Соотношение неопределённостей Гейзенберга

Соотношение неопределённостей Гейзенберга Реферат

Соотношение неопределённостей
гейзенберга

Принцип
неопределённости Гейзенберга — в квантовой 
физике так называют закон, который
устанавливает ограничение на точность
(почти) одновременного измерения переменных
состояния, например, положения и импульса
частицы. Кроме того, он точно определяет
меру неопределённости, давая нижний (ненулевой)
предел для произведения дисперсий измерений.

Рассмотрим,
например, серию следующих экспериментов:
путём применения оператора, частица 
приводится в определённое чистое состояние,
после чего выполняются два последовательных
измерения. Первое определяет положение 
частицы, а второе, сразу после этого,
её импульс.

Предположим также, что процесс
измерения (применения оператора) таков,
что в каждом испытании первое измерение
даёт то же самое значение, или по крайней
мере набор значений с очень маленькой
дисперсией dp около значения p. Тогда второе
измерение даст распределение значений,
дисперсия которого dq будет обратно пропорциональна
dp.

В
терминах квантовой механики, процедура 
применения оператора привела частицу 
в смешанное состояние с определённой
координатой. Любое измерение импульса
частицы обязательно приведёт к дисперсии
значений при повторных измерениях. Кроме
того, если после измерения импульса мы
измерим координату, то тоже получим дисперсию
значений.

В
более общем смысле, соотношение 
неопределённости возникает между 
любыми переменными состояния, определяемыми
некоммутирующими операторами. Это — один
из краеугольных камней квантовой механики,
который был открыт Вернером Гейзенбергом
в 1927 г. 

     КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ
ДУАЛИЗМ 

Корпускулярно-волновой
дуализм — это теория о том, что любое
вещество (электромагнитное излучение,
физическое тело, атом и т.п.) представляется
на микроуровне одновременно и как мельчайшие
частицы (корпускулы), и как волны. В частности,
свет — это и корпускулы (фотоны), и электромагнитные
волны.

Французский
ученый Луи де Бройль (1892-1987) осознавая
существующую в природе симметрию и развивая
представления о двойственной корпускулярно-волновой
природе света, выдвинул в 1923 г. гипотезу
об универсальности корпускулярно-волнового
дуализма.

Он утверждал, что не только
фотоны, но и электроны и любые другие
частицы материи наряду с корпускулярными
обладают также волновыми свойствами.
Согласно де Бролю, с каждым микрообъектом
связываются, с одной стороны, корпускулярные
характеристики — энергия E и импульс p,
а с другой стороны — волновые характеристики
— частота и длина волны.

Так
как дифракционная картина исследовалась 
для потока электронов, то необходимо
было доказать, что волновые свойства
присущи каждому электрону в 
отдельности. Это удалось экспериментально
подтвердить в 1948 г. советскому физику
В. А. Фабриканту.

Он показал, что даже в
случае столь слабого электронного пучка,
когда каждый электрон проходит через
прибор независимо от других, возникающая
при длительной экспозиции дифракционная
картина не отличается от дифракционных
картин, получаемых при короткой экспозиции
для потоков электронов в десятки миллионов
раз более интенсивных.

Современная
трактовка корпускулярно-волнового 
дуализма может быть выражена словами 
физика В. А. Фока (1898-1974): «Можно сказать,
что для атомного объекта существует потенциальная
возможность проявлять себя, в зависимости
от внешних условий, либо как волна, либо
как частица, либо промежуточным образом.

