Реферат: Статистическая обработка экспериментальных данных –

Полигон относительных частот – ломаная, отрезки которой последовательно (в порядке возрастания xi
) соединяют точки (xi
; wi
). гистограмма относительных частот – фигура, которая строится следующим образом: на каждом интервале ii
, как на основании, строится прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте wi
; отсюда следует, что высота этого прямоугольника равна hi
= wi
/h– плотности относительной частоты. полигон и гистограмма являются формами графического изображения статистического распределения.

2.Нахождение точечных оценок математического ожидания и

дисперсии.

В качестве точечных оценок числовых характеристик изучаемой случайной величины используются:

– для математического ожидания

выборочная средняя
),

– для дисперсии

s²
= исправленная выборочная
),

где n – объём выборки, ni
– частота значения xi
.

Таким образом, в статистических расчетах используют приближенные равенства

MX»²
.

Нахождение точечных оценок математического ожидания и дисперсии по данным варианта осуществим с помощью расчетной таблицы.

i	xi	ni	xi ni	(xi – )2 ni
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	1,5 4.5 7,5 10,5 13,5 16,5 19,5 22,5 25,5 28,5 31,5	4 6 9 11 14 18 13 11 7 4 3	6 27 67,5 115,5 189 297 253,5 247,5 178,5 114 94,5	829,44 779,76 635,04 320,76 80,64 6,48 168,48 479,16 645,12 635,04 744,12

=

хi
ni
/100 = 1590/100= 15,9

s²
=

= 5324,04/99=53,78

å : 100 1590 5324,04

3.Выдвижение гипотезы о распределении случайной величины.

При выдвижении гипотезы (предположения) о законе распределения изучаемой случайной величины мы опираемся лишь на внешний вид статистического распределения. Т.е. будем руководствоваться тем, что профиль графика плотности теоретического распределения должен соответствовать профилю гистограммы: если середины верхних сторон прямоугольников, образующих гистограмму, соединить плавной кривой, то эта линия представляет в первом приближении график плотности распределения вероятностей.

Итак, изобразим график и выпишем формулу плотности нормального (или гауссовского) распределения с параметрами а и

Сравнение построенной гистограммы и графика плотности распределения приводит к следующему заключению о предполагаемом (теоретическом) законе распределения в рассматриваемом варианте исходных данных:

Вариант 13 – нормальное (или гауссовское распределение)

4.Построение графика теоретической плотности распределения.

Чтобы выписать плотность теоретического (предполагаемого) распределения, нужно определить значения параметров

MX = а,

DX = σ2

Поскольку значения математического ожидания и дисперсии неизвестны, то их заменяют соответствующими точечными оценками, т.е. используют (уже упомянутые ранее) приближенные равенства MX»²
, что позволяет найти значения параметров распределения.

По исходным данным была выдвинута гипотеза о нормальном распределении изучаемой случайной величины. Найдем параметры этого распределения:

²
= σ²
53,78 = σ²
σ=7,33

Следовательно, плотность предполагаемого распределения задается формулой

F(x)= [1/(7,33*√2π)]*e[-(x-15,9)2 / 2*(7,33)2)]
=0.054*e^(0,009/((x-15,9)^2))

Теперь необходимо вычислить значения f(xi
)плотности f (x) при x=xi
(в серединах интервалов) Для этого воспользуемся следующей схемой:

значения фунцкии

при u=ui
находятся, например, с помощью таблицы, имеющейся в любом учебнике или задачнике по теории вероятностей и математической статистике.

xi	ui = xi – x / s	φ(ui)
1,5 4,5 7,5 10,5 13,5 16,5 19,5 22,5 25,5 28,5 31,5	-1,96 -1,56 -1.15 -0,74 -0.33 0.08 0.49 0,90 1.31 1,72 2.13	0,0584 0,1182 0,2059 0,3034 0,3778 0,3977 0,3538 0,2661 0,1691 0,0909 0,0413	0,008 0,016 0,028 0,041 0,052 0,054 0,048 0,036 0,023 0,012 0,006

Далее, на одном чертеже строим гистограмму и график теоретической плотности распределения: гистограмма была построена ранее, а для получения графика плотности наносим точки с координатами (xi
; f(xi
)) и соединяем их плавной кривой.

