Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве Реферат

Измерение плотности и вязкости веществ. реферат. химия. 2021-06-03

Министерство
образования и науки Российской Федерации

Реферат

«Измерение
плотности и вязкости веществ»

2021

Содержание:

Введение

.        Понятие плотности вещества

.        Измерение плотности
вещества

.        Понятие вязкости вещества

.        Измерение вязкости вещества

.        Условия измерений

Заключение

Список литературы

Введение

плотность
вязкость вещество

В химической промышленности, где многие продукты
или исходные вещества представляют собой жидкости, необходимо точно знать их
химические и физические свойства, к числу которых относятся плотность и
вязкость.

Без установления точного значения этих
параметров невозможно спроектировать реакторы, подходящие для того или иного
технологического процесса, трубопроводы или теплообменники, от них зависят как
габариты, так и конструкция аппаратов.

К примеру, плотность и вязкость оказывают
большое влияние на скорость истечения жидкости, что необходимо учитывать при
проектировании технологического процесса. В настоящее время процедуру измерения
этих параметров можно автоматизировать, что значительно повышает точность и
эффективность контроля над процессом.

.       
Понятие плотности

Плотность – скалярная
<#”731479.files/image001.gif”>Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве к его объёму Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве, когда объём стягивается к этой
точке. Средняя плотность неоднородного вещества есть отношение Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве. Для однородного тела средняя
плотность является просто плотностью тела.

Данное определение относится к, так
называемой, поверхностной плотности, но существуют и другие виды плотности.

Виды плотности и единицы измерения

Плотность измеряется в Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве в системе СИ
<#”731479.files/image005.gif”>Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве в системе СГС
<#”731479.files/image006.gif”>Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве, содержащей эту точку, к объёму
этой малой части Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве, когда этот объём стремится к нулю,
или, записывая кратко, Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве.

При таком предельном переходе
необходимо помнить, что на атомарном уровне любое тело неоднородно, поэтому
необходимо остановиться на объёме, соответствующем используемой физической
модели.

Для сыпучих и пористых тел
существуют следующие разновидности плотности:

1.      Истинная плотность, определяемая без
учёта пустот;

2.      Кажущаяся плотность, рассчитываемая как
отношение массы вещества ко всему занимаемому им объёму.

Истинную плотность из кажущейся получают с
помощью величины порозности – доли объёма пустот в занимаемом объёме.

В зависимости от температуры значения одного и
того же вещества могут значительно отличаться друг от друга.

Как правило, при уменьшении
температуры <#”731479.files/image009.gif”>

Где Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве – масса тела, либо некого объёма
вещества, а Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве – данный объём либо объём тела.

При вычислении плотности газов эту
формулу можно записать так:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве

где Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве – молярная масса газа,Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве – молярный объём (при нормальных
условиях равен 22,4 л/моль).

Плотность тела в точке записывается
как Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве, тогда масса неоднородного тела
(тела с плотностью, зависящей от места) рассчитывается как

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве

2.      Измерение плотности вещества

Для измерения плотности можно использовать
следующие приборы:

Пикнометр – физико-химический прибор, стеклянный
сосуд специальной формы и определённой вместимости, применяемый для измерения
плотности веществ, в газообразном, жидком и твёрдом состояниях. Пикнометр был
изобретён Дмитрием Ивановичем Менделеевым в 1859 году.

Измерение плотности пикнометром основано на
взвешивании находящегося в нём вещества (обычно в жидком состоянии),
заполняющего пикнометр до метки на горловине или до верхнего края капилляра,
что соответствует номинальной вместимости пикнометра. Измерения объёма
значительно упрощаются, если вместо одной метки у пикнометра имеется шкала.
Очень удобен в работе пикнометр с боковой капиллярной трубкой, у которой
пробкой служит тело термометра. Плотность твёрдых тел определяют, погружая их в
пикнометр с жидкостью. Для измерения плотности газов применяют пикнометр
специальной формы (шаровидные и др.).

Основными достоинствами пикнометрического метода
определения плотности являются высокая точность измерений; возможность
использования малых количеств вещества; малая площадь свободной поверхности
жидкости в пикнометре, что практически исключает испарение жидкости и
поглощение влаги из воздуха; раздельное проведение операций термостатирования и
последующего взвешивания.

