Лекция Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Теорема о пределе функции. Основные теоремы о пределах. Раскрытие неопределённостей.

    Скачать с Depositfiles 

Лекция № 15

2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Определение 1. Функция называется бесконечно малой величиной (б.м.в.) при , если , если .

Напомним это определение: , что

.

Определение 2. Функция называется бесконечно большой величиной (б.б.в.) при , если , если , что    и при этом пишут .

Пример 1. Покажем, что для функции   

Зададим . Получим неравенство . Получим неравенство 

т.е. в этой окрестности точки  значения функции по модулю будут больше заданного числа М.

Замечание 1. При определении б.м.в. и б.б.в. следует обратить внимание на фразу «при «, так, например, функция «, так, например, функция  является б.м.в. при  и б.б.в. при и б.б.в. при, что видно, в частности, из графика этой функции.

Замечание 2. Все б.б.в. являются неограниченными функциями. Обрат-ное, вообще говоря, неверно, что видно из примера.

Пример 2. Очевидно, функция  является неограниченной при  является неограниченной при , но она не является б.б.в. Например, для последовательности , 

Замечание 3. Б.м.в. принято обозначать: 

Б.м.в. и б.б.в. обладают следующими свойствами:

1. Сумма конечного числа б.м.в. есть б.м.в..

Не нарушая общности, рассмотрим случай двух б.м.в. Зададим для суммы . Тогда в силу определения б.м.в. одновременно выполняется

 и  и  , т.е. сумма , т.е. сумма   б.м.в.

2. Произведение ограниченной функции на б.м.в. есть б.м.в.

Доказывается аналогично с учетом, что , где , где .

3. Если   б.м.в. при   б.м.в. при , то   б.б.в. при   б.б.в. при . Верно и обратное.

Пусть  б.м.в. Это означает, что  б.м.в. Это означает, что . Тогда , т.е. , т.е.   б.б.в. Аналогично доказывается и обратное утверждение.

2.4. Теорема о пределе функции

Эта теорема является важной, так как используется при доказатель-стве многих теорем и утверждений.

Теорема. Если функция имеет предел при , то в некоторой окрестности , то в некоторой окрестности  она представляется в виде суммы , где А  её предел, а , где А  её предел, а   б.м.в. при . Верно и обратное.

Пусть , т.е. , т.е.    б.м.в. или   б.м.в. или .

Обратно. Пусть . Тогда . Тогда , т.е. .

Замечание 4. Теорема остаётся справедливой и для случая . Тогда вместо фразы «в некоторой окрестности . Тогда вместо фразы «в некоторой окрестности » следует читать «при достаточно больших х«.

2.5. Основные теоремы о пределах

Предположим, что существуют пределы соответствующих функций. Тогда справедливы теоремы:

Теорема 1. Предел суммы конечного числа функций равен сумме пределов этих функций, т.е.

.

Теорема 2. Предел произведения конечного числа функций равен про-изведению пределов этих функций, т.е.

.

Следствия:

1. Если .

2. .

Теорема 3. Если , то , то .

Пусть  и  и  Тогда по теореме о пределе функции имеем , , , где  и  и   б.м.в. при .

Напишем тождество 

Поскольку  является б.м.в. по свойствам б.м.в., то тогда  является б.м.в. по свойствам б.м.в., то тогда  и по теореме о пределе функции получаем

, ч. т. д.

Утверждение следующей теоремы практически очевидно, а её дока-зательство следует из определения предела функции.

Теорема 4. Если в некоторой окрестности  выполняется  выполняется  и , то , то .

Замечание 5. Доказательства теорем 1–2 аналогичны доказательству теоремы 3.

Покажем, как с помощью этих теорем вычисляются некоторые пределы.

Пример 3. Найти .

Так как , то имеем

2.6. Раскрытие неопределённостей

Рассмотрим пример: найти предел .

Здесь  и  и .

Этот случай классифицируется как неопределённость вида . Известны также неопределённости следующих видов: . Известны также неопределённости следующих видов:   и, если 1 является пределом некоторой функции, то  и, если 1 является пределом некоторой функции, то .

Чтобы раскрыть эти неопределённости, т.е. найти соответствующие пределы, необходимо выполнить соответствующие тождественные преобра-зования функции под знаком предела, которые зависят от вида неопре-делённости и самой функции. Рассмотрим это на конкретных примерах.

Пример 4. .

Пример 5. .

Пример 6.

Пример 7.