Комплексные числа и их применение

Комплексные числа и их применение Реферат

Реферат — комплексные числа и их свойства

6.Комплексные числа и координатная плоскость.

ПрипереходекгеометрическоймоделимножестваСкомплексныхчисел

требуется,какминимум,ещёодноизмерение:ведьвсеточкипрямойуже

«заняты»действительнымичислами.Оказывается,геометрическоймоделью

множества C являетсякоординатнаяплоскость.Каждомукомплексномучислу

можноестественнымобразомпоставитьвсоответствиеточкукоординатной

плоскости.Тогдалюбомукомплексномучислусоответствуетединственная

точка на координатной плоскости, и наоборот, каждая точка плоскости

является «изображением» единственного комплексного числа.

В случаес комплексными числами,в соответствие счисловой прямой,

отождествлениесточкамикоординатнойплоскости.Например,фраза:«число

z

1

лежитвпервойкоординатнойчетверти»простоозначает,чтои

действительнаяимнимаячастикомплексногочисла

положительны.Слова«z2лежитнаосиординат»являютсяпереводомна

геометрический языктого факта,что числоz

2

чисто мнимое, а «…комплексное

число z

3

расположенывышебиссектрисы1и3координатныхчетвертей…»

показывают,чтомыимеемделоскомплекснымчисло,укоторого

мнимаячастьбольшедействительнойчасти.

Иногдаприведенныеправиладлясложения,вычитаниякомплексныхчисели

умножениякомплексныхчиселнадействительныечисламобъединяюттаким

образом:вомножествокомплексныхчиселоперациисложения,вычитанияи

умножениявычитанияиумножениянадействительныечислапроизводятся

покоординатно.Подчеркнемчтосамаэтаформулировкапредполагает

операцииуженессамимикомплекснымичислами,асихгеометрическими,

векторными представлениями.

у

х

Z

3

Z

1

Z

2

y=x

§

= 0, т.е. х

2

|х| = 0. Но это возможно только при х = 0 (ведь х – действительное число.)

Итак, данное уравнение имеет три корня: z

1

= 0, z

2

= i, z

3

= -i.

7)Задачи,связанныесрешениемразличныхуравнений,

содержащих комплексные переменные.

МножествоЕсостоитизвсехкомплексныхчиселz,таких,что,

.Найдитевсетакиечислаz

о

,чтодлялюбыхz

1

иz

2

изЕ

Решение.

2

2

= (х 4)

2

(у-8)

2

2

– х

2

– 8х – 16 9у

2

– у

2

16у – 64 =0

2

– 8х – 16 8у

2

16у – 64 =0

х

2

– х – 2 у

2

2у – 8 =0

(х – 0,5)

2

(у 1)

2

= 11,25

Окружность с центром (0,5; –1)

Ответ: z

о

= 0,5 – i

8). Среди всех комплексных чисел z, таких, что, есть ровно одно

число, аргумент которого равен . Найдите это число.

Решение.

Т.к.аргументравен,тоегодействительнаяимнимаячасти

противоположны.Причёмдействительнаячастьсознаком“-”,амнимая“ ”,

тогда z = – x xi, x > 0

(2 – x)

2

(x – 3)

2

= a

2

4 – 4x x

2

x

2

– 6x 9 = a

2

2(x – 2,5)

2

– 12,5 13 = а

2

2(x – 2,5)

2

= а

2

– 0,5

(x – 2,5)

2

= 0,5(а

2

– 0,5)

Поусловиюровноодночислоудовлетворяетэтомусоотношению.Значит,

уравнениедолжноиметькратныйкорень,чтовозможнотольколишьприa

(а – число неотрицательное).

x = 5/2a = 2,5

Ответ: z = – 2,5 2,5i

Реферат: комплексные числа —

Комплексные числа

[S1]ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Комплексные числа были введены в математику для того, чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему квадратный корень из отрицательного числа. В XVI в. Кардано нашел формулу для решения кубического уравнения. Оказалось, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардано встречается квадратный корень из отрицательного числа. Поэтому квадратные корни из отрицательных чисел стали употреблять в математике и назвали их мнимыми числами – тем самым они как бы приобрели право на нелегальное существование. Полные гражданские права мнимым числам дал Гаусс, который назвал их комплексными числами, дал геометрическую интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень.

1.ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Решение многих задач математики, физики сводится к решению алгебраических уравнений. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике. Стремление сделать уравнения разрешимыми – одна из главных причин расширения понятия числа.

