Математическое моделирование социальных процессов | Скачать Дипломная работа

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ

ИНСТИТУТ

Кафедра
№ 33

И. Владимирский        

Математические
модели физических процессов

“Реакция
деления ядер. Жизненный цикл нейтронов”

Москва

1996
1. ОСНОВЫ ЯДЕРНОЙ ЭНЕРГЕТИКИ         

1.1 Способы получения энергии

            В наше время, с каждым годом возрастают
потребности человечества в энергии. На получение необходимого количества
энергии затрачивается примерно 30% производственных усилий человека. Совершенно
очевидно, что полный запас энергии в природе в соответствии с законом
сохранения энергии не меняется. Поэтому процесс получения энергии представляет
собой перевод энергии из связанной ( энергия покоя ) в свободную форму (
энергию относительного движения тел). Свободная энергия быстро рассеивается в
пространстве, поэтому ее можно использовать.

            Итак мы приходим к тому, что необходимо
уметь вызывать процессы, которые приводят к убыли массы тел и эквивалентному
выигрышу свободной энергии. Конечно, получать энергию можно лишь при условии
существования достаточного количества топлива. Пусть микрочастицы вещества
топлива находятся в состоянии с энергией E₁ и существует другое
возможное состояние этих частиц с энергией E₂ ( E₁ > E₂
). В принципе есть возможность перехода во второе состояние, но ему
препятствует существование энергетического барьера, то есть некоторого
необходимого промежуточного состояния с энергией E’ ( E’ > E₁ ).
Таким образом процесс сжигания топлива должен быть инициирован некоторым
внешним возбуждением.

1.2 Способы организации реакции горения, цепные
реакции

            Существует два способа возбуждения реакции
горения топлива. Первый – использование кинетической энергии столкновения
частиц ( термоядерный процесс ). Другой способ состоит в использовании энергии
связи присоединяющихся частиц. Для возбуждения такой реакции нужно направлять в
топливо активные частицы.

            Достаточно большое количество вещества
может испытать превращение лишь при самоподдерживающейся цепной реакции. Цепная
реакция обладает следующим важным свойством – акт реакции возбуждается при
поглощении частицы, а в результате ее должны появляться вторичные активные
частицы.

            При ядерных превращениях носителем цепного
процесса может служить нейтрон, поскольку он не имеет электрического заряда и
может беспрепятственно сближаться с атомными ядрами. Среди известных ядерных
реакций лишь одна обладает свойством цепных реакций. Это реакция деления
тяжелых ядер, которые легко  возбуждаются нейтроном и дают в среднем 2,5 на акт
деления вторичных нейтронов. Основную трудность представляет собой не
организация цепной реакции, а получение чистых делящихся веществ. Важной чертой
цепных ядерных реакций является тот факт, что их скорости не зависят от температуры
среды,  что является их главным преимуществом перед процессами с тепловым возбуждением.

2.  ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ НЕЙТРОНОВ С ЯДЕРНЫМ ВЕЩЕСТВОМ,
РЕАКЦИЯ ДЕЛЕНИЯ ЯДЕР.

2.1. Общие сведения о ядерных реакциях взаимодействия
нейтронов с ядрами

            В связи с вышесказанным совершенно
очевидно, какое значение сегодня имеет использование ядерной энергии.
Устройство, предназначенное для организации и поддержания цепной реакции
деления ядер с целью получения энергии называется ядерным энергетическим
реактором.

            В основе работы ядерного реактора лежат
процессы взаимодействия нейтронов с ядерным веществом, наиболее важными из
которых являются – реакция деления ядер,  реакция радиационного захвата (поглощения)
и реакция рассеяния.

                                                           деление
(fission)

n                      A                                поглощение
(capture)

                                                           рассеяние (scattaring)

Ядерные реакции подчиняются законам квантовой
механики, поэтому можно говорить лишь о вероятности протекания той или иной из
них. Мерой вероятности данного типа реакции является эффективное (микроскопическое)
сечение.

2.2. Эффективные сечения ядерных реакций

            Рассмотрим тонкую пластинку, содержащую N_я
ядер, на которую падает поток нейтронов со скоростью v и концентрацией n.

Найдем количество реакций того или иного типа.

            Пусть количество реакций равно R, тогда

            R = j N_я s                                                                            (1)

j = n v  – плотность потока нейтронов, s –
микроскопическое сечение взаимодействия. s измеряется в барнах
( 1 б = 10^-24 см² ).

Можно записать уравнение (1 ) для трех основных
ядерных реакций:

            R_f = j N_я s_f                –
реакция деления

            Rc = j N_я s_c                   – реакция радиационного захвата

            R_s = j N_я s_s               –
реакция рассеяния

            s_total = s_f s_c s_s

Вообще говоря, микроскопические сечения взаимодействия
всех реакций зависят от массового числа ядра и от энергии нейтрона. При этом
вид зависимости s(E_Н) определяется тем, к какой области
принадлежит энергия нейтрона E_Н . В соответствии с этим принято
делить область энергий на три части: Область тепловых нейтронов, где E <
0,625 эВ; область промежуточных нейтронов или резонансная область, где  0,625
эВ < E < 0.1 МэВ; область быстрых нейтронов, где E > 0.1 МэВ;

2.3 Реакция радиационного захвата и реакция рассеяния

            Рассмотрим коротко два важных типа ядерных
реакций – захвата (поглощения) и рассеяния , а затем перейдем к подробному
описанию третьего – реакции деления ядер, которая необходима для поддержания
цепной реакции.

2.3.1 Реакция рассеяния

            Существует два типа реакций рассеяния:
упругое взаимодействие, при котором суммарная кинетическая энергия
взаимодействующих нейтрона и ядра не меняется после реакции и неупругое
взаимодействие, при котором часть кинетической энергии идет на возбуждение
конечного ядра и затем испускается в виде g-кванта.

                                   E₀                                                        
A                             E₁

               n                          
A                                                 

                                                                                              n                        
E₂

                                                                                                                                                                            n

                               n                         A                               
A ₁                                               g           

                                                                                                                                 A

Нужно отметить, что реакция неупругого рассеяния
происходит лишь при определенных значениях энергии нейтрона (E_пор » 0,1 МэВ), в то время как энергия упругого рассеяния возможна всегда.

            Значение реакции рассеяния в ядерной
энергетике трудно переоценить, поскольку именно на ней основаны системы
замедления нейтронов в реакторе. В качестве веществ-замедлителей обычно
используют тяжелую и легкую воду, графит.

2.3.2 Реакция поглощения (захвата)

            Данная реакция играет важную роль в физике
реактора, поскольку она является конкурирующей по отношению к реакции деления.                                                                                                             

                                                                                                                                                                            g

                n                         A                               
A ₁                                                              

                                                                                                                                                                            A ₁

В результате нейтрон выбывает из цепной реакции. s_c зависит
от энергии нейтрона и от массового числа A. В области тепловых нейтронов
сечение подчиняется закону  s_c(E) обратно пропорционально скорости нейтрона v (или
квадратному корню  из E). При увеличении энергии нейтрона начинается
резонансная область, в которой s_c имеет множество максимумов и минимумов.

