Геометрические характеристики плоских сечений. русский язык, архив
| ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ |
| Простейшими видами напряженного состояния стержневых элементов конструкции являются: растяжение, кручение и изгиб. Основные расчетные формулы для определения напряжений и деформаций: |
| * – N. Мк, Е, F, G, lз не изменяются вдоль оси стержня, |
| ** – кручение стержней круглого поперечного сечения, |
| *** – прямой изгиб. |
| Правые части формул для расчета напряжений имеют идентичную структуру в виде дроби При этом в числителе стоят внутренние силовые факторы, а в знаменателе – геометрические характеристики поперечных сечений: |
| F – площадь поперечного сечения, Wp и Wx – полярный и осевой моменты сопротивления сечения. |
| При расчете деформаций в знаменателях формул также присутствуют геометрические характеристики сечений, например, lp и lx – полярный и осевой моменты инерции сечения. |
| Задача цасчета этих величин осложняется тем, что все моменты сопротивления и моменты инерции сечений следует определять относительно главных центральных осей сечения. Следовательно, начинать расчет надо с определения координат центра тяжести сечения и выяснения какая пара осей, проходящая через него является главной. |
| При расчетах на устойчивость также будут встречаться геометрические характеристики сечений, а именно минимальный момент инерции. |
| Информацию о распределении внутренних силовых факторов в поперечных сечениях стержня вдоль его продольной оси при заданном нагружении обычно получают на основании соответствующих эпюр для продольных и поперечных сил, изгибающих и крутящих моментов. |
| Значения геометрических характеристик сечений могут быть получены двумя способами: |
|
| Простейшей характеристикой прочности и жесткости стержня, зависящей от формы и размеров поперечного сечения, является F – площадь поперечного сечения. Но эта величина используется непосредственно в расчетах лишь при равномерном распределении напряжений по поперечному сечению, т.е при растяжении или сжатии стержня. |
| При кручении и изгибе напряжения в сечении распределены неравномерно. Поэтому в расчетные формулы для напряжений входят не только геометрические характеристики сечения, но и дополнительные геометрические параметры, указывающие расположение тех точек сечения, где напряжения будут экстремальными при данном виде нагружения. |
| Рассмотримм это на примере стержня квадратного поперечного сечения, испытывающего деформацию изгиба (рис. 4.1,а). |
| Если высоту сть,.:кня увеличить вдвое, а ширину – уменьшить вдвое (рис. 4.1,6), то площадь поперечного сечения не изменится Деформация же свободного конца стержня в этом случае уменьшится по сравнению с исходным вариантом в 4 раза, а для разрушения стержня понадобится сила вдвое большая (по отношению к исходному варианту). |
| Если теперь повернуть стержень на 90° (рис. 4.1,в), то деформация его увеличится по сравнению с исходным вариантом (рис. 4.1,а) в 4 раза, а разрушающая сила уменьшится вдвое. |
| Вполне логичным представляется предположение о том, что уменьшение площади поперечного сечения уменьшает прочность стержня. Однако в ряде случаев удаление части материала стержня увеличивает его прочность. |
| Если у круглого сечения срезать сегменты, как показано на (рис. 4.2,а), то прочность стержня растет, достигая максимального значения, когда стрелка срезаемого сегмента равна 0,11 d. |
 |
| Рис. 4.1 (а.б.в) |
| Можно показать, что удаление вершин квадрата или треугольника (рис. 4.2,б,в) приводит к увеличению прочности на 5 %. |
 |
| Рис. 4.2 (а.б.в) |
Главные оси и главные моменты инерции
Представим себе плоскую фигуру, моменты инерции которой относительно осей координат Ixи Iy, а полярный момент инерции относительно начала координат равен Iρ. Как было установлено ранее,
Ix Iy = Iρ.
Если оси координат поворачивать в своей плоскости вокруг начала координат, то полярный момент инерции останется неизменным, а осевые моменты будут изменяться, при этом их сумма останется величиной постоянной. Поскольку сумма переменных величин постоянна, то одна из них уменьшается, а другая увеличивается, и наоборот.
Оси, относительно которых моменты инерции имеют минимальное и максимальное значения, называют главными осями инерции. Момент инерции относительно главной оси называется главным моментом инерции.
Если главная ось проходит через центр тяжести фигуры, она называется главной центральной осью, а момент инерции относительно такой оси – главным центральным моментом инерции.Можно сделать вывод, что если фигура симметрична относительно какой-нибудь оси, то эта ось всегда будет одной из главных центральных осей инерции этой фигуры.
***
Момент инерции при параллельном переносе осей
Оси, проходящие через центр тяжести плоской фигуры, называют центральными осями. Момент инерции относительно центральной оси называется центральным моментом инерции.
Теорема
Момент инерции относительно какой-либо оси равен сумме момента инерции относительно центральной оси, параллельной данной, и произведения площади фигуры на квадрат расстояния между осями.
Для доказательства этой теоремы рассмотрим произвольную плоскую фигуру, площадь которой равна А, центр тяжести расположен в точке С, а центральный момент инерции относительно оси x будет Ix.
