Теория вероятности в математической статистике

Теория вероятности в математической статистике Реферат

Теория вероятностей и математическая статистика. курсовая работа (т). математика. 2021-11-12

Теория
вероятностей и математическая статистика

1.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

.1 Сходимость последовательностей случайных
величин и вероятностных распределений

В теории вероятностей приходится иметь дело с
разными видами сходимости случайных величин. Рассмотрим следующие основные виды
сходимости: по вероятности, с вероятностью единица, среднем порядка р, по
распределению.

Пусть Теория вероятности в математической статистике, Теория вероятности в математической статистике, Теория вероятности в математической статистике … — случайные величины, заданные на
некотором вероятностном пространстве (Теория вероятности в математической статистике, Ф , P).

Определение 1. Последовательность
случайных величин Теория вероятности в математической статистике, Теория вероятности в математической статистике …
называется сходящейся по вероятности к случайной величине Теория вероятности в математической статистике (обозначение:
Теория вероятности в математической статистике), если для
любого Теория вероятности в математической статистике > 0

{Теория вероятности в математической статистике >Теория вероятности в математической статистике} Теория вероятности в математической статистике 0, nТеория вероятности в математической статистике.

Определение 2. Последовательность
случайных величин Теория вероятности в математической статистике, Теория вероятности в математической статистике, …
называется сходящейся с вероятностью единица (почти наверное, почти всюду) к
случайной величине Теория вероятности в математической статистике, если

{Теория вероятности в математической статистике: Теория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистике} = 0,

т.е. если множество исходов Теория вероятности в математической статистике, для
которых Теория вероятности в математической статистике(Теория вероятности в математической статистике) не
сходятся к Теория вероятности в математической статистике(Теория вероятности в математической статистике), имеет
нулевую вероятность.

Этот вид сходимости обозначают
следующим образом: Теория вероятности в математической статистике, или Теория вероятности в математической статистике, или Теория вероятности в математической статистике.

Определение 3. Последовательность
случайных величин Теория вероятности в математической статистике, Теория вероятности в математической статистике, …
называется сходящейся в среднем порядка р, 0 < p < Теория вероятности в математической статистике, если

Теория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистике Теория вероятности в математической статистике 0, nТеория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистике.

Определение 4. Последовательность
случайных величин Теория вероятности в математической статистике, Теория вероятности в математической статистике,…
называется сходящейся по распределению к случайной величине Теория вероятности в математической статистике (обозначение:
Теория вероятности в математической статистике ), если для
любой ограниченной непрерывной функции Теория вероятности в математической статистике

Теория вероятности в математической статистике MТеория вероятности в математической статистике, nТеория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистике.

Сходимость по распределению
случайных величин определяется только в терминах сходимости их функций распределения.
Поэтому об этом виде сходимости имеет смысл говорить и тогда, когда случайные
величины заданы на разных вероятностных пространствах.

Теорема 1.

а) Для того чтобы Теория вероятности в математической статистике(Р-п.н.),
необходимо и достаточно, чтобы для любого Теория вероятности в математической статистике > 0

{Теория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистике} Теория вероятности в математической статистике 0, nТеория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистике.

) Последовательность {Теория вероятности в математической статистике}Теория вероятности в математической статистике
фундаментальна с вероятностью единица тогда и только тогда, когда для любого Теория вероятности в математической статистике > 0.

{Теория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистике} Теория вероятности в математической статистике 0, nТеория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистике.

Доказательство.

а) Пусть АТеория вероятности в математической статистике = {Теория вероятности в математической статистике: |Теория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистике| Теория вероятности в математической статистике}, АТеория вероятности в математической статистике= Теория вероятности в математической статистике АТеория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистике Теория вероятности в математической статистике. Тогда

{Теория вероятности в математической статистике: Теория вероятности в математической статистике Теория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистике}= Теория вероятности в математической статистике= Теория вероятности в математической статистике

Но

(Теория вероятности в математической статистике) = Теория вероятности в математической статистикеP ( Теория вероятности в математической статистике),

Поэтому утверждение а) является
результатом следующей цепочки импликаций:

Р{Теория вероятности в математической статистике: Теория вероятности в математической статистике Теория вероятности в математической статистике}= 0 Теория вероятности в математической статистике P( Теория вероятности в математической статистике) = 0 Теория вероятности в математической статистике Теория вероятности в математической статистике= 0 Теория вероятности в математической статистике Р(АТеория вероятности в математической статистике) = 0, m Теория вероятности в математической статистике 1 Теория вероятности в математической статистике P(AТеория вероятности в математической статистике) = 0, Теория вероятности в математической статистике > 0 Теория вероятности в математической статистике P(Теория вероятности в математической статистике) Теория вероятности в математической статистике 0, n Теория вероятности в математической статистике0, Теория вероятности в математической статистике > 0 Теория вероятности в математической статистике P{Теория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистике} Теория вероятности в математической статистике 0,

n Теория вероятности в математической статистике0, Теория вероятности в математической статистике > 0.) Обозначим Теория вероятности в математической статистике = {Теория вероятности в математической статистике: Теория вероятности в математической статистике Теория вероятности в математической статистике}, Теория вероятности в математической статистике= Теория вероятности в математической статистике. Тогда {Теория вероятности в математической статистике: {Теория вероятности в математической статистике(Теория вероятности в математической статистике)}Теория вероятности в математической статистике не
фундаментальна } = Теория вероятности в математической статистике и так же,
как в а) показывается, что {Теория вероятности в математической статистике: {Теория вероятности в математической статистике(Теория вероятности в математической статистике)}Теория вероятности в математической статистике не фундаментальна } = 0 Теория вероятности в математической статистике P{Теория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистике} Теория вероятности в математической статистике 0, nТеория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистике.

Теорема доказана

Теорема 2. ( критерий Коши
сходимости почти наверно)

Для того чтобы последовательность
случайных величин {Теория вероятности в математической статистике}Теория вероятности в математической статистике была
сходящейся с вероятностью единица (к некоторой случайной величине Теория вероятности в математической статистике),
необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна с вероятностью единица.

