Взаимное расположение прямых и плоскостей
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ.
Знания о взаимном расположении прямых и плоскостей лежат в основе изучения свойств геометрических фигур как в планиметрии, так и в стереометрии. Действительно, параллельность и перпендикулярность прямых на плоскости являются необходимым материалом для изучения свойств многоугольников и окружности; без знания взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве невозможно изучение свойств многогранных углов, многогранников и круглых тел.
Разделы о взаимном расположении прямых и плоскостей изучаются сразу же после введения основных понятий геометрии на плоскости и в пространстве, которые используются при доказательстве первых предложений и решении задач. Это позволяет систематически вести работу по развитию логического мышления учащихся, а также способствует прочному и сознательному усвоению ими основных понятий и аксиом и постепенному раскрытию их роли в школьном курсе геометрии.
Изучение взаимного расположения прямых и плоскостей сопровождается решением большого количества задач, среди которых особое место занимают задачи на доказательство и задачи конструктивного характера. Конструктивные задачи трехмерного пространства требуют как формально-логического подхода при их решении, так и знания проекционного чертежа (параллельного проектирования и его свойств). В процессе решения задач у учащихся развиваются пространственные представления, конструктивные навыки, в частности навыки изображения фигур на плоскости, навыки выполнения рисунков, их правильного восприятия и чтения.
В процессе изучения взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве постепенно ведется работа по формированию у учащихся основ векторного метода, умению использовать его при доказательстве целого ряда теорем и решении различного рода задач. Умелое сочетание векторного метода с синтетическим методом позволяет учителю не ослаблять внимания к развитию пространственных представлений учащихся.
В вузовских курсах геометрии учение о взаимном расположении прямых и плоскостей построено целиком и полностью на основе координатного метода само изложение этого раздела обладает большой общностью и является довольно абстрактным. Поэтому и на этой поре обучения периодическое обращение к наглядности опора на пространственные представления играют большую роль. В школьном курсе математики также разумно пользуются в сочетании координатный метод и наглядные, чисто геометрические представления о взаимном расположении прямых на плоскости в процессе решения систем линейных уравнений с двумя переменными, когда возникает необходимость графической иллюстрации решения.
Изучение взаимного расположения прямых и плоскостей в школьном курсе математики можно разделить на три этапа:
подготовительная (пропедевтическая) работа по ознакомлению учащихся со взаимным расположением прямых на плоскости и некоторыми пространственными фигурами в 1—5 классах;
систематическое изучение взаимного расположения прямых на плоскости и знакомство на наглядной основе с простейшими многогранниками в 6—8 классах;
систематическое изучение взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве в 9—10 классах.
Знакомство со взаимным расположением прямых и плоскостей начинается с первого появления геометрического материала в курсе математики средней школы. Уже в подготовительном курсе геометрии, в 1—5 классах, изучаются на наглядно-оперативном уровне такие вопросы, как пересечение двух прямых на плоскости, перпендикулярность двух прямых на плоскости, параллельность прямых. Об изучении строгой теории на этой поре обучения не может быть и речи. Здесь даются определения перпендикулярных и параллельных прямых, формируются навыки изображения каждого из названных случаев на плоскости, развиваются умения пользоваться чертежными инструментами — линейкой, угольником,
транспортиром, циркулем. Рассмотренные случаи взаимного рас положения прямых на плоскости используются при решении простеиших задач.
Основой для введения различных случаев взаимного расположения прямых является беседа о возможном числе общих точек у двух прямых на плоскости, где используются интуиция и жизненный опыт учащихся. Изучение этого материала проводится на различных рисунках, как готовых, так и выполненных учащимися.
Подготовительный этап в изучении взаимного расположения прямых на плоскости играет важную роль в обогащении жизненного опыта учащихся, в накоплении необходимого фактически-наглядного материала, который может служить надежной базой для успешного систематического изучения этих вопросов на последующем этапе обучения.
На этой ступени обучения учащиеся должны знать:
что две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку, и уметь изобразить пересекающиеся прямые с помощью линейки;
что две перпендикулярные прямые являются пересекающимися, и уметь построить такие прямые с помощью линейки и угольника, как линейки и транспортира;
что две параллельные прямые совсем не имеют общих точек, и уметь построить параллельные прямые с помощью линейки и угольника.
Особые трудности вызывают первые уроки систематического на и курса планиметрии, на которых систематизируются полученные ранее знания о взаимном расположении прямых на плоскости, поэтому разработка методики их проведения требует особого внимания. Это обусловлено целым рядом причин: психическими особенностями учащихся этого возраста, выделением курса геометрии в отдельную учебную дисциплину и новизной его структуры, резким повышением уровня строгости логических рассуждений, введением большого числа новых понятий, терминов, новой символики, повышением уровня абстрактности изучаемого материала, новым содержанием заданного материала, недостаточной развитостью пространственных представлений и пространственного воображения учащихся, несформированностью умений и навыков обобщения, абстрагирования. Методика преподавания первых разделов курса планиметрии предполагает постепенный, плавный переход от конкретного к общему, постоянное обращение к окружающей действительности и другим видам наглядности, пристальное внимание обучению учащихся умению логически рассуждать, обосновывать, доказывать высказываемые предложения, ориентироваться в изучаемых математических предложениях аксиомах, определениях, теоремах, которые для них являются новыми. С самых первых этапов изучения геометрии необходимо в единую систему увязать рассказ учителя, текст учебника, соответствующие записи на доске и в тетради с рисунками, являющиеся опорой для учащихся при самостоятельной работе. На первом уроке геометрии необходимо учащихся познакомить с историей возникновения геометрии.
Геометрические объекты, с которых начинается изучение систематического курса планиметрии, уже знакомы учащимся, однако они предстают перед ними в новом виде. Точка и прямая рассматриваются как основные понятия, свойства которых раскрываются в аксиомах. Это находит соответствующее отражение в записях, которые носят характер опорных схем: в них дается изображение точек и прямых, их обозначение на плоскости.
В процессе изучения свойств прямой важно постоянно подчеркивать, что она безгранична, и на рисунке можно изобразить только часть прямой. Вопрос о взаимном расположении точек и прямых на плоскости является одним из первых после рассмотрения основных понятий. Положение о том, что любая прямая содержит точки, а также есть точки и вне прямой, в одних учёбных пособиях формулируется как аксиома, в других учебных пособиях без всякого указания включено в текст соответствующего раздела.
Именно на основании этого положения можно выбирать точки как на прямой, так и вне прямой на плоскости; изучению его‚ следует уделить особое внимание.
Предложение «Точка лежит на прямой (точка принадлежит прямой)» можно сформулировать по-другому, а именно: «Прямая проходит через точку». Особо надо подчеркнуть, что через точку на плоскости проходит сколько угодно прямых, и проиллюстрировать на рисунке.
На первых уроках геометрии вводятся и первые аксиомы (основные свойства). На этой поре обучения их не следует вводить формально. При разработке методики введения аксиом целесообразно учитывать такие моменты, как:
а) иллюстрация примерами из окружающей жизни или с помощью специальной модели
б) формулировка аксиомы
в) иллюстрация аксиомы на рисунке
г) краткая запись аксиомы.
Ниже приводится примерная краткая запись аксиомы прямой (основного свойства прямой).
А и В — различные точки.
а) Можно провести прямую а через точки А и В.
б) Прямая а — единственная.
Предложение «Можно провести прямую а через точки А и В» формулируют и в другой форме: «Существует прямая а, проходящая через точки А и В».
В дальнейшем, чтобы всякий раз не делать оговорок, можно договориться, что если речь идет о двух прямых или двух точках,то они различны.
Две точки прямой полностью ее определяют. Это дает право прямую называть двумя большими латинскими буквами.
Аксиома прямой после ее введения используется в доказательствах первых предложений, которые еще не получили названия теорем. Большая осторожность требуется в обучении учащихся первым доказательствам. Надо сказать, что в числе первых учащимся дается метод доказательства от противного, который вызывает у них наибольшие трудности. В процессе доказательства методом от противного необходимо выделить все его этапы, дать им характеристику, сделать соответствующую запись алгоритма рассуждений.
Ниже приводится доказательство одного из предложений методом от противного: Две различные прямые не могут иметь более одной общей точки».
Д а н о: а и b — различные прямые.
Д о к а з а т ь: а и b не могут иметь более одной общей точки.