5.Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона.

Ранее была выдвинута гипотеза о законе распределения рассматриваемой случайной величины. Сопоставление статистического распределения (гистограмма) и предполагаемого теоретического (графика плотности) показывает наличие некоторых расхождений между ними. Поэтому возникает естественный вопрос: чем объясняются эти несовпадения? Ответить на него можно двояко:

1) Указанные расхождения несущественны и вызваны ограниченным количеством наблюдений и случайными факторами – случайностью результата единичного наблюдения, способа группировки данных и т.п. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении считается правдоподобной и принимается как не противоречащая опытным данным.

2) Указанные расхождения являются существенными (неслучайными) и связаны с тем, что действительное распределение случайной величины отличается от предполагаемого. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении отвергается как плохо согласующаяся данными наблюдений.

Для выбора первого или второго варианта ответа и служат так называемые критерии согласия. Словари толкуют слово критерий (от греч. kriterion – средство для суждения) как признак, на основании которого производится оценка, определение и классификация чего-либо.

Существуют различные критерии согласия: К. Пирсона, А.Н. Колмогорова, Н.В. Смирнова, В.И. Романовского и другие. Мы рассмотрим лишь один из них – критерий Пирсона, называемый также критерием c2
(«хи – квадрат»). (К. Пирсон (1857 – 1936) – английский математик, биолог, философ – позитивист.)

Критерий Пирсона выгодно отличается от остальных, во – первых, применимостью к любым (дискретным, непрерывным) распределениям и, во – вторых, простотой вычислительного алгоритма.

Правило проверки статистических гипотез с помощью критерия Пирсона будет объяснено на примерах.

Группировка исходных данных.

Применяется критерий Пирсона к сгруппированным данным. Предположим, что произведено n независимых опытов, в каждом из которых изучаемая случайная величина приняла определенное значение. Предположим, что вся числовая ось разбита на несколько непересекающихся промежутков (интервалов и полуинтервалов).

Отметим, что критерий c2
будет давать удовлетворительный для практических приложений результат, если:

1) количество n опытов достаточно велико, по крайней мере n³100;

2) в каждом промежутке окажется не менее 5…10 результатов измерений, т.е. ni
³5 при любом i; если количество полученных значений в отдельных промежутках мало (меньше 5), то такие промежутки следует объединить с соседними, суммируя соответствующие частоты.

Пусть концами построенного разбиения являются точки zi
, где z1
<z2
< … <zi – 1
, т.е. само разбиение имеет вид

(- ¥ºz0
; z1
) , [z1
; z2
) , [z2
; z3
) , … , [zi – 1
; zi
º ¥).

После объединения соответствующих промежутков (последних двух) и замены самой левой границы разбиения на – ¥, а самой правой на ¥ (поскольку на промежутки должна разбиваться вся числовая ось, а не только диапазон полученных в результате опыта значений), мы приходим к следующим интервальным распределениям, пригодным для непосредственного применения критерия Пирсона:

Вычисление теоретических частот.

Критерий Пирсона основан на сравнении эмпирических (опытных) частот с теоретическими. Эмпирические частоты n_I
определяются по фактическим результатам наблюдений. Теоретические частоты, обозначаемые далее _i
,

где n – количество испытаний, а pi
ºR(zi –1
<x<zi
) – теоретическая вероятность попадания значений случайной величины в i-й промежуток (1 £i£ 1).Теоретические вероятности вычисляются в условиях выдвинутой гипотезы о законе распределения изучаемой случайной величины.

Процедура отыскания теоретических вероятностей и частот показана в расчетной таблице: _

n = 100; а=x= 15,9; σ= s=7,33

å:1,0000100,00

Статистика c2
и вычисление ее значения по опытным данным.