Список 
используемых источников
и литература

  1. Демиховский
    В. Я. Квантовые ямы, нити, точки. Что 
    это такое? Соросовский обозревательный 
    журнал  №5 М., 1997 г.
  2. Карпенков
    С.Х. Основные концепции естествознания
    М., 1998 г.
  3. Концепции
    современного естествознания.  Дубнищева
    Т.Я. — М.: Издательский центр «Академия»,
    2006.
  4. Машкин Н.
    Ф. Квантовая физика М., 1986 г.
  5. Начала современного
    естествознания: концепции и принципы:
    учебное пособие / В.Н. Савченко, В.П. Смагин.
    — Ростов н/Д.: Феникс, 2006.
  6. Открытая
    Физика 2.5

Учебное пособие: соотношения неопределённостей гейзенберга —

Соотношения неопределенностей в операторной форме

Содержание: Сопряжённые динамических переменных ([импульс-координата]; [энергия-время]; [момент импульса-угол поворота]). Квант действия. Принцип исключения в операторной форме, определяющий возможность совместного измерения динамических переменных.

Принцип неопределённости и его операторные выражения.

7.2. Поставим фундаментальный вопрос: «Зависит ли результат измерения от организации самой процедуры измерения? Можно ли сконструировать универсальные приборы для совместного измерения любых величин?» Если ответ положительный, то последовательность измерений любой пары физических величин не играет роли, и процедуры их измерения можно выполнять в любом порядке. Если же ответ отрицательный, следует ожидать, что изменяя порядок измерений, можно получить и иной результат. Исследуем эту ситуацию.

Предстоит решить очень важную проблему, связанную с возможностью совместного измерения различных динамических переменных. Для этого рассмотрим две динамические характеристики. Им соответствуют эрмитовы операторы Соотношение неопределённостей Гейзенберга и Соотношение неопределённостей Гейзенберга, независимо преобразующие волновую функцию. В простейшем случае совместное измерение величин является комбинацией из двух последовательно выполняемых элементарных процедур. Как это выглядит математически?

Первичному измерению величины отвечает преобразование вида A = Соотношение неопределённостей Гейзенберга. После дующее вслед за величиной измерение величины порождает вторичное преобразование вида B=Соотношение неопределённостей ГейзенбергаA = Соотношение неопределённостей Гейзенберга. В целом последовательности двух измерений отвечает цепочка из двух преобразований волновой функции в виде операторного уравнения вида:

Рефераты:  Реферат: Информация, информатика, представление информации -

B = Соотношение неопределённостей Гейзенберга.

7.2.3. Меняя порядок измерения величин, следует в общем случае ожидать и иного результата. Если первой измерена величина , а второй величина то первое измерение отображается преобразованием C = Соотношение неопределённостей Гейзенберга, а второе измерение уже D=Соотношение неопределённостей ГейзенбергаC = Соотношение неопределённостей Гейзенберга, так что

D = Соотношение неопределённостей Гейзенберга.

Две эти разные последовательности измерений двух величин порождают два конечных результата B и D. В общем случае они могут не совпадать, но не исключён и нулевой результат. Составим их разность, и соберём все операторы слева от символа преобразуемой волновой функции, используя свойство ассоциативности эрмитовых операторов:

Соотношение неопределённостей Гейзенберга= Соотношение неопределённостей Гейзенберга.

Оператор Соотношение неопределённостей Гейзенберга называется коммутатором (по-русски «перестановщик»).

7.2.4. Мы подготовились к очень важным заключениям, а именно:

а) если итог двух последовательных измерений независим от порядка их осуществления, то коммутатор должен быть нулевым:

Соотношение неопределённостей Гейзенберга, т.е.

Соотношение неопределённостей ГейзенбергаСоотношение неопределённостей ГейзенбергаСоотношение неопределённостей Гейзенберга.

Компактно это выглядит как: Соотношение неопределённостей Гейзенберга.

б) если итог двух последовательных измерений всё же зависит от порядка их выполнения, то Соотношение неопределённостей Гейзенберга, т.е.

Соотношение неопределённостей ГейзенбергаСоотношение неопределённостей ГейзенбергаСоотношение неопределённостей Гейзенберга.

Коммутатор здесь не равен нулю: Соотношение неопределённостей Гейзенберга.

7.2.5.1. При нулевом коммутаторе Соотношение неопределённостей Гейзенберга порядок измерений не влияет на получаемую количественную информацию, и обе величины и могут быть измерены совместно (в одном едином общем эксперименте с помощью единого прибора).

