Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02

Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02 Реферат

1 точные и приближенные методы вычисления
определенных интегралов. оценка погрешностей
методов

    1. Понятие определённого интеграла

Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [a,b], a<b, выполним
следующие действия.

С помощью точек  разобьём отрезок [a,b] на n частичных отрезков (рисунок 1).

Рисунок 1. Геометрический
смысл определённого интеграла

Далее на каждом частичном отрезке , i=1,2,…,n выберем
произвольную точку и вычислим значение функций в ней,
т.е. величину [1].

Умножив найденное значение
функций на длину соответствующего частичного отрезка: , составим сумму Sn 
всех таких произведений:

.            
(1)

Сумма вида (1) называется
интегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a,b]. Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка.
Для того что бы найти предел интегральной
суммы (1), когда так, что :

Если при 
этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не 
зависит от способа разбиения отрезка
[a,b] на частичные отрезки, ни от
выбора точек в них, то I называется определённым интегралом
от  функции y=f(x)  на отрезке [a,b] и обозначается  . Таким образом,

Далее сформулируем
теорему существования определённого интеграла.

ТЕОРЕМА (Коши).
Если функция y=f(x)  непрерывна на отрезке  [a,b] то определённый 
интеграл существует [1].

Отметим, что 
непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости.
Однако определённый интеграл может существовать
и для некоторых разрывных функций, имеющей
на нем конечное число точек разрыва [1].

2.1 Формула Ньютона-Лейбница.

Если  для 
непрерывной на отрезке [a;b] функции y=f(x) может быть найдена её первообразная F(x), то простым
и удобным методом вычисления определённого
интеграла является  формула Ньютона-Лейбница:
[2]

.                                 
(2)

Пример применения
формулы Ньютона-Лейбница:

2.2 Формула интегрирования по частям

   Если 
функции u=u(x) и v=v(x)имеют непрерывные производные
на отрезке [a,b], то имеет место формула

                                          
(3)

Доказательство. На отрезке [a,b] имеет место равенство . Следовательно, функция uv есть первообразная для непрерывной
функции . Тогда по  формуле Ньютона-Лейбница
имеем:

Следовательно,

Формула (3) называется формулой интегрирования
по частям для определённого интеграла.[2]

Пример:

Положим

Применяя формулу (3), получаем

2.3 Замена переменной в определенном интеграле

Пусть для вычисления
интеграла от непрерывной функции сделана подстановка  .

Если:

1) функция  и ее производная непрерывны при ;

2) множеством значений 
функции  при является отрезок [a,b];

3) .[2]

.                               
(4)

Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке
[a,b]. Тогда по 
формуле Ньютона-Лейбница . Так как , то  является первообразной для функции , Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница
имеем:

Формула (4)  называется формулой замены
переменной в определенном интеграле.

Пример.

Положим x=2sint, тогда. Если x=0, то t=0; если  x=2, то 

3 Приближенные методы вычисления
определённых интегралов

Нахождение первообразной функции иногда
весьма сложно, кроме того как известно
не для всякой непрерывной функции ее
первообразная выражается через элементарные
функции. В этих случаях прибегают к приближенным
формулам, с помощью которых определённый
интеграл находится с любой степенью точности.

Рассмотрим несколько 
формул приближенного вычисления определённого
интеграла, основанные на геометрическом
смысле определённого интеграла [1].

3.1 Метод прямоугольников

Как говорилось
выше, вычисление интеграла  равносильно вычислению площади некоторой
фигуры – криволинейной трапеции с параллельными
«основаниями» x = a, x = b и «боковыми сторонами»             y= 0, y=f(x) (рисунок 1).

Разобьём интервал интегрирования на
n равных частей, каждая длиной

Приближенное значение интеграла 
получается в виде суммы площадей
n прямоугольников, высота которых равна
значению f(x) на левом краю каждого подинтервала
(рисунок 2):

То есть формула 
численного интегрирования имеет вид:

                                        
(5)

и называется формулой «левых» прямоугольников.[3]

Рисунок 2. Геометрическая интерпретация
метода «левых» прямоугольников.

