Определение интегралов с помощью формул, преобразующих произведение тригонометрических функций в сумму.

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

ГОУ ВПО «Марийский Государственный Университет»

Кафедра математики и МПМ

Курсовая работа

Обратные тригонометрические функции

Выполнила:

студентка

33 группы ЕНФ

Яшметова Л. Н.

Научный руководитель:

к.п.н. доцент

Бородина М. В.

Йошкар-Ола

2008

Содержание

Введение……………………………………………………………………………3

Глава I. Определение обратных тригонометрических функций.

1.1. Функция у = arcsinx
…………………………………………………………..4

1.2. Функция у = arccosx
………………………………………………………….5

1.3. Функция у = arctgx
………………………………………………………….6

1.4. Функция у = arcctgx
………………………………………………………….7

Глава II. Решение уравнений с обратными тригонометрическими функциями.

2.1. Основные соотношения для обратных тригонометрических функций….8

2.2. Решение уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции……………………………………………………………………..11

2.3. Вычисление значений обратных тригонометрических функций………….21

Заключение……………………………………………………………………….25

Список использованной литературы……………………………………………26

Введение

Во многих задачах встречается необходимость находить не только значения тригонометрических функций по данному углу, но и, обратно, угол или дугу по заданному значению какой-нибудь тригонометрической функции.

Задачи с обратными тригонометрическими функциями содержатся в заданиях ЕГЭ (особенно много в части В и С). Например, в части В Единого государственного экзамена требовалось по значению синуса (косинуса) найти соответствующее значение тангенса или вычислить значение выражения, содержащего табличные значения обратных тригонометрических функций. Относительно этого типа заданий заметим, что таких заданий в школьных учебниках недостаточно для формирования прочного навыка их выполнения.

Т.о. целью курсовой работы является рассмотреть обратные тригонометрические функции и их свойства, и научиться решат задачи с обратными тригонометрическими функциями.

Чтобы достичь цели, нам потребуется решить следующие задачи:

· Изучить теоретические основы обратных тригонометрических функций,

· Показать применение теоретических знаний на практике.

Глава I. Определение обратных тригонометрических функций

1.1. Функция у = arcsinx

Рассмотрим функцию
, . (1)

В этом промежутке функция монотонна (возрастает от -1 до 1), следовательно, существует обратная функция

, . (2)

Каждому данному значению у
(величины синуса) из промежутка [-1,1] соответствует одно вполне определенное значение х
(величины дуги) из промежутка . Переходя к общепринятым обозначениям, получаем

, где . (3)

Это и есть аналитическое задание функции, обратной функции (1). Функция (3) называется арксинусом
аргумента . График этой функции – кривая, симметричная графику функции , где , относительно биссектрисы Iи IIIкоординатных углов.

Приведем свойства функции , где .

Свойство 1.
Область изменения значений функции : .

Свойство 2.
Функция – нечетная, т.е.

Свойство 3.
Функция , где , имеет единственный корень .

Свойство 4.
Если , то ; если <x, то .

Свойство 5.
Функция монотонна: при возрастании аргумента от -1 до 1 значение функции возрастает от до .

1.2. Функция y = arсcosx

Рассмотрим функцию , . (4)

В этом промежутке функция монотонна (убывает от 1 до -1), значит, для нее существует обратная функция

, , (5)

т.е. каждому значению (величины косинуса) из промежутка [-1,1] соответствует одно вполне определенное значение (величины дуги) из промежутка [0,]. Переходя к общепринятым обозначениям, получаем

, . (6)

Это и есть аналитическое задание функции, обратной функции (4). Функция (6) называется арккосинусом
аргумента х
. График этой функции можно построить на основании свойств графиков взаимно обратных функций.

Функция , где , обладает следующими свойствами.

Свойство 1.
Область изменения значений функции : .

Свойство 2.
Величины и связаны соотношением

= .

Свойство 3.
Функция имеет единственный корень .

Свойство 4.
Функция отрицательных значений не принимает.

Свойство 5.
Функция монотонна: при возрастании аргумента от -1 до 1 значения функции убывают от до 0.

1.3. Функция y = arctgx

Рассмотрим функцию , . (7)

Отметим, что эта функция определена для всех значений , лежащих строго внутри промежутка от до ; на концах этого промежутка она не существует, так как значения – точки разрыва тангенса.

