Исходные данные

статистический анализ технологический

В одном из цехов анализируется работа листопрокатного стана по
результатам контроля качества продукции. Основным показателем качества является
толщина Xj (мм) готового листа. Целью исследования является
выяснение вопроса: достаточно ли проводить только настройку технологического
процесса или необходимо уже проводить ремонт и замену оборудования для
обеспечения заданной точности по толщине металла.

Кроме того, попутно решается
вопрос, какая доля брака может быть пущена как годная продукция другого сорта
(другой толщины листа). Исследуемая номинальная толщина листа 1,9 мм (допуск
±0,04 мм); 2,0 мм (допуск ±0,04 мм); 2,1 мм (допуск ±0,05 мм).

Сформулируйте и проверьте статистические гипотезы, необходимые для ответа
на вопросы:

•          Существенно ли разнится точность
настройки процесса до ремонта и после ремонта?

•          Существенно ли разнится точность
настройки в зависимости от того номинала, на который ведется настройка?

•          Какая доля брака при различных
настройках может быть использована как годная продукция другого сорта
(номинала)?

•          Сколько замеров толщины стенки листа
стали необходимо провести, чтобы быть уверенными в статистических выводах?

Таблица 26 – Настройка сразу после ремонта; N₁ = 145 (номинал
2 мм)

Таблица 27 – Настройка без проведения ремонта; N₂ = 115
(номинал 2 мм)

Таблица 28 – Настройка сразу после ремонта; N₃ = 105 (номинал
1,9 мм)

Таблица 29 – Настройка без проведения ремонта; N₄ = 76
(номинал 1,9 мм)

Таблица 30 – Настройка сразу после ремонта; N₅ = 30 (номинал
2,1 мм)

Таблица 31 – Настройка без проведения ремонта; N₆ = 29
(номинал 2,1 мм)

Уровень значимости α: 0,05; 0,025.

Точность вычислений (число знаков после запятой): 3.

2.      
Практическая часть

1     Проверка гипотезы о точности настройки до ремонта и
после ремонта

Для проверки гипотезы о степени различимости точности настройки до
ремонта и после ремонта воспользуемся следующими рекомендациями для сравнения
двух выборочных средних значений для независимых выборок.

Порядок применения:

.        Принимается предположение о нормальности, формулируются гипотеза
Н₀ и альтернатива Н₁, задается уровень значимости.

.        Вычисляются выборочные характеристики х, S_x и у, S_y.

.        Используется F-критерий для проверки гипотезы о равенстве
генеральных дисперсий.

.        По результатам применения F-критерия принимается или не
принимается предположение о равенстве дисперсий.

.        Вычисляются значение t-критерия и число степеней свободы n.

.        Из таблицы t-распределения Стьюдента находится – критическое
значение t-критерия при заданном уровне значимости а и числе степеней свободы
n.

.        Делается вывод: если t_набл ≥ t_крит,
то выборочные средние значимо различаются на уровне значимости a (вероятность
ошибки меньше a). В противном случае различие статистически незначимо.

Алгоритм решения задачи:

.        Предположение о нормальности распределения выборок X и Y будем
делать с помощью критерия Пирсона.

Начнем с гистограмм, отображающих толщину прокатного листа до и после
ремонта. Для каждой толщины листа по отдельности. По внешнему виду гистограммы
одномодальные, куполообразные и в первом приближении можно считать, что они
характеризует нормальный закон распределения.

Оценка параметров распределения

Определим оценки среднего и среднеквадратичного отклонения. Воспользуемся
для этого “табличным” методом. Исходные расчетные таблицы для 6
выборок:

Настройка сразу после ремонта; N1 = 145 (номинал 2 мм)

Среднее значение можно оценить как

Среднее
квадратичное отклонение как:

Настройка
без проведения ремонта; N2 = 115 (номинал 2 мм)

Среднее значение можно оценить как

Среднее
квадратичное отклонение как:

Настройка
сразу после ремонта; N3 = 105 (номинал 1,9 мм)

Среднее значение можно оценить как

Среднее
квадратичное отклонение как:

Настройка
без проведения ремонта; N4 = 76 (номинал 1,9 мм)

Среднее значение можно оценить как

Среднее
квадратичное отклонение как:

Настройка
сразу после ремонта; N5 = 30 (номинал 2,1 мм)

Среднее значение можно оценить как

Среднее
квадратичное отклонение как:

Настройка
без проведения ремонта; N6 = 29 (номинал 2,1 мм)

Среднее значение можно оценить как

Среднее
квадратичное отклонение как:

Таким
образом, можно сделать выводы, что рассматриваемые нами распределения
вероятности подчиняется нормальному закону распределения.

