Теоремы сложения и умножения вероятностей |

Возникновение
теории вероятностей как науки.
Основные
понятия теории вероятностей.
Классическое
определение вероятности событий и его
ограниченность.
Статистическое
определение вероятности. Относительная
частота.
Геометрический
подход к определению вероятностей.
Операции
над событиями. Теоремы сложения и умножения
вероятностей.
Применение
формул комбинаторики к вычислению вероятностей.

     1.
Возникновение теории 
вероятностей как 
науки
     Зарождается
в 16-17вв. как попытка создания теории
азартных игр.(Гюйгенс, Паскаль, Ферма).
     Задача 
Пачиолли: 2 игрока сделали ставку и
выигрывал тот, кто первый выигрывает
m партий. Но игра была прервана после того,
как первый выиграл a (a<m), а второй (b<m)
партий. Как справедливо разделить ставку?
(a:b – решение Пачиолли не верно). Через
50 лет Кардано (1501-1576) тоже неверное решение.
И только в 1654 г. в переписке Паскаля и
Ферма эта задача решена для случая m=3,
а=2 и b=1. (ответ 3:1).
     Следующий
этап (Яков Бернулли 1654-1705) – доказан «Закон
больших чисел» – первое теоретическое
обоснование накопленных фактов.
     Середина 
XVII в. – исследования Паскаля (1623 – 1692),
Ферма (1601 – 1665), Гюйгенса (1629 – 1695) в области
теории азартных игр, исследования нашли
применение в теории страхования.
     Дальнейшими
успехами теория вероятностей обязана 
Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и др.
     Муавр
(1667 – 1754) – ввёл в рассмотрение нормальный
закон.
     Лаплас
(1749 – 1827) – впервые дал систематическое 
изложение основ теории вероятностей,
развил приложения теории вероятностей
к анализу ошибок наблюдений и измерений.
     Гаусс
(1777 – 1855) – дал более общее обоснование 
нормальному закону.
     Пуассон
(1781 – 1840) – дал более общую формулировку
закона больших чисел, закон распределения
Пуассона, применение теории вероятностей
к задачам стрельбы.
     Следующий
наиболее плодотворный период – Чебышев 
П.Л. (1821-1894), Марков А.А. (1856-1922), Лопухов
(1857-1916). В этот период ТВ становится
стройной математической наукой.
     Отечественные
учёные.
     Буняковский
В. Я. (1804 – 1889) – автор первого курса 
теории вероятностей на русском языке,
исследования в области статистики
и демографии.
     Чебышев
П. Л. (1821 – 1894) – расширение и обобщение 
закона больших чисел, ввёл метод 
моментов.
     Марков 
А. А. (1856 – 1922) – заложил новые ветви теории
вероятностей – теории стохастических
(случайных) процессов – развитие этой
теории основное содержание новейшей
современной теории вероятностей.
     В
настоящее время развитие теории
случайных процессов, новые ветви
«теория информации», «теория массового
обследования». Круг приложений теории
вероятностей постоянно увеличивается. 

     §1.1
Возникновение теории
вероятностей как 
науки
Галилей
на основании теории азартных игр 
создал элементы комбинаторики.
Пачиолли
(1445-1516) впервые в своем математическом
труде дал задачу:
Задача 
Пачиолли: 2 игрока сделали ставку и
выигрывал тот, кто первый выигрывает
m партий из n. По каким то причинам игра
остановлена тогда когда игрок А выиграл
а партий (а<m), а игрок В – в партии (b<m).
В каком отношении разделить ставку?
Решение
Пачиолли: а:b (неправильное). Затем эту
задачу решил Кардано (1501-1576) решил неверно.
Только 
в 1654 году решил Б. Паскаль (1623-1662).
В
16 лет Б. Паскаль издал первый
труд. Опыт конич. Сеч.
В
19 лет создал первый в мире арифмометр,
и таких машинок он создал семь.
Создал 
закон гидродинамики.
В
1646 г. – первое обращение к религии.
В
1652 г. – умер отец Паскаля, Б. Паскаль 
вместе с герцогом Роанским и кавалером 
де Маре отправился в путешествие 
по Франции (1652-1654), были в игорных домах.
Задача
1: сколько раз надо бросить 3 игральные 
кости, чтобы с вероятностью > ?
, хотя бы раз выпало три шестерки.
Задача
2: Почему при бросании трех игральных 
костей сумма очков равная 11 выпадает
чаще, чем сумма очков равная 12.
29
июля 1654г. Паскаль свои математические 
рассуждения о решении этих 
задач в виде письма отправил 
Ферма. Последнее письмо от 23 ноября
1654г., в ночь  – второе обращение 
в религии ушел в монастырь.
Вклад
Паскаля в ТВ – в письмах 
Ферми.
1658
г. – Гюйгенс «О расчетах в азартных
играх» (употребил термин математическое
ожиднание).
1713
г. – Я. Бернулли «Искусство 
догадок» основа закона бинарных 
чисел.
1718
г. – книга Муавра «Учение 
о случаях», впервые ввел понятие 
нормального закона распределения, 
исследовал рост 1375 женщин и построил
график.