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве

Рис. 1. Пикнометр

Ареометр – прибор для измерения плотности
жидкостей, принцип работы которого основан на Законе Архимеда. Считается, что
ареометр изобрела Гипатия.

Обычно представляет собой стеклянную трубку,
нижняя часть которой при калибровке заполняется дробью или ртутью для
достижения необходимой массы. В верхней, узкой части находится шкала, которая
проградуирована в значениях плотности раствора или концентрации растворенного
вещества. Плотность раствора равняется отношению массы ареометра к объему, на
который он погружается в жидкость. Соответственно, различают ареометры
постоянного объёма и ареометры постоянной массы.

Для измерения плотности жидкости ареометром
постоянной массы сухой и чистый ареометр помещают в сосуд с этой жидкостью так,
чтобы он свободно плавал в нем. Значения плотности считывают по шкале
ареометра, по нижнему краю мениска.

Для измерения ареометром постоянного объёма
изменяют его массу, достигая его погружения до определённой метки. Плотность
определяется по массе груза (например, гирек) и объёму вытесненной жидкости.

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве

Рис 2. Ареометр. 1 – корпус; 2 – балласт; 3 –
связующее вещество; 4 – тарелка для гирь; 5 – кольцевая метка

Для измерения плотности почвы используют Бур
Качинского.

Набор Качинского состоит из киянки, болванки
особой формы (Предназначена для правки бюксов), оправки для забивания бурика,
мастерка и ножа для вырезания образца и специальных бюксов.

Бюксы специально разработаны таким образом,
чтобы в них с минимальным зазором входил Бурик Качинского. При отборе образцов
песчаных и других рыхлосвязанных почв бурик Качинского закрывается крышкой от
бюкса Качинского, таким образом, исключается высыпание почвы.

Бурик забивается в почву при помощи киянки через
специальную оправку. Оправка устроена так, чтобы не допустить уплотнения почвы
внутри бурика. При забивании бурика глубже нормы оправка упирается в почву
вокруг бурика. Затем бурик вместе с почвенным образцом вырезается из почвы и
обрезается, будучи накрыт крышкой от бюкса Качинского. После этого содержимое
бурика переносится в бюкс Качинского.

Объём образца чётко задан конструкцией бурика и
методикой, масса рассчитывается по разнице веса. Таким образом можно рассчитать
плотность (объёмный вес) почвы

В автоматизированных системах для измерения
вязкости используется вибрационный плотномер – прибор, предназначенный для
преобразования значения плотности контролируемой среды в аналоговый или
цифровой электрический сигнал для передачи его в системы телеметрии или
автоматики и/или отображения значения плотности на цифровом табло.

Вибрационный плотномер содержит колебательную
систему, обычно в виде камертона, возбуждаемую на резонансной частоте с помощью
пьезоэлектрических преобразователей. Резонансная частота колебательной системы
зависит от плотности окружающей камертон среды. Используются для измерения
плотности жидкости и газов под давлением.

Известны вибрационные плотномеры проточные,
предназначенные для контроля плотности движущейся в трубопроводе среды, и
погружные, для контроля плотности среды в резервуарах.

Проточные вибрационные плотномеры используют для
измерений на потоке нефти в промысловых условиях. Датчик такого плотномера
представляет собой тонкостенный цилинр, внутри которого расположена электронная
автоколебательная система, сообщающая цилиндру незатухающие колебания. Колебания
цилиндра передаются окружающей жидкости, причем частота колебаний тем меньше,
чем больше плотность среды. Зависимость плотности от частоты колебаний цилиндра
в жидкости имеет то же математическое выражение, что и для газа

Преимущества вибрационных плотномеров:
отсутствие движущихся частей, нейтральность к электрическим свойствам среды,
высокая точность и стабильность измерений ( 0,3-1,0 кг/м3), работоспособность
при высоких и низких температурах (от минус 70 до 200 °C), больших статических
давлениях (до 20 МПа), малые масса и габариты, компактность (диаметр 25 мм),
низкое энергопотребление (0,5-2,5 Вт).

Рефераты:  Причины, подготовка и итоги Куликовской битвы

.       
Понятие вязкости вещества

Вязкость (внутреннее трение) – одно из явлений
переноса, свойство текучих тел (жидкостей и газов) оказывать сопротивление
перемещению одной их части относительно другой. В результате происходит
рассеяние в виде тепла работы, затрачиваемой на это перемещение.