Если в качестве
приближенного значения площади 
для каждого подинтервала принять площадь прямоугольника,
высота которого равна значению f(x) на правом
краю подинтервала (рисунок 3), то формула
численного интегрирования имеет вид:

                   
                  
(6)

и называется формулой «правых»
прямоугольников.

Рисунок 3. Геометрическая интерпретация
метода «правых» прямоугольников.

Существует 
третья модификация метода прямоугольников 
– метод «средних» прямоугольников.
В этом случае в качестве приближенного 
значения площади для каждого 
подинтервала принимается площадь 
прямоугольника, высота которого равна значению f(x) в средней
точке подинтервала (рисунок 5).[3]

Рисунок 5. Геометрическая интерпретация
метода «средних» прямоугольников.

Тогда формула 
численного интегрирования имеет вид:

              
                     
(7)

Абсолютная погрешность приближенных
равенств оценивается с помощью следующей
формулы:

,                                    
(8)

где М2 – наибольшее значение на отрезке [a,b],

Метод прямоугольников – это наиболее
простой и вместе с тем наиболее грубый
метод приближенного интегрирования.
Очевидно, что чем больше будет число n отрезков разбиения,
тем более точный результат дадут формулы
(4-6). Однако увеличение числа отрезков
разбиения промежутка интегрирования
не всегда возможно. Поэтому большой интерес
представляют формулы, дающие более точные
результаты при том же числе точек разбиения
[3].

Пример 1.

Вычислить приближенное
значение определенного интеграла 

методом левых и правых прямоугольников
при n=10.

Решение

Точки разбиения 
отрезка [1;2] .определяем как:

И так далее до i=10

Таблица 1

Вычисление 
значений функций

для формул «левых» и «правых» прямоугольников

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

xi

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

10

f (xi)

-0,03

-0,01393

0,00016

0,01209

0,02168

0,02875

0,03312

0,03461

0,03304

0,02823

0,02

Подставляем в 
формулу «левых» прямоугольников:

Подставляем в 
формулу «правых» прямоугольников:

Вычислим точное
значение определенного интеграла 
по формуле Ньютона-Лейбница

Далее по формуле (8) определяем Rn – оценку погрешности метода 
левых и правых прямоугольников.

Для этого найдем – наибольшее значение модуля первой
производной подынтегральной функции у=f(x), на отрезке [1;2].

Вычисляем  значения
производной на концах отрезка, и выбрать наибольшее:

Таким образом   

Пример 2. 

Вычислить определённый интеграл методом средних прямоугольников,
разбив отрезок интегрирования на n=10

Решение.

Точки разбиения 
отрезка [3;9] .определяются как

Курсовая работа

по курсу информатика

«ПРИБЛИЖЕННОЕ
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА»

Тула, 2007

Содержание

Введение

Метод средних
прямоугольников

Метод ньютона-котеса

Заменим
подынтегральную функцию f(x) интерполяционным многочленом Лагранжа:

Тогда

                                               (1)

Так как dx=hdq, то

Так как , то

Окончательно
получаем формулу Ньютона-Котеса:

                  (2)

Величины Hi называют коэффициентами
Ньютона-Котеса. Они не зависят от f(x). Их можно вычислить заранее для различного числа узлов n (таблица 1).

Формула
Ньютона-Котеса с n узлами точна для полиномов степени не выше n. Для получения большей
точности не рекомендуется использовать формулы с большим числом узлов, а лучше
разбивать отрезок на подотрезки, к каждому из которых применяется формула с
одним и тем же небольшим числом узлов.

Метод средних прямоугольников

Вычисление
определенного интеграла геометрически означает вычисление площади фигуры,
ограниченной кривой , прямыми х=а и х=b и осью абсцисс.
Приближенно эта площадь равна сумме площадей прямоугольников.

Обозначим  , где

n – количество шагов.