В промежутке функция монотонна (возрастает от – до ), следовательно, для функции (1) существует обратная функция:

, , (8)

т.е. каждому данному значению (величины тангенса) из промежутка соответствует одно вполне определенное значение (величины дуги) из промежутка .

Переходя к общепринятым обозначениям, получаем

, . (9)

Это и есть аналитическое задание функции, обратной (7). Функция (9) называется арктангенсом
аргумента х
. Отметим, что при значение функции , а при , т.е. график функции имеет две асимптоты: и .

Функция , , обладает следующими свойствами.

Свойство 1.
Область изменения значений функции .

Свойство 2.
Функция – нечетная, т.е. .

Свойство 3.
Функция имеет единственный корень .

Свойство 4.
Если , то ; если , то .

Свойство 5.
Функция монотонна: при возрастании аргумента от до значения функции возрастают от до .

1.4. Функция y = arcctgx

Рассмотрим функцию , . (10)

Эта функция определена для всех значений , лежащих внутри промежутка от 0 до ; на концах этого промежутка она не существует, поскольку значения и – точки разрыва котангенса. В промежутке (0,) функция монотонна (убывает от до ), следовательно, для функции (1) существует обратная функция

, , (11)

т.е. каждому данному значению (величины котангенса) из промежутка () соответствует одно вполне определенное значение (величины дуги) из промежутка (0,). Переходя к общепринятым обозначениям, получаем

, . (12)

Это и есть аналитическое задание функции, обратной (10). Функция (12) называется арккотангенсом
аргумента .

График функции имеет две асимптоты: и .

Функция , , обладает следующими свойствами.

Свойство 1.
Область изменения значений функции: .

Свойство 2.
Величины и связаны соотношением .

Свойство 3.
Функция корней не имеет.

Свойство 4.
Функция отрицательных значений не принимает.

Свойство 5.
Функция монотонна: при возрастании от до значения функции убывают от до 0.

Глава II. Решение уравнений с обратными тригонометрическими функциями

2.1. Основные соотношения

Приведем 6 групп формул, которые могут значительно облегчить решение задач, содержащих основные тригонометрические функции:

1. ;

;

.

Формулы данной группы наиболее часто используются при решении тригонометрических уравнений.

2.

Вывод:
По определению и

Заметим, что По формуле приведения имеем

Итак, аргументы и заключены в отрезке в котором синус монотонно возрастает от -1 до 1, и имеют одинаковый синус, равный . Следовательно, сами аргументы также равны, т.е. откуда и получаем тождество

3.

Вывод:
Пусть Тогда

(1’)

Равенство (1’) вместе с исходным равенством равносильны следующим равенствам:

(2’)

Эти равенства вытекают из самого определения обратных тригонометрических функций.

Так как левые части всех равенств (2’) равны между собой, то равны и их правые части.

4.

5.

6.

2.2. Решение уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции

Традиционные способы решения уравнений с обратными тригонометрическими функциями (аркфункциями) сводятся к вычислению какой-нибудь тригонометрической функции от обеих частей с последующим преобразованием полученных суперпозиций по известным тригонометрическим формулам и формулам приведенных ниже:

(13)

Формулы (13) легко выводятся из определений аркфункций и основных тригонометрических тождеств. Приведенные формулы можно дополнить подобными им формулами, полученными на основе двух тождеств

(14)

и формул приведения.

Основным недостатком упомянутых способов решения является нарушение равносильности уравнения в процессе его преобразования, вследствие чего можно ожидать появления “лишних” корней. Выявление лишних решений путем подстановки в исходное уравнение зачастую вызывает большие трудности либо а) из-за сложности вычислений не табличных значений аркфункций, либо б) в связи с тем, что полученное множество решений бесконечно.

Существует метод решения уравнения с аркфункциями, в процессе которого “лишние” корни вообще не возникают. Метод реализуется в трех приводимых ниже подходах, которые различаются в зависимости от числа аркфункций, участвующих в уравнении.