2.4 Реакция деления ядер

            Данная реакция наиболее специфична для ЯР.
Схематично эту реакцию можно представить так:

2.4.1 Общая схема реакции деления

                                                                                                                                                                         n                            

                                                                                                                               A₁                                g_оск

n               A     A ₁                                              
g_мгн                                                      b

                                               n                             n                                               
A₂               g_оск                       

                                               n                                                                                b         

                                                                                                                                                                            u

            Под действием нейтрона ядро тяжелого
элемента делится на две части (осколка) отношение масс которых обычно (для
часто используемых элементов) близко к 95/140. Нуклиды, которые делятся
нейтронами – это тяжелые нуклиды. Некоторые из них делятся тепловыми
нейтронами:  U²³⁵, Pu²³⁹, Pu²⁴¹ (в природе
встречается только U²³⁵, содержание которого в естественном U²³⁸
составляет 0.714%). Другие нуклиды, например, естественный уран, делятся только
быстрыми нейтронами. Вообще говоря, процесс не протекает по строгой схеме,
поскольку существует много вариантов деления на различные осколки.

2.4.2 Энергетический баланс реакции деления

            Рассмотрим энергетический баланс реакции
деления.

Пусть E_нач = 0.025 эВ – средняя энергия
теплового движения при 20⁰ С. Тогда E_выдел= 200 МэВ.

2.4.3 Сечение деления.

            Зависимость s_f(E) имеет достаточно сложный вид, поскольку на кривую
E^-1/2 накладывается много резонансов. Если бы характер этой
зависимости описывался формулой s_f(E) = E^-1/2, то график зависимости f(E) = s_f E^1/2
для U²³⁵ в области тепловых нейтронов_, изображенный на
рис. 1 имел вид прямой, параллельной оси абсцисс. Однако на практике эта
зависимость имеет приведенный на рис. 1 вид, с резонансом в точке E = 0,3 эВ.

            На рис. 2 приведена схематичная
зависимость s_f и s_total от E
в случае когда деление ядра элемента возможно и тепловыми нейтронами. На рис. 3
приведена зависимость сечения деления для U²³⁸, из которой видно,
что деление этого ядра возможно только быстрыми нейтронами  (E_пор
> 1). Сечения деления ядер нейтронами различных энергий можно определить по
специальным таблицам.

2.4.4 Образование нейтронов

            Как видно из приведенной выше схемы, при
реакции деления кроме новых ядер могут появляться g-кванты, b-частицы распада, g-кванты распада,
нейтроны деления и нейтрино. С точки зрения цепной ядерной реакции наиболее
важным является образование нейтронов. Среднее число появившихся в результате
реакции деления нейтронов обозначают u_f . Эта величина зависит от массового числа делящегося
ядра и энергии взаимодействующего с ним нейтрона. образовавшиеся нейтроны
обладают различной энергией (обычно от 0,5 до 15 МэВ), что характеризуется
спектром нейтронов деления. Для U²³⁵ среднее значение энергии
нейтронов деления равно 1.93 МэВ.

            В процессе ядерной реакции могут
появляться как ядра способствующие поддержанию цепной реакции (те которые
испускают запаздывающий нейтрон), так и ядра, оказывающие неблагоприятное воздействие
на ее ход (если они обладают большим сечением радиационного захвата).

2.4.5 Запаздывающие нейтроны

            Заканчивая рассмотрение реакции деления,
нельзя не упомянуть о таком важном явлении как запаздывающие нейтроны. Те
нейтроны, которые образуются не непосредственно при делении тяжелых нуклидов
(мгновенные нейтроны), а в результате распада осколков называются
запаздывающими нейтронами. Характеристики запаздывающих нейтронов зависят от
природы осколков. Обычно запаздывающие нейтроны делят на 6 групп по следующим
параметрам: T – среднее время жизни осколков, b_i – доля запаздывающих нейтронов среди всех нейтронов
деления, b_i/b – относительная доля запаздывающих нейтронов данной группы, E –
кинетическая энергия запаздывающих нейтронов.

            В следующей таблице приведены
характеристики запаздывающих нейтронов при делении U²³⁵

В целом:

N_зап / (N_зап N_мгн)
= b = 0.0065;  T_зап » 13 сек.; T_мгн » 0.001 сек.

            На этом мы закончим рассмотрение реакции
деления ядер и перейдем к изучению цепной реакции деления и жизненного цикла
нейтронов.

3. ЖИЗНЕННЫЙ ЦИКЛ НЕЙТРОНОВ

3.1 Возможность цепной реакции

            В результате деления ядра появляется в
среднем 2.5 нейтрона. Поэтому можно организовать цепную реакцию деления, при
которой новые нейтроны, в свою очередь активируют реакцию деления ядер топлива.
Однако помимо реакции деления всегда присутствуют конкурирующая реакция
радиационного захвата и утечка нейтронов из активной зоны реактора. В состав АЗ
всегда входят теплоноситель, конструкционные материалы и замедлитель, которые
увеличивают захват нейтронов.

            Таким образом мы приходим к необходимости
изучения того, при каких условиях возможна цепная реакция деления в ЯР на
тепловых нейтронах (именно такие реакторы обычно применяются для энергетических
целей). Нужно отметить, что мы будем рассматривать реакторы, использующие
естественный U²³⁸,обогащенный U²³⁵. Кроме
того для простоты будем считать, что активная зона реактора – бесконечная и гомогенная.

3.2 Основные характеристики цепной реакции

            Рассмотрим соотношения, характеризующие
протекание цепной реакции деления.

3.2.1 Коэффициент размножения на быстрых нейтронах

            Пусть в среде есть N быстрых нейтронов,
они будут взаимодействовать с ядрами среды, в том числе и с ядрами U²³⁸,
те из них которые имеют энергию выше порога деления (1 МэВ) могут вызывать
деление урана и образование новых быстрых нейтронов. При этом их энергия будет
меньше порога деления.

            Коэффициент размножения на быстрых
нейтронах m – число нейтронов ушедших под порог деления U²³⁸
на один быстрый нейтрон (появившийся в результате деления ядер U²³⁵).

            Ясно, что величина m тем больше, чем больше доля U²³⁸ в топливе. Можно оценить,
что m_max = 1.35
(если доля U²³⁸ равна 100%). Для тепловых реакторов m = 1.01 – 1.03.

3.2.2 Вероятность избежать радиационного захвата

            Пусть в среде есть N нейтронов, энергия
которых меньше порога деления U²³⁸. За счет рассеяния но ядрах среды
они теряют свою энергию и попадают в область энергии, в которой находятся
гигантские резонансы сечения захвата U²³⁸. Введем величину j – вероятность избежать радиационного захвата.

            j тем больше, чем
быстрее нейтронам в процессе замедления удастся преодолеть резонансную область.
j уменьшается при увеличении доли ядер U²³⁸
в среде. В гомогенном реакторе j » 0.65, а в
гетерогенном j » 0.93.

3.2.3 Коэффициент теплового использования

            Пусть в среде есть N тепловых нейтронов,
тогда в процессе диффузии часть из них захватится в топливе. Обозначим долю
захваченных в топливе нейтронов q. Ясно, что коэффициент
теплового использования можно увеличить, используя гетерогенную структуру активной
зоны реактора.

3.2.4 Количество испускаемых U²³⁵ быстрых
нейтронов

            Пусть в топливе поглотилось N тепловых
нейтронов. Ясно, что не всякое поглощение приводит к делению и испусканию новых
быстрых нейтронов. Введем величину u^т_эф равную
количеству вторичных нейтронов деления на один тепловой нейтрон, поглощенный в
топливе. Ясно, что u^т_эф тем больше, чем выше доля U²³⁵ в топливе.