Доказательство.
1. Предположим, что различные прямые а и b имеют более одной общей точки; пусть у них две общие точки.
2. Если прямые а и b имеют две общие точки, то получим, что через две точки проходят две различные прямые а и b. Это противоречит основному свойству (аксиоме) прямой.
З. Предположение о том, что различные прямые а и b имеют более одной общей точки, неверно.
4. Две различные прямые не могут иметь более одной общей точки.
Учитель должен знать, что врассуждениях методом от противного используется формально-логический закон «исключенного третьего». В данном случае истинным является одно из двух предложений, третьего быть не должно:
а) две различные прямые а и b не могут иметь более одной общей точки;
б) две различные прямые а и b могут иметь более одной общей точки.
На основе вышеизложенного можно сделать вывод: две различные прямые на плоскости или имеют только одну общую точку, или совсем не имеют общих точек. Если две прямые имеют только одну общую точку, то они называются пересекающимися.
В усвоении раздела о взаимном расположении точек и прямых на плоскости большую роль играют задачи, сопровождаемые рисунками:
а) Отметить точки, принадлежащие прямой и не принадлежащие ей.
б) Проверить, будут ли названные точки принадлежать прямой (или прямая проходит через названные точки).
в) Пересекаются ли две прямые? Построить точку их пересечения.
г) Построить прямые, пересекающиеся в данной точке.
На первых уроках систематического курса планиметрии вводятся такие понятия, как «отрезок», «луч», «угол», которым дается формально-логическое определение. Перед их изучением вводятся свойства расположения точек на прямой.
В учебных пособиях по геометрии отрезок и луч рассматриваются как части прямой, что следует особо подчеркнуть. Прежде чем сформулировать их определение, необходимо, используя имеющиеся наглядные представления учащихся об этих объектах, выделить отдельные его части.
В процессе введения понятия отрезка можно выделить его части и изобразить их на рисунке различными цветами:
а) отрезок — это часть прямой;
б) две точки концы отрезка, принадлежащие ему, особо выделены;
в) отрезку принадлежат все точки, лежащие между его кон ца м и.
После анализа понятия отрезка можно перейти к формулировке его определения, соединяя все выделенные части воедино (синтез). Схематическая запись определения отрезка поможет лучшему его усвоению.
Понятие луча вводится аналогично понятию отрезка.
Важно разъяснить учащимся, что луч — фигура неограниченная. Лучше всего это сделать в процессе выполнения упражне ний на взаимное расположение отрезков и лучей.
Приведем пример упражнения: «Имеется ли общая точка у фигур, изображенных на рисунке ? Если да, то постройте ее».
Понятие угла рассматривается в школе или как пара лучей с общим началом или как часть плоскости вместе с ограничивающей ее парой лучей с общим началом. В практике работы школы имеют место оба названных варианта, однако второй подход соответствует в большей степени жизненным представлениям учащихся об угле, а поэтому легче ими воспринимается.
Формирование понятия угла ведется по аналогии с формированием понятия отрезка.
Вопросы о взаимном расположении прямых изучаются одними из первых в систематическом курсе планиметрии, а поэтому требуют особого внимания к разработке их содержания и методики преподавания. Уже при изучении этих разделов целесообразно
в доступной для учащихся форме раскрывать роль аксиом, создавать первые представления об аксиомах как о рабочем инструменте при построении геометрии.
В имеющейся учебной литературе по геометрии для средней школы представлена различная последовательность изучения разделов о параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости после введения понятий пересекающихся и непересекающихся прямых.
В учебном пособии А. В. Погорелова введение понятия параллельных прямых и аксиома параллельных прямых предшествуют изучению перпендикулярных прямых.
Существование параллельных прямых на плоскости, признаки параллельности прямых, построение параллельных прямых с по мощью циркуля и линейки излагаются после изучения раздела о перпендикулярных прямых.
В учебном пособии по геометрии под редакцией А. Н. Колмогорова изучение взаимного расположения прямых на плоскости начинается с параллельности прямых, хотя понятие перпендикулярных прямых, знакомое учащимся из курса математики 4-5 классов, используется ранее при изучении осевой симметрии .
В пробном учебнике Л. С. Атанасяна и других авторов изучение взаимного расположения прямых на плоскости начинается с перпендикулярности прямых, а затем излагается раздел о параллельности прямых на плоскости .
Все названные пути вполне доступны для учащихся, хотя учение о перпендикулярных прямых в логическом отношении проще для них, ближе к их опыту. Понятие параллельности связано с бесконечностью, что само, по себе является нелегким в средней школе.
Большая роль при изучении раздела о взаимном расположении прямых отводится аксиоме: через любые две точки можно провести прямую и только одну.
В учебном пособии А. В. Погорелова аксиомы в начале систематического курса планиметрии названы основными свойствами.
Только после введения всех основных свойств, на которых строится курс планиметрии, их называют аксиомами и вводится соответствующий термин.
В начале изучения взаимного расположения прямых на плоскости целесообразно дать учащимся общую картину взаимного расположения двух прямых на плоскости. Это позволит им сразу охватить основные отношения между двумя прямыми: две прямые имеют только одну общую точку; все точки двух прямых общие — две прямые совпадают; две прямые на плоскости совсем не имеют общих точек — две прямые параллельны.
Учитель с этой целью может провести с учащимися класса беседу по вопросам, ответы на которые требуют знания уже введенных аксиом:
1 Могут ли две прямые на плоскости иметь только две общие точки?
2. Могут ли две прямые на плоскости иметь только одну общую точку?
3. Могут ли две прямые на плоскости совсем не иметь общих точек?
Ответ на первый вопрос приводит к случаю, когда у двух прямых все точки общие, т. е. прямые совпадают. Ответ на второй вопрос приводит к случаю пересекающихся прямых на плоскости, имеющих только одну общую точку.
Ответ на третий вопрос дает возможность ввести понятие, параллельности прямых на плоскости.
Особо следует остановиться на том случае, когда все точки у двух прямых общие, т. е. прямые сливаются дальнейшее отношение учителя к этому случаю зависит от той системы изложения, которой он придерживается. Поэтому возможны два подхода:
1) случай совпадения двух прямых не рассматривать в дальнейшем, как не интереса; если речь идет о двух прямых, то их всегда надо представлять себе различными; этот подход имеет место в учебном пособии по геометрии А. В. Погорелова, в пробном учебнике Л. С. Атанасяна и др., в учебнике по геометрии А. П. Киселева
2) две совпадающие прямые считают параллельными, а следовательно, параллельные прямые или совсем не имеют общих точек, или совпадают; этот подход имеет место в учебном пособии по геометрии под редакцией А. Н. Колмогорова
Второй подход дает возможность на определенном этапе изучения геометрии в школе показать учащимся, что параллельность прямых входит в класс эквивалентности, однако само восприятие понятия параллельности прямых в этом случае для учащихся с чисто психологической точки зрения более затруднительно.
Параллельность прямых и плоскости.
Дальнейшее изложение этого раздела ведется по следующему плану:
1. Параллельные прямые.
2. Перпендикулярные прямые.
В практике школьного преподавания имела место и другая последовательность изучения взаимного расположения прямых на плоскости, Учитель, прежде всего, должен четко представить себе логическую структуру излагаемого раздела, последовательность изучения его отдельных частей, взаимосвязь между ними. Учение о параллельности прямых в курсе планиметрии можно разделить на следующие части:
— определение параллельных прямых;
— существование параллельных прямых;
— построение параллельных прямых; аксиома- параллельных;
свойства параллельных прямых;
— признаки параллельности прямых;
— применение изученной теории к решению задач.
Резко очерченных границ между выделенными частями не может быть, последний раздел, безусловно, присутствует во всех предыдущих.
Формулировки определений параллельных прямых в учебных пособиях, так же как и подходы к их изучению, различны.
В учебном пособии по геометрии А. В. Погорелова и в пробном учебнике Л. С. Атанасяна и др. рассматриваются только два случая взаимного расположения прямых на плоскости: прямые пересекаются (имеют только одну общую точку) и прямые не пересекаются (совсем не имеют общих точек). Поэтому и определения параллельных прямых в этих пособиях даются соответствующим образом: или как прямые на плоскости, которые не пересекаются, или как прямые на плоскости, не имеющие общих точек. Эти определения параллельных прямых на плоскости эквивалентны друг другу.