Ix1 = Σ y12 dA Σ (y a)2 dA = = Σ y2 dA 2a Σ y dA a2 Σ dA.
Анализируя полученную формулу, отмечаем, что первое слагаемое – осевой момент инерции относительно центральной оси, второе слагаемое – статический момент площади этой фигуры относительно центральной оси (следовательно, он равен нулю), а третье слагаемое после интегрирования может быть представлено в виде произведения a2 A, т. е. в результате получим формулу:
Ix1 = Ix а2 А – теорема доказана.
На основании теоремы можно сделать вывод, что из ряда параллельных осей осевой момент инерции плоской фигуры будет наименьшим относительно центральной оси.
***
Осевой момент инерции
Осевым моментом инерции плоской фигуры относительно оси, лежащей в той же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений площадей элементарных площадок на квадрат расстояний от них до этой оси(рис).
Осевой момент инерции обозначается I (иногда – J)с индексом, соответствующим оси:
Ix = Σ y2 dA; Iy = Σ x2 dA.
Если при этом площадь элементарных площадок принять стремящимися к минимуму, то можно использовать методы интегрального исчисления, заменив знак суммы Σ на знак интеграла ∫. Очевидно, что осевой и полярный момент инерции выражаются в одинаковых единицах – м4.
Осевой момент инерции величина всегда положительная и не равна нулю (м4 не может быть отрицательным, а площадь не может быть равной нулю, иначе пропадает и сама фигура, как площадка).Если сложить осевые моменты инерции плоской фигуры относительно перпендикулярных осей, то получим полярный момент инерции этой фигуры относительно точки пересечения этих осей (начала координат), т. е. :
Ix Iy = Iρ.
Так как интеграл суммы равен сумме интегралов, то момент инерции сложной фигуры можно вычислить как сумму моментов инерции простых фигур, на которые разбивают сложную фигуру.Понятие осевого момента инерции понадобится при изучении теории изгиба.
Приведем формулы для определения осевых моментов инерции наиболее часто встречающихся при расчетах форм сечений:
***
Полярный момент инерции
Полярным моментом инерции плоской фигуры относительно полюса (точки), лежащего в той же плоскости, называется сумма произведений элементарных площадок (Si) этой фигуры на квадрат их расстояний (r2i) до полюса.
Iρ = Σ ρ2 dA.
Единица измерений полярного момента инерции – м4, из чего следует, что он не может быть отрицательным.Понятие полярного момента инерции понадобится при изучении деформаций кручения круглых валов, поэтому приведем формулы для определения полярного момента квадратного, круглого и кольцевого сечения.
Статический момент площади
Статическим моментом площади плоской фигуры относительно оси, лежащей в той же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок (Si) на расстояния (ri)от них до этой оси.
Если упростить это определение, то статический момент инерции плоской фигуры относительно какой-либо оси (лежащей в той же плоскости, что и фигура) можно получить следующим образом:
Статический момент площади плоской фигуры обозначают S с индексом оси, относительно которой он рассматривается: Sx, Sy, Sz.
Примечание: в разных учебниках или других источниках информации обозначение тех или иных физических величин может отличаться от приведенных на этом сайте. Как вы понимаете, от условного обозначения величин суть описываемых явлений и закономерностей не изменяется.
Sx = Σ y dA; Sy = Σ x dA.
Анализ этих формул позволяет сделать вывод, что статический момент площади фигуры относительно оси, лежащей в этой же плоскости, равен произведению площади фигуры на расстояние от ее центра тяжести до этой оси. Из этого вывода следует еще один вывод – если рассматриваемая ось проходит через центр тяжести плоской фигуры, то статический момент этой фигуры относительно данной оси равен нулю.
Единица измерения статического момента площади – метр кубический (м3). При определении статического момента площади сложной фигуры можно применять метод разбиения, т. е. определять статический момент всей фигуры, как алгебраическую сумму статических моментов отдельных ее частей.
При этом сложная геометрическая фигура разбивается на простые по форме составные части – прямоугольники, треугольники, окружности, дуги и т. п., затем для каждой из этих простых фигур подсчитывается статический момент площади, и определяется алгебраическая сумма этих моментов.
***
Центробежный момент инерции
Центробежным моментом инерции плоской фигуры называют взятую по всей площади сумму произведений элементарных площадок на расстояние до двух взаимно перпендикулярных осей:
Ixy = Σ xy dA,
где x, y – расстояния от площадки dA до осей x и y. Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равным нулю.
Центробежный момент инерции входит в формулы для определения положения главных осей несимметричных сечений.В таблицах стандартных профилей содержится характеристика, которая называется радиусом инерции сечения, вычисляемая по формулам:
ix = √ (Ix / A), iy = √ (Iy / A), (здесь и далее знак “√” – знак корня)
где Ix, Iy – осевые моменты инерции сечения относительно центральных осей; А – площадь сечения. Эта геометрическая характеристика используется при изучении внецентрального растяжения или сжатия, а также продольного изгиба.
***
Материалы раздела “Сопротивление материалов”:
Растяжение и сжатие
