Как найти значение производной функции

Свойства производной

Помимо формул по вычислению производной еще есть свойства производной, их тоже надо выучить.

Примеры нахождения производной

Рассмотрим несколько примеров нахождения производной, чтобы разобраться, как применяются свойства и формулы производной на практике.

Фактчек

• Для нахождения производной необходимо пользоваться специальными формулами для производной. С их помощью можно найти производную любой из основных функций.
• Если функция усложнена коэффициентом, является сложной или представлена в виде суммы, произведения или частного, то необходимо пользоваться правилами дифференцирования. Они помогут правильно найти производную.
• Сложная функция — это функция, внутри которой есть другая функция. 
• С помощью производной можно исследовать функцию, а именно найти точки минимума и максимума, определить, на каких участках функция возрастает и убывает, найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке. 

Простейшие типовые задачи с производной. Примеры решений

После изучения азов нахождения производной в статьях Как найти производную? Примеры решений и Производная сложной функции мы рассмотрим типовые задачи, связанные с нахождением производной. Желающие улучшить свои навыки дифференцирования также могут ознакомиться с уроком Сложные производные. Логарифмическая производная.

Помимо нового материала у вас есть возможность дополнительно «набить руку» на нахождении производных. Действительно, если речь пойдет о типовых задачах на производную, то, как минимум, во всех примерах нужно будет найти эту самую производную. Я постараюсь рассмотреть приёмы решения и хитрости, которые не встречались в других статьях.

Вот наше аппетитное меню:

• Производная функции в точке
• Уравнение касательной к графику функции в точке
• Дифференциал функции одной переменной
• Вторая производная

Повар на раздаче.

Формулы производной

Выпишем теперь все формулы производной функции и порешаем примеры.

Проверь себя

Задание 1.
Чему будет равна производная f(x) = 3?

1. 1;
2. Производную этой функции невозможно найти.

Задание 2. 
Чему будет равна производная f(x) = 5x²?

1. 10x;
2. 10x²;
3. 5x²;
4. 2x.

Задание 3.
Чему будет равна производная f(x) = 13x + 5 + x³?

1. 18 + 3x²;
2. 13 + 3x²;
3. 18;
4. 3x².

Задание 4.
Чему будет равна производная f(x) = ln(x)?

1. \(\frac{1}{x}\)
2. \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

Задание 5.
Чему будет равна производная f(x) = tg(x)?

1. \(\frac{1}{cos^{2}(x)}\)
2. \(-\frac{1}{sin^{2}(x)}\)
3. \(-\frac{1}{cos^{2}(x)}\)
4. \(\frac{1}{sin^{2}(x)}\)

Ответы: 1. — 3 2. — 1 3. — 2 4. — 2 5. — 1

Понятие производной функции

До сих пор речь шла о производной и дифференциале в единственной «подопытной» точке . Но ведь в качестве   можно взять ЛЮБУЮ ТОЧКУ рассматриваемого интервала! 
Из этих соображений в равенстве  проведём замену  и получим . А это не что иное, как обозначение производной , о котором я упомянул на первом же уроке по технике дифференцирования. Символ  используется двояко – и как цельный символ производной, и как частное дифференциалов. Вторая интерпретация активно эксплуатируется в ходе решения дифференциальных уравнений.

Естественно, и в самом определении производной в точке  заменим  на :

К чему мы пришли? А пришли мы к тому, что для функции по закону   ставится в соответствие другая функция , которая называется производной функцией (или просто производной).

Производная  характеризует скорость изменения функции . Каким образом? Мысль идёт красной нитью с самого начала статьи. Рассмотрим некоторую точку области определения функции . Пусть функция дифференцируема в данной точке. Тогда:

1) Если , то функция  возрастает в точке . И, очевидно, существует интервал (пусть даже очень малый), содержащий точку , на котором функция   растёт, и её график идёт «снизу вверх».

2) Если , то функция  убывает в точке . И существует интервал, содержащий точку , на котором функция  убывает (график идёт «сверху вниз»).

3) Если , то бесконечно близко около точки  функция  сохраняет свою скорость постоянной. Так бывает, как отмечалось, у функции-константы и в критических точках функции, в частности в точках минимума и максимума.

Немного семантики. Что в широком смысле обозначает глагол «дифференцировать»? Дифференцировать – это значит выделить какой-либо признак. Дифференцируя функцию , мы «выделяем» скорость её изменения в виде производной функции . А что, кстати, понимается под словом «производная»? Функция  произошла от функции .

Термины весьма удачно истолковывает  механический смысл производной:
Рассмотрим закон изменения координаты тела , зависящий от времени , и функцию скорости движения данного тела . Функция  характеризует скорость изменения координаты тела, поэтому является первой производной функции  по времени: . Если бы в природе не существовало понятия «движение тела», то не существовало бы и производного понятия «скорость тела».

Ускорение тела  – это скорость изменения скорости, поэтому: . Если бы в природе не существовало исходных понятий  «движение тела» и «скорость движения тела», то не существовало бы и производного понятия «ускорение тела».

Откуда взялись правила дифференцирования и таблица производных?  Невероятно, но все они появились благодаря единственной формуле: . И как это происходит, мы начнём разбирать прямо сейчас.

Действительно, пора переходить к практическим примерам. Ну а это был, пожалуй, первый обстоятельный теоретический материал, который я опубликовал на сайте – вполне можете взять для реферата или курсовика. Только аккуратнее, здесь есть зашифрованное послание для вашего преподавателя =)

Используя определение производной, доказать, что производная константы равна нулю.

