Библиографическая ссылка
Зарвирова М.С., Хаджиназарова А.С., Родина Е.В. РОЛЬ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА В ЭКОНОМИКЕ // Современные наукоемкие технологии. – 2021. – № 5-2.
– С. 156-158;
Примеры использования интегрального исчисления в задачах экономического характера — мегаобучалка
Определенный интеграл применяют для вычисления суммарных экономических эффектов, общих, маргинальных взносов и т.д. Рассмотренные примеры не исчерпывают всех возможных применений определенного интеграла в экономике.
Затраты, доход и прибыль
Пусть 
будет функцией общих затрат на производство х единиц продукции, 
– функция маргинальных затрат. Тогда определенный интеграл
(1)
равняется изменению общих затрат при росте количества произведенной продукции от а до b единиц.
Отсюда вытекает важное следствие:
Изменение производственных затрат при росте произведенной продукции ота до bединиц равняется площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции маргинальных затрат , отрезком 
и прямыми 
и 
.
Аналогично, если 
и 
– функции маргинального дохода и прибыли при росте реализации произведенной продукции от а до b единиц вычисляется по формулам:
; (2)
. (3)
Пример 1. Функция маргинальных затрат фирмы имеет вид 
.
Найти рост общих затрат, когда производство возрастет с 1000 до 2000 единиц.
Решение. По формуле
рост общих затрат будет:
= 
.
Итак, затраты возрастут на 200 гривен.
Максимизация прибыли во времени
Пусть 
, 
и 
– общие затраты, доход и прибыль, которые изменяются за время t. Тогда
, или 
.
Максимум общей прибыли будет тогда, когда
, или 
.
Другими словами, существует такое время 
, когда , т.е. скорости изменения дохода и затрат равны.
Общая прибыль за время можно найти по формуле
.
Пример 2. Скорости изменения затрат и дохода предприятия после начала его деятельности определялись формулами
и 
,
где 
и 
измерялись миллионами гривен, а t – годами. Определить, как долго предприятие было прибыльным, и найти общую прибыль, которая было получено за это время.
Решение. Оптимальное для предприятия время получим из условия :
;
.
Итак, предприятие было прибыльным 4 года, за это время было получена прибыль
(млн. гр.).
Дисконтная прибыль
Пусть функция 
описывает изменение производительности работы некоторого предприятия за определенное время. Найдем объем продукции , которая выпущена за промежуток времени 
.
Известно, что если производительность работы за некоторое время постоянная, то объем продукции за промежуток времени 
задается формулой 
. В общем случае справедлива формула 
, где 
, которая тем точнее, чем меньше 
.
Разобьем отрезок 
на п частей, т.е.: 
.
Для величины объема продукции 
, который выпущен за время 
, имеем: 
; 
. Тогда
.
Если 
, то
Поэтому по определению интеграла
,
если 
– производительность работы в момент времени t, тогда 
– объем продукции, которая выпущена за промежуток времени от 0 до T.
Определение начальной суммы по ее конечной величине, полученной за t лет при годовом проценте Р, называется дисконтированием.
Задачи этого класса встречаются при определении экономической эффективности капитальных вложений.
Пусть 
– конечная сумма, которая получена за t лет, которую в финансовом анализе называют современной суммой. Если проценты простые, то 
, где 
– процентная ставка.
Тогда 
.
Если проценты сложные, то 
, поэтому 
.
Пусть прибыль за год изменяется во времени и описывается функцией при удельной норме процента, равной i, процент начисляется непрерывно.
Дисконтная прибыль К за время Т вычисляется по формуле:
, где .
Пример 3. Определить дисконтную прибыль за 3 года при процентной ставке 8%, если базовые капиталовложения составили 10 млн. гривен, а ожидаемый прирост капитала 1 млн. гривен.
Решение.Очевидно, что капиталовложения задаются функцией
.
Получим дисконтную сумму капиталовложений по формуле:
, где 
.
млн. гривен.
Это означает, что получение одинаково нарощенной суммы через три года ежегодные вклады от 10 до 13 млн. гривен равновесны одновременному начальному вкладу 30,5 млн. гривен при той же непрерывной процентной ставке.
