План: Введение Вспомним теорию Бесконечная геометрическая прогрессия Назад в историю Задачи древности

Районный отдел образования, молодёжной политики, физической культуры и спорта администрации Моргаушского района

Районная конференция-фестиваль творчества обучающихся

«EXCELSIOR – 2009»

Направление: естественно-технические науки

Секция Математика

Прогрессия – движение вперёд!

Выполнили: Егорова Ольга, Николаев Евгений

Ученики 9-ого класса

МОУ«Орининская средняя общеобразовательная школа»

Научный руководитель:

Алексеева Татьяна Петровна,

учитель математики

МОУ«Орининская СОШ»

Моргаушского района ЧР

с. Оринино 2009

План:

1. Введение
2. Вспомним теорию
3. Бесконечная геометрическая прогрессия
4. Назад в историю
5. Задачи древности
6. Исторические факты
7. Прогрессии в литературе
8. Прогрессии в экономике
9. Разоблачение вурдалаков. И тут прогрессия!
10. Интересные факты. Заключение.
11. Список использованной литературы

I. Введение

В работе рассмотрены вопросы, связанные с историей развития одного из понятий математики, занимавшего умы многих великих людей. Это последовательности.

Понятие «последовательность» связывает математику с явлениями науки и жизни: дни, недели, названия месяцев и т.д. (Последовательности составляют такие элементы природы, которые можно пронумеровать). В курсе алгебры 9 класса выделяются и исследуются два специальных вида последовательностей – арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

Удивительно, сколько открытий помогли сделать прогрессии. Пусть не все они жизненно важны, но всё-таки открывают человеку глаза на многие вещи.

В школьном курсе математики довольно мало внимания уделяется задачам на прогрессии, с которыми встречаемся в жизни, в основном решаем задачи связанные с непосредственным применением изученных формул. Цель настоящего реферата – изучение методов решения таких задач, решение нескольких задач на начисление простых и сложных процентов.

В 2009 году будут приняты новые учебные стандарты, где образование будет нацелено на практическое применение знаний учащихся в нашем сложном мире.

^

^

Софизм – головоломка, хитроумное высказывание, хорошо замаскировавшее ошибку. Нахождение ошибок в математических софизмах помогло развитию математики.

Вот известный софизм Зенона из города Элеи:

«Чтобы пройти путь в один километр, нужно непременно миновать его середину», – утверждал Зенон. Само по себе утверждение верно. Но далее Зенон рассуждает так: «Если мы дошли до середины пути, перед нами остаётся ещё полпути, у которого есть своя середина. И так без конца. Сколько бы мы не шли, впереди всегда есть какая-то не пройденная часть пути, у которой есть своя середина».

Докажем, что Зенон заблуждался.

Рассмотрим последовательность чисел:

1/2; 1/4; 1/8; 1/16; 1/32; 1/64 и т. д.

Получается бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Найдём её сумму:

Чем больше членов прогрессии возьмём, тем ближе их сумма будет стоять к числу 1 на оси последовательности чисел. Но эта сумма никогда не превзойдёт число 1.

^

Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.

Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать. Например, в древнеегипетском папирусе Ахмеса (ок. 2000 до н.э.) приводится задача: “Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 людьми так, чтобы разность мер ячменя, полученного каждым человеком и его соседом, равнялась 1/8 меры”. В этой задаче речь идет об арифметической прогрессии. Условие задачи, пользуясь современными обозначениями, можно записать так: S=10, d=1/8, а1, а2, …, а10.Решение этой задачи приводит к сумме пяти членов геометрической прогрессии

^

В Древнем Египте знали не только арифметическую, но и геометрическую прогрессию. Об этом свидетельствует приведенная ниже задача из папируса Райнда. Эта задача много раз с разными вариациями повторялась и у других народов в другие времена.

– Например, в написанной в XIII в. «Книге об абаке» Леонардо Пизанского (Фибоначчи) есть задача, в которой фигурируют 7 старух, направляющихся в Рим (очевидно, паломниц), у каждой из которых 7 мулов, на каждом из которых по 7 мешков, в каждом из которых по 7 хлебов, в каждом из которых по 7 ножей, каждый из которых в 7 ножнах. В задаче спрашивается, сколько всего предметов.