Функция-константа имеет вид , и графически – это семейство прямых, параллельных оси абсцисс. Наверное, многие уже догадались, почему .
Изобразим, например, график функции :

Это «ровная дорога», то есть функция и не возрастает и не убывает в каждой точке. Ни вверх и не вниз.

Покажем аналитически, что производная функции-константы  равна нулю. Рассмотрим произвольное значение , в котором, понятно, . Придадим аргументу приращение: . Функция всё время постоянна, поэтому  и приращение функции: . По определению производной в точке:

Заметьте, тут нет неопределённости: ноль, делённый на бесконечно малое число , равен нулю. Пытливые читатели могут взять в руки калькулятор и убедиться в этом.

Поскольку в качестве точки  можно взять любое «икс», то проведём замену  и получим: .

Найти производную функции  по определению.

Рассмотрим произвольное значение , в котором .

Зададим аргументу приращение  и вычислим соответствующее значение функции: (обычная алгебра – в функцию  вместо «икса» подставили  и раскрыли скобки).

Вычислим приращение функции:

По определению производной в точке:

Поскольку в качестве  можно взять любое значение , то .

О чём нам говорит найденная производная? Во-первых, для любого «икс» она отрицательна, а значит, функция  убывает на всей области определения. И, во-вторых, это убывание постоянно, то есть «наклон горки везде одинаков» – в какой бы точке мы ни находились, предельное отношение  будет неизменным:

Здесь и далее я предполагаю, что читатель умеет находить, как минимум, простые производные, пользуясь правилами дифференцирования и таблицей. Давайте найдём производную «быстрым» способом:

Теперь вам должно быть понятно происхождение и весь неформальный смысл полученного результата.

Используя этот же алгоритм, можно решить задачу в общем виде и доказать, что производная линейной функции  равна её угловому коэффициенту:
.

В начале статьи Уравнение прямой на плоскости я проанализировал расположение прямой в зависимости от углового коэффициента. И сейчас получено объяснение данных фактов с точки зрения математического анализа. Действительно, рассмотрим две линейные функции  и найдём их производные:

Обе производные положительны, а значит, функции возрастают на всей области определения (графики идут «снизу вверх»). Кроме того, не забываем, что производная – это мера скорости изменения  функции. Поскольку , то функция  растёт быстрее (причём, значительно) функции , и, соответственно, график  намного более крут.

Факт тривиален, но озвучу: касательная к графику линейной функции в каждой точке совпадает с самим графиком данной линейной функции.

Заключительная демонстрационная задача, думаю, развеет все оставшиеся непонятки:

Найти производную функции  по определению.

По определению производной в точке:

Поскольку в качестве  можно рассмотреть любую точку  области определения функции , то проведём замену  и получим .

Проверим результат «лёгким» способом:

Исходная функция  и её производная  – это две совершенно разные функции, однако между ними существует чёткая и прозрачная связь:

На интервале  производная отрицательна:  (красная линия), что говорит об убывании функции  на данном интервале. Грубо говоря, ветвь параболы идёт сверху вниз. А на интервале  производная положительна:  (зелёная линия), значит, функция  растёт на этом интервале, и её график идёт снизу вверх.

При  производная равна нулю: . Найденное значение показывает, что скорость изменения функции  в точке  равна нулю (функция не растёт в ней и не убывает). В данном случае здесь минимум функции.

Всё это можно утверждать даже не зная, что такое парабола и как выглядит график функции !

И ещё раз заостряю внимание, что значение производной в точке выражает собой некоторую меру скорости изменения функции в данной точке. Найдём несколько значений производной:

Таким образом, в точке  функция  убывает, в точке  сохраняет скорость постоянной, а в точках  – растёт. Причём , поэтому можно сказать (опять даже не зная чертежа!), что в окрестности точки  график функции  идёт вверх круче, чем вблизи точки .

Закрепим геометрический смысл: производная в точке численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке. Не поленюсь, применю формулу  четыре раза:

Вот так вот изящно производная характеризует свою функцию.

Наше увлекательное путешествие подошло к концу, и возникает вопрос: в каком направлении двигаться дальше? Это зависит от ваших сегодняшних потребностей:

– Можно потренироваться в нахождении производной по определению. И смех, и грех, но для применения формулы  опять же совсем не обязательно понимать, что это производная =)

– Можно отработать и окончательно уяснить геометрический смысл производной на уроке Уравнения касательной и нормали.

– И, наконец, можно перейти в следующий раздел – к статье об экстремумах функции, из-за которой на сайте, собственно, и появилась теория.

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 17% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-xr4ys

Дифференциал функции одной переменной

С формально-технической точки зрения найти дифференциал функции – это «почти то же самое, что найти производную».

Производная функции чаще всего обозначается через .

Дифференциал функции стандартно обозначается через  (так и читается – «дэ игрек»)

Дифференциал функции одной переменной записывается в следующем виде:

Другой вариант записи:

Простейшая задача: Найти дифференциал функции

1) Первый этап. Найдем производную:

2) Второй этап. Запишем дифференциал:

Дифференциал функции одной или нескольких переменных чаще всего используют для приближенных вычислений.

Помимо «комбинированных» задач с дифференциалом время от времени встречается и «чистое» задание на нахождение дифференциала функции:

Найти дифференциал функции

Перед тем, как находить производную или дифференциал, всегда целесообразно посмотреть, а нельзя ли как-нибудь упростить функцию (или запись функции) ещё до дифференцирования? Смотрим на наш пример. Во-первых, можно преобразовать корень:

 (корень пятой степени относится именно к синусу).