Доказательство.

Если Теория вероятности в математической статистике, то Теория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистике Теория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистике  Теория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистике

откуда вытекает необходимость
условия теоремы.

Пусть теперь последовательность {Теория вероятности в математической статистике}Теория вероятности в математической статистике
фундаментальна с вероятностью единица. Обозначим Теория вероятности в математической статистикеL = {Теория вероятности в математической статистике: {Теория вероятности в математической статистике(Теория вероятности в математической статистике)} не фундаментальная}. Тогда для
всех Теория вероятности в математической статистике Теория вероятности в математической статистике Теория вероятности в математической статистике числовая
последовательность {Теория вероятности в математической статистике}Теория вероятности в математической статистике является
фундаментальной и, согласно критерию Коши для числовых последовательностей,
существует Теория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистике(Теория вероятности в математической статистике). Положим

Теория вероятности в математической статистике(Теория вероятности в математической статистике) = Теория вероятности в математической статистике

Так определенная функция является
случайной величиной и Теория вероятности в математической статистике.

Теорема доказана.

.2 Метод характеристических функций

Метод характеристических функций является одним
из основных средств аналитического аппарата теории вероятностей. Наряду со
случайными величинами (принимающими действительные значения) теория
характеристических функций требует привлечения комплекснозначных случайных
величин.

Многие из определений и свойств, относящихся к
случайным величинам, легко переносятся и на комплексный случай. Так,
математическое ожидание Мξ
комплекснозначной случайной величины ζ=ξ ίη
считается
определенным, если определены математические ожидания Мξ
и Мη.
В этом случае по определению полагаем Мζ
= Мξ
ίМη.
Из определения независимости случайных элементов следует, что комплекснозначные
величины ζ1
1 ίη1
, ζ22 ίη2
независимы тогда и только тогда, когда независимы пары случайных величин (ξ1
,
η1)
и (ξ2
,
η2),
или, что то же самое, независимы σ-алгебры
Fξ1,
η1
и Fξ2, η2.

Наряду с пространством L2
действительных случайных величин с конечным вторым моментом можно ввести в
рассмотрение гильбертово пространство комплекснозначных случайных величин ζ=ξ ίη
с
М |ζ|2<∞,
где |ζ|2=
ξ2 η2,
и скалярным произведением (ξ1
,

ξ2)= Мζ1ζ2¯,
где ζ2¯-
комплексно-сопряженная случайная величина.

При алгебраических операциях векторы
Теория вероятности в математической статистикеRn
рассматриваются как алгебраические столбцы,

Теория вероятности в математической статистике,

Теория вероятности в математической статистике — как вектор-строки, a*
— (а12,…,аn). Если Теория вероятности в математической статистике Rn
, то под их скалярным произведением (a,b) будет пониматься величина Теория вероятности в математической статистике. Ясно, что Теория вероятности в математической статистике

Если аТеория вероятности в математической статистикеRn и R=||rij||
— матрица порядка nхn, то

Теория вероятности в математической статистике=Теория вероятности в математической статистике.         (1)

Определение 1. Пусть F = F(х1,….,хn)
— n-мерная функция распределения в (Теория вероятности в математической статистике, Теория вероятности в математической статистике(Теория вероятности в математической статистике)). Ее
характеристической функцией называется функция

Теория вероятности в математической статистике.         (2)

Определение 2. Если ξ = (ξ1,…,ξn) — случайный
вектор, определенный на вероятностном пространстве Теория вероятности в математической статистике со
значениями в Теория вероятности в математической статистике, то его
характеристической функцией называется функция

Теория вероятности в математической статистике (3)

где Fξ = Fξ1,….,хn)
— функция распределения вектора ξ=(ξ1, … , ξn).

Если функция распределения F(х)
имеет плотность f = f(х), то тогда

Теория вероятности в математической статистике.

В этом случае характеристическая
функция Теория вероятности в математической статистике есть не что
иное, как преобразование Фурье функции f(x).

Из (3) вытекает, что
характеристическую функцию φξ(t)
случайного вектора можно определить также равенством

Теория вероятности в математической статистике.        (4)

Основные свойства характеристических
функций (в случае n=1).

Пусть ξ = ξ(ω) — случайная
величина, Fξ
=
Fξ
(х)
— её функция распределения и Теория вероятности в математической статистике — характеристическая функция.

Следует отметить, что если Теория вероятности в математической статистике, то Теория вероятности в математической статистике.

Поэтому

Теория вероятности в математической статистике.    (5)

Далее, если ξ1, ξ2, … , ξn
независимые с. в. и Sn= ξ1 ξ2 … ξn, то

Теория вероятности в математической статистике (6)

В самом деле, Теория вероятности в математической статистике,

где воспользовались тем, что математическое
ожидание произведения независимых (ограниченных) случайных величин равно
произведению их математических ожиданий.

Свойство (6) является ключевым при
доказательстве предельных теорем для сумм независимых случайных величин методом
характеристических функций. В этой связи, функция распределения Теория вероятности в математической статистикевыражается
через функции распределения отдельных слагаемых уже значительно более сложным
образом, а именно, Теория вероятности в математической статистикегде знак *
означает свертку распределений.

С каждой функцией распределения в Теория вероятности в математической статистикеможно
связать случайную величину, имеющую эту функцию в качестве своей функции
распределения. Поэтому при изложении свойств характеристических функций можно
ограничиться рассмотрением характеристических функций Теория вероятности в математической статистике случайных
величин Теория вероятности в математической статистике.