Так для решимости уравнений вида X A=B положительных чисел недостаточно. Например, уравнение X 5=2 не имеет положительных корней. Поэтому приходится вводить отрицательные числа и нуль.

На множестве рациональных чисел разрешимы алгебраические уравнения первой степени, т.е. уравнения вида A·X B=0 (AКомплексные числа и их применение0). Однако алгебраические уравнения степени выше первой могут не иметь рациональных корней. Например, такими являются уравнения X2
=2, X3
=5. Необходимость решения таких уравнений явилось одной из причин введения иррациональных чисел. Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.

Однако и действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое алгебраическое уравнение. Например, квадратное уравнение с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет действительных корней. Простейшее из них – уравнение X2
1=0. Поэтому приходится расширять множество действительных чисел, добавляя к нему новые числа. Эти новые числа вместе с действительными числами образуют множество, которое называют множеством комплексных чисел.

Выясним предварительно, какой вид должны иметь комплексные числа. Будем считать, что на множестве комплексных чисел уравнение X2
1=0 имеет корень. Обозначим этот корень буквой i
Таким образом, i
– это комплексное число, такое, что i2
= –1.

Как и для действительных чисел, нужно ввести операции сложения и умножения комплексных чисел так, чтобы сумма и произведение их были бы комплексными числами. Тогда, в частности, для любых действительных чисел A и B выражение A B·i
можно считать записью комплексного числа в общем виде. Название “комплексное” происходит от слова “составное”: по виду выражения A B·i.

Комплексными числами
называют выражения вида A B·i
, где A и B –действительные числа, а i
– некоторый символ, такой что i2
= –1, и обозначают буквой Z.

Рефераты:  Реферат: Требования пожарной безопасности -

Число A называется действительной частью комплексного числа A B·i,
а число B – его мнимой частью. Число i
называется мнимой единицей.

Например, действительная часть комплексного числа 2 3·i
равна 2, а мнимая равна 3.

Для строгого определения комплексного числа нужно ввести для этих чисел понятие равенства.

Два комплексных числа A B·i
и C D·i
называются равными
тогда и только тогда, когда A=C и B=D, т.е. когда равны их действительные и мнимые части.

2.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число A B·i
можно рассматривать как пару действительных чисел(A;B). Поэтому естественно комплексное число изображать точками плоскости. В прямоугольной системе координат комплексное число Z=A B·i
изображается точкой плоскости с координатами (A;B), и эта точка обозначается той же буквой Z (рисунок 1). Очевидно, что получаемое при этом соответствие является взаимно однозначным. Оно дает возможность интерпретировать комплексные числа как точки плоскости на которой выбрана система координат. Такая координатная плоскость называется комплексной плоскостью
. Ось абсцисс называется действительной осью
, т.к. на ней расположены точки соответствующие действительным числам. Ось ординат называется мнимой осью
– на ней лежат точки, соответствующие мнимым комплексным числам.

Не менее важной и удобной является интерпретация комплексного числа A B·i
как вектора, т.е. вектора с началом в точке

O(0;0) и с концом в точке М(A;B) (рисунок 2).

Соответствие установленное между множеством комплексных чисел, с одной стороны, и множествами точек или векторов плоскости, с другой, позволяет комплексные числа точками или векторами.

3.МОДУЛЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Пусть дано комплексное число Z=A B·i
. Сопряженным
с Z
называется комплексное число A – B·i
, которое обозначается Комплексные числа и их применение, т.е.

Комплексные числа и их применение=Комплексные числа и их применение=A – B·i
.

Отметим, что Комплексные числа и их применение= A B·i
, поэтому для любого комплексного числа Z имеет место равенство Комплексные числа и их применение=Z.

Модулем
комплексного числа Z=A B·i
называется числоКомплексные числа и их применение и обозначается Комплексные числа и их применение, т.е.

Комплексные числа и их применение=Комплексные числа и их применение=Комплексные числа и их применение (1)

Из формулы (1) следует, что Комплексные числа и их применение для любого комплексного числа Z, причем Комплексные числа и их применение=0 тогда и только тогда, когда Z=0, т.е. когда A=0 и B=0. Докажем, что для любого комплексного числа Z справедливы формулы:

Комплексные числа и их применение

4.СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Суммой
двух комплексных чисел A B·i
и C D·i
называется комплексное число (A C) (
B D)·i
, т.е. (A B·i) (C D·i)=(A C) (B D)·i

Произведением
двух комплексных чисел A B·i
и C D·i
называется комплексное число (A·C – B·D) (A·D B·C) ·i
, т.е.

