторому числу История биометрии - наука не причем,

4. Статистический способ задания вероятности

При данном способе рассматривается случайный эксперимент для которого построить пространство элементарных событий невозможно. Тогда эксперимент проводится История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемкомбинаторики (соединений).
Каждая из комбинаторных формул определяет общее число элементарных событий в некотором эксперименте, состоящем в выборе наудачу История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

б) с возвращением (выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге и тщательном перемешиванием исходного множества перед следующим выбором).

В результате получаются различные постановки эксперимента по выбору наудачу История биометрии - наука не причем Перестановки.
Возьмем История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемперестановки
. Общее число перестановок из История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемРазмещения
. Будем составлять из История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемразмещениями
из История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемЗамечание.
Перестановки можно считать частным случаем размещений (именно размещениями из История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемСочетания.
Из История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемсочетаниями
изИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

или

Лекция №2 Свойства вероятностей. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Пусть для некоторого случайного эксперимента построено пространство элементарных событий История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Теорема сложения:

Пусть событие История биометрии - наука не причем

Теорема умножения :

Вероятность произведения событий История биометрии - наука не причем

2.2. Формула полной вероятности. Формула Бейеса ( теорема гипотез)

Пусть случайный эксперимент можно описать событиями История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемгипотезами
. Предполагается, что событие История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемТеорема:
Вероятность любого события История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемТеорема:
Пусть событие История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Которые описывают случайный эксперимент. Если в результате реализации

эксперимента произошло событие История биометрии - наука не причем

следующим формулам :

История биометрии - наука не причем

Лекция №3 -5 Случайные величины. Функции распределения случайных величин

3.1. Дискретные случайные величины

Случайная величина , обозначаемая История биометрии - наука не причемдискретной,
если она принимает конечное либо счетное множество значений, т.е. множествоИстория биометрии - наука не причем

Законом распределения
дискретной случайной величины называется совокупность пар

чисел История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Зная закон распределения случайной величины, можно вычислить функцию распределения
:

где суммирование распространяется на все значения индекса История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемМатематическим ожиданием История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем Модой
дискретной случайной величины, обозначаемой История биометрии - наука не причем Медианой
случайной величины История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Дисперсией
случайной величины называется математическое ожиданиеквадрата ее отклонения:

Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемСредним квадратическим отклонением
(стандартом) случайной величины История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем Начальным моментом
порядка История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемЦентральным моментом
порядка История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемБиноминальным
называют закон распределения дискретной случайной величины История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемзакону Пуассона
, если История биометрии - наука не причем

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона:

Геометрическое распределение
возникает в том случае, когда производится серия испытаний до первого появившегося события История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по геометрическому закону, соответственно равны:

Гипергеометрический закон
распределения используется при проверке качества продукции. Проверяется История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Функция гипергеометрического распределения имеет вид

Гипергеометрический закон стремится к биноминальному закону распределению, если История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

3.2.Непрерывные случайны величины.

Случайная величина История биометрии - наука не причемнепрерывной,
если существует такая неотрицательная, интегрируемая по Риману функция История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемПлотностью распределения вероятностей История биометрии - наука не причем

называют предел, если он существует, отношения вероятности попадания случайной величины

Х на отрезок История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

последний стремится к 0, т.е.

Свойства плотности распределения вероятностей:

История биометрии - наука не причем
непрерывная или кусочно непрерывна функция; Функция распределения
случайной величины История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины :

Модой
непрерывной случайной величины История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемМедианой
непрерывной случайной величины История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемНачальный моментИстория биометрии - наука не причемЦентральный момент История биометрии - наука не причем

Коэффициент асимметрии
или «скошенности» распределения

Коэффициент эксцесса
или островершинности распределения

Случайная величина История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

нормированной (стандартизованной) случайной величиной.

3.3. Законы распределения непрерывной случайной величины

Равномерное распределение:
Пусть плотность вероятности равна нулю всюду, кроме отрезка История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Функция равномерного распределения задается формулой:

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение соответственно равны:

Показательное распределение. Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Функция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, имеет вид:

Математическое ожидание История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Лекция №6. Нормальное распределение.

Распределение с непрерывной случайной величины называется нормальным, если плотность распределения ее описывается формулой:

где История биометрии - наука не причем

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону:

Полученный интеграл нельзя выразить через элементарные функции, но его можно вычислить через специальную функцию:

называемую нормальной функцией распределения (функцией Лапласа). Эта функция неубывающая, непрерывная слева и История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Центральные моменты случайной величины с нормальным законом распределения вычисляются через следующие рекуррентные соотношения:

поскольку История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Коэффициенты ассиметрии и эксцесса для нормального закона распределения равны нулю:

так как они характеризуют скошенность и крутизну исследуемового закона распределения по сравнению с нормальным.