В учебном пособии по геометрии под редакцией А. Н. Колмогорова рассматриваются три случая взаимного расположения двух прямых на плоскости: прямые имеют только одну общую точку; прямые совпадают (все точки общие); прямые совсем не имеют общих точек.
Два последних случая входят в определение параллельных прямых в этом учебнике.
В процессе работы над определением параллельных прямых следует особо выделить, что они лежат в одной плоскости, и требовать этого постоянно от учащихся; такая работа поможет избежать нежелательных ошибок в дальнейшем при изучении соответствующих вопросов в курсе стереометрии. В качестве контрпримера полезно наглядно показать прямые пространства, которые не лежат в одной плоскости, не имеют общих точек и не являются
параллельными (скрещивающиеся прямые).
Учитывая приведенное замечание, определение параллельных прямых следует записать в тетради, выделив четко в записи видовые отличия.
Две прямые называются параллельными, если они:
1) лежат в одной 1) лежат в одной 1) лежат в одной
плоскости; плоскости; плоскости;
2) не пересекаются. 2) не имеют общих 2) не имеют общих
точек. точек или совпа
дают.
Вопрос о существовании параллельных прямых также решается неодинаково в имеющихся учебных пособиях. Здесь можно отметить два ярко выраженных подхода:
1) рассматривается специальная теорема, показывающая существование параллельных прямых, а затем дается аксиома параллельных
2) рассматривается аксиома параллельных, а затем доказывается теорема показывающая существование таких прямых
Второй подход может породить трудности, которые помешают убедить учащихся в необходимости доказательства существования параллельных прямых, поскольку целый, ряд рассуждений проводится на основе предположения, что такие прямые на самом деле есть. Об этом следует помнить учителю при изучении этого раздела и в нужном месте при изучении соответствующей теоремы сообщить,что построение параллельных прямых, аксиома параллельных и некоторые свойства параллельных рассматривались с учетом предположения, что параллельные прямые реально существуют. Существование параллельных прямых обосновывается в школе двумя путями, а именно на основе центральной симметрии или на основе свойств углов, образованных при пересечении двух прямых третьей.
Доказательство теоремы везде ведется методом от противного, однако предложения, на основе которых делается окончательный вывод, различньг: в одних случаях это свойство двух различных прямых не иметь двух и более различных общих точек; в других случаях это свойство внешнего угла треугольника не быть меньшим или равным внутреннему углу этого треугольника, не смежному с ним. Доказательство теоремы опирается на представление учащихся о неограниченности и бесконечности прямой, что сопряжено с большими трудностями, связанными с потерей наглядности чертежа, противоречием правильным интуитивным представлениям учащихся.
Вследствие этого чертежу желательно уделить особое внимание при доказательстве теоремы, при изображении точки пересечения прямых желательно не делать изломов.
Теоремы — признаки параллельности прямых требуют тщательной методической разработки, их доказательство надо сопровождать соответствующими записями. Перед доказательством теоремы необходимо воспроизвести в памяти учащихся отдельные составные части доказательства теоремы в виде задач:
а) если центрально симметричные прямые различны, то центр симметрии не принадлежит ни одной из этих прямых
б) если точка не совпадает с центром симметрии, то ее образ при центральной симметрии отли чен от нее.
В практике школы большое распространение получили обоснования признаков параллельности прямых на основе сравнения уг лов, образуемых при пересечении двух прямых третьей.
Раздел об углах, образующихся при перёсечении двух прямых третьей, как показывает опыт, не вызывает особых затруднений. Рисунок к введению этих понятий не должен отражать частных случаев: две прямые не должны изображаться параллельными, а секущая не должна быть к ним перпендикулярной.
Большую роль в изучении параллельных прямых играет аксиома параллельных.
В имеющейся учебной литературе приведены различные-формулировки аксиомы параллельных:
1. «Через данную точку проходит не более одной прямой, параллельной данной прямой» или «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной».
2. «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.»
Требование, чтобы точка не лежала на данной прямой, связано с тем, что в этих учебных пособиях совпадающие прямые не считаются параллельными и вообще не рассматриваются. Надо отметить, что во втором случае аксиома является более сильной, чем в первом случае. Утверждение, что через точку проходит только одна прямая, параллельная данной прямой, в первом случае можно доказать:
«Через данную точку можно провести не более одной прямой, параллельной данной» — на основе аксиомы;
«Через данную точку можно провести одну прямую, параллельную данной» — на основе теоремы существования и построения.
Следовательно, через данную точку проходит только одна прямая, параллельная данной прямой. Эти рассуждения приводятся не во всех учебных пособиях для средней школы.
В процессе изучения параллельности прямых весьма важно обращать внимание на раскрытие роли аксиомы параллельности при построении темы. При доказательстве соответствующих теорем, где явно используется аксиома параллельных, этот пункт доказательства желательно особо выделить.
Особый интерес представляет методика работы над теоремами – признаками параллельности прямых в соответствии с учебным пособием по геометрии А. В. Погорелова и пробным учебником по геометрии Л. С. Атанасяна и др. .
Перед доказательством признаков параллельности прямых необходима специальная работа по организации повторения тех вопросов, которые составляют основу доказательства, а именно:
По учебному пособию А. В. По- По пробному учебнику Л. С. Ата
горелова: насяна и др.
а) признаки равенства тре- а) углы, образуемые при пе –
угольников и определение рав- ресечении двух прямых третьей
ных треугольников
б) аксиома откладывания уг- б) нахождение на рисунке
лов; внутренних углов треугольника и внешних его углов;
в)углы, образуемые при пе- в) нахождение на рисунке
ресечении двух прямых третьей; внутренних углов треугольника, не смежных с данным внешним его углом;
г)свойство смежных углов. г) свойства внешнего угла треугольника.
Повторение проводится по рисункам, при этом предполагается факт их варьирование во избежание частных случаев.
Доказательство признака параллельности прямых, приведенного в учебном пособии А. В. Погорелова, несомненно, вызовет определенные трудности у учащихся, так как оно сложное по структуре, дополнительные построения на чертеже носят искусственный характер. Все это говорит о необходимости специальной подготовки учащихся к его восприятию: отдельные фрагменты доказательства целесообразно рассмотреть предварительно как задачи.
Задача 1. Известно, что накрест лежащие углы одной пары равны между собой. Докажите, что остальные накрестлежащие углы также попарно равны.
Задача 2. Известно, что треугольник ABC равен треугольнику PQM. Назовите равные углы и равные стороны этих треугольников.
Задача З. Известно, что угол АВD равен углу АВE. Докажите, что лучи ВD и ВЕ совпадают.
Задача 4. Что значит, что прямые а и b непараллельны?
Доказательство признака, связанного с односторонними углами, сводится к доказательству признака параллельности прямых.
– Эти задачи можно использовать в качестве домашних заданий, включать их в классные самостоятельные работы ,предлагать учащимся во время устного опроса.
Рассуждения и доказательства теорем, обратных признакам параллельности прямых, аналогичны между собой, что облегчает их усвоение учащимися. Необходимо учителю совместно с учащи мися четко провести рассуждения при доказательстве одной из этих теорем и записать их, чтобы на них полностью опираться при обучении учащихся самостоятельному доказательству остальных теорем. Большую роль в усвоении материала о параллельных прямых на плоскости играют задачи. Задачи могут быть использованы при формировании понятий темы, при подготовке учащихся к доказательству теорем, при использовании изученных теорем, в доказательстве новых фактов. Особо следует выделить задачи на построение параллельных прямых с использованием различных конструктивных инструментов.
По содержанию задачи по этой теме можно разделить ид три группы:
1) задачи на прямое применение аксиомы параллельности: «Доказать, что две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны».
2) задачи на применение признаков параллельности прямых: «Доказать, что биссектрисы соответственных углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, параллельны
3) задачи на применение теорем, обратных признакам параллельности прямых: «Через вершину А треугольника АВС проведена прямая, параллельная противоположной стороне его. Зная углы треугольника, вычислить углы, образовавшиеся при вершине А».
Перпендикулярность прямых на плоскости
Учение о перпендикулярности прямых в средней школе имеет в своей основе понятие угла между прямыми и умение измерять величину угла.