Необходимо
сформулировать две альтернативных гипотезы. Во-первых, можно предположить,
точность настройки до и после ремонта не существенно различаются. Эта гипотеза
называется нулевой гипотезой (H₀). Альтернативная гипотеза (H₁),
состоит в том, точность настройки до и после ремонта различаются существенно.

Выпишем
несмещенные оценки генеральной дисперсии по формуле:

Для
проверки 0-гипотезы о равенстве генеральных дисперсий используется F-критерий
Фишера. На уровне значимости q 0-гипотеза имеет место, если отношение
выборочных дисперсий лежит в квантильных границах:

Выполнение
соотношения говорит о том, что можно принять 0-гипотезу. Если полученное на
практике отношение выборочных дисперсий выходит за левую границу этого
интервала, то нужно принять альтернативную гипотезу S_x<S_y.
А выход отношения выборочных дисперсий за правую границу − это область
альтернативной гипотезы S_x>S_y.

Толщина
листа 2 мм:

Неравенство
выполняется, значит мы можем принять гипотезу Н₀ о равенстве
генеральных дисперсий.

Толщина
листа 1,9 мм

Неравенство
выполняется, значит мы можем принять гипотезу Н₀ о равенстве
генеральных дисперсий.

Толщина
листа 2,1 мм

Неравенство
выполняется, значит мы можем принять гипотезу Н₀ о равенстве
генеральных дисперсий.

Теперь
вычисляются значение t-критерия и число степеней свободы n.

Толщина
листа 2 мм

Результат:
t_Эмп = 4.7

Полученное эмпирическое значение t (4.7) находится в зоне значимости.

Это означает, что при толщине 2 мм точность настройки до и после ремонта
меняется незначительно.

Толщина листа 1,9 мм:

Результат: t_Эмп = 4.9

Полученное эмпирическое значение t (4.9) находится в зоне значимости.

Это означает, что при толщине 1,9 мм точность настройки до и после
ремонта меняется незначительно.

Толщина листа 2,1 мм:

Результат: t_Эмп = 1.7

Полученное эмпирическое значение t (1.7) находится в зоне незначимости.

Это означает, что при толщине 2,1 мм точность настройки до и после
ремонта меняется значительно.

2     Проверка точности настройки в зависимости от номинала

Для формулирования и проверки гипотез о точности настройки в зависимости
от номинала необходимо вычислить разницу между значениями толщины и усредненным
значением.

Толщина 2.1 мм:

Среднее значение отклонения можно оценить как

Среднее
квадратичное отклонение как

Толщина
1.9 мм:

Среднее значение отклонения можно оценить как

Среднее
квадратичное отклонение как

Толщина
2.0 мм:

Среднее значение отклонения можно оценить как

Среднее
квадратичное отклонение как

Необходимо
сформулировать две альтернативных гипотезы. Во-первых, можно предположить,
точность настройки не существенно различаются в зависимости от номинала. Эта
гипотеза называется нулевой гипотезой (H₀). Альтернативная гипотеза
(H₁), состоит в том, точность настройки различаются существенно в
зависимости от номинала.

Выпишем
несмещенные оценки генеральной дисперсии по формуле:

Для
проверки 0-гипотезы о равенстве генеральных дисперсий используется F-критерий
Фишера. На уровне значимости q 0-гипотеза имеет место, если отношение
выборочных дисперсий лежит в квантильных границах:

Чтобы
сравнить все 3 номинала, необходимо выполнить 3 оценки по критерию Фишера

Выполнение
соотношения говорит о том, что можно принять 0-гипотезу. Если полученное на
практике отношение выборочных дисперсий выходит за левую границу этого
интервала, то нужно принять альтернативную гипотезу S_x<S_y.
А выход отношения выборочных дисперсий за правую границу − это область
альтернативной гипотезы S_x>S_y.

Теперь
вычисляются значение t-критерия и число степеней свободы n.

Сравнение
2.0 мм толщины и 1.9 мм толщины

Результат:
t_Эмп = 1.6

Полученное эмпирическое значение t (1.6) находится в зоне незначимости.

Это означает, что при сравнении точности настройки номинала 2,0 мм и 1.9
мм точность настройки в зависимости от номинала отличается значительно.

Сравнение 2.0 мм толщины и 2.1 мм толщины.

Результат: t_Эмп = 2.8

Полученное эмпирическое значение t (2.8) находится в зоне значимости.

Это означает, что при сравнении точности настройки номинала 2,0 мм и 2,1
мм точность настройки в зависимости от номинала отличается незначительно.

Сравнение 1,9 мм толщины и 2,1 мм толщины.