Вероятность попадания случайной величины История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

или

История биометрии - наука не причем

Вероятность заданного отклонения вычисляется по формуле:

История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Лекция 7-8. Предельные теоремы и законы больших чисел

Все законы вероятности получены из практики, то есть из наблюдений за массовыми случайными явлениями. Массовые случайные явления проявляются в статистической совокупности.

Было замечено, что при определенных условиях массовые случайные явления порождают величину неслучайную, которая подчиняется вполне определенным закономерностям. Все полученные соответствующие теоремы и образуют теоремы закона больших чисел, в которых приведены условия, когда среднее значение случайных величин стремится к величине не случайной.

Неравенство Чебышева
:

Теорема:
Вероятность того, что случайная величина История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

положительное действительное число:

История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Теорема Чебышева (закон больших чисел).

Теорема:
Если История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

средние арифметические наблюденных значений случайных величин сходиться по

вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий:

Закон больших чисел справедлив и для зависимых случайных величин, то есть справедлива

теорема Маркова:

Теорема: :
Если для случайных величин История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий:

Теоремы Бернулли :
Если производится История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

события в каждом испытании:

Теорема Пуассона:
Пусть производится История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятности

появления события в различных испытаниях:

Теорема Лендеберга-Леви:
Пусть История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

закону распределения с плотностью распределения вероятностей равной

История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем
— нормированная случайная величина.

Это центральная предельная теорема для одинаково распределенных случайных независимых величин.

Теорема Ляпунова:
Если История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

моменты третьего порядка, удовлетворяющие условиям:

то закон распределения величины История биометрии - наука не причем

распределения с плотностью распределения вероятности

История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Эта теорема имеет большое практическое значение, так как, используя ее, можно вычислить вероятность того, что сумма независимых случайных величин принимает значение, принадлежащее интервалу. Условие

История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемТеорема Мавра -Лапласа (локальная):
Пусть производится История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемТеорема Муавра- Лапласа (интегральная):
Пусть производится История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

справедливо соотношение:

Из предельного равенства теоремы следует формула:

Рефераты:  Ускоренное строительство социализма. Модернизация промышленности. История России, Архив

История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Отсюда вытекают следующие соотношения:

История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

В отличии от теорем Бернулли и Пуассона последние две формулы более точную оценку

вероятности отклонений частоты появления событий от его математического ожидания и

частости события от вероятности появления события в каждом испытании.

Двумерные случайные величины.

Совокупность случайных величинИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемФункция распределения
системы двух случайных величин История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Используя функцию распределения, можно найти вероятность попадания случайной точки в

бесконечную полуполосу История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Дискретной
называют двухмерную величину, составляющие которой дискретны.

Законом распределения
двумерной дискретной случайной величины называется множество

всевозможных значений История биометрии - наука не причем
дискретных двумерных случайных величин и соответствующих им вероятностей История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Непрерывной
называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны.

Функция История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

когда обе стороны прямоугольника стремятся к нулю, называется плотностью распределения

вероятностей:

Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения по формуле:

Вероятность попадания случайной точки История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемНачальным моментом
порядка История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

случайные величины, то

Если История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемЦентральным моментом
порядка История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Если составляющие величины являются дискретными, то

Если составляющие величины являются непрерывными, то

История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемУсловным математическим ожиданием История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

выражение вида:

История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемКорреляционным моментом
независимых случайных величин История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

отклонений этих величин:

Корреляционный момент двух независимых случайных величин История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемКоэффициентом корреляции История биометрии - наука не причем
случайных величин История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

произведению средних квадратических отклонений этих величин:

Коэффициент корреляции удовлетворяет условию История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем=
0 , называются

некоррелированными.

Уравнения История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Лекция №9.Случайные функции. Цепи Марков. Пуассоновский поток событий

Пусть История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемслучайная функция История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

0 t 0 tt

Реализация Семейство реализаций

При зафиксированном значении аргумента t случайная функция X(t) превращается в случайную величину- сечение
случайной функции или процесса. Тогда X(t) в данный момент времени t определяется плотностью распределения f(x ; t). Однако одномерные законы распределения и их числовые характеристики, вычисленные для одного момента времени ( для одного сечения семейства реализаций) не могут оценивать характер изменения процесса во времени. Для этой цели используют характеристики связи между ординатами, взятыми в различные моменты времени. Наиболее полно эти связи характеризуются многомерной плотностью распределения История биометрии - наука не причемМатематическим
ожиданием случайной функцией История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

и является средней траекторией для всех возможных реализаций.

Дисперсией
случайной функции История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

и характеризующей возможный разброс реализаций случайной функции относительно средней траектории.