Случай перпендикулярных прямых, естественно, появляется при рассмотрении пересекающихся прямых. Величину наименьшего из углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, считают углом между ними. Поэтому величина угла между пересекающимися прямыми не может превосходить 90 градусов. В том случае, если угол между прямыми равен 90° (равен прямому углу), прямые называются перпендикулярными. Прямые, стало быть, будут перпендикулярны в том и только в том случае, если угол между ними равен 90 градусов. При введении понятия перпендикулярных прямых правильному его восприятию и более прочному запоминанию его определения помогает обращение к окружающей действительности, опора на жизненный опыт учащихся. Примеры перпендикулярных прямых в окру жающей жизни убеждают учащихся в их существовании, в их большой значимости для практики, а значит, помогают создать правильное представление у них о природе этого понятия – о возникновении его на основе практической деятельности людей.
Надо сказать, что такого рода работа уже проводилась с учащимися 1-5 классов, а поэтому в систематическом курсе планиметрии необходимо учитывать это, опираться на имеющиеся у учащихся знания о перпендикулярных прямых.
После определения перпендикулярных прямых вводится соответствующая символика, проводится обучение учащихся использованию введенной символики при выполнении записей, а также обучение чтению записей, в которых используется символика.
Существование перпендикулярных прямых показывается конструктивно. Способ решения задачи на построение перпендикуляра к прямой, проходящего через данную точку, основывается на свойстве смежных углов; если смежные углы равны, то каждый из них прямой (величина его равна 90 градусов).
Заслуживает внимания способ построения прямой, перпендикулярной к данной прямой, проходящей через данную точку на ней, изложенный в пробном учебнике по геометрии для 6 класса А. Д. Александрова и др., который является частным случаем известной учащимся задачи на построение биссектрисы угла. Биссектриса развернутого угла является общей стороной двух равных смежных углов, т. е. является стороной прямого угла. Стало быть, задача на построение перпендикуляра к прямой весьма удачно сводится к известной задаче на построение биссектрисы угла.
Доказательство единственности перпендикуляра к прямой, проходящего через данную точку, может опираться на различные положения. В одних учебниках при доказательстве единственности используется аксиома откладывания углов, в других при доказательстве единственности перпен дикуляра к прямой используется положение о том, что в треугольнике не может быть двух прямых углов.
Способ построения перпендикуляра к прямой, проходящего через точку вне этой прямой, можно получить из предыдущей задачи. На рисунке 103 любая точка перпендикуляра МО к прямой
а (не только точки М и О) равноудалена от концов отрезка АВ (А и В равноудалены от О).
действительно, 1 , е
м где К — произвольная точка пер- и
2 пендикуляра МО к прямой а, по-
/ скольку /_О прямой по построе-
/ нию, АО=ОВ по построению,
I к ОК общая сторона. Отсюда
/ – следует, что АК=ВК. о
Следовательно, для построения перпендикуляра к прямой а через точку М вне ее достаточно на прямой а найти отрезок АВ так, чтобы АМ=ВМ, а затем
построить еще одну точку Р так, чтобы АР=ВР. Прямая МР —искомый перпендикуляр к прямой а, проходящий через точку М. Это легко доказать. Треугольник MAP равен треугольнику MBP, так как АВ=ВМ, АР==ВР по построению, МР — общая сторона. Отсюда следует, что угол АМО равен углу BMO и угол АРО равен углу ВРО, так как АР=ВР по построению, ОР — общая сторона, углу АРО равен углу ВРО по доказанному. Это значит, что угол АОР равен углу BOP. Поскольку углы АОР и ВОР смежные и равные между собой, то они прямые. Таким образом МР перпендикулярна а.
Задача всегда имеет решение, поскольку все произведенные построения всегда выполнимы.
Доказательство единственности такого перпендикуляра опирается на то положение, которое принято за основное в учебном пособии А. В. Погорелова.[
Перпендикуляр МР к прямой а имеет весьма примечательное расположение по отношению к отрезку АВ на этой прямой: он перпендикулярен к отрезку АВ и проходит через его середину. Поэтому он получил особое имя серединный перпендикуляр к отрезку.
Как видим, именно свойства серединного перпендикуляра к отрезку лежат в основе построения перпендикуляра к прямой, проходящего через данную точку. Эти свойства надо сформулировать в виде теорем, обращаясь к тем рассуждениям-доказательствам, которые были проведены.
«Если точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, то она равноудалена от концов этого отрезка».Верно и обратное утверждение:
«Если точка равноудалена от концов некоторого отрезка, то , она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку».
В классе под руководством учителя оформляется запись условия и заключения каждой теоремы доказательство первой теоремы доказательство другой теоремы можно дать с пояснениями в качестве домашнего задания.
После рассмотрения теоремы решается задача: Через точку В вне прямой а провести перпендикуляр к прямой а». Перед решением задачи выясняется, какая из двух рассмотренных теорем будет использована при построении перпендикуляра к прямой.
Учащимся ставятся вопросы:
1. Как на прямой а построить отрезок, концы которого равно удалены от точки В?
2. Сколько точек перпендикуляра достаточно построить, чтобы определить его?
3. Известно ли положение какой-либо точки перпендикуляра? Назовите ее.
4. Сколько точек перпендикуляра остается построить, чтобы определить его положение?
После такой беседы по рисунку на доске учащимся можно предложить провести построение самостоятельно.
Доказательство правильности построения провести устно, а дома оформить запись самостоятельно (такое задание уже дано). Желательно свойство серединного перпендикуляра к отрезку с соответствующей задачей на построение рассмотреть на одном уроке с целью создания у учащихся цельного представления об этом понятии. В последующей работе над понятием серединного перпендикуляра к отрезку подмечается, что прямая будет являться серединным перпендикуляром к отрезку в том и только в том случае, если ее точки равно удалены от концов этого отрезка.
В процессе такой работы постепенно формируются представления учащихся о необходимых и достаточных условиях, которые играют большую роль в дальнейшем построении курса математики средней школы.
Учащимся надо разъяснить, что формулировка теоремы со словами «в том и только в том случае» или «тогда и только тогда» включает в себя две теоремы — прямую и обратную.
Большое значение для изучения последующих разделов систематического курса геометрии, а особенно для решения задач, имеют вопросы, относящиеся ко взаимосвязи параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости. Взаимосвязь параллельности и перпендикулярности прямых может быть раскрыта в процессе решения соответствующих задач на доказательство.
Задача 1. Доказать, что два перпендикуляра к одной и той же прямой параллельны.
При ее решении можно опираться на единственность перпендикуляра к прямой, проходящего через данную точку. Если изучение перпендикулярности прямых предшествует изучению параллельности прямых, то эта задача как теорема признак параллельности прямых.
Задача 2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к данной прямой, то другая из параллельных прямых также перпендикулярна к этой прямой.
Эта задача вытекает как частный случай из теоремы о свойстве углов, образуемых при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой.
В разделе о перпендикулярности прямых на плоскости рассматривается понятие наклонной к данной прямой. Поскольку через данную точку проходит только один перпендикуляр к данной прямой, то все остальные прямые, проходящие через эту точку (кроме прямой, параллельной ей), называют наклонными к данной прямой.
Через данную точку к данной прямой можно провести сколько угодно наклонных, а перпендикуляр только один. Это четко следует подчеркнуть в беседе с учащимися.
Особо рассматривается случай о перпендикуляре и наклонных к данной прямой, проходящих через точку вне ее. Как перпендикуляр, так и каждая из наклонных к данной прямой пересекают эту прямую.
Длину отрезка МО, который расположен на перпендикуляре к прямой а, называют длиной перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую а, или расстоянием от точки М до прямой а.
Длину каждого из отрезков МА, МВ, МС и т. д., принадлежащих соответственным наклонным к прямой а, проходящим через точку М, называют длиной наклонных.
Учителю в этом случае следует быть весьма осторожным в обращении с терминологией: в одном случае перпендикуляр и наклонные выступают как геометрические фигуры — прямые, в другом случае — как величины.
Это делается для краткости формулировок теорем, раскрывающих свойства перпендикуляра и наклонных, проведенных из одной и той же точки к одной и той же прямой.
После этого рассматриваются соответствующие теоремы, которые не вызывают, как правило, у учащихся особых затруднений.
Первые уроки стереометрии.
