Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов

Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов Реферат

<2203_7>

Рис. 4. Алгоритм работы программы integral.pas.

1 точные и приближенные методы вычисления
определенных интегралов. оценка погрешностей
методов

    1. Понятие определённого интеграла

Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [a,b], a<b, выполним
следующие действия.

С помощью точек  разобьём отрезок [a,b] на n частичных отрезков (рисунок 1).

Рисунок 1. Геометрический
смысл определённого интеграла

Далее на каждом частичном отрезке , i=1,2,…,n выберем
произвольную точку и вычислим значение функций в ней,
т.е. величину [1].

Умножив найденное значение
функций на длину соответствующего частичного отрезка: , составим сумму Sn 
всех таких произведений:

.            
(1)

Сумма вида (1) называется
интегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a,b]. Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка.
Для того что бы найти предел интегральной
суммы (1), когда так, что :

Если при 
этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не 
зависит от способа разбиения отрезка
[a,b] на частичные отрезки, ни от
выбора точек в них, то I называется определённым интегралом
от  функции y=f(x)  на отрезке [a,b] и обозначается  . Таким образом,

Далее сформулируем
теорему существования определённого интеграла.

ТЕОРЕМА (Коши).
Если функция y=f(x)  непрерывна на отрезке  [a,b] то определённый 
интеграл существует [1].

Отметим, что 
непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости.
Однако определённый интеграл может существовать
и для некоторых разрывных функций, имеющей
на нем конечное число точек разрыва [1].

2.1 Формула Ньютона-Лейбница.

Если  для 
непрерывной на отрезке [a;b] функции y=f(x) может быть найдена её первообразная F(x), то простым
и удобным методом вычисления определённого
интеграла является  формула Ньютона-Лейбница:
[2]

.                                 
(2)

Пример применения
формулы Ньютона-Лейбница:

2.2 Формула интегрирования по частям

   Если 
функции u=u(x) и v=v(x)имеют непрерывные производные
на отрезке [a,b], то имеет место формула

                                          
(3)

Доказательство. На отрезке [a,b] имеет место равенство . Следовательно, функция uv есть первообразная для непрерывной
функции . Тогда по  формуле Ньютона-Лейбница
имеем:

Следовательно,

Формула (3) называется формулой интегрирования
по частям для определённого интеграла.[2]

Пример:

Положим

Применяя формулу (3), получаем

2.3 Замена переменной в определенном интеграле

Пусть для вычисления
интеграла от непрерывной функции сделана подстановка  .

Если:

1) функция  и ее производная непрерывны при ;

2) множеством значений 
функции  при является отрезок [a,b];

3) .[2]

.                               
(4)

Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке
[a,b]. Тогда по 
формуле Ньютона-Лейбница . Так как , то  является первообразной для функции , Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница
имеем:

Формула (4)  называется формулой замены
переменной в определенном интеграле.

Пример.

Положим x=2sint, тогда. Если x=0, то t=0; если  x=2, то 

3 Приближенные методы вычисления
определённых интегралов

Нахождение первообразной функции иногда
весьма сложно, кроме того как известно
не для всякой непрерывной функции ее
первообразная выражается через элементарные
функции. В этих случаях прибегают к приближенным
формулам, с помощью которых определённый
интеграл находится с любой степенью точности.

Рефераты:  Классификация производственных затрат - Рефераты

Рассмотрим несколько 
формул приближенного вычисления определённого
интеграла, основанные на геометрическом
смысле определённого интеграла [1].

Задание на лабораторную работу

1) Написать программы вычисления определенного интеграла методами: средних, правых прямоугольников, трапеции и методом Симпсона. Выполнить интегрирование следующих функций:

1. f(x)=x

f(x)=x2

f(x)= x3

f(x)= x4

на отрезке [0, 1] с шагом Точные и приближенные методы вычисления определенных интеграловТочные и приближенные методы вычисления определенных интеграловТочные и приближенные методы вычисления определенных интеграловТочные и приближенные методы вычисления определенных интеграловТочные и приближенные методы вычисления определенных интеграловТочные и приближенные методы вычисления определенных интегралов

3. Выполнить вариант индивидуального задания (таблица 2)

Таблица 2 Индивидуальные варианты задания

2) Провести сравнительный анализ методов.

Вычисление определенного интеграла: Методические указания к лабораторной работе по дисциплине «Вычислительная математика» / сост. И.А.Селиванова. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2006. 14 с.

Указания предназначены для студентов всех форм обучения специальности 230101 – «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети» и бакалавров направления 230100 – «Информатика и вычислительная техника». Составитель Селиванова Ирина Анатольевна

Реферат: приближенное вычисление определенных интегралов —

Приближенное вычислениеопределенных интегралов

При решении физических и технических задач приходится находить опре­деленные интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Это привело к необходимости вывода приближенных формул вычисления определенных интегралов. Познакомимся с двумя из них: формулой трапеций и формулой парабол.

1. Формула трапеций.