                                  
?1/ 

     Д.
Бернулли поставил ряд задач в 5 томе
его книги, и на основе этих задач 
Гаусс ввел теорию способа наименьших
квадратов.
 
Первый 
учебник по теории вероятностей 
в 1812 Лаплас – «Аналитическая теория вероятностей».
1846г. 
– первый учебник издан Буняковским 
«Основание математической теории 
вероятностей», этой книгой заинтересовался 
Чебышев и написал 4 труда по 
ТВ.
Марков 
продолжил исследование Чебышева и
ввел теорию случайных процессов.
Ляпунов
обобщил теорию Чебышева.
В
1900 Гильберт на математическом съезде
потребовал издать аксиоматику ТВ.
В
1917 Гильберт Бернштейн попробовал создать 
аксиоматику ТВ, но она не шла, и 
только в 1933 – аксиоматику ввел Колманровал,
рассматривал случайные события как множества,
а вероятность как меру на этом множестве.

     
2. Основные понятия
теории вероятностей
Теория 
вероятностей– математическая наука,
изучающая закономерности в случайных
явлениях.
Случайные
явления – это такие явления, которые
при неоднократном воспроизведении одного
и того же опыта протекает каждый раз несколько
по иному.
Примеры.
Стрельба из орудия, взвешивание тела,
полёт самолёта.
Все
приведённые примеры рассмотрены 
с одной точки зрения: подчёркнуты 
случайные вариации, неодинаковые результаты
ряда опытов, основные условия которых
остаются неизменными. Эти вариации связаны
с наличием второстепенных факторов, влияющих
на исход опыта. Основные условия опыта,
определяющие в грубых чертах его протекание,
остаются неизменными, а второстепенные
– меняются и вносят случайные различия
в их результаты. Очевидно, в природе нет
ни одного единого физического явления,
в котором не присутствовали бы в той или
иной мере элементы случайности.
В
точных науках, изучая явление, составляют
его модель, т. е. упрощённую схему, отвлекаясь
от некоторых неосновных свойств явления.
Однако 
часто пренебрегать случайными факторами 
нельзя. Надо изучить случайное явление 
с очки зрения закономерностей, присущих
ему именно как случайному явлению,
этим и занимается теория вероятностей.
Элемент
неопределённости, сложности, многопричинности,
присущий случайным явлениям, требует 
создания специальных методов для 
изучения этих явлений. Такие методы
и разрабатываются в теории вероятностей.
Её предметом являются специфические
закономерности, наблюдаемые в случайных
явлениях.
Практика 
показывает, что наблюдая в совокупности
массы однородных случайных явлений,
мы обнаруживаем в них вполне определённые
закономерности, своего рода устойчивости,
свойственные массовым случайным явлениям.
Причём 
именно массовость явлений позволяет 
сформулировать закономерности. Чем 
большее количество однородных случайных 
явлений участвует в задаче, тем 
определённее прослеживаются специфические 
законы (точнее можно осуществить научный
прогноз).
То 
есть теория вероятностей обладает прогностической 
функцией.
Вероятностный,
или статистический метод в науке 
не противопоставляет себя классическому 
точному методу точных наук, а является
его дополнением, позволяющим глубже
анализировать явление с учётом присущих
ему элементов случайности.
Математические 
законы теории вероятностей – отражение 
реальных статистических законов, объективно
существующих в массовых случайных 
явлениях природы. К изучению этих явлений 
теория вероятностей применяет математический
метод и является одним из разделов математики,
столь же логически точным и строгим, как
другие математические науки. 

Событием 
будем называть все то, что может 
произойти или не произойти при 
осуществлении определенного комплекса 
условий. Событие будем обозначать большими
буквами А, В, С.

