реферат — Геометрия Евклида первая естественно-научная теория.

Евклидова (элементарная) геометрия

Евклидова геометрия — это геометрическая теория, основанная на системе аксиом, которая была впервые изложена в третьем веке до нашей эры великим древнегреческим математиком Евклидом в грандиозном научном труде «Начала».

Система аксиом Евклида базируется на основных геометрические понятиях таких, как точка, прямая, плоскость, движение, а также на следующие отношения: «точка лежит на прямой на плоскости», «точка лежит между двумя другими».

В «Началах» Евклид представил следующую аксиоматику:

  • От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
  • Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
  • Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.
  • Все прямые углы равны между собой.
  • Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Тщательное изучение аксиоматики Евклида во второй половине XIX века показало её неполноту. В 1899 году Д. Гилберт предложил первую строгую аксиоматику евклидовой геометрии. Впоследствии еще не раз ученые предпринимали попытки усовершенствовать аксиоматику евклидовой геометрии. Кроме аксиоматики Гилберта, известными считаются: аксиоматики Тарского и аксиоматики Биргофа, которая состоит всего лишь из 4 аксиом.

В современной трактовке система аксиом Евклида может быть разделена на пять групп:

  • Аксиомы сочетания. Во-первых, через каждые две точки можно провести прямую и притом только одну. Во-вторых, на каждой прямой лежат по крайней мере две точки. При этом существуют хотя бы три точки, которые не лежат на одной прямой. В-третьих, через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну. В-четвертых, на каждой плоскости есть по крайней мере три точки, а также существуют хотя бы четыре точки, не лежащие в одной плоскости. В-пятых, если две точки данной прямой лежат на данной плоскости, значит и сама прямая лежит на этой плоскости. В-шестых, если две плоскости имеют общую точку, то, следовательно они имеют и общую прямую.
  • Аксиомы порядка. Во-первых, если точка В лежит между А и С, то все три лежат на одной прямой. Во-вторых, для каждых точек А, В существует такая точка С, что В лежит между А и С. В-третьих, из трёх точек прямой только одна лежит между двумя другими. В-четвертых, если прямая пересекает одну сторону треугольника, значит она пересекает при этом и другую его сторону или проходит через вершину (отрезок AB определяется как множество точек, лежащих между А и В; аналогично определяются стороны треугольника).
  • Аксиомы движения. Во-первых, движение ставит в соответствие точкам точки, прямым прямые, плоскостям плоскости, сохраняя принадлежность точек прямым и плоскостям. Во-вторых, два последовательных движения вновь дают движение, и для всякого движения есть обратное. В-третьих, если даны точки А, A’ и полуплоскости A, A‘, ограниченные продолженными полупрямыми а, а’, которые исходят из точек А, A’, то существует единственное движение, переводящее А, а, A в A’, a’, A’ (полупрямая и полуплоскость легко определяются на основе понятий сочетания и порядка).
  • Аксиомы непрерывности. Во-первых, как гласит аксиома Архимеда, всякий отрезок можно перекрыть любым отрезком, откладывая на первом его достаточное количество раз (откладывание отрезка осуществляется движением). Во-вторых, согласно аксиоме Кантора: если дана последовательность отрезков, вложенных один в другой, то все они имеют хотя бы одну общую точку.
  • Аксиома параллельности Евклида: через точку А вне прямой а в плоскости, проходящей через А и а, можно провести лишь одну прямую, не пересекающую а.

Евклидова геометрия стала результатом систематизации и обобщения наглядных представлений человека об окружающем мире. Углубленное проникновение в суть геометрии привело к более абстрактному пониманию науки. Более поздние достижения и открытие показали, что наши представления о пространстве являются априорными, то есть чисто умозрительные. Таким образом было поставлено под сомнение существование единственной геометрии. бурное развитие физики и астрономии, доказало, что евклидова геометрия описывает структуру окружающего пространства, но вовсе не способна описать свойства пространства, связанные с перемещениями тел со скоростями, близкими к световой. Русский математик Н. И. Лобачевский разработал новую неевклидову геометрию, которая приблизилась к реальному описанию физического пространства.