Пусть требуется вычислить интеграл Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов, где f(x) — непрерывная функция. Для простоты рассуждений ограничимся случаем, когда f(x)³0. Разобьем отрезок [a, b] на n отрезков точками a=x
<x1
<x2
<…<xk-1
<xk
<…<xn
=b и с помощью прямых х=хk
построим n прямолинейных трапеций (эти трапеции заштрихованы на рис. 1). Сумма площадей трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции, т.е.

Где f(xk-1
) и f(xk
) — соответственно основания трапеций; xk
— xk-1
= (b-a)/n — их высоты.

Таким образом, получена приближенная формула

которая и называется формулой трапеций.
Эта формула тем точнее, чем больше n.

Рассмотрим в качестве примера интеграл Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов . Точное значение этого интеграла находится просто:

Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов

Вычислим теперь по формуле трапеций его приближенное значение. Пусть n=5. Тогда имеем: a=x
=0, x1
=0,2, x2
=0,4, x3
=0,6, x4
=0,8, x5
=1=b и соответственно f(x
)=0, f(x1
)=0,04, f(x2
)=0,16, f(x3
)=0,36, f(x4
)=0,64, f(x5
)=1. Следовательно,

Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов

Точное значение интеграла равно 0,3333…., поэтому абсолютная ошибка меньше 0,007. Во многих технических задач эта точность достаточна.

Если увеличить число n, то точность будет большей. Так, например, при n=10

Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов

т.е. абсолютная ошибка меньше 0,002.

В более полных курсах высшей математики доказывается, что если функция f(x) имеет на [a, b] непрерывную вторую производную, то абсолютная величина погрешности формулы трапеций не больше, чем

Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов

где k -наибольшее значение Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов на отрезке [a, b].

Следует отметить, что с увеличением n увеличивается не только точность вычисления определенного интеграла, но и объем вычислительной работы. Однако здесь на помощь приходят ЭВМ.

Вычислим по формуле трапеции интеграл Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов при n=10. Разобьем отрезок [0, 1] на 10 равных частей точками х
=0, х1
=0,1, …, х9
=0,9, х10
=1. Вычислим приближенно значения функции f(x)=Точные и приближенные методы вычисления определенных интеграловв этих точках: f(0)=1,0000, f(0,1)=0.9091, f(0,2)=0,8333, f(0,3)=0.7692, f(0,4)=0,7143, f(0,5)=0,6667, f(0,6)=0,6250, f(0,7)=0,5882, f(0,8)= 0,5556, f(0,9)=0,5263, f(1)=0,5000.

По формуле трапеций получаем

Рефераты:  Реферат: Основные виды искусств -

Оценим погрешность полученного результата. Так как f(x)=1/(1 x), то Точные и приближенные методы вычисления определенных интеграловНа отрезке [0, 1] имеем Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов. Поэтому погрешность полученного результата не превосходит величины

Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов

Вычислим точное значение данного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов

Абсолютная ошибка результата, полученного по формуле трапеций, меньше 0,0007. Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности.

Идею, которая была использована при построении формулы трапеций, можно использовать для получения более точных приближенных формул для вычисления определенного интеграла.

2. Формула парабол.

Докажем предварительно две леммы.

Лемма 1.1. Через любые три точки М1
1
; у1
), М2
2
; у2
), М3
3
; у3
) с различными абсциссами можно провести единственную кривую вида

у=Ах2
Вх С (1)

Доказательство.
Подставляя в уравнение параболы (1) координаты точек М1
, М2
, М3
,

получаем систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными А, В, С:

Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов

Так как числа х1
, х2
, х3
различны, то определитель этой системы отличен от нуля:

Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов

Следовательно, данная система имеет единственное решение, т.е. коэффициенты А, В, С определяются однозначно. g

Отметим, что если А¹0, то кривая (1) является параболой, если А=0, то прямой.

Лемма 1.2. Площадь s криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=Ах2
Вх С, проходящей через точки М1
(-h; y1
), M2
(0, y2
), M3
(h, y3
) (
рис. 2) выражается формулой

Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов (2)

Доказательство.
Подставляя в уравнение у=Ах2
Вх С

координаты точек М1
, М2
, М3
, получаем у1
h2h С; у2
; у3
h2 Вh С,
откуда следует, что

h2 2С=у1
у3
; С=у2
(3)

Учитывая соотношение (3), имеем

Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов

Рассмотрим снова криволинейную трапецию, ограниченную произвольной кривой y=f(x). Разобьем отрезок [a, b] на 2p равных отрезков точками a=x
<x1
<x2
<…<x2k
<x2k 1
<x2k 2
<…<x2n-1
<x2n
=b, а кривую y=f(x) с помощью прямых x=xk
на 2n соответствующих частей точками М
, М1
, М2
, …, М2
k , М2k 1 , М2k 2, …, М2n-2 , М2n-1 , М2n
(рис. 3).