Для того чтобы принять или отвергнуть гипотезу о законе распределения изучаемой случайной величины, в каждом из критериев согласия рассматривается некоторая (специальным образом подбираемая) величина, характеризующая степень расхождения теоретического (предполагаемого) и статистического распределения.

В критерии Пирсона в качестве такой меры расхождения используется величина

называемая статистикой «хи – квадрат»
или статистикой Пирсона
(вообще, статистикой называют любую функцию от результатов наблюдений). Ясно, что всегда c²
³0, причем c²
= 0, тогда и только тогда, когда ²
¹0; при этом значение c²
тем больше, чем больше различаются эмпирические и теоретические частоты.

Прежде чем рассказать о применении статистики c2
к проверке гипотезы о закон е распределения , вычислим ее значение для данного варианта; это значение, найденное по данным наблюдений и в рамках выдвинутой гипотезы, будем обозначать через c2набл.
.

i	ni
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	10 9 11 14 18 13 11 7 4 3	8,85 8,51 12,45 15,41 16,19 14,39 10,85 6,8 3,81 2,74	0,15 0,03 0,17 0,13 0,20 0,13 0,00 0,01 0,01 0,02

: 100 100 0,85

c2набл. = 0,85

5.4. Распределение статистики c2
.

Случайная величина имеет c2
– распределение
с r степенями свободы
(r = 1; 2; 3; …), если ее плотность имеет вид

где c_r
– которая положительная постоянная ( c_r
определяется из равенства ²
с r
степенями свободы, будет обозначаться _i
и теоретические частоты _i
)при
распределение статистики стремится к – распределению с r степенями свободы.
Эта теорема объясняет, почему статистика Пирсона обозначается через

Если в качестве предполагаемого выбрано одно их трех основных непрерывных распределений (нормальное, показательное или равномерное), то r = i – 3, где i – количество промежутков, на которые разбита числовая ось (количество групп опытных данных). В общем случае

где а
и s для нормального распределения.

Следовательно

R=i-Nпар
-1=10-2-1=7

5.5. Правило проверки гипотезы о законе распределения случайной величины.

Ранее отмечалось (и этот факт очевиден), что статистика ²
³0), причем в нуль она обращается в одном – единственном случае – при совпадении всех соответствующих эмпирических и теоретических частот (т.е. при критическим значением
(или критической точкой) и обозначаемый через область принятия гипотезы,
характеризующаяся неравенством критическую область
(или область отвержения гипотезы), определяемую неравенством

Однократное
измерение

Условие.При
однократном
измерении
физической
величины получено
показание
средства измерения
X
= 10. Определить,
чему равно
значение измеряемой
величины, если
экспериментатор
обладает априорной
информацией
о средстве
измерений и
условиях выполнения
измерений,
согласно исходным
данным.

Исходные
данные:

Показание
средства измерения
– X
= 10.

Вид закона
распределения
– равномерный.

Значение
оценки среднеквадратического
отклонения
– SX= 0,8.

Значение
аддитивной
поправки – Θa
= 0,9.

Расчет.
Так как в качестве
априорной
используется
информация
о законе распределения
вероятности,
т.е. закон распределения
вероятности
является равномерным,
то пределы, в
которых находится
значение измеряемой
величины,
определяются
через доверительный
интервал:

Для
равномерного
закона распределения
вероятности
результата
измерения
значение E
(аналог доверительного
интервала)
можно определить
из выражения:

Внесем
аддитивную
поправку и
уточним пределы,
в которых находится
значение измеряемой
величины.

Многократное
измерение

Условие.
При многократном
измерении одной
и той же физической
величины получена
серия из 24 результатов
измерений Q_i;

Исходные
данные:

Таблица 1

Расчет.
Порядок расчета
и их содержание
определяются
условием:

10…15 < n<
40…50,

так как n
= 24.