Во-вторых, замечаем, что под синусом у нас дробь, которую, очевидно, предстоит дифференцировать. Формула дифференцирования дроби очень громоздка. Нельзя ли избавиться от дроби? В данном случае – можно, почленно разделим числитель на знаменатель:

Функция сложная. В ней два вложения: под степень вложен синус, а под синус вложено выражение . Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции  два раза:

Запишем дифференциал, при этом снова представим  в первоначальном «красивом» виде:

Когда производная представляет собой дробь, значок  обычно «прилепляют» в самом конце числителя (можно и справа на уровне дробной черты).

Найти дифференциал функции

Это пример для самостоятельного решения.

Следующие два примера на нахождение дифференциала в точке:

Вычислить дифференциал функции  в точке

Опять, производная вроде бы найдена. Но в эту бодягу еще предстоит подставлять число, поэтому результат максимально упрощаем:

Труды были не напрасны, записываем дифференциал:

Теперь вычислим дифференциал в точке :

В значок дифференциала  единицу подставлять не нужно, он немного из другой оперы.

Ну и хорошим тоном в математике считается устранение иррациональности в знаменателе. Для этого домножим числитель и знаменатель на . Окончательно:

Вычислить дифференциал функции  в точке . В ходе решения производную максимально упростить.

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец оформления и ответ в конце урока.

Производная по определению (через предел). Примеры решений

Когда человек сделал первые самостоятельные шаги в изучении математического анализа и начинает задавать неудобные вопросы, то уже не так-то просто отделаться фразой, что «дифференциальное исчисление найдено в капусте». Поэтому настало время набраться решимости и раскрыть тайну появления на свет таблицы производных и правил дифференцирования. Начало положено в статье о смысле производной, которую я настоятельно рекомендую к изучению, поскольку там мы как раз рассмотрели понятие производной и начали щёлкать задачи по теме. Этот же урок носит ярко выраженную практическую направленность, более того, рассматриваемые ниже примеры, в принципе, можно освоить и чисто формально (например, когда нет времени/желания вникать в суть производной). Также крайне желательно (однако опять не обязательно) уметь находить производные «обычным» методом – хотя бы на уровне двух базовых занятий: Как найти производную? и Производная сложной функции.

Но без чего-чего сейчас точно не обойтись, так это без пределов функций. Вы должны ПОНИМАТЬ, что такое предел и уметь решать их, как минимум, на среднем уровне. А всё потому, что производная функции  в точке  определяется формулой:

Напоминаю обозначения и термины:
 называют приращением аргумента;
 – приращением функции;
 – это ЕДИНЫЕ символы («дельту» нельзя «отрывать» от «икса» или «игрека»).

Очевидно, что  является «динамической» переменной,  – константой и результат вычисления предела  – числом (иногда – «плюс» либо «минус» бесконечностью).

В качестве точки  можно рассмотреть ЛЮБОЕ значение , принадлежащее области определения функции , в котором существует производная.

! Примечание: оговорка «в котором существует производная»  – в общем случае существенна! Так, например, точка  хоть и входит в область определения функции , но производной  там не существует. Поэтому формула  не применима в точке , и укороченная формулировка без оговорки будет некорректна. Аналогичные факты справедливы и для других функций с «обрывами» графика, в частности, для  арксинуса и арккосинуса.

Таким образом, после замены , получаем вторую рабочую формулу:

Обратите внимание на коварное обстоятельство, которое может запутать чайника: в данном пределе «икс», будучи сам независимой переменной, исполняет роль статиста, а «динамику» задаёт опять же приращение . Результатом вычисления предела  является производная функция .

Исходя из вышесказанного, сформулируем условия двух типовых задач:

– Найти производную в точке, используя определение производной.

– Найти производную функцию, используя определение производной. Эта версия, по моим наблюдениям, встречается заметно чаще и ей будет уделено основное внимание.

Принципиальное отличие заданий состоит в том, что в первом случае требуется найти число (как вариант, бесконечность), а во втором – функцию. Кроме того, производной может и вовсе не существовать.

Как найти производную по определению?

Составить отношение  и вычислить предел .

Откуда появилась таблица производных и правила дифференцирования? Благодаря единственному пределу . Кажется волшебством, но в действительности – ловкость рук и никакого мошенничества. На уроке Что такое производная? я начал рассматривать конкретные примеры, где с помощью определения нашёл производные линейной и квадратичной функции. В целях познавательной разминки продолжим тревожить таблицу производных, оттачивая алгоритм и технические приёмы решения:

Найти производную функции , пользуясь определением производной

По сути, требуется доказать частный случай производной степенной функции, который обычно фигурирует в таблице: .

Решение технически оформляется двумя способами. Начнём с первого, уже знакомого подхода: лесенка начинается с дощечки, а производная функция – с производной в точке.

Рассмотрим некоторую (конкретную) точку , принадлежащую области определения функции , в которой существует производная. Зададим в данной точке приращение  (разумеется, не выходящее за рамки о/о-я) и составим соответствующее приращение функции:

Неопределённость 0:0 устраняется стандартным приёмом, рассмотренным ещё в первом веке до нашей эры. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение :

Техника решения такого предела подробно рассмотрена на вводном уроке о пределах функций.

Поскольку в качестве  можно выбрать ЛЮБУЮ точку  интервала , то, осуществив замену , получаем:

Ответ: по определению производной:

В который раз порадуемся логарифмам:

Найти производную функции , пользуясь определением производной

Решение: рассмотрим другой подход к раскрутке той же задачи. Он точно такой же, но более рационален с точки зрения оформления. Идея состоит в том, чтобы в начале решения избавиться от подстрочного индекса и вместо буквы  использовать букву .