– В ^ была известна похожая задача. В одном древнегреческом папирусе приводится задача: “Имеется 7 домов, в каждом по 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышка съедает 7 колосьев, каждый из которых, если посеять зерно, дает 7 мер зерна. каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышка съедает 7 колосьев, каждый из которых, если посеять зерно, дает 7 мер зерна. нужно подсчитать сумму числа домов, кошек, мышей, колосьев и мер зерна.”

– И на Руси решались похожие задачи. Еще в XIX веке в деревнях загадывали:

“Шли 7 старцев.

У каждого старца по 7 костылей.

На каждом костыле по 7 сучков.

На каждом сучке по 7 кошелей.

В каждом кошеле по 7 пирогов.

В каждом кошеле по 7 воробьев.

Сколько всего?

^

У семи лиц по семь кошек; каждая кошка съедает по семь мышей, каждая мышь съедает по семь колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»

Решение задачи

Людей всего 7, кошек 72 = 49, они съедают всего 73 = 343 мыши, которые съедают всего 74 = 2401 колосьев, из них вырастает 75 = 16807 мер ячменя, в сумме эти числа дают 19 607.

^

В древней индии шах Шерам посулил любую награду за интересную игру, к которой он долгой время не потерял бы интерес. Ученый Сета изобрел шахматы и попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую – в 2 раза больше, т. е. 2 зерна, на третью – еще в 2 раза больше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64 клетки. Шерам рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него изобретатель шахмат.

Решение задачи

К ужасу шаха он не мог выполнить пожелание ученого.

Нетрудно сосчитать, используя формулу

,

что количество зерна, нужное для расплаты, составляет:

18 446 744 073 709 551 615

Если бы принцу удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и пустыни, и Арктику с Антарктикой, то получить удовлетворительный урожай, то за пять лет он смог бы рассчитаться с просителем. Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до нашего времени.

Эта задача привлекла внимание Л.Н.Толстого.

Приведем часть его расчета:

^

Некто продавал коня и просил за него 1000 рублей. Купец сказал, что за коня запрошена слишком большая цена. “Хорошо, – ответил продавец, – если ты говоришь, что конь дорого стоит, то возьми его себе даром, а заплати только за его гвозди в подковах. А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. И будешь ты мне за них платить таким образом: за первый гвоздь полушку, за второй гвоздь заплатишь две полушки, за третий гвоздь – четыре полушки, и так далее за все гвозди: за каждый в два раза больше, чем за предыдущий”. Купец же, думая, что заплатит намного меньше, чем 1000 рублей, согласился. Проторговался ли купец, и если да, то насколько?

Решение задачи

За 24 подковных гвоздя пришлось уплатить:

копеек. Эта сумма равна:

копеек, т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.

^

Архимед (3 век до н. э.) для нахождения площадей и объемов фигур применял “атомистический метод”, для чего ему потребовалось находить суммы членов некоторых последовательностей. Он вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел и показал, как найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия “арифметическая” и “геометрическая” были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в 3 веке). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида “Начала” (3 век до н.э.).

Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книги абака» в 1202г. (Леонардо Пизанский)

Известна интересная история о знаменитом немецком математике К. Гауссе (1777 – 1855), который в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за минуту. Сообразив, что суммы 1 100, 2 99 ит. д. равны, он умножил 101 на 50, т. е. на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, которая присуща арифметической прогрессии.

^

Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями! Так, вспомним строки из «Евгения Онегина»

…Не мог он ямба от хорея

Как мы не бились отличить…

Ямб – это стихотворный размер с ударением на чётных слогах 2, 4, 6, 8…Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

Хорей – это стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1, 3, 5, 7…,в которой первый член равен 1 и разность прогрессии равна 2.

^

Ямб

«Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил…»

Прогрессия 2; 4; 6; 8…

А.С.Пушкин

Хорей

«Я пропАл, как звЕрь в загОне…»

Прогрессия 1; 3; 5; 7…

Б.Л. Пастернак

^

Представьте, что Вы стоите перед дилеммой: либо получить 100 тысяч долларов прямо сейчас, либо в течение 28 дней получать монетку в 1 цент, которая ежедневно удваивается.