Изучение взаимного расположения прямых и плоскостей в курсе стереометрии полностью опирается на основные понятия и аксиомы, поэтому методика введения аксиом требует особого внимания. Каждую из аксиом рекомендуется вводить по следующей схеме:
-иллюстрация аксиомы на модели;
-формулировка аксиомы;
– схематический рисунок;
– символическая запись.
Ниже приводится рисунок и символическая запись к аксиоме из учебного пособия А. В. Погорелова, обеспечивающая трехмерность пространства: в плоскости α существуют точки, не принадлежащие плоскости β, и наоборот.
Эта аксиома показывает существование пересекающихся плоскостей, поэтому после ее введения следует познакомить учащихся с пересекающимися плоскостями.
Аксиома, определяющая положение плоскости в пространстве, в различных учебных пособиях формулируется по-разному.
Традиционная формулировка используется в большинстве учебников для средней школы: «Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну».
В учебном пособии А. В. Погорелова дается другая формулировка аксиомы: «Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и притом только одну».В процессе введения аксиомы, определяющей положение плоскости в пространстве, необходимо учащимся разъяснить ее сущность: в аксиоме говорится о том, что существует плоскость, удовлетворяющая заданным условиям, и единственная. Существование и единственность такой плоскости особо подчеркиваются, так как будут использованы в дальнейшем при формулировке и доказа тельстве следствий из аксиом. В процессе введения математического предложения, определяющего плоскость тремя различными точками пространства, не лежащими на одной прямой, необходимо рассмотреть с использованием наглядности различные случаи, а именно:
Сколько плоскостей проходит через одну точку пространства?
Сколько плоскостей проходит через две различные точки пространства?
Сколько плоскостей проходит через три различные точки пространства, лежащие на одной прямой и не лежащие на одной прямой?
Только после этого дается формулировка самого предложения. Основные понятия и все аксиомы стереометрии желательно ввести на одном уроке, чтобы создать у учащихся первое цельное представление о той базе, на которой строится геометрия трехмерного пространства. Запоминание аксиом, понимание их значения и роли в построении курса геометрии осуществляются при изучении всех дальнейших разделов стереометрии, в процессе применения их при доказательстве теорем и решении задач. Роль учителя состоит в том, чтобы при каждом удобном случае в процессе обучения найти возможность оттенить, подчеркнуть сущность аксиом их значение. Одним из благодатных для проведения такой работы с учащимися является раздел о следствиях из аксиом, которые, по сути дела, есть первые теоремы с явным использованием аксиоматики при их доказательстве. Каждое из следствий представляет собой новое задание плоскости, отличное от того, которое сформулировано в аксиомах. В заключениях теорем-следствий необходимо выделить две части: первая часть требует доказательства существования плоскости, заданной определенными элементами условия теоремы, вторая часть требует доказательства единственности такой плоскости. Это должно найти отражение как в краткой записи условия и заключения теоремы, так и в записи ее доказательства.
В учебном пособии А. В. Погорелова доказательство этого следствия опирается на аксиому, определяющую плоскость в пространстве двумя пересекающимися прямыми. В этом случае на прямой а достаточно выбрать одну точку В, которая с точкой М определяет единственную прямую b, пересекающую прямую а. Прямые а и b определяют единственную плоскость а по соответствующей аксиоме. Все остальные следствия доказываются по такой же схеме, как и следствие 1, поэтому, пользуясь аналогией, одно из следствий можно предложить учащимся для самостоятельного доказательства после соответствующих указаний и разъяснений. Каждое из следствий необходимо проиллюстрировать примерами из окружающей действительности, а также на моделях различных многогранников. В процессе доказательства следствий следует обратить внимание на одно допущение: «На прямой существуют в хотя бы две точки», которое использовалось без доказательства при выборе двух различных точек на прямой. Вообще говоря, без доказательства принимается, что прямая представляет собой бесчисленное множество точек. Это подтверждает тот факт, что систематический курс стереометрии средней школы построен не строго дедуктивно.
Так же как и в геометрии на плоскости, в курсе стереометрии изучение взаимного расположения прямых и плоскостей может осуществляться в различной последовательности, что находит отражение в существующих учебных пособиях. В одних пособиях параллельность прямых и плоскостей предшествует их перпендикулярности в других пособиях, наоборот, пер пендикулярность прямых и плоскостей предшествует их параллельности Хотя обе названные схемы имели место в средней школе, в настоящее время изучение взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве в школе начинается с аффинной ее части с параллельности. Это дает возможность как можно раньше познакомить учащихся с изображением про странственных фигур на плоскости, а также позволяет показать в достаточной степени роль аксиом при изложении этого раздела, развивать конструктивные навыки учащихся в процессе решения позиционных задач.
Параллельность в пространстве.
Прежде всего всю тему Параллельность в пространстве следует разделить на четыре самостоятельные части:
1. Параллельность прямых в пространстве; скрещивающиеся прямые.
2. Параллельность прямой и плоскости.
3. Параллельность плоскостей в пространстве.
4. Параллельная проекция и ее свойства; изображение пространственных фигур на плоскости.
В соответствии с этим следует проводить учет знаний учащихся, самостоятельные работы на уроке, в тетрадях учащихся должны быть соответствующие заголовки.
1. Изложение первого пункта намеченного плана следует начать с беседы о том, сколько общих точек могут иметь две прямые; при этом надо отталкиваться от соответствующих аксиом, уже известных учащимся.На основании одной из аксиом две прямые не могут иметь только две общие точки, в противном случае они совпадают. По той же причине две прямые не могут иметь конечное число общих точек большее, чем одна. Итак, две прямые могут иметь бесчисленное множество точек, т. е. совпадать.
После этого выяснить, могут ли две прямые иметь меньше двух общих точек.
Совершенно ясно, что две прямые могут иметь только одну общую точку; в этом случае прямые называются пересекающимися.
Учащимся следует показать способ построения пересекающихся прямых.
а)А пренадлежит а — по соответствующей аксиоме
б)В не пренадлежит b — по соответствующей аксиоме
в)А и В определяют единственную прямую b по соответствующей аксиоме;
г)а и b пересекаются, ибо в противном случае а и b совпали бы и точка В оказалась бы на прямой а, чего быть не может.
Остается выяснить, могут ли две прямые совсем не иметь общих точек. Такого рода прямые известны учащимся из курса планиметрии, это так называемые параллельные прямые. С учащимися следует повторить определение параллельных прямых, в процессе повторения особо подчеркнуть выражение «лежат в одной плоскости», которое характеризует параллельные прямые в пространстве.
Параллельно с рассуждениями должен появиться рисунок с заголовком «Взаимное расположение прямых в пространстве на котором отражаются все случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве».
На плоскости В пространстве
| |
Прямые не имеют общих точек Прямые не имеют общих точек
| |
Лежат в одной плоскости Лежат в одной плос- Не лежат в одной
| кости плоскости
| |
Параллельные прямые Параллельные пря- Скрещивающиеся
мые прямые
Сначала на рисунке изображаются три случая взаимного расположения прямых прямые пересекаются, прямые совпадают и прямые параллельны и выясняется, что во всех этих случаях прямые лежат в одной плоскости; это подтверждается следствиями из аксиом.
Возникает вопрос: могут ли две прямые в пространстве располагаться так, что через них нельзя провести плоскость?
Как показывает опыт, такие прямые есть, их следует показать в окружающей действительности, выяснить в процессе рассуждений, что они не могут иметь общих точек. После этого вводится термин «скрещивающиеся прямые», дается определение скрещивающимся прямым, показывается соответствующая символика, на рисунке изображается новый случай взаимного расположения двух прямых в пространстве
Особое внимание следует уделить признаку скрещивающихся прямых, который лежит в основе способа их построения. Перед формулировкой признака надо наглядно проиллюстрировать скрещивающиеся прямые, используя каркасные модели многогранников, и подметить такую их особенность: одна из прямых пересекает плоскость, в которой лежит другая прямая, в точке, не принадлежащей ей. На основании этого выполняется рисунок, дается формулировка теоремы — признака скрещивающихся прямых, а затем проводится ее доказательство. доказательство признака должен сначала рассказать сам учитель, а затем попросить учащихся повторить его. При доказательстве признака важно заострить внимание учащихся на вопросе: «Что значит: две прямые не являются скрещивающимися?» Ответить на этот вопрос поможет схема: в этом случае прямые или пересекаются, или параллельны. Эти два случая надо в доказательстве рассмотреть отдельно. Случай скрещивающихся прямых новый для учащихся, наиболее трудный среди остальных случаев, часто встречающийся при решении задач на многогранники, поэтому при закреплении ему надо уделить особое внимание. В задачах на закрепление должны быть рассмотрены всевозможные скрещивающиеся прямые, которым принадлежат ребра многогранников.