3.3 Жизненный цикл нейтронов

            Рассмотрим жизненный цикл нейтронов в
тепловом ЯР, активная зона которого бесконечна и гомогенна.

            Пусть на некотором этапе цепной реакции в
рассматриваемой среде присутствует N₁ быстрых нейтронов деления 1
поколения. За счет взаимодействия с ядрами U²³⁸ под порог деления
этих ядер (1 МэВ) уйдет m N₁ нейтронов (m – коэффициент размножения на быстрых нейтронах).

            В результате рассеяния на ядрах среды эти
нейтроны будут замедляться и попадут в область промежуточных энергий. Миновать
эту область, избежав поглощения ядрами U²³⁸ удастся m j N₁ нейтронам (j – вероятность избежать радиационного захвата).

            Часть из этих нейтронах, которые теперь
стали тепловыми, захватится в топливе. Количество захваченных в топливе
нейтронов будет равно  m j q N₁
(q – коэффициент теплового использования).

            Некоторые из нейтронов, захваченных в
топливе инициируют деление ядер U²³⁵ и появление новых быстрых
нейтронов. Количество нейтронов второго поколения N₂ = u^т_эф m j q N_1.

                Итак, мы видим, что реакция действительно является самоподдерживающейся
и циклической. Цикл жизни нейтронов схематично представлен на рис. 4. На данной
схеме, в отличие от вышеприведенного описания рассмотрение начинается со стадии
тепловых нейтронов.

            Можно вывести коэффициент размножения
нейтронов в бесконечной гомогенной среде:

K_¥ = N_{i 1}/N_i
= u^т_эф m j q  – формула 4-х сомножителей.

Для конечных сред можно ввести коэффициент

K_эф = u^т_эф m j q P, где P – вероятность избежать
утечки.

            На этом рассмотрение физических основ
протекания цепной ядерной реакции в ЯР можно завершить. Используя описанную
цепную ядерную реакцию, можно переводить энергию из формы энергии связи частиц
в ядре в кинетическую энергию движения частиц, то есть в тепло. Как уже
отмечалось ранее основную трудность представляет собой не организация цепной
реакции, а получение чистых делящихся веществ и другие технические и
технологические нюансы ядерной энергетики.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1.         Рудик А. П. Физические основы ядерных
реакторов. М.: Атомиздат, 1980.

2.         Климов А. Н. Ядерная физика и ядерные
реакторы. М.: Атомиздат, 1971.

3.         Нигматулин Н. Н., Нигматулин Б. Н., Ядерные
энергетические установки. М.: Энергоатомиздат, 1986.

4.         Емельянов И. Я. и др. Конструирование
ядерных реакторов. М.: Энергоатомиздат, 1982

5.         Камерон И. Ядерные реакторы. М.:
Энергоатомиздат, 1987

6.         Шихов С. Б., Троянский В. Б. Элементарная
теория яднрных реакторов. М.: Атомиздат, 1978

Математическое моделирование как
философская проблема

Реферат аспиранта кафедры вычислительной
математики математического факультета Башгосуниверситета

Башкирский государственный университет

Кафедра философии

Уфа – 1999

В
развитии различных областей человеческой деятельности математика оказывала и
оказывает существенное влияние. Ее роль складывалась исторически и зависела от
двух факторов: степени развития математических понятий и математического
аппарата, а также степени зрелости знания об изучаемом объекте.

Математические
понятия в процессе своего возникновения как бы впитывают в себя существенные
свойства предметов и явлений и их отношений в виде существующих математических
законов и структур. В результате свойства чувственно-конкретных предметов и
явлений концентрированно отражаются в конкретных математических понятиях и
структурах.

Дальнейшее
развитие математических понятий и теорий происходит на базе уже существующих
математических объектов. Этот процесс характеризуется многократным абстрагированием,
идеализацией и обобщением. Математические объекты и теории не только обретают
чувственно абстрактность, но и универсальную всеобщность и широкую
применимость. В процессе применения математики осуществляется восхождение от
абстрактного к конкретному.

Структуры
«мира математического» успешно применяются для анализа «мира
экспериментального», ибо первый является идеально-абстрактной, обобщенной и
логически более совершенной картиной второго. Возникновение новых
математических структур и нового математического аппарата (например, аппарата
математической физики, в связи с необходимостью глубокого изучения различных
физических, гидродинамических, механических и других процессов и явлений)
сопровождается проникновением нашего сознания в более глубокие структурные
уровни, материи. Это и дало Г. Вейлю основание заметить, что «развитие
математики до известной степени дублируется в физике переходом от классической
к квантовой механике»[1].

Современное
развитие науки характеризуется потребностью сложного изучения всевозможных
сложных процессов и явлений – физических, химических, биологических,
экономических, социальных и других. Происходит значительное увеличение темпов
математизации и расширение ее области действия. Теории математики широко
применяются в других науках, казалось бы совершенно от нее далеких –
лингвистике, юриспруденции. Это вызвано естественным процессом развития
научного знания, который потребовал привлечения нового и более совершенного
математического аппарата, проявлением новых разделов математики, а также
кибернетики, вычислительной техники и так далее, что значительно увеличило
возможности ее применения[2].

Более
точное математическое описание процессов и явлений, вызванное потребностями
современной науки, приводит к появлению сложных систем интегральных,
дифференциальных, интегральных, трансцендентных уравнений и неравенств, которые
не удается решить аналитическими методами в явном виде. Для решения таких задач
приходится прибегать к вычислительным алгоритмам, использовать какие-либо
бесконечные процессы, сходящиеся к конечному результату. Приближенное решение
задачи получается при выполнении определенного числа шагов.

Развитие
ЭВМ стимулировало более интенсивное развитие вычислительных методов, создало
предпосылки решения сложных задач науки, техники, экономики. Широкое применение
при решении таких задач получили методы прикладной математики и математического
моделирования.

В
настоящее время прикладная математика и ЭВМ являются одним из определяющих
факторов научно-технического прогресса. Они способствуют ускорению развития
ведущих отраслей народного хозяйства, открывают принципиально новые возможности
моделирования и проектирования сложных систем с выбором оптимальных параметров
технологических процессов.

ЭВМ
обеспечивает интенсивный процесс математизации не только естественных и
технических, но также общественных и гуманитарных наук. Математическое
моделирование и ЭВМ получают широкое применение в химии, биологии, медицине,
психологии, лингвистике и этот список можно продолжать и продолжать.

В
реферате предпринята попытка рассмотреть философские аспекты математического
моделирования как метода познания окружающего мира. В первой части исследованы
общие вопросы математического моделирования. Определяются и обосновываются
понятия моделирование, вычислительный эксперимент, математическая модель и
математическое моделирование, приводится классификация математических моделей.
Во второй и третьей частях рассматривается применение математического
моделирования в различных отраслях человеческого знания и деятельности. Вторая
часть посвящена вопросам кибернетики, моделирования мысленной деятельности
человека. Поднимаются вопросы искусственного интеллекта, модели искусственного
нейрона, нейросетевых технологий. Третья часть затрагивает вопросы
математического моделирования применительно к к исследованиям экономических
систем, в частности вопросы имитационного моделирования.

Растущий интерес философии и методологии познания к теме
моделирования был вызван тем значением, которое метод моделирования получил в
современной науке, и в особенности в физике, химии, биологии, кибернетике, не
говоря уже о многих технических науках.

