Астронет > 3.3 Гравитационный потенциал шара

Гравитационный потенциал и гравитационная энергия

Потенциальная энергия частицы, находящейся в гравитационном поле в точке r→{displaystyle {vec {r}}}, равна потенциалу поля в этой точке, умноженному на массу частицы m{displaystyle m}:

U(r→)=mφ(r→).{displaystyle U({vec {r}})=mvarphi ({vec {r}}).}

Под гравитационной энергией системы тел (дискретных частиц) понимается потенциальная энергия, обусловленная взаимным гравитационным тяготением этих частиц. Она равна половине суммы потенциальных энергий отдельных частиц; деление на два позволяет избежать двукратного учёта одних и тех же взаимодействий. Например, для пары материальных точек на расстоянии l{displaystyle l} друг от друга

Ug=12[U1 U2]=12[−Gm1m2l−Gm2m1l]=−Gm1m2l;{displaystyle U_{g}={frac {1}{2}}left[U_{1} U_{2}right]={frac {1}{2}}left[-G{frac {m_{1}m_{2}}{l}}-G{frac {m_{2}m_{1}}{l}}right]=-G{frac {m_{1}m_{2}}{l}};}

здесь U1{displaystyle U_{1}} — потенциальная энергия первой точки в поле второй, а U2{displaystyle U_{2}} — второй в поле первой.

Аналогично, для гравитационной энергии непрерывного распределения масс справедливо выражение:

Ug=12∫Vρ(r→)φ(r→)dV,{displaystyle U_{g}={frac {1}{2}}int _{V}rho ({vec {r}})varphi ({vec {r}})dV,}

где ρ{displaystyle rho } — плотность массы, φ{displaystyle varphi } — гравитационный потенциал, вычисляемый по формулам из предыдущего раздела, V{displaystyle V} — объём тела. Так, гравитационная энергия шара массойm{displaystyle m} и радиуса a{displaystyle a}, с равномерным распределением плотности, составляет Ug=−3Gm2/5a{displaystyle U_{g}=-3Gm^{2}/5a}.

Гравитационный потенциал и общая теория относительности

В общей теории относительности уравнения движения материальной точки в гравитационном поле имеют вид:

d2xids2 Γrsidxrdsdxsds=0,{displaystyle {frac {d^{2}x^{i}}{ds^{2}}} Gamma _{rs}^{i}{frac {dx^{r}}{ds}}{frac {dx^{s}}{ds}}=0,}

где Γrsi=gik2(dgkrdxs dgksdxr−dgrsdxk){displaystyle Gamma _{rs}^{i}={frac {g^{ik}}{2}}left({frac {dg_{kr}}{dx^{s}}} {frac {dg_{ks}}{dx^{r}}}-{frac {dg_{rs}}{dx^{k}}}right)} — символы Кристоффеля. Здесь gik{displaystyle g_{ik}} — метрический тензор, характеризующий гравитационное поле в общей теории относительности.
Из сравнения этих уравнений движения с уравнениями движения ньютоновской механики d2xidt2=−dφdxi{displaystyle {frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=-{frac {dvarphi }{dx^{i}}}} видно, что в общей теории относительности роль гравитационного потенциала φ{displaystyle varphi } играет метрический тензор.

В случае скоростей, малых по сравнению со скоростью света, и слабых постоянных гравитационных полей уравнения движения принимают вид

d2xidt2=−c2Γ44i{displaystyle {frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=-c^{2}Gamma _{44}^{i}}

для пространственных координат i=1,2,3{displaystyle i=1,2,3} и x4=ct{displaystyle x^{4}=ct} для временной координаты. Пренебрегая производными по времени, вместо Γ44i{displaystyle Gamma _{44}^{i}} можно подставить −12dg44dxi{displaystyle -{frac {1}{2}}{frac {dg_{44}}{dx^{i}}}} и таким образом получить ньютоновские уравнения движения

d2xidt2=−dφdxi.{displaystyle {frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=-{frac {dvarphi }{dx^{i}}}.}

Здесь гравитационный потенциал φ{displaystyle varphi } и компонента метрического тензора g44{displaystyle g_{44}} связаны соотношениями

φ=−12c2(g44 1){displaystyle varphi =-{frac {1}{2}}c^{2}(g_{44} 1)}, g44=−(1 2φc2).{displaystyle g_{44}=-left(1 {frac {2varphi }{c^{2}}}right).}