Результат: t_Эмп = 1.3

Полученное эмпирическое значение t (1.3) находится в зоне незначимости.

Это означает, что при сравнении точности настройки номинала 1.9 мм и 2.1
мм точность настройки в зависимости от номинала отличается значительно.

.3 вычисление доли брака при различных настройках, которая
может быть использована как годная продукция другого сорта (номинала)

Для номинала 2 мм

Определяем долю годной продукции:

С
помощью таблицы функции нормального распределения получим

Доля
дефектной продукции

, в
процентах 2.78%

Из
них 2,02 % может быть пушена как годная продукция другого сорта.

Для
номинала 1,9 мм

Определяем
долю годной продукции:

С
помощью таблицы функции нормального распределения получим

Доля
дефектной продукции

, в
процентах 1.79%

Из
них 1,00 % может быть пушена как годная продукция другого сорта

Для
номинала 2,1 мм

Определяем
долю годной продукции:

С
помощью таблицы функции нормального распределения получим

Доля
дефектной продукции

, в
процентах 1.14%

Из
них 0,76 % может быть пушена как годная продукция другого сорта

4 Определение количества замеров толщины стенки листа стали
для уверенности в статистических выводах

Для того чтобы быть уверенным в статистических выводах, вероятность того,
что толщина листа попадает в интервал с заданными значениями должна быть не
меньше 95%. Отклонение величины от заданной вероятности должно быть не более
0,05.

Для 2 мм толщины:

мм-0,04<Толщина листа<2 мм 0,04

Для 1,9 мм толщины:

мм-0,05<Толщина листа<2 мм 0,05

Для 2,1 мм толщины:

мм-0,04<Толщина листа<2 мм 0,04

В предыдущем пункте мы уже определили, какова вероятность листов каждой
толщины считаются пригодными для использования:

Получились следующие данные:

мм: 97,22%

,9 мм 98,19%

,1 мм: 98,86%

Нужно,
чтобы условие  выполнялось с вероятностью 0,95. Раскроем модуль и
найдем границы для m:

,65n<
m < 0,75n. По теореме Муавра – Лапласа:

По
таблице находим

 n=129

Для
1,9 мм толщины:

Нужно,
чтобы условие  выполнялось с вероятностью 0,95. Раскроем модуль и
найдем границы для m:

,9715n<
m < 0,9956n. По теореме Муавра – Лапласа:

По
таблице находим

 n=65

Для
2,1 мм толщины:

Нужно,
чтобы условие  выполнялось с вероятностью 0,95. Раскроем модуль и
найдем границы для m:

,9806n<
m < 0,9896n. По теореме Муавра – Лапласа:

По
таблице находим

 n=27

Заключение

Проверка статистических гипотез – необходимая методика, используемая для
получения данных в статистике.

Проведенная работа позволила сделать следующие выводы:

·        Под статистической гипотезой понимаются различного рода
предположения относительно характера или параметров распределения случайной
переменной, которые можно проверить, опираясь на результаты наблюдений в
случайной выборке.

·        Смысл проверки статистической гипотезы состоит в том, чтобы
по имеющимся статистическим данным принять или отклонить статистическую
гипотезу с минимальным риском ошибки. Эта проверка осуществляется по
определенным правилам.

Анализируя результаты работы можно ответить на поставленный вопрос:
достаточно ли проводить только настройку технологического процесса или необходимо
уже проводить ремонт и замену оборудования для обеспечения заданной точности по
толщине металла.

Проведя все необходимые вычисления, мы пришли к выводу, что на данном
этапе достаточно проводить лишь настройку техпроцесса для каждого номинала.

Список литературы

статистический анализ технологический

1.       Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М., Высшая школа,
2002.

.        Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории
вероятностей и математической статистике. М., Высшая школа, 2004.

.        Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая
статистика. М., Высшая школа, 2003.

.        Емельянов Г.В., Скитович В.П. Задачник по теории
вероятностей и математической статистике. М., Изд. МГУ, 1967.

.        Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и
математическая статистика. М, Высшая школа, 1982.

.        Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для
научных работников и инженеров. М., Наука, 1978.

1     Проверка гипотезы о точности настройки до ремонта и
после ремонта

Для проверки гипотезы о степени различимости точности настройки до
ремонта и после ремонта воспользуемся следующими рекомендациями для сравнения
двух выборочных средних значений для независимых выборок.

Порядок применения:

.        Принимается предположение о нормальности, формулируются гипотеза
Н0 и альтернатива Н1, задается уровень значимости.

.        Вычисляются выборочные характеристики х, Sx и у, Sy.