Однако моделирование как специфическое средство и форма
научного познания не является изобретением XIX или XX века.
Достаточно указать на представления Демокрита и Эпикура об атомах, их форме, и
способах соединения, об атомных вихрях и ливнях, объяснения физических свойств
различных веществ с помощью представления о круглых и гладких или крючковатых
частицах, сцепленных между собой. Эти представления являются прообразами
современных моделей, отражающих ядерно-электронное строение атома вещества.

В
настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в
той или иной степени не использовались бы методы моделирования. Остановимся на
философских аспектах моделирования, а точнее общей теории моделирования[3].

Методологическая
основа моделирования заключается в следующем. Все то, на что направлена
человеческая деятельность, называется объектом (лат. objectum – предмет). Выработка методологии направлена на
упорядочение получения и обработки информации об объектах, которые существуют
вне нашего сознания и взаимодействуют между собой и внешней средой.

В
научных исследованиях большую роль играют гипотезы, то есть определенные
предсказания, основывающиеся на небольшом количестве опытных данных,
наблюдений, догадок. Быстрая и полная проверка гипотез может быть проведена в
ходе специально поставленного эксперимента. При формулировании и проверки
правильности гипотез большое значение в качестве метода суждений имеет
аналогия.

Аналогией
называют суждение о каком либо частном сходстве двух объектов, причем такое
сходство может быть существенным и несущественным. Необходимо отметить, что
понятия существенности и несущественности сходства или различия объектов
условны и относительны. Существенность сходства (различия) зависит от уровня
абстрагирования и в общем случае определяется конечной целью проводимого
исследования. Современная научная гипотеза создается, как правило, по аналогии
с проверенными на практике научными положениями. Таким образом, аналогия
связывает гипотезу с экспериментом.

Гипотезы
и аналогии, отражающие реальный, объективно существующий мир, должны обладать
наглядностью или сводится к удобным для исследования логическим схемам. Такие
логические схемы, упрощающие рассуждения и логические построения или
позволяющие проводить эксперименты, уточняющие природу явлений, называются
моделями. Другими словами модель (лат. modulus – мера) – это объект заместитель объекта-оригинала,
обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.

Моделированием
называется замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших
свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели. Таким образом,
моделирование может быть определено как представление объекта моделью для
получения информации об этом объекте путем проведения экспериментов с его
моделью. И.Т. Фролов отмечал, что
«моделирование означает материальное или мысленное имитирование реально
существующей системы путем специального конструирования аналогов (моделей), в
которых воспроизводятся принципы организации и функционирования этой системы»[4]. Здесь в основе
мысль, что модель средство познания, главный ее признак – отображение.
Теория замещения одних объектов (оригиналов) другими объектами (моделями) и
исследование свойств объектов на их моделях называется теорией моделирования.

Определяя
гносеологическую роль теории моделирования, то есть ее значение в процессе
познания, необходимо, прежде всего, отвлечься от имеющегося в науке и технике
многообразия моделей и выделить то общее, что присуще моделям различных по
своей природе объектов реального мира. Это общее заключатся в наличии некоторой
структуры (статической или динамической, материальной или мысленной), которая
подобна структуре данного объекта. В процессе изучения модель выступает в роли
относительно самостоятельного квазиобъекта, позволяющего получить при
исследовании некоторые знания о самом объекте.

Если
результаты моделирования подтверждаются и могут служить основой для
прогнозирования процессов, протекающих в исследуемых объектах, то говорят, что
модель адекватна объекту. При этом адекватность модели зависит от цели
моделирования и принятых критериев.

Обобщенно
моделирование можно определить как метод опосредованного познания, при котором
изучаемый объект-оригинал находится в неком соответствии с другим
объектом-моделью, причем модель способна в том или ином отношении замещать
оригинал на некоторых стадиях познавательного процесса. Стадии познания, на
которых происходит такая замена, а также формы соответствия модели и оригинала
могут быть различными:

Моделирование
как познавательный процесс, содержащий переработку информации, поступающей из
внешней среды, о происходящих в ней явлениях, в результате чего в сознании
появляются образы, соответствующие объектам.

Моделирование,
заключающееся в построении некоторой системы-модели (второй системы), связанной
определенными отношениями подобия с системой-оригиналом (первой системой),
причем в этом случае отображение одной системы в другую является средством
выявления зависимостей между двумя системами, отраженными в соотношениях
подобия, а не результатом непосредственного изучения поступающей информации.

Следует
отметить, что с точки зрения философии моделирование – эффективное средство
познания природы. Процесс моделирования предполагает наличие:

объекта
исследования;

исследователя,
перед которым поставлена конкретная задача;

модели,
создаваемой для получения информации об объекте и необходимой для решения
поставленной задачи.

По
отношению модели исследователь является, по сути дела, экспериментатором,
только в данном случае эксперимент проводится не с реальным объектом, а с его
моделью. Надо иметь в виду, что любой эксперимент может иметь существенное
значение в конкретной области науки только при специальной его обработке и
обобщении. Единичный эксперимент никогда не может быть решающим для
подтверждения гипотезы, проверки теории. Следует помнить о том, что критерием
истины являются опыт, практика, экспериментальное исследование.

Академик
А. А. Самарский, один из основоположников вычислительной математики и
математического моделирования в нашей стране, создатель ведущей школы в области
математического моделирования, понимал под вычислительным экспериментом такую
организацию исследований, при которой на основе математических моделей
изучаются свойства объектов и явлений, проигрывается их поведение в различных
условиях и на основе этого выбирается оптимальный режим[5]. Другими словами, вычислительный
эксперимент предполагает переход от изучения реального объекта к изучению его
математической модели. Такой моделью, как правило, является одно или несколько
уравнений. Более строго математические модели будут определены ниже.

Впервые
вычислительный эксперимент начал использоваться для изучения таких процессов,
экспериментальное исследование которых невозможно или затруднено. Например, в
40-50 годы XX столетия академик М.В. Келдыш разрабатывает
математическое описание космических полетов.

К
основным преимуществам вычислительного эксперимента можно отнести следующие:

Возможность
исследования объекта без модификации установки или аппарата.

Возможность
исследования каждого фактора в отдельности, в то время как в реальности они
действуют одновременно.

Возможность
исследования нереализуемых на практике процессов.

Вычислительный
эксперимент включает в себя следующие этапы (см. рисунок 1):

Физическое
описание процесса, то есть уяснение закономерности протекаемых явлений.

Разработка
математической модели.

Алгоритм
или метод решения уравнений.

Разработка
программ.

Проведение
расчетов, анализ результатов и оптимизация.

Тем
самым основу вычислительного эксперимента составляет триада: модель – алгоритм
– программа. Опыт решения крупных задач показывает, что метод математического
моделирования и вычислительный эксперимент соединяют в себе преимущества
традиционных теоретических и экспериментальных методов исследования.

Стоит
заметить, что на практике результаты первых расчетов, как правило, весьма
далеки от реальных. Поэтому происходит постоянное усовершенствование алгоритма,
уточнение математической модели до совпадения с какими-то тестовыми или
контрольными данными. Этот этап, называемый идентификацией математической
модели, всегда присутствует в вычислительном эксперименте. Поэтому нельзя
говорить об одной модели любого явления. Всегда существует иерархия
математических моделей, начиная от простых и кончая более сложными. Следует
выбирать некоторый уровень сложности модели, соответствующей данной конкретной
задаче.

