Что такое перпендикулярность двух плоскостей
Двугранным углом называется фигура, образованная двумя различными полуплоскостями и прямой (а) — их общей границей.
Линейным углом данного двугранного угла является (angle AOB), где (О) — произвольная точка на прямой (а), а (АО) и (ВО) — перпендикуляры к прямой (а).
Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера любого из его линейных углов.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Две плоскости называют перпендикулярными, если угол между ними прямой ((90^circ).)
Перпендикулярность двух плоскостей и двух прямых
Вспомним стереометрический признак перпендикулярности двух плоскостей. Если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Вот почему плоскость, перпендикулярную заданной, можно провести либо через прямую, перпендикулярную к заданной плоскости, либо перпендикулярно прямой, лежащей в заданной плоскости.
На рис. 93 изображена плоскость треугольника ЛВС и произвольная прямая общего положения DE.
Рис. 93
Чтобы провести через прямую DE плоскость, перпендикулярную к плоскости треугольника ЛВС, достаточно провести через прямую DE (в нашем случае — через точку D прямой DE) прямую DF, перпендикулярную к плоскости треугольника АВС. Два пересекающихся отрезка FD и DE составляют в совокупности плоскость, перпендикулярную к ААВС. Если требуется провести плоскость, перпендикулярную к заданной, при условии, чтобы она прошла через точку вне заданной плоскости, такое условие допускает возможность множества различных решений. Одно их них представлено на рис. 94. В плоскости можно провести произвольную прямую AD, а искомую плоскость провести перпендикулярно этой прямой, задав ее гори-
Рис. 94
зонталью и фронталью будущей плоскости, проходящими через заданную точку М.
Что касается перпендикулярности двух прямых общего положения (напоминаем, что прямой угол между прямыми общего положения проецируется на обе плоскости проекций в искаженном виде, как трактует общий случай перпендикулярности двух прямых), здесь снова уместно использовать известный стереометрический признак перпендикулярности двух прямых. Две прямые перпендикулярны, если одна из них лежит в плоскости, перпендикулярной к другой прямой.
При решении задач на перпендикулярность двух прямых общего положения пользуются вспомогательной плоскостью-посредником, перпендикулярной к одной из прямых и проходящей через другую прямую.
На рис. 95 требуется достроить недостающую проекцию отрезка ВС, если известно, что угол АВС — прямой.
Через вершину угла проводим горизонталь h и фронталь /так, чтобы они составили основу предстоящей плоскости-посредника: /j и hl проводим параллельно оси проекций, а/2 и h2 — перпендикулярно соответственным проекциям отрезка АВ.
Поскольку, по определению, отрезок ВС лежит в плоскости-посреднике Е (f п h), нетрудно вписать его в плоскость с помощью произвольного отрезка DC, что дает возможность построить сначала недостающую проекцию С, точки С, а затем и всю недостающую горизонтальную проекцию отрезка ВС.
Рис. 95
Пример для самостоятельной работы
Упражнение 7.2
Для закрепления навыков построения двух перпендикулярных друг другу плоскостей предлагается задача, решение которой дается в динамике построений в соответствии со ступенями алгоритма.
Через прямую а (а а2) провести плоскость, перпендикулярную к плоскости, заданной проекциями АЛВС (рис. 96).
В плоскости, заданной проекциями АЛВС, проводим горизонталь Л1 и фронтальС2 С{12) (рис. 97).
Рис. 97
Через произвольную точку D (D{, D2) на прямой а (а а2) проводим прямую b (Ь, Ь2) перпендикулярно к соответствующим проекциям фронтали и горизонтали Ъ2 ± С212, bx ±А{ 1
Плоскость, образованная двумя пересекающимися прямыми а п Ь, представлена на рис. 98.
Перпендикулярность прямой и плоскости
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Перпендикулярные прямые
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними составляет 
При этом прямые могут пересекаться,
а могут быть скрещивающимися:
Признак перпендикулярности плоскостей
Дано: (alpha,beta) — плоскости, (alphacapbeta), (а) — прямая, (аinbeta, аperpalpha.)
Доказать: (betaperpalpha)
Доказательство:
Пусть (acapalpha=A, alphacapbeta=b. аperpalpha), значит а перпендикулярная любой прямой, принадлежащей плоскости (alpha). В плоскости (alpha) через точку (А) проведем прямую (AC), причем (ACperp b).
Из этого следует, что (angle BAC) — линейный угол двугранного угла, образованного пересечением данных плоскостей. Мы знаем, что (аperpalpha), то есть и (ABperpalpha), значит (angle )(BAC=90^circ) и ((widehat{alpha;beta})=90^circ).
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Примеры в повседневной жизни
- стена и потолок;
- грани коробки;
- спинка и сиденье стула.
Примеры решения задач
Дано: двугранный угол (CABD=120°, ACperp AB, ACsubsetalpha, BDperp AB, BDsubsetbeta, AB=AC=BD=a.)
Найти: (CD)
Решение:
Рассмотрим данный двугранный угол: в одной полуплоскости лежит точка (C) и прямая (AC), перпендикулярная прямой (AB), в другой полуплоскости лежит точка (D) и прямая (BD), перпендикулярная (AB).
Проведем (AK) и (DK,) так что (AKperp AB, DKparallel AB). Тогда (angle KAC=120^circ) — линейный угол двугранного угла.
Рассмотрим четырехугольник (AKBD):
Мы знаем, что и (AK) и (BD) перпендикулярны (AB), значит они параллельны. (AB) так же параллельна (DK) по построению, значит (AKBD) — параллелограмм, а точнее прямоугольник. Из этого следует, что (AK=BD=a.)
Рассмотрим (triangle AKC:)
По теореме косинусов: (CK^2=AC^2 AK^2-2cdot ACcdot AKcdotcosangle CAK=a^2 a^2-2cdot acdot acdotcos120^circ=2a^2 a^2=3a^2)
(ABperp(CAK)), так как перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости, значит и (DKperp(CAK)). Поэтому (DKperp CK) и (triangle CKD) —прямоугольный.
По теореме Пифагора:
(CD=sqrt{CK^2 KD^2}=sqrt{3a^2 a^2}=2a)
Ответ: (2a)
Дано: ABCD — тетраэдр, (angle BAB=angle DAC=angle ACB=90^circ, AC=CB=5, DB=5sqrt5.)
Найти: (angle(ABCD))
Решение:
(DAperp(ABC)) т.к. A(B,;ACsubset(ABC), ABcap AC, DAperp AB, DAperp AC). Тогда по теореме о трех перпендикулярах (DCperp BC) ((BC) — прямая, (AC) — проекция DC на ((ABC), DC) — наклонная). Значит (angle ACD) — линейный угол искомого двугранного угла.
Рассмотрим прямоугольный (triangle CBD:)
Свойства
- Если прямая лежит в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярна линии их пересечения, то эта прямая перпендикулярна другой плоскости.
- Если прямая, проведенная через точку одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна другой плоскости, то она лежит в первой из них.
- Теорема отвеса: если прямая, проведенная через точку одной из двух пересекающихся плоскостей, перпендикулярна другой плоскости и не лежит в первой, то данные плоскости не перпендикулярны.
- Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости.