Механизм внутреннего трения в жидкостях и газах
заключается в том, что хаотически движущиеся молекулы переносят импульс из
одного слоя в другой, что приводит к выравниванию скоростей – это описывается
введением силы трения. Вязкость твёрдых тел обладает рядом специфических
особенностей и рассматривается обычно отдельно.

Динамическая вязкость

Внутреннее трение жидкостей, как и газов,
возникает при движении жидкости вследствие переноса импульса в направлении,
перпендикулярном к направлению движения. Справедлив общий закон внутреннего
трения – закон Ньютона:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве

Коэффициент вязкости Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве (коэффициент динамической вязкости,
динамическая вязкость) может быть получен на основе соображений о движениях
молекул. Очевидно, что Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве будет тем меньше, чем меньше время
t «оседлости» молекул.

Динамическая вязкость жидкостей
уменьшается с увеличением температуры, и растёт с увеличением давления.

Кинематическая вязкость

В технике, в частности, при расчёте
гидроприводов и в триботехнике, часто приходится иметь дело с величиной:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве

Кинематическая вязкость в старых
источниках часто указана в сантистоксах (сСт).

Условная вязкость

Условная вязкость – величина,
косвенно характеризующая гидравлическое сопротивление течению, измеряемая
временем истечения заданного объёма раствора через вертикальную трубку
(определённого диаметра). Измеряют в градусах Энглера (по имени немецкого
химика К. О. Энглера), обозначают – °ВУ. Определяется отношением времени
истечения 200 Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве испытываемой жидкости при данной
температуре из специального вискозиметра ко времени истечения 200 Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве дистиллированной воды из того же
прибора при 20 °С.

Ньютоновские и неньютоновские
жидкости

Ньютоновскими называют жидкости, для
которых вязкость не зависит от скорости деформации.

Среди неньютоновских жидкостей, по
зависимости вязкости от скорости деформации различают псевдопластики и
дилатантные жидкости. Если вязкость меняется с течением времени, жидкость
называется тиксотропной. Для неньютоновских жидкостей методика измерения вязкости
получает первостепенное значение.

С повышением температуры вязкость
многих жидкостей падает. Это объясняется тем, что кинетическая энергия каждой
молекулы возрастает быстрее, чем потенциальная энергия взаимодействия между
ними. Поэтому все смазки всегда стараются охладить, иначе это грозит простой
утечкой через узлы

Относительная вязкость

В технических науках часто
пользуются понятием относительной вязкости, под которой понимают отношение
коэффициента динамической вязкости раствора к коэффициенту динамической
вязкости чистого растворителя:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве

где μ – динамическая
вязкость раствора; Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве – динамическая вязкость
растворителя.

4.      Измерение вязкости вещества.

Приборы для измерения вязкости
называются вискозиметрами. В вискозиметрах используются два разных принципа:

•        скорость вытекания жидкости
из малого отверстия или из капилляра;

• скорость падения шарика в вязкой
жидкости.

Первый принцип основан на формуле
Пуазейля, дающей зависимость между объемом жидкости, вытекающей из трубки
радиусом R и длиной I:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве

где Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве и Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве – давление на торцах трубки; R –
радиус трубки; I – длина; t – время вытекания.

Второй принцип измерения
вязкости основан на измерении скорости падения шара в вязкой среде (формула Стокса):

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве

где Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве -скорость падения шара в жидкости; ρ – плотность
материала шара; ρ’ – плотность жидкости; r – радиус
шара.

Одним из широко используемых
приборов для измерения вязкости является вискозиметр Энглера, в котором
измеряется время вытекания 200 г. жидкости по сравнению со временем вытекания
200 г воды через то же отверстие. Вязкость измеряют в градусах Энглера, что
соответствует отношению времени вытекания жидкости ко времени вытекания воды
при тех же условиях. Соотношение между Пуазами и
градусами Энглера дается формулой:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве

где р – плотность жидкости в
г/см3.

Вязкость, обозначенная в
формуле и определенная через силу сопротивления движению –
динамическая
вязкость.