7.2.5.2. Если коммутатор Соотношение неопределённостей Гейзенберга ненулевой, то получаемая информация зависит от последовательности измерений, и величины и в одном приборе в принципе совместно не могут быть измерены.

Что же имеет место в природе на самом деле? Попробуем получить ответ.

7.3.Соотношения неопределённостей Гейзенберга.

7.3.1. Накоплена достаточная информация, чтобы решить одну из важнейших проблем квантовой механики, связанную с совместными измерениями динамических переменных.

Исследуем, можно ли измерить:

— импульс частицы, находящейся в определённой точке пространства;

— момент импульса вращающейся частицы в определённой точке орбиты;

— энергию системы в конкретный момент времени.

7.3.2. Выбор этих пар динамических переменных не случаен. Эти пары величин взаимно дополняют друг друга таким образом, что их произведение обладает размерностью циклической константы Планка Соотношение неопределённостей Гейзенберга, так что Соотношение неопределённостей Гейзенберга.

Размерность величины Соотношение неопределённостей Гейзенберга является произведением размерностей энергии и времени или импульса и расстояния. Физическую величину с такой размерностью принято называть действием. В силу этого-то константу Планка часто называют квантом действия.

7.3.3. Образуем три коммутатора Соотношение неопределённостей Гейзенберга, Соотношение неопределённостей Гейзенберга, Соотношение неопределённостей Гейзенберга, необходимых для исследования этих трёх ситуаций согласно выводам предыдущих параграфов. Сразу же запишем выражения и для комплексно сопряжённых операторов.

7.3.4. Первый коммутатор построим из оператора компоненты импульса и соответствующей ему координаты:

Соотношение неопределённостей Гейзенберга

7.3.5. Второй коммутатор построим аналогично из оператора момента импульса и ему соответствующей координаты — угла поворота плоского ротатора:

Соотношение неопределённостей Гейзенберга.

7.3.6. Также и третий коммутатор построим из оператора энергии и времени. Зависящий от времени гамильтониан заимствуем из временного уравнения Шрёдингера:

Соотношение неопределённостей Гейзенберга

Перед Вами наиболее последовательный операторный вывод соотношений неопределённостей Гейзенберга. Они относятся к числу фундаментальных законов природы.

7.3.7. Все три коммутатора не равны нулю, и их численные значения мнимые и равны либоСоотношение неопределённостей Гейзенберга, либо —Соотношение неопределённостей Гейзенберга. Вместо мнимых значений удобно построить на их основе действительные квадраты модулей. Для этого каждое из полученных мнимых значений умножается на комплексно сопряжённую величину. Полагая волновую функцию нормированной, для компоненты импульса и соответствующей координаты получаем равенства:

Соотношение неопределённостей Гейзенберга

Квадрат модуля каждого из трёх коммутаторов один и тот же. Во всех случаях получается Соотношение неопределённостей Гейзенберга. Во всех случаях получается квадрат циклической константы ПланкаСоотношение неопределённостей Гейзенберга:

Соотношение неопределённостей Гейзенберга (7.4)

7.3.8. Это значение получено наиболее строго и представляет собою среднеквадратичный разброс, теоретически предопределённый для любого эксперимента, нацеленного на совместное измерение пар динамических переменных.

Разброс порядка величины константы Планка Соотношение неопределённостей Гейзенберга для явлений микромира очень велик — настолько велик, что совместные количественные измерения динамических переменных с таким коммутатором лишены физического содержания.

Так в определённой точке линейной траектории невозможно точно указать величину импульса системы, и, напротив, при точно фиксированном импульсе системы невозможно указать её точное положение.

В определённой точке траектории криволинейного движения невозможно указать вектор момента импульса, но если момент импульса фиксирован, то нельзя указать положение тела на криволинейной траектории.