Что бы Вы предпочли?

Решение задачи

Большинство людей выберет 100 тысяч долларов, думая, что это большая сумма. Но они не учитывают эффект прогрессии. Если маленькая монетка в один цент будет ежедневно удваиваться, то к 28-му дню Вы получите 2.68 миллионов долларов!

Этот эффект геометрической прогрессии часто используют в бизнесе.

План маркетинга Герболайфа позволяет использовать все преимущества геометрической прогрессии.

^

.

В начале позапрошлого века случилась прелюбопытнейшая история, которая имеет непосредственное отношение к теме нашей статьи. Штабс-капитан Соловьев, роясь в ящиках старого письменного стола, обнаружил пачку фамильных бумаг, а среди них — сберегательную книжку своего предка, голландского боцмана Нахтигаля, который по приглашению Петра I в начале XVIII в. приехал в Россию, чтобы обучать морскому делу молодых российских дворян. Иностранный специалист, похоже, планировал вернуться на родину, потому что в неком амстердамском банке оставил вклад на 240 гульденов — приличную по тем временам сумму.

Но судьба распорядилась иначе. Боцман Нахтигаль был человеком принципиальным и дворянским детям спуску не давал. Обиженные родители нерадивых учеников решили извести строгого учителя и написали на него ложный донос Петру. Тот оказался скор на расправу и приказал отрубить несчастному голландцу руки и ноги. Приговор привели в исполнение. Но вскоре Петр получил доказательства невиновности осужденного. Царь тотчас же отправился к искалеченному Нахтигалю, на коленях молил его о прощении и пожаловал ему и всем его потомкам дворянство. Фамилия голландского боцмана переводится на русский как «соловей», вот и стал он родоначальником российских дворян Соловьевых. Но вот в Амстердам ему попасть уже не пришлось.

Сберегательную книжку прадеда штабс-капитан Соловьев обнаружил где-то около 1910 г. Оказалось, что банк, которому Нахтигаль доверил свои сбережения, работает до сих пор. Даже адрес не изменился! И наследник имел право получить вклад! Но когда подсчитали сложные проценты, которые набежали на прошедшие пару веков, оказалось, что сумма, которую банк должен выплатить, превышает национальный доход Голландии. Банкиры предложили Соловьеву 15 млн. гульденов отступного. Он было согласился, но тут вмешались российские власти, которые остро нуждались в валюте. Дело должны были рассматривать в Международном суде в Гааге, но началась Первая мировая война, потом в России случилась революция, и об этой истории забыли.

На первый взгляд рассказ этот кажется невероятным: даже если бы боцман положил свои 240 гульденов под 100% годовых, за два века его вклад должен был бы увеличиться в 200 раз, но это все равно меньше 50 000. Откуда такие астрономические цифры?

Все дело в сложных процентах. Когда вы кладете деньги на счет с капитализацией процентов в конце каждого месяца, это значит, что в конце каждого месяца банк начисляет вам положенные проценты за истекший месяц и прибавляет их к сумме вклада. И в конце следующего месяца проценты рассчитывают уже исходя из «потяжелевшей» суммы. Простые же проценты начисляются всегда на одну и ту же сумму: ту, которую вы внесли в банк, открывая депозит.

Существует две основные схемы наращения капитала:

– схема простых процентов;

– схема сложных процентов.

Первым делом банковские вклады отличаются способом начисления процентов. Опустим все экономические сложности и покажем, в чём отличие между простыми и сложными процентами. Если проценты простые, то это значит, что деньги за определённый период времени будут начисляться на изначальную сумму вклада. Вклад со сложным процентом отличается от предыдущего тем, что проценты приписываются к первоначальному вкладу (капитализируются) через определенный период и затем, через следующий период, проценты уже начисляются на всю сумму.

Предположим, что вы положили на счёт в банке 100 тысяч рублей. Рассмотрим таблицу, в которой чётко видна разница между простыми и сложными процентами.