Рассмотрим произвольную точку , принадлежащую области определения функции  (интервалу ), и зададим в ней приращение . А вот здесь, кстати, как и в большинстве случаев, можно обойтись без всяких оговорок, поскольку логарифмическая функция дифференцируема в любой точке области определения.

Тогда соответствующее приращение функции:

Простота оформления уравновешивается путаницей, которая может возникнуть у начинающих (да и не только). Ведь мы привыкли, что в пределе изменяется буква «икс»! Но тут всё по-другому:  – античная статуя, а  – живой посетитель, бодро шагающий по коридору музея. То есть «икс» – это «как бы константа».

Устранение неопределённости  закомментирую пошагово:

(1) Используем свойство логарифма .

(2) В скобках почленно делим числитель на знаменатель.

(3) В знаменателе искусственно домножаем и делим на «икс» чтобы воспользоваться замечательным пределом , при этом в качестве бесконечно малой величины выступает .

Ответ: по определению производной:

Предлагаю самостоятельно сконструировать ещё две табличные формулы:

Найти производную  по определению

В данном случае составленное приращение  сразу же удобно привести к общему знаменателю. Примерный образец оформления задания в конце урока (первый способ).

Найти производную  по определению

А тут всё необходимо свести к замечательному пределу . Решение оформлено вторым способом.

Аналогично выводится ряд других табличных производных. Полный список можно найти в школьном учебнике, или, например, 1-м томе Фихтенгольца. Не вижу особого смысла переписывать из книг и доказательства правил дифференцирования – они тоже порождены формулой .

Переходим к реально встречающимся заданиям:

Найти производную функции , используя определение производной

Решение: используем первый стиль оформления. Рассмотрим некоторую точку , принадлежащую , и зададим в ней приращение аргумента . Тогда соответствующее приращение функции:

Возможно, некоторые читатели ещё не до конца поняли принцип, по которому нужно составлять приращение . Берём точку  (число) и находим в ней значение функции: , то есть в функцию  вместо «икса» следует подставить . Теперь берём тоже вполне конкретное число  и так же подставляем его в функцию  вместо «икса»: . Записываем разность , при этом  необходимо полностью взять в скобки.

Составленное приращение функции  бывает выгодно сразу же упростить. Зачем? Облегчить и укоротить решение дальнейшего предела.

Используем формулы , раскрываем скобки и уничтожаем противоположные члены::

Индейка выпотрошена, с жаркое никаких проблем:

Поскольку в качестве  можно выбрать любое действительное число, то проведём замену  и получим .

Ответ:  по определению.

В целях проверки найдём производную с помощью правил дифференцирования и таблицы:

Всегда полезно и приятно знать правильный ответ заранее, поэтому лучше мысленно либо на черновике продифференцировать предложенную функцию «быстрым» способом в самом начале решения.

Найти производную функции  по определению производной

Это пример для самостоятельного решения. Результат лежит на поверхности:

Вернёмся к стилю № 2:

Пользуясь определением, найти производную функции

Давайте немедленно узнаем, что должно получиться. По правилу дифференцирования сложной функции:

Решение: рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , зададим в ней приращение аргумента  и составим приращение функции:

Найдём производную:

(1) Используем тригонометрическую формулу .

(2) Под синусом раскрываем скобки, под косинусом приводим подобные слагаемые.

(3) Под синусом уничтожаем противоположные слагаемые, под косинусом почленно делим числитель на знаменатель.

(4) В силу нечётности синуса выносим «минус». Под косинусом указываем, что слагаемое .

(5) В знаменателе проводим искусственное домножение, чтобы использовать первый замечательный предел . Таким образом, неопределённость устранена, причёсываем результат.

Ответ:  по определению

Как видите, основная трудность рассматриваемой задачи упирается в сложность самого предела + небольшое своеобразие упаковки. На практике встречаются и тот и другой способ оформления, поэтому я максимально подробно расписываю оба подхода. Они равноценны, но всё-таки, по моему субъективному впечатлению, чайникам целесообразнее придерживаться 1-го варианта с «икс нулевым».

Пользуясь определением, найти производную функции

Это задание для самостоятельного решения. Образец оформлен в том же духе, что предыдущий пример.

Разберём более редкую версию задачи:

Найти производную функции  в точке , пользуясь определением производной.

Во-первых, что должно получиться в сухом остатке? Число

Вычислим ответ стандартным способом:

Решение: с точки зрения наглядности это задание значительно проще, так как в формуле  вместо  рассматривается конкретное значение.

Зададим в точке  приращение  и составим соответствующее приращение функции:

Вычислим производную в точке:

Используем весьма редкую формулу разности тангенсов  и в который раз сведём решение к первому замечательному пределу:

Ответ:  по определению производной в точке.

Задачу не так трудно решить и «в общем виде» – достаточно заменить   на  или просто в зависимости от способа оформления. В этом случае, понятно, получится не число, а производная функция.

Используя определение, найти производную функции  в точке

Это пример для самостоятельного решения.

Заключительная бонус-задача предназначена, прежде всего, для студентов с углубленным изучением математического анализа, но и всем остальным тоже не помешает:

Будет ли дифференцируема функция  в точке ?

Решение: очевидно, что кусочно-заданная функция непрерывна в точке , но будет ли она там дифференцируема?

Алгоритм решения, причём не только для кусочных функций, таков:

1) Находим левостороннюю производную в данной точке: .

2) Находим правостороннюю производную в данной точке: .