Под
математическим моделированием, в узком смысле слова, понимают описание в виде
уравнений и неравенств реальных физических, химических, технологических,
биологических, экономических и других процессов. Для того чтобы использовать
математические методы для анализа и синтеза различных процессов, необходимо
уметь описать эти процессы на языке математики, то есть описать в виде системы
уравнений и неравенств.

Как
методология научных исследований математическое моделирование сочетает в себе
опыт различных отраслей науки о природе и обществе, прикладной математики,
информатики и системного программирования для решения фундаментальных проблем.
Математическое моделирование объектов сложной природы – единый сквозной цикл
разработок от фундаментального исследования проблемы до конкретных численных
расчетов показателей эффективности объекта. Результатом разработок бывает
система математических моделей, которые описывают качественно разнородные
закономерности функционирования объекта и его эволюцию в целом как сложной
системы в различных условиях. Вычислительные эксперименты с математическими
моделями дают исходные данные для оценки показателей эффективности объекта.
Поэтому математическое моделирование как методология организации научной
экспертизы крупных проблем незаменимо при проработке народнохозяйственных
решений. (В первую очередь это относится к моделированию экономических систем[6]).

По
своей сути математическое моделирование есть метод решения новых сложных
проблем, поэтому исследования по математическому моделированию должны быть
опережающими. Следует заранее разрабатывать новые методы, готовить кадры,
умеющие со знанием дела применять эти методы для решения новых практических
задач.

Математическая
модель может возникнуть тремя путями:

В
результате прямого изучения реального процесса. Такие модели называются
феноменологическими.

В
результате процесса дедукции. Новая модель является частным случаем некоторой
общей модели. Такие модели называются асимптотическими.

В
результате процесса индукции. Новая модель является обобщением элементарных
моделей. Такие модели называют моделями ансамблей.

Процесс
моделирования начинается с моделирования упрощенного процесса, который с одной
стороны отражает основные качественные явления, с другой стороны допускает
достаточно простое математическое описание. По мере углубления исследования
строятся новые модели, более детально описывающие явление. Факторы, которые
считаются второстепенными на данном этапе, отбрасываются. Однако, на следующих
этапах исследования, по мере усложнения модели, они могут быть включены в
рассмотрение. В зависимости от цели исследования один и тот же фактор может
считаться основным или второстепенным.

Математическая
модель и реальный процесс не тождественны между собой. Как правило,
математическая модель строится с некоторым упрощением и при некоторой
идеализации. Она лишь приближенно отражает реальный объект исследования, и
результаты исследования реального объекта математическими методами носят
приближенный характер. Точность исследования зависит от степени адекватности
модели и объекта и от точности применяемых методов вычислительной математики.

Схема
построения математических моделей следующая:

Выделение
параметра или функции, подлежащей исследованию.

Выбор
закона, которому подчиняется эта величина.

Выбор
области, в которой требуется изучить данное явление.

Существуют
всевозможные классификации математических моделей. Выделяют линейные и
нелинейные модели, стационарные и динамические, модели, описываемые
алгебраическими, интегральными и дифференциальными уравнениями, уравнениями в
частных производных. Можно выделять классы детерминируемых моделей, вся
информация в которых является полностью определяемой, и стохастических моделей,
то есть зависящих от случайных величин и функций. Так же математические модели
различают по применению к различным отраслям науки.

Рассмотрим
следующую классификацию математических моделей[7].
Все математические модели разобьем условно на четыре группы.

I. Модели
прогноза или расчетные модели без управления. Их можно разделить на
стационарные и динамические.

Как
правило, модели прогнозирования описываются алгебраическими, трансцендентными,
дифференциальными, интегральными, интегро-дифференциальными уравнениями и
неравенствами. Примерами могут служить модели распределения тепла,
электрического поля, химической кинетики, гидродинамики.

II. Оптимизационные модели

Их
так же разбивают на стационарные и динамические. Стационарные модели
используются на уровне проектирования различных технологических систем.
Динамические – как на уровне проектирования, так и, главным образом, для
оптимального управления различными процессами – технологическими,
экономическими и др.

В
задачах оптимизации имеется два направления. К первому относятся
детерминированные задачи. Вся входная информация в них является полностью
определяемой.

Второе
направление относится к стохастическим процессам. В этих задачах некоторые
параметры носят случайный характер или содержат элемент неопределенности.
Многие задачи оптимизации автоматических устройств, например, содержат
параметры в виде случайных помех с некоторыми вероятностными характеристиками.

Методы
отыскания экстремума функции многих переменных с различными ограничениями часто
называются методами математического программирования. Задачи математического программирования
– одни из важных оптимизационных задач.

В
математическом программировании выделяются следующие основные разделы[8]:

Линейное
программирование. Целевая функция линейна, а множество, на котором ищется
экстремум целевой функции, задается системой линейных равенств и неравенств.

Нелинейное
программирование. Целевая функция нелинейная и нелинейные ограничения.

Выпуклое
программирование. Целевая функция выпуклая и выпуклое множество, на котором
решается экстремальная задача.

Квадратичное
программирование. Целевая функция квадратичная, а ограничения – линейные
равенства и неравенства.

Многоэкстремальные
задачи. Задачи, в которых целевая функция имеет несколько локальных
экстремумов. Такие задачи представляются весьма проблемными.

Целочисленное
программирование. В подобных задачах на переменные накладываются условия
целочисленности.

Как
правило, к задачам математического программирования неприменимы методы
классического анализа для отыскания экстремума функции нескольких переменных.

Модели
теории оптимального управления – одни из важных в оптимизационных моделях.
Математическая теория оптимального управления относится к одной из теорий,
имеющих важные практические применения, в основном, для оптимального управления
процессами.

Различают
три вида математических моделей теории оптимального управления[9]. К первому виду относятся дискретные
модели оптимального управления. Традиционно такие модели называют моделями
динамического программирования. Широко известен метод динамического
программирования Беллмана. Ко второму типу относятся модели, описываемые
задачам Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Их часто
называют моделями оптимального управления системами с сосредоточенными параметрами.
Третий вид моделей описывается краевыми задачами, как для обыкновенных
дифференциальных уравнений, так и для уравнений в частных производных. Такие
модели называют моделями оптимального управления системами с распределенными
параметрами.

III. Кибернетические модели

Этот
тип моделей используется для анализа конфликтных ситуаций.

Предполагается,
что динамический процесс определяется несколькими субъектами, в распоряжении
которых имеется несколько управляющих параметров. С кибернетической системой ассоциируется
целая группа субъектов со своими собственными интересами.

IV.
Вышеописанные типы моделей не охватывают большого числа различных ситуаций,
таких, которые могут быть полностью формализированы. Для изучения таких
процессов необходимо включение в математическую модель функционирующего
«биологического» звена – человека. В таких ситуациях используется имитационное
моделирование, а также методы экспертиз и информационных процедур.

Кибернетика
(от греческого kybernetike – искусство управления) – наука о
самоуправляющихся машинах, в частности о машинах с электронным управлением[10]. Основатель ее, американский ученый
Норберт Винер, в 1948 показал, что человеческий мозг действует наподобие
электронных вычислительных машин с двоичной системой исчисления. Можно
определить кибернетику как науку, изучающую системы любой природы, способные
воспринимать, хранить и перерабатывать информацию для целей управления.[11] Понятия кибернетическое
моделирование, искусственный интеллект, нейроматематика, о которых речь пойдет
ниже, тесно связаны с математическим моделированием и не мыслимы без него.
Кибернетика широко пользуется методом математического моделирования и стремится
к получению конкретных результатов, позволяющих анализировать и синтезировать
изучаемые системы.

