§ 5. ревизия и ремонт силовых трансформаторов
Трансформатор направляется в ремонт при наличии следующих внешних признаков неисправного состояния: сильное внутреннее потрескивание или неравномерный шум; возрастание нагрева при нормальной нагрузке и охлаждении; выброс масла из расширителя или разрушение диафрагмы выхлопной трубы; течь масла и понижение нормального уровня масла по маслоуказателю; неудовлетворительные результаты химического анализа масла.
Естественное старение и износ изоляции, а также систематическая перегрузка трансформатора и динамические усилия при сквозных токах короткого замыкания приводят к витковым замыканиям в катушках высокого и низкого напряжения трансформатора.Увлажнение масла и старение изоляции обмоток, как правило, влекут за собой серьезные неисправности – замыкание на корпус (пробой на корпус) и междуфазные замыкания в обмотках трансформатора.
Иногда происходит обрыв электрической цепи в результате отгорания отводов обмотки, разрушения соединений из-за низкого качества пайки или сварки отводов.В отдельных случаях встречается неисправность в виде “пожара в стали”, которая бывает вызвана нарушениями межлистовой изоляции или изоляции стяжных болтов, а также образованиями короткозамкнутого контура при повреждении изоляционных прокладок между ярмом и магнитопроводом.
Это повреждение приводит к возрастанию нагрева корпуса и масла при нормальной нагрузке, гудению и потрескиванию трансформатора.Увеличение тока холостого хода по сравнению с заводскими данными, как правило, происходит за счет ослабления шихтованного пакета магнитопровода.
Перегрев трансформатора может определяться низким уровнем масла, в результате чего обнаженная часть обмотки и активной стали перегреваются. Убедившись в отсутствии течи масла из бака, доливают масло до нормального уровня.Ненормальное гудение в трансформаторе наблюдается при ослаблении опрессовки шихтованного магнитопровода, нарушении опрессовки стыков, вибрации крайних листов магнитопровода, а также в случаях перегрузки, работы на повышенном напряжении или при большой несимметрии фаз.
Потрескивание внутри трансформатора показывает на перекрытие (но не пробой) обмоток или отводов на корпус вследствие перенапряжения. Обрыв заземления также влечет за собой потрескивание, так как при обрыве могут происходить разряды обмотки или отводы на корпус, что воспринимается как треск внутри трансформатора.
Пробой обмоток на корпус или между обмотками высшего и низшего напряжений, или между фазами одного напряжения чаще всего происходит за счет перенапряжения, резкого ухудшения качества масла, понижения уровня масла, старения изоляции.Обрывы в обмотках являются следствием плохого выполнения пайки или сварки проводов обмоток или повреждений в проводах, соединяющих концы обмоток с выводами.
Обрывы чаще всего происходят в местах изгиба кольца провода под болт вывода. В этих случаях вывод выполняют гибким соединением (демпфером).Неудовлетворительный контакт в одном из зажимов или внутри обмотки фазы, а также обрыв в первичной обмотке трансформатора, соединенного по схеме треугольник – звезда, треугольник – треугольник или звезда – звезда, приводят к отклонению вторичного напряжения от заданного значения (вторичное напряжение неодинаково по фазам при нагрузке или при нагрузке и холостом ходе).
Трещины в изоляторах, понижение уровня масла в трансформаторе при загрязнении их внутренней поверхности приводят к пробою вводов на корпус, а при повреждении изоляции отводов – к перекрытию между вводами отдельных фаз.Иногда из-за нарушения сварного шва арматуры или образования трещин в баке от механических или температурных воздействий происходит течь масла из бака трансформатора.
При повреждении прокладки из маслоупорной резины во фланцевых соединениях также происходит утечка масла.Нарушение регулировки переключающего устройства приводит к отсутствию контакта, а термическое воздействие на контакты при коротких замыканиях вызывает оплавление контактной поверхности переключателя напряжения трансформатора.
Повреждения внешних частей трансформатора легко обнаружить при внешнем осмотре, а внутренних деталей – только путем различных испытаний и измерений. Однако результаты измерений и испытаний не могут определить объемы повреждений и соответственно объемы работ.
Поэтому для определения категории ремонта проводят дефектацию трансформатора, т. е. комплекс работ по выявлению характера и степени повреждения его частей. На основании дефектации определяют причины и масштабы повреждений, объем и технологическую последовательность ремонта трансформатора, а также необходимые материалы, инструменты, приспособления для производства ремонта.
Последовательность операций при разборке трансформатора состоит в следующем.Из расширителя сливают масло, снимают газовое реле и расширитель и ставят заглушку на отверстие в крышке бака. С помощью грузоподъемных устройств (кран, таль) стропами за кольца поднимают крышку с активной частью трансформатора.
Приподняв ее на 10 – 15 см, осматривают состояние и положение уплотняющей прокладки, отделяют ножом ее от рамы бака и сохраняют для повторного применения. После этого извлекают из бака активную часть.У трансформаторов небольшой мощности иногда вводы расположены на стенках бака.
В этом случае вначале снимают крышку, сливают масло из бака на 10 см ниже изоляторов ввода и, отсоединив вводы, снимают изоляторы, а затем вынимают активную часть.Разборку, осмотр и ремонт трансформатора производят в сухом закрытом и приспособленном для производства таких работ помещении.
Вынув полностью активную часть из бака и приподняв ее на 20 см, бак отодвигают в сторону, а активную часть устанавливают на сколоченном из оструганных чистых досок помосте высотой 30 – 50 см для удобства осмотра, дальнейшей разборки и ремонта. До начала осмотра обмотки очищают от грязи и промывают струей нагретого до 35 – 40 °С трансформаторного масла.
При ревизии трансформатора с выемкой активной части проверяют состояние отдельных блоков:магнитопровода – плотность сборки и качество шихтовки; прочность креплений ярмовых балок;состояние изоляционных гильз, шайб и прокладок, степень затяжки гаек, шпилек, стяжных болтов;состояние заземления;обмоток – расклиновку на стержнях магнитопровода и прочность посадки обмоток;отсутствие следов повреждений;состояние изоляционных деталей;прочность соединений выводов, демпферов;переключающих устройств – прочность присоединений отводов обмоток и состояние контактов переключателя;четкость действия механизма;целость изоляции отводов, прочность крепления всех деталей переключателя;внешних частей – расширителя, бака, наружной части вводов, пробивного предохранителя;маслоуказателей и других приборов, отсутствие вмятин на циркуляционных трубах и течи масла из сварных швов, фланцевых и других уплотнений.
При капитальном ремонте трансформатора после разборки его и выемки активной части в случае необходимости разбалчивают и расшихтовывают ярмо магнитопровода и снимают катушки.В эксплуатации находится большое количество трансформаторов, магнитопроводы которых стянуты горизонтальными шпильками, проходящими в отверстия пластин, и изолированными от магнитопровода.
Изоляция горизонтальных стяжных шпилек часто повреждается и это приводит к замыканиям стальных пластин, что вызывает сильный местный нагрев железа, выгорание изоляционных гильз стяжных шпилек и изоляции пластин магнитопровода.Во время ремонта магнитопровода такой конструкции изоляционную гильзу заменяют новой или изготовляют ее из кабельной бумаги толщиной 0,12 мм, для чего бумагу наматывают на шпильку пропитывают бакелитовым лаком и запекают.
Размеры изоляционных трубок для стяжки пластин: для шпилек диаметром 12 – 25 мм стенки трубок должны иметь толщину 2 – 3 мм; для 25 – 50 мм – 3 – 4 мм; для 50 – 70 мм – 5 – 6 мм. Диаметр нажимной шайбы должен быть на 4 мм меньше диаметра изоляционной шайбы.
Шайбы и прокладки изготовляют из электротехнического картона толщиной 2 – 5 мм.Для восстановления изоляции пластин магнитопровода предварительно удаляют старую изоляцию металлической щеткой или кипячением листов в воде, если они покрыты битумной изоляцией, или в 10%-ном растворе едкого натра, если они покрыты другими изоляционными лаками.
Затем на подогретый до 120 °С стальной лист пульверизатором наносят смесь из 90% лака № 202 горячей сушки и 10% чистого фильтрованного керосина. Можно использовать для изоляции пластин глифталевый лак № 1154 и растворители бензол и бензин. Пластины с нанесенным слоем изоляции сушат при 25 °С в течение 7ч.
При восстановлении бумажной изоляции применяют папиросную бумагу толщиной 0,03 мм. В этом случае на стальную пластину, очищенную от остатков старой изоляция и масла, наносят кистью крахмальный клей, затем накладывают бумагу и разглаживают ее чистой тряпкой.
Для лакировки пластин на ремонтных предприятиях применяют специальные лакировальные станки, а для запекания и сушки пленки – специальные печи.В отдельных случаях пластины магнитопроводов оказываются настолько поврежденными, что их невозможно более использовать.
В этих случаях по образцам или шаблонам изготовляют новые листы стали. Раскрой листов выполняют так, чтобы длинная сторона была обязательно вдоль проката листа.Для изготовления отверстий для стяжных шпилек в пластинах используют штамп, так как сверлить листы трансформаторной стали нельзя.