3) Если односторонние производные конечны и совпадают: , то функция дифференцируема в точке  и геометрически здесь существует общая касательная (см. теоретическую часть урока Определение и смысл производной). Если получены два разных значения: (одно из которых может оказаться и бесконечным), то функция не дифференцируема в точке .

Если же обе односторонние производные равны бесконечности (пусть даже разных знаков), то функция не дифференцируема в точке , но там существует бесконечная производная и общая вертикальная касательная к графику (см. Пример 5 урока Уравнение нормали).

! Примечание: таким образом, между вопросами «Будет ли дифференцируема функция в точке?» и «Существует ли производная в точке?» есть разница!

Всё очень просто!

Правосторонний предел и правосторонняя производная в точке:

3) Односторонние производные конечны и различны:

Ответ: функция не дифференцируема в точке .

Ещё легче доказывается книжный случай недифференцируемости модуля  в точке , о котором я в общих чертах уже рассказал на теоретическом уроке о производной.

Некоторые кусочно-заданные функции дифференцируемы и в точках «стыка» графика, например, котопёс  обладает общей производной и общей касательной (ось абсцисс) в точке . Кривой, да дифференцируемый на ! Желающие могут убедиться в этом самостоятельно по образцу только что решённого примера.

На этом забавном гибриде и закончим повествование =)

Решения и ответы:

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 17% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-xr4ys

Термины

Абсцисса — координата определенной точки на оси Х. 

Ордината — координата определенной точки на оси У. 

Производная сложной функции

Сложная функция – это функция не от аргумента \(x\), а от какой-то другой функции: \(f(g(x))\). Например, функция \(\sin(x^2)\) будет сложной функцией: «внешняя» функция синуса берется от «внутренней» функции степени \((x^2)\). Так как под синусом стоит аргумент не \(x\), а \(x^2\), то такая функция будет называться сложной.
Еще примеры сложных функций:

• $$ln(3x^4);$$
  Внешняя функция: натуральный логарифм; Внутренняя функция: \((3x^4)\).
• $$\cos(ln(x));$$
  Внешняя функция: косинус; Внутренняя функция: \((ln(x))\).
• $$e^{2x^2+3};$$
  Внешняя функция: экспонента; Внутренняя функция: \((2x^2+3)\).
• $$(\sin(x))^3;$$
  Внешняя функция: возведение в третью степень; Внутренняя функция: \(\sin(x)\).

Как найти производную? Примеры решений

Как найти производную, как взять производную? На данном уроке мы научимся находить производные функций. Но перед изучением данной страницы я настоятельно рекомендую ознакомиться с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Справочное пособие можно открыть или закачать на странице Математические формулы и таблицы. Также оттуда нам потребуется  Таблица производных, ее лучше распечатать, к ней часто придется обращаться, причем, не только сейчас, но и в оффлайне.

Есть? Приступим. У меня для Вас есть две новости: хорошая и очень хорошая. Хорошая новость состоит в следующем: чтобы научиться находить производные, совсем не обязательно знать и понимать, что такое производная. Более того, определение производной функции, математический, физический, геометрический смысл производной целесообразнее переварить позже, поскольку качественная проработка теории, по моему мнению, требует изучения ряда других тем, а также некоторого практического опыта.
И сейчас наша задача освоить эти самые производные технически. Очень хорошая новость состоит в том, что научиться брать производные не так сложно, существует довольно чёткий алгоритм решения (и объяснения) этого задания, интегралы или пределы, например, освоить труднее.

Советую следующий порядок изучения темы: во-первых, эта статья. Затем нужно прочитать важнейший урок Производная сложной функции. Эти два базовых занятия позволят поднять Ваши навыки с полного нуля. Далее можно будет ознакомиться с более сложными производными в статье Сложные производные. Логарифмическая производная. Если планка окажется слишком высока, то сначала прочитайте вещь Простейшие типовые задачи с производной. Помимо нового материала, на уроке рассмотрены другие, более простые типы производных, и есть прекрасная возможность улучшить свою технику дифференцирования. Кроме того, в контрольных работах почти всегда встречаются задания на нахождение производных функций, которые заданы неявно или параметрически. Такой урок тоже есть: Производные неявных и параметрически заданных функций.

Я попытаюсь в доступной форме, шаг за шагом, научить Вас находить производные функций. Вся информация изложена подробно, простыми словами.

Собственно, сразу рассмотрим пример:

Найти производную функции

Это простейший пример, пожалуйста, найдите его в таблице производных элементарных функций. Теперь посмотрим на решение и проанализируем, что же произошло? А произошла следующая вещь: у нас была функция , которая в результате решения превратилась в функцию .

Говоря совсем просто, для того чтобы найти производную функции, нужно по определенным правилам превратить её в другую функцию. Посмотрите еще раз на таблицу производных – там функции превращаются в другие функции. Единственным исключением является экспоненциальная функция , которая превращается сама в себя. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Обозначения: Производную обозначают  или .

ВНИМАНИЕ, ВАЖНО! Забыть поставить штрих (там, где надо), либо нарисовать лишний штрих (там, где не надо) – ГРУБАЯ ОШИБКА! Функция и её производная – это две разные функции!

Вернемся к нашей таблице производных. Из данной таблицы желательно запомнить наизусть: правила дифференцирования и производные некоторых элементарных функций, особенно:

производную константы:
, где  – постоянное число;

производную степенной функции:
,  в частности: , , .