Корреляционной
функцией случайной функции История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемстационарным
, если его многомерная плотность распределения не изменяется при сдвиге соответствующих моментов времени на любую величину. В рамках корреляционной теории , процесс считается стационарным, если его ковариационная функция История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Корреляционная функция стационарного процесса по модулю не превосходит дисперсию:

Стационарный процесс у которого корреляционная функция стремится к нулю История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемэргодичным.
Эргодические процессы представляют наибольший интерес для практических приложений, поскольку их характеристики, определяемые по семейству и по одной реализации совпадают:

Марковскими
случайными процессами называют такие процесса, у которых плотность совместного распределения произвольных двух сечений полностью определяют характер процессов, т.е. дальнейшее поведение процесса зависит только от значений, принятых процессом в настоящий момент времени , и не зависит от ранее принятых.

Марковский случайный процесс, в котором сама функция принимает счетное множество возможных состояний (дискретные состояния)История биометрии - наука не причемцепями Маркова
. Если переход из состояния в состояние происходит в дискретные моменты времени История биометрии - наука не причемдискретными цепями Маркова
. Если переходы возможны в любой момент времени, то процесс называют непрерывными цепями Маркова
. Вероятность того, что дискретная цепь Маркова в момент времени История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемвероятностью перехода
из состояние в состояние История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемоднородной:История биометрии - наука не причем

Дискретные цепи Маркова однозначно определяются либо матрицей переходов

или графом состояний

История биометрии - наука не причем21
Р32
Р43История биометрии - наука не причем1
Х2
Х3
Х4

Р12
Р23
Р34

Вектором вероятностей
(безусловной вероятностью) состояния цепи Маркова называют вероятности История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемплотностью вероятностей
перехода История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Для непрерывных цепей Маркова вектор вероятностей состояния есть функция времени и определяется путем решения системы дифференциальных уравнений, которые составляются по графу состояния цепи Маркова по следующим правилам :

· в левой части каждого уравнения стоят производные по времени вероятностей состояния цепи;

· правая часть этих уравнений содержит столько членов, сколько переходов (стрелок на графе) связанно с данным состоянием;

· каждый член правой части уравнений равен произведению плотности вероятностей перехода , соответствующей данной стрелки графа состояния, умноженной на вероятность того состояния из которого исходит стрелка;

· каждый член правой части уравнений имеет знак «минус», если стрелка графа состояния входит в данное состояния и знак «плюс», если стрелка выходит из данного состояния.

Например:
Имеем граф состояния однородной непрерывной цепи ркова:

История биометрии - наука не причем3
X2

Для этого графа составляем систему уравнений по вышеуказанным правилам:

Учитывая, что История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Переход из состояния в состояние в непрерывных цепях Маркова происходит вод воздействием потока событий.

Потоком событий
называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени.

Поток событий называю простейшим или стационарным Пуассоновским, если он стационарен, ординарен и без последействия.

1. Поток называется стационарным, если вероятность попадания события на участок времени История биометрии - наука не причем

2. Поток называют потоком без последействия, если для любых непересекающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий на другом участке.

3. Поток событий называют ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок двух и более событий пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью попадания на этот участок одного события.

Плотностью вероятностей
перехода История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причеминтенсивностью потока событий История биометрии - наука не причем
или средним числом событий в единицу времени. Для стационарного потока История биометрии - наука не причем
не зависит от времени. Для нестационарного История биометрии - наука не причем
— функция времени История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Лекция №10. Предмет математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Вариационные ряды и их характеристики

Математическая статистика –
раздел высшей математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов случайных массовых явлений с целью выявления существующих закономерностей.

Вся подлежащая изучению совокупность объектов наблюдений называют генеральной совокупностью.
Иными словами, совокупность всех возможных, всех мыслимых, значений исследуемой случайной величины. Понятие генеральной совокупности аналогично понятию случайной величины (закону распределения, вероятностному пространству).

Та часть объектов, которая отобрана для непосредственного изучения из генеральной совокупности, называется выборочной совокупностью или выборкой.
Число объектов в генеральной или в выборочной совокупности называют их объемом История биометрии - наука не причем.Основная форма представления выборочной совокупности – вариационные ряды. Вариационный ряд
– это ранжированные в порядке возрастания или убывания ряд вариантов с соответствующими им весами (частотами и частостями). Различные значения признака (случайной величины История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Частости и частоты еще называют весами.

Кроме частости и частоты используют понятие накопленной частости и частоты,
которые обозначают История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Если варианты не отличаются друг от друга меньше определенного значения- то такой ряд называют дискретным.

Если варианты отличаются друг от друга на сколь угодно малую величину, то такой ряд называют непрерывным.

Для построения непрерывного вариационного ряда рекомендуемое число интервалов История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Графически вариационные ряды изображают в виде полигона и гистограммы.

Полигон существуют для дискретного вариационного ряда в виде зависимости История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Вариационные ряды характеризуются показателями средних значений и вариации. К средним значениям относят:

— средняя арифметическая История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Перечисленные средние относят к аналитическим. Кроме них в статистическом анализе применяют структурные или порядковые средние. К ним относят медиану
и моду
.

Медианой
вариационного ряда называется значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений.