(A B·i)·(C D·i)=(A·CB·D) (A·D B·C)·i

Из формул вытекает, что сложение и умножение можно выполнять по правилам действий с многочленами, считая i2
= –1. Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами действительных чисел. Основные свойства:

Переместительное свойство:

Z1
Z2
=Z2
Z1
, Z1
·Z2
=Z2
·Z1

Сочетательное свойство:

(Z1
Z2
) Z3
=Z1
(Z2
Z3
), (Z1
·Z2
)·Z3
=Z1
·(Z2
·Z3
)

Распределительное свойство:

Z1
·(Z2
Z3
)=Z1
·Z2
Z1
·Z3

Геометрическое изображение суммы комплексных чисел

Согласно определению сложения двух комплексных чисел, действительная часть суммы равна сумме действительных частей слагаемых, мнимая часть суммы равна сумме мнимых частей слагаемых. Точно также определяются координаты суммы векторов:

Сумма двух векторов с координатами (A1
;B1
) и (A2
;B2
) есть вектор с координатами (A1
A2
;B1
B2
). Поэтому, чтобы найти вектор, соответствующий сумме комплексных чисел Z1
и Z2
нужно сложить векторы, соответствующие комплексным числам Z1
и Z2
.

Пример 1:
Найти сумму и произведение комплексных чисел Z1
=2 – 3×i
и

1 Способ:

Z2
= –7 8×i
.

Z1
Z2
= 2 – 7 (–3 8)×i = –
5 5×i

Z1
×Z2
= (2 – 3×i
)×(–7 8×i
) = –14 16×i
21×i
24 = 10 37×i

2 Способ:

5.ВЫЧИТАНИЕ И ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Вычитание комплексных чисел – это операция, обратная сложению: для любых комплексных чисел Z1
и Z2
существует, и притом только одно, число Z, такое, что:

Z Z2
=Z1

Если к обеим частям равенства прибавить (–Z2
) противоположное числу Z2
:

Z Z2
(–Z2
)=Z1
(–Z2
), откуда

Z = Z1
– Z2

Число Z=Z1
Z2
называют разностью чисел
Z1
и Z2
.

Деление вводится как операция, обратная умножению:

Z×Z2
=Z1

Разделив обе части на Z2
получим:

Z=Комплексные числа и их применение

Из этого уравнения видно, что Z2Комплексные числа и их применение

Геометрическое изображение разности комплексных чисел

Разности Z2
– Z1
комплексных чисел Z1
и Z2
, соответствует разность векторов, соответствующих числам Z1
и Z2
. Модуль Комплексные числа и их применение разности двух комплексных чисел Z2
и Z1
по определению модуля есть длина вектора Z2
– Z1
. Построим этот вектор, как сумму векторов Z2
и (–Z1
) (рисунок 4). Таким образом, модуль разности двух комплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этим числам.

Это важное геометрическое истолкование модуля разности двух комплексных чисел позволяет с успехом использовать простые геометрические факты.

Пример 2:
Даны комплексные числа Z1
= 4 5·i
и Z2
= 3 4·i
. Найти разность Z2
– Z1
и частное Комплексные числа и их применение

Z2
– Z1
= (3 4·i
) – (4 5·i
) = –1 – i

Комплексные числа и их применение=Комплексные числа и их применение=Комплексные числа и их применение

6.ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Запись комплексного числа Z в виде A B·i
называется алгебраической формой
комплексного числа. Помимо алгебраической формы используются и другие формы записи комплексных чисел.

Рассмотрим тригонометрическую форму
записи комплексного числа. Действительная и мнимая части комплексного числа Z=A B·i
выражаются через его модуль Комплексные числа и их применение= r и аргумент j следующим образом:

A= r·cosj ; B= r·sinj.

Число Z можно записать так:

Z= r·cosj i
·Комплексные числа и их применение·sinj = r·(cosj i
·sinj)

Z = r·(cosj i
·sinj) (2)

Эта запись называется тригонометрической формой комплексного числа.

r =Комплексные числа и их применение– модуль комплексного числа.

Число j называют аргументом комплексного числа.

Аргументом комплексного числа ZКомплексные числа и их применение0 называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором Z, причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если производится по часовой стрелке.

Рефераты:  Реферат Территориально-пространственное развитие 📝 города... Основы терр

Для числа Z=0 аргумент не определяется, и только в этом случае число задается только своим модулем.