     Пример:
Испытание – стрельба по цели; комплекс
условий – ружье, мишень; событие 
А – попадание в цель, В – 
промах.
     Все
множество событий делится на
2 группы:

События,
которые можно предсказать или предвидеть
при выполнении комплекса условий.
События,
которые нельзя предсказать – случайные
события.

     События
первой группы делятся на достоверные 
и невозможные.

Событие называется
достоверным, если оно обязательно
произойдет при выполнении определенного
комплекса условий;
Событие называется
невозможным, если оно никогда не
произойдет при выполнении данного комплекса
условий.
События,
которые при выполнении данного комплекса
условий могут произойти, а могут не произойти
называются случайными.
Два события
называются несовместимыми (несовместными),
если появление одного из них полностью
исключает появление другого.
Несколько
событий называются единственно-возможными,
если при данном испытании появится обязательно
одно из них.

     Замечание:
Единственно возможные события являются
попарно несовместными.

Совокупность
всех единственно возможных событий, а
следовательно и попарно несовместных
называют полной группой событий или
пространством элементарных событий.

     Еще раз 
те же определения
В
теории вероятностей все явления и
события рассматриваются как математические
модели, которые описывают основные свойства
изучаемых явлений или событий.
О1:
Событием будем называть все то,
что может произойти или не
произойти при осуществлении 
определенного комплекса условий.
Договоримся
события обозначать А, В, С.
Пример:
Испытание – стрельба по цели. Комплекс
условий – ружье, мишень, пуля, человек.
Событие
– А – попадание в цель;
                  
В – промах.
Все
множество событий делится на
2 группы:

События,
которые можно предсказать или предвидеть
при выполнении комплекса условий;
События,
которые нельзя предсказать.

 
     О2:
Событие называется достоверным, если
оно обязательно произойдет при 
выполнении определенного комплекса
условий.
     О3:
Событие называется невозможным, если
никогда не произойдет при выполнении
данного комплекса условий. 

     События
второй группы являются случайными. 

     О4:
События, которые при выполнении
данного комплекса условий могут 
произойти, а могут не произойти
называются случайными.
О5:
Два события называются несовместимыми
или несовместными, если появления 
одного из них полностью исключает 
появление другого. 

     О6:
Несколько событий называются единственно-возможными,
если при данном (комплексе условий)
испытании обязательно появится одно
из них.
Замечание:
Единственно-возможные события являются
попарно несовместными. 

     О7:
Совокупность всех единственно-возможных 
событий, а следовательно и попарно 
несовместных называют полной группой 
событий. 

     Пусть
проводится какое – либо испытание, результаты
которого могут быть событиями ₁, _2,
…, _n. Эти
события называют элементарными, если
они удовлетворяют следующим условиям:

Событие _k
– единственно-возможное событие;
_k
– несовместимы;
бы не было
изучаемое событие А, по появлению события _k
можно судить произошло или не произошло
событие А.

     
     Пример
2. Е – бросание игральной кости
1 раз.
     
     Пример
3. Е – пол трех детей в семье.
     
     В
каждом эксперименте пространство элементарных
событий будет свое.
     О:
Вероятность – есть объективная 
характеристика возможности появления
того или иного события.
     О:
Теория вероятностей – есть математическая
дисциплина, которая изучает закономерности
появляющиеся при массовом наблюдении
случайных событий. 

 
3.Классическое определение
вероятности событий
и его ограниченность. 

     Пусть
проводится вероятностный эксперимент 
Е и пусть определено пространство
элементарных событий ?. Предположим

пространство
элементарных событий ? состоит из конечного
числа n элементарных событий.
все элементарные
события равновозможны.

     Заданная
схема определения вероятности событий
называется классической.
     Вероятностью 
события А 
называется отношение числа исходов, благоприятствующих
появлению события А к общему числу всех
равновозможных исходов
     Свойства:

Вероятность
достоверного события =1;
Вероятность
невозможного события =0;
Вероятность
любого события  между 0 и 1.

Куб все грани
которого окрашены распилили на 1000 частей.
Найти вероятность, что взятый наугад
кубик имеет три окрашенные грани

     Пример2
: Из колоды в 36 карт наудачу взяли 3 карты.
Найти вероятность события А, что из трех
две карты тузы и одна шестерка.
     
     Классическое 
определение вероятности предполагает,
что число элементарных исходов испытания
конечно, на практике часто встречаются
испытания, число возможных исходов которых
бесконечно.
     Кроме
того, часто невозможно представить 
результат испытания в виде совокупности
элементарных событий. Ещё труднее 
указать основания, позволяющие 
считать элементарные события равновозможными.
     По 
этим причинам, наряду с классическим
определением вероятности используют
и другие. 