Имеют место следующие свойства:

)        |Теория вероятности в математической статистике

)        Теория вероятности в математической статистике равномерно
непрерывна по Теория вероятности в математической статистике;

)        Теория вероятности в математической статистике;

)        Теория вероятности в математической статистике является
действительнозначной функцией тогда и только тогда, когда распределение F
симметрично

Теория вероятности в математической статистике

)        если для некоторого n ≥
1 Теория вероятности в математической статистике, то при
всех Теория вероятности в математической статистике существуют
производные Теория вероятности в математической статистикеи Теория вероятности в математической статистике

Теория вероятности в математической статистике

Теория вероятности в математической статистике,

где Теория вероятности в математической статистике и Теория вероятности в математической статистике

)        Если существует и является
конечной Теория вероятности в математической статистике, то Теория вероятности в математической статистике

)        Пусть Теория вероятности в математической статистике для всех n ≥
1 и Теория вероятности в математической статистике

тогда при всех |t|<R

Теория вероятности в математической статистике

Следующая теорема показывает, что
характеристическая функция однозначно определяет функцию распределения.

Теорема 2 (единственности). Пусть F
и G — две функции распределения, имеющие одну и ту же характеристическую функцию,
то есть для всех Теория вероятности в математической статистике

Теория вероятности в математической статистике

Тогда Теория вероятности в математической статистике.

Теорема говорит о том, что функция
распределения F = F(х) однозначно восстанавливается по своей характеристической
функции Теория вероятности в математической статистике. Следующая
теорема дает явное представление функции F через Теория вероятности в математической статистике.

Теорема 3 (формула обобщения). Пусть
F = F(х) — функция распределения и Теория вероятности в математической статистике — ее характеристическая функция.

а) Для любых двух точек a, b (a <
b), где функция F = F(х) непрерывна,

Рефераты:  Мочевыделительная система, подготовка к ЕГЭ по биологии

Теория вероятности в математической статистике

) Если Теория вероятности в математической статистике то функция
распределения F(х) имеет плотность f(x),

Теория вероятности в математической статистике

Теория вероятности в математической статистике.

Теорема 4. Для того чтобы компоненты
случайного вектора Теория вероятности в математической статистике были
независимы, необходимо и достаточно, чтобы его характеристическая функция была
произведением характеристических функций компонент:

Теория вероятности в математической статистике.

Теорема Бохнера-Хинчина.
Пусть Теория вероятности в математической статистике
непрерывная функция, Теория вероятности в математической статистике Для того,
чтобы Теория вероятности в математической статистике была
характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она была
неотрицательно-определенной, то есть для любых действительных t1, …
, tn и любых комплексных чисел Теория вероятности в математической статистике

Теория вероятности в математической статистике.

Теорема 5. Пусть Теория вероятности в математической статистике— характеристическая
функция случайной величины Теория вероятности в математической статистике.

а) Если Теория вероятности в математической статистике для
некоторого Теория вероятности в математической статистике, то
случайная величина Теория вероятности в математической статистике является
решетчатой с шагом Теория вероятности в математической статистике, то есть

Теория вероятности в математической статистике

) Если Теория вероятности в математической статистике для двух
различных точек Теория вероятности в математической статистике, где Теория вероятности в математической статистике —
иррациональное число, то случайная величина ξ является вырожденной:

Теория вероятности в математической статистике,

где а — некоторая константа.

с) Если Теория вероятности в математической статистике, то
случайная величина ξ
вырождена.

1.3 Центральная
предельная теорема для независимых одинаково распределенных
случайных
величин

Пусть {Теория вероятности в математической статистике} —
последовательность независимых, одинаково распределенных случайных
величин. Математическое ожидание MТеория вероятности в математической статистике= a,
дисперсия DТеория вероятности в математической статистике= Теория вероятности в математической статистике, SТеория вероятности в математической статистике = Теория вероятности в математической статистике, а Ф(х) —
функция распределения нормального закона с параметрами (0,1). Введем еще
последовательность случайных величин

Теория вероятности в математической статистике= Теория вероятности в математической статистике.

Теорема. Если 0 <Теория вероятности в математической статистике<Теория вероятности в математической статистике, то при nТеория вероятности в математической статистике P(Теория вероятности в математической статистике< x) Теория вероятности в математической статистике Ф(х)
равномерно относительно х (Теория вероятности в математической статистике).

В этом случае
последовательность {Теория вероятности в математической статистике} называется
асимптотически нормальной.

Из того, что МТеория вероятности в математической статистике= 1 и из
теорем непрерывности вытекает, что наряду со слабой сходимостью Теория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистике, Теория вероятности в математической статистике ФТеория вероятности в математической статистикеМ f(Теория вероятности в математической статистике) Теория вероятности в математической статистике Mf(Теория вероятности в математической статистике) для любой
непрерывной ограниченной f имеет место
также сходимость М f(Теория вероятности в математической статистике)Теория вероятности в математической статистике Mf(Теория вероятности в математической статистике) для любой
непрерывной f,
такой, что |f(x)|
< c(1 |x|Теория вероятности в математической статистике) при
каком-нибудь Теория вероятности в математической статистике.

Доказательство.

Равномерная сходимость здесь
является следствием слабой сходимости и непрерывности Ф(х). Далее, без
ограничения общности можно считать а = 0, так как иначе можно было бы
рассмотреть последовательность {Теория вероятности в математической статистике}Теория вероятности в математической статистике, при этом последовательность {Теория вероятности в математической статистике} не
изменилась бы. Стало быть, для доказательства требуемой сходимости достаточно
показать, что Теория вероятности в математической статистике(t) Теория вероятности в математической статистике eТеория вероятности в математической статистике,когда а =
0. Имеем

Теория вероятности в математической статистике(t) = Теория вероятности в математической статистике, где Теория вероятности в математической статистике =Теория вероятности в математической статистике(t).

Так как существует МТеория вероятности в математической статистике, то
существует Теория вероятности в математической статистике и
справедливо разложение

Теория вероятности в математической статистике= Теория вероятности в математической статистике  tТеория вероятности в математической статистике Теория вероятности в математической статистике,

Следовательно, при nТеория вероятности в математической статистике

Теория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистике

Теорема доказана.

1.4 Основные задачи математической статистики их
краткая характеристика

Установление закономерностей, которым подчинены
массовые случайные явления, основано на изучении статистических данных —
результатах наблюдений. Первая задача математической статистики — указать
способы сбора и группировки статистических сведений. Вторая задача математической
статистики — разработать методы анализа статистических данных, в зависимости от
целей исследования.