1. Определяем
оценки результата
измерения

Таблица 2

2. Необходимо
обнаружить
и исключить
ошибки. Для
этого:

– вычисляем
наибольшее
по абсолютному
значению
нормированное
отклонение

P
= 0,95 и из соответствующих
таблиц (табл.
П6) с учетом q
= 1 – P
находим соответствующее
ей теоретическое
(табличное)
значение
n
= 24;
– сравниваем
Q_i,т.е. Q₂₄
является ошибочным,
он должен быть
отброшен. Необходимо
повторить
вычисления
по п.п. 1 и 2 для
сокращенной
серии результатов
измерений и
проводить их
до тех пор, пока
не будет выполняться
условие

Повторяем
вычисления,
при этом отбрасываем
измерение №24:

Таблица 3

n
= 23;
Сравниваем

Таблица 4

n
= 22;
Сравниваем
n
= 22.

3. Проверяем
гипотезу о
нормальности
распределения
оставшихся
результатов
измерений.

– Применяем
критерий 1, вычисляем
отношение

P₁
= 0,99 и для уровня
значимости
q₁
= 1 – P₁
по таблице П7
определяем
квантили
распределения
n
= 22.
– сравниваем

Так как
n
> 15, применяем
критерий 2.

– задаемся
доверительной
вероятностью
P2
= 0,98 и для уровня
значимости
q2
= 1 – P2
с учетом n
= 22 определяем
по таблице П8
значения m
и P*.
m
= 2; P*
= 0,97.

– для
вероятности
P*
из таблиц для
интегральной
функции нормированного
нормального
распределения
Ф(t)
определяем
значение t:

при Ф(t)
= 0,485 t
= 2,17;

Рассчитываем
E:

m
разностей
E.
Из таблицы 4
видно, что ни
одна разность

E
= 3,4566. Следовательно,
гипотеза о
нормальном
законе распределения
вероятности
результата
измерения
согласуется
с экспериментальными
данными.
Соблюдаются
оба критерия,
значит закон
можно признать
нормальным
с вероятностью

4. Определяем
стандартное
отклонение
среднего
арифметического.

Так как
закон распределения
вероятности
результата
измерений
признан нормальным,
то стандартное
отклонение
определяем
как:

5. Определяем
доверительный
интервал.

Закон
распределения
вероятности
результата
измерений
признан нормальным,
поэтому доверительный
интервал для
заданной
доверительной
вероятности
P
определяется
из распределения
Стьюдента.

P
= 0,98;
t
= 2,33;

Значение
Q
будет находиться
в пределах:

Обработка
результатов
нескольких
серий измерений

Условие.
При многократных
измерениях
одной и той же
величины получены
две серии по
12 (nj)
результатов
измерений в
каждой. Эти
результаты
после внесения
поправок представлены
в таблице 5.

Исходные
данные:

Таблица 5

Расчет.

1. Обрабатываем
экспериментальные
данные по алгоритму,
изложенному
в п.п. 1–3 задания
2, при этом:

– определяем
оценки результата
измерения

– обнаруживаем
и исключаем
ошибки;

– проверяем
гипотезу о
нормальности
распределения
оставшихся
результатов
измерений.

Таблица 6

n
= 12;
– сравниваем
Q_1,11
и Q_2,12
являются ошибочными,
они должны быть
отброшены.

Повторяем
вычисления,
при этом отбрасываем
измерения №1-11
и №2-12:

Таблица 7

n
= 11;
Сравниваем
n
= 11.
– Так
как n

2. Проверяем
значимость
различия средних
арифметических
серий. Для этого:

– вычисляем
моменты закона
распределения
разности:

n1
= n2
= n

– задавшись
доверительной
вероятностью
P
= 0,95, определяем
из таблицы
интегральной
функции нормированного
нормального
распределения
Ф(t)
значение t.

t =
1,645

– сравниваем

3. Проверим
равнорассеянность
результатов
измерений в
сериях, для
этого:

– определяем
значение Ψ:

Из таблицы
находим значение
аргумента
интегральной
функции распределения
Фишера Ψ0;
Ψ0=1,96 при
P=0,95.