.        Используется F-критерий для проверки гипотезы о равенстве
генеральных дисперсий.

.        По результатам применения F-критерия принимается или не
принимается предположение о равенстве дисперсий.

.        Вычисляются значение t-критерия и число степеней свободы n.

.        Из таблицы t-распределения Стьюдента находится – критическое
значение t-критерия при заданном уровне значимости а и числе степеней свободы
n.

.        Делается вывод: если tнабл ≥ tкрит,
то выборочные средние значимо различаются на уровне значимости a (вероятность
ошибки меньше a). В противном случае различие статистически незначимо.

Алгоритм решения задачи:

.        Предположение о нормальности распределения выборок X и Y будем
делать с помощью критерия Пирсона.

Начнем с гистограмм, отображающих толщину прокатного листа до и после
ремонта. Для каждой толщины листа по отдельности. По внешнему виду гистограммы
одномодальные, куполообразные и в первом приближении можно считать, что они
характеризует нормальный закон распределения.

Оценка параметров распределения

Определим оценки среднего и среднеквадратичного отклонения. Воспользуемся
для этого “табличным” методом. Исходные расчетные таблицы для 6
выборок:

Настройка сразу после ремонта; N1 = 145 (номинал 2 мм)

Среднее значение можно оценить как

Среднее
квадратичное отклонение как:

Настройка
без проведения ремонта; N2 = 115 (номинал 2 мм)

Среднее значение можно оценить как

Среднее
квадратичное отклонение как:

Настройка
сразу после ремонта; N3 = 105 (номинал 1,9 мм)

Среднее значение можно оценить как

Среднее
квадратичное отклонение как:

Настройка
без проведения ремонта; N4 = 76 (номинал 1,9 мм)

Среднее значение можно оценить как

Среднее
квадратичное отклонение как:

Настройка
сразу после ремонта; N5 = 30 (номинал 2,1 мм)

Среднее значение можно оценить как

Среднее
квадратичное отклонение как:

Настройка
без проведения ремонта; N6 = 29 (номинал 2,1 мм)

Среднее значение можно оценить как

Среднее
квадратичное отклонение как:

Таким
образом, можно сделать выводы, что рассматриваемые нами распределения
вероятности подчиняется нормальному закону распределения.

Необходимо
сформулировать две альтернативных гипотезы. Во-первых, можно предположить,
точность настройки до и после ремонта не существенно различаются. Эта гипотеза
называется нулевой гипотезой (H₀). Альтернативная гипотеза (H₁),
состоит в том, точность настройки до и после ремонта различаются существенно.

Выпишем
несмещенные оценки генеральной дисперсии по формуле:

Для
проверки 0-гипотезы о равенстве генеральных дисперсий используется F-критерий
Фишера. На уровне значимости q 0-гипотеза имеет место, если отношение
выборочных дисперсий лежит в квантильных границах:

Выполнение
соотношения говорит о том, что можно принять 0-гипотезу. Если полученное на
практике отношение выборочных дисперсий выходит за левую границу этого
интервала, то нужно принять альтернативную гипотезу S_x<S_y.
А выход отношения выборочных дисперсий за правую границу − это область
альтернативной гипотезы S_x>S_y.

Толщина
листа 2 мм:

Неравенство
выполняется, значит мы можем принять гипотезу Н₀ о равенстве
генеральных дисперсий.

Толщина
листа 1,9 мм

Неравенство
выполняется, значит мы можем принять гипотезу Н₀ о равенстве
генеральных дисперсий.

Толщина
листа 2,1 мм

Неравенство
выполняется, значит мы можем принять гипотезу Н₀ о равенстве
генеральных дисперсий.

Теперь
вычисляются значение t-критерия и число степеней свободы n.

Толщина
листа 2 мм

Результат:
t_Эмп = 4.7

Полученное эмпирическое значение t (4.7) находится в зоне значимости.

Это означает, что при толщине 2 мм точность настройки до и после ремонта
меняется незначительно.

Толщина листа 1,9 мм:

Результат: t_Эмп = 4.9

Полученное эмпирическое значение t (4.9) находится в зоне значимости.

Это означает, что при толщине 1,9 мм точность настройки до и после
ремонта меняется незначительно.

Толщина листа 2,1 мм:

Результат: t_Эмп = 1.7

Полученное эмпирическое значение t (1.7) находится в зоне незначимости.

Это означает, что при толщине 2,1 мм точность настройки до и после
ремонта меняется значительно.

2     Проверка точности настройки в зависимости от номинала

Для формулирования и проверки гипотез о точности настройки в зависимости
от номинала необходимо вычислить разницу между значениями толщины и усредненным
значением.