Рефераты:  Реферат Несовершенная конкуренция 7

Поделиться ссылкой

Реферат — геометрия евклида первая естественно-научная теория.

Федеральное
агентство по образованию
 

Саратовский
государственный университет
 

Реферат
на 
тему:
 

«Геометрия
Евклида – первая естественно-научная 
теория».
 

Выполнила:
студентка 1 курса факультета

ИФиЖ, специальность:
«Журналистика»,
131-я группа,
Лаптиёва Д.С.
 

                                                    
                                                                     
Проверил:
 

Саратов
2008
 

Содержание
Введение.

    История геометрии.
    «Начала»
    — главный труд Евклида.
    Геометрия
    Евклида – первая естественно-научная 
    теория.

Заключение.
Список 
литературы.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение.
Любая
цивилизация, достойная так называться,
занимается поиском истин. Мыслящие люди
не могли не пытаться понять многообразие
явлений природы, разгадать тайну появления
на Земле человека, постичь смысл жизни
и выяснить предназначение человека. Во
всех древних цивилизациях, кроме одной,
ответы на эти вопросы давались религиозными
лидерами и принимались всеми. Единственным
исключением была цивилизация, созданная
древними греками. Греки совершили открытие,
величайшее из когда-либо совершенных
человеком: они открыли могущество разума.

Греки
размышляли над политическими системами,
этикой, юриспруденцией, рациональными
путями воспитания молодежи и многими
другими видами человеческой деятельности.
Их главный вклад, оказавший решающее
влияние на всю последующую культуру,
состоял в том, что они взялись за изучение
законов природы. Решающим шагом, позволившим
рассеять ореол таинственности и мистицизма,
окружавший явления природы, и «навести
порядок» в их кажущемся хаосе, стало применение
математики.

Геометрия,
как раздел математики, возникла из
практической потребности изучения окружающего
пространства и его свойств. Развитие
представлений о пространстве и усложнение
проводимых измерений требовали изучения
свойств все более сложных геометрических
фигур.

К
концу III в. до н.э. греки имели обширные
знания геометрических фактов и обладали
методами их доказательств, но геометрия
как наука еще не существовала. В это время
возникла задача собрать этот геометрический
материал и расположить его в логическом
порядке. Такая задача была решена с появлением
«Начал» Евклида, в которых было представлено
систематическое изложение начал геометрии,
выполненное с таким большим мастерством,
что многие века преподавание геометрии
велось по этому сочинению.

«Начала» 
Евклида составляют целую эпоху 
в элементарной геометрии. В них 
учёный излагает геометрию как цепочку 
строгих логических выводов, доказательства
теорем на основании определений, постулатов
и аксиом. Материал, содержащийся в «Началах»,
по существу охватывает элементарную
геометрию, как мы ее понимаем в настоящее
время.

В
реферате, на основе рассмотрения исторических
предпосылок и фактических положений
книги «Начал» сделана попытка показать,
что именно классические труды Евклида,
посвященные изучению свойств пространства
и пространственных фигур, превратили
математику из свода неясных, эмпирических,
разрозненных фрагментов в блестящую,
обширную, систематическую и глубокую
науку.
 

    История
    геометрии.

    Геометрия
возникла очень давно, это одна из
самых древних наук. Геометрия (греческое,
от ge — земля и metrein — измерять)- наука о пространстве,
точнее — наука о формах, размерах и границах
тех частей пространства, которые в нем
занимают вещественные тела. Таково классическое
определение геометрии, или, вернее, таково
действительное значение классической
геометрии. Однако современная геометрия
во многих своих дисциплинах выходит далеко
за пределы этого определения. Развитие
геометрии принесло с собой глубоко идущую
эволюцию понятия о пространстве.

    За 
несколько столетий до нашей эры 
в Вавилоне, Китае, Египте и Греции
уже существовали начальные геометрические
знания, которые добывались в основном
опытным путем, но они не были еще систематизированы
и передавались от поколения к поколению
в виде правил и рецептов. Не было еще доказательств
этих правил, и их изложение не представляло
собой научной теории.