Вновь изготовленные пластины покрывают изоляционным слоем вышеуказанными способами.После сборки и шихтовки магнитопровода измеряют сопротивление его межлистовой изоляции методом амперметра – вольтметра. В качестве источника напряжения используется аккумуляторная батарея напряжением 12 В.
В схему, показанную на рис. 28, включены амперметр со шкалой на 5 А, вольтметр со шкалой на 12 В и ползунковый реостат на 50 – 100 Ом. Для измерения сопротивления изоляции две медные заостренные пластины вставляют между пластинами магнитопровода на глубину 40 – 50 мм и реостатом устанавливают ток 2 – 2,5 А.
Состояние изоляции считается удовлетворительным, если сопротивления изоляции симметричных пакетов не отличаются друг от друга более чем в 1,5 раза и в 2 раза от соответствующих заводских данных.При осмотре обмоток вынутой активной части трансформатора могут быть обнаружены некоторые повреждения, которые можно устранить без их демонтажа (ослабление прессовки обмоток, небольшая деформация отдельных витков, повреждение участков изоляции проводника, отсоединение выводов от переключающего устройства и т. д.).
При серьезных повреждениях (пробой изоляции между обмотками высшего и низшего напряжения, oплавление проводов, витковые замыкания, пробой изоляции обмоток низшего напряжения на сталь магнитопровода и др.) обмотки демонтируют для их ремонта или замены новыми.
Для снятия отмоток отвертывают верхние гайки вертикальных и гайки горизонтальных шпилек, вынимают их из отверстий в ярме, снимают ярмовые балки. После этого приступают к расшихтовке верхнего ярма магнитопровода, начиная с крайних пакетов, вынимая по две-три пластины.
Снятые пластины складывают в той же последовательности, в какой извлекали из ярма, и связывают в пакеты. После разборки верхнего ярма приступают к демонтажу обмоток.Обмотки мощных трансформаторов демонтируют с помощью подъемных приспособлений.Ремонт обмоток является одной из наиболее ответственных операций.
Провод поврежденных катушек трансформаторов используют для дальнейшей эксплуатации. Для этого катушку обжигают в печи при температуре 450 – 500 °С, разрыхляют старую изоляцию и полностью очищают провод. После очистки провод рихтуют, протягивая между сжатыми деревянными плашками, изолируют кабельной бумагой или тафтяной лентой в два слоя с перекрытием одного на другой.
Для этого используют специальные изолировочные станки или приставки к токарному станку. Обмотки наматывают на шаблон, на который предварительно намотан слой электротехнического картона толщиной 0,5 мм. Катушку пропитывают лаком ТФ-95 и запекают при температуре 100 °С в течение 10 ч в печи.
Для намотки новых катушек трансформаторов небольшой и средней мощности используют различные станки. На рис. 29 показан консольный намоточный станок, предназначенный для намотки катушек трансформаторов мощностью до 630 кВА. Электродвигатель вмонтирован в станину 2 станка.
Шаблон представляет собой два деревянных встречных клина 9, зажатых текстолитовыми дисками 7 и закрепленных гайками 8. Шаблон установлен на консольном шпинделе 6 станка, и вращение ему передается от электродвигателя через ременную передачу.
Станок снабжен счетчиком витков 4, учитывающим число витков провода, намотанных на шаблон (катушку). Для снятия с шаблона готовой катушки достаточно отвернуть гайку 5, снять правый диск и развести клинья 9 шаблона.
Пуск и остановку станка производят педалью 10, соединенной с муфтой сцепления 5.Клиновой шаблон можно также установить на валу, закрепленном в кулачке обычного токарного станка.При намотке катушек барабаны с проводом устанавливают на козлы и специальным зажимом обеспечивают необходимое натяжение провода при намотке.
 |
Рис. 29. Консольный станок для намотки обмоток трансформатора: |
Конец провода закрепляют петлей тафтяной ленты в вырезе упорного диска и пускают намоточный станок. При намотке катушки пользуются чертежами и расчетной запиской. Переходы с одной катушки на другую производят выгибом провода при помощи приспособлений, указанных на рис. 30. Места переходов провода изолируют электрокартонными коробочками, закрепленными на проводе тафтяной лентой. Все переходы выполняют в одном и том же пролете, т. е. в пространстве между одними и теми же двумя рейками. По окончании намотки выполняют наружные или внутренние отводы, тщательно изолируют их и располагают в том положении, как указано на чертеже. После этого на торцах катушки устанавливают опорные изоляционные кольца.
Готовую катушку помещают в сушильную камеру или вакуум-сушилку при температуре около 100 °С на 10 – 20 ч в зависимости от объема, конструкции и степени увлажнения обмотки. После сушки обмотку прессуют для достижения необходимой высоты, на 20 – 30 мин опускают в ванну с глифталевым лаком при температуре 60 – 80 °С для пропитки и после стекания лака помещают в сушильную камеру на 4 ч при температуре 100 °С.
Если лак образует твердую глянцевую и эластичную пленку, сушка считается достаточной и законченной.
Сушка повышает электрическую прочность изоляции обмотки, запечка придает монолитность и необходимую механическую прочность.
При ремонте трансформатора осматривают и ремонтируют все его части: бак, расширитель, вводы, переключатель напряжения, термосифонный фильтр.
Внутреннюю поверхность бака очищают металлическим скребком, после чего промывают отработанным маслом. При необходимости выправляют погнутости и вмятины предварительно нагретого участка бака легкими ударами молотка, подложив с противоположной стороны удара металлический упор. Волосяные трещины сварочных соединений чеканят или паяют, а крупные трещины – заваривают. Трещины в трубе заваривают электросваркой, а на ребре и стенке корпуса – газосваркой. После этого проверяют качество заделки, для чего с наружной стороны швы зачищают и покрывают мелом, а изнутри смачивают керосином. Если шов неплотный, керосин протекает и смачивает мел, который темнеет. Герметизацию корпуса проверяют заливкой бака до бортов отработанным маслом на 1 ч при температуре не ниже 10° С.
Рис. 30. Приспособления для выгибания прямоугольных обмоточных проводов и шин:
а – на плоскость, б – на ребро
Ремонт расширителя заключается в проверке целости стеклянной трубки маслоуказателя, исправности запорного болта, состояния уплотняющих прокладок. Если при осмотре выявлено, что неисправно плоское стекло или треснула стеклянная трубка маслоуказателя, а также повреждены и потеряли упругость резиновые прокладки, то во время ремонта эти детали и уплотнения меняют.
Прокладки изготовляют из маслостойкой резины. Со дна расширителя удаляют осадок и влагу, промывают его чистым маслом. Проверяют исправность крана, находящегося на маслопроводе между баком и расширителем. Если пробка крана неплотно прилегает к месту посадки в корпусе крана, то эти поверхности притирают мелким абразивным порошком, а непригодную сальниковую набивку заменяют новой, которую готовят из асбестового шнура, пропитанного в смеси из жира, парафина и графитового порошка.
На предохранительной трубе проверяют прочность и герметичность крепления стеклянной диафрагмы. Поврежденную диафрагму и потерявшие упругость резиновые прокладки заменяют новыми. Внутреннюю часть трубы очищают от грязи и промывают чистым трансформаторным маслом.
В трансформаторах старых конструкций для ремонта фланцевых вводов необходимо снимать крышку и вынимать активную часть из бака.В настоящее время применяются съемные вводы и замену фарфоровых изоляторов производят без подъема активной части. Для этого достаточно отвернуть с токопроводящего стержня верхние гайки, раскрепить устройство, прижимающее ввод к крышке, снять с ввода колпак и находящееся под ним уплотняющее резиновое кольцо, после чего заменить изолятор и собрать ввод вновь.
Наиболее часто в армированных вводах повреждаются армировочные швы в том месте, где соединяются фарфоровые изоляторы с металлическими фланцами. Причиной этого повреждения является воздействие на изолятор переменных температур, которые вызывают значительные механические усилия вследствие различных коэффициентов расширения металла и фарфора.
Иногда нарушения швов вызывают электродинамические силы токов короткого замыкания, которые воздействуют на ввод при их прохождении чepeз токопроводящий стержень.Если на изоляторе обнаружены сколы площадью не более 3 см2 или царапины глубиной не более 0,5 мм, то эти места промывают бензином и покрывают двумя слоями бакелитового лака, просушивая каждый слой в сушильном шкафу при температуре 50-60 °С.
Изоляторы с большими дефектами заменяют новыми. Старый изолятор нагревают автогенной горелкой до 100 °С, а фланец – до такого состояния, при котором армировка начинает трескаться и высыпаться. Легким постукиванием молотка по фланцу освобождают его от изолятора.
Внутрь колпака укладывают новую резиновую прокладку, вставляют новый изолятор и заливают цементирующий состав. После остывания поверхность шва покрывают эмалью 624С.Вводы, в которых армировочные швы разрушены менее чем на 30% относительно длины окружности, ремонтируют.
Для этого расчищают зубилом поврежденный участок шва и заливают вводы новым цементирующим составом (рис. 31). При размерах разрушения армировочного шва более 30% ввод переармируют. Цементирующий состав на порцию для одного ввода приготовляют из смеси, состоящей (по массе) из 140 ч.