Для дискретного вариационного ряда с нечетным числом членов медиана равна серединному варианту, а для ряда с четным числом членов – полусумме двух серединных вариантов. Приближенно медиану можно найти с помощью кумуляты как значение признака, для которого

История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Модой
вариационного ряда называют вариант, которому соответствует наибольшая частота.

К показателям вариации вариационных рядов относят:

вариационный размахИстория биометрии - наука не причем,
равный разности между наибольшим и наименьшим вариантами ряда: — выборочная (эмпирическая) дисперсия История биометрии - наука не причем
, равная средней арифметической квадратов отклонений вариантов от их средних арифметических:История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемсреднее квадратическое
отклонение История биометрии - наука не причемкоэффициент вариацииИстория биометрии - наука не причем,
равный процентному отношению среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

Лекция 11. Связь между генеральной и выборочной совокупностью.

Понятие генеральной совокупности в определенном смысле аналогично понятию случайной величины (закону распределения, вероятностному пространству). Выборку можно рассматривать, как некий эмпирический аналог генеральной совокупности.

Средние арифметические распределения признака в генеральной и выборочной совокупностях называются соответственно генеральной
и выборочной средними.

Дисперсии этих распределений называют генеральной
и выборочной дисперсиями.

Отношение числа элементов История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем генеральнойИстория биометрии - наука не причем и выборочной долямиИстория биометрии - наука не причем.В случае бесконечной генеральной совокупности (История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Сущность выборочного метода состоит в том, чтобы по некоторой части генеральной совокупности (по выборке) выносить суждение о свойствах генеральной совокупности в целом.

Чтобы по данным выборки можно было достоверно судить о генеральной совокупности, выборочная совокупность должна быть отобрана случайно
(т.е. по схеме случая или «урн»). При случайном отборе используют два способа образования выборки:

· Повторный отбор
, когда каждый элемент, отобранный и обследованный, возвращается в общую совокупность и может быть повторно отобран;

· Бесповторный отбор
, когда отобранный элемент не возвращается в общую совокупность.

Оценкой История биометрии - наука не причем
неизвестного параметра генеральной совокупности История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем
в отличие от оцениваемого параметра История биометрии - наука не причемслучайной
величиной, зависящей от закона распределения История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

В качестве оценок параметров генеральной совокупности желательно использовать оценки, удовлетворяющие одновременно требованиям несмещенности
, состоятельности
и эффективности
.

Рефераты:  Анализ видов спорта, развивающих отдельные физические качества

Оценка История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемнесмещенной
, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру:

Требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании.

ОценкаИстория биометрии - наука не причем
параметра История биометрии - наука не причемсостоятельной
, если она удовлетворяет закону больших чисел, т.е. сходится по вероятности к оцениваемому параметру:История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемэффективной
, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных оценок параметра История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причеммоментов, максимального правдоподобия
и наименьших квадратов. Согласно методу моментов,
определенное количество выборочных моментов (начальных История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемметода наибольшего правдоподобия
составляют функции правдоподобия,
выражающая плотность вероятности совместного появления результатов выборки История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемМетод наименьших квадратов
предусматривает определение оценки из условий минимизации квадратов отклонений выборочных данныхИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Точечная и интервальная оценка.

Оценка неизвестного параметра История биометрии - наука не причемодним
числом История биометрии - наука не причемточечной
: История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем
является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной доли История биометрии - наука не причем

а для бесповторной:

Выборочная средняя История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

а для бесповторной:

Выборочная дисперсия История биометрии - наука не причем
повторной и бесповторной выборок есть смещенная и состоятельная оценка генеральной дисперсии История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИнтервальной
оценкой параметра История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемдоверительным
, а вероятность История биометрии - наука не причемдоверительной вероятностью
или надежностью оценки. Наиболее часто доверительный интервал выбирают симметричным относительно параметра История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемпредельной ошибкой выборки. При заданной доверительной вероятности История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Интервальные оценки (доверительные интервалы) для генеральной средней и генеральной доли равны:

где История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

· Для повторного отбора:

История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

· Для бесповторного отбора:

История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Предельные ошибки и необходимый объем выборки (Повторный и бесповторный отбор)

Для определения необходимого объема выборки История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

и для бесповторного отбора:

Необходимый объем выборки для оценки генеральной доли История биометрии - наука не причем

И для бесповторного отбора:

Лекция №12. Проверка статистических гипотез.

Статистической гипотезой
называется любое предположение о виде или параметрах генеральной совокупности, проверяемое по выборке.

Различают простую
и сложную
статистические гипотезы. Простая гипотеза, в отличие от сложной, полностью определяет теоретическую функцию распределения наблюдаемой случайной величины.