Через каждую тройку точек

М
М1
М2
, …, М2
kМ2k 1М2k 2, …, М2n-2М2n-1М2n

проведем кривую вида у=Ах2
Вх С (см. лемму 1.1). В результате получим n криволинейных трапеций, ограниченных сверху параболами или прямыми (эти трапеции заштрихованы на рис. 3). Так как площадь частичной криволинейной трапеции, соответствующей отрезку [x2k
, x2k 2
], приближенно равна площади соответствующей “параболической” трапеции, то по формуле (2) имеем [в данном случае h=(b-a)/(2n)]

Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов

где yk
=f(xk
), k=0, 1, 2, …,2n. Складывая почленно эти приближенные равенства, получаем приближенную формулу

Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов

или в развернутом виде

Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов

Эта формула называется формулой парабол или формулой Симпсона.

В формуле параболы значение функции f(x) в нечетных точках разбиения х1
, х3
, …, х2n-1
имеет коэффициент 4, в четных точках х2
, х4
, …, х2n-2
— коэффициент 2 и в двух граничных точках х
=а, х1
, х2n
=b — коэффициент 1.

Геометрический смысл формулы Симпсона очевиден: площадь криволинейной трапеции под графиком функции f(x) на отрезке [a, b] приближенно заменяется суммой площадей фигур, лежащих под параболами (прямыми).

Рефераты:  Аудит операций с основными средствами. Дипломная (ВКР). Бухучет, управленч.учет. 2013-06-26

В полных курсах высшей математики доказывается, что если функция f(x) имеет на [a, b] непрерывную производную четвертого порядка, то абсолютная величина погрешности формулы Симпсона не больше чем

Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов

где М — наибольшее значение Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов на отрезке [a, b]. Выше отмечалось, что погрешность формулы трапеций оценивается числом

Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов

Так как n4
растет быстрее, чем n2
, то погрешность формулы Симпсона с ростом n уменьшается значительно быстрее, чем погрешность формулы трапеций. Этим и объясняется, что формула Симпсона позволяет получить большую точность, чем формула трапеций.

Для сравнения точности приближенных формул вычислим еще раз интеграл

Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов, но теперь по формуле Симпсона при n=4. Разобьем отрезок [0,1] на четыре равные части точками х
=0, х1
=1/4, х2
=1/2, х3
=3/4, х4
=1 и вычислим приближенно значения функции f(x)=1/(1 x) в этих точках у
=1,0000, у1
=0,8000, у2
=0,6667, у3
=0,5714, у4
=0,5000.

По формуле Симпсона получаем

Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов

Оценим погрешность полученного результата. Для подынтегральной функции f(x)=1/(1 x) имеем: f(4)
(x)=24/(1 x)5
, откуда следует, что на отрезке [0,1]Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов. Следовательно, можно взять М=24, и погрешность результата не превосходит величины 24/(2880× 44
),0б0004. Сравнивая приближенное значение с точным, заключаем, что абсолютная ошибка результата, полученного по формуле Симпсона, меньше 0,00011. Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности и, кроме того, свидетельствует, что формула Симпсона значительно точнее формулы трапеций. Поэтому формулу Симпсона для приближенного вычисления определенных интегралов используют чаще, чем формулу трапеций.

Как отмечалось выше, приближенные формулы для вычисления определенного интеграла применяют в тех случаях, когда первообразная подынтегральной функции не выражается через элементарные функции.

Вычислим, например, интеграл Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов по формуле Симпсона с точностью до 0,001.

Чтобы выбрать необходимое для получения заданной точности число 2n, найдем f(4)
(x). Последовательно дифференцируя функцию f(x)=Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов, получаем

f(4)
(x)=4Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов(4х4
-12х2
3)

Так как на отрезке [0,1]Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов£1, ½4х4
-12х2
3½£5, то Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов. Следовательно, можно взять М=20. Используя формулу оценки погрешности, имеем 20/2880n4
<1/1000, откуда n4
>1000/144. Для того чтобы выполнялось это неравенство, достаточно взять n=2, т.е. 2n=4.

Разобьем теперь отрезок [0,1] на четыре равные части точками х
=0, х1
=1/4, х2
=1/2, х3
=3/4, х4
=1 и вычислим приближенно значения функции f(x)=Точные и приближенные методы вычисления определенных интеграловв этих точках у
=1,0000, у1
=0,9394, у2
=0,7788, у3
=0,5698, у4
=0,3679. Применяя формулу Симпсона, получаем

Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов

Таким образом, Точные и приближенные методы вычисления определенных интеграловс точностью до 0,001. Итак, разбив отрезок [0,1] всего на четыре равные части и заменив рассматриваемый интеграл суммой, стоящей в правой части формулы Симпсона, мы вычислили данный интеграл с необходимой точностью.

В заключении отметим, что каждый из изложенных методов приближенного вычисления интегралов содержит четкий алгоритм их нахождения, что позволяет широко применять эти методы для вычислений на ЭВМ. Таким образом, указанные методы — эффективное средство вычисления интегралов. Для интегралов, которые нельзя выразить через элементарные функции, с помощью ЭВМ и простейших приближенных методов можно составить таблицы их значений.

Оцените статью
Реферат Зона
Добавить комментарий