4.
Статистическое определение 
вероятности. Относительная 
частота.
Относительная
частота наряду с вероятностью принадлежит 
к основным понятиям теории вероятностей.
Относительной
частотой события называют отношение
числа испытаний, в которых событие появилось,
к общему числу фактически произведённых
испытаний:
, где m –
число появлений события, n – общее число
испытаний.
Пример.
По цели произведено 24 выстрела, причём
было зарегистрировано 19 попаданий. Относительная
частота поражения цели W(A) . 

     Определение
вероятности не требует, чтобы испытания 
производились в действительности,
определение же относительной частоты 
предполагает, что испытания были проведены
фактически, т. е. вероятность вычисляют
до опыта, а относительную частоту – после
опыта.
Для
нахождения относительной частоты события
необходимо провести испытания, т.е. относительная
частота находится после опыта, а  вероятность
– до опыта.
Свойства 
относительной частоты событий 
те же:

Относительная
частота событий равна 1: Р*(А)=n/n=1;
Относительная
частота невозможного события равна 0:
Р*(А)=0/n=0;
Относительная
частота события находится между 0 и 1:
0Р*(А)

 
 
 
 
 
 
     Относительная
частота событий обладает свойством 
устойчивости, т.е. при большом числе 
испытаний приближается к тому же
числу, которое и называют вероятностью
события
     Р*(А)Р(А) 

     Статистическое 
определение вероятности 
события:
Вероятностью 
события А называется число около 
которого колеблется относительная 
частота события.
Статистическое
определение вероятности: в качестве
статистической вероятности события принимают
относительную частоту или число, близкое
к ней. 

     Длительные 
наблюдения показали, что если в 
одинаковых условиях производят опыты,
в каждом из которых число испытаний 
достаточно велико, то относительная 
частота обнаруживает свойство
устойчивости: в различных опытах относительная
частота изменяется мало (тем меньше, чем
больше произведено испытаний), колеблясь
около некоторого постоянного числа. Причём,
это постоянное число есть вероятность
появления события.
Таким
образом, если опытным путём установлена
относительная частота, то полученное
число можно принять за приближённое значение
вероятности.
Свойства 
вероятности, вытекающие из классического 
определения, сохраняются и при 
статистическом определении вероятности:
–
статистическая вероятность достоверного
события равна 1;
–
статистическая вероятность невозможного 
события равна 0;
–
для любого события, относительная 
частота 0?m/n?1.
Для
существования статистической вероятности 
события A требуется:

возможность
хотя бы принципиально производить неограниченное
число испытаний, в каждом из которых событие
A наступает или не наступает;
устойчивость
относительной частоты появления A в различных
сериях достаточно большого числа испытаний.

     Недостаток
статистического определения: является
неоднозначность статистической вероятности.

     
5. Геометрический подход
к определению вероятностей 

     Если 
в эксперименте Е элементарные исходы – равновозможные,
но их бесконечно много , то классическое
определение вероятности события неприменимо.
Для
преодоления недостатка классического 
определения вероятности (о конечном
числе исходов) вводят
геометрическое определение
вероятности – вероятность попадания
точки в область (отрезок, часть плоскости
и т. д.).
Пусть
отрезок l часть отрезка L. На отрезок
L наудачу поставлена точка. Это означает
выполнение следующих предположений:
поставленная точка может оказаться в
любой точке отрезка L, вероятность попадания
точки на отрезок l пропорциональна длине
этого отрезка и не зависит от его расположения
относительно отрезка L.
В
этих предположениях вероятность попадания 
точки на отрезок l определяется:

Пусть
рассматривается некоторая область  и внутри
нее область q

 В области  наудачу бросается
точка. Найти вероятность, что она попадет
в область q.
A
– событие, что точка попадет в область
q. 

      P(A)=m_q/m,
m-
мера (длина, скорость,
расстояние…) 

Задача 1: На стержень длины L наудачу
бросается точка. Найти вероятность, что
эта точка упадет от середины на расстояние
не превышающее l. 

 P(A)=2l/L
 
Пример
2: Два лица А и В условились
встретиться между 12 и 13 часами. Каждый
ожидает другого в течение 20 мин.,
а затем уходит. Найти вероятность
события А – что оба лица А и В встретяться.
Решение:
Обозначим
через Х – множество возможностей
во времени прихода лица А,
Y
– множество возможностей прихода лица
В.
 