Проверяемую гипотезу обычно называют нулевой История биометрии - наука не причем.
Наряду с нулевой гипотезой История биометрии - наука не причем
рассматривают альтернативную,
или конкурирующую,
гипотезу История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем. Правило, по которому принимается или отвергается История биометрии - наука не причем,
называется статистическим критерием. Суть проверки статистической гипотезы заключается в том, что используется специальная составленная выборочная характеристика (критерий) История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем
известно. По этому распределению определяется критическое значение критерия История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем
событиеИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем,
когдаИстория биометрии - наука не причем
);· Критическая область История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем
, когда История биометрии - наука не причем
).

При таком подходе возможны четыре случая (см. табл.):

Таким образом, вероятность История биометрии - наука не причемуровнем значимости
критерия, есть вероятность допущения ошибки 1-ого рода. Вероятность допустить ошибку 2-ого рода обозначают История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причеммощностью критерия. При фиксированном объеме выборке невозможно одновременное уменьшение ошибок 1-ого и 2-ого рода. Критическая область История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Критерии проверки гипотез называю параметрическими, если известен закон распределения генеральной совокупности, что задает определенное распределение критерия. При неизвестном законе распределения генеральной совокупности, то критерии называют непараметрическими.

По своему прикладному содержанию. Статистические гипотезы подразделяются на несколько основных типов:

· О равенстве числовых характеристики генеральных совокупностей;

· О числовых значениях параметров;

· О законе распределения;

· Об однородности выборок (т.е. о принадлежности их одной и той же генеральной совокупности).

Проверка гипотез о равенстве средних значений при известной и неизвестной дисперсии.

Имеются две генеральные совокупностиИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемизвестными
дисперсиями История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем
о равенстве генеральных средних, т.е. История биометрии - наука не причем
: История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем
критерий История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемотвергается. Если История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем
не противоречит имеющимся наблюдениям. При неизвестных
генеральных дисперсиях История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

В этом случае критерий вычисляем по выражению:

Доказано, что в случае критерий История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем
отвергается на уровне значимости История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

В случае невозможности наложения допущения о равенстве генеральных дисперсий задача не имеет точного решения (пока) – это проблема Беренса-Фишера.

Рассмотренные критерии можно применять для исключения грубых ошибок при проведении наблюдений.

Например, если в ряде наблюдений История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем
: История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем
критерий должен подчиняться так же закону распределения Стьюдента со степенью свободы История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем
принимается. При условии История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем
отвергается.

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей.

Проверка гипотезы История биометрии - наука не причем
, о том, что дисперсии двух нормально распределенных генеральных совокупностей История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем
критерий История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем
принимается.

Лекция№13.Проверка статистических гипотез о законе распределения генеральной совокупности

Проверку гипотезы История биометрии - наука не причем
, о том, что генеральная совокупность подчиняется определенному теоретическому закону распределения История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем
выбирают некоторую случайную величину История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем
отвергают. Если же вероятность История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем
можно считать правдоподобной или, по крайней мере, не противоречащей опытным данным. Существует несколько критериев согласия: История биометрии - наука не причемКритерий согласия История биометрии - наука не причем(хи- квадрат) Пирсона В наиболее часто используемом на практике критерии История биометрии - наука не причем
Пирсона
в качестве меры расхождения История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем
, равная относительной сумме квадратов отклонений межу эмпирическими История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем. Доказано, что при справедливости гипотезы История биометрии - наука не причем
и при История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем
имеет История биометрии - наука не причем
распределение со История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем
следующая: 1. Разбиваем всю область наблюдаемых выборочных значений История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем. 2.Для выбранного уровня значимости История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем
— распределения находим критическое значение История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем
больше критического, т.е. История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем
отвергается, если История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем
не противоречит опытным данным. Следует отметить, что критерий История биометрии - наука не причем
имеет закон распределения История биометрии - наука не причем
лишь при История биометрии - наука не причем

Критерий согласия Колмогорова

Критерий Колмогорова применяется в тех случаях, когда заранее известен не только вид распределения, но и числовые характеристики распределения. В этом критерии в качестве меры расхождения между теоретическими и эмпирическими распределениями рассматривают максимальное значение абсолютной величины разности между эмпирической функцией распределения История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

называемое статистикой критерия Колмогорова.

Доказано, что какова бы ни была функция распределения История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Методика применения критерия Колмогорова следующая:

  1. Строятся эмпирическая функция распределения История биометрии - наука не причем и предполагаемая теоретическая функция распределения История биометрии - наука не причем.
  2. Определяется мера расхождения между теоретическим и эмпирическим распределением История биометрии - наука не причем и вычисляется величина :
    При заданном уровне значимости История биометрии - наука не причем, сравнивается вычисленное значение История биометрии - наука не причемс критическим История биометрии - наука не причем. Если История биометрии - наука не причем, то гипотеза История биометрии - наука не причем
    отвергается. Если История биометрии - наука не причем, то считают, что гипотеза История биометрии - наука не причем
    не противоречит опытным данным.