Зачем запоминать? Данные знания являются элементарными знаниями о производных. И если Вы не сможете ответить преподавателю на вопрос «Чему равна производная числа?», то учеба в ВУЗе может для Вас закончиться (лично знаком с двумя реальными случаями из жизни). Кроме того, это наиболее распространенные формулы, которыми приходится пользоваться практически каждый раз, когда мы сталкиваемся с производными.

В реальности простые табличные примеры – редкость, обычно при нахождении производных сначала используются правила дифференцирования, а затем – таблица производных элементарных функций.

В этой связи переходим к рассмотрению правил дифференцирования:

1) Постоянное число можно (и нужно) вынести за знак производной

, где  – постоянное число (константа)

Найти производную функции

Смотрим в таблицу производных. Производная косинуса там есть, но у нас .

Самое время использовать правило, выносим постоянный множитель за знак производной:

А теперь превращаем наш косинус по таблице:

Ну и результат желательно немного «причесать» – ставим минус на первое место, заодно избавляясь от скобок:

2) Производная суммы равна сумме производных

Найти производную функции

Решаем. Как Вы, наверное, уже заметили, первое действие, которое всегда выполняется при нахождении производной, состоит в том, что мы заключаем в скобки всё выражение и ставим штрих справа вверху:

Применяем второе правило:

Обратите внимание, что для дифференцирования все корни, степени нужно представить в виде , а если они находятся в знаменателе, то переместить их вверх. Как это сделать – рассмотрено в моих методических материалах.

Теперь вспоминаем о первом правиле дифференцирования – постоянные множители (числа) выносим за знак производной:

Обычно в ходе решения эти два правила применяют одновременно (чтобы не переписывать лишний раз длинное выражение).

Все функции, находящиеся под штрихами, являются элементарными табличными функциями, с помощью таблицы осуществляем превращение:

Можно всё оставить в таком виде, так как штрихов больше нет, и производная найдена. Тем не менее, подобные выражения обычно упрощают:

Все степени вида  желательно снова представить в виде корней, степени с отрицательными показателями – сбросить в знаменатель. Хотя этого можно и не делать, ошибкой не будет.

Найти производную функции

Попробуйте решить данный пример самостоятельно (ответ в конце урока).  Желающие также могут воспользоваться интенсивным курсом в pdf-формате, который особенно актуален, если у вас в распоряжении совсем мало времени.

3) Производная произведения функций

Это необычное правило (как, собственно, и другие) следует из определения производной. Но с теорией мы пока повременим – сейчас важнее научиться решать:

Найти производную функции

Здесь у нас произведение двух функций, зависящих от .
Сначала применяем наше странное правило, а затем превращаем функции по таблице производных:

Сложно? Вовсе нет, вполне доступно даже для чайника.

Найти производную функции

В данной функции содержится сумма  и произведение двух функций –  квадратного трехчлена   и логарифма . Со школы мы помним, что умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием.

Здесь всё так же. СНАЧАЛА мы используем правило дифференцирования произведения:

Теперь для скобки  используем два первых правила:

В результате применения правил дифференцирования под штрихами у нас остались только элементарные функции, по таблице производных превращаем их в другие функции:

При определенном опыте нахождения производных, простые производные вроде не обязательно расписывать так подробно. Вообще, они обычно решаются устно, и сразу записывается, что .

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока)

4) Производная частного функций

В потолке открылся люк, не пугайся, это глюк.
А вот это вот суровая действительность:

Найти производную функции

Теперь смотрим на выражение в скобках, как бы его упростить? В данном случае замечаем множитель, который согласно первому правилу целесообразно вынести за знак производной:

Заодно избавляемся от скобок в числителе, которые теперь не нужны.
Вообще говоря, постоянные множители при нахождении производной можно и не выносить, но в этом случае они будут «путаться под ногами», что загромождает и затрудняет решение.

Смотрим на наше выражение в скобках. У нас есть сложение, вычитание и деление. Со школы мы помним, что деление выполняется в первую очередь. И здесь – сначала применяем правило дифференцирования частного:

Таким образом, наша страшная производная свелась к производным двух простых выражений. Применяем первое и второе правило, здесь это сделаем устно, надеюсь, Вы уже немного освоились в производных:

Штрихов больше нет, задание выполнено.

На практике обычно (но не всегда) ответ упрощают «школьными» методами:

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Время от времени встречаются хитрые задачки:

Найти производную функции

Смотрим на данную функцию. Здесь снова дробь. Однако перед тем как использовать правило дифференцирования частного (а его можно использовать), всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли упростить саму дробь, или вообще избавиться от нее?
Дело в том, что формула  достаточно громоздка, и применять ее совсем не хочется.

В данном случае можно почленно поделить числитель на знаменатель.
Преобразуем функцию:

Ну вот, совсем другое дело, теперь дифференцировать просто и приятно:

Найти производную функции

Здесь ситуация похожа, превратим нашу дробь в произведение, для этого поднимем экспоненту в числитель, сменив у показателя знак:

Произведение все-таки дифференцировать проще:

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

5) Производная сложной функции

Данное правило также встречается очень часто. Но о нём рассказать можно очень много, поэтому я создал отдельный урок на тему Производная сложной функции.

Пример 4: . В ходе решения данного примера следует обратить внимание, на тот факт, что  и  – постоянные числа, не важно чему они равны, важно, что это – константы. Поэтому  выносится за знак производной, а .