Ударная вязкость,
определяемая, как работа для излома твердого тела, отнесенная к единице
поперечного сечения излома, рассчитывается по формуле:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве

Обратная вязкости величина
называется текучестью:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве

Вискозиметр – прибор для определения
динамической или кинематической вязкости вещества. В системе единиц СГС и в СИ
динамическая вязкость измеряется соответственно в пуазах (П) и паскаль-секундах
(Па·с), кинематическая – соответственно в стоксах (Ст) и квадратных метрах на
секунду (м²/с).

Вискозиметры бывают: капиллярными, ротационными,
с падающим шариком и других типов.Капиллярные вискозиметры. Принцип действия
основан на подсчёте времени протекания заданного объёма жидкости через узкое
отверстие или трубку, при заданной разнице давлений. Чаще всего жидкость из
резервуара вытекает под действием собственного веса, в таком случае вязкость
пропорциональна разнице давлений между жидкостью, вытекающей из капилляра и
жидкостью на том же уровне, вытекающей из очень толстой трубки. Если течение
жидкости в приборе осуществляется только под действием тяжести (например, в
вискозиметре Уббелоде), то при работе капиллярного вискозиметра определяется
кинематическая (не динамическая) вязкость. С помощью капиллярного вискозиметра
измеряются вязкости от 10 мкПа∙с(газы) до 10 кПа∙с. Используют
вискозиметры по ASTM D 445(ГОСТ 33).

Ротационные вискозиметры

Два тела вращения, одинаковых или разных, совмещаются
по осям так, что одно из них прикасается изнутри к другому (примером может
послужить сфера, вписанная в конус). Пространство между телами заполняют
исследуемым веществом, и к одному из тел подаётся крутящий момент, тело
начинает вращаться с угловой скоростью, зависящей от вязкости вещества (у
вискозиметров, как правило, стабилизируется скорость вращения и измеряется
крутящий момент). Диапазон работы стандартных вискозиметров простирается от 1
мПа·с до сотен тысяч Па·с. Такой широкий диапазон измерений достижим за счёт
изменения скорости вращения шпинделя от 0,01 оборота в минуту до 100, а также
за счёт использования шпинделей разных размеров при разных диапазонах вязкости.

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве

Рис 3. Капиллярный вискозиметр. 1 – измерит.
резервуар; 2 – капилляр; 3 – приёмный сосуд; M1 и М2 – метки, служащие для
измерения времени истечения жидкости из измерит. резервуара.

Вискозиметр с движущимся шариком

Вискозиметр основан на законе Стокса. Вязкость
определяется по времени прохождения шариком некоего расстояния, чаще всего под
воздействием его собственного веса. Наиболее известен вискозиметр Гепплера.

Вискозиметр с вибрирующим зондом

Основан на изменении резонансной частоты
колебаний в жидкости различной вязкости. Так как частота будет зависеть и от
плотности измеряемой жидкости, некоторые модели позволяют определять эту
плотность независимо от вязкости, тогда как другие используют заданное
известное значение плотности.

Вискозиметр пузырькового типа

Основан на определении параметров движения
пузырька газа, свободно всплывающего в вязкой среде.

Вискозиметры Брукфильда подразделяются на три
основных типа: аналоговые (с круговой шкалой), цифровые и программируемые.
Основное различие между ними заключается в способе отображения результатов. У
аналоговых вискозиметров результат считывается по указателю на круговой шкале,
а у цифровых выводится на двухстрочный жидкокристаллический дисплей. Кроме
того, цифровые вискозиметры оборудованы аналоговым выходом 0-10 мВ, к которому
можно подключить различные внешние устройства, такие как дисплей, контроллер
или самописец.

Внутреннее устройство аналоговых и цифровых
вискозиметров практически одинаково и также одинакова методика использования.
Оба типа представлены одинаковым рядом моделей, могут работать с одинаковыми
аксессуарами и в целом взаимозаменяемы (одинаковые модели).

Рефераты:  Человек в философии древнего востока - Скачать Реферат - Сочинения - Belaz

Аналоговые вискозиметры самые дешевые. Они
идеально подходят для применений, где надо быстро измерить вязкость, но нет
необходимости в постоянной записи или в измерении реологических характеристик.
Хотя вискозиметр может работать непрерывно, снимать показания можно только
дискретно, когда указатель проходит под смотровым стеклом или когда указатель
зафиксирован и вискозиметр остановлен.

