НОУ ИНТУИТ | Лекция | Условная вероятность и независимость

Независимость событий

Определение 13.
События

Пример 30.
Из колоды в 36 карт наугад берут одну. Независимы ли события “вынут
туз”
и “вынута пиковая карта”?

Решение.
Вероятность вытянуть туза равна $Prob(A)=frac{4}{36}=frac19mspace{1mu}$ Вероятность вытянуть пиковую карту равна $Prob(B)=vphantom{frac12}smash{frac14}mspace{1mu}$ Пересечение этих событий означает появление туза пик и имеет вероятность $Prob(AB)=frac{1}{36}mspace{1mu}$ вероятностьСвойство 4.
Пусть

Упражнение. Доказать по определению условной
вероятности.

Независимые события возникают, например, при повторении испытаний.
Выпадение герба и выпадение решки при двух разных бросках монеты независимы.
Любые события, относящиеся к двум разным подбрасываниям игральной кости,
независимы.

Свойство 5.
Пусть события несовместные события не могут
быть независимыми. Зависимость между ними – просто причинно следственная:
если Упражнение. Доказать с помощью свойства монотонности вероятности, что
событие вероятность которого равна нулю или единице,
не зависит ни от какого события Свойство 6.
Если события Доказательство.
Так как $Prob(A capoverline B)=Prob(A)-Prob(Acap B) =Prob(A)-Prob(A)Prob(B)=\=Prob(A)(1-Prob(B)) =Prob(A)Prob(overline B)$ Пример 31.
Пусть

что не мешает событиям

быть зависимыми:

Хотелось бы независимостью нескольких событий считать такое свойство, при
котором
любые комбинации этих событий будут независимы между собой: например,
независимы Определение 14.
События месторавенствоЗамечание.
Если события

Пример 32(пример Бернштейна).

Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно
в красный, синий, зеленый цвета, а четвертая грань содержит все три цвета.
Событие Вероятность каждого из этих событий равна $frac12mspace{1mu}$ Вероятность пересечения
любых двух событий равна $frac14mspace{1mu}$ $vphantom{frac1{2_2}}smash{frac14=frac12 cdot frac12mspace{1mu}}$ вероятность события грани есть все три цвета) тоже
равна $frac14mspace{1mu}$ $vphantom{frac1{sum_1}}smash{frac18}mspace{1mu}$ равенство (4.1)
выполнено при

Условная вероятность

Пример 29.
Игральная кость подбрасывается один раз. Известно, что выпало
более трех очков. Какова при этом вероятность того, что выпало
нечетное число очков?

Пусть событие вероятность события исход:
выпадение пяти очков.
Поэтому искомая вероятность равна вероятность будем обозначать Определение 12.
Условной вероятностью события

Рефераты: Реферат: Центральный Банк РФ: роль и тенденции развития в экономике России -

Условная

вероятность

определена только в случае,
когда

Следует отличать условную вероятность
одного события при осуществлении другого
от вероятности им одновременно произойти.

Это определение бывает полезно использовать не для вычисления условной
вероятности, а для последовательного вычисления вероятности
нескольким событиям случиться одновременно, если известны
соответствующие условные вероятности.
Справедливы следующие “теоремы умножения вероятностей”.

Теорема 9.
Если Теорема 10. Для любых событий равенство:

если все участвующие в нем условные
вероятности определены.

Упражнение. Доказать теорему 10
методом математической индукции.
Доказать, что все условные вероятности в теореме 10 определены тогда и только тогда, когда $Prob(A_1 ldots A_{n-1})>0$