В силу того, что элемент мировой линии покоящихся часов равен ds2=g44(dx4)2{displaystyle ds^{2}=g_{44}(dx^{4})^{2}}, а время t=x4c{displaystyle t={frac {x^{4}}{c}}}, замедление хода часов в гравитационном поле будет

tg=t−g44=t1 2φc2≈t(1−φc2).{displaystyle t_{g}={frac {t}{sqrt {-g_{44}}}}={frac {t}{sqrt {1 {frac {2varphi }{c^{2}}}}}}approx tleft(1-{frac {varphi }{c^{2}}}right).}

Относительное замедление хода времени в точке с меньшим значением гравитационного потенциала по сравнению с временем в точке с большим значением гравитационного потенциала равно разности гравитационных потенциалов в этих точках, делённой на квадрат скорости света.

Гравитационный потенциал и уравнения движения

Движение частицы в гравитационном поле в классической механике, может определяться функцией Лагранжа, имеющей в инерциальной системе отсчета вид:

L=mq˙22−mφ,{displaystyle L={frac {m{dot ?}^{2}}{2}}-mvarphi ,}

где: m{displaystyle m} — масса частицы, q{displaystyle q} — обобщённая координата частицы, φ{displaystyle varphi } — потенциал гравитационного поля.
Подставляя выражение для лагранжианаL{displaystyle L} в уравнения Лагранжа:

ddt∂L∂q˙−∂L∂q=0,{displaystyle {frac {d}{dt}}{frac {partial L}{partial {dot ?}}}-{frac {partial L}{partial q}}=0,}

получаем уравнения движения

q¨=−grad⁡φ.{displaystyle {ddot ?}=-operatorname {grad} varphi .}

Уравнения движения частицы в гравитационном поле в классической механике не содержат массыm{displaystyle m} или другой величины, характеризующей частицу. Этот факт является отражением принципа эквивалентности сил гравитации и инерции.

При этом, следует понимать, что растущая – при движении пробной массы в гравитационном поле – функция Лагранжа, являющаяся разностью кинетической и потенциальной энергии – входит в противоречие с законом сохранения импульса, если рассматривать инерционное движение пробной массы – против силы тяготения гравитационной массы (то есть – с увеличением, а не уменьшением расстояния от центра масс): -в такой физической ситуации вторая производная функции Лагранжа по времени и скорости уже не может быть равна первой производной той же функции Лагранжа – по расстоянию от центра гравитационной массы.

Также следует понимать, что вышепоказанное уравнение для производных функции Лагранжа – содержит ещё одно – уже математическое – допущение: произведение дифференциалов скорости и времени – является бесконечно малой более высокого порядка, чем дифференциал координаты пути.

Даже с учётом двойного дифференциала самой функции Лагранжа, если расписать функцию скорости , как производную координаты по времени – после сокращения дифференциалов времени в числителе и знаменателе левой части уравнения – вторая производная функции Лагранжа по координате – окажется равной первой производной по координате той же функции Лагранжа., что является весьма серьёзным допущением, ограничивающим область применения – самой функции Лагранжа.

В том числе, для гравитационного потенциала.

Гравитационный потенциал, создаваемый точечной массой M{displaystyle M}, расположенной в начале координат, равен

φ(r→)=−GMr C,{displaystyle varphi ({vec {r}})=-{frac {GM}{r}} C,}

где G{displaystyle G} — гравитационная постоянная, r{displaystyle r} — расстояние от начала координат (модуль радиус-вектора r→{displaystyle {vec {r}}}). Через C{displaystyle C} обозначена произвольная константа, опускаемая при выборе φ=0{displaystyle varphi =0} на бесконечности.
Эта же формула справедлива для гравитационного потенциала вне любого тела со сферически-симметричным распределением массы. Примером может быть однородный шар или тонкая сфера. (Примечание: внутри сферы потенциал равен потенциалу сферы −GM/a{displaystyle -GM/a}, где a{displaystyle a} — радиус сферы).
В общем случае, гравитационный потенциал, создаваемый произвольным распределением массы (плотность ρ{displaystyle rho } зависит от координат произвольным образом), удовлетворяет уравнению Пуассона

Δφ(r→)=4πGρ(r→),{displaystyle Delta varphi ({vec {r}})=4pi Grho ({vec {r}}),}

где Δ{displaystyle Delta } — оператор Лапласа. Решение такого уравнения имеет вид

φ(r→)=−G∫V′ρ(r→′)dV′|r→−r→′| C.{displaystyle varphi ({vec {r}})=-Gint _{V^{prime }}{frac {rho ({vec {r}}^{prime })dV^{prime }}{|{vec {r}}-{vec {r}}^{prime }|}} C.}

Здесь r→{displaystyle {vec {r}}} — радиус-вектор точки, в которой ищется потенциал, а r→′{displaystyle {vec {r}}^{prime }} — радиус-вектор бесконечно малого элемента объёма dV′{displaystyle dV^{prime }} с плотностью вещества ρ(r→′){displaystyle rho ({vec {r}}^{prime })}; интегрирование выполняется по всему объёму тел, создающих поле.