магнезита, 70 ч. фарфорового порошка и 170 ч. раствора хлористого магния. Этот состав пригоден к использованию в течение 20 мин.Термосифонный фильтр (рис. 32), служащий для непрерывного восстановления трансформаторного масла, при ремонте очищают от остатков старого сорбента, промывают внутреннюю полость трансформаторным маслом, заполняют новым поглощающим веществом и прочно присоединяют к баку трансформатора фланцевыми соединениями.
При ремонте переключателей проверяют качество контактных соединений. Слегка закопченные контакты очищают, промывают бензином и трансформаторным маслом, сильно обгоревшие и оплавленные контакты опиливают напильником, а разрушенные – заменяют новыми.
В переключателях могут быть повреждения изоляционных деталей (трубка, цилиндр ) в виде сколов, трещин, нарушений лаковой поверхности и царапин. Небольшие повреждения изоляции восстанавливают путем покрытия их двумя слоями бакелитового лака, а детали, имеющие большие сколы и трещины, заменяют.
При необходимости перепаивают отводы к обмоткам, используя для этого припой ПОС-40.После ремонта переключатель собирают, протирают ветошью место установки, осматривают сальниковое уплотнение и при необходимости заменяют. Затянув сальниковую пробку, ставят на место ручку переключателя и затягивают шпильки.
Качество работы переключателя проверяют путем изменениям положения его для определения плотности прилегания контактных колец к контактным стержням. При переключении в положение І, II и III, что соответствует фазам А, В и С, должны быть четко слышны щелчки, а фиксирующие шпильки в переключаемых положениях должны входить в свои гнезда.
Ремонт крышки заключается в устранении коробления или вогнутости ее и заварки трещин. Вогнутости выравнивают ударами молотка (кувалды), предварительно нагрев места паяльной лампой. На концах трещин просверливают сквозные отверстия диаметром 2 – 3 мм, трещины обрабатывают, снимают фаски кромок углом 45° и заваривают электросваркой, а шов зачищают заподлицо с поверхностью крышки.
Процесс сборки трансформатора после ремонта состоит из насадки обмоток и их расклинивания, шихтовки и прессовки верхнего ярма магнитопровода, сборки и соединения схемы обмоток. До начала насадки обмоток стержни магнитопровода плотно стягивают лентой, пропущенной через отверстия в них.
Насадка обмоток на стержни магнитопровода трансформатора начинается с крайних фаз обмоток низшего напряжения, а затем на них устанавливают обмотки высшего напряжения. Насадку производят без применения молотков, так как это может привести к деформации обмоток и повреждению изоляции.
Отводы обмоток низшего и высшего напряжений располагают с противоположных сторон. После насадки обмотки расклинивают буковыми планками и круглыми стержнями, для чего между обмотками укладывают две электрокартонные обертки. Предварительно натертые парафином буковые планки сначала вставляют на глубину 30 – 40 мм, а затем забивают поочередно противоположно расположенными парами.
Планки, туго входящие в щель между электрокартонными обертками, обстругивают, а под слабо входящие планки подкладывают полоски электрокартона. После расклинивания обмоток высшего напряжения таким же образом расклинивают обмотки низшего напряжения круглыми стержнями, забиваемыми между цилиндром и ступенями стержня магнитопровода по всей длине обмотки.
После окончания расклиновки устанавливают верхнюю ярмовую изоляцию и выгибают концы обмоток, подготавливая их к пайке отводов при соединении схемы. После этого приступают к шихтовке верхнего ярма магнитопровода.Шихтовка ярма заключается в последовательной установке пластин ярма магнитопровода, при которой один их слой располагается между слоями пластин стержня, а следующий – встык с этим слоем.
Хорошо сшихтованное ярмо не имеет зазоров между слоями пластин, пропусков и перекрытий в месте стыка.Начинают шихтовку верхнего ярма с центрального пакета среднего стержня. Пластины закладывают изолированной стороной внутрь ярма. После зашихтовки средней части центрального пакета приступают к крайним пакетам, начиная с длинных пластин и не допуская перекрытия узких пластин стержней и зазоров в стык.
В процессе шихтовки следят за тем, чтобы отверстия в пластинах точно совпадали с отверстиями в стержнях, иначе в эти отверстия не пройдут стяжные шпильки в изоляционных трубках, выравнивание пластин во время шихтовки производят ударами молотка по куску медной или алюминиевой шины, проложенной вдоль пластин.
После выравнивания верхнего ярма приступают к установке на магнитопроводе верхних ярмовых балок и прессовке с их помощью магнитопровода и обмоток. На рис. 33 показаны варианты изоляции ярмовых балок и стяжных шпилек в трансформаторах мощностью до 630 кВ*А и выше 1000 кВ*А.
В трансформаторах I и II габаритов ярмовые балки изолируют от пластин электрокартонной прокладкой (рис. 33, а) толщиной 2 – 3 мм, а в трансформаторах III габарита применяют такие же прокладки, но с приклепанными к ним вертикальными картонными планками, которые образуют масляные каналы (рис. 33, б).
Ярмовые балки устанавливают с обеих сторон верхнего ярма магнитопровода, а в отверстия в полках балок вводят четыре вертикальные стяжные шпильки с бумажно-бакелитовыми трубками. На концы шпилек надевают картонные и стальные шайбы и затягивают гайками.
 |
Рис. 33. Изоляция ярмовых балок и стяжных шпилек от активной стали: |
Заземление верхних ярмовых балок осуществляют несколькими медными лужеными лентами, которые устанавливают одним концом между пластинами верхнего ярма на расстоянии 10 – 15 см от края пакета и на глубину 65 – 70 мм, а другой ее конец зажимают между ярмовой балкой и активной частью на стороне низшего напряжения.
Медная луженая лента имеет размеры 0,3x30x120 мм.После установки заземляющих лент начинают затягивать гайки на стяжных шпильках и одновременно прессуют верхнее ярмо. Равномерно затягивая торцевым ключом гайки, прессуют обмотку, а затем окончательно спрессовывают верхнее ярмо.
После этого измеряют мегаомметром сопротивление изоляции шпилек и, если все в норме, раскернивают гайки на шпильках в трех местах, чтобы они не отвинчивались при работе трансформатора.При ремонте трансформатора изоляцию стяжных шпилек и ярмовых балок магнитопровода проверяют мегаомметром на 1000 – 2500 В.
Значение сопротивления изоляции не нормируется, но по опытным данным известно, что сопротивление изоляции этих частей магнитопровода должно быть не менее 10 МОм.Для соединений обмоток концы тщательно зачищают на длину провода 15 – 30 мм в зависимости от их сечения, соединяют скобочкой из луженой медной ленты толщиной 0,25 – 0,4 мм или бандажом из луженой медной проволоки толщиной 0,5 мм.
В качестве флюса при пайке припоем ПОС-40 применяют канифоль или буру.В трансформаторах большой мощности для соединения концов обмоток применяется медно-фосфорный припой (92,5% меди и 75% фосфора). Температура плавления его 715°С. Пайку этим припоем производят паяльными щипцами.
После пайки соединения очищают, изолируют бумагой и лакотканью шириной 20 – 25 мм и покрывают лаком ГФ-95. С помощью отводов концы обмотки трансформатора соединяют с контактами переключателя и стержнями вводов.Отвод представляет собой отрезок круглого провода или прямоугольной шины с демпфером на одном конце, который служит для предохранения отвода от отрыва как при перемещении сердечника внутри бака во время транспортировки, так и для компенсации отклонений расстояний между магнитопроводом и крышкой бака по вертикали.
При ремонте используют старые отводы, но если они оказываются поврежденными, то изготовляют новые из такого же провода. Для отводов обмоток высшего напряжения применяются изолированные провода марки ПБ или гибкий кабель марки ПБОТ, а для отводов обмоток низшего напряжения – неизолированные медные провода. На рис. 34 показаны соединения пайкой или сваркой отводов с демпферами с обмотками высокого напряжения. Пайку производят внахлестку припоем ПОС-40 или медно-фосфорным припоем. Места присоединения отводов к концам обмоток изолируют крепированной бумагой или лакотканью шириной 25 – 30 мм, затем оплетают слоем тафтяной ленты шириной 15 – 20 мм и покрывают двумя слоями лака ГФ-95 и одновременно покрывают этим лаком отводы по всей длине. Если изоляция отводов из круглого провода по всей длине сделана из бумажно-бакелитовых трубок, то лакотканью изолируют только стыки трубок.
Собранную полностью активную часть сушат в печи или методом нагрева от индукционных потерь в стальном корпусе бака трансформатора. В процессе сушки удаляется влага из изоляционногo материала (дерево, электротехнический картон, бумага), который впитал влагу из окружающего воздуха.
Сушка трансформатора методом нагрева от индукционных потерь в стальном корпусе бака заключается в том, что при прохождении переменного тока по временной обмотке, наложенной на поверхность бака, образуется сильное магнитное поле, которое, зажигаясь через сталь корпуса бака, нагревает его. Для нагрева этим методом бак трансформатора утепляют одним или двумя слоями листового асбеста или стеклоткани, накладывают временную намагничивающую обмотку, выполненную из провода марки ПДА с асбестовой изоляцией. Количество витков обмотки зависят от размеров трансформатора и определяется по формуле
где U – напряжение питания, В; L – периметр бака, м; А – коэффициент пропорциональности, зависящий от удельной мощности 
2.