Как уже говорилось выше Комплексные числа и их применение= r =Комплексные числа и их применение, равенство (2) можно записать в виде

A B·i
=Комплексные числа и их применение·cosj i
·Комплексные числа и их применение·sinj,
откуда приравнивая действительные и мнимые части, получим:

cosj
=Комплексные числа и их применение, sinj
=Комплексные числа и их применение (3)

Если sinj
поделить на cosj
получим:

tgj
=Комплексные числа и их применение
(4)

Эту формулу удобней использовать для нахождения аргумента j
, чем формулы (3). Однако не все значения j, удовлетворяющие равенству (4), являются аргументами числа A B·i.
Поэтому при нахождении аргумента нужно учесть, в какой четверти расположена точка A B·i.

7.СВОЙСТВА МОДУЛЯ И АРГУМЕНТА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

С помощью тригонометрической формы удобно находить произведение и частное комплексных чисел.

Пусть Z1
= r1
·(cosj1 i·sinj1),
Z2
= r2
·(cosj2 i·sinj2).
Тогда:

Z1
Z2
= r1
·r2[cosj1·cosj2 – sinj1·sinj2 i·( sinj1·cosj2 cosj1·sinj2)]=

=
r1
·r2[cos(j1 j2) i·sin(j1 j2)]
.

Таким образом, произведение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле:

Z1
Z2
= r1
·r2[cos(j1 j2) i·sin(j1 j2)]
(5)

Из формулы (5) следует, чтопри умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Если Z1
=Z2
то получим:

Z2
=[r·(cosj i·sinj)]2
=

r2
·(cos2j i·sin2j)

Z3
=Z2
·Z= r2
·(cos2j i·sin2j)·r·(cosj i·sinj)=

=
r3
·(cos3j i·sin3j)

Вообще для любого комплексного числа Z
= r·( cosj i·sinj)Комплексные числа и их применение
и любого натурального числа n справедлива формула:

Zn=[ r·(cosj i·sinj)]n
= rn
·( cosnj i·sinnj),
(6)

которую называют формулой Муавра.

Частное двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле:

Комплексные числа и их применениеКомплексные числа и их применениеКомплексные числа и их применение[ cos(j1j2) i·sin(j1j2)].
(7)

Комплексные числа и их применение= Комплексные числа и их применение= cos(j2) i·sin(j2)

Используя формулу 5

Комплексные числа и их применение(cosj1 i·sinj1)×( cos(j2) i·sin(j2)) =

cos(j1j2) i·sin(j1j2).

Пример 3:

Z3
= –8

Число –8 запишем в тригонометрической форме

8 = 8·( cos(p 2pk) i
·sin(p 2pk)), kÎZ

Пусть Z = r×(cosj i
×sinj), тогда данное уравнение запишется в виде:

r3
×(cos3j i
×sin3j) = 8·( cos(p 2pk) i
·sin(p 2pk)), kÎZ

Тогда 3j =p 2pk, kÎZ

j
=Комплексные числа и их применение,
kÎZ

r3
= 8

r = 2

Следовательно:

Z = 2·( cos(Комплексные числа и их применение) i
·sin(Комплексные числа и их применение)), kÎZ

k = 0,1,2…

k = 0

Z1
= 2·( cosКомплексные числа и их применение i
·sinКомплексные числа и их применение) = 2·(Комплексные числа и их применениеi
) = 1 Комплексные числа и их применение×i

k = 1

Z2
= 2·( cos(Комплексные числа и их применение Комплексные числа и их применение) i
·sin(Комплексные числа и их применение Комплексные числа и их применение)) = 2·( cosp i
·sinp) = –2

k = 2

Z3
= 2·( cos(Комплексные числа и их применение Комплексные числа и их применение) i
·sin(Комплексные числа и их применение Комплексные числа и их применение)) = 2·( cosКомплексные числа и их применение i
·sinКомплексные числа и их применение) = 1–Комплексные числа и их применение×i

Ответ: Z13
= Комплексные числа и их применение; Z2
= –2

Пример 4:

Z4
= 1

Число 1 запишем в тригонометрической форме

1 = 1·( cos(2pk) i
·sin(2pk)), kÎZ

Пусть Z = r×(cosj i
×sinj), тогда данное уравнение запишется в виде:

r4
×(cos4j i
×sin4j) = cos(2pk) i
·sin(2pk)), kÎZ

4j = 2pk, kÎZ

j = Комплексные числа и их применение,
kÎZ

r4
= 1

r = 1

Z = cos Комплексные числа и их применение i
×sinКомплексные числа и их применение

k = 0,1,2,3…

k = 0

Z1
= cos0 i
×sin0 = 1 0 = 1

k = 1

Z2
= cos Комплексные числа и их применение i
×sinКомплексные числа и их применение = 0 i
= i

k = 2

Z3
= cosp i
·sinp = –1 0 = –1

k = 3

Z4
= cos Комплексные числа и их применение i
×sinКомплексные числа и их применение

Ответ: Z13
= Комплексные числа и их применение1

Z24
= Комплексные числа и их применениеi

8.ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ

Из формулы 6 видно, что возведение комплексного числа r·( cosj i
·sinj) в целую положительную степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени.

[ r·(cosj i
·sinj)]n
= rn
·( cos nj i
·sin nj)

Число Z
называется корнем степениn
из числа w ( обозначается Комплексные числа и их применение), если Zn
=w.

Из данного определения вытекает, что каждое решение уравнения Zn
=
w
является корнем степени n
из числа w. Другими словами, для того, чтобы извлечь корень степени n
из числа w, достаточно решить уравнение Zn
=
w.
Если w=0, то при любом n уравнение Zn
=
w
имеет только одно решение Z
= 0.
Если wКомплексные числа и их применение0, то и ZКомплексные числа и их применение
, а, следовательно, и Z и w можно представить в тригонометрической форме

Z = r·(cosj i
·sinj), w = p·(cosy i
·siny)

Уравнение Zn
= w примет вид:

rn
·( cos nj i
·sin nj) = p·( cosy i
·siny)

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются слагаемыми, кратными 2p. Следовательно, rn
= p и nj = y 2pk,
где kÎZ или r = Комплексные числа и их применение и j = Комплексные числа и их применение, где kÎZ.

Итак, все решения могут быть записаны следующим образом:

ZK
=Комплексные числа и их применение[cos(Комплексные числа и их применение) i
·sin(Комплексные числа и их применение)], kÎZ (8)

Формулу 8 называют второй формулой Муавра
.

Таким образом, если wКомплексные числа и их применение0, то существует ровно n корней степени n из числа w: все они содержатся в формуле 8. Все корни степени n
из числа w имеют один и тот же модуль Комплексные числа и их применение, но разные аргументы, отличающиеся слагаемым, кратным числу Комплексные числа и их применение. Отсюда следует, что комплексные числа, являющиеся корнями степени n из комплексного числа w, соответствует точкам комплексной плоскости, расположенным в вершинах правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса Комплексные числа и их применение с центром в точке Z = 0.

Символ Комплексные числа и их применение не имеет однозначного смысла. Поэтому, употребляя его, следует четко представлять себе, что под этим символом подразумевается. Например, используя запись Комплексные числа и их применение, следует подумать о том, чтобы было ясно, понимается под этим символом пара комплексных чисел i
и –i
, или одно, то какое именно.

Уравнения высших степеней

Формула 8 определяет все корни двучленного уравнения степени n. Неизмеримо сложнее обстоит дело в случае общего алгебраического уравнения степени n:

an×Zn an–1×Zn–1 ... a1×Z1 a=
(9)

Где an,…,
a
– заданные комплексные числа.

В курсе высшей математики доказывается теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайней мере один корень. Эта теорема была доказана немецким математиком Карлом Гауссом в 1779 году.

Опираясь на теорему Гаусса, можно доказать, что левая часть уравнения 9 всегда может быть представлена в виде произведения:

Комплексные числа и их применение,

Где Z1
, Z2
,…, ZK
– некоторые различные комплексные числа,

а a1
,a2
,…,ak
– натуральные числа, причем:

a1
a2
… ak
= n

Отсюда следует, что числа Z1
, Z2
,…, ZK
являются корнями уравнения 9. При этом говорят, что Z1
является корнем кратности a1,
Z2
– корнем кратности a2
и так далее.

Если условиться считать корень уравнения столько раз, какова его кратность, то можно сформулировать теорему: каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно n корней.