Длительные измерения требуют постоянного
внимания оператора, кроме того, быстро протекающие процессы легче зафиксировать
при постоянном мониторинге. В таких ситуациях лучше использовать цифровые
вискозиметры, которые непрерывно измеряют и показывают вязкость. Такие приборы
можно оставить без наблюдения, а возможность настроить частоту записи показаний
(модель DV-II ) позволяет зарегистрировать самые быстрые реологические
процессы. Некоторые пользователи предпочитаю цифровые вискозиметры, поскольку с
ними отпадает необходимость интерполяции данных, чего иногда невозможно
избежать при работе с аналоговым оборудованием. Точность измерения для обоих
типов одинакова.

Цифровые вискозиметры (за исключением модели
DV-E) можно также использовать с геометрией конус/плита.

Стандартные модели вискозиметров имеют множество
модификаций, например модели с промежуточным крутящим моментом пружины. Чтобы
подобрать модель, оптимальную для Ваших задач, лучше всего получить
консультацию у местного представителя Брукфильда.

Некоторые модели разработаны специально для
специфических применений и не совместимы с традиционными вискозиметрами. Так
модель KU-1 позволяет измерять вязкость в единицах Кребса и предназначена для
лакокрасочной индустрии. Модель САР-1000 позволяет работать с очень высокими
скоростями сдвига (10000, 12000 с-1) при исследовании смол, полимеров и красок.

Весьма существенным преимуществом реометра
DV-III является возможность двусторонней связи с персональным компьютером. Это
позволяет легко программировать и управлять сложными процедурами измерения.
Также можно сохранять все результаты и, при необходимости, преобразовывать их в
формат Excel или другого табличного процессора. Можно получить результаты в
виде графиков, что особенно полезно при интерпретации кривой течения. Графики
испытания разных образцов можно сравнивать, накладывая друг на друга.

Реометр R/S отличается от других моделей тем,
что контролируемым параметром является не скорость вращения шпинделя, а
напряжение сдвига. Среди других преимуществ этого подхода можно выделить
широкий диапазон измеряемой вязкости, возможность измерения предела текучести и
возможность работы с высоковязкими гелями. Как DV-III , так и R/S позволяют
получить детальную информацию о поведении материалов и могут работать
независимо или под управлением персонального компьютера.

Реометр САР-2000 с системой конус/плита
обеспечивает широкий диапазон скоростей сдвига. Он специально сконструирован
для использования в тяжелых заводских условиях и может работать независимо или
под управлением персонального компьютера.

Реометр PVS обеспечивает измерение под давлением
и обычно используется для исследования буровых растворов и флюидов для разрыва
пласта в нефтегазовой индустрии.

Относительно новый реометр YR-1 является
недорогим решением для измерения предела текучести в целях контроля качества.

.        Условия измерений

1. нормальные условия измерений;

Условия измерения, характеризуемые совокупностью
значений или областей значений влияющих величин, при которых изменением
результата измерений пренебрегают вследствие малости.

Нормальные условия измерений устанавливаются в
нормативных документах на средства измерений конкретного типа или по их поверке
(калибровке)

. нормальное значение влияющей величины;

Значение влияющей величины, установленное в
качестве номинального.

Примечание – При измерении многих величин
нормируется нормальное значение температуры 20 °С или 293 К, а в других случаях
нормируется 296 К (23°С). На нормальное значение, к которому приводятся
результаты многих измерений, выполненные в разных условиях, обычно рассчитана
основная погрешность средств измерений

. нормальная область значений влияющей величины;

Область значений влияющей величины, в пределах
которой изменением результата измерений под ее воздействием можно пренебречь в
соответствии с установленными нормами точности.

Пример – Нормальная область значений температуры
при поверке нормальных элементов класса точности 0,005 в термостате не должна
изменяться более чем на ±0,05 °С от установленной температуры 20 °С, т.е. быть
в диапазоне от 19,95 до 20,05 °С

. рабочая область значений влияющей величины;

Область значений влияющей величины, в пределах
которой нормируют дополнительную погрешность или изменение показаний средства
измерений

рабочие условия измерений

Условия измерений, при которых значения влияющих
величин находятся в пределах рабочих областей.