Толщина 2.1 мм:

Среднее значение отклонения можно оценить как

Среднее
квадратичное отклонение как

Толщина
1.9 мм:

Среднее значение отклонения можно оценить как

Среднее
квадратичное отклонение как

Толщина
2.0 мм:

Среднее значение отклонения можно оценить как

Среднее
квадратичное отклонение как

Необходимо
сформулировать две альтернативных гипотезы. Во-первых, можно предположить,
точность настройки не существенно различаются в зависимости от номинала. Эта
гипотеза называется нулевой гипотезой (H₀). Альтернативная гипотеза
(H₁), состоит в том, точность настройки различаются существенно в
зависимости от номинала.

Выпишем
несмещенные оценки генеральной дисперсии по формуле:

Для
проверки 0-гипотезы о равенстве генеральных дисперсий используется F-критерий
Фишера. На уровне значимости q 0-гипотеза имеет место, если отношение
выборочных дисперсий лежит в квантильных границах:

Чтобы
сравнить все 3 номинала, необходимо выполнить 3 оценки по критерию Фишера

Выполнение
соотношения говорит о том, что можно принять 0-гипотезу. Если полученное на
практике отношение выборочных дисперсий выходит за левую границу этого
интервала, то нужно принять альтернативную гипотезу S_x<S_y.
А выход отношения выборочных дисперсий за правую границу − это область
альтернативной гипотезы S_x>S_y.

Теперь
вычисляются значение t-критерия и число степеней свободы n.

Сравнение
2.0 мм толщины и 1.9 мм толщины

Результат:
t_Эмп = 1.6

Полученное эмпирическое значение t (1.6) находится в зоне незначимости.

Это означает, что при сравнении точности настройки номинала 2,0 мм и 1.9
мм точность настройки в зависимости от номинала отличается значительно.

Сравнение 2.0 мм толщины и 2.1 мм толщины.

Результат: t_Эмп = 2.8

Полученное эмпирическое значение t (2.8) находится в зоне значимости.

Это означает, что при сравнении точности настройки номинала 2,0 мм и 2,1
мм точность настройки в зависимости от номинала отличается незначительно.

Сравнение 1,9 мм толщины и 2,1 мм толщины.

Результат: t_Эмп = 1.3

Полученное эмпирическое значение t (1.3) находится в зоне незначимости.

Это означает, что при сравнении точности настройки номинала 1.9 мм и 2.1
мм точность настройки в зависимости от номинала отличается значительно.

.3 вычисление доли брака при различных настройках, которая
может быть использована как годная продукция другого сорта (номинала)

Для номинала 2 мм

Определяем долю годной продукции:

С
помощью таблицы функции нормального распределения получим

Доля
дефектной продукции

, в
процентах 2.78%

Из
них 2,02 % может быть пушена как годная продукция другого сорта.

Для
номинала 1,9 мм

Определяем
долю годной продукции:

С
помощью таблицы функции нормального распределения получим

Доля
дефектной продукции

, в
процентах 1.79%

Из
них 1,00 % может быть пушена как годная продукция другого сорта

Для
номинала 2,1 мм

Определяем
долю годной продукции:

С
помощью таблицы функции нормального распределения получим

Доля
дефектной продукции

, в
процентах 1.14%

Из
них 0,76 % может быть пушена как годная продукция другого сорта

4 Определение количества замеров толщины стенки листа стали
для уверенности в статистических выводах

Для того чтобы быть уверенным в статистических выводах, вероятность того,
что толщина листа попадает в интервал с заданными значениями должна быть не
меньше 95%. Отклонение величины от заданной вероятности должно быть не более
0,05.

Для 2 мм толщины:

мм-0,04<Толщина листа<2 мм 0,04

Для 1,9 мм толщины:

мм-0,05<Толщина листа<2 мм 0,05

Для 2,1 мм толщины:

мм-0,04<Толщина листа<2 мм 0,04

В предыдущем пункте мы уже определили, какова вероятность листов каждой
толщины считаются пригодными для использования:

Получились следующие данные:

мм: 97,22%

,9 мм 98,19%

,1 мм: 98,86%

Нужно,
чтобы условие  выполнялось с вероятностью 0,95. Раскроем модуль и
найдем границы для m:

,65n<
m < 0,75n. По теореме Муавра – Лапласа:

По
таблице находим

 n=129

Для
1,9 мм толщины:

Нужно,
чтобы условие  выполнялось с вероятностью 0,95. Раскроем модуль и
найдем границы для m:

,9715n<
m < 0,9956n. По теореме Муавра – Лапласа:

По
таблице находим

 n=65

Для
2,1 мм толщины:

Нужно,
чтобы условие  выполнялось с вероятностью 0,95. Раскроем модуль и
найдем границы для m:

,9806n<
m < 0,9896n. По теореме Муавра – Лапласа:

По
таблице находим

 n=27

Заключение

Проверка статистических гипотез – необходимая методика, используемая для
получения данных в статистике.