Сравниваем
Ψ и Ψ0:
Ψ > Ψ0,
следовательно,
серии с доверительной
вероятностью
P
= 0,95 считаем рассеянными.

4. Обрабатываем
совместно
результаты
измерения обеих
серий с учетом
весовых коэффициентов:

– определяем
оценки результата
измеренияS

– задавшись
доверительной
вероятностью
P
= 0,95, определяем
по таблице t
= 1,96. Определяем
доверительный
интервал.

Функциональные
преобразования
результатов
измерений
(косвенные
измерения)

Условие.
При многократных
измерениях
независимых
величин X
и Y
получено по
12 (n)
результатов
измерений. Эти
результаты
после внесения
поправок представлены
в таблице 8.
Определить
результат
вычисления
Z = f (X,Y).

Исходные
данные:

Таблица 8

Расчет.

1. Обрабатываем
экспериментальные
данные по алгоритму,
изложенному
в п.п. 1–3 задания
2, при этом:

– определяем
оценки результатов
измерений

– обнаруживаем
и исключаем
ошибки;

– проверяем
гипотезу о
нормальности
распределения
оставшихся
результатов
измерений.

Таблица 9

n
= 12;
– сравниваем
X₁₁
и Y₁₂
являются ошибочными,
они должны быть
отброшены.

Повторяем
вычисления,
при этом отбрасываем
измерения X11
и Y12:

Таблица 10

n
= 11;
Сравниваем
X₁₀
и Y₉
не являются
ошибочными
и окончательно
остается 11 измерений
для обоих видов
величин измерений,
т.е. n
= 11.
Так как
n

2. Определяем
оценку среднего
значения функции

3. Находим
частные производные
первого и второго
порядка для
функции Z = f (X,Y)
по X
и Y.

Определяем
поправку:

4. Определяем
оценку стандартного
отклонения
функции

5. Находим
число степеней
свободы

Определяем
доверительный
интервал для
функции, для
этого задаемся
доверительной
вероятностью
P
= 0,98 и из распределения
Стьюдента
находим t

n =
m
1 = 17 1 = 18

t =
2,57

Значение
функции будет
находиться
в промежутке:

Определение
погрешностей
результатов
измерений
методом математической
статистики

Условие.
В ходе измерений
физической
величины получены
100 результатов
измерения,
представленных
в таблице 11.
Исключить
погрешности
и определить
достоверный
результат
измерения.

Исходные
данные:

Таблица 11

Расчет.
Случайные
погрешности,
имеющие место
при измерении,
подчиняются
закону нормального
распределения,
который графически
изображается
кривой Гаусса,
имеющей симметричную
форму с округленной
вершиной и с
каждой стороны
по одной точке
перегиба на
некотором
расстоянии
от вершины.

При проведении
исследования,
чтобы составить
графики и определить,
на сколько
полученная
кривая рассеяния
фактических
результатов
измерения
приближается
к теоретической
кривой нормального
распределения,
обе кривые надо
начертить
совмещёнными
в одинаковом
масштабе.

С
этой целью
рассчитаем
данные, необходимые
для построения
кривой нормального
распределения.
Для сокращения
расчетов и
упрощения
примерного
построения
кривой нормального
распределения
можно ограничиться
определением
только трех
параметров:
максимальной
ординаты Ymax
(при X = 0),
ординаты для
точек перегиба
Yσ
(при X
= ±SQ)
и величины поля
рассеяния.

Результаты
измерения Qi
разбиваем на
9 групп через
установленные
интервалы с
указанием
абсолютной
частоты (mi)
появления
результата
измерения
внутри каждого
интервала.
Данные располагаем
для удобства
расчетов в
форме таблицы
(таблица 12), заполняемой
по мере проведения
расчетов.