Рефераты:  РЕФЕРАТ «Развитие творческих способностей детей средствами экспериментальной деятельности» | Материал на тему: | Образовательная социальная сеть

Теорема Гаусса и только что сформулированная теорема дают решения о существовании корней, но ничего не говорят о том, как найти эти корни. Если корни первой и второй степени могут быть легко найдены, то для уравнений третей и четвертой степеней формулы громоздки, а для уравнений степени выше четвертой таких формул вообще не существует. Отсутствие общего метода не мешает отыскивать все корни уравнения. Для решения уравнения с целыми коэффициентами часто оказывается полезной следующая теорема: целые корни любого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена.

Докажем эту теорему:

Пусть Z = k – целый корень уравнения

an
×Zn
an–1
×Zn–1
… a1
×Z1
a
= 0

с целыми коэффициентами. Тогда

an
×kn
an–1
×kn–1
… a1
×k1
a
= 0

a
= – k(an
×kn–1
an–1
×kn–2
… a1
)

Число в скобках, при сделанных предположениях, очевидно, целое, значит k – делитель числа a.

9.КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ С КОМПЛЕКСНЫМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Рассмотрим уравнение Z2
= a, где a – заданное действительное число, Z – неизвестное.

Это уравнение:

имеет один корень, если a = 0.

имеет два действительных корня Z1,2=Комплексные числа и их применение,
если a > 0.

не имеет действительных корней, если a < 0. Но имеет два комплексных корня.

Запишем число a в виде a = (– 1)×(– a) = i2
×Комплексные числа и их применение=i2
×(Комплексные числа и их применение)2
. Тогда уравнение Z2
= a запишется в виде: Z2
i2
×(Комплексные числа и их применение)2
= 0

т.е. (Z – i
×Комплексные числа и их применение)(Z i
×Комплексные числа и их применение) = 0

Следовательно, уравнение имеет два корня: Z1,2 = Комплексные числа и их применение i×Комплексные числа и их применение

Введенное понятие корня из отрицательного числа позволяет записать корни любого квадратного уравнения с действительными коэффициентами

a×Z2
b×Z c = 0

По известной общей формуле

Z1,2
=Комплексные числа и их применение (10)

Итак, при любых действительных a(aКомплексные числа и их применение0), b, c корни уравнения можно находить по формуле 10. При это если дискриминант, т.е. подкоренное выражение в формуле 10

D = b2
– 4×a×c

положителен , то уравнение a×Z2
b×Z c = 0 два действительных различных корня. Если D = 0, то уравнение a×Z2
b×Z c = 0 имеет один корень. Если D < 0, то уравнение a×Z2
b×Z c = 0 имеет два различных комплексных корня.

Комплексные корни квадратного уравнения обладают такими же свойствами, как и известные нам свойства действительных корней.

Сформулируем основные из них:

Пусть Z1
,Z2
– корни квадратного уравнения a×Z2
b×Z c = 0, aКомплексные числа и их применение0. Тогда справедливы свойства:

Теорема Виета: Z1
Z2
= –Комплексные числа и их применение

Z1
×Z2
= Комплексные числа и их применение

2. При всех комплексных Z справедлива формула

a×Z2
b×Z c = a×(Z – Z1
)×(Z – Z2
)

Пример 5:

Z2
– 6·Z 10 = 0

Д = b2
– 4·a·c

Д = 62
– 4·10 = – 4

– 4 = i2
·4

Z1,2
= Комплексные числа и их применение

Z1,2
=Комплексные числа и их применение

Ответ: Z1
= Z2
= 3 i

Пример 6:

3·Z2
2·Z 1 = 0

Д = b2
– 4·a·c

Д = 4 – 12 = – 8

Д = –1·8 = 8·i2

Z1,2
= Комплексные числа и их применение = Комплексные числа и их применение

Z1,2
=Комплексные числа и их применение

Z1
= – (Комплексные числа и их применение)

Z2
= –Комплексные числа и их применение

Ответ: Z1
= Z2
= –Комплексные числа и их применение

Пример 7:

Z4
– 8·Z2
– 9 = 0

Z2
= t

t2
– 8·t – 9 = 0

Д = b2
– 4·a·c = 64 36 = 100

t1,2
= Комплексные числа и их применение= Комплексные числа и их применение= 4Комплексные числа и их применение

t1
= 9 t2
= – 1

Z2
= 9 Z2
= – 1

Z1,2
=Комплексные числа и их применение3 Z = Комплексные числа и их применение

Z3,4
=Комплексные числа и их применениеi

Ответ: Z1,2
=Комплексные числа и их применение3, Z3,4
=Комплексные числа и их применениеi

Пример 8:

Z4
2·Z2
– 15 = 0

Z2
= t

t2
2·t – 15 = 0

Д = b2
– 4·a·c = 4 60 = 64

t1,2
= Комплексные числа и их применение= Комплексные числа и их применение= –1Комплексные числа и их применение4

t1
= – 5 t2
= 3

Z2
= – 5 Z2
= 3

Z2
= – 1·5 Z3,4
=Комплексные числа и их применениеКомплексные числа и их применение

Z2
= i2
·5

Z1,2
=Комплексные числа и их применениеiКомплексные числа и их применение

Ответ: Z1,2
=Комплексные числа и их применениеiКомплексные числа и их применение
, Z3,4
=Комплексные числа и их применениеКомплексные числа и их применение

Пример 9:

Z2
= 24 – 10·i

Пусть Z = X Y·i

(X Y·i
)2
= X2
2·X·Y·i
–Y2

X2
2·X·Y·i
– Y2
= 24 – 10·i

(X2
– Y2
) 2·X·Y·i
= 24 – 10·i

Y = – Комплексные числа и их применение

X2
Комплексные числа и их применение= 24

Комплексные числа и их применение умножим на X2Комплексные числа и их применение

X4
– 24·X2
– 25 = 0

X2
= t

t2
– 24·t – 25 = 0

t1
·t2
= – 25

t1
t2
= 24

t1
= 25 t2
= – 1

X2
= 25 X2
= – 1 — нет решений

X1,2
= Комплексные числа и их применение5

X1
= 5 X2
= – 5

Y1
= – Комплексные числа и их применение Y2
= Комплексные числа и их применение

Y1
= – 1 Y2
= 1

Тогда:

Z1,2
=Комплексные числа и их применение(5 – i
)

Ответ: Z1,2
=Комплексные числа и их применение(5 – i
)

ЗАДАЧИ:

1)

X2
3·X·Y Y2
= 6

X Y = 2

( 2 – Y)2
3·( 2 – Y)·Y Y2
= 6

4 – 4·Y Y2
6·Y – 3·Y2
Y2
= 6

–Y2
2Y – 2 = 0 /–1

Y2
– 2Y 2 = 0

Д = b2
– 4·a·c = 4 – 8 = – 4

– 4 = – 1·4 = 4· i2

Y1,2
= Комплексные числа и их применение = Комплексные числа и их применение = 1Комплексные числа и их применение i

Y1
= 1– i
Y2
= 1 i

X1
= 1 i
X2
= 1– i

Ответ: {1 i
; 1– i
}

{1– i
; 1 i
}

2)

— Возведем в квадрат

— Возведем в куб

w10
×Комплексные числа и их применение12
= 1

w10
×Комплексные числа и их применение10
×Комплексные числа и их применение2
= 1

(w×Комплексные числа и их применение)10
×Комплексные числа и их применение2
= 1

(Комплексные числа и их применение)10
×Комплексные числа и их применение2
= 1

т.к. w = A B×i

Комплексные числа и их применение = A – B×i

Комплексные числа и их применение = (A B×i
)·( A – B×i
) = A2
– (B×i
)2
= A2
B2
= Комплексные числа и их применение2
= w×Комплексные числа и их применение

т.е. Комплексные числа и их применение20
·Комплексные числа и их применение2
= 1

Возьмем модуль от обоих частей последнего уравнения:

Комплексные числа и их применение20
·Комплексные числа и их применение2
= 1

Комплексные числа и их применение22
= 1

т.е.

Комплексные числа и их применение = 1

Тогда из уравнения получим

Комплексные числа и их применение2
= 1

т.е.

Комплексные числа и их применение = Комплексные числа и их применение1

w1
= 1 w2
= –1

Подставим эти значения в первое уравнение данной системы и найдем численное значение Z

1) w1
= 1

Z6
= 1

1 = 1·( cos(2pk) i
·sin(2pk)), kÎZ

Z = r×(cosj i
×sinj)

r6
×(cos6j i
×sin6j) = cos(2pk) i
·sin(2pk), kÎZ

r6
= 1 6j = 2pk

r = 1 j = Комплексные числа и их применение, kÎZ

Z = cosКомплексные числа и их применение i
·sinКомплексные числа и их применение, kÎZ

k = 0,1,2…

k = 0

Z1
= cos0 i
×sin0 = 1 0 = 1

Z1
= 1

k = 1

Z2
= cosКомплексные числа и их применение i
·sinКомплексные числа и их применение = Комплексные числа и их применениеi
= Комплексные числа и их применениеi