Проведенная работа позволила сделать следующие выводы:

·        Под статистической гипотезой понимаются различного рода
предположения относительно характера или параметров распределения случайной
переменной, которые можно проверить, опираясь на результаты наблюдений в
случайной выборке.

·        Смысл проверки статистической гипотезы состоит в том, чтобы
по имеющимся статистическим данным принять или отклонить статистическую
гипотезу с минимальным риском ошибки. Эта проверка осуществляется по
определенным правилам.

Анализируя результаты работы можно ответить на поставленный вопрос:
достаточно ли проводить только настройку технологического процесса или необходимо
уже проводить ремонт и замену оборудования для обеспечения заданной точности по
толщине металла.

Проведя все необходимые вычисления, мы пришли к выводу, что на данном
этапе достаточно проводить лишь настройку техпроцесса для каждого номинала.

Список литературы

статистический анализ технологический

1.       Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М., Высшая школа,
2002.

.        Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории
вероятностей и математической статистике. М., Высшая школа, 2004.

.        Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая
статистика. М., Высшая школа, 2003.

.        Емельянов Г.В., Скитович В.П. Задачник по теории
вероятностей и математической статистике. М., Изд. МГУ, 1967.

.        Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и
математическая статистика. М, Высшая школа, 1982.

.        Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для
научных работников и инженеров. М., Наука, 1978.

2     Проверка точности настройки в зависимости от номинала

Для формулирования и проверки гипотез о точности настройки в зависимости
от номинала необходимо вычислить разницу между значениями толщины и усредненным
значением.

Толщина 2.1 мм:

Среднее значение отклонения можно оценить как

Среднее
квадратичное отклонение как

Толщина
1.9 мм:

Среднее значение отклонения можно оценить как

Среднее
квадратичное отклонение как

Толщина
2.0 мм:

Среднее значение отклонения можно оценить как

Среднее
квадратичное отклонение как

Необходимо
сформулировать две альтернативных гипотезы. Во-первых, можно предположить,
точность настройки не существенно различаются в зависимости от номинала. Эта
гипотеза называется нулевой гипотезой (H₀). Альтернативная гипотеза
(H₁), состоит в том, точность настройки различаются существенно в
зависимости от номинала.

Выпишем
несмещенные оценки генеральной дисперсии по формуле:

Для
проверки 0-гипотезы о равенстве генеральных дисперсий используется F-критерий
Фишера. На уровне значимости q 0-гипотеза имеет место, если отношение
выборочных дисперсий лежит в квантильных границах:

Чтобы
сравнить все 3 номинала, необходимо выполнить 3 оценки по критерию Фишера

Выполнение
соотношения говорит о том, что можно принять 0-гипотезу. Если полученное на
практике отношение выборочных дисперсий выходит за левую границу этого
интервала, то нужно принять альтернативную гипотезу S_x<S_y.
А выход отношения выборочных дисперсий за правую границу − это область
альтернативной гипотезы S_x>S_y.

Теперь
вычисляются значение t-критерия и число степеней свободы n.

Сравнение
2.0 мм толщины и 1.9 мм толщины

Результат:
t_Эмп = 1.6

Полученное эмпирическое значение t (1.6) находится в зоне незначимости.

Это означает, что при сравнении точности настройки номинала 2,0 мм и 1.9
мм точность настройки в зависимости от номинала отличается значительно.

Сравнение 2.0 мм толщины и 2.1 мм толщины.

Результат: t_Эмп = 2.8

Полученное эмпирическое значение t (2.8) находится в зоне значимости.

Это означает, что при сравнении точности настройки номинала 2,0 мм и 2,1
мм точность настройки в зависимости от номинала отличается незначительно.

Сравнение 1,9 мм толщины и 2,1 мм толщины.

Результат: t_Эмп = 1.3

Полученное эмпирическое значение t (1.3) находится в зоне незначимости.

Это означает, что при сравнении точности настройки номинала 1.9 мм и 2.1
мм точность настройки в зависимости от номинала отличается значительно.

.3 вычисление доли брака при различных настройках, которая
может быть использована как годная продукция другого сорта (номинала)

Для номинала 2 мм

Определяем долю годной продукции:

С
помощью таблицы функции нормального распределения получим

Доля
дефектной продукции

, в
процентах 2.78%

Из
них 2,02 % может быть пушена как годная продукция другого сорта.