В схемах простых и сложных процентов несложно заметить закономерности. Цепочка чисел, образующаяся при начислении простых процентов, составляет арифметическую прогрессию. Действительно, каждая сумма, начиная со второй, больше предыдущей на одно и то же количество денег. А при начислении сложных процентов сумма возрастает в геометрической прогрессии, так как каждая, начиная со второй, больше предыдущей на одно и то же число.

Это наглядный пример того, что знание арифметической и геометрической прогрессий помогает человеку, облегчает ему жизнь.

^

Удивительно, сколько открытий помогли сделать прогрессии. Пусть не все они жизненно важны, но всё-таки открывают человеку глаза на многие вещи.

Основываясь на математическом принципе геометрической прогрессии, ученый-разоблачитель представил также свои доказательства того, что вампиров не существует. Его аргументы сводятся, в сущности, к следующему: если бы страшные кровопийцы однажды вышли на охоту, им понадобилось бы всего два с половиной года, чтобы извести весь род людской.

Считается, что, высасывая кровь своих жертв, вурдалаки превращают их в таких же монстров, как они сами. Предположим, вампиру нужно подкрепляться свежей кровушкой хотя бы раз в месяц. Тогда пращур всех вурдалаков должен был убивать по одному человеку в 30 дней. К началу 1600 года – расцвету легенд о вампирах – население Земли составляло около 540 миллионов человек. Если бы кровопийца укусил хотя бы одного человека в январе, то в феврале на планете было бы уже два вампира. В марте, естественно, – четыре, потому что укушенному тоже требовалась свежая кровь. В апреле их было бы уже восемь и так далее в геометрической прогрессии, где первый член равен 1,знаменатель прогрессии равен 2. Параллельно численность населения идет на убыль. И уже через два с половиной года на Земле не осталось бы ни одного человека, абсолютно все превратились бы в вампиров. Используя принцип доведения до абсурда, профессор Эфтимиу делает вывод, что вурдалаков не существует, поскольку их существование противоречит существованию человеческого рода.

^

Удивительно, насколько важны геометрическая и арифметическая прогрессии! Где только они не встречаются!

1) Химия. При повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химических реакций растет по геометрической прогрессии.

2) Геометрия. Вписанные друг в друга правильные треугольники образуют геометрическую прогрессию.

3) Физика. И в физических процессах встречается эта закономерность. Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на две части. Получаются два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывает их еще на 4 части и т.д. – это геометрическая прогрессия.

Брошенное с некоторой высоты тело в первую секунду падает на 5м, а каждую следующую на 9,8м больше, чем в предыдущую.

4) Биология. Микроорганизмы размножаются делением пополам, поэтому при благоприятных условиях, через одинаковый промежуток времени их число удваивается.

5)Экономика. Вклады в банках увеличиваются по схемам сложных и простых процентов. Простые проценты – увеличение первоначального вклада в арифметической прогрессии, сложные проценты – увеличение в геометрической прогрессии.

(Розничные цены (с НДС), рублей)

Можете проверить!

Заканчивая описание прогрессий, хочется лишний раз повторить, что за видимой простотой прогрессий скрывается большой прикладной потенциал этого раздела алгебры.

Закончился двадцатый век.

Куда стремится человек?

Изучен космос и моря,

Строенье звезд и вся земля.

Но математиков зовет

Известный лозунг:

Прогрессия – Движение вперёд!

^

1. В. С. Крамор, Повторяем и систематизируем школьный курс

алгебры и начал анализа, Москва, Просвещение, 1990 г.

2. С. А. Теляковский, Алгебра, учебник для 8 класса средней школы,

Москва, Просвещение, 1987 г.

3. В.В.Вавилов, И.И.Мельников, С.Н.Олехник, П.И.Пасиченко. Задачи по математике. Алгебра. Москва, «Наука», 1987.

4. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков “Алгебра”. “Учебник для 9 класса с углубленным изучением математики”. “Мнемозина”, М., 2004

5. Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учебник. — 3-е изд. — М., Экономика 2004

6. Юшкевич А.П. Хрестоматия по истории математики.

7. Учебники для средней школы и соответствующие пособия для учителя.