При решении любой задачи математической
статистики располагают двумя источниками информации. Первый и наиболее
определенный(явный) — это результат наблюдений (эксперимента) в виде выборки из
некоторой генеральной совокупности скалярной или векторной случайной величины.
При этом объем выборки n может быть фиксирован, а может и увеличиваться в ходе
эксперимента (т. е. могут использоваться так называемые последовательные
процедуры статистического анализа).

Второй источник — это вся априорная информация
об интересующих свойствах изучаемого объекта, которая накоплена к текущему
моменту. Формально объем априорной информации отражается в той исходной
статистической модели, которую выбирают при решении задачи. Однако и о
приближенном в обычном смысле определении вероятности события по результатам
опытов говорить не приходится. Под приближенным определением какой-либо
величины обычно подразумевают, что можно указать пределы погрешностей, из
которых ошибка не выйдет. Частота же события случайна при любом числе опытов
из-за случайности результатов отдельных опытов. Из-за случайности результатов
отдельных опытов частота может значительно отклоняться от вероятности события.
Поэтому, определяя неизвестную вероятность события как частоту этого события
при большом числе опытов, не можем указать пределы погрешности и гарантировать,
что ошибка не выйдет из этих пределов. Поэтому в математической статистике
обычно говорят не о приближенных значениях неизвестных величин, а об их
подходящих значениях, оценках.

Задача оценивания неизвестных
параметров возникает в тех случаях, когда функция распределения генеральной
совокупности известна с точностью до параметра Теория вероятности в математической статистике. В этом случае необходимо найти
такую статистику Теория вероятности в математической статистике, выборочное
значение Теория вероятности в математической статистике которой для
рассматриваемой реализации xn случайной выборки можно было бы
считать приближенным значением параметра Теория вероятности в математической статистике. Статистику , выборочное значение Теория вероятности в математической статистике которой для
любой реализации xn принимают за приближенное значение неизвестного
параметра Теория вероятности в математической статистике, называют
его точечной оценкой или просто оценкой, а Теория вероятности в математической статистике— значением точечной оценки.
Точечная оценка должна удовлетворять вполне определенным требованиям для того,
чтобы её выборочное значение Теория вероятности в математической статистикесоответствовало истинному значению
параметра Теория вероятности в математической статистике.

Возможным является и иной подход к
решению рассматриваемой задачи: найти такие статистики Теория вероятности в математической статистике и Теория вероятности в математической статистике,чтобы с
вероятностью γ
выполнялось
неравенство:

P { Теория вероятности в математической статистике} = γ

В этом случае говорят об
интервальной оценке для Теория вероятности в математической статистике. Интервал

(Теория вероятности в математической статистике)

называют доверительным интервалом
для Теория вероятности в математической статистике с коэффициентом
доверия γ.

Оценив по результатам опытов ту или
иную статистическую характеристику, возникает вопрос: насколько согласуется с
опытными данными предположение (гипотеза) о том, что неизвестная характеристика
имеет именно то значение, которое получено в результате её оценивания? Так
возникает второй важный класс задач математической статистики — задачи проверки
гипотез.

В некотором смысле задача проверки
статистической гипотезы является обратной к задаче оценивания параметра. При
оценивании параметра мы ничего не знаем о его истинном значении. При проверке
статистической гипотезы из каких-то соображений предполагается известным его
значение и необходимо по результатам эксперимента проверить данное
предположение.

Во многих задачах математической статистики
рассматриваются последовательности случайных величин Теория вероятности в математической статистике, сходящиеся
в том или ином смысле к некоторому пределу Теория вероятности в математической статистике(случайной величине или константе),
когда Теория вероятности в математической статистике.

Таким образом, основными задачами
математической статистики являются разработка методов нахождения оценок и
исследования точности их приближения к оцениваемым характеристикам и разработка
методов проверки гипотез.

.5 Проверка статистических гипотез: основные
понятия

Задача разработки рациональных
методов проверки статистических гипотез — одна из основных задач математической
статистики. Статистической гипотезой (или просто гипотезой) называют любое
утверждение о виде или свойствах распределения наблюдаемых в эксперименте
случайных величин.

Пусть имеется выборка Теория вероятности в математической статистике, являющаяся
реализацией случайной выборки Теория вероятности в математической статистикеиз генеральной совокупности Теория вероятности в математической статистике, плотность
распределения которой Теория вероятности в математической статистике зависит от
неизвестного параметра Теория вероятности в математической статистике.

Статистические гипотезы
относительно неизвестного истинного значения параметра Теория вероятности в математической статистике называют
параметрическими гипотезами. При этом если Теория вероятности в математической статистике — скаляр, то речь идет об
однопараметрических гипотезах, а если вектор — то о многопараметрических
гипотезах.

Статистическую гипотезу Теория вероятности в математической статистикеназывают
простой, если она имеет вид

Теория вероятности в математической статистике

Статистическую гипотезу Теория вероятности в математической статистикеназывают
сложной, если она имеет вид

Теория вероятности в математической статистике

где Теория вероятности в математической статистике — некоторое
множество значений параметра Теория вероятности в математической статистике, состоящее более чем из одного
элемента.

В случае проверки двух
простых статистических гипотез вида

Теория вероятности в математической статистике

где Теория вероятности в математической статистике — два
заданных (различных ) значения параметра, первую гипотезу Теория вероятности в математической статистике обычно
называют основной, а вторую Теория вероятности в математической статистике — альтернативной, или конкурирующей
гипотезой.

Критерием, или статистическим
критерием, проверки гипотез называют правило, по которому по данным выборки Теория вероятности в математической статистике принимается
решение о справедливости либо первой, либо второй гипотезы.