Для
номинала 1,9 мм

Определяем
долю годной продукции:

С
помощью таблицы функции нормального распределения получим

Доля
дефектной продукции

, в
процентах 1.79%

Из
них 1,00 % может быть пушена как годная продукция другого сорта

Для
номинала 2,1 мм

Определяем
долю годной продукции:

С
помощью таблицы функции нормального распределения получим

Доля
дефектной продукции

, в
процентах 1.14%

Из
них 0,76 % может быть пушена как годная продукция другого сорта

4 Определение количества замеров толщины стенки листа стали
для уверенности в статистических выводах

Для того чтобы быть уверенным в статистических выводах, вероятность того,
что толщина листа попадает в интервал с заданными значениями должна быть не
меньше 95%. Отклонение величины от заданной вероятности должно быть не более
0,05.

Для 2 мм толщины:

мм-0,04<Толщина листа<2 мм 0,04

Для 1,9 мм толщины:

мм-0,05<Толщина листа<2 мм 0,05

Для 2,1 мм толщины:

мм-0,04<Толщина листа<2 мм 0,04

В предыдущем пункте мы уже определили, какова вероятность листов каждой
толщины считаются пригодными для использования:

Получились следующие данные:

мм: 97,22%

,9 мм 98,19%

,1 мм: 98,86%

Нужно,
чтобы условие  выполнялось с вероятностью 0,95. Раскроем модуль и
найдем границы для m:

,65n<
m < 0,75n. По теореме Муавра – Лапласа:

По
таблице находим

 n=129

Для
1,9 мм толщины:

Нужно,
чтобы условие  выполнялось с вероятностью 0,95. Раскроем модуль и
найдем границы для m:

,9715n<
m < 0,9956n. По теореме Муавра – Лапласа:

По
таблице находим

 n=65

Для
2,1 мм толщины:

Нужно,
чтобы условие  выполнялось с вероятностью 0,95. Раскроем модуль и
найдем границы для m:

,9806n<
m < 0,9896n. По теореме Муавра – Лапласа:

По
таблице находим

 n=27

Заключение

Проверка статистических гипотез – необходимая методика, используемая для
получения данных в статистике.

Проведенная работа позволила сделать следующие выводы:

·        Под статистической гипотезой понимаются различного рода
предположения относительно характера или параметров распределения случайной
переменной, которые можно проверить, опираясь на результаты наблюдений в
случайной выборке.

·        Смысл проверки статистической гипотезы состоит в том, чтобы
по имеющимся статистическим данным принять или отклонить статистическую
гипотезу с минимальным риском ошибки. Эта проверка осуществляется по
определенным правилам.

Анализируя результаты работы можно ответить на поставленный вопрос:
достаточно ли проводить только настройку технологического процесса или необходимо
уже проводить ремонт и замену оборудования для обеспечения заданной точности по
толщине металла.

Проведя все необходимые вычисления, мы пришли к выводу, что на данном
этапе достаточно проводить лишь настройку техпроцесса для каждого номинала.

Список литературы

статистический анализ технологический

1.       Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М., Высшая школа,
2002.

.        Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории
вероятностей и математической статистике. М., Высшая школа, 2004.

.        Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая
статистика. М., Высшая школа, 2003.

.        Емельянов Г.В., Скитович В.П. Задачник по теории
вероятностей и математической статистике. М., Изд. МГУ, 1967.

.        Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и
математическая статистика. М, Высшая школа, 1982.

.        Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для
научных работников и инженеров. М., Наука, 1978.

G-критерий)

Критерий
предназначен для срав­нения состояния
некоторого свойства у членов двух зави­симыхвыборок на основе измерений, сделанных
по шка­ле не ниже ранговой.

Имеется
две серии наблюдений над случайными
переменными Xи У, полученные при рассмотрении
двух зависимых выборок. На их основе
составлено N пар
вида (хi, уi), где хi, уi— результаты двукратного
измерения одного и того же свойства у
одного и того же объекта.

В
педагогических исследованиях объектами
изуче­ния могут служить учащиеся, учителя,
администрация школ. При этом хi, уi могут быть, например, балловы­ми
оценками, выставленными учителем за
двукратное выполнение одной и той же или
различных работ одной и той же группой
учащихся до и после применения некоторого
педагогическою средства.

Элементы
каждой пары хi, уiсравниваются между собой по
величине, и паре присваивается знак « »,
ес­ли хi < уi , знак «—», если хi > уi  и «0»,
если хi = уi.