Z2
=Комплексные числа и их применениеi

k = 2

Z3
= cosКомплексные числа и их применение i
·sinКомплексные числа и их применение = –Комплексные числа и их применениеi

Z3
= –Комплексные числа и их применениеi

k = 3

Z4
= cosp i
·sinp = –1 0 = –1

Z4
= –1

k = 4

Z5
= cosКомплексные числа и их применение i
·sinКомплексные числа и их применение = –Комплексные числа и их применениеi

Z5
= –Комплексные числа и их применениеi

k = 5

Z6
= cosКомплексные числа и их применение i
·sinКомплексные числа и их применение = Комплексные числа и их применениеi

Z6
= Комплексные числа и их применениеi

Ответ: Z1
= 1, Z2
=Комплексные числа и их применениеi
, Z3
= –Комплексные числа и их применениеi
, Z4
= –1, Z5
= –Комплексные числа и их применениеi
, Z6
= Комплексные числа и их применениеi

2)
w2
= –1

Z6
= –1

–1 = 1·( cos(p 2pk) i
·sin(p 2pk)), kÎZ

Пусть Z = r×(cosj i
×sinj), тогда данное уравнение запишется в виде:

r6
×(cos6j i
×sin6j) = cos(p 2pk) i
·sin(p 2pk), kÎZ

r6
= 1 6j = p 2pk

r = 1 j = Комплексные числа и их применение, kÎZ

Z = cos(Комплексные числа и их применение) i
·sin(Комплексные числа и их применение), kÎZ

k = 0,1,2…

k = 0

Z1
= cosКомплексные числа и их применение i
·sinКомплексные числа и их применение = Комплексные числа и их применениеi

Z1 =Комплексные числа и их применениеi

k = 1

Z2
= cos(Комплексные числа и их применение) i
·sin(Комплексные числа и их применение) = 0 i
= i

Z2
=i

k = 2

Z3
= cos(Комплексные числа и их применение) i
·sin(Комплексные числа и их применение) = –Комплексные числа и их применениеi

Z3
= –Комплексные числа и их применениеi

k = 3

Z4
= cos(Комплексные числа и их применение) i
·sin(Комплексные числа и их применение) = –Комплексные числа и их применениеi

Z4
= –Комплексные числа и их применениеi

k = 4

Z5
= cos(Комплексные числа и их применение) i
·sin(Комплексные числа и их применение) = 0 – i
= – i

Z5
= – i

k = 5

Z6
= cos(Комплексные числа и их применение) i
·sin(Комплексные числа и их применение) = Комплексные числа и их применениеi

Z6
=Комплексные числа и их применениеi

Ответ: Z1
=Комплексные числа и их применениеi
, Z2
= i
, Z3
= –Комплексные числа и их применениеi
, Z4
= –Комплексные числа и их применениеi
, Z5
= – i
, Z6
=Комплексные числа и их применениеi

3)

Доказать, что сумма двух комплексных чисел не превосходит сумму модулей этих чисел.

1 СПОСОБ:

Пусть Z1
=X Y×i
и Z2
=U V×i

Доказать что:

Комплексные числа и их применение

Комплексные числа и их применение

Предположим противоположное:

Комплексные числа и их применение>Комплексные числа и их применение / т.к. корень существует только из неотрицательного числа, то можно возвести в квадрат обе части неравенства.

X2
2·X·U U2
Y2
2·Y·V V2
> X2
Y2
U2
V2
Комплексные числа и их применение

2·(X·U Y·V) > 2·Комплексные числа и их применение

Если мы предположили верно, то X·U Y·V > 0, а поэтому возведем в квадрат:

X2
·U2
2·XU·Y·V Y2
·V2
> X2
·U2
X2
·V2
Y2
·U2
Y2
·V2

2·X·Y·V·U > X2
·V2
Y2
·U2

X2
·V2
Y2
·U2
– 2·X·Y·V·U < 0

(X·V Y·U)2
< 0

Это невозможно, т.к. A2Комплексные числа и их применение 0, значит полученное нами неравенство неверно.

Комплексные числа и их применение

что и требовалось доказать

2 СПОСОБ:

Пусть Z1
и Z2
– два произвольных комплексных числа. Z1
­– соответствует точке A, Z2
– соответствует точке B.

В силу неравенства треугольника

Комплексные числа и их применение т.е.

Комплексные числа и их применение

Что и требовалось доказать.

[S1]

Оцените статью
Реферат Зона
Добавить комментарий