Подход(I):
Исходное уравнение содержит две аркфункции. Разнесем их в разные части уравнения. Зададим двумя неравенствами области изменения левой и правой части уравнения. Ввиду монотонности аркфункций эти неравенства легко разрешаются относительно аргументов указанных функций. Решение последней системы неравенств и определяет тот промежуток, которому принадлежат корни исходного уравнения.

Задача 1.
Решить уравнение

Решение:
Для сравнения воспользуемся сначала традиционной схемой решения.

ОДЗ:

Далее,

С учетом ОДЗ,

В полученном интервале содержится бесконечное множество “лишних” решений, удаление которых превращается здесь в отдельную задачу.

Альтернативное решение, использующее метод (I):

Положим Так как и то исходное уравнение равносильно следующей системе:

Ответ:

Задача 2.
Решить уравнение

Решение:
Положим Перепишем уравнение в виде:

Так как то исходное уравнение равносильно системе:

Ответ:

Задача 3.
Решить уравнение

Решение:
Обозначим

Так как и то и

Уравнение принимает вид причем

и

Так как – интервал монотонности тангенса, то уравнение равносильно уравнению

Переходя к уравнению

можно потерять те корни, для которых и не существует. В данном случае этого не произойдет, поскольку

А правые части существуют всегда. Получаем уравнение

которое после преобразований принимает вид

Так как уравнение не имеет решений, то остается

Ответ:

Подход (II):
Пусть исходное уравнение содержит более двух аркфункций. В этом случае равносильность преобразований сохраняется при использовании следующих схем решения:

(II.1)

(II.2)

При решении задач проверка неравенств или не вызывает сложностей и сводится к сопоставлению областей изменения входящих в уравнение аркфункций.

Задача 4.
Решить уравнение:

Решение:
Положим Исходное уравнение равносильно системе:

Так как то достаточно убедиться, что

Правое неравенство верно в силу границ изменения арктангенса. Левая часть неравенства следует из того, что при

Ответ:

Задача 5.
Решить уравнение:

Решение:
Положим Тогда исходное уравнение равносильно системе:

(*)

Последнее неравенство с очевидностью следует из неравенств задающих промежутки изменения переменных. Поэтому система (*) равносильна следующей системе:

Корень первого уравнения системы является решением исходного уравнения. После сокращения первого уравнения на возводим его в квадрат.

Так как

То

Ответ:

Задача 6.
Решить уравнение

Решение:
Пусть

Так как то обе части уравнения лежат в интервале монотонности синуса. Поэтому уравнение равносильно такому:

или

После упрощений получим уравнение

имеющее единственный корень Делаем проверку и убеждаемся, что является корнем предыдущего уравнения и, следовательно, корнем исходного уравнения.

Ответ:

Задача 7.
Решить уравнение

Решение:
Введем обозначения

Данное уравнение принимает вид или Обе части уравнения лежат в интервале Если взять котангенсы от обеих частей уравнения, то можно потерять лишь корень, которому соответствует значение углов, равное 0, так как это – единственное значение из интервала в котором котангенс не существует. Проверим, будет ли выполняться равенство Если то откуда и При получаем, что Таким образом, – корень уравнения.

Если то от обеих частей уравнения можно взять котангенсы:

Что приведет к следствию исходного уравнения. Раскрыв скобки и подставив выражения тригонометрических функций и через получим уравнение

которое равносильно системе

Получаем два значения неизвестного: Проверкой убеждаемся, что оба значения удовлетворяют данному уравнению.

Подход (III):
Для упрощения исходного уравнения во многих случаях удобно переходить от одних аркфункций к другим (например, от арксинуса или арккосинуса к арктангенсу). При этом, наряду с формулами (14), можно использовать следующие формулы:

(15)

Задача 8.
Решить уравнение:

Решение:
Заметим, что не удовлетворяет данному уравнению. Поэтому, в силу формул (15),

Итак, исходное уравнение можно записать в виде:

Если то уравнение принимает вид:

что невозможно.

Если то и в этом случае уравнение

решений не имеет, поскольку

для

Ответ:
нет решений.

Задача 9.
Решить уравнение

Решение:

Из полученной системы следует, что то есть и – числа одного знака. Действительно, если то и

Если же то из неравенств сразу следует, что и Следовательно, если то уравнение решений не имеет.