рабочее пространство

Часть пространства (окружающего средство
измерений и объект измерений), в котором нормальная область значений влияющих
величин находится в установленных пределах

предельные условия измерений;

Заключение

Измерение физических параметров вещества, в том
числе, вязкости и плотности, является важной задачей, которая будет постоянно
стоять перед химиком-технологом. Необходимо не только подобрать подходящий
инструмент и правильно им воспользоваться, но и верно определить диапазон
измерений, а также, следить за тем, чтобы эти свойства не изменялись на самых
сложных участках технологической схемы, либо автоматически регулировались.

Список литературы

.     Голубев
И.Ф. Гнездилов Н.Е. Вязкость газовых смесей М.: Госкомстандарт, 1971. – 325 с.

2.      Коллоидная
химия: Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплинам
«Поверхностные явления и дисперсные системы» («Коллоидная химия») для студентов
ХТФ и ФТФ дневного и заочного форм обучения / Сост. Катюхин В.Е., Карбаинова
С.Н. – Томск: Изд. ТПУ, 2004 – 24 с.

.        Евдокимов
И.Н., Елисеев Н.Ю. Молекулярные механизмы вязкости жидкости и газа. Часть 1.
Основные понятия Под ред. проф. В. Б. Нагаева. – М.: РГУ нефти и газа им. И. М.
Губкина, 2005. – 59 с.

.        Лойцянский
Л.Г. Механика жидкости и газа 7-е издание, Дрофа, 2003 г.

.        Филатов
Е.Ю., Ясинский Ф.Н. Математическое моделирование течений жидкостей и газов
Учебное пособие.Ивановский государственный энергетический университет. Иваново,
2007.

.        Тарасов
А.В., Степанова И.В. Определение плотности жидкостей. Методические указания к
лабораторной работе. 2006 Петербургский государственный университет путей
сообщения

.        Борисова
Е.И., Круковский О.Н., Маркова А.В., Муратов О.В. Свойства жидкостей и газов
Методические указания к курсовому проектированию. – Санкт-Петербург, СПбГТИ
(ТУ), 2001. – 23 с.

Реферат: численные методы вычисления интегралов –

Численные методы вычисления интегралов. Метод Ньютона-Котеса. Метод Гаусса

1. Численные методы вычисления интегралов. Постановка задачи

Решая физические задачи, часто приходится вычислять значения определённых интегралов от функций Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве. Во многих случаях, в виду того, что подлежащий вычислению интеграл не выражается через элементарные функции, прибегают к приближённым численным методам.

Прежде всего, рассмотрим случай, когда Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве – конечный интервал.

В таком случае, как известно, функция Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве является ограниченной, т.е. Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве. В этом случае наиболее часто применяемый численный метод интегрирования состоит в том, что интеграл от Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве заменяется некоторой линейной комбинацией значений Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве в Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве точках Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(1)

Формула (1) называется квадратурной формулой, а коэффициенты Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве – квадратурными коэффициентами или весами, абсциссы Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве – узлами квадратурной формулы.

Методы численного интегрирования классифицируются в зависимости от того, заданы ли значения аргумента через равные промежутки или нет. Так методы Ньютона-Котеса требуют, чтобы значения Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве были заданы с постоянным шагом, а методы Гаусса не налагают такого ограничения. Перейдём к рассмотрению этих методов.

2. Методы Ньютона-Котеса

Пусть Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве различные точки отрезка Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве, служащие узлами интерполяции для некоторой интерполирующей функцию Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве функции Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве. Тогда имеем:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(2)

где Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве – остаточный член. Предположим, что

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(3)

Рефераты:  Криминологическая характеристика корыстных преступлений – тема научной статьи по праву читайте бесплатно текст научно-исследовательской работы в электронной библиотеке КиберЛенинка

причём Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве подобраны так, чтобы все интегралы

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(4)

можно вычислить точно. Тогда мы получаем квадратурную формулу

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(5)

2.1 Формула трапеций

Частным случаем методов Ньютона-Котеса является квадратурная формула трапеции. Подынтегральную функцию будем интерполировать по формуле Лагранжа, в том случае, когда на каждом отрезке деления принимается линейная интерполяция, а результаты суммируются (рис 1):

Рис. 1.