Величина
интервала
определяется
по формуле:

Таблица 12

Определим
среднеквадратическое
отклонение:

Для построения
кривой нормального
рассеяния
определим:

1. Y_max:

2. Y
для точек перегиба
(X
= σ):

3. Величина
поля рассеяния

4. Координаты
кривой нормального
рассеяния

По этим данным
строится кривая
нормального
распределения
непосредственно
на графике
рассеяния
фактических
значений.

Величина
смещения центра
поля рассеяния
от середины
области допустимых
значений по
абсциссе равна:

где: Qср
– абсцисса
центра поля
рассеяния;

Qв
– верхнее предельное
значение области
допустимых
значений;

Qн
– нижнее предельное
значение области
допустимых
значений.

Значения
аргумента для
верхнего и
нижнего предельно
допустимых
значений определим
по формулам:

Вероятность
ошибки τ (%)

– по верхнему
пределу, τв
= [0,5–Ф(Zв)]·100%=[0,5–Ф(1,86)]·100%=3,14%

– по нижнему
пределу, τн
= [0,5–Ф(Zн)]·100%=[0,5–Ф(-1,52)]·100%=6,43%

Литература

1. Шишкин И.Ф.
   Метрология,
   стандартизация
   и управление
   качеством –
   М.: Изд-во стандартов,
   1990.

2. ГОСТ 8.401–80.

3. Бронштейн
   И.Н., Семендяев
   К.А. Справочник
   по математике
   для инженеров
   и учащихся
   вузов. – М.: Наука,
   1986. – 544 с.

4. Атамалян
   Э.Г. Приборы и
   методы измерения
   электрических
   величин. – М.:
   Высшая школа,
   1989. – 384 с.

МИНИСТЕРСТВО
ОБРАЗОВАНИЯ
РФ

ОРЛОВСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ

Ливенский
политехнический
колледж

(филиал) Орел
ГТУ

кафедра
ПМиС

КУРСОВАЯ
РАБОТА

по дисциплине:
«Метрология,
стандартизация
и сертификация»

по теме:
«Статистическая
обработка
экспериментальных
данных»

Выполнил:

студент
гр. 21 – с

направление
550100

курс
2

шифр
994145 ____________________Старина
А.Г.

Работу
проверил ____________________Бакурова
Ю.А.

Оценка
___________________

Дата
защиты ______________

ЛИВНЫ 2002

Область принятия критическая область

гипотезы

Как же найти критическое значение

называется уровнем значимости.

Чтобы определить критическое значение
к = 0,05
(условие курсовой работы) . Подводя итоги, сформулируем правило проверки гипотезы
о законе распределения случайной величины с помощью

1) Проводят n независимых наблюдений случайной величины (принято считать, что должно быть n³ 100).

2) Разбивают всю числовую ось на несколько (как правило, на 8…12) промежутков

так, чтобы количество измерений в каждом из них (называемое эмпирической

частотой
) оказалось не менее пяти (т.е.
³ 5 при каждом i).

3) Выдвигают (например, судя по профилю гистограммы) гипотезу о законе распределения изучаемой случайной величины и находят параметры этого закона (чаще всего, заменяя математическое ожидание и дисперсию их оценками).

4) С помощью предполагаемого (теоретического) распределения находят теоретические вероятности p_i
и теоретические частоты _i
попадания значений случайной величины в i-й промежуток.5) По эмпирическим и теоретическим частотам вычисляют значения статистики ²_набл..

6) Определяют число r степеней свободы.

7) Используя заданное значение уровня значимости

8) Формулируя вывод, опираясь на основной принцип проверки статистических гипотез
:

если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, т.е. если

5.6.Вывод о соответствии выдвинутой гипотезы и опытных данных в варианте.

Правило проверки выдвинутой гипотезы о законе распределения изучаемой случайной величины для данного варианта реализовано в таблице:

Замечания: 1. Заданное значение уровня значимости ошибкой первого рода.
Таким образом, уровень значимости ошибкой второго рода
называется принятие гипотезы в случае, когда она неверна.надежность

противоположны, то

Статистическая обработка данных