С учащимися надо решить задачу на построение прямой, скрещивающейся с данной прямой и проходящей через данную точку.
Изучение параллельности прямых в пространстве проводится на базе повторения соответствующего раздела из курса планиметрии. Подробно следует остановиться на решении задачи о проведении прямой, параллельной данной прямой и проходящей через данную точку пространства, показать роль аксиом и следствии из аксиом в процессе решения. Предложение «В пространстве через данную точку можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной прямой» оформить как теорему с соответствующей записью в тетрадях. Доказательство этой теоремы сводится к повторению решения задачи на построение, рассмотренной перед этим.
В пространстве можно провести сколько угодно прямых, параллельных данной; совокупность таких прямых называется связкой параллельных прямых. Чтобы утверждать, что любые две прямые параллельны между собой, необходимо доказать свойство транзитивности параллельных прямых.
Доказательство свойства транзитивности параллельности прямых в пространстве представляет определенные трудности для учащихся, а поэтому нуждается в специальной предварительной подготовке их к его восприятию. С этой целью необходимо рассмотреть решение задачи, которая является элементом доказательства свойства транзитивности параллельности прямых в пространстве и используется дважды в процессе доказательства.
Задача. Плоскости α и β пересекаются по прямой а. Прямая m, лежащая в плоскости а, пересекает плоскость α пересекает плоскость β. Доказать, что точка пересечения прямой m с плоскостью β принадлежит прямой а.
Весьма важно использование свойства транзитивности параллельности прямых в пространстве в процессе решения задач. Примеры таких задач приведены ниже.
Задача. Дан параллелепипед. Доказать параллельность его ребер и равенство их длин.
Задача. В многограннике грани KАBL и LВCM — параллелограммы. Доказать, что LАCM — параллелограмм.
Доказательство транзитивности параллельности прямых в учебном пособии А. В. Погорелова дается без использования параллельности прямой и плоскости. В учебном пособии по геометрии под редакцией З. А. Скопеца это свойство доказывается после изучения параллельности прямой и плоскости.
2. Раздел о параллельности прямой и плоскости следует начать с беседы о возможном числе общих точек у прямой и плоскости, опираясь при этом на соответствующую аксиому.
Прямая и плоскость не могут иметь только две общие точки, ибо в противном случае прямая будет лежать в этой плоскости. По той же причине прямая не может иметь с плоскостью только три, четыре и т. д. общих точек.
Может ли прямая иметь с плоскостью только одну общую точку? Как показывает опыт, да. Надо построить прямую, имеющую с плоскостью только одну общую точку, и обосновать это.
Остается выяснить, может ли прямая совсем не иметь с плоскостью общих точек. На основании опыта и наблюдений можно утверждать, что может.
Все приведенные выше рассуждения поясняются примерами из окружающей жизни и записываются в таблицу:
Исходя из приведенной таблицы, можно дать и другую классификацию различных случаев взаимного расположения прямой и плоскости, а именно: прямая m лежит в плоскости α, прямая m не лежит в плоскости α. Других случаев быть не может. Этой классификацией в дальнейшем также будем пользоваться при рассуж дениях.
Случай, когда m принадлежит α, не представляет интереса, а поэтому в дальнейшем не рассматривается.
Если прямую, лежащую в плоскости, считать параллельной плоскости, то в схеме о взаимном расположении прямой и плоскости в пространстве будут два случая: прямая и плоскость пересекаются; прямая и плоскость параллельны.
Пользуясь таблицей, учащиеся самостоятельно могут дать определение параллельности прямой и плоскости. С помощью определения не всегда можно судить о том, что данные прямая и плоскость параллельны, поскольку прямая и плоскость безграничны.
Как известно, учащиеся могут по известным признакам судить о параллельности двух прямых в пространстве. Встает, вопрос: нельзя ли о параллельности прямой и плоскости судить по параллельности двух прямых? Естественно, одна из таких прямых есть данная прямая, а другая должна принадлежать данной плоскости. Так появляется теорема, носящая имя признака параллельности прямой и плоскости, показывающая существование параллельных прямой и плоскости в пространстве.
При доказательстве теоремы используется таблица. Доказательство ведется методом от противного.
Из предположения, что прямая имеет с плоскостью общую точку, приходят к противоречию с уже известной истиной. На основании этого утверждают, что прямая не может пересекаться с плоскостью, т. е. она параллельна ей.
Перед формулировкой теоремы, обратной признаку параллельности прямой и плоскости, прямую а в плоскости α следует рассмотреть как след плоскости β, определяемой параллельными прямыми а и b на плоскости α.
Тогда признак параллельности прямой b и плоскости α можно сформулировать по-другому: если плоскость, проходящая через прямую b, оставляет на плоскости α след а, параллельный b, то прямая b параллельна плоскости α.
Исходя из этой формулировки и дается теорема, обратная признаку параллельности прямой и плоскости: если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, то след ее на этой плоскости параллелен данной прямой. В порядке закрепления рассмотренных теорем следует решить две задачи на построение.
Задача 1. Даны плоскость α и точка М вне плоскости α. Через точку М повести прямую b, параллельную плоскости α.
Задача 2. Даны прямая а и точка М вне прямой а. Через точку М провести плоскость, параллельную прямой а.
3. Изучение параллельности плоскостей в пространстве, конечно, следует начать с разговора о возможном числе общих точек у двух плоскостей, отталкиваясь от соответствующей аксиомы.
Две различные плоскости не могут иметь только одну общую
точку, ибо на основании известной аксиомы они будут иметь общую прямую, проходящую через эту точку. В этом случае говорят, что две плоскости пересекаются по прямой. По той же причине две плоскости не могут иметь только две общие точки. Оба эти случая надо продемонстрировать наглядно, используя картонные модели двух плоскостей. Беседа по моделям поможет учащимся закрепить представление о плоскости как безграничной фигуре.
Могут ли различные плоскости иметь только три различные точки?
Если эти точки не лежат на одной прямой, то на основании соответствующей аксиомы (или следствия из аксиомы) плоскости совпадают; если точки принадлежат одной прямой, то плоскости пересекаются по этой прямой.
Аналогично выясняется, что две различные плоскости не могут иметь конечного числа общих точек: они или пересекаются, или совпадают. В том и другом случае число общих точек бесконечно.
И наконец, в беседе с классом (с помощью примеров из окружаю щей обстановки) появляется гипотеза о том, что две плоскости могут совсем не иметь общих точек. Случаи взаимного расположения двух плоскостей заносятся в таблицу. Как правило, совпадение двух плоскостей не рассматривается в дальнейшем как не представляющее интереса. Исходя из таблицы, можно по-разному сформулировать определение параллельных плоскостей в пространстве.
В процессе работы с таблицей учащимся следует дать способ построения пересекающихся плоскостей: на данной плоскости α выбирают произвольную прямую а и вне плоскости с произвольную точку М. Плоскость β, определяемая прямой а и точкой М, пересекает плоскость α .Доказательство этого факта предлагается учащимся провести самостоятельно.
Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве
Судить о параллельности двух плоскостей, пользуясь определением, не всегда возможно, так как плоскость фигура безграничная. О параллельности двух плоскостей судят по параллельности прямых, связанных с этими плоскостями. Известно, что плоскость вполне определяется или парой пересекающихся прямых, принадлежащих ей, или парой параллельных прямых. Отсюда можно вы вести две гипотезы:
а) если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны;
б) если две параллельные прямые одной плоскости соответственно параллельны двум параллельным прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.
Вторая гипотеза отвергается путем приведения контрпримера: – в пересекающихся плоскостях выбрать по прямой, параллельной линии их пересечения. Признак параллельности можно сформулировать, опираясь на параллельность прямой и плоскости: две плоскости параллельны, если одна из них параллельна двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости.
Признак параллельности двух плоскостей доказывается методом от противного, поэтому следует особое внимание обратить на четкость рассуждений.
В порядке закрепления признака параллельности двух плоскостей следует решить ряд задач на построение.