а) графический вывод:

Определённый интеграл Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве, как известно, задаёт площадь Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве криволинейной трапеции Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве, поэтому, вписав ломаную в дугу кривой Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве, мы получаем, что площадь криволинейной трапеции можно приближённо вычислить как сумму площадей трапеций:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(6)

Между тем, очевидно, что

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(7)

Так как, в методах Ньютона-Котеса, Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве, учитывая (6) получаем:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(8)

или, соединяя подобные члены, имеем:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(9)

Формула (9) – называется формулой трапеций.

б) Аналитический вывод:

Выведем формулу трапеции аналитическим способом. Для этого используем интерполяционный многочлен Лагранжа для отрезка Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве, построим многочлен первой степени, который на концах отрезка принимает заданные значения Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве. Ясно, что в таком случае интерполирующая функция Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве имеет вид:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(10)

т.к. в методе Ньютона-Котеса Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве, учитывая (3) и (4), из (10) получаем:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(11)

Аналогично, Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве, т.е.

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве (12)

Таким образом, получаем формулу:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(13)

тогда, используя свойство аддитивности оператора интегрирования, имеем:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(14)

где Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве. Получили формулу (14) трапеций, которая естественно, совпадает с (9).

2.2 Формула Симпсона

Рассмотрим метод Ньютона-Котеса (т.е. Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве), в случае интерполяции подинтегральной функции квадратичными функциями на каждом интервале деления. В данном случае мы имеем дело с параболическим интерполированием, поэтому на каждом интервале Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве, необходимо знание значения функции Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве в трёх точках (т.к. Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве имеет 3 неизвестных параметра – коэффициенты Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве). В качестве третьей точки на каждом отрезке Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве – выбирается середина этого отрезка, т.е. точка Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве.

Вывод формулы Симпсона будем производить аналитически. Как и в предыдущем случае применяем интерполяционный многочлен Лагранжа, для интерполирования функции Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве, на отрезке Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве, при чём считаем, что нам известны значения Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве. Тогда, очевидно, что многочлен Лагранжа имеет вид квадратичной функции:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(15)

Интегрируя (15) на отрезке Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве будем иметь формулу:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(16)

используя свойство аддитивности интеграла, получаем:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(17)

где Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеявляется четным числом
(Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве– число делений отрезка Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве,т.е. число равных отрезков разбиения).

Формула (17)-называется формулой Симпсона
.

Приняв обозначения Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве, получаем привычный вид квадратурных формул:

а) Формула трапеций:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(18)

б) Формула парабол (Симпсона) (при Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве)

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(19)

2.3 Метод Ромберга

Пусть промежуток интегрирования разбит на Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве равных частей и для этого разбиения по формуле трапеции получено значение Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве. Значение Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве – совпадает со значением вычисляемого интеграла, если интегрируемая функция Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве линейна, т.е. является многочленом первой степени. По формуле:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(20)

называемой формулой Ромберга
, построим Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве– схему:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(21)

Оказывается, что для интегрируемых по Риману функций, все столбцы и строки Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве– схемы сходятся к исходному значению интеграла.

Пример:
Выписать явные формулы для фрагмента Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве– схемы:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве

Решение
:

Пусть Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеТогда

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве

3. Квадратурные формулы Гаусса

Во всех приведенных до сих пор формулах численного интегрирования Ньютона-Котеса и во всех формулах, получаемых методом Ромберга, используются равноотстоящие узлы. В случае квадратурных формул Гаусса это уже не так. Иначе говоря, смысл квадратурных формул Гаусса состоит в том, чтобы при наименьшем возможном числе узлов точно интегрировать многочлены наивысшей возможной степени. Можно показать, что при Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствегауссовых узлах по полученной формуле можно точно интегрировать многочлены степени Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве.

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(22)

Для количества узлов и соответствующих значений Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеи Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве– составлены таблицы, которые позволяют вычислять интегралы по формуле (22).

Для понимания сути этих таблиц рассмотрим пример.

Пример:

Пусть нам нужно составить квадратурную формулу с двумя узлами Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве,по которой точно интегрируются многочлены до Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствестепень включительно.

Решение:
Искомая формула имеет вид:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве
,(23)

где Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве – остаток, который обращается в нуль, для

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве, при Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве.