Пусть известна функция 
, которая задает изменение затрат t на изготовление продукции в зависимости от степени освоения производства, где х порядковый номер изделия в партии товара.
Тогда среднее время 
, затраченное на изготовление одного изделия в период освоения от а до b изделий, вычисляется по теореме о среднем значении определенного интеграл:
.
Что касается функции изменения затрат времени 
, то как правило, она такова: 
, где 
– затрата времени на одно изделие; 
– показатель производственного процесса.
Пример 4. Найти среднее время, которое затрачено на освоение выпуска одного изделия в период освоения от 10 до 20 изделий, если затрата времени на 1-но изделие = 200 мин., показатель производственного процесса 
.
Решение. По формуле
имеем:
мин.
§
Вычислить интегралы, пользуясь подстановками:
1). 
2). 
3). 
4). 
5). 
6). 
Вычислить интегралы интегрированием по частям:
7). 
8). 
9). 
10). 
Вычислить несобственные интегралы и исследовать на сходимость:
11). 
[расходящийся]
12). 
. [расходящийся]
13). 
[расходящийся]
14). 
. 
15). 
[расходящийся]
Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
16). 
17). 
18). 
19). 
Найти площади фигур, ограниченных линиями:
20). 
(кардиоида). 
21). 
22). 
, 
, (астроида). 
Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:
23). 
24). 
25). 
26). 
27). 
Вычислить объем тела, которое образовывается вращением вокруг оси 
фигуры, ограниченной линиями:
28). 
29). 
30). 
31). 
32). 
Известны законы изменения скорости затрат и дохода , где время t измеряется годами, затраты и доход 
измеряются млн. грн. За какое время предприятие получит максимальный доход и какой будет величина этого дохода?
33). 
[9 лет, 36млн. грн.]
34). 
[8 лет, 16млн. грн.]
Задания для индивидуальной семестровой работы студентов к разделам 4.2 и 4.3
1Вычислить площадь:
1 
; 
.
2 
; 
.
3 
; 
.
4 
; 
.
5 
; 
.
6 
; 
.
7 
; 
.
8 
; 
.
9 
; 
.
10 
; 
.
11 
; 
.
12 
; 
.
13 
; 
.
14 
; 
.
15 
; 
.
16 
; 
.
17 
; 
.
18 
; 
.
19 
; 
.
20 
; 
.
21 
; 
.
22 
; 
.
23 
; 
.
24 
; 
.
25 
; 
.
26 
; 
.
27 
; 
.
28 
; 
.
29 
; 
.
30 
; .
2 Вычислить объем тел вращения и длины дуг:
1 
; 
.
2 
;
.
3 
; 
.
4 
;
.
5 
; 
.
6 
; 
.
7 
; 
.
8 
;
.
9 
; 
.
10 
;
.
11 
; 
.
12 
;
.
13 
;
.
14 
; 
.
15 
; 
.
16 
;
.
17 
; 
.
18 
; 
.
19 
;
.
20 
; 
.
21 
; 
.
22 
;
.
23 
;
.
24 
; 
.
25 
; 
.
26 
;
.
27 
; 
.
28 
; 
.
29 
; 
.
30 
; 
.
3 Вычислить несобственные интегралы:
1. 
2. 
3. 
.
4. 
5. 
6. 
.
7. 
8. 
9. 
.
10. 
11. 
12. 
.
13. 
14. 
15. 
.
16. 
17. 
18. 
.
19. 
20. 
21. 
.
22. 
23. 
2 24. 
.
25. 
26. 
27. 
.
28. 
29. 
30. 
.
4 Найти дисконтную прибыль за Т лет при 
ставке, если базовые капиталовложения а , а ожидаемая прибыль b годовых:
1 Т = 2; Р = 10 %; b = 1; а = 10.
2 Т = 3; Р = 8 %; b = 1; а = 10.
3 Т = 5; Р = 10 %; b = 2; а = 10.
4 Т = 4; Р = 10 %; b = 2; а = 0.