В точно определённый момент времени невозможно указать энергию движущегося тела, и напротив, точное определение энергии тела не может быть привязано к определённому моменту времени в эволюции системы.

7.3.9. В некоторых задачах квантовой механики гамильтониан удаётся выразить через вышеприведённые коммутаторы, а их можно заменить просто мнимым числом. В подобных задачах удаётся отыскать правила квантования энергии наиболее просто, и с такими случаями нам придётся познакомиться позднее.

Рефераты:  Реферат: Экологические проблемы и их решения. Скачать бесплатно и без регистрации

В элементарной квантовой теории их представлют также в виде произведений предельных ошибок, неизбежных при совместных измерениях, а именно:

Соотношение неопределённостей Гейзенберга

или как произведение неизбежных среднеквадратичных отклонений:

Соотношение неопределённостей Гейзенберга

Читатель, видимо, понял, что форма представления соотношений Гейзенберга определяется лишь способом вычисления погрешностей, но суть их всюду одна и та же.

Корпускулярно-волновая природа микромира не допускает чрезмерно упрощённых представлений о локализованных системах, «воткнутых, втиснутых» в материальные точки.

Мир на самом деле состоит из элементов в достаточной мере делокализованных, хотя они и ничтожно малы по нашим меркам. Первичное ощущение «твердокаменности» той или иной системы и проистекающее отсюда её восприятие могут быть обманчивы, и лишь строгий анализ фактов исключает заблуждения и ошибки.

Но тем, кто всё же решил, что принцип Гейзенберга разрешает ошибаться, заметим, что это мнимое право люди (особенно в той или иной мере причастные к власти) присваивают и эксплуатируют куда чаще, чем допускают законы природы (да и законы общества тоже!), и напомним крылатую фразу знаменитого пройдохи и циника Талейрана: «…Это не преступление! Это гораздо хуже! Это же ошибка!».

При описании механических движений в системе частиц с номерами: {1,2, 3,…n}
могут быть использованы различные пространственные переменные (прямоугольные-декартовы, косоугольные, полярные (шаровые, цилиндрические или эллиптические). Их полная совокупность, достаточная для составления исчерпывающих уравнений механики в конкретной задаче, называется конфигурационным пространствомK
. Координаты могут быть декартовы {x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3, … xn, yn, zn},
или полярные, например, шаровые {r1, J1, j1, r2, J2, j2, r3, J3, j3, … rn,Jn, jn},
или любые другие — в общем виде: Соотношение неопределённостей Гейзенберга Максимальная размерность конфигурационного пространства K
равна 3n
— утроенному числу частиц в системе. Принадлежность переменных к конфигурационному пространству можно указать с помощью символов — кванторов включения, например, в виде: Соотношение неопределённостей Гейзенберга.

Постулат 1.Волновая функция и её свойства
(конечность, однозначность, непрерывность и нормировка)

Формулировка:

Всякое состояние квантово-механической системы описывается функцией состояния — волновой функцией, заданной на многообразии всех переменных конфигурационного пространства системы, и также времени:

Соотношение неопределённостей Гейзенберга

Волновые функции обязаны удовлетворять нескольким математическим требованиям. Они должны быть: 1) конечны, 2) однозначны, 3) непрерывны, 4) нормированны, т.е.: Соотношение неопределённостей Гейзенберга;(5.1)

Область интегрирования охватывает весь возможный диапазон значений каждой переменной во всём пространстве K
. Вероятностный смысл волновой функции:

Соотношение неопределённостей Гейзенберга

Соотношение неопределённостей ГейзенбергаСоотношение неопределённостей Гейзенберга

Соотношение неопределённостей Гейзенберга (5.2)

Нормировка оказывается условием суммирования плотности вероятности во всём конфигурационном пространстве. Квадрат модуля волновой функции является плотностью вероятности, с которой физическая система, пребывая в том физическом состоянии, которое описывается волновой функцией Y, распределена по конфигурационному пространству. Функции, отвечающие условиям 1, 2, 3 называются регулярными.