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 17% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-xr4ys

Фактчек

• Производная функции — это понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Скорость изменения функции равняется отношению приращения функции к приращению аргумента. Нахождение производной называется дифференцированием. 
• Если провести касательную к функции в некоторой функции, то производная в этой точке будет равна тангенсу угла ее наклона. Это геометрический смысл производной. 
• Производная будет положительна на участках возрастания функции и отрицательна на участках убывания. В стационарных точках (точки экстремума и седловые точки) производная будет равна 0. 
• Точка минимума — точка, в которой достигается минимальное значение на заданном отрезке, точка максимума — точка, в которой достигается максимальное значение. 
• Физический (механический) смысл производной состоит в том, что производная от функции равняется скорости движения некоторого тела по траектории x(t) в момент времени t. 

Производная функции в точке

Как найти производную функции в точке? Из формулировки следуют два очевидных пункта этого задания:

1) Необходимо найти производную.

2) Необходимо вычислить значение производной в заданной точке.

Вычислить производную функции  в точке

Справка: Следующие способы обозначения функции эквивалентны:


В некоторых заданиях бывает удобно обозначить функцию «игреком», а в некоторых через «эф от икс».

Сначала находим производную:

Надеюсь, многие уже приноровились находить такие производные устно.

На втором шаге вычислим значение производной в точке :

Небольшой разминочный пример для самостоятельного решения:

Вычислить производную функции  в точке

Полное решение и ответ в конце урока.

Необходимость находить производную в точке возникает в следующих задачах: построение касательной к графику функции (следующий параграф), исследование функции на экстремум, исследование функции на перегиб графика, полное исследование функции и др.

Но рассматриваемое задание встречается в контрольных работах и само по себе. И, как правило, в таких случаях функцию дают достаточно сложную. В этой связи рассмотрим еще два примера.

Вычислить производную функции  в точке .
Сначала найдем производную:

Производная, в принципе, найдена, и можно подставлять требуемое значение . Но что-то делать это не сильно хочется. Выражение очень длинное, да и значение «икс» у нас дробное. Поэтому стараемся максимально упростить нашу производную. В данном случае попробуем привести к общему знаменателю три последних слагаемых:

Ну вот, совсем другое дело. Вычислим значение производной в точке :

В том случае, если Вам не понятно, как найдена производная, вернитесь к первым двум урокам темы. Если возникли трудности (недопонимание) с арктангенсом и его значениями, обязательно изучите методический материал Графики и свойства элементарных функций – самый последний параграф. Потому что арктангенсов на студенческий век ещё хватит.

Вычислить производную функции  в точке .

Это пример для самостоятельного решения.

Физический смысл производной

Предположим, что некоторая точка движется прямолинейно, и ее путь можно описать по закону  х(t). То есть за определенное время t точка пройдет расстояние х. 

Физический (механический) смысл производной состоит в том, что производная от функции равняется скорости движения некоторого тела по траектории x(t) в момент времени t. x'(t) = v

Также вспомним, что скорость тела зависит от его ускорения. Тогда, применяя аналогичные рассуждения, получаем:

v'(t) = a 

Производную можно брать несколько раз. Например, если мы дважды возьмем производную от x(t), то получим ускорение точки:

Как найти скорость и ускорение точки с помощью производной? 

Для этого необходимо воспользоваться физическим смыслом производной: производная от функции равна скорости движения некоторого тела. Производная от скорости равна ускорению тела.

Знак производной

Построим графики двух прямых с разным углом наклона. Пусть в первом случае k = 1, а во втором k = -1. Тогда получаем графики функций у = х и у = -х. 

Заметим, что тангенс угла наклона имеет разные значения в этих случаях: tg(a) = -1 и tg(a) = 1. 

Теперь достроим к касательным графики функций. В первом случае точка, к которой проведена касательная, будет лежать на участке функции, на котором она убывает. Во втором случае точка касания будет лежать на возрастающем участке функции. 

Чтобы определить, убывает или возрастает функция, нужно посмотреть на ее наклон на участке. 

Вспомним американские горки: пусть по функции будет слева направо ехать вагончик. В участках, где вагончик будет подниматься на гору, функция возрастает, а где вагончик съезжает с горки — функция убывает. 

Из этих рассуждений мы можем вывести зависимость знака функции и знака производной. 

1. Функция возрастает в точке тогда и только тогда, когда производная в данной точке положительна. 

В этом случае касательная к функции также будет возрастать. 

f'(x) = tg(a). Если tg(a) > 0, то и f'(x) > 0. 

2. Функция убывает в точке тогда и только тогда, когда производная в данной точке отрицательна. 

В этом случае касательная к функции будет убывать. 

 f'(x) = tg(a). Если tg(a) < 0, то и f'(x) < 0. 

3. Если касательная к функции параллельна оси абсцисс, то производная в этой точке равна 0. 

Поскольку прямая будет параллельна оси абсцисс, то у нее не будет угла наклона, а следовательно: k = tg(a) = 0 = f'(x).

Такие точки называются стационарными, это точки экстремума или седловые точки. 

Подведем итог.
Знак производной определяется по изначальной функции: 

• если функция возрастает, то производная положительна; 
• если функция убывает, то производная отрицательна; 
• в точках, где функция не возрастает и не убывает (стационарные точки), производная равна 0. 

Геометрический смысл производной

Поскольку в этом примере мы взяли достаточно большое расстояние между значениями х, то АВ — секущая. Если мы будем сокращать расстояние между значениями аргумента, то две точки на графике будут ближе друг к другу, а секущая будет стремиться к касательной. 

Следовательно, мы можем описать скорость изменения функции через тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в некоторой точке. 

Из этих рассуждений мы можем вывести геометрический смысл производной:

Если провести касательную к функции в некоторой точке, то производная в этой точке будет равна тангенсу угла ее наклона. 