5 Т = 3; Р = 8 %; b = 1; а = 20.
6 Т = 4; Р = 7 %; b = 3; а = 10.
7 Т = 4; Р = 5 %; b = 3; а = 10.
8 Т = 4; Р = 6 %; b = 3; а = 0.
9 Т = 4; Р = 3 %; b = 1; а = 10.
10 Т = 5; Р = 8 %; b = 2; а = 10.
11 Т = 5; Р = 8 %; b = 2; а = 20.
12 Т = 5; Р = 4 %; b = 4; а = 40.
13 Т = 5; Р = 7 %; b = 4; а = 40.
14 Т = 5; Р = 6 %; b = 4; а = 40.
15 Т = 5; Р = 3 %; b = 4; а = 40.
16 Т = 5; Р = 5 %; b = 3; а = 30.
17 Т = 5; Р = 6 %; b = 1; а = 30.
18 Т = 6; Р = 2 %; b = 2; а = 40.
19 Т = 10; Р = 10 %; b = 10; а = 100.
20 Т = 5; Р = 8 %; b = 1; а = 50.
21 Т = 4; Р = 8 %; b = 5; а = 100.
22 Т = 4; Р = 5 %; b = 10; а = 200.
23 Т = 4; Р = 10 %; b = 2; а = 100.
24 Т = 10; Р = 10 %; b = 0,5; а = 50.
25 Т = 6; Р = 5 %; b = 1; а = 50.
26 Т = 6; Р = 5 %; b = 2; а = 40.
27 Т = 6; Р = 5 %; b = 1; а = 20.
28 Т = 6; Р = 8 %; b = 2; а = 20.
29 Т = 6; Р = 10 %; b = 4; а = 10.
30 Т = 6; Р = 8 %; b = 1; а = 100.
Глава 5 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Основные понятия
Определение 1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные (или ее дифференциалы).
Дифференциальное уравнение называется обыкновенным в случае, когда неизвестная функция, входящая в дифференциальное уравнение, зависит только от одной независимой переменной.
Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной (или дифференциала), входящей в уравнение.
Обыкновенное дифференциальное уравнение порядка п в самом общем случае содержит независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы до порядка п включительно и имеет вид
. (1)
В этом уравнении х – независимая переменная, у – неизвестная функция, а 
– производные неизвестной функции.
Определение 3. Обыкновенное дифференциальное уравне-ние первого порядка имеет вид
, (2)
а если его удастся решить относительно производной, то оно запишется так:
. (3)
Задача состоит в определении из дифференциального уравнения неизвестной функции, а процесс определения этой функции называется решением, или интегрированием дифференциального уравнения.
Определение 4. Решением, или интегралом уравнения (2) называется всякая дифференцируемая функция 
, удовлетворяющая этому уравнению, т. е. такая, после подстановки которой в уравнение (2) оно обращается в тождество, т. е.
.
Определение 5. Кривая , определяемая решением уравнения (2), называется интегральной кривой дифференциального уравнения.
Определение 6. Общим решением дифференциального уравнения (2) называются соотношения вида
или 
, (4)
включающие одну произвольную постоянную величину и обладающие тем свойством, что решая их относительно у при любых частных значениях произвольной постоянной, получаем функции вида , являющиеся решениями уравнения (2) или (3).
Уравнения (4) определяют семейство интегральных кривых уравнения (2).
Определение 7. Частным решением дифференциального уравнения (2) называется такое решение, которое получается из общего решения (4) при некотором частном значении произвольной постоянной. Произвольная постоянная С, входящая в (4), определяется из так называемых начальных условий.
Задача с начальными условиями ставится так: найти решение уравнения (2) такое, чтобы оно принимало заданное значение 
при заданном значении независимой переменной 
, т. е. чтобы выполнялось равенство
.
С точки зрения геометрии задача с начальными условиями сводится к тому, чтобы из семейства интегральных кривых (4) выделить ту, которая проходит через точку 
плоскости.
Определение 8. Задача отыскания решения уравнения (2), удовлетворяющего начальным условиям
при ,
называется задачей Коши.