Тогда, подставляя в (23) имеем:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(24)

Отсюда, приравнивая коэффициенты при Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве, справа и слева, получаем систему уравнений:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(25)

Ее решение имеет вид:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(26)

Следовательно, искомая квадратурная формула такова
:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве.(27)

Ясно, что если нам нужно вычислить интеграл со многими узловыми точками, действуем следующим образом:

а) промежуток интегрирования Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве делим на Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве– равных промежутков и на каждом маленьком промежутке Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве применяем формулу Гаусса с неравноотстоящими узлами (27);

б) полученные результаты складываем.

В случае, когда Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве, оказывается, что узловыми точками при делении отрезка на Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве– частей являются корни соответствующих многочленов Лежандра.

Для вычисления кратных интегралов, их сводят обычно к повторным интегралам, а далее применяют те же самые кубатурные формулы для каждого значения узловых точек, что и в одномерном случае. Однако, надо иметь в виду, что кратные интегралы значительно сложнее вычислять с заданной точностью.

Точность произведённых вычислений зависит от точности аппроксимации подынтегральной функции многочленами.

4. Оценка интегралов

При численном интегрировании наряду с приближёнными формулами представляет также интерес нахождение нижних и верхних границ интегралов. Рассмотрим два метода оценки интегралов:

а) оценка интеграла в случае, когда подинтегральная функция Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве, удовлетворяет условию:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве для Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(28)

б) общий случай.

Рассмотрим интеграл:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(29)

где Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве, Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве. Не умоляя общность, будем считать, что Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве, Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве, тогда (Рис. 1) ясно, что

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве

К Е

N

М

0 Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве

Рис. 1

0 Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительствеОсновные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве

Площадь криволинейной трапеции Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве заключена между площадями aMNb и aKEb, т.е.

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(30)

Очевидно, что

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(31)

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(32)

Таким образом, для оценки интеграла в случае Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве, имеем:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(33)

если же Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве, неравенство (33) заменяется на обратное.

б) Другой принцип грубой, но зато общей оценки значения интеграла, основан на «монотонности» интеграла. При этом способе подынтегральную функцию приближают снизу и сверху интегрируемыми в замкнутом виде функциями Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве и Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве, т.е.

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве, Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(34)

Тогда

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(35)

5. Вычисление интегралов методом Монте-Карло

Пусть нам нужно вычислить интеграл:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(36)

В случае, когда методы Ньютона-Котеса и Гаусса работают плохо, приходится обращаться к вероятностным методам случайного поиска. К таким методам относится метод Монте-Карло.

Для вычисления интеграла (36) методом Монте-Карло, заменим переменную интегрирования Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве таким образом, чтобы пределы интегрирования Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве отобразились соответственно в Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве. Для этого нужно воспользоваться преобразованием:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(37)

тогда интеграл (36) принимает вид:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(38)

Для вычисления же интеграла на Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве имеем формулу:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(39)

где Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве – случайные числа, равномерно распределённые на Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве. Таким образом, по методу Монте-Карло, интеграл (36) считается по формуле:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(40)

где Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве – равномерно распределённые случайные числа из промежутка Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве.

Аналогично, для кратных интегралов. Получаем:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(41)

где Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве – случайные точки, равномерно распределённые на квадрате Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве (Здесь знак «Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве» означает декартовое произведение).

В случае, когда область интегрирования является сложным множеством Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве (рис. 6), пользуемся прямоугольником Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве, который описывается вокруг множества Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве. И интеграл по множеству Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве заменяем интегралом по прямоугольнику Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве, который уже умеем вычислять по формуле (41). Замена интеграла по множеству Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве производится соотношением:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(42)

где

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(43)

таким образом:

Основные методы испытаний и критерии качества кирпича в строительстве(44)

который легко рассчитывается по формуле (41).

Аналогично вычисляются и трёхкратные интегралы. Этот подход легко обобщается для n-кратных интегралов.

Литература

1. Р.В. Хемминг. Численные методы, Наука, М.,1998

2. Коллатц., Ю.Альбрехт. Задачи по прикладной математике. Мир, М.,1998.

3. Т.Шуп. Решение инженерных задач на ЭВМ. Мир, М., 1992.

4. К.Бреббия, Ж. Теллес, Л. Врубел.Методы граничных элементов. Мир, М.,1987.

5. И.С.Берехин., Н.П.Жидков. Методы вычислений, ч.1., М.,1982.

Оцените статью
Реферат Зона
Добавить комментарий