Рассмотрим касательную отдельно. Это прямая, которая имеет уравнение y = kx+b, где к — коэффициент наклона. 

Тогда мы получаем следующее уравнение:

f'(x) = k = tg(a) 

Для чего нужна производная?

Среди всех тем по алгебре в старших классах, на мой взгляд, самой полезной является тема производных. У производной широкое практическое применение в различных областях науки. Большинство аналитических задач решаются именно с ее помощью.
Производная дает нам возможность оценить, как достичь наибольшей выгоды, обладая текущими средствами.

Например, руководитель завода сможет посчитать, сколько нужно нанять рабочих, чтобы выпуск продукции был максимальным. Вы скажете: что тут думать – чем больше наймешь, тем больше работы они смогут выполнить. Но так, к сожалению, все не работает. Если запихнуть в ограниченное пространство завода тысячи человек, они просто будут мешать друг другу, и производство продукции может прекратиться. Поэтому важно найти баланс: с одной стороны рабочих должно быть столько, чтобы задействовать все ресурсы завода максимально, но при этом, чтобы они не мешали друг другу. Запустить эффективное производство вам поможет знание производной.

Или, например, пробки на дорогах: вы наверное знаете, что светофоры стараются настроить таким образом, чтобы угодить и автомобилистам, и пешеходам. Если поставить зеленый сигнал на светофорах для водителей слишком длинным, то пробки уменьшатся, но пешеходы будут очень недовольны. А если слишком короткий, то вся улица застрянет в пробках.

В экономике: как фирме понять, какую цену выставить на свою продукцию? Если слишком высокую, никто не будет покупать. Если низкая, то все быстро раскупят, а фирма ничего не заработает. Идеальная цена та, по которой фирма сможет продать всю свою продукцию по по наибольшей цене. Но как заранее узнать эту цену, если фирма только-только открылась?

Оптимизировать эти и множество других задач в окружающем мире помогает именно производная.

Отметим две точки на графике: \(A\) и \(B\). У точки \(A\) будут координаты по оси абсцисс (ось \(x\)): \(x_A\), по оси ординат (ось \(y\)): \(f(x_A)\), а у точки \(B\): \(x_B\) и \(f(x_B)\).
Введем новое обозначение: \(\Delta.\)

Знак треугольника называется «дельта», и он обозначает изменение некоторой величины. Изменение координаты \(x\) при переходе от точки \(A\) к точке \(B\) будет:
$$\Delta x=x_B-x_A;$$
А изменение координаты \(y\) по оси ординат (значения функции \(f(x)\)):
$$\Delta f(x)=f(x_B)-f(x_A);$$

Этот факт виден и невооруженным взглядом по графику. График на \(AB\) круче, чем на \(CD\).

Если на графике (Рис.2) взять точки \(M\) и \(N\), то значение функции в точке \(M\) будет больше значения функции в точке \(N\), так как функция на промежутке \(MN\) убывает:
$$f(x_M) > f(x_N);$$

Для идеальных расчетов скорости изменения функции \(K\) нужно брать \(\Delta x\) очень-очень маленьким: точки должны быть очень близки друг к другу. Математики, чтобы все было точно, говорят, что \(\Delta x\) должно стремиться к нулю:
$$\Delta x \to 0;$$
Это означает, что \(\Delta x\) бесконечно мало, но не равно нулю. Просто оно очень маленькое. Такую маленькую разность координат \(x\) двух точек называют приращением аргумента функции. Поэтому в определении производной в учебнике есть это странное слово.

Так как \(\Delta x\) между бесконечно близкими точками очень мало, то и изменение значения функции тоже будет очень маленьким:
$$\Delta f(x) \to 0;$$
Величину \(\Delta f(x)\) называют приращением функции.

Вот мы и подобрались к определению производной:

Исходя из приведенных выше выводов про скорость изменения графика функции, можно сделать вывод, что производная функции положительна, когда функция возрастает (ее график идет вверх), и отрицательна, когда функция убывает (график идет вниз). Это очень важный вывод, который нам пригодится при решении большого числа задач на производные.

У внимательного читателя также должен возникнуть вопрос, а может ли производная равняться нулю? Да, может. Производная, согласно определению, это скорость изменения функции. Если скорость на промежутке \(\Delta x\) равна нулю, то это означает, что функция не растет и не падает, а значит функция не должна изменяться. То есть значения функции будут одинаковы на бесконечно малом промежутке.

Правила дифференцирования

С полной уверенностью можем сказать, что вам  встречались сложные функции. Даже намного сложнее, чем те, которые приведены в таблицах. Там и сумма, и произведение, и формула в формуле. Одним словом: ужас! Как брать производную, если перед функцией стоит коэффициент, или в функцию включено несколько разных выражений? На этот случай существуют правила дифференцирования. 

1. Коэффициент можно вынести за знак производной. 

(k * f(x))’ = k * (f(x))’

Например, необходимо взять производную у функции f(x) = 6sin(x). Тогда, пользуясь правилом дифференцирования и таблицей, получаем ответ 6cos(x). 

2. Производная суммы (разности) равняется сумме (разности) производных. 

\((f(x) \pm g(x))’ = f'(x) \pm g'(x)\)

3. Производная произведения. 

(f(x) * g(x))’ = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)

Для примера возьмем производную функции f(x) = x² * ln(x)

4. Производная частного. 

5. Производная сложной функции. 

Сложная функция — это функция, внутри которой есть другая функция. 

Чтобы найти производную сложной функции, необходимо найти производную “внутренней” функции и умножить ее на производную “внешней” функции. 

(f(g(x))’ = g'(x) * f'(g(x))