Следует отметить, что на практике часто не известны параметры законов распределения генеральных совокупностей. Использование в этом случае критерий Колмогорова, заменяя неизвестные характеристики оценками, дает завышенное значение вероятности История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

  1. Если гипотеза не удовлетворяет условиям критерия Колмогорова, то ее можно отбросить;
  2. Если же гипотеза по критерию Колмогорова не противоречит опытным данным, то необходима дополнительная проверка другими критериями, например, История биометрии - наука не причем
    — Пирсона.

Лекция №14. Основные понятия дисперсионного анализа

Дисперсионный анализ
– статистический метод оценки влияния различных факторов на результаты эксперимента. Суть анализа заключается в разложении общей вариации случайной величины на независимые слагаемые, каждое из которых характеризует влияние того или иного фактора или их взаимодействие. Факторами обычно называют внешние условия, влияющие на эксперимент.

По числу факторов, влияние которых исследуется, различают:

· Однофакторный дисперсионный анализ;

· Двухфакторный дисперсионный анализ;

· Многофакторный дисперсионный анализ.

Для проведения дисперсионного анализа необходимо соблюдение следующих условий: результаты наблюдений должны быть независимыми случайными величинами с нормальным законом распределения с одинаковой дисперсией.

Однофакторный дисперсионный анализ

Однофакторная дисперсионная модель имеет вид:

Где История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Под уровнем фактора
понимается некоторая его мера или состояние, например номер партии детали, количество вносимых удобрений и т.п.

Проверим существенность влияния № партий изделий на их качество. Пусть имеется История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причеммежгрупповая
(факторная) сумма квадратов отклонений;История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Понятие о двухфакторном дисперсионном анализе

Двухфакторная дисперсионная модель имеет вид:

где История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Групповые средние находятся по формулам:

Общая средняя:

Далее рассчитываются История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Автоматизированный дисперсионный анализ возможен с помощью табличного процессора Excel.Для этого в опции Сервис находим пакет анализа данных (см. рис.)

Лекция№15. Корреляционно – регрессионный анализ

В естественных науках различают функциональную и статистическую зависимости. Под функциональной понимают такую зависимость, когда значению одной переменной соответствует вполне определенное значение другой переменной. Под статистической (вероятностной или стохастической) понимают такую зависимость, когда одна переменная влияет на закон распределения другой.

Наибольший интерес для практики представляют вероятностные зависимости в виде закономерностей изменения средних значений (условного математического ожидания) одной случайной величины при условии, что другая принимает определенные значения. Такие вероятностные зависимости получили название корреляционных.

Простейшая корреляционная зависимость может быть представлена в виде уравнения регрессии:

История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемВеличина История биометрии - наука не причем характеризует тесноту связи между случайными переменными История биометрии - наука не причеми История биометрии - наука не причем в генеральной совокупности
. Известно, что при совместном нормальном законе распределения случайных величин История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем
является показателем тесноты связи лишь в случае линейной зависимости (линейной регрессии) между переменными, получаемые, в частности, при совместном нормальном распределение. В практике статистических исследований нам не известны законы распределения генеральных совокупностей, располагаем лишь выборкой пар значений История биометрии - наука не причем

  • Выявление связи между случайными переменными и оценка ее тесноты;
  • Установление формы и изучение зависимости между случайными переменными.

Основной метод нахождения неизвестных параметров уравнений регрессии в статистических исследованиях является метод наименьших квадратов
. Суть этого метода в том, что неизвестные параметры уравнений регрессии выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических групповых средних История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Линейная корреляционная зависимость и прямые регрессии

Линейную корреляционную зависимость между переменнымиИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

неизвестные параметры которых находим методом наименьших квадратов.

Например, для История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

После преобразований получаем систему нормальных уравнений для определения параметров линейной регрессии:

где соответствующие средние определяются по формулам:

Подставляя значения История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемкоэффициента регрессииИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Свойства выборочного (статистического) коэффициента корреляции

Для оценки тесноты связи между переменными История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

2. Если все значения переменных увеличить (уменьшить) на одно и то же число или в одно и то же число раз, по величина коэффициента корреляции не изменится.

Рефераты:  Реферат: Возбуждение уголовного дела - стадия уголовного процесса

3. При История биометрии - наука не причемлинейную функциональную зависимость.4. При История биометрии - наука не причемлинейная
связь отсутствует. При оценке тесноты связи между переменными История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Понятие о нелинейной регрессии, индекс корреляции и коэффициент детерминации

В экономических приложениях часто возникает необходимость выражать корреляционную зависимость в виде нелинейных уравнений регрессии, поскольку линейные зависимости приводят к большим ошибкам. Выбор вида нелинейной регрессии называется спецификацией
или этапом параметризации модели
и осуществляется методами визуального оценивания точек корреляционного поля, анализа сути наблюдаемых экономических процессов и т.п. Наиболее часто в экономических исследованиях используют следующие виды нелинейной регрессии:

· Полиноминальная История биометрии - наука не причем;· Гиперболическая История биометрии - наука не причем;· Степенное История биометрии - наука не причеми т.п.