Для нагрева стенок бака 
2, а для нагрева днища трансформатора электропечами 
2.
Мощность Р (кВт) для нагрева трансформатора определяют по формуле 
где h – высота бака, занятая обмоткой, м.
Сечение провода намагничивающей обмотки выбирают в зависимости от тока:
где cos
Режим сушки изоляции трансформатора методом индукционных потерь в стали бака устанавливают согласно приведенному ниже:
равномерное повышение температуры стенок бака по 10 – 20 °С в течение 1 ч до 80 °С – 4 – 6 ч;
равномерное повышение температуры бака по 10 °С в течении 1 ч до 115 – 120 °С – 4 – 6ч;
снижение температуры трансформатора до 50 – 60° С – 1 – 3 ч;
повышение температуры в баке и прогрев сердечника до температуры 115 – 120 °С – 3 – 8 ч;
поддержание температуры 115 – 120 °С – 6 – 8ч;
постепенное снижение температуры сердечника до 60 – 80 °С – 3 – 5 ч;
заливка бака чистым маслом при 60 – 80 °С – 1 – 2 ч;
охлаждение трансформатора до 40 – 50° С – 2 – 3 ч;
выемка активной части и ревизия – по истечении 8 – 12 ч после заливки маслом.
В процессе нагрева температура воздуха в баке поднимается максимально до 105 °С. Сушку заканчивают, когда сопротивление изоляции обмоток практически не меняется в течение 6 – 8 ч при постоянной температуре в баке 105 °С. Температура сердечника в момент ревизии должна быть на 10 – 20 °С выше температуры окружающего воздуха.
После окончания сушки производят подпрессовку обмоток вертикальными шпильками и подтягивают гайки на прессуемых шпильках верхнего и нижнего ярм магнитопровода. После этого проверяют сопротивление изоляции обмоток, стяжных шпилек и ярмовых балок.
Временно соединяют обмотки трансформатора по требуемой схеме и определяют коэффициент трансформации на всех ответлениях и группу соединения обмоток.
При сборке трансформатора малой мощности без расширителя, вводы которого расположены на стенках бака, сначала в бак опускают активную часть, устанавливают вводы, присоединяют отводы от обмоток к ним и переключателю, а затем закрепляют крышку бака.
Крышки трансформаторов I и II габаритов устанавливают на подъемных шпильках активной части и комплектуют необходимыми деталями, а более мощных – комплектуют отдельно и в собранном виде устанавливают на подъемных шпильках активной части или в баке.
 | |
Рис. 35. Герметизация бака маслостойкой резиновой прокладкой: | Рис.36. Расположение расширителя, газового реле и предохранительной трубы на крышке трансформатора: |
При сборке обращают внимание на правильность установки уплотняющих прокладок, а также прочность затяжки гаек. При установке подъемных шпилек их длину регулируют так, чтобы активная часть трансформатора и крышка правильно стояли на своих местах.Необходимую длину подъемных шпилек определяют деревянной рейкой, замеряя глубину бака и расстояние от нижней точки опоры магнитопровода до места расположения нижней гайки на верхнем конце шпильки.
Регулируют длину путем перемещения на шпильках гаек.Активную часть с закрепленной на ней крышкой с помощью подъемных устройств опускают в бак, уложив уплотняющую прокладку из маслостойкой листовой резины толщиной 6 – 12 мм под крышку. Для исключения возможности вдавливания ее внутрь бака применяют несколько способов, указанных на рис. 35.
Чтобы прокладка при установке крышки не сместилась, ее приклеивают к раме бака. Крышку монтируют на раме бака, равномерно затягивая болты по всему периметру. После этого на крышке устанавливают кронштейны, на которых крепят болтами расширитель с маслоуказателем, предохранительную трубку с проверенной стеклянной диафрагмой, газовое реле и пробивной предохранитель (рис. 36).
Трансформатор заполняют чистым трансформаторным маслом до требуемого уровня по маслоуказателю расширителя, проверяют герметичность арматуры и деталей, а также отсутствие течи масла из соединений и швов.При отсутствии дефектов, препятствующих нормальной и безопасной работе, трансформатор подвергают электрическим испытаниям, объемы и нормы которых установлены правилами технической эксплуатации.
После окончательной сборки трансформатора его подвергают следующим испытаниям: измеряют сопротивление изоляции обмоток; определяют коэффициент трансформации; измеряют сопротивление обмоток постоянному току; проверяют группы соединения обмоток; измеряют потери и ток холостого хода; измеряют потери и напряжение короткого замыкания; испытывают герметичность бака; испытывают электрическую прочность изоляции.
Испытания электроустановки
Техническое освидетельствование электроустановок проводится на основании Правил технической эксплуатации электроустановок потребителей, утвержденных приказом Минэнерго России (Приказ Минэнерго от 13.01.2003 г. №6, п.1.6.7.) и в соответствии с ГОСТ Р 50571.16-2007 (МЭК 60364-6:2006) «Электроустановки низковольтные. Часть 6. Испытания», которые регулируют процесс проведения технического освидетельствования. В случае переоформления документации опираться на внутреннее распоряжение Московской городской электросетевой компании от 10.04.2007г. №359 или заменяющий (соответствующий) документ.
Согласно законодательства Российской Федерации при осуществлении деятельности по проведению испытаний и измерений параметров электроустановок с последующим оформлением протоколов, лаборатория для таких испытаний в обязательном порядке должна быть зарегистрирована.
В зависимости от типа электролаборатории различаются и проводимые в ней испытания:
Лаборатория до 1000 В:
Проверка состояния элементов заземляющих устройств электроустановок.
Проверка наличия цепи и замеры переходных сопротивлений между заземлителями и заземляющими проводниками, заземляемым оборудованием (элементами) и заземляющими проводниками.
Измерение удельного сопротивления земли.
Измерение сопротивления заземляющих устройств всех типов.
Измерение сопротивления изоляции кабелей, обмоток электродвигателей, аппаратов, вторичных цепей и электропроводок и электрооборудования напряжением до 1000 В.
Измерение полного сопротивления петли «фаза-нуль» (тока однофазного короткого замыкания) в установках с глухозаземлённой нейтралью.
Проверка срабатывания защиты при системе питания с заземленной и изолированной нейтралью.
Проверка и испытание установочных автоматов питающих линий.
Проверка срабатывания защиты, выполненной плавкими вставками, в электроустановках напряжением до 1000 В, калибровка плавких вставок.
Проверка автоматических выключателей в электрических сетях напряжением до 1000 В на срабатывание по току.
Проверка и испытание коммутационных аппаратов, вторичных цепей, а так же основного электрооборудования напряжением до 1000 В.
Измерение переходных сопротивлений контактов и сопротивлений обмоток электрических машин и трансформаторов
Измерение сопротивления постоянному току обмоток силовых трансформаторов и масляных выключателей.
Испытание повышенным напряжением кабельных линий и электрооборудования напряжением до 1000 В.
Испытание и измерение характеристик трансформаторов напряжения и трансформаторов тока.
Проверка напряжения и тока срабатывания приводов масляных выключателей.
Проверка устройств релейной защиты, автоматики и телемеханики.
Проверка устройств защитного отключения.
Проверка схем аварийного освещения.
Измерение сопротивления растекания тока заземляющего устройства.
Проверка системы молниезащиты.
Проверка и испытания блоков бесперебойного питания.
Проверка фазировки распределительных устройств и их присоединений.
Измерение напряжения прикосновения.
Лаборатория до 1000 В и выше:
Проверка состояния элементов заземляющих устройств электроустановок.
Проверка наличия цепи и замеры переходных сопротивлений между заземлителями и заземляющими проводниками, заземляемым оборудованием (элементами) и заземляющими проводниками.
Измерение удельного сопротивления земли.
Измерение сопротивления заземляющих устройств всех типов.
Измерение сопротивления изоляций, обмоток электродвигателей, аппаратов, вторичных цепей и электропроводок и электрооборудования напряжением до 35 кВ.
Измерение полного сопротивления петли «фаза-нуль».
Проверка срабатывания защиты при системе питания с заземленной и изолированной нейтралью.
Проверка и испытание установочных автоматических выключателей питающих линий.
Проверка срабатывания защиты, выполненной плавкими вставками, в электроустановках напряжением до 1000 и выше, калибровка плавких вставок.
Проверка автоматических выключателей в электрических сетях напряжением до 1000 В и выше на срабатывание по току.
Проверка работоспособности и параметров УЗО.
Проверка переходных сопротивлений устройств выравнивания электрических потенциалов в ванных комнатах.
Проверка качества крепления узлов розеток и крюков для люстр.
Проверка системы молниезащиты.
Измерение переходных сопротивлений контактов и сопротивлений обмоток электрических машин и трансформаторов.
Испытание кабельных линий и электрооборудования напряжением до 35 кВ повышенным напряжением.
Испытание и измерение характеристик трансформаторов напряжения и трансформаторов тока.
Проверка устройств релейной защиты, автоматики и телемеханики.
Проверка схем аварийного освещения.
Измерение освещенности.
