6 Динамические модели
Модель «Правильный многоугольник»
Модель предназначена для изучения симметрии правильных многоугольников.
При загрузке модели на экране появляется правильный многоугольник (8-угольник) с центром в точке O, разбитый на равнобедренные треугольники с острым углом φn, количество которых равно числу вершин многоугольника. С помощью кнопок в нижней части экрана можно выбирать количество вершин многоугольника.
Один из треугольников выделен серым цветом, вращая его курсором мыши вокруг точки O, можно наглядно наблюдать, что исходный многоугольник состоит из равнобедренных треугольников, получающихся из исходного поворотом вокруг центра (точки O) на определённый угол, равный 360o/n.
Кнопка “Сброс” в правом нижнем углу окна возвращает модель в исходное состояние.
Модель «Теорема о центре правильного многоугольника»
Модель предназначена для иллюстрации доказательства теоремы о центре правильного многоугольника.
Теорема. Если все стороны многоугольника равны друг другу и все его углы равны друг другу, то вокруг этого многоугольника можно описать окружность и в него можно вписать окружность. Центры этих окружностей совпадают.
Исходно в окне модели отображается правильный пятиугольник ABCDE. Кнопки в нижней части экрана позволяют менять n- число вершин многоугольника. Точки A, B – активны. “Клик” курсором мыши на этих точках строит биссектрисы углов A и B, которые пересекутся в некоторой точке O.
Точка O также активна. “Клик” по этой точке соединяет ее отрезками со всеми вершинами многоугольника ABCDE. Покажем, что эти отрезки разобьют многоугольник на равные друг другу равнобедренные треугольники. Треугольник OAB равнобедренный, так как его углы, прилежащие к стороне AB равны (как половины равных углов A и B многоугольника ABCDE).
Треугольник OBC равен треугольнику OAB (BC=BA, сторона OB – общая, и угол OBA равняется углу OBC, т.к. BO – биссектриса угла B). Потому треугольник OBC тоже равнобедренный и OB=OC, а угол OBC равен углу OCB. Значит угол OCB равен половине угла C и луч OC – биссектриса угла C.
Повторяя эти рассуждения, убеждаемся, что треугольники OCD, ODE и OEA – равнобедренные треугольники, равные треугольнику OAB. Поэтому окружность с центром в точке O и радиусом OA описана вокруг многоугольника ABCDE, а окружность с центром O и радиусом OH (OH – высота треугольника OAB) вписана в него.
После “клика” по точке O треугольник OAB выделяется цветом, становится активным и способным вращаться вокруг своей вершины O. “Цепляя” этот треугольник курсором мыши и последовательно совмещая с другими треугольниками, можно убедиться в его равенстве с треугольниками: OBC, OCD и т.д.
Кнопка “Сброс” в правом нижнем углу окна возвращает модель в исходное состояние.
Задача 1
Построить правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку.
Дано:отрезокDC.
Построить:правильный шестиугольник, сторона которого равнаDC.
Решение:
Для решения задачи воспользуемся тем, что сторона шестиугольника равна радиусуописанной около него окружности, т.е. 
формулу для вычисления стороны правильного многоугольника), где 
описанной около правильного многоугольника. Нам нужно построить правильный шестиугольник со стороной DC, поэтому с помощью циркуля измеряем отрезок DCи строим окружность радиуса DC, и отмечаем на ней произвольную точкуА1, центр окружности обозначаем буквойО.
Затем не меняя раствора циркуля, построим на этой окружности точки А2, А3, А4, А5, А6, так, чтобы выполнялись равенства
А1А2 = А2А3 = А3А4 = А4А5 = А5А6 = DC (т.е. сначала строим окружность радиуса DC с центром в точке А1(всю окружность строить необязательно, смотри выделенное красным), данная окружность пересечет окружность с центром О в точке А2, далее аналогично строим окружность радиуса DC с центром в точке А2, она пересечет окружность с центром О в точке А3 и т.д.).
Теперь соединяя последовательно построенные точки отрезками, получим искомый правильный шестиугольник А1А2А3А4А5А6.
Задача 2
Дан правильный
-угольник. Построить правильный 2-угольник.Дано:правильныйА1А2А3…Аn.Построить:правильный 2
Решение:
Пусть, например, нам дан шестиугольник А1А2А3А4А5А6, значит, построить нужно двенадцатиугольник.
Сначала опишем около данного шестиугольника А1А2А3А4А5А6 окружность. Для этого построим биссектрисы углов А1и А2.
Чтобы построить биссектрису углаА1, строим окружность произвольного радиуса с центром в точке А1 (полностью окружность строить необязательно, смотри выделенное красным цветом), данная окружность пересечет стороны А1А2 и А1А6углаА1 в точках Е и К.
Затем строим две окружности с центрами в точках Е и К радиуса ЕК (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное синим и зеленым цветом), данные окружности пересекутся в точке Р.
Аналогично строим биссектрису углаА2.
Точку пересечения биссектрис углов А1 и А2 обозначаем буквой О и строим окружность радиуса ОА1 с центром О (окружность описанная около А1А2А3А4А5А6).
Далее нужно каждую из дуг А1А2, А2А3, А3А4, А4А5, А5А6, А6А1разделитьпополам.
Чтобы разделить дугу А1А2пополам, построим серединный перпендикуляр к отрезкуА1А2. Для этого строим две окружности с центрами в точках А1 и А2 радиуса А1А2 (полностью окружность строить необязательно, смотри выделенное красным цветом).
Данные окружности пересекутся в двух точках, одну обозначим буквой М, а другая совпадет с точкой О, т.к. у шестиугольника сторона равна радиусу (с другими многоугольниками совпадения с точкой О не будет) .
Затем проводим прямуюМО, данная прямая пересечет дугу А1А2 в точке В1, которая и разделит дугу А1А2пополам.
Аналогично находим точки В2, В3. Точки В4, В5, В6 в данном случае строить необязательно, они получаются автоматически при построении точек В1, В2, В3, т.к. шестиугольник симметричная фигура.
Получили двенадцатиугольник А1В1А2В2А3В3А4В4А5В5А6В6 (смотри выделенное красным).
Мы выполняли построения на примере правильного шестиугольника, если мы имеем произвольный правильный