Волновая функция это математический образ квантово-механического состояния физической системы. Конечно же, это функция механического состояния системы.

Постулат 2. Измерения физических величин и операторные уравнения на собственные значения эрмитовых операторов

Формулировка:

Разрешёнными значениями динамической переменной являются те, что являются собственными значениями эрмитова оператора данной динамической переменной:

Соотношение неопределённостей Гейзенберга (5.3)

Операторные уравнения являются математическими образами измерений. Операторы удобно рассматривать в качестве образов макроскопических приборов. Выражения для операторов основных динамических переменных. Оператор импульса и его rомпоненты (из формулы бегущей волны де Бройля). Операторы координат и оператор потенциальной энергии совпадают с самими этими переменными. Взаимосвязь операторов различных динамических переменных определяется тем, что они отображают макроскопическое устройство приборов. Операторы момента импульса одной частицы и его компонент имеют вид Соотношение неопределённостей Гейзенберга, оператор кинетической энергии единственной частицы равен Соотношение неопределённостей Гейзенберга, а для системы нескольких частиц представляет собою сумму вида Соотношение неопределённостей Гейзенберга. Радиус-вектор частицы Соотношение неопределённостей Гейзенберга, и его оператор представляет собой просто множитель перед волновой функцией, т.е. имеет вид: Соотношение неопределённостей Гейзенберга. Оператор потенциальной энергии это также просто множитель перед волновой функцией U
(r
)×, оператор полной энергии – гамильтониан складывается из операторов кинетической и потенциальной энергии:Соотношение неопределённостей Гейзенберга
. (5.4) Принимается, что Соотношение неопределённостей Гейзенбергаи операторы всех прочих динамических переменных построены из этих двух по формулам классической механики.

Причина классической схемы взаимосвязи кроется в том, что операторы являются образами макроскопически устроенных приборов, а конструкционные компоненты которых подчиняются законам классической (макроскопической) физики.

Состояния и волновые функции, соответствующие определённым квантованным значениям физически наблюдаемой величины — тем, которые непосредственно проявляются в измерениях, называются чистыми.

Постулат 3.Уравнения Шрёдингера (временное и стационарное)

Формулировка:

Волновые функции, описывающие возможные состояния изменяющейся во времени физической системы, являются решениями временного уравнения Шрёдингера:

Соотношение неопределённостей Гейзенберга (5.5)

Для стационарной системы уравнение Шрёдингера принимает вид операторного уравнения на собственные значения гамильтониана:

Соотношение неопределённостей Гейзенберга (5.6)

Обратимся к стационарнымсистемам. Введём гамильтониан, не зависящий от времени, и получится стационарное уравнение Шрёдингера. Выявим смысл комплексного сопряжения волновых функций как признак механической обратимости во времени решений уравнения Шрёдингера:

Рефераты:  Реферат на тему" Фразеологизмы" | Статья по русскому языку: | Образовательная социальная сеть

Соотношение неопределённостей Гейзенберга

Результат (5.9)- это стационарное уравнение Шрёдингера. Оно представляет собой операторное выражение закона сохранения энергии стационарной системы. Это чисто пространственная часть общего решения. Временная часть описывает периодический процесс.

Внимание! Операция комплексного сопряжения временной компоненты волновой функции состоит в замене знака перед аргументом — временем в показателе комплексной экспоненты. Эта простая алгебраическая операция совершенно идентична простой замене знака перед переменной времени. Получается, что при изменении отсчёта времени на обратное, не изменяются законы, которым починяется физическая система. Это важнейший результат, состоящий в том, что уравнение Шрёдингера описывает процессы, обратимые во времени.

Постулат 4. Суперпозиция состояний.
Состояния чистые и смешанные. Математические и физические основания принципа суперпозиции

Формулировка 1 (скорее математическая):

Если две волновые функции fp
и fq
являются решениями операторного уравнения на собственные значения, то их линейная комбинация F=cp
fp
cq
fq
также является его решением.

