МЕТОДЫ ВЫЯВЛЕНИЯ ОСНОВНОЙ ТЕНДЕНЦИИ (ТРЕНДА) В РЯДАХ ДИНАМИКИ – Общая теория статистики

С целью выявления основной тенденции развития явления (тренда) используют следующие методы сглаживания рядов динамики:

1. Метод укрупнения интервалов, при котором первоначальный ряд динамики заменяется другим рядом динамики, содержащим абсолютные или средние показатели уже по укрупненным интервалам.

Например, ряд, содержащий данные о выпуске продукции по месяцам, может быть преобразован в ряд квартальных данных.

2. Метод скользящей средней, при котором формируют укрупненные интервалы, состоящие из одинакового числа уровней, соблюдая правило: каждый последующий интервал получают, постепенно сдвигаясь от начального уровня на один уровень.

Так, трехчленные укрупненные интервалы будут включать следующие уровни исходного ряда динамики:

• • первый интервал: у ₁, у₂, у₃;
• • второй интервал: у₂, у₃,у₄;
• • последний интервал: у_п_₂, у_п__{,у_п.

По каждому из этих интервалов определяется скользящая сумма, на основании которой рассчитывается скользящая средняя. На базе выравненных практических данных строят эмпирическую кривую.

Сквозная задача Задание 8.2

По месячным данным о динамике количества проданного условного товара группой фирм одного из регионов РФ последнего (пятого) года исследования (см. табл. 8.1) требуется:

• 1. Осуществить сглаживание ряда динамики, применяя трехчленную скользящую среднюю.
• 2. На основе выравненных данных построить эмпирическую кривую.
• 3. Сделать выводы.

Решение:

Для определения скользящих средних построим расчетную табл. 8.3.

Таблица 8.3

Расчетная таблица для определения значений скользящей средней

Рис. 8.3. Сглаженный ряд динамики количества проданного товара фирмой, реализующей условный товар в одном из регионов РФ в отчетном году

Вывод 1. Как показывают данные табл. 8.3, значения скользящей средней, освобожденной от случайных колебаний, с начала года систематически возрастали, но с середины и до конца отчетного года методически снижались.

Вывод 2. Рисунок 8.3 показывает, что в результате обработки исследуемого ряда динамики методом скользящей средней проявилась тенденция, которую на первый взгляд легче всего представить как «перевернутую» параболу. Такая кривая чаще всего характеризует жизненный цикл товара. Однако у нас на этом этапе исследования были взяты данные только за один, пятый год наблюдения. Поэтому при изучении данных за более продолжительный период времени не исключено, что мы увидим, как этот цикл каждый год будет повторяться.

3. Метод аналитического выравнивания — построение теоретической (аналитической) кривой и уравнения динамики.

В отличие от двух предыдущих методов (укрупнения интервалов, скользящей средней) метод аналитического выравнивания позволяет не только выравнять данные, но и определить на основе аналитического уравнения (а также соответствующей кривой) наиболее адекватную форму развития изучаемого явления.

Выбор формы кривой осуществляется на основе принятого критерия, в качестве которого служит сумма квадратов отклонений фактических значений от рассчитанных по уравнению тренда. Из совокупности кривых выбирается та, которой соответствует минимальное значение данного критерия. Этот метод называется методом наименьших квадратов (МНК).

От эмпирической кривой переходят к теоретической (аналитической) кривой, наиболее приближенной к первой. Теоретическая кривая отражает корреляционную зависимость уровней ряда от времени и выражает основную тенденцию развития явления во времени.

Уравнение динамики у = f(t),a также теоретическую (аналитическую) кривую динамики принято называть трендом. В общем смысле: тренд — статистическая закономерность развития явления во времени.

Наиболее распространены следующие модели тренда:

А. Линейная форма

где а — начальный уровень тренда в момент или период, принятый за начало отсчета времени t; b — абсолютный прирост (сокращение) — const; у — выравненные значения ряда динамики.

Б. Параболическая форма

где с — квадратический параметр, равный половине ускорения, — const.

Существуют и другие модели тренда.

Рассмотрим аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой и параболе.

Аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой

Аналитическое уравнение прямой имеет вид (8.31)

у = а Ы.

Параметры уравнения а и b определяются на основе МНК.

Система нормальных уравнений в данном случае имеет вид

Отсчет времени можно производить так, чтобы сумма показателей времени ряда динамики была равна нулю:

При нечетном числе уровней ряда динамики для достижения равенства (8.34) уровень, находящийся в середине ряда, условно принимается за начало отсчета времени, т.е. этому периоду времени (или моменту) придается нулевое значение. Все последующие за нулевым уровни обозначаются: 1; 2; 3 и т.д., а все предыдущие уровни в порядке расчета, начиная от нулевого, обозначаются соответственно: -1; -2; -3 и т.д.