Измерение качества электрической энергии.
Регистрацией электролабораторий занимается Федеральная служба по экологическому, технологическому и атомному надзору (Ростехнадзор).
Испытания электрооборудования должны производиться с соблюдением требований правил охраны труда и техники безопасности (Приложение к приказу Министерства труда и социальной защиты Российской Федерации от 24. 07. 2021 г. № 328н) и требований предприятий – изготовителей.
Измерение изоляционных характеристик электрооборудования под рабочим напряжением разрешается осуществлять только при условии использования устройств, обеспечивающих безопасность работ и защиту нормально заземляемого низкопотенциального вывода контролируемого объекта от появления на нем опасного напряжения при нарушении связи с землей.
Электрические испытания изоляции электрооборудования необходимо проводить при температуре изоляции не ниже 5°С, кроме оговоренных в Нормах случаев, когда измерения следует проводить при более высокой (низкой) температуре. Измерения электрических характеристик изоляции, произведенные при отрицательных температурах, должны быть повторены в возможно более короткие сроки при температуре изоляции не ниже 5°С.
Сравнение характеристик изоляции должно производиться при одной и той же температуре изоляции или близких ее значениях (расхождение – не более 5°С). Если это невозможно, должен применяться температурный перерасчет в соответствии с инструкциями по эксплуатации конкретных видов электрооборудования.
При измерении сопротивления изоляции отсчет показаний мегаомметра производится через 60 с после начала измерений. Если в соответствии с Нормами требуется определение коэффициента абсорбции (R60″/R15″), отсчет производится дважды: через 15 и 60 с после начала измерений.
Испытанию повышенным напряжением должны предшествовать тщательный осмотр (с отключением элементов, не подлежащих испытанию) и оценка состояния изоляции другими методами.
Перед проведением испытаний изоляции электрооборудования (за исключением вращающихся машин, находящихся в эксплуатации) наружная поверхность изоляции должна быть очищена от пыли и грязи, кроме тех случаев, когда испытания проводятся методом, не требующим отключения электрооборудования.
Испытание изоляции обмоток вращающихся машин (генератор ДГУ), трансформаторов повышенным приложенным напряжением частоты 50 Гц должно производиться поочередно для каждой электрически независимой цепи или параллельной ветви (в последнем случае при наличии полной изоляции между ветвями). При этом вывод испытательного устройства, который будет находиться под напряжением, соединяется с выводом испытуемой обмотки, а другой – с заземленным корпусом испытуемого электрооборудования, с которым на все время испытаний данной обмотки электрически соединяются все другие обмотки.
Обмотки, соединенные между собой наглухо и не имеющие выведенных обоих концов каждой фазы или ветви, должны испытываться относительно корпуса без их разъединения.
При испытаниях электрооборудования повышенным напряжением частоты 50 Гц, а также при измерении тока и потерь холостого хода силовых и измерительных трансформаторов рекомендуется использовать линейное напряжение питающей сети.
Испытательное напряжение должно подниматься плавно со скоростью, допускающей визуальный контроль по измерительным приборам, и по достижении установленного значения поддерживаться неизменным в течение всего времени испытания. После требуемой выдержки напряжение плавно снижается до значения не более одной трети испытательного и отключается.
Под продолжительностью испытания подразумевается время приложения полного испытательного напряжения, установленного законодательными нормативами.
Применяемые нормативные документы (в случае замены или обновления нормативного документа руководствоваться нормами актуальных редакций):
Стандарты комплекса ГОСТ Р 50571 «Электроустановки низковольтные» (ГОСТ Р 50571.16-2007 (МЭК 60364-6:2006));
ГОСТ ИСО/МЭК 17025-2009;
ГОСТ Р 50571.1-2009;
ГОСТ Р 50571.3-2009;
ГОСТ Р 50571.16-2007;
ГОСТ Р 50571.17-2000 (МЭК 60364-4-482-82) Электроустановки зданий. Часть 4. Требования по обеспечению безопасности. Глава 48. Выбор мер защиты в зависимости от внешних условий. Раздел 482. Защита от пожара.
ГОСТ Р 50571-4-44-2021;
ГОСТ Р 51324.1-2005;
ГОСТ Р 51350-99 (МЭК 61010-1-90) Безопасность электрических контрольно-измерительных приборов и лабораторного оборудования. Часть 1. Общие требования;
ГОСТ Р 51672-2000 Метрологическое обеспечение испытаний продукции для целей подтверждения соответствия. Основные положения.
ГОСТ Р МЭК 61557-2-2005 Сети электрические распределительные низковольтные напряжением до 1000 В переменного тока и 1500 В постоянного тока. Электробезопасность. Аппаратура для испытания, измерения или контроля средств защиты. Часть 2. Сопротивление изоляции.
ГОСТ Р 52350.17-2006 (МЭК 60079-17:2002) Электрооборудование для взрывоопасных газовых сред. Часть 17. Проверка и техническое обслуживание электроустановок во взрывоопасных зонах (кроме подземных выработок).
ГОСТ 7746-2001 Трансформаторы тока. Общие технические условия.
ГОСТ 8594-80 Коробки для установки выключателей и штепсельных розеток при скрытой электропроводке. Общие технические условия.
Пр. Минтруда от 24. 07. 2021 г. № 328н;
Распоряжение от 14.08.2009 года № Р-322/9.
Порядок контроля и приемки работ.
Результатом работ является Акт установленного образца, который должен соответствовать требованиям законодательства в области энергоснабжения и строительства: ГОСТ, ПУЭ, СНиП, иным нормативам, нормам, положениям, инструкциям, правилам, указаниям (в том числе носящим рекомендательный характер), действующим на территории Российской Федерации, требованиям органов государственной власти и управления, уполномоченных контролировать, согласовывать, выдавать разрешения, и наделенных другими властными и иными полномочиями в отношении создаваемого результата работ.
Проверке подлежат все электроустановки, входящие в зону эксплуатационной ответственности, включая системы резервного и гарантированного электроснабжения.
Требования к протоколу испытаний электроустановки:
Протокол испытаний должен содержать достоверные, объективные и точные результаты испытаний, данные об условиях испытаний и погрешности измерений, заключение о соответствии испытуемой электроустановки требованиям нормативных документов и проектной документации и представлять точно, четко и недвусмысленно результаты испытаний и другую, относящуюся к ним информацию.
Протокол испытаний должен содержать следующие основные сведения:
– наименование и адрес испытательной лаборатории;
– регистрационный номер, дату выдачи и срок действия аттестата аккредитации, наименование аккредитующей организации, выдавшей аттестат (при наличии), или свидетельство о регистрации в органах государственного энергетического надзора;
– номер и дату регистрации протокола испытаний, нумерацию каждой страницы протокола, а также общее число страниц;
– полное наименование электроустановки и ее частей;
– код ОКП;
– наименование и адрес организации-заявителя или фамилию, имя, отчество заказчика и его адрес;
– дату получения заявки на испытания;
– наименование и адрес монтажной организации;
– сведения о проектной документации, в соответствии с которой смонтирована электроустановка;
– сведения об актах скрытых работ (организация и ее адрес, номер, дата);
– дату проведения испытаний;
– место проведения испытаний;
– климатические условия проведения испытаний (температура, влажность, давление);
– цель испытаний (приемо-сдаточные, для целей сертификации, сличительные, контрольные);
– программу испытаний (объем испытаний в виде перечисления пунктов (разделов) нормативного документа на требования к электроустановке и ее элементному составу, программа испытаний может быть приведена в приложении к протоколу испытаний);
– нормативные документы, на соответствие требованиям которого проведены испытания (обозначение, правила, нормы и т.п.);
– перечень применяемого испытательного оборудования и средств измерений с указанием наименования и типа испытательного оборудования и средств измерений, диапазона и точности измерений, данных о номере метрологического аттестата или свидетельства и дате последней и очередной аттестации и поверки;
– значения показателей и допусков (при необходимости);
– фактические значения показателей испытаний электроустановок с указанием погрешности измерений;
– вывод о соответствии нормативному документу по каждому показателю;
– информацию о дополнительном протоколе испытаний, выполненных на условиях субподряда (при его наличии);
– заключение о соответствии (или несоответствии) испытанной электроустановки или ее элементов требованиям комплекса стандартов ГОСТ Р 50571 или других нормативных документов;
– подписи и должности лиц, ответственных за проведение испытаний и оформление протокола испытаний, включая руководителя испытательной лаборатории;
– печать испытательной лаборатории (или организации);
– указание на титульном листе о недопустимости частичной или полной перепечатки или копировании без разрешения заказчика (или испытательной лаборатории) на титульном листе;
– на титульном листе указывают, что протокол испытаний распространяется только на испытанную электроустановку.
Исправления и дополнения в тексте протокола испытаний после его окончательного оформления не допускаются. При необходимости их оформляют только в виде отдельного документа «Дополнение к протоколу испытаний» (номер, дата) в соответствии с приведенными выше требованиями к протоколу. На конкретные виды испытаний могут оформляться отдельные протоколы, входящие в состав общего протокола испытаний электроустановки.