Для определения неизвестных параметров выбранного уравнения регрессии используется метод наименьших квадратов
.

При нелинейной регрессии для оценки тесноты связи между переменными используют не коэффициент корреляции История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Коэффициент детерминации, равный квадрату индекса корреляции, показывает долю общей вариации зависимой переменной, обусловленной регрессией или изменчивостью объясняющей переменной:

Чем ближе История биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причемИстория биометрии - наука не причем

Табличный процессор Excel так же позволяет проводит автоматизированный корреляционно- регрессионный анализ. Для этого в опции Сервис находим пакет анализа данных (см. рис.)

Литература

1. Мацкевич И.П., Свирид Г.П. Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика. — Мн.: Высшая школа, 1993.

2. Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей математики с основами математической статистики и теории вероятностей. — Мн.: Высшая школа, 1976.

3. Булдык Г.М. Теория вероятностей и математическая статистика. — Мн.: Высшая школа, 1989.

4. Венцель Е.С. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969.

5. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: ЮНИТИ-ДАНА,2000.-543 с.

6. Свирид Г.П.,Черторицкий Ю.Н.,Шевченко Л.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Контрольные задания и методические рекомендации к ним для студентов экономических специальностей.-Мн.: БГЭУ,1998.

7. Булдык Г.М., Ковальчук В.М. Теория вероятностей и математическая статистика. Практикум. Часть 1.- Мн.: БГЭУ, 1999.-54 с.

8. Гороховик С.Я. Рыбалтовский И.В. Система случайных величин. Индивидуальные задания по теории вероятностей для студентов всех специальностей. – Мн.:БГЭУ,2000. – 18с.

Математическая логика и теория множеств

В математической логике предложено большое число символов логических операций, причём различные авторы часто пользовались для одной и той же операции различными обозначениями. Значительно бо́льшая степень унификации характерна для символики теории множеств[209].

Джордж Буль (1854) использовал для логических операций конъюнкции и дизъюнкции обычные знаки умножения и сложения. Близкие к современным обозначения ∧, ∨{displaystyle land , lor } предложил Джузеппе Пеано (1895); они были по сравнению с ныне употребляемыми вариантами более «сглаженными», в виде дуг окружности. Современный символ дизъюнкции ∨{displaystyle lor } впервые встречается в статье «Математическая логика, основанная на теории типов»[210]Бертрана Рассела (1908), в то время как конъюнкция обозначена там точкой на линии строки (знак дизъюнкции образован от лат. vel ‘или’; позднее возникла традиция двойным знаком дизъюнкции обозначать операцию строгой дизъюнкции[211]). Современный символ конъюнкции ∧{displaystyle land } (перевёрнутый знак дизъюнкции) предложен Арендом Гейтингом (1930); распространённой альтернативой для него остаётся знак амперсанда&[64][212].

В языках программирования для конъюнкции, дизъюнкции и строгой дизъюнкции применяются обычно другие обозначения (например, в языке Ада используются зарезервированные слова and, or и xor[213], а в языках C и C  — обозначения &, |, ^ для побитовых операций и &&, || для логических операций[214]).

Логическое отрицаниеДжузеппе Пеано в 1897 году обозначил символом ∼{displaystyle sim } (тильда), похожим на минус; сейчас стандартным является близкий к нему символ ¬{displaystyle lnot }, предложенный Гейтингом в 1930 году[64][212]. Используют для обозначения отрицания и горизонтальную черту над выражением, встречавшуюся ещё у Буля и Чарльза Пирса (1867)[215]. В языках программирования для отрицания применяют и другие обозначения (так, в языке Ада используется зарезервированное слово not[213], а в языках C и C  — обозначения ~ для побитовой операции и ! для логического отрицания[214]).
Первый логический символ, имеющий смысл «следовательно», предложил Иоганн Ран в 1659 году, он состоял из трёх точек: . .˙{displaystyle {dot {. .}}}. Отред (1677) изображал следствие двумя надстрочными точками. Перевёрнутый символ: ˙. ˙{displaystyle {dot {}},.{dot { ,}}} в XIX веке иногда заменял союз «потому что» в англоязычных странах[60].
Знак →{displaystyle to } для обозначения импликации предложил Давид Гильберт (1922). Не менее распространён и знак , употреблявшийся в этом значении ещё Джузеппе Пеано (1898) и сменивший более раннее начертание ɔ данного знака (которое Пеано применял начиная с 1891 года). Для обозначения эквиваленции используют как символ тождества ≡{displaystyle equiv } (так поступал Рассел в уже упоминавшейся работе 1908 года), так и знак ↔{displaystyle leftrightarrow }, предложенный Альбрехтом Беккером (1933)[212][216].
Штрих Шеффера∣{displaystyle mid } для обозначения операции антиконъюнкции ввёл Генри Шеффер, обосновавший в своей статье «Набор пяти независимых постулатов…»[217] (1913) возможность построения логики высказываний на основе единственной логической операции — антиконъюнкции[218]. Результаты Шеффера, впрочем, предвосхитил Чарльз Пирс (1880), который в неопубликованной при его жизни работе «Булева алгебра с одной константой» фактически осуществил такое построение на основе другой операции — антидизъюнкции, для обозначения которой обычно используют знак ↓{displaystyle downarrow } (стрелка Пирса)[219][220].
Первые символы для кванторов появились в 1879 году в книге Готлоба Фреге «Исчисление понятий»; обозначения Фреге основывались на громоздкой двумерной нотации и в дальнейшем широкого распространения не получили. Впоследствии были предложены более удачные обозначения; например, Оскар Митчелл в 1883 году и Чарльз Пирс в 1885 году использовали заглавные греческие буквы Π{displaystyle Pi } и Σ{displaystyle Sigma } (сам термин «квантор» также предложил Пирс)[221]. Общепринятым для квантора существования стало обозначение ∃{displaystyle exists } (Джузеппе Пеано, 1897), а для квантора общности — символ ∀{displaystyle forall }, образованный Герхардом Генценом в 1935 году по аналогии с символом Пеано; эти символы представляют собой перевёрнутые первые буквы английских слов Exists ‘существует’ и All ‘все’[222][223].