 

      Множество
точек квадрата – множество исходов
прихода А и В.

Штриховкой 
обозначены благоприятные исходы.
Р(А)=
S_штр/S_кв==20/36=5/9 

6.
Операции над событиями.
Теоремы сложения и
умножения вероятностей.
Алгебра
событий.
Пусть
производится эксперимент Е и 
пусть определено пространство элементарных
событий. Поэтому, учитывая, что события
рассматриваются как некоторые множества
над событиями производят те же операции,
что и над множествами.
О1:
Суммой 2 событий А и В называется
сложное событие, состоящее из элементарных
исходов, принадлежащих хотя бы одному
из событий и обозначается:

      

     О2:
Суммой конечного числа А_1,
А_2, …, А_n событий или суммой
счетной последовательности событий называются
сложные события, состоящие из элементарных
исходов, принадлежащих хотя бы одному
из событий.
     
     
     Пример:
Эксперимент Е – бросание игральной 
кости один раз, тогда 
     
     Введем 
событие А – что выпало четное
число очков, В – что выпало
не меньше 3, тогда:
     
     
     
     О3:
Произведением двух событий А 
и В называется сложное событие, состоящее
из элементарных исходов, принадлежащих
и событию А и событию В.
     
     

     О4:
Произведением конечного числа 
событий А₁, …, А_n или счетного
числа событий называют сложное событие,
состоящее из элементарных исходов, принадлежащих
всем этим событиям.


В
предыдущем примере   . 

     О5:
Разностью двух событий А и 
В называется событие, состоящее 
из элементарных исходов, принадлежащих 
событию А и не принадлежащих 
событию В.
 

     Операции 
над событиями имеют те же свойства,
что и множества:

– законы дополнения


…

 
     Теорема
сложения вероятностей.
     О1.
Сумма двух событий А и В 
называется событие С, состоящее 
в появлении хотя бы одного  из
событий А и В. (С=А В)
     О2.
Суммой нескольких событий называется
событие, состоящее в появлении 
хотя бы одного из этих событий.
     Например:
А – попадание в цель при 
одном выстреле, В – попадание в цель при
втором выстреле. С=А В – поражение цели
вообще.
     Если 
события А и В несовместны,
то естественно, что появление этих
событий вместе отпадает, и сумма 
событий А и В сводится к 
появлению или события А или 
события В. 

     Теорема
1: Вероятность суммы двух несовместных
событий равна сумме вероятностей этих
событий Р(А В)=Р(А) Р(В).
Следствие
1: Если события А1, А2,…Аn образуют полную
группу несовместных событий, то сумма
их вероятностей = 1.
 

     O3.
Противоположными событиями называются
два несовместных события, образующих
полную группу.
Обозначаются  и .
Примеры:

А – попадание
при выстреле, – промах.
В – выпадение
орла, – выпадение
режки.
С – обнаружение
не менее двух бракованных изделий в контрольной
партии, – обнаружение
не более одного бракованного изделия.

     Следствие
2: Сумма вероятностей противоположных
событий  равна 1: Р(А) Р()=1.
     Отсюда:
Р()=1-Р(А).
     Задача:
В лотерее 1000 билетов, из них на один
билет падает выигрыш 500 рублей, на 10 билетов
– выигрыш по 100 рублей, на 50 билетов –
20 рублей, на 100 билетов выигрыш по 5 рублей,
остальные билеты не выигрышные. Найти
вероятность, человек, купивший один билет,
выиграет не менее 20 рублей.
     Решение:
     А
– выиграть не менее  20р. 
     А1
– выиграть 20р.    
     А2
– 100р.      
     А3
– 500р. 

     Тогда
Р(А)=Р(А1 А2 А3)=Р(А1) Р(А2) Р(А3)=0,061. 

            
Участники жеребьевки наудачу берут жетоны
с номерами от 1 до 100. Найти вероятность,
что взятый наудачу жетон не содержит
цифру 5.

     О. 
 Произведением
двух (нескольких) событий А1 и А2 (А1,…,Аk)
называется событие В состоящее в совместном
выполнении события А1 и события А2.
     Например:
Если по мишени производится 3 выстрела
и рассматриваются события В1
– промах при первом выстреле, В2
– при втором, В3 – при третьем, то
событие  В=В1В2В3 – в мишень не будет
ни одного попадания.
и т.д……………..