Бланки протоколов:
0. Титульный лист серт.doc
0.1. Содержание.doc
1. Основные данные.doc
2. Пр. визуального осмотра.doc
3.1. Протокол провеки сопр изоляции проводов, кабелей, обмоток эл машин.doc
3.2. Протокол проверки сопротивления изоляции электрических аппаратов.doc
4. Протокол прверки наличия цепи между заземленными устантвками и элементами заземленной устан.doc
5. Протокол проверки согласования параметров цепи фаза – нуль.doc
6.1. Протокол проверки автоматическтх выключателей напряжением до 1000 В..doc
6.2. Протокол проверки автоматических выключателей напряжением до 1000 В..doc
6.3. Протокол проверки автоматических выключателей напряжением до 1000 В..doc
7.1. Протокол проверки и испытания УЗО-Д.doc
7.2. Протокол проверки и испытания УЗО-Д.doc
8.1. Протокол проверки сопротивления заземлителей и заземляющих устройств.doc
8.2. Протокол проверки сопротивления зазмлителей и заземляющих устройств.doc
9.1 Протокол проверки работоспособности АВР.doc
9.2. Протокол проверки работоспособности АВР.doc
10. Протокол испытаний крюков для подвески светильников и узлов крепления розеток.doc
11. Протокол проверки измерительных трансформаторов тока.doc
12. Заключение ИЛ.doc
13. Приборы. Приложение Б.doc
14. Программа испытаний. Приложение А.doc
15. Протоколы Санкт-Петербурга-образец.doc
16. Титульный лист премо-сдаточные.doc
Заключение ИЛ.doc
Приборы. Приложение Б.doc
Программа испытаний. Приложение А.doc
Титульный лист премо-сдаточные.doc
ОСВИДЕТЕЛЬСТВОВАНИЕ ЭЛЕКТРОУСТАНОВОК.docx
С. Филин, 2021
Курсовая работа на тему: “повторные и независимые испытания. теорема бернулли о частоте вероятности”
Приднестровский государственный университет им.Т.Г.Шевченко
КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
КУРСОВАЯ РАБОТА
на тему: “Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности”
Выполнил:
студент 303 группы
Рудницкий Александр
Петрович
Проверил: зав. кафедрой
философии
Граневский В.В.
Тирасполь, 2009
Содержание
1. Введение
2. Формула Бернулли
3. Локальная формула Муавра-Лапласа
4. Формула Пуассона
5. Теорема Бернулли о частоте вероятности
Список литературы
Приложения
1.Введение
При практическом применении теории вероятностей часто приходится встречаться с задачами, в которых одно и то же испытание повторяется неоднократно. В результате каждого испытания может появиться или не появиться некоторое событие А, причем нас не интересует результат каждого отдельного испытания, а общее число появлений события А в результате серии опытов. Например, если производится группа выстрелов по одной и той же цели, нас, как правило, не интересует результат каждого выстрела, а общее число попаданий. В подобных задачах требуется уметь определять вероятность любого заданного числа появлений события в результате серии опытов. Такие задачи и будут рассмотрены. Они решаются весьма просто в случае, когда испытания являются независимыми.
Определение. Испытания называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из испытаний не зависит от того, какие исходы имели другие испытания.
Например, несколько бросаний монеты представляют собой независимые испытания.
2. Формула Бернулли
Пусть произведено два испытания(n=2). В результате возможно наступление одного из следующих событий:
Соответствующие вероятности данных событий такие: .
или – наступление события только в одном испытании.
– вероятность наступления события два раза.
– вероятность наступления события только один раз.
– вероятность наступления события нуль раз.
Пусть теперь n=3. Тогда возможно наступление одного из следующих вариантов событий:
.
Соответствующие вероятности равны .
Очевидно, что полученные результаты при n=2 и n=3 являются элементами
и .
Теперь допустим, произведено n испытаний. Событие А может наступить n раз, 0 раз, n-1 раз и т.д. Напишем событие, состоящее в наступлении события А m раз
Необходимо найти число испытаний, в которых событие А наступит m раз. Для этого надо найти число комбинаций из n элементов, в которых А повторяется m раз, а n-m раз.
– вероятность наступления события А.
(1)
Последняя формула называется формулой Бернулли и представляет собой общий член разложения :
.
Из формулы (1) видно, что ее удобно использовать, когда число испытаний не слишком велико.
Примеры
№1. Бросается монета 7 раз. Найти вероятность наступления орла три раза.
Решение.
n=7, m=3
.
№2. Каждый день акции корпорации АВС поднимаются в цене или падают в цене на один пункт с вероятностями соответственно 0,75 и 0,25. Найти вероятность того, что акции после шести дней вернутся к своей первоначальной цене. Принять условие, что изменения цены акции вверх и вниз – независимые события.
Решение. Для того, чтобы акции вернулись за 6 дней к своей первоначальной цене, нужно, чтобы за это время они 3 раза поднялись в цене и три раза опустились в цене. Искомая вероятность рассчитывается по формуле Бернулли
№3. Моторы многомоторного самолёта выходят из строя во время полёта независимо один от другого с вероятностью р. Многомоторный самолёт продолжает лететь, если работает не менее половины его моторов. При каких значениях р двухмоторный самолёт надёжней четырёхмоторного самолёта?
Решение. Двухмоторный самолёт терпит аварию, если отказывают оба его мотора. Это происходит с вероятностью р2. Четырёхмоторный самолёт терпит аварию, если выходят из строя все 4 мотора а это происходит с вероятностью р4, либо выходят из строя три мотора из 4-х. Вероятность последнего события вычисляется по формуле Бернулли: . Чтобы двухмоторный самолёт был надёжнее, чем четырёхмоторный, нужно, чтобы выполнялось неравенство
р24 4p3(1–p)
Это неравенство сводится к неравенству (3р–1)(р–1)<0. Второй сомножитель в левой части этого неравенства всегда отрицателен (по условию задачи). Следовательно, величина 3р–1 должна быть положительной, откуда следует, что должно выполняться условие р>1/3. Следует отметить, что если бы вероятность выхода из строя мотора самолёта превышала одну треть, сама идея использования авиации для пассажирских перевозок была бы очень сомнительной.
№4. Бригада из десяти человек идёт обедать. Имеются две одинаковые столовые, и каждый член бригады независимо один от другого идёт обедать в любую из этих столовых. Если в одну из столовых случайно придёт больше посетителей, чем в ней имеется мест, то возникает очередь. Какое наименьшее число мест должно быть в каждой из столовых, чтобы вероятность возникновения очереди была меньше 0,15?
Решение. Решение задачи придётся искать перебором возможных вариантов. Сначала заметим, что если в каждой столовой по 10 мест, то возникновение очереди невозможно. Если в каждой столовой по 9 мест, то очередь возникнет только в случае, если все 10 посетителей попадут в одну столовую. Из условия задачи следует, что каждый член бригады выбирает данную столовую с вероятностью 1/2. Значит, все соберутся в одной столовой с вероятностью 2(1/2)10=1/512. Это число много меньше, чем 0,15, и следует провести расчёт для восьмиместных столовых. Если в каждой столовой по 8 мест, то очередь возникнет, если все члены бригады придут в одну столовую, вероятность этого события уже вычислена, или 9 человек пойдут в одну столовую, а 1 человек выберет другую столовую. Вероятность этого события рассчитывается с помощью формулы Бернулли . Таким образом, если в столовых по 8 мест, то очередь возникает с вероятностью 11/512, что пока ещё меньше, чем 0,15. Пусть теперь в каждой из столовых по 7 мест. Кроме двух рассмотренных вариантов, в данном случае очередь возникнет, если в одну из столовых придёт 8 человек, а в другую 2 человека. Это может произойти с вероятностью . Значит, в этом случае очередь возникает с вероятностью 56/512=0,109375<0,15. Действуя аналогичным образом, вычисляем, что если в каждой столовой 6 мест, то очередь возникает с вероятностью 56/512 120/512=176/512=0,34375. Отсюда получаем, что наименьшее число мест в каждой столовой должно равняться семи.
№5. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.
Решение. Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности
, .
По формуле Бернулли требуемая вероятность равна
.
№6. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.
Решение. Вероятность рождения девочки
, тогда .
Найдем вероятности того, что в семье нет девочек, родилась одна, две или три девочки:
, ,
, .
Следовательно, искомая вероятность
.
№7. Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 30 деталей две будут нестандартными.
Решение. Здесь опыт заключается в проверке каждой из 30 деталей на качество. Событие А – “появление нестандартной детали”, его вероятность , тогда . Отсюда по формуле Бернулли находим
.
№8. При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19.
Решение. Вычисляем по формуле Бернулли:
№9. Независимые испытания продолжаются до тех пор, пока событие А не произойдет k раз. Найти вероятность того, что потребуется n испытаний (n і k), если в каждом из них .
Решение. Событие В – ровно n испытаний до k-го появления события А – есть произведение двух следующий событий:
D – в n-ом испытании А произошло;
С – в первых (n–1)-ом испытаниях А появилось (к-1) раз.
Теорема умножения и формула Бернулли дают требуемую вероятность:
.
№10. Из n аккумуляторов за год хранения k выходит из строя. Наудачу выбирают m аккумуляторов. Определить вероятность того, что среди них l исправных. n = 100, k = 7, m = 5, l = 3.