Критерий задают с помощью
критического множества Теория вероятности в математической статистике,
являющегося подмножеством выборочного пространства Теория вероятности в математической статистике случайной
выборки Теория вероятности в математической статистике. Решение
принимают следующим образом:

Рефераты:  Малые тела Солнечной системы ℹ️ классификация астероидов, комет и метеоритов, характеристика, примеры космических объектов с названиями

)        если выборка Теория вероятности в математической статистике принадлежит
критическому множеству Теория вероятности в математической статистике, то
отвергают основную гипотезу Теория вероятности в математической статистике и принимают альтернативную гипотезу
Теория вероятности в математической статистике;

)        если выборка Теория вероятности в математической статистике не
принадлежит критическому множеству Теория вероятности в математической статистике(т. е. принадлежит дополнению Теория вероятности в математической статистике множества Теория вероятности в математической статистике до
выборочного пространства Теория вероятности в математической статистике), то
отвергают альтернативную гипотезу Теория вероятности в математической статистике и принимают основную гипотезу Теория вероятности в математической статистике.

При использовании любого критерия
возможны ошибки следующих видов:

1)      принять гипотезу Теория вероятности в математической статистике, когда
верна Теория вероятности в математической статистике— ошибка
первого рода;

)        принять гипотезу Теория вероятности в математической статистике, когда
верна Теория вероятности в математической статистике — ошибка
второго рода.

Вероятности совершения ошибок
первого и второго рода обозначают Теория вероятности в математической статистике и Теория вероятности в математической статистике:

Теория вероятности в математической статистике

где Теория вероятности в математической статистике
вероятность события Теория вероятности в математической статистике при
условии, что справедлива гипотеза Теория вероятности в математической статистике Указанные вероятности вычисляют с
использованием функции плотности распределения случайной выборки Теория вероятности в математической статистике:

Теория вероятности в математической статистике

Теория вероятности в математической статистике

Вероятность совершения ошибки
первого рода Теория вероятности в математической статистике также
называют уровнем значимости критерия.

Величину Теория вероятности в математической статистике, равную
вероятности отвергнуть основную гипотезу Теория вероятности в математической статистике, когда она верна, называют
мощностью критерия.

1.6 Критерий независимости Теория вероятности в математической статистике

Имеется выборка ((XТеория вероятности в математической статистикеYТеория вероятности в математической статистике), …, (XТеория вероятности в математической статистикеYТеория вероятности в математической статистике)) из
двумерного распределения

LТеория вероятности в математической статистике с
неизвестной функцией распределения Теория вероятности в математической статистике, для которой требуется проверить
гипотезу HТеория вероятности в математической статистике: Теория вероятности в математической статистике, где Теория вероятности в математической статистике некоторые
одномерные функции распределения.

Простой критерий согласия для
гипотезы HТеория вероятности в математической статистике можно
построить, основываясь на методике Теория вероятности в математической статистике. Эту методику применяют для
дискретных моделей с конечным числом исходов, поэтому условимся считать, что
случайная величина Теория вероятности в математической статистике принимает
конечное число s некоторых значений, которые будем
обозначать буквами Теория вероятности в математической статистике, а вторая
компонента Теория вероятности в математической статистике — k значений Теория вероятности в математической статистике. Если
исходная модель имеет другую структуру, то предварительно группируют возможные
значения случайных величин отдельно по первой и второй компонентам. В этом
случае множество Теория вероятности в математической статистике разбивается
на s интервалов Теория вероятности в математической статистике, множество
значение Теория вероятности в математической статистике — на k интервалов Теория вероятности в математической статистике, а само
множество значений Теория вероятности в математической статистике — на N=sk
прямоугольников Теория вероятности в математической статистике.

Обозначим через Теория вероятности в математической статистике число
наблюдений пары Теория вероятности в математической статистике (число
элементов выборки, принадлежащих прямоугольнику Теория вероятности в математической статистике, если данные группируются), так что
Теория вероятности в математической статистике. Результаты
наблюдений удобно расположить в виде таблицы сопряженности двух знаков( табл.
1.1) . В приложениях и обычно означают два признака, по которым производится
классификация результатов наблюдения.

Пусть Теория вероятности в математической статистикеРТеория вероятности в математической статистике, i=1,…,s, j=1,…,k. Тогда
гипотеза независимости означает, что существует s k постоянных Теория вероятности в математической статистике таких, что Теория вероятности в математической статистике и Теория вероятности в математической статистике, т.е.

Теория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистикеpТеория вероятности в математической статистике

Таблица 1.1

Таким образом, гипотеза HТеория вероятности в математической статистике сводится к
утверждению, что частоты Теория вероятности в математической статистике (число их
равно N = sk)
распределены по полиномиальному закону с вероятностями исходов, имеющими
указанную специфическую структуру (вектор вероятностей исходов р определяется
значениями r=s k-2
неизвестных параметров Теория вероятности в математической статистике.

Для проверки этой гипотезы, найдем
оценки максимального правдоподобия для определяющих рассматриваемую схему
неизвестных параметров. Если справедлива нулевая гипотеза, то функция
правдоподобия имеет вид L(p)=Теория вероятности в математической статистике где
множитель с от неизвестных параметров не зависит. Отсюда по методу
неопределенных множителей Лагранжа получаем, что искомые оценки имеют вид Теория вероятности в математической статистике

Теория вероятности в математической статистике Следовательно, статистика

Теория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистике

L(Теория вероятности в математической статистике)Теория вероятности в математической статистике при Теория вероятности в математической статистике, поскольку
число степеней свободы в предельном распределении Теория вероятности в математической статистике равно N-1-r=sk-1-(s k-2)=(s-1)(k-1).

Итак, при достаточно больших n можно
использовать следующее правило проверки гипотезы: гипотезу НТеория вероятности в математической статистике отвергают
тогда и только тогда, когда вычисленное по фактическим данным значение t статистики Теория вероятности в математической статистике удовлетворяет
неравенству Теория вероятности в математической статистике

Этот критерий имеет асимптотически (
при Теория вероятности в математической статистике) заданный
уровень значимости Теория вероятности в математической статистике и
называется критерием независимости Теория вероятности в математической статистике.