    Геометрия
стала наукой только после того,
как в ней начали систематически применять
логические доказательства, начали выводить
геометрические предложения не только
путем непосредственных измерений, но
и путем умозаключений, путем вывода одного
положения из другого, и устанавливать
их в общем виде.

    В
трудах Фалеса, Пифагора, Платона, Демокрита,
Гиппократа, Динострата, Никомеда, Аристотеля,
если назвать только важнейших, с 
необычайной быстротой производятся
установление и систематизация фактического
материала классической геометрии.

    Первый 
принцип, которого неуклонно придерживались
греки, состоял в том, что математика должна
иметь дело с абстракциями. Предпочтение,
отдаваемое греками абстракции, имело
под собой особую причину. Чтобы обрести
мощь, математика должна охватывать в
едином абстрактном понятии существенные
черты всех физических реализаций этого
понятия. Греки вполне отчетливо и явно
утверждали, что их математика имеет дело
с абстракциями. В «Государстве» Платон
говорит о геометрах следующее: Разве
ты не знаешь, что, хотя они используют
видимые формы и рассуждают о них, мыслят
они не о самих формах, а об идеалах, с которыми
не имеют сходства; не о фигурах, которые
они чертят, а об абсолютном квадрате и
абсолютном диаметре… и что в действительности
геометры стремятся постичь то, что открыто
лишь мысленному взору?

    Итак,
геометрия должна заниматься, прежде всего,
изучением таких абстрактных понятий,
как точка, прямая и целое число. Другие
понятия, например треугольник, квадрат
и окружность, можно определить через
основные понятия, которые, как отметил
Аристотель, должны оставаться неопределимыми,
ибо в противном случае у нас не было бы
отправной точки.

    Свои 
рассуждения о математических понятиях
греки начинали с аксиом
истин, столь очевидных, что в справедливости
их невозможно усомниться. Такие истины
грекам были известны. Платон обосновал
принятие аксиом своей теорией воспоминаний
анамнезисом.
Аристотель подошел к проблеме иначе.
Истинность аксиом, утверждал он, мы познаем
посредством безошибочной интуиции. Кроме
того, аксиомы необходимы нам как основа
для рассуждений. Если бы в своих рассуждениях
мы использовали факты, истинность которых
неизвестна, то для установления их истинности
потребовались бы новые рассуждения, и
так до бесконечности. В результате мы
бесконечно «спускались» бы в наших доказательствах
— но нигде не могли бы остановиться. Среди
аксиом Аристотель различал общие понятия
и постулаты. Общие понятия истинны во
всех областях мысли. Постулаты применимы
к такой специфической области, как геометрия.
Таково, например, утверждение «Две [разные]
точки определяют прямую и притом только
одну».

    Из 
аксиом с помощью рассуждений 
выводятся заключения. Существует много
типов рассуждений, например рассуждения
по индукции, по аналогии и дедукции. Правильность
заключения гарантирует лишь один из многих
типов рассуждений. Дедуктивное рассуждение,
несмотря на множество различных форм,
гарантирует истинность заключения. Так,
допуская, что все люди смертны и Сократ
— человек, следует прийти к заключению,
что Сократ смертен. Используемое в этом
рассуждении правило логики является
одной из форм суждения, которое Аристотель
назвал силлогистическим
выводом
. К правилам дедуктивного
рассуждения Аристотель относил также
закон противоречия

(никакое высказывание не может быть одновременно
истинным и ложным) и закон
исключенного третьего

(любое высказывание должно быть либо
истинным, либо ложным).

    Аристотель,
а вслед за ним и весь мир 
приняли за неоспоримую истину, что 
применение правил дедуктивного вывода
к любым посылкам гарантирует получение
заключений, не уступающих по надежности
посылкам. Иначе говоря, если посылки истинны,
то истинны и заключения.

    Наиболее 
совершенным образцом такой теории
на протяжении более 2 тысяч лет служили
«Начала» Евклида, написанные около 300
года до нашей эры».