Решение: Имеем схему Бернулли с параметрами p=7/100=0,07 (вероятность того, что аккумулятор выйдет из строя), n = 5 (число испытаний), k = 5-3 =2 (число “успехов”, неисправных аккумуляторов). Будем использовать формулу Бернулли (вероятность того, что в n испытаниях событие произойдет k раз).
Получаем
№11. Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов, включается за время Т. Вероятность отказа каждого из них за это время равна 0,2. Найти вероятность того, что откажут: а) три элемента; б) не менее четырех элементов; в) хотя бы один элемент.
Решение: Имеем схему Бернулли с параметрами p = 0,2 (вероятность того, что элемент откажет), n = 5 (число испытаний, то есть число элементов), k (число “успехов”, отказавших элементов). Будем использовать формулу Бернулли (вероятность того, что для n элементов отказ произойдет в k элементах): . Получаем а) – вероятность того, что откажут ровно три элемента из пяти. б) – вероятность того, что откажут не менее четырех элементов из пяти (то есть или четыре, или пять). в) – вероятность того, что откажет хотя бы один элемент (нашли через вероятность противоположного события – ни один элемент не откажет).
№12. Сколько следует сыграть партий в шахматы с вероятностью победы в одной партии, равной 1/3, чтобы наивероятнейшее число побед было равно 5?
Решение: Наивероятнейшее число побед k определяется из формулы Здесь p =1/3 (вероятность победы), q = 2/3 (вероятность проигрыша), n – неизвестное число партий. Подставляя данные значения, получаем:
Получаем, что n = 15, 16 или 17.
3. Локальная формула Муавра-Лапласа
Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Естественно, возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли.
В 1730 г. другой метод решения при p=1/2 нашел Муавр; в 1783 г. Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольного p, отличного от 0 и 1.
Эта формула применяется при неограниченном возрастании числа испытаний, когда вероятность наступления события не слишком близка к нулю или единице. Поэтому теорему, о которой идет речь, называют теоремой Муавра-Лапласа.
Теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность p появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна(тем точнее, чем больше n) значению функции
При .
Имеются таблицы, в которых помещены значения функции
,
соответствующие положительным значениям аргумента x(см. приложение1). Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция четна, т.е. .
Итак, вероятность того, что событие A появится в n независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна
,
где .
№13. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.
Решение. По условию n=400; k=80; p=0,2; q=0,8. Воспользуемся формулой Лапласа:
.
Вычислим определяемое данными задачи значение x:
.
По таблице приложения1 находим .
Искомая вероятность
.
№14. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле p=0,75.
Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразит мишень 8 раз.
Решение. По условию n=10; k=8; p=0,75; q=0,25.
Воспользуемся формулой Лапласа:
.
Вычислим определяемое данными задачи значение x:
.
По таблице приложения1 находим
Искомая вероятность
.
№15. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.
Решение. По условию n=243; k=70; p=0,25; q=0,75. Воспользуемся формулой Лапласа:
.
Найдем значение x:
.
По таблице приложения1 находим
.
Искомая вероятность
.
№16. Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6.
Решение. По условию n=2400; k=1400; p=0,6; q=0,4. Как и в предыдущем примере, воспользуемся формулой Лапласа:
Вычислим x:
.
По таблице приложения1 находим
Искомая вероятность
.
4. Формула Пуассона
Эта формула применяется при неограниченном возрастании числа испытаний, когда вероятность наступления события достаточно близка к 0 или 1.
,
где .
Доказательство.
.
.
Таким образом получили формулу:
.
Примеры
№17. Вероятность изготовления негодной детали равна 0,0002. Найти вероятность того, что среди 10000 деталей только 2 детали будут негодными.
Решение. n=10000; k=2; p=0,0002.
Искомая вероятность
.
№18. Вероятность изготовления бракованной детали равна 0,0004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей только 5 детали будут бракованными.
Решение. n=1000; k=5; p=0,0004.
Искомая вероятность
.
№19. Вероятность выигрыша лотереи равна 0,0001. Найти вероятность того, что из 5000 попыток выиграть удастся 3 раза.
Решение. n=5000; k=3; p=0,0001.
Искомая вероятность
.
5.Теорема Бернулли о частоте вероятности
Теорема. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p, абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от вероятности появления события не превысит положительного числа , приближенно равна удвоенной функции Лапласа при :
.
Доказательство. Будем считать, что производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна p. Поставим перед собой задачу найти вероятность того, что отклонение относительной частоты от постоянной вероятности p по абсолютной величине не превышает заданного числа . Другими словами, найдем вероятность осуществления неравенства
. (*)
Заменим неравенство (*) ему равносильными:
.
Умножая эти неравенства на положительный множитель , получим неравенства, равносильные исходному:
.
Тогда вероятность найдем следующим образом:
.
Значение функции находится по таблице(см. приложение2).
Примеры
№20. Вероятность того, что деталь не стандартна, p=0,1. Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 400 деталей относительная частота появления нестандартных деталей отклонится от вероятности p=0,1 по абсолютной величине не более, чем на 0,03.
Решение. n=400; p=0,1; q=0,9; =0,03. Требуется найти вероятность. Пользуясь формулой
,
имеем
.
По таблице приложения2 находим . Следовательно, . Итак, искомая вероятность равна 0,9544.
№21. Вероятность того, что деталь не стандартна, p=0,1. Найти, сколько деталей надо отобрать, чтобы с вероятностью, равной 0,9544, можно было утверждать, что относительная частота появления нестандартных деталей(среди отобранных) отклонится от постоянной вероятности p по абсолютной величине не более чем на 0,03.
Решение. По условию, p=0,1; q=0,9; =0,03; . Требуется найти n. Воспользуемся формулой
.
В силу условия
Следовательно,
По таблице приложения 2 находим . Для отыскания числа n получаем уравнение . Отсюда искомое число деталей n=400.
№22. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти, какое отклонение относительной частоты появления события от его вероятности можно ожидать с вероятностью 0,9128 при 5000 испытаниях.
Решение. Воспользуемся той же формулой, из которой следует:
.
Литература
1. Гмурман Е.В. “Теория вероятностей и математическая статистика”, Москва, “Высшая школа”2003.
2. Гмурман Е.В. “Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике”, Москва “Высшая школа”2004.
3. Гнеденко Б.В. “Курс теории вероятностей”, Москва, “Наука”1988.
4. Колемаев В.А., Калинина В.Н., Соловьев В.И., Малыхин В.И., Курочкин А.П. “Теория вероятностей в примерах и задачах”, Москва, 2001.
5. Вентцель Е.С. “Теория вероятностей”, Москва, “Высшая школа”1998.