Знак выводимости (турникет) введён, по существу, Фреге (1879) в уже упоминавшейся книге «Исчисление понятий»[224]. В современном начертании встречается у Бертрана Рассела (1908)[210].

Выражение λx.E{displaystyle lambda x.E} означает «функция, сопоставляющая каждому значению аргумента x{displaystyle x} соответствующее значение выражения E{displaystyle E}» (где E{displaystyle E} в общем случае зависит от x{displaystyle x}). Оператор λ-абстракции и основанное на его использовании λ-исчисление предложены Алонзо Чёрчем в конце 1920-х годов (первая публикация — его статья[225] 1932 года, в которой Чёрч, правда, ещё писал λx[E]{displaystyle lambda x[E]}; современный стандартный вид нотация приняла к 1941 году)[226].
На символику теории множеств большое влияние оказала тесно связанная с ней и уже хорошо разработанная к концу XIX века символика математической логики. Знак принадлежности ∈{displaystyle in } (по происхождению — стилизованная буква ε в греч.εστι ‘быть’) был введён Джузеппе Пеано (1889) в работе «Основания арифметики, изложенные новым способом»[227]. Он же является автором символов пересечения и объединения множеств (1888). Теоретико-множественные символы «содержится» и «содержит» появились в 1890 году у Эрнста Шрёдера[212][228].
В 1880-е годы Георг Кантор открыл иерархию бесконечных множеств и упорядочил их по мощности. Наименьшую из них — мощность натурального ряда — он обозначил первой буквой еврейского алфавита «алеф» с нулевым индексом: ℵ0.{displaystyle aleph _{0}.}Порядковое число натурального ряда Кантор обозначил буквой ω,{displaystyle omega ,} последней буквой греческого алфавита. Мощность множества вещественных чисел принято обозначать буквой c{displaystyle c} (от слова continuum ‘непрерывность’)[229][230].
Знак ∅{displaystyle varnothing } для обозначения пустого множества предложил в 1939 году Андре Вейль в ходе работы группы Бурбаки над подготовкой к изданию книги «Теория множеств. Сводка результатов» трактата «Элементы математики» (в качестве прототипа знака была использована буква норвежского алфавита с тем же начертанием)[231]. До 1939 года пустое множество иногда обозначалось символом нуля[232].
Обозначение f:X→Y{displaystyle fcolon Xrightarrow Y} для отображения множества X в множество Y впервые появилось в 1940 году в лекциях Витольда Гуревича по относительным гомотопическим группам[233].
В 1888 году Рихард Дедекинд в статье «Was ist und was sollen die Zahlen» впервые использовал символ N{displaystyle mathbb {N} } для множества натуральных чисел и R{displaystyle mathbb {R} } для множества вещественных чисел. Для целых и комплексных чисел Дедекинд предложил символы K,J{displaystyle mathbb {K} ,mathbb {J} } соответственно. Современное общепринятое обозначение Z{displaystyle mathbb {Z} } для множества целых чисел впервые употребил Эдмунд Ландау в 1930 году (у Ландау над символом Z была чёрточка: Z¯{displaystyle mathbb {bar {Z}} }, впоследствии упразднённая). Бурбаки в монографии «Алгебраические структуры» (1942) поддержали символ Z{displaystyle mathbb {Z} } и предложили обозначение Q{displaystyle mathbb {Q} } для поля рациональных чисел. Символ C{displaystyle mathbb {C} } для поля комплексных чисел появился в статье Натана Джекобсона (1939) и в 1950-е годы стал общепринятым[234].

Оцените статью
Реферат Зона
Добавить комментарий