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

.1 Решения задач о типах сходимости

1. Доказать, что из
сходимости почти наверное следует сходимость по вероятности. Приведите
контрольный пример, показывающий, что обратное утверждение неверно.

Решение. Пусть
последовательность случайных величин Теория вероятности в математической статистике сходится к случайной величине x почти
наверное. Значит, для любого ε > 0

Теория вероятности в математической статистике

Так как Теория вероятности в математической статистике, то

Теория вероятности в математической статистике

и из сходимости xn к x почти
наверное вытекает, что xn
сходится к x по
вероятности, так как в этом случае

Теория вероятности в математической статистике

Но обратное утверждение не
верно. Пусть Теория вероятности в математической статистике —
последовательность независимых случайных величин, имеющих одну и ту же функцию
распределения F(x), равную нулю при х ≤ 0 и равную Теория вероятности в математической статистике при х > 0. Рассмотрим
последовательность

Теория вероятности в математической статистике.

Эта последовательность
сходится к нулю по вероятности, так как

Теория вероятности в математической статистике

стремится к нулю при любом
фиксированном ε
и
Теория вероятности в математической статистике. Однако
сходимость к нулю почти наверное иметь место не будет. Действительно

Теория вероятности в математической статистике

Теория вероятности в математической статистике

стремится к единице, то есть
с вероятностью 1 при любых и n в последовательности Теория вероятности в математической статистике найдутся
реализации, превосходящие ε.

Отметим, что при наличии некоторых
дополнительных условий, накладываемых на величины xn,
сходимость по вероятности влечет сходимость почти наверное.

. Пусть xn
монотонная последовательность. Доказать, что в этом случае сходимость xnк x по
вероятности влечет за собой сходимость xnк x с
вероятностью 1.

Решение. Пусть xn
монотонно убывающая последовательность, то есть Теория вероятности в математической статистике. Для
упрощения наших рассуждений будем считать, что x º 0, xn ³ 0 при всех
n. Пусть xn
сходится к x по
вероятности, однако сходимость почти наверное не имеет место. Тогда существует ε > 0, такое, что
при всех n

Но Теория вероятности в математической статистике и сказанное
означает, что при всех n

Теория вероятности в математической статистике

что противоречит сходимости xnк x по
вероятности. Таким образом, для монотонной последовательности xn,
сходящийся к x по
вероятности, имеет место и сходимость с вероятностью 1 (почти наверное).

. Пусть последовательность xnсходится
к x по
вероятности. Доказать, что из этой последовательности можно выделить
последовательность Теория вероятности в математической статистике ,
сходящуюся к x с
вероятностью 1 при Теория вероятности в математической статистике.

Решение. Пусть Теория вероятности в математической статистике — некоторая
последовательность положительных чисел, причем Теория вероятности в математической статистике, и Теория вероятности в математической статистике — такие положительные числа, что
ряд Теория вероятности в математической статистике. Построим
последовательность индексов n1<n2<…<nk<…
,
выбирая nk
так, чтобы

Теория вероятности в математической статистике

Тогда ряд

Теория вероятности в математической статистике,

Так как ряд Теория вероятности в математической статистике сходится,
то при любом ε
> 0 остаток
ряда Теория вероятности в математической статистике стремится к
нулю. Но тогда стремится к нулю и

Теория вероятности в математической статистике,

то есть Теория вероятности в математической статистике.

. Доказать, что из сходимости
в среднем какого либо положительного порядка следует сходимость по вероятности.
Приведите пример, показывающий, что обратное утверждение неверно.

Решение. Пусть
последовательность xnсходится
к величине x в
среднем порядка р > 0, то есть

Теория вероятности в математической статистике.

Воспользуемся обобщенным
неравенством Чебышева: для произвольных ε > 0 и р > 0

Теория вероятности в математической статистике.

Устремив Теория вероятности в математической статистике и учитывая,
что Теория вероятности в математической статистике, получим,
что

Теория вероятности в математической статистике,

то есть xnсходится
к x по
вероятности.

Однако сходимость по
вероятности не влечет за собой сходимость в среднем порядка р > 0. Это
показывает следующий пример. Рассмотрим вероятностное пространство áW, F , Rñ,
где F = B[0,
1]

— борелевская s-алгебра,
R —
мера Лебега.

Определим последовательность
случайных величин Теория вероятности в математической статистике следующим
образом:

Теория вероятности в математической статистике

Последовательность xnсходится
к 0 по вероятности, так как

Теория вероятности в математической статистике,

но при любом р > 0

Теория вероятности в математической статистике,

то есть сходимость в среднем
иметь не будет.

. Пусть Теория вероятности в математической статистике, при чем
для всех n Теория вероятности в математической статистике. Доказать,
что в этом случае xnсходится
к x в
среднеквадратическом.

Решение. Заметим, Теория вероятности в математической статистике, то и Теория вероятности в математической статистике. Получим
оценку для Теория вероятности в математической статистике. Рассмотрим
случайную величину Теория вероятности в математической статистике. Пусть ε —
произвольное
положительное число. Тогда Теория вероятности в математической статистике при Теория вероятности в математической статистике и Теория вероятности в математической статистике при Теория вероятности в математической статистике.

Значит,

Теория вероятности в математической статистике.

Если Теория вероятности в математической статистике, то Теория вероятности в математической статистике и Теория вероятности в математической статистике.
Следовательно, Теория вероятности в математической статистике. А
поскольку ε
сколь
угодно мало и Теория вероятности в математической статистике, то Теория вероятности в математической статистике при Теория вероятности в математической статистике, то есть Теория вероятности в математической статистике в
среднеквадратическом.

. Доказать, что если xnсходится
к x по
вероятности, то имеет место слабая сходимость Теория вероятности в математической статистике. Приведите контрольный пример,
показывающий, что обратное утверждение неверно.

Решение. Докажем, что если Теория вероятности в математической статистике, то Теория вероятности в математической статистике в каждой
точке х, являющейся точкой непрерывности Теория вероятности в математической статистике (это необходимое и достаточное
условие слабой сходимости Теория вероятности в математической статистике), Теория вероятности в математической статистике — функция
распределения величины xn, а Теория вероятности в математической статистике — величины x.