Формула левых
прямоугольников:

Формула
правых прямоугольников:

Более точной
является формула средних прямоугольников:

Метод трапеций

Площадь под
кривой заменяется суммой площадей трапеций:

или

Нетрудно
убедиться, что

Поскольку
точность вычислений по приведенным формулам зависит от числа разбиений n исходного отрезка [a; b], то вычислительный
процесс целесообразно строить итерационным методом, увеличивая n до тех пор, пока не
будет выполнено условие

Рефераты:  Конкуренция и Монополия - реферат

где  – значения интеграла на  шаге, а  – точность вычислений.

Метод чебышева

П.Л. Чебышев
предложил формулу:

в которой
коэффициенты ci фиксированы, а хi подлежат определению.

Пользуясь
алгебраическими свойствами симметричных многочленов, опустив преобразования,
ограничимся готовыми результатами. В таблице 2 приведены значения узлов
квадратурной формулы Чебышева для некоторых значений n.

Метод
трапеций

Метод Ньютона-Котеса

Метод
чебышева

Блок-схема основной
программы

Блок-схема процедуры:
метод трапеций

Блок-схема процедуры:
метод Ньютона-Котеса

Блок-схема процедуры:
метод Чебышева

Текст программы

Список используемой
литературы

Реферат найти приближенное вычисление определенного интеграла

  • Приближенное решение определенного интеграла от непрерывной функции, расчет погрешностей. Способы решения дифференциальных уравнений. Абсолютная и условная сходимость числовых и степенных рядов. Интервал, свойства и радиус сходимости степенного ряда.

    контрольная работа, добавлен 06.06.2021

  • Понятие определенного интеграла. Описание классов интегрируемых функций. Анализ свойств определенного интеграла и методов его вычисления. Примеры вычисления интеграла при помощи формулы Ньютона–Лейбница, замены переменной, интегрирования по частям.

    конспект урока, добавлен 18.04.2021

  • Определение площади плоской фигуры, объема тел вращения, образованных при вращении вокруг оси, с помощью определенного интеграла. Понятие несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования, несобственные интегралы от разрывных функций.

    лекция, добавлен 09.04.2021

  • Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла, сфера его применения и геометрический смысл. Вычисление площади плоской фигуры. Объёмы тел вращения. Характеристика кривых, встречаются при вычислении определенного интеграла. Исчисление длины дуги.

    дипломная работа, добавлен 14.05.2021

  • Изучение сущности определенного интеграла – средства исследования в математике, физике, механике. Определение площади криволинейной трапеции. Ознакомление с функциями определенного интеграла. Рассмотрение геометрического смысла определенного интеграла.

    контрольная работа, добавлен 17.01.2021

  • Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов. Анализ сущности двойного интеграла в геометрии. Расчет интегральной суммы в криволинейном цилиндре. Площадь области, ограниченной замкнутой кривой. Нахождение определенного интеграла функции.

    презентация, добавлен 17.09.2021

  • Понятие определенного интеграла. Алгоритмы нахождения определенного интеграла методами трапеций и средних прямоугольников. Геометрический смысл определенного интеграла. Оценка абсолютной погрешности метода трапеций. Метод левых и правых прямоугольников.

    курсовая работа, добавлен 27.02.2020

  • Вычисление площади плоских фигур при помощи интегралов. Нахождение объема тела, длины дуги, площади поверхности вращения. Определение статических моментов, центра тяжести плоских фигур, координат центра тяжести кривых с помощью определенного интеграла.

    методичка, добавлен 14.12.2021

  • Вычисление площади плоской фигуры с применением определенного интеграла. Определение объема тела вращения при помощи геометрических расчетов. Понятие и признаки несобственного интеграла. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

    лекция, добавлен 03.04.2021

  • Использование простейших квадратурных формул для приближенного вычисления интегралов: формулы трапеций, средних прямоугольников, Симпсона, Чебышева. Алгоритм и программная реализация метода Чебышева для нахождения значения интеграла в среде Tubro Pascal.

    курсовая работа, добавлен 02.11.2021

  • Реферат: численное интегрирование определённых интегралов —

    АННОТАЦИЯ

    В данной работе будут рассмотрены три метода