В современном научном знании весьма широко
распространена тенденция построения кибернетических моделей объектов самых
различных классов. К.Б. Батороев писал, что «кибернетический этап в
исследовании сложных систем ознаменован существенным преобразованием «языка
науки», характеризуется возможностью выражения основных особенностей этих
систем в терминах теории информации и управления. Это сделало доступным их
математический анализ».[12]

Кибернетическое моделирование используется и как общее
эвристическое средство, и как искусственный организм, и как система-заменитель,
и в функции демонстрационной. Использование кибернетической теории связи и
управления для построения моделей в соответствующих областях основывается на
максимальной общности ее законов и принципов: для объектов живой природы, социальных
систем и технических систем.

Широкое использование кибернетического моделирования
позволяет рассматривать этот «логико-методологический» феномен как неотъемлемый
элемент «интеллектуального климата» современной науки». В этой связи говорят об
особом «кибернетическом стиле мышления», о «кибернетизации» научного знания. С
кибернетическим моделированием связываются возможные направления роста
процессов теоризации различных наук, повышение уровня теоретических
исследований. Рассмотрим некоторые примеры, характеризующие включение
кибернетических идей в другие понятийные системы.

Анализ биологических систем с помощью кибернетического
моделирования обычно связывают с необходимостью объяснения некоторых механизмов
их функционирования (ниже рассмотрим моделирование психической деятельности
человека). В этом случае система кибернетических понятий и принципов
оказывается источником гипотез относительно любых самоуправляемых систем, т.к.
идеи связей и управления верны для этой области применения идей, новые классы
факторов.

Характеризуя процесс кибернетического моделирования[13], обращают
внимание на следующие обстоятельства. Модель, будучи аналогом исследуемого
явления, никогда не может достигнуть степени сложности последнего. При
построении модели прибегают к известным упрощениям, цель которых – стремление
отобразить не весь объект, а с максимальной полнотой охарактеризовать некоторый
его «срез». Задача заключается в том, чтобы путем введения ряда упрощающих
допущений выделить важные для исследования свойства. Создавая кибернетические
модели, выделяют информационно-управленческие свойства. Все иные сторон этого
объекта остаются вне рассмотрения.

Анализируя процесс приложения кибернетического моделирования
в различных областях знания, можно заметить расширение сферы применения
кибернетических моделей: использование в науках о мозге, в социологии, в
искусстве, в ряде технических наук. В частности, в современной измерительной
технике нашли приложение информационные модели[14]. Возникшая на их основе
информационная теория измерения и измерительных устройств – это новый подраздел
современной прикладной метрологии.

Использование ЭВМ в моделировании деятельности мозга
позволяет отражать процессы в их динамике, но у этого метода в данном
приложении есть свои сильные и слабые стороны. Наряду с общими чертами,
присущими мозгу и моделирующему его работу устройству, такими, как:

материальность

закономерный
характер всех процессов

общность
некоторых форм движения материи

отражение

принадлежность
к классу самоорганизующихся динамических систем,

в которых заложены:

а) принцип обратной связи

б) структурно-функциональная аналогия

в) способность накапливать информацию[15]

есть существенные отличия, такие как:

Моделирующему устройству присущи лишь низшие формы
движения – физическое, химическое, а мозгу, кроме того – социальное,
биологическое;

Процесс отражения в мозге человека проявляется в
субъективно-сознательном восприятии внешних воздействий. Мышление возникает в
результате взаимодействия субъекта познания с объектом в условиях социальной
среды;

В языке человека и машины. Язык человека носит
понятийный характер.

Свойства предметов и явлений обобщаются с помощью языка.
Моделирующее устройство имеет дело с электрическими импульсами, которые
соотнесены человеком с буквами, числами. Таким образом, машина «говорит» не на
понятийном языке, а на системе правил, которая по своему характеру является
формальной, не имеющей предметного содержания.

Использование математических методов при анализе
процессов отражательной деятельности мозга стало возможным благодаря некоторым
допущениям, сформулированным Мак-Каллоком и Питтсом. В их основе –
абстрагирование от свойств естественного нейрона, от характера обмена веществ и
так далее – нейрон рассматривается с чисто функциональной стороны.

Согласно определению Мак-Каллока и Питтса формальный
нейрон[16] -это элемент, обладающий
следующими свойствами:

Он работает по принципу «все или ничего»;

Он может находиться в одном из двух устойчивых
состояний;

Для возбуждения нейрона необходимо возбудить некоторое
количество сигналов, не зависящих от предыдущего состояния нейрона;

Имеет место задержка прохождения сигналов в синапсах в
течение некоторого времени ;

Имеются два вида входов: возбуждающие и тормозящие;

Порог возбуждения предполагается неизменным;

Возбуждение любого тормозящего синапса предотвращает
возбуждение нейрона, независимо от числа возбужденных сигналов.

Искусственный нейрон, смоделированный Мак-Каллоком и
Питтсом, имитирует в первом приближении свойства биологического нейрона. На
вход искусственного нейрона поступает некоторое множество сигналов, каждый из
которых является выходом другого нейрона. Каждый вход умножается на
соответствующий вес, аналогичный синаптической силе, и все произведения
суммируются, определяя уровень активации возбуждения нейрона. Схема
представления искусственного нейрона приведена на рисунке 2.

Существующие модели, имитирующие деятельность мозга
(Ферли, Кларка, Неймана, Комбертсона, Уолтера, Джоржа, Шеннона, Аттли, Берля и
других) отвлечены от качественной специфики естественных нейронов. Однако с
точки зрения изучения функциональной стороны деятельности мозга это оказывается
несущественным.

Существует ряд подходов к изучению мозговой
деятельности:

теория
автоматического регулирования (живые системы рассматриваются в качестве
своеобразного идеального объекта)

информационный
(пришел на смену энергетическому подходу)

Его основные принципы:

а) выделение информационных связей внутри системы

б) выделение сигнала из шума

в) вероятностный характер

Успехи, полученные при изучении деятельности мозга в
информационном аспекте на основе моделирования, по мнению Н.М. Амосова[17], создали
иллюзию, что проблема закономерностей функционирования мозга может быть решена
лишь с помощью этого метода. Однако, по его же мнению, любая модель связана с
упрощением, в частности:

не
все функции и специфические свойства учитываются

отвлечение
от социального, нейродинамического характера.

Таким образом, делается вывод о критическом отношении к
данному методу (нельзя переоценивать его возможности, но вместе с тем,
необходимо его широкое применение в данной области с учетом разумных
ограничений).

Экспертными
системами принято называть те или иные программные средства, выполняющие те или
иные аналитические функции. В зависимости от уровня и способа решения задач они
делятся на следующие группы[18]:

Экспертные
системы, основанные на принципах. Данные экспертные системы появились в
результате стремления преодолеть недостатки экспертных систем, основанных на
жестких моделях. Основным недостатком теоретических моделей является то, что
во-первых входные данные в них должны быть определены посредством
детерминирования количественных характеристик, с другой стороны в таких моделях
все выводы делаются на основе жестких правил типа «если верно А, то верно Б».
Адекватность таких моделей зависит от адекватности данного правила для данной
предметной области. Можно сказать, что экспертные системы, основанные на
правилах, базируются на формальной логике с законом исключения третьего.
Нечеткая логика представляет собой область математики, применение которой
позволяет сводить описание сложных предметных областей к набору основных
принципов, способных управлять всей предметной областью в некоторых заданных
рамках. Нечеткое правило, которое должно пониматься как принцип, а не закон.