Если то уравнение также решений не имеет, так как

Пусть и хотя бы одно из чисел не равно нулю. Тогда получим, что

Учитывая ограничения системы, получаем, что если и хотя бы одно из чисел не равно нулю, то

Если же и хотя бы одно из чисел не равно нулю, то

Ответ:
если то уравнение решений не имеет; если то уравнение решений не имеет; если и хотя бы одно из чисел не равно нулю, то если и хотя бы одно из чисел не равно нулю, то

Задача 10.
Решить систему уравнений

Решение:
Используя формулы группы 2, получим:

Обращаясь к методам алгебраических систем уравнений, получим, что и являются корнями квадратного уравнения

Получим

Ответ:

2.3. Вычисление значений обратных тригонометрических функций

Пример 1.
Найдите если

Решение:
Оценим если

Имеем

или

Следовательно,

где Окончательно получаем

Ответ:

Пример 2.
Докажите, что если то

Решение:
При оба арксинуса существуют. Для первого это очевидно, а для второго имеем

Следовательно,

и, тем более,

Введем обозначение

Нужно доказать, что или Так как то и лежат в интервале монотонности синуса. Поэтому, если мы докажем, что синусы этих аргументов равны, то тем самым будет доказано и равенство самих аргументов. Поскольку

(перед корнем взят знак плюс, так как при ).

Итак, доказано, что откуда следует справедливость равенства.

Пример 3.
Докажите, что выражение не зависит от , если и упростите его в этом случае.

Решение:
Так как то Введем обозначения

т.е.

Следовательно,

т.е. данное выражение лежит в интервале монотонности синуса. Найдем

так как

После подстановки получим

т.е.

Ответ:

Пример 4.
Доказать равенство

Решение:
Обозначим слагаемое левой части через Имеем

Поскольку то

Пример 5.
Доказать равенство

Решение:
Обозначим слагаемое левой части через Имеем

Далее, Учитывая, что – острые углы, сделаем вывод, что

Заключение

Данная курсовая работа содержит не только теоретический материал, но и практический (несколько примеров с решениями). В работе рассмотрены основные обратные тригонометрические функции, их свойства и графики; основные соотношения для обратных тригонометрических функций; задачи: вычисление значений обратных тригонометрических функций; доказательство равенств; решение уравнений и систем уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Так как в курсовой работе содержатся основы школьного курса математики по теме “Обратные тригонометрические функции”, то она будет полезна студентам педагогических вузов, учителям, школьникам, готовящимся к поступлению в вузы, учащимся школ и классов с углубленным изучением математики.

Список использованной литературы

1. Абрамович, М. И. Математика (геометрия и тригонометрические функции). Учеб. Пособие для подготовительных отделений вузов / Стародубцев, М. Т. – М.: «Высшая школа», 1976. -304с.

2. Бермант, А. Ф. Тригонометрия / Люстерник, Л. А. – М., 1967. – 176с.

3. Выгодский, М. Я. Справочник по элем. Математике. Таблицы, арифметика, алгебра, тригонометрия, функции и их графики. – Изд. 24-е. – М.: «Наука», 1976. – 416с.

4. Гараев, К. Г. Пособие по математике для поступающих в высшие учебные заведения / Исхаков, Э. М. – Казань: Татарское кн. изд-во, 1982. – 272с.

5. Зайцев, В. В. Элементарная математика. Повторительный курс / Рыжков, В. В. Сканави, М. И. – Изд. 2-е. – М.: «Наука», 1974. – 591с.

6. Калнин, Р. А. Алгебра и элементарные функции. – Изд. 8-е. – М.: «Наука», 1975. – 447с.

7. Новоселов, С. И. Специальный курс тригонометрии. Учеб. Пособие для педагогических институтов. – М.: «Советская школа», 1953. – 464с.

8. Обратные тригонометрические функции / В. Мирошин – М.: Чистые пруды, 2007. – 32с. – (Библиотечка «Первого сентября», серия «Математика». Вып. 4(16)).

9. Черняк, А. А. Математика в решениях задач из сборника М. И. Сканави. Справ. Пособие / Черняк, Ж. А. – Изд-е 7-е, стереотип. – Мн.: ТетраСистемс, 2001. – 400с.

10. Шарыгин, И. Ф. Математика для поступающих в вузы. – М.: Дрофа, 1997. – 414с.