НОУ ИНТУИТ | Лекция | Условная вероятность и независимость

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Условная вероятность и независимость Реферат

Независимость событий

Определение 13.
События ABProb(Acap B)=Prob(A)Prob(B)

Пример 30.
Из колоды в 36 карт наугад берут одну. Независимы ли события «вынут
туз»
и «вынута пиковая карта»?

Решение.
Вероятность вытянуть туза равна Prob(A)=frac{4}{36}=frac19mspace{1mu}Вероятность вытянуть пиковую карту равна Prob(B)=vphantom{frac12}smash{frac14}mspace{1mu}Пересечение этих событий означает появление туза пик и имеет вероятностьProb(AB)=frac{1}{36}mspace{1mu}ABProb(AB)=Prob(A)Prob(B){text.}ABвероятностьABСвойство 4.
Пусть Prob(B)>0ABProb(A{hspace{3pt}{left|right.}mspace{1mu}} B)=Prob(A)

Упражнение. Доказать по определению условной
вероятности.

Независимые события возникают, например, при повторении испытаний.
Выпадение герба и выпадение решки при двух разных бросках монеты независимы.
Любые события, относящиеся к двум разным подбрасываниям игральной кости,
независимы.

Свойство 5.
Пусть события ABProb(A)=0Prob(B)=0несовместные события не могут
быть независимыми. Зависимость между ними — просто причинно следственная:
если Acap B=emptysetAsubseteq overline BABУпражнение. Доказать с помощью свойства монотонности вероятности, что
событие Aвероятность которого равна нулю или единице,
не зависит ни от какого события BСвойство 6.
Если события ABAoverline Boverline ABoverline Aoverline BДоказательство.
Так как A=(A cap B)cup(A capoverline B)Acap BAcapoverline BProb(A)=Prob(Acap B) Prob(Acapoverline B)Prob(A capoverline B)=Prob(A)-Prob(Acap B)
		=Prob(A)-Prob(A)Prob(B)=\=Prob(A)(1-Prob(B))
		=Prob(A)Prob(overline B)Prob(A_1capldotscap A_n)=Prob(A_1)cdotldotscdotProb(A_n)A_1A_2Пример 31.
Пусть 0<Prob(A)<1A_1=A_2=A,,A_3=emptyset

что не мешает событиям

A_1

быть зависимыми:

Хотелось бы независимостью нескольких событий считать такое свойство, при
котором
любые комбинации этих событий будут независимы между собой: например,
независимы A_1cap A_2A_3cup A_4cup A_5Определение 14.
События A_1,,ldots,,A_n1le kle n1 le i_1,, ldots,, i_kle nместоравенствоЗамечание.
Если события A_1,,ldots,,A_nA_iA_jk=2

Пример 32(пример Бернштейна).

Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно
в красный, синий, зеленый цвета, а четвертая грань содержит все три цвета.
Событие ABCВероятность каждого из этих событий равна frac12mspace{1mu}Вероятность пересечения
любых двух событий равна frac14mspace{1mu}vphantom{frac1{2_2}}smash{frac14=frac12 cdot
		frac12mspace{1mu}}вероятность события ABCграни есть все три цвета) тоже
равна frac14mspace{1mu}vphantom{frac1{sum_1}}smash{frac18}mspace{1mu}равенство (4.1)
выполнено при k=2k=3

Условная вероятность

Пример 29.
Игральная кость подбрасывается один раз. Известно, что выпало
более трех очков. Какова при этом вероятность того, что выпало
нечетное число очков?

Пусть событие B= {4,,5,,6}A={1,,3,,5}вероятность события ABB456Aисход:
выпадение пяти очков.
Поэтому искомая вероятность равна 1/ 3ABABвероятность будем обозначать Prob(A{hspace{3pt}{left|right.}mspace{1mu}} B)Определение 12.
Условной вероятностью события AB

Рефераты:  Правоохранительная деятельность:понятие, основные направления - курсовая работа. Оценка - хорошо. Авторские курсовые работы за 2009-2018 год.

Условная

вероятность

определена только в случае,
когда

Prob(B)>0

Следует отличать условную вероятность
одного события при осуществлении другого
от вероятности им одновременно произойти.

Это определение бывает полезно использовать не для вычисления условной
вероятности, а для последовательного вычисления вероятности
нескольким событиям случиться одновременно, если известны
соответствующие условные вероятности.
Справедливы следующие «теоремы умножения вероятностей».

Теорема 9.
Если Prob(B)>0Prob(A)>0Теорема 10. Для любых событий A_1,, ldots,, A_nравенство:

если все участвующие в нем условные
вероятности определены.

Упражнение. Доказать теорему 10
методом математической индукции.
Доказать, что все условные вероятности в теореме 10 определены тогда и только тогда, когда Prob(A_1 ldots A_{n-1})>0

Оцените статью
Реферат Зона
Добавить комментарий