Приложения
Приложение 1
Таблица значений функции
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
1.6 | 1109 | 1092 | 1074 | 1057 | 1040 | 1023 | 1006 | 0989 | 0973 | 0957 |
1.7 | 0940 | 0925 | 0909 | 0893 | 0878 | 0863 | 0648 | 0833 | 0818 | 0804 |
1.8 | 0790 | 0775 | 0761 | 0748 | 0734 | 0721 | 0707 | 0694 | 0681 | 0669 |
1.9 | 0656 | 0644 | 0632 | 0620 | 0608 | 0596 | 0584 | 0573 | 0562 | 0551 |
2,0 | 0540 | 0529 | 0519 | 0508 | 0498 | 0488 | 0478 | 0468 | 0459 | 0449 |
2.1 | 0440 | 0431 | 0422 | 0413 | 0404 | 0396 | 0387 | 0379 | 0371 | 0363 |
2.2 | 0355 | 0347 | 0339 | 0332 | 0325 | 0317 | 0310 | 0303 | 0297 | 0290 |
2.3 | 0283 | 0277 | 0270 | 0264 | 0258 | 0252 | 0246 | 0241 | 0235 | 0229 |
2,4 | 0224 | 0219 | 0213 | 0208 | 0203 | 0198 | 0194 | 0189 | 0184 | 0180 |
2.5 | 0175 | 0171 | 0167 | 0163 | 0158 | 0154 | 0151 | 0147 | 0143 | 0139 |
2.6 | 0136 | 0132 | 0129 | 0126 | 0122 | 0119 | 0116 | 0113 | 0110 | 0107 |
2,7 | 0104 | 0101 | 0099 | 0096 | 0093 | 0091 | 0088 | 0086 | 0084 | 0081 |
2,8 | 0079 | 0077 | 0075 | 0073 | 0071 | 0069 | 0067 | 0065 | 0063 | 0061 |
2.9 | 0060 | 0058 | 0056 | 0055 | 0053 | 0051 | 0050 | 0048 | 0047 | 0043 |
3,0 | 0044 | 0043 | 0042 | 0040 | 0039 | 0038 | 0037 | 0036 | 0035 | 0034 |
3,1 | 0033 | 0032 | 0031 | 0030 | 0029 | 0028. | 0027 | 0026 | 0025 | 0025 |
3,2 | 0024 | 0023 | 0622 | 0022 | 0021 | 0020 | 0020 | 0019 | 0018 | 0018 |
3,3 | 0017 | 0017 | 0016 | 0016 | 0015 | 0015 | 0014 | 0014 | 0013 | 0013 |
3,4 | 0012 | 0012 | 0012 | 0011 | 0011 | 0010 | 0010 | 0010 | 0009 | 0009 |
3,5 | 0009 | 0008 | 0008 | 0008 | 0008 | 0007 | 0007 | 0007 | 0007 | 0006 |
3,6 | 0006 | 0006 | 0006 | 0005 | 0005 | 0005 | 0005 | 0005 | 0005 | 0004 |
3,7 | 0004 | 0004 | 0004 | 0004 | 0004 | 0004 | 0003 | 0003 | 0003 | 0003 |
3,8 | 0003 | 0003 | 0003 | 0003 | 0003 | 0002 | 0002 | 0002 | 0002 | 0002 |
3,9 | 0002 | 0002 | 0002 | 0002 | 0002 | 0002 | 0002 | 0002 | 0001 | 0001 |
Приложение 2
Таблица значений функции
x | x | x | x | ||||
0900 | 0,0000 | 0,32 | 0,1255 | 0,64 | 0,2389 | 0,96 | 0,3315 |
0,01 | 0,0040 | 0,33 | 0,1293 | 0,65 | 0,2422 | 0,97 | 0,3340 |
0,02 | 0,0080 | 0,34 | 0,1331 | 0,66 | 0,2454 | 0,98 | 0,3365 |
0,03 | 0,0120 | 0,35 | 0,1368 | 0,67 | 0,2486 | 0.99 | 0,3389 |
0,04 | 0,0160 | 0,36 | 0,1406 | 0,68 | 0,2517 | 1,00 | 0,3413 |
0,05 | 0,0199 | 0,37 | 0,1443 | 0,69 | 0,2549 | 1,01 | 0,3438 |
0,06 | 0,0239 | 0,38 | 0,1480 | 0,70 | 0,2580 | 1,02 | 0,3461 |
0,07 | 0,0279 | 0,39 | 0,1517 | 0,71 | 0,2611 | 1,03 | 0,3485 |
0,08 | 0,0319 | 0,40 | 0,1554 | 0,72 | 0,2642 | 1,04 | 0,3508 |
0,09 | 0,0359 | 0,41 | 0,1591 | 0,73 | 0,2673 | 1,05 | 0,3531 |
0,10 | 0,0398 | 0,42 | 0,1628 | 0,74 | 0,2703 | 1,06 | 0,3554 |
0,11 | 0,0438 | 0,43 | 0,1664 | 0,75 | 0,2734 | 1,07 | 0,3577 |
0,12 | 0,0478 | 0,44 | 0,1700 | 0,76 | 0,2764 | 1,08 | 0,3599 |
0,13 | 0,0517 | 0,45 | 0,1736 | 0,77 | 0,2794 | 1.09 | 0,3621 |
0,14 | 0,0557 | 0,46 | 0,1772 | 0,78 | 0,2823 | 1.10 | 0,3643 |
0,15 | 0,0596 | 0,47 | 0,1808 | 0,79 | 0,2852 | 3665 | 0,3665 |
0,16 | 0,0636 | 0,48 | 0,1844 | 0,80 | 0,2881 | 3686 | 0,3686 |
0,17 | 0,0675 | 0,49 | 01879 | 0,81 | 0,2910 | 1,13 | 0,3708. |
0,18 | 0,0714 | 0,50 | 0,1915 | 0,82 | 0,2939 | 1,14 | 0,3729 |
0,19 | 0,0753 | 0,51 | 0,1950 | 0,83 | 0,2967 | 1,15 | 0,3749 |
0,20 | 0,0793 | 0,52 | 0,1985 | 0,84 | 0,2995 | 1,16 | 0,3770 |
0,21 | 0,0832 | 0,53 | 0,2021 | 0,85 | 0,3023 | 1,17 | 0,3790 |
0,22 | 0,0871 | 0,54 | 0,2054 | 0,86 | 0,3051 | 1,18 | 0,3810 |
0,23 | 0,0910 | 0,55 | 0,2088 | 0,87 | 0,3078 | 1,19 | 0,3830 |
0,24 | 0,0948 | 0,56 | 0,2123 | 0,88 | 0,3106 | 1,20 | 0,3849 |
0,25 | 0,0987 | 0,57 | 0,2157 | 0,89 | 0,3133 | 1.21 | 0,3869 |
0,26 | 0,1026 | 0,58 | 0,2190 | 0,90 | 0,3159 | 1,22 | 0/3883 |
0,27 | 0,1064 | 0,59 | 0,2224 | 0,91 | 0,3186 | 1,23 | 0,3907 |
0,28 | 0,1103 | 0,60 | 0,2257 | 0,92 | 0,3212 | 1.24 | 0,3925 |
0,29 | 0,1141 | 0,61 | 0,2291 | 0,93 | 0,3238 | 1,25 | 0,3944 |
0,30 | 0,1179 | 0,62 | 0,2324 | 0,94 | 0,3264 | ||
0,31 | 0,1217 | 0,63 | 0,2357 | 0,95 | 0,3289 |
x | x |
| x | x | |||
1,26 | 0,3962 | 1,59 | 0,4441 | 1,92 | 0,4726 | 2,50 | 0,4938 |
1,27 | 0,3980 | 1,60 | 0,4452 | 1,93 | 0,4732 | 2,52 | 0,4941 |
1,28 | 0,3997 | 1,61 | 0,4463 | 1,94 | 0,4738 | 2,54 | 0,4945 |
1,29 | 0.4015 | 1,62 | 0,4474 | 1,95 | 0,4744 | 2,56 | 0,4948 |
1,30 | 0,4032 | 1,63 | 0.4484 | 1.96 | 0,4750 | 2,58 | 0,4951 |
1,31 | 0,4049 | 1,64 | 0,4495 | 1,97 | 0,4756 | 2,60 | 0,4953 |
1,32 | 0.4066 | 1,65 | 0,4505 | 1,98 | 0,4761 | 2,62 | 0,4956 |
1,33 | 0,4082 | 1,66 | 0,4515 | 1,99 | 0,4767 | 2,64 | 0,4959 |
1,34 | 0.4099 | 1,67 | 0.4525 | 2.00 | 0,4772 | 2,66 | 0,4961 |
1.3S | 0.4115 | 1,68 | 0,4535 | 2,02 | 0,4783 | 2,68 | 0,4963 |
1,36 | 0.4131 | 1,69 | 0,4545 | 2,04 | 0,4793 | 2,70 | 0,4965 |
1,37 | 0.4147 | 1,70 | 0,4554 | 2,06 | 0,4803 | 2,72 | 0,4967 |
1,38 | 0.4162 | 1.71 | 0,4564 | 2,08 | 0,4812 | 2,74 | 0,4969 |
1,39 | 0.4177 | 1,72 | 0,4573 | 2,10 | 0,4821 | 2,76 | 0,4971 |
1.40 | 0,4192 | 1,73 | 0,4582 | 2,12 | 0,4830 | 2,78 | 0,4973 |
1.41 | 0,4207 | 1.74 | 0,4591 | 2,14 | 0,4838 | 2,80 | 0,4974 |
1.42 | 0.4222 | 1,75 | 0.4599 | 2,16 | 0,4846 | 2,82 | 0,4976 |
1.43 | 0.4236 | 1,76 | 0,4608 | 2,18 | 0,4854 | 2,84 | 0,4977 |
1.44 | 0,4251 | 1.77 | 0,4616 | 2,20 | 0,4861 | 2,86 | 0,4979 |
1,45 | 0.4265 | 1,78 | 0.4625 | 2,22 | 0,4868 | 2,88 | 0,4980 |
1.46 | 0,4279 | 1,79 | 0,4633 | 2,24 | 0,4875 | 2,90 | 0,4981 |
1.47 | 0,4292 | 1,80 | 0,4641 | 2,26 | 0,4881 | 2,92 | 0,4982 |
1,48 | 0,4306 | 1.81 | 0,4649 | 2,28 | 0,4887 | 2,94 | 0,4984 |
1,49 | 0.4319 | 1,82 | 0,4656 | 2,30 | 0,4893 | 2,96 | 0,4985 |
1.50 | 0,4332 | 1,83 | 0,4664 | 2,32 | 0,4898 | 2.98 | 0,4986 |
1,51 | 0,4345 | 1,84 | 0,4671 | 2,34 | 0,4904 | 3,00 | 0,49865 |
1.52 | 0,4357 | 1,85 | 0,4678 | 2,36 | 0,4909 | 3,20 | 0,49931 |
1.53 | 0,4370 | 1,86 | 0,4686 | 2,38 | 0,4913 | 3.40 | 0,49966 |
1.54 | 0,4382 | 1,87 | 0,4693 | 2,40 | 0,4918 | 3,60 | 0,49984 |
1,55 | 0,4394 | 1.88 | 0,4699 | 2,42 | 0,4922 | 3,80 | 0,49992 |
1.S6 | 0,4406 | 1.89 | 0,4706 | 2,44 | 0,4927 | 4,00 | 0,49996 |
1,57 | 0,4418 | 1,90 | 0,4713 | 2,46 | 0,4931 | 4,50 | 0,49999 |
1,58 | 0,4429 | 1,91 | 0,4719 | 2,48 | 0,4934 | 5,00 | 0,49999 |