    Однако 
все новые проблемы и созданные 
в связи с ними теории привели 
к тому, что совершенствовались сами
способы математических доказательств,
возрастала потребность создания стройной
логической системы в геометрии.

    Около
IV в. до н. э. уже стали появляться
сводные сочинения под названием «Начал
геометрии», имевшие задачей систематизировать
добытый геометрический материал. Такие
«Начала» по свидетельству Прокла, составили
Гиппократ Хиосский, Феодосии из Магнезии,
Гиероним Колофонский и др. Ни одно из
этих сочинений до нас не дошло: все они
утратили свое значение и были забыты,
когда появилось замечательное руководство
по геометрии — «Начала» Евклида.

    О
жизни Евклида почти ничего не известно.
До нас дошли только отдельные легенды
о нем. Первый комментатор «Начал» Прокл
(V век нашей эры) не мог указать, где и когда
родился и умер Евклид. По Проклу, «этот
ученый муж» жил в эпоху царствования
Птолемея I. Некоторые биографические
данные сохранились на страницах арабской
рукописи XII века: «Евклид, сын Наукрата,
известный под именем «Геометра», ученый
старого времени, по своему происхождению
грек, по местожительству сириец, родом
из Тира».

    Достоверно 
установлено, что Евклид жил и 
преподавал в Александрии около 300г. до
н. э. (сам Евклид скорее всего получил
образование в Платоновской Академии
в Афинах). Это почти единственная информация,
которой мы располагаем о частной жизни
Евклида. Свои труды Евклид облекал в форму
обширных систематических дедуктивных
обзоров отдельных открытий многих греческих
авторов классического периода. В главном
труде Евклида — «Началах» излагаются
основные свойства пространства и пространственных
фигур.

2.
«Начала» — главный труд
Евклида.

    Из 
дошедших до нас сочинений Евклида 
наиболее знамениты «Начала». «Начала»
Евклида состоят из 13 книг (т.е. глав). Первые
четыре книги «Начал» посвящены геометрии
на плоскости, и в них изучаются основные
свойства прямолинейных фигур и окружностей.

    Книге
I предпосланы определения понятий, используемых
в дальнейшем. Они носят интуитивный характер,
поскольку определены в терминах физической
реальности.

Так, в 
начале книги I даны 23 определения. Приведем
первые семь из них.

1.  Точка 
есть то, что не имеет частей.

2.  Линия 
есть длина без ширины.

3.  Границы 
линии суть точки.

5.  Поверхность 
есть то, что имеет только длину 
и ширину.

6.  Границы 
поверхности суть линии.

7. Плоскость 
есть поверхность, которая одинаково 
расположена по отношению ко 
всем прямым, на ней лежащим.

    Затем
Евклид приводит предложения, принимаемые 
без доказательства, которые он разделяет
на постулаты и аксиомы.

    Постулаты
II.  
И чтобы каждую прямую можно
было неопределенно продолжить.

III. И 
чтобы от любого центра можно 
было описать окружность любого 
радиуса.

IV. И 
чтобы все прямые углы были 
равны.

    Три
первых постулата обеспечивают существование 
прямой и окружности. Пятый, так называемый
постулат о параллельных — самый 
знаменитый. Он всегда интриговал математиков,
которые пытались вывести его из четырех
предыдущих или вообще отбросить, до тех
пор, когда в XIX в. обнаружилось, что можно
построить другие, неевклидовы геометрии
и что пятый постулат имеет право на существование.

    Затем
Эвклид сформулировал аксиомы, которые 
в противоположность постулатам,
справедливым только для геометрии, применимы
вообще ко всем наукам.

    Аксиомы
I. Равные
порознь третьему равны между собой.

II. И если
к ним прибавим равные, то получим равные.

III. И если
от равных отнимем равные, то получим равные.

IV. И если
к неравным прибавим равные, то получим
неравные.

V. И если
удвоим равные, то получим равные.

VI. И половины
равных равны между собой.

VII. И совмещающиеся
равны.

и т.д……………..

Рефераты:  Эвакуация, ее организация и проведение

Оцените статью
Реферат Зона
Добавить комментарий