Задача1. Через точку вне данной плоскости провести плоскость, параллельную данной плоскости.
Задача2. Через данную прямую провести плоскость, параллельную данной плоскости.
Задача3. Через каждую из двух скрещивающихся прямых провести плоскость так, чтобы эти плоскости были параллельны.
Решение задачи основано на признаке параллельности двух плоскостей, доказательство единственности такой пары плоскостей проводится методом от противного.
В процессе изучения темы о параллельности прямых и плоскостей в пространстве большое значение имеет решение задач, связанных с такими многогранниками, как параллелепипед, треугольная пирамида. Задачи должны являться хорошим материалом для закрепления всего ранее изученного, в частности аксиоматики трех мерного пространства. Ниже приведены примеры таких задач.
Задача 4. Дан куб АВСDKLMN и точки Р и Q на его ребрах. Найти точки пересечения прямой РQ с плоскостями граней куба.
Задача 5. Дана пирамида SABC и точки Р и Q на ее ребрах. Найти точки пересечения прямой РQ с плоскостями граней пирамиды.
Задача 6. Дан куб. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через прямую РQ и точку М.
Задача 7. Построить сечение пирамиды SАВС плоскостью, параллельной прямой ВС и проходящей через точки Р и Q.
Такого рода задачи учитель может составить сам. В задачах вместо куба можно брать произвольный параллелепипед, предварительно дав описание этого многогранника.
4. В тему «Параллельность в пространстве» включен раздел о параллельной проекции и ее свойствах, который носит сугубо практический характер и является весьма благодатным материалом для развития пространственных представлений учащихся.
В процессе изучения этого раздела на основе определения и свойств параллельной проекции необходимо научить учащихся:
1) изображать пространственные фигуры на плоскости;
2) решать задачи на построение сечений многогранников (призм и пирамид) плоскостью методом следа.
При обучении учащихся решению указанных задач учитель должен не забывать о том, что построение сечений пирамиды плоскостью требует знакомства в неявном виде с центральным проектированием.
Задачи на построение сечений многогранников плоскостью следует разбить на группы.
1-я г р у п п а: задачи на построение сечения многогранника
плоскостью, след которой на плоскости основания многогранника задан.
2-я г р у п п а: задачи на построение следа секущей плоскости
на основании многогранника.
3-я г р у п п а: задачи на построение сечения многогранника плоскостью, след которой на плоскости основания многогранника не задан.
Перпендикулярность в пространстве.
Всю тему можно условно разделить на три части:
1) перпендикулярность прямых в пространстве;
2) перпендикулярность прямой и плоскости;
3) перпендикулярность плоскостей.
По каждой из этих частей проводится учет знаний учащихся: самостоятельные работы, контрольные работы, опрос учащихся на уроке и др.
В процессе изучения каждой из указанных частей следует исходить из общей схемы взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве, с которой учащиеся познакомились в начале курса стереометрии при изучении параллельности в пространстве. Это дает возможность случай перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве вписать в общую схему взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве, связать перпендикулярность в пространстве с аксиоматикой стереометрии, планомерно осуществлять повторение при изучении нового материала.
Эта тема носит большой прикладной характер, а поэтому при ее изучении особое внимание следует уделить решению задач; в задачах надо использовать многогранники — призмы и пирамиды с целью подготовки учащихся к изучению соответствующего раздела в курсе стереометрии 10 класса. Особо выделить задачи, решаемые с помощью векторного аппарата, а также задачи, решаемые по готовому рисунку устно.
Перпендикулярность прямых в пространстве.
– Этот раздел, по сути дела, рассматривается как повторение пройденного ранее. Повторение нужно вести по следующему плану:
– определение взаимно перпендикулярных прямых;
– пересекающиеся и скрещивающиеся взаимно перпендикулярные прямые;
– иллюстрация их на моделях многогранников и в окружающей дей ствительности.
При повторении важно подчеркнуть, что в пространстве взаимно перпендикулярные прямые могут не иметь общих точек.
Перпендикулярность прямой и плоскости.
Изучение целесообразно начать с повторения о взаимном расположении прямой и плоскости в пространстве, используя имеющуюся таблицу.
Как нетрудно видеть, прямая и плоскость перпендикулярны тогда, когда они пересекаются.
Встает вопрос, в каком случае прямая, пересекающая плоскость, будет ей перпендикулярна.
Как показывает опыт, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой на этой плоскости. Это положение иллюстрируется на наглядном пособии (на модели прямой призмы, на рисунке, с помощью стереометрического ящика). После этого дается определение перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве. Важно заметить, что перпендикулярность прямой и плоскости сводится к перпендикулярности прямых в пространстве, что уже знакомо учащимся.
В учебной литературе по стереометрии приняты различные определения перпендикулярности прямой и плоскости:
«Прямая и плоскость называются перпендикулярными, если прямая перпендикулярна каждой прямой, лежащей в плоскости»
«Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через точку пересечения данной прямой и плоскости»
Для школьного изложения курса геометрии весьма целесообразно в определение перпендикулярности прямой и плоскости включить требование их пересечения. Если этого не включить в определение, то надо этот факт специально доказывать, что является нелегким для учащихся на этой поре обучения. Второе из приведенных определений включает в себя частный случай взаимного расположения данной прямой и прямых на плоскости, о котором говорится в определении, а именно случай их пересечения. Случай скрещивания этих прямых исключается. Оно, конечно, доступнее для учащихся, соответствует уровню развития их пространственного представления. В дальнейшем по мере развития учащихся это определение вполне можно расширить. Надо сказать, что второе определение дает полный объем изучаемого понятия. Если учащиеся достаточно подготовлены всей предыдущей работой, имеют хорошо развитые пространственные представления, то вполне можно вводить «первое» определение перпендикулярности прямой и плоскости, дополнив его требованием, что рассматриваемые прямая и плоскость пересекаются: «Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она пер пендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости».
Такое определение, безусловно, облегчит доказательство некоторых теорем курса, в частности доказательство теоремы о трех перпендикулярах.
Судить о перпендикулярности прямой и плоскости, пользуясь определением, невозможно, поскольку прямых, принадлежащих плоскости, бесчисленное множество. Оказывается, о перпендикулярности прямой и плоскости можно судить по перпендикулярности этой прямой двум прямым, лежащим в плоскости, которые должны проходить через точку пересечения прямой и плоскости.
Если в определение перпендикулярности прямой и плоскости включены скрещивающиеся прямые, то в этом случае достаточно потребовать, чтобы две прямые, принадлежащие плоскости, пересекались.
К этой мысли можно идти, рассмотрев в качестве жизненного примера крестовину для крепления новогодней елки перпендикулярно полу.
Учащимся важно показать на наглядном пособии, что прямая, перпендикулярная двум параллельным прямым, лежащим в плоскости, может оказаться не перпендикулярной плоскости.
В итоге этой работы формулируется теорема, которая получила название признака перпендикулярности прямой и плоскости (теорема о двух перпендикулярах), и ее доказательство проводится в классе учителем и сопровождается продуманными записями.
Доказательство этой теоремы в различных учебных пособиях различное: в большинстве пособий, в том числе и в учебном пособии.
А. В. Погорелова доказательство проводится с помощью рассмотрения цепочки равных треугольников. Такой подход позволяет целенаправленно повторить большой раздел планиметрии, что облегчает вести учителю работу по планированию повторения; в учеб ном пособии под редакцией З. А. Скопеца доказательство проводится с помощью векторного аппарата, поскольку к этому времени изучен раздел о векторах.
В дальнейшем в процессе изучения скалярного произведения векторов целесообразно вернуться к этой теореме и дать другое ее доказательство.
Здесь же вводится понятие наклонной к плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости лежит в основе построения прямой, перпендикулярной данной плоскости, и плоскости, перпендикулярной данной прямой.
Обе задачи на построение следует рассмотреть вместе с учащимися и кратко записать ход решения. В процессе решения особо подчеркивается, какая аксиома или какое следствие из аксиомы используется при выполнении каждого шага построения.