Экспертные
системы, основанные на примерах. Рассмотренные выше экспертные системы можно в
целом охарактеризовать как дедуктивные, то есть частные выводы в них делаются
на основе общих закономерностей, выраженных в виде четких или нечетких правил.
Экспертные системы, основанные на примерах, характеризуются как индуктивные, то
есть общие заключения делаются только на основе большого количества частных
примерах. К таким системам можно отнести нейросетевые пакеты, о которых речь
пойдет ниже. Заметим, что нейросеть предназначена главным образом для того,
чтобы на основе анализа большого объема информации, представленной в виде
набора частных случаев, выявить общие закономерности которые в свою очередь
впоследствии применяются к новым аналогичным ситуациям.

Экспертные
системы, основанные на имитационном моделировании. Данные экспертные системы
позволяют при исследовании функционирования сложных систем составить модель на
основе имеющихся данных и экспертных оценок и затем на основе свойств данной
модели протестировать процесс функционирования данной системы, вводя в модель
те или иные данные с целью получения оптимальных выходных характеристик.

Особое
место среди экспертных систем занимают системы искусственного интеллекта.
Проблема искусственного интеллекта занимает очень большое место в практике
сознания и использования вычислительной техники. С ней связано много вопросов и
чисто гносеологического характера. Академик Н.Н. Моисеев[19] писал, что сам термин «искусственный
интеллект» – не более чем лингвистический нонсенс, и правильно было бы говорить
об имитационных системах, понятием которых прежде всего и связан рациональный
смысл денного термина. В узком смысле под искусственным интеллектом понимаются
технические средства и логика программирования, принципиально упрощающая все
процедуры общения с ЭВМ. Моисеев считает, что ни сегодня, ни в обозримом
будущем, нет и не будет никаких оснований говорить о возможности появления
искусственных систем, которые представляли бы новую, более совершенную форму
организации материи. Нет никаких оснований считать, что машина сама по себе
превратится в свехрчеловека и «отменит» человечество в качестве пройденного,
«устаревшего» уровня организации сознания и материи. Знаменитый Терминатор
останется продуктом фантастики. Моисеев уверен, что вычислительная техника и
средства искусственного интеллекта, как бы они не развивались в дальнейшем, все
равно по прежнему будут оставаться плодом человеческого разума и рук и по
прежнему будут служить целям человека.

Далее
будем понимать термин «искусственный интеллект» только в узком смысле, связывая
его с технологией обработки и использования информации.

Нейросетевые
технологии – одна из разновидностей систем искусственного интеллекта. Понятия
нейпронная сеть, нейроматематика, нейроимитатор все шире входят в нашу жизнь,
становятся привычныс и эффективным инструментом для решения многих
научно-технических задач. Основой нейронной сети (НС) являются искусственные
нейроны, описанные в предыдущем пункте. Тем НС – совокупность нейронов,
определенных образом соединенных друг с другом и внешней средой. Используя НС,
можно реализовывать различные логические функции, связывающие между собой все
входные и выходные переменные, определенные в логическом базисе {0,1}. Эти
логические функции могут быть монотонными и немонотонными, линейно разделимыми
и неразделимыми, то есть иметь достаточно сложный вид.

В
основу искусственных нейронных сетей положены следующие черты живых нейронных
сетей, позволяющие им хорошо справляться с нерегулярными задачами[20]:

простой
обрабатывающий элемент – нейрон;

большое
количество нейронов, участвующих в обработке информации;

связь
каждого нейрона с большим количеством других нейронов;

изменяющиеся
по весу связи между нейронами;

массивная
параллельность обработки информации.

Нейросетевые
технологии хорошо зарекомендовали себя в решении всевозможных задач
прогнозирования. Они способны решать задачи опираясь на неполную, искаженную,
зашумленную и внутренне противоречивую информацию. И как сказал Роберт
Хехт-Нильсен[21]:
«Не имеет значения, похожи ли на самом деле в работе нейронные сети на мозг.
Значение имеет лишь то, что у данных теоретических моделей можно математически
обосновать наличие способностей к переработке информации».

Экономико-математическое моделирование является
неотъемлемой частью любого исследования в области экономики. Бурное развитие
математического анализа, исследования операций, теории вероятностей и
математической статистики способствовало формированию различного рода моделей
экономики.

Почему можно говорить об эффективности применения
методов математического моделирования в этой области? Во-первых, экономические
объекты различного уровня (начиная с уровня простого предприятия и кончая
макроуровнем – экономикой страны или даже мировой экономикой) можно
рассматривать с позиций системного подхода. Во-вторых, такие характеристики
поведения экономических систем:

изменчивость (динамичность);

противоречивость поведения;

тенденция к ухудшению характеристик;

подверженность воздействию окружающей среды;

предопределяют выбор метода их исследования.

За последние 30-40 лет методы моделирования экономики
разрабатывались очень интенсивно. Они строились для теоретических целей
экономического анализа и для практических целей планирования, управления и
прогноза. Содержательно модели экономики объединяют такие основные процессы:
производство, планирование, управление, финансы и так д.алее. Однако в
соответствующих моделях всегда упор делается на какой-нибудь один процесс
(например, процесс планирования), тогда как все остальные представляются в
упрощенном виде.

В литературе, посвященной вопросам
экономико-математического моделирования, в зависимости от учета различных
факторов (времени, способов его представления в моделях; случайных факторов и
тому подобное) выделяют, например, такие классы моделей:

1. статистические и динамические;

2. дискретные и непрерывные;

3. детерминированные и стохастические.

Если же рассматривать характер метода, на основе
которого строится экономико-математическая модель, то можно выделить два
основных типа моделей:

математические

имитационные
.

 Развитие первого направления в мировой и российской
науке связано с такими именами, как Л.Н. Канторович, Дж. Фон Нейман, В.С.
Немчинов, Н.А. Новожилов, Л.Н. Леонтьев, В.В. Леонтьев и многие другие. Большой
интерес в этом направлении представляют модели агрегированной экономики, где
рассматривается отраслевой, народохозяйственный уровень. Динамические
народоозяйственные модели используются в роли верхних координирующих звеньев
систем экономико-математических моделей. С ростом временного горизонта
увеличивается разнообразие вариантов перспективного развития экономики и
возрастает число степеней свободы для выбора оптимальных решений, поскольку
уменьшается влияние ограниченности ресурсов, неизбежно предопределяемой
предшествующим развитием. Однако с ростом временного горизонта фактор
неопределенности также начинает играть все возрастающую роль. По мнению Ю.Н.
Черемных[22] «укрупненная номенклатура
динамических моделей регламентируется в первую очередь качеством
информационного обеспечения. Переход к такой номенклатуре для сокращения
размерности может быть продиктован недостаточно мощным алгоритмическим и
машинным обеспечением.» Для отыскания оптимальных траекторий динамических
нарoднохозяйственных моделей используются как конечные, так и бесконечные
методы, предложенные для решения задач математического программирования.
Большое теоретическое и прикладное значение динамических моделей стимулировало
многих авторов на разработку специальных методов поиска оптимальных траекторий.
Предложенные методы учитывают явно или не явно блочную структуру ограничений
динамических моделей и строятся обычно без учета конкретных особенностей
оптимальных траекторий.