Истоки этой формулировки лежат в теории дифференциальных уравнений.

Формулировка 2 (скорее физическая):

Если система может находиться в состояниях с волновыми функциями fp
и fq
, то она может находиться и в состоянии с волновой функцией F=cp
fp
cq
fq
.

Истоки этой формулировки происходят из убеждения, что до опыта нельзя предсказать, в каком состоянии находится система, а потому приходится допустить для неё сразу все возможности.

Речь о тех функциях, что совокупность которых образует спектр собственных функций эрмитова оператора (оператора динамической переменной). Эта ситуация может быть распространена на любое число собственных функций линейного самосопряжённого оператора: Соотношение неопределённостей Гейзенберга

Этот постулат называется принципом суперпозиции состояний и допускает обобщение на любое число собственных функций, образующих спектр эрмитова оператора. Функции fk
отвечают так называемым чистым состояниям, а их суперпозиция F — смешанному состоянию.

Постулат 5. Средние значения динамических переменных. Математические ожидания для динамических характеристик состояний чистых и смешанных

Формулировка:

Среднее значение динамической переменной, полученное в результате серии испытаний (измерений) совпадает с математическим ожиданием динамического оператора этой переменной, которое вычисляется по формуле:

Соотношение неопределённостей Гейзенберга; (5.11)

Для чистых состояний это уравнение является формальным следствием 2-го постулата, но для случая смешанных состояний эта формула постулируется и тем самым возводится в ранг физического закона.

Постулат 6. Принцип Паули

Формулировка:

Полная волновая функция, коллектива идентичных фермионов антисимметрична относительно перестановки любой пары частиц между их индивидуальными одночастичными состояниями.

Это свойство можно записать в виде

Соотношение неопределённостей Гейзенберга. (5.12)

О перестановочной симметрии коллектива частиц.

Удобно ввести оператор перестановки Соотношение неопределённостей Гейзенберга, действие которого состоит в том, что он меняет местами идентичные частицы с номерами k и l между их одночастичными состояниями или что совершенно одно и то же – меняет состояния этих двух частиц между собой.

Если заранее оговорить, что всегда номера идентичных частиц в коллективе определяются просто порядковым номером в цепочке-перечислении, то номер можно и не записывать в явной форме. В таком случае записывая в позиции частицы символ какой-то волновой функции, удобно считать её символом состояния, в которое частица попадает.

Действуя на волновую функцию, оператор перестановки исторгает из неё собственное значение, но при этом умудряется её самоё не изменять. Перед нею просто возникает некоторое число — собственное значение этого оператора. Если же оператор перестановки применить к волновой функции коллектива повторно, то обе переставляемые частицы возвращаются на исходные позиции – в исходные состояния, и волновая функция обязана обратиться вновь сама в себя. Система возвращается в исходную ситуацию, и поэтому собственное значение квадрата оператора перестановки равно единице. Получаем равенства:

Соотношение неопределённостей Гейзенберга

Заключение

Несмотря 
на совершенно новый взгляд на многие
природные явления, квантовую механику
никак нельзя расценивать как полное
опровержение классической физики. Последняя
может рассматриваться как предельный
случай квантовой механики или как первое
и очень грубое приближение к ней.

Как
подчеркивал Поль Дирак, соответствие
между квантовой и классической теориями
состоит не только в их предельном согласии.
Соответствие заключается прежде всего
в том, что математические операции двух
теорий во многих случаях подчиняются
одним и тем же законам и описываются одной
математической структурой. Отличия заключаются
лишь в представлении (реализации) этих
структур конкретными математическими
объектами.

Сегодня
физики твердо верят в то, что 
наш мир един и познаваем. Все 
разнообразие природных явлений 
просто обязано описываться в 
рамках некоего единого универсального
подхода. Другое дело, что человек пока
еще не до конца сумел понять глубинную
сущность законов природы и пределы познаваемости
мира.

Оцените статью
Реферат Зона
Добавить комментарий