Задачу на построение прямой m, перпендикулярной плоскости и проходящей через данную точку М, желательно решать отдельно для двух случаев с целью лучшего ее усвоения:
а) точка М принадлежит плоскости α
б) точка М не принадлежит плоскости
Случай а) можно рассмотреть в классе, а случай б) предложить в качестве домашнего задания, используя уже имеющийся план решения для случая а)
доказательство единственности построенной плоскости или прямой проводится устно, при этом надо обратить внимание на аккуратность рассуждений:
1) допускается, что через точку проходит более чем одна плоскость (прямая), перпендикулярная данной прямой (плоскости);
2) получается противоречие с известным уже положением;
З) сделанное допущение неверно, т. е. задача имеет единственное решение.
При изучении признака перпендикулярности прямой и плоскости надо позаботиться и о том, чтобы высвободить время для решения задач на доказательство и на вычисление, что во многом облегчает изучение темы «Многогранники» в дальнейшем.
Изучение взаимосвязи перпендикулярности прямой и плоскости с параллельностью прямых и плоскостей в пространстве следует связать с повторением темы «Параллельность в пространстве».
В условии теорем, характеризующих эту взаимосвязь, фигурируют тройки объектов: две прямые и плоскость; две плоскости и прямая. Теоремы рассматриваются попарно.
Эти две теоремы доказываются чисто геометрически, а в дальнейшем в процессе повторения их полезно доказать с использованием векторного аппарата.
Доказательство теорем без векторного аппарата изложено в учебном пособии «Геометрия, 6—1О» А. В. Погорелова, а с помощью векторов — в учебном пособии по геометрии под редакцией З. А.- Скопеца.
Эти две теоремы можно получить из двух предыдущих заменой в их формулировке двух прямых двумя плоскостями, а плоскости — прямой.
При доказательстве первой теоремы через прямую а проводят две различные плоскости γ и δ, которые пересекают как плоскость α, так и плоскость β соответственно по прямым b и b1, с и с1 причем b II c и b1 II с1.
Прямая а пересекает плоскость α в точке пересечения прямых b и с, а плоскость β — в точке пересечения прямых b1 и с1. Отсюда следует, что а перпендикулярна b.
Другая теорема доказывается методом от противного.
После этого вводится понятие прямоугольной (ортогональной) проекции прямой на плоскость.
На основе перпендикулярности прямой и плоскости вводятся такие понятия, как «расстояние от точки до плоскости», «общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых», «угол между наклонной и плоскостью», а также доказывается теорема о трех перпендикулярах, имеющая большое значение для дальнейшего изучения курса стереометрии, в частности для изучения многогранников. При доказательстве этой теоремы учащиеся – должны понимать, о каких трех перпендикулярах идет речь, а поэтому их следует вы делить на рисунке разными цветами.
Эта теорема заключает в себе необходимое и достаточное условия перпендикулярности прямой, лежащей в плоскости и наклонной к этой плоскости, поэтому достаточное и необходимое условия надо рассматривать как отдельные теоремы.
С целью развития пространственных представлений учащихся для доказательства этой теоремы желательно изготовить модель. В дальнейшем, после изучения векторов, теорему о трех перпендикулярах можно доказать векторным методом.
Расстояние от точки до плоскости можно вводить, исходя из понятия расстояния между двумя фигурами, а можно его определить как расстояние от точки до основания перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Задачи на отыскание расстояния от точки до плоскости необходимо связать с многогранниками.
Перпендикулярность плоскостей.
Раздел о перпендикулярности плоскостей в пространстве целесообразно начать с повторения о взаимном расположении двух плоскостей. С помощью рисунков, опираясь на жизненные представления учащихся, выясняется, что две перпендикулярные плоскости являются пересекающимися. Это требование включается в определение перпендикулярных плоскостей.
По аналогии с перпендикулярностью прямых о перпендикулярности двух плоскостей судят по углу между ними. Поэтому встает проблема: что такое угол между плоскостями? В решении этой проблемы в имеющихся учебных пособиях для школы изложены различные точки зрения. В пробном учебнике Л. С. Атанасяна и др. сначала вводится понятие двугранного угла, а затем на этой основе дается определение перпендикулярных плоскостей. В учебном пособии А. В. Погорелова угол между плоскостями рассматривается как угол между прямыми, полученными при пересечении двух плоскостей третьей плоскостью, перпендикулярной линии их пересечения. Такой подход к изучению перпендикулярных плоскостейпозволяет на этой стадии обучения избежать введения нового понятия двугранного угла, которое для учащихся является непростым. В пробном учебнике А. д. Александрова и др. понятие
перпендикулярности двух плоскостей вводится на основе понятия перпендикулярности прямой и плоскости: «Две плоскости называются перпендикулярными, если в каждой из них через любую точку проходит прямая, перпендикулярная другой плоскости».
Такой подход к определению перпендикулярных плоскостей позволяет совершенно естественно перейти к пункту о перпендикулярности двух плоскостей, используя аналогию с перпендикулярностью прямой и плоскости, что является, несомненно, выигрышным при изучении этого вопроса. Однако при введении самого понятия перпендикулярных плоскостей в этом случае нежелательно использовать аналогию с введением понятий перпендикулярных прямых и перпендикулярности прямой и плоскости.
Аналогично определение перпендикулярных плоскостей дается в учебном пособии под редакцией З. А. Скопеца по сути дела, в качестве определения в этом пособии рассматривается признак перпендикулярности плоскостей.
Каждый из рассмотренных подходов может иметь место в школе.
В процессе введения перпендикулярных плоскостей необходимо использовать наглядность из окружающей обстановки, модели мно гогранников (куба, прямоугольного параллелепипеда, прямой призмы), стереометрический ящик.
В пробном учебнике А. д. Александрова и др. сначала предварительно доказывается признак перпендикулярности плоскостей, исходя из предположения, что такие плоскости существуют, а затем показывается конструктивно их существование.
Во всех остальных случаях существование перпендикулярных плоскостей может быть показано конструктивно сразу после введения определения этого понятия.
В процессе изучения раздела о перпендикулярных плоскостях с учащимися отрабатываются такие вопросы, как:
а) определение перпендикулярных плоскостей;
б) признак перпендикулярности плоскостей (его доказательство);
в) построение перпендикулярных плоскостей;
г)решение задач с использованием определения и признака перпендикулярности плоскостей.
Эти вопросы должны быть центральными в процессе контроля знаний учащихся: при устном опросе, в процессе решения задач – в классе и дома, при составлении самостоятельных и контрольных работ для учащихся.
Логико-дидактический анализ.
По учебнику Погорелова А.В. Геометрия 7-11 класса. М. Просвещение, 1997г.
В учебнике Погорелова А.В. на рассмотрения темы « О взаимном расположении плоскостей» отводится два параграфа 16 и 17. Параграф 16 состоит из 7 тем от п. 136 до п. 142, параграф 17- из 9 тем от п. 143 до п. 151. В конце каждого параграфа имеются контрольные вопросы и задачи, в том числе и задачи повышенной трудности. В параграфе 16 имеются 12 контрольных вопросов и 42 задачи (8 задач «со звездочкой»), в параграфе 17 – 15 контрольных вопросов и 62 задачи (7 задач «со звездочкой»).
Параллельность прямых и плоскостей.
1. Параллельные прямые в пространстве (понятие параллельных прямых в пространстве, понятие скрещивающихся прямых).
2. Признак параллельности прямых (теорема).
3. Признак параллельности прямой и плоскости (теорема).
4. Признак параллельности плоскостей (теорема).
5. Существования плоскости, параллельной данной плоскости (теорема).
6. Свойства параллельных плоскостей (2 свойства)
7. Изображения пространственных фигур на плоскости (3 свойства).
Перпендикулярность прямых и плоскостей.
1. Перпендикулярность прямых в пространстве (теорема).
2. Признак перпендикулярности прямой и плоскости (теорема).
3. Построения перпендикулярных прямой и плоскости.
4. Свойства перпендикулярных прямой и плоскости.
5. Перпендикуляр и наклонная (понятия перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость, понятие наклонной).
6. Теорема о 3 х перпендикулярах.
7. Признак перпендикулярности плоскостей (теорема).
8. Расстояния между скрещивающимися прямыми (свойства).
9. Применение ортогонального проектирования в техническом черчении.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
Республиканское казенное предприятие
Восточно-Казахстанский Государственный университет
им. С Аманжолова
институт физики, математики и техники
кафедра алгебры и геометрии
Выполнила: студентка группы 4 «Б»
Есенбаева Г.
Приняла: Сакигожина С. Н.
Усть-Каменогорск, 2004г.