Рассмотрим подробнее применение имитационного
моделирования экономических систем, процессов. По словам крупного ученого в
этой области Р.Шеннона, «идея имитационного моделирования проста и интуитивно
привлекательна, позволяет экспериментировать с системами, когда на реальном
объекте этого

сделать нельзя.»[23]. В основе этого метода –
теория вычислительных систем, математическая статистика, теория вероятностей.
Все имитационные модели построены по типу «черного ящика», то есть

сама система (ее элементы, структура) представлены в
виде «черного ящика». Есть какой-то вход в него, который описывается
экзогенными или внешними переменными, которые возникают вне системы, под
воздействием внешних причин, и выход описываемый эндогенными или выходными
переменными, который характеризует

результат действия системы.

В имитационном исследовании большое значение имеет этап
оценки модели, который включает в себя следующие шаги:

Верификация модели (модель ведет себя так, как это было
задумано исследователем).

Оценка адекватности (проверка соответствия модели
реальной системе).

Проблемный анализ (формирование статистически значимых
выводов на основе данных, полученных в результате экспериментов с моделью).

Большой интерес в имитационном моделировании
представляет метод системной динамики – разработанный одним из крупнейших
специалистов в области теории управления, профессором в школе управления
Альфреда П. Слоуна в Массачусетском технологическом институте, Джеймсом
Форрестером. Его первая книга в этой области «Кибернетика предприятия» вызвала
огромный интерес мировой науки к методу системной динамики в имитационном
моделировании.

Начало глобальному моделированию положил другой труд Дж.
Форрестера – «Мировая динамика». Здесь он рассматривает мир как единое целое,
как единую систему различных взаимодействующих процессов: демографических,
промышленных, процессов исчерпания прирoдных ресурсов и загрязнения окружающей
среды, процесса производства прoдуктов питания. Расчеты показали, что при
сохранении развития общества, точнее сегодняшних тенденций его развития,
неизбежен серьезный кризис во взаимодействии человека и окружающей среды. Этот
кризис объясняется противоречием между ограниченностью земных ресурсов,
конечностью пригодных для сельскохозяйственной обработки площадей и все
растущими темпами потребления увеличивающегося населения. Рост населения,
промышленного и сельскохозяйственного производства приводит к кризису: быстрому
загрязнению окружающей среды, истощению природных ресурсов, упадку производства
и повышению смертности. На основании анализа этих результатов делается вывод о
необходимости стабилизации промышленного роста и материального потребления.

Исследования Дж.Форрестера, Р.Шеннона, Дж.Шрайбера и
многих других ученых в области имитационного моделирования позволяет сделать
вывод о перспективности использования этого метода в области экономики.

Возможность
постановки вычислительного эксперимента на ЭВМ существенно ускорила процесс
математизации науки и техники. Расширился круг профессий, для которых
математическая грамотность становится необходимой. Благодаря возможности
оперативного исследования процессов труднодоступных и недоступных для реального
экспериментирования математическое моделирование все больше и больше находит
свое применение в областях, казалось бы далеких от математики и естественных
наук. Оно широко используется и в криминалистике, и в лингвистике, и в
социологии, и этот список можно продолжать и продолжать.

Академик
Н.Н. Моисеев еще лет двадцать назад первым осознал необходимость подготовки к
эффективному использованию ЭВМ новых поколений. Он обратил внимание на то, что
крупные народнохозяйственные и социально-экономические проблемы могут быть
удовлетворительно решены только при условии, что своевременно будут
организованы и выполнены исследования междисциплинарного характера, а ЭВМ новых
поколений дают подходящую базу для организации и проведения таких исследований.

Академик
А.А. Самарский говорит о незаменимости математического моделирования для
решения важнейших проблем научно-технического и социально-экономического
прогресса, подчеркивает значение математического моделирования как методологии
разработки наукоемких технологий и изделий.

Но,
к сожалению, как отмечает А.А. Петров[24]
те, от кого зависит распределение ресурсов, еще не осознали, что методы
математического моделирования имеют большое народнохозяйственное значение и от
их развития во многом зависит судьба социально-экономического и
научно-технического прогресса страны. Соответственно нет материальной поддержки
исследований, научные кадры не консолидируются на решении ключевых проблем,
даже нет понимания, что математическое моделирование превратилось в
самостоятельную отрасль науки с собственным подходом к решению проблем, хотя
корни его остаются в науках о природе и обществе. Остается надеяться, что эти
трудности временные, и математическое моделирование получит заслуженное место и
в решении важных социально-экономических и народно хозяйственных проблем России
будет играть ту же роль, что и в развитых странах.

Акчурин И.А., Веденов М.Ф., Сачков Ю.В. Методологические
проблемы математического моделирования в естествознании. // Вопросы философии,
1966, №4.

Акчурин И.А., Веденов М.Ф., Сачков Ю.В. Познавательная
роль математического моделирования. М.: 1968.

Амосов Н.М. Моделирование мышления и психики – М.:
Наука, 1965.

Андрющенко
М.Н., Советов Б.Я., Яковлев А.С. и др. Философские основы моделирования сложных
систем управления // Системный подход в технологических науках
(Методологические основы): Сборник научных трудов – Л.: Изд. АН СССР, 1989.

Батороев К.Б. Кибернетика и метод аналогий – М.: Высшая
школа, 1974.

Бир С. Кибернетика и управление производством – М.:
Наука, 1965

Бублик Н.Д., Секерин А.Б., Попенов С.В. Новейшие
компьютерные технологии прогнозирования финансовых показателей и рисков. – Уфа:
1998.

Васильев
В.И., Ильясов Б.Г., Валеев С.В., Жернаков С.В. Интеллектуальные системы
управления с использованием нейронных сетей. – Уфа, 1997.

Вейль
Г. Полвека математики – М.: 1969.

Иванов
В.Т. Математическое моделирование. Модели прогнозирования.(Методические
указания для самостоятельной работы по курсу ЦИПС) – Уфа, 1988.

Иванов
В.Т. Математическое моделирование. Модели оптимизации (Методические указания
для самостоятельной работы по курсу ЦИПС) – Уфа, 1988.

Иванов
В.Т. Математическое моделирование. Модели оптимального управления (Методические
указания для самостоятельной работы по курсу ЦИПС) – Уфа, 1988.

Кафаров
В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. – М.: Химия, 1968.

Клаус Г. Кибернетика и философия – М.: Наука, 1963.

Краткая философская энциклопедия. М.: Издательская
группа «Прогресс», 1994.

Кочергин А.Н. Моделирование мышления – М.: Наука, 1969.

Кудряшев А.Ф. О математизации научного знания.//
Философские науки, 1975, №4, с.133-139.

Лотов А.В. Введение в экономико-математическое
моделирование М.: Наука, 1984.

Моисеев Н.Н. Алгоритмы развития – М.: Наука, 1987.

Моисеев Н.Н. Экология человечества глазами математика. –
М.: Молодая гвардия, 1988.

Салихов М.В. К вопросу об эвристической активности математики
// Философские науки, 1975, №4Ю с.152-155.

Самарский
А.А. Гулин А.В. Численные методы – М.: Наука, 1989.

Советов
Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. – М.: Высшая школа, 1998.

Форрестер Дж. Мировая динамика – М.: Наука, 1978.

Фролов И.Т. Гносеологические проблемы моделирования –
М.: Наука, 1961.

Черемных Ю.Н. Анализ поведения траекторий динамики
народнохозяйственных моделей – М.: Наука, 1982.

Шеннон Р. Имитационное моделирование систем – искусство
и наука – М.: Мир, 1978