Нулевая
гипотеза
формулируются следующим обра­зом: в
состоянии изучаемого свойства нет значимых
различий при первичном и вторичном
измерениях. Альтернативная гипотеза:
законы распределения величин X и У различны, т. е. состояния
изучаемого свойства существенно раз­личны
в одной и той же совокупности при первичном
и вторичном измерениях этого свойства.

Ста­тистика
критерия (Т)
определяется следую­щим образом:

допустим,
что из N пар (х, у,) нашлось
несколько пар, в которых значения хi и
уiравны.

Такие пары обозначаются
знаком «0» и при подсчете значения ве­личины
Т не учитываются.
Предположим, что за вы­четом из числа N числа пар, обозначенных знаком «0»,
осталось всего nпар.

Среди оставшихся n пар подсчита­ем число пар,
обозначенных знаком «-», т.е, пары, в которых xi<yi. Значение величины Т
и равно чис­лу пар со знаком минус.

Нулевая гипотеза
принимается на уровне
значимости 0,05, если наблю­даемое значение T<n-ta, где значение n-taопределя­ется
из статистических таблиц для критерия
знаков Приложения 2.

Пример
4.
Учащиеся выполняли контрольную ра­боту,
направленную на проверку усвоения
некоторого понятия. Пятнадцати учащимся
затем предложили электронное пособие,
составленное с целью фор­мирования данного
понятия у учащихся с низким уров­нем
обучаемости.

Результаты
двукратного выполнения ра­боты
представляют измерения по шкале по­рядка (пятибалльная
шкала). В этих условиях возмож­но
применение знакового критерия для
выявления тенденции изменения состояния
знаний учащихся после изучения пособия, так
как выполняются все допуще­ния этого
критерия.

Результаты
двукратного выполнения работы (в бал­лах) 15
учащимися запишем в форме таблицы (см. табл.
1).

Таблица
4.

Проверяется
гипотеза H0:
состояние знаний учащих­ся не повысилось
после изучения пособия. Альтернативная
гипотеза: состояние
знаний учащихся повысилось после изучения
пособия.

Подсчитаем
значение статистики критерия Т равное
числу положительных разностей отметок, по­лученных
учащимися. Согласно данным табл. 4 Т=10, n=12.

Для
определения критических значений
статистики критерия n—ta используем табл.
Приложения 2. Для уровня значимости а = 0,05
при n=12
значение n—ta=9. Следовательно выполняется
неравенство Т> n—ta (10>9).

Поэтому в
соответствии с правилом принятия решения
нулевая гипотеза от­клоняется на уровне
значимости 0,05 и принимает­ся
альтернативная гипотеза, что позволяет
сделать вывод об улучшении знаний учащихся
после самостоя­тельного изучения пособия.

Пример
5.
Предполагается, что изучение курса
математики способствует формированию у
учащихся одного из приемов логического
мышления (например, приема обобщения) даже в
том случае, если его фор­мирование не
проводится целенаправленно. Для проверки
этого предположения был проведен следующий
эксперимент.

Учащимся
VII класса было предложено 5 задач,
решение которых основано на использовании
данного приема мышления. Считалось, что
учащийся владеет этим приемом, если он дает
верный ответ на 3 и более задачи.

Была
разработана следующая шкала измерений:
верно решена 1 или 2 задачи —
оценка «0»; верно решено 3 задачи —
оценка «1»; верно решено 4 зада­чи— оценка «2»;
верно решено 5 задач — оценка «3».

Работа
проводилась дважды: в конце сентября и
конце мая следующего года. Ее писали 35 одних
и тех же учащихся, отобранных методом
случайного отбора из 7 разных школ.
Результаты двукратного выполнения работы
запишем в форме таблицы (см. табл. 5).

В
соответствии с целями эксперимента
формулируем нулевую гипотезу следующим
образом: Н0—
изучение математики не способствует
формированию изучаемого приема мышления.
Тогда альтернативная гипотеза бу­дет иметь
вид:

Таблица 5.

Согласно
данным табл. 5, значение статистики Т=15 —
число разностей со зна­ком « ». Из 35 пар 12
имеют знак «0»; значит, n = 35-12
= 23.

По
таблице Приложения 2 для n=23 и уровня значимости 0,025
находим критическое значение стати­стики
критерия, равное 16. Следовательно, верно
неравенство Т<n—ta (15<16).

Поэтому
в соответ­ствии с правилом принятия
решений приходится сделать вывод о том, что
полученные ре­зультаты не дают достаточных
оснований для отклоне­ния нулевой гипотезы,
т. е. мы не располагаем достаточными
основаниями для отклонения утверждения о
том, что изучение математики само по себе не
способ­ствует овладению выделенным
приемом мышления.