Рефераты:  10 самых высокооплачиваемых профессий в России - Рейтинг 2020

Пусть х — точка непрерывности
функции F.
Если Теория вероятности в математической статистике, то
справедливо по крайней мере одно из неравенств Теория вероятности в математической статистике или Теория вероятности в математической статистике. Тогда

Теория вероятности в математической статистике.

Аналогично, при Теория вероятности в математической статистике справедливо
хотя бы одно из неравенств Теория вероятности в математической статистике или Теория вероятности в математической статистике и

Теория вероятности в математической статистике,

Или

Теория вероятности в математической статистике.

Откуда

Теория вероятности в математической статистике.

Если Теория вероятности в математической статистике, то для
сколь угодно малого ε > 0 существует
такое N, что при всех п > N

Теория вероятности в математической статистике.

Тогда

Теория вероятности в математической статистике

С другой стороны, если х —
точка непрерывности Теория вероятности в математической статистикето можно найти такое ε > 0, что для
сколь угодно малого Теория вероятности в математической статистике

Теория вероятности в математической статистике

и

Теория вероятности в математической статистике.

Значит, для сколь угодно
малых ε
и
Теория вероятности в математической статистике существует
такое N, что при п >N

Теория вероятности в математической статистике,

или

Теория вероятности в математической статистике,

или, что то же самое,

Теория вероятности в математической статистике.

Это означает, что во всех
точках непрерывности Теория вероятности в математической статистике имеет место
сходимость Теория вероятности в математической статистике и Теория вероятности в математической статистике.
Следовательно, из сходимости по вероятности вытекает слабая сходимость.

Обратное утверждение, вообще
говоря, не имеет места. Чтобы убедиться в этом, возьмем последовательность
случайных величин Теория вероятности в математической статистике,Теория вероятности в математической статистике, не равных
с вероятностью 1 постоянным и имеющих одну и ту же функцию распределения F(x).
Считаем, что при всех п величины Теория вероятности в математической статистике и Теория вероятности в математической статистике независимы. Очевидно, слабая
сходимость Теория вероятности в математической статистике имеет
место, так как у всех членов последовательности одна и та же функция
распределения. Рассмотрим Теория вероятности в математической статистике:

Теория вероятности в математической статистике

|Из независимости и
одинаковой распределенности величин Теория вероятности в математической статистике,Теория вероятности в математической статистике следует, что

Теория вероятности в математической статистике.

то есть

Теория вероятности в математической статистике

Выберем среди всех функций
распределений невырожденных случайных величин такую F(x),
что Теория вероятности в математической статистике будет
отлично от нуля при всех достаточно малых ε. Тогда
Теория вероятности в математической статистике не
стремится к нулю при неограниченном росте п и сходимость по вероятности иметь
место не будет.

7. Пусть имеет место слабая
сходимость Теория вероятности в математической статистике, где Теория вероятности в математической статистике с вероятностью
1 есть постоянная. Доказать, что в этом случае Теория вероятности в математической статистике будет сходиться к Теория вероятности в математической статистике по
вероятности.

Решение. Пусть Теория вероятности в математической статистике с
вероятностью 1 равно а. Тогда слабая сходимость Теория вероятности в математической статистике означает сходимость Теория вероятности в математической статистике при любых Теория вероятности в математической статистике. Так как Теория вероятности в математической статистике, то Теория вероятности в математической статистике при Теория вероятности в математической статистике и Теория вероятности в математической статистике при Теория вероятности в математической статистике. То есть Теория вероятности в математической статистике при Теория вероятности в математической статистике и Теория вероятности в математической статистике при Теория вероятности в математической статистике. Отсюда
следует, что для любого ε > 0 вероятности

Теория вероятности в математической статистике и Теория вероятности в математической статистике

стремятся к нулю при Теория вероятности в математической статистике. Это
значит, что

Теория вероятности в математической статистике

стремится к нулю при Теория вероятности в математической статистике, то есть Теория вероятности в математической статистике сходиться к
Теория вероятности в математической статистике по
вероятности.

Задача 1.

Значение гамма-функции Г(x) при x=Теория вероятности в математической статистике вычисляется
методом Монте-Карло. Найдем минимальное число испытаний необходимых для того,
что бы с вероятностью 0,95 можно было ожидать, что относительная погрешность
вычислений будет меньше одного процента.

Решение

Для Теория вероятности в математической статистике с точностью
до Теория вероятности в математической статистике имеем

Теория вероятности в математической статистике.

Известно, что

Теория вероятности в математической статистике.        (1)

Сделав в (1)
замену Теория вероятности в математической статистике, приходим к
интегралу по конечному промежутку:

Теория вероятности в математической статистике.

У нас Теория вероятности в математической статистике, поэтому

Теория вероятности в математической статистике.

Как видно, Теория вероятности в математической статистике представимо
в виде Теория вероятности в математической статистике, где Теория вероятности в математической статистике, а Теория вероятности в математической статистике распределена
равномерно на Теория вероятности в математической статистике. Пусть
произведено Теория вероятности в математической статистике статистических
испытаний. Тогда статистическим аналогом Теория вероятности в математической статистике является величина

Теория вероятности в математической статистике,

где Теория вероятности в математической статистике, Теория вероятности в математической статистике, —
независимые случайные величины с равномерным на Теория вероятности в математической статистике распределением. При этом

Теория вероятности в математической статистике;

Теория вероятности в математической статистике,

т.к. Теория вероятности в математической статистике

Из ЦПТ следует, что Теория вероятности в математической статистике асимптотически
нормальна с параметрами Теория вероятности в математической статистике.

Далее, по условию задачи Теория вероятности в математической статистике, т.е.

Теория вероятности в математической статистике.

Значит,

Теория вероятности в математической статистике,

откуда

Теория вероятности в математической статистике, Теория вероятности в математической статистике.