При четном числе уровней ряда динамики для достижения равенства (8.34) уровни первой половины ряда (от конца этой половины и до начала ряда динамики) нумеруются: -1; -2; -3 и т.д., а уровни второй половины ряда (от начала этой половины и до конца ряда динамики) обознаются соответственно: 1; 2; 3 и т.д.

При соблюдении вышеуказанного принципа отсчета от условного нулевого начала система нормальных уравнений (8.33) преобразуется следующим образом:

Отсюда параметры уравнения прямой:

155

Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе

Аналитическое уравнение параболы имеет вид (8.32). Его параметры определяются на основе МНК.

Система нормальных уравнений в данном случае имеет вид

При соблюдении принципа отсчета от условного нулевого начала система нормальных уравнений (8.38) преобразуется следующим образом:

Последовательное решение системы уравнений (8.39) позволяет определить параметры уравнения параболы (8.32). Методика расчета параметров параболы представлена ниже на конкретном числовом примере в пределах рассматриваемого задания.

Сквозная задача Задание 8.3

На основании данных табл. 8.1 требуется:

1. Осуществить аналитическое выравнивание исходного

ряда динамики:

• • по прямой;
• • по параболе.
• 2. На основе выравненных данных построить аналитические кривые.
• 3. Сделать вывод.

Решение:

С целью определения параметров уравнений прямой и параболы построена вспомогательная табл. 8.4.

Таблица 8.4

Вспомогательная таблица для определения параметров уравнений прямой и параболы

При проставлении итогов графы 2 в формулу (8.36), а итогов граф 4 и 5 — в формулу (8.37) получим значения параметров уравнения прямой:

Таким образом, получили аналитическое уравнение прямой:

Для определения параметров уравнения параболы проставим итоги граф 2, 4, 5, 6 и 7 в систему уравнений (8.39):

Решение полученной системы уравнений позволило определить значения параметров уравнения параболы.

При проставлении данной формулы расчета параметра а в 3-е уравнение системы получим

Решение последнего уравнения позволило определить с:

Тогда

Таким образом, уравнение параболы имеет вид

Правильность расчета уровней выровненного ряда динамики проверяется следующим способом: сумма значений уровней эмпирического ряда у₍ должна совпадать с суммой значений уровней выровненного ряда y_ti:

При этом, для того чтобы определить, какое из полученных уравнений наиболее адекватное, надо исчислить по каждому из них среднеквадратическое отклонение (среднеквадратическую ошибку), которое определяется по следующей формуле:

где т — число параметров в уравнении тренда (для уравнения прямой т = 2, для уравнения параболы т = 3).

С целью проверки правильности полученных уравнений (прямой и параболы), а также выбора наиболее адекватной формы развития изучаемого явления построена расчетная табл. 8.5.

Расчетная таблица

Таблица 8.5

С учетом критерия (8.40) при сравнении итогов граф 3 и 4 с итогом графы 2 табл. 8.5 убеждаемся в правильности полученных уравнений прямой и параболы, так как все указанные итоги равны между собой.

На основании формулы (8.41) среднеквадратическое отклонение от тоенда прямой v = 270,333 3,132/

На основании формулы (8.41) среднеквадратическое отклонение от тренда параболы у = 339,539 3,132? – 4,563г²

Представим выравненные значения ряда динамики по прямой и параболе графически (рис. 8.4).

Рис. 8.4. Сглаживание ряда динамики количества проданного товара 30 фирмами, реализующими условный однокачественный товар в одном из регионов РФ за исследуемый год, методом аналитического выравнивания по прямой и параболе

Вывод. Сравнив полученные значения S-, для уравнения прямой и параболы, можно сделать вывод о том, что парабола более точно описывает тенденцию ряда динамики, характеризующего количество проданного условного однокачественного товара 30 фирмами одного из регионов РФ, так как величина среднеквадратического отклонения (среднеквадратической ошибки) Sp, рассчитанная для уравнения параболы, значительно меньше, чем аналогичный показатель, рассчитанный для уравнения прямой. Этот же вывод подтверждает график сглаживания ряда динамики количества проданного товара фирмами, реализующими условный однокачественный товар в одном из регионов РФ за исследуемый год, методом аналитического выравнивания по прямой и параболе. Параболическая динамика может объясняться разными причинами, в том числе наличием сезонной компоненты в развитии явления.

Аналитическое выравнивание рядов динамики широко используется при построении прогнозов на основе метода экстраполяции. Применение программных продуктов позволяет при помощи компьютеров оперативно определить адекватное уравнение тренда, на основании которого при необходимости можно делать прогноз.