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.Теоретическая физика, учебное пособие для вузов, в 10 т. / т. 1, «Механика», 5-е изд., стереотип., М.: Физматлит.— 2002.— 224 с., ISBN 5-9221-0055-6 (т. 1), гл. 1 «Уравнения движения», п. 2 «Принцип наименьшего действия», с. 10—14;
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.Теоретическая физика, учебное пособие для вузов, в 10 т. / т. 2, «Теория поля», 8-е изд., стереотип., М.: Физматлит.— 2001.— 536 с., ISBN 5-9221-0056-4 (т. 2), гл. 10 «Частица в гравитационном поле», п. 81 «Гравитационное поле в нерелятивистской механике», с. 304—306; гл. 12 «Поле тяготеющих тел», п. 99 «Закон Ньютона», с. 397—401;
• Вейнберг С. Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности, пер. с англ. В. М. Дубовика и Э. А. Тагирова, под ред. Я. А. Смородинского, «Платон», 2000, ISBN 5-80100-306-1, ч. 2 «Общая теория относительности», гл. 3 «Принцип эквивалентности», п. 4 «Ньютоновское приближение», с. 92-93;
• Холшевников К. В., Никифоров И. И. Свойства гравитационного потенциала в примерах и задачах: Учебное пособие. — С-Пб., 2008.— 72 с., ББК 22.6.
• Жарков В. Н. Внутреннее строение Земли и планет. — М.: Наука, 1978. — 192 с.

Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.Обычно почти сразу, изредка в течении часа.

Разложения гравитационного потенциала в ряд

В целях вычисления гравитационного потенциала произвольной системы масс на больших расстояниях от неё можно произвести разложение:

φ=−G(MR0 16Dαβ∂2∂Xα∂Xβ1R0 …),{displaystyle varphi =-Gleft({frac {M}{R_{0}}} {frac {1}{6}}D_{alpha beta }{frac {partial ^{2}}{partial {X_{alpha }}partial {X_{beta }}}}{frac {1}{R_{0}}} …right),}

где M=∫ρdV{displaystyle M=int rho dV} — полная масса системы, а величины:

Dαβ=∫ρ(3xαxβ−r2δαβ)dV{displaystyle D_{alpha beta }=int rho (3x_{alpha }x_{beta }-r^{2}delta _{alpha beta })dV}

формируют тензор квадрупольного момента масс. Он связан с обычным тензором моментов инерции

Jαβ=∫ρ(r2δαβ−xαxβ)dV{displaystyle J_{alpha beta }=int rho (r^{2}delta _{alpha beta }-x_{alpha }x_{beta })dV}

очевидными соотношениями

Dαβ=Jγγδαβ−3Jαβ.{displaystyle D_{alpha beta }=J_{gamma gamma }delta _{alpha beta }-3J_{alpha beta }.}

Возможно также разложение по сферическим функциям, применяющееся, в частности, при анализе гравитационных полей космических тел:

φ=−GMr(1−∑n=2∞Jn(Rr)nPn(sin⁡θ) ∑n=2∞∑k=2n(Rr)n(Cnkcos⁡(kλ) Snksin⁡(kλ))Pnk(sin⁡θ)).{displaystyle varphi =-{frac {GM}{r}}left(1-sum _{n=2}^{infty }J_{n}left({frac {R}{r}}right)^{n}P_{n}(sin theta ) sum _{n=2}^{infty }sum _{k=2}^{n}left({frac {R}{r}}right)^{n}(C_{nk}cos(klambda ) S_{nk}sin(klambda ))P_{n}^{k}(sin theta )right).}

Здесь r,θ,λ{displaystyle r,theta ,lambda } — сферические координаты точки наблюдения, Pn{displaystyle P_{n}} — полином Лежандра n-го порядка, Pnk{displaystyle P_{n}^{k}} — присоединённые полиномы Лежандра, Jn,Cnk,Snk{displaystyle J_{n},C_{nk},S_{nk}} — гравитационные моменты^[1].