Значит, минимальное
количество испытаний, обеспечивающее с вероятностью Теория вероятности в математической статистике относительную
погрешность вычисления Теория вероятности в математической статистике не более Теория вероятности в математической статистике равно Теория вероятности в математической статистике.

Задача 2

Рассматривается последовательность
из 2000 независимых одинаково распределенных случайных величин с математическим
ожиданием, равным 4, и дисперсией, равной 1,8. Среднее арифметическое этих
величин есть случайная величина Теория вероятности в математической статистике. Определить вероятность того, что
случайная величина Теория вероятности в математической статистике примет
значение в интервале (3,94; 4,12).

Решение

Пусть Теория вероятности в математической статистике, Теория вероятности в математической статистике …,Теория вероятности в математической статистике,…- последовательность независимых
случайных величин, имеющих одинаковое распределение с MТеория вероятности в математической статистике=a=4 и DТеория вероятности в математической статистике=Теория вероятности в математической статистике=1,8. Тогда
к последовательности {Теория вероятности в математической статистике} применима
ЦПТ. Случайная величина Теория вероятности в математической статистике

Вероятность того, что Теория вероятности в математической статистике примет
значение в интервале (Теория вероятности в математической статистике):

PТеория вероятности в математической статистикеPТеория вероятности в математической статистикеPТеория вероятности в математической статистике

=PТеория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистике.

При n=2000, Теория вероятности в математической статистике3,94 и Теория вероятности в математической статистике4,12 получим

PТеория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистике

.3 Проверка гипотез критерием
независимости Теория вероятности в математической статистике

Задача 1.

В результате проведенного
исследования было установлено, что у 782 светлоглазых отцов сыновья тоже имеют
светлые глаза, а 89 светлоглазых отцов сыновья — темноглазые. У 50 темноглазых
отцов сыновья также темноглазые, а у 79 темноглазых отцов сыновья —
светлоглазые. Имеется ли зависимость между цветом глаз отцов и цветом глаз их
сыновей? Уровень доверия принять равным 0,99.

Решение

Для решения данной задачи
воспользуемся таблицей сопряженности двух признаков.

Таблица 2.1

Дети

Отцы

Сумма

Светлоглазые

Темноглазые

Светлоглазые

782

79

861

Темноглазые

89

50

139

Сумма

871

129

1000

HТеория вероятности в математической статистике: нет
зависимости между цветом глаз детей и отцов.

HТеория вероятности в математической статистике: есть
зависимость между цветом глаз детей и отцов.

Статистика вычисляется за следующей
формулой

Теория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистике~ Теория вероятности в математической статистике

s=k=2 Теория вероятности в математической статистике Теория вероятности в математической статистике=90,6052 с 1
ступеней свободы

Вычисление сделаны в программе Mathematica 6.

По таблицам распределения Теория вероятности в математической статистике находим,
что Теория вероятности в математической статистике.

Поскольку Теория вероятности в математической статистике> Теория вероятности в математической статистике, то
гипотезу HТеория вероятности в математической статистике, про
отсутствия зависимости между цветом глаз отцов и детей, при уровне значимости Теория вероятности в математической статистике, следует
отклонить и принять альтернативную гипотезу HТеория вероятности в математической статистике.

Задача 2.

Утверждается, что результат действия
лекарства зависит от способа применения. Проверьте это утверждение по данным,
представленным в табл. 2.2 Уровень доверия принять равным 0,95.

Таблица 2.2

Результат

Способ
применения

В

С

Неблагоприятный

11

17

16

Благоприятный

20

23

19

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся таблицей
сопряженности двух признаков.

Таблица 2.3

Результат

Способ
применения

Сумма

А

В

С

Неблагоприятный

11

17

16

44

Благоприятный

20

23

19

62

Сумма

31

40

35

106

HТеория вероятности в математической статистике: результат
действия лекарств не зависит от способа применения

HТеория вероятности в математической статистике: результат
действия лекарств зависит от способа применения

Статистика вычисляется за следующей
формулой

Теория вероятности в математической статистикеТеория вероятности в математической статистике~ Теория вероятности в математической статистике

s=2, k=3, Теория вероятности в математической статистике Теория вероятности в математической статистике=0,734626 c 2 ступенями
свободы.

Вычисление сделаны в программе Mathematica 6

По таблицам распределения Теория вероятности в математической статистике находим,
что Теория вероятности в математической статистике.

Поскольку Теория вероятности в математической статистике < Теория вероятности в математической статистике, то
гипотезу HТеория вероятности в математической статистике, про
отсутствия зависимости действия лекарств от способа применения, при уровне
значимости Теория вероятности в математической статистике, следует
принять.

Заключение

В данной работе приведены
теоретические выкладки из раздела «Критерий независимости Теория вероятности в математической статистике», а также
«Предельные теоремы теории вероятностей», курсу «Теория вероятностей и
математическая статистика». В ходе выполнения работы на практике были проверены
критерий независимости Теория вероятности в математической статистике; также для
заданных последовательностей независимых случайных величин было проверено
выполнение центральной предельной теоремы.

Данная работа помогла
усовершенствовать мои знания с данных разделов теории вероятностей, работы с
литературными источниками, твердо владеть техникой проверки критерия
независимости Теория вероятности в математической статистике.

вероятностная
статистическая гипотеза теорема

Перечень ссылок

1. Сборник задач с теории
вероятности с решением. Уч. пособие / Под ред. В.В. Семенца. — Харьков: ХТУРЕ,
2000. — 320с.

. Гихман И.И., Скороход А.В.,
Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая статистика. — К.: Вища шк.,
1979. — 408 с.

. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И.,
Математическая статистика: Учеб. пособие для втузов. — М.: Высш. шк., 1984. —
248с., .

. Математическая статистика: Учеб.
для вузов/ В.Б. Горяинов, И.В. Павлов, Г.М. Цветкова и др.; Под ред. В.С.
Зарубина, А.П. Крищенко. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. — 424с.

Оцените статью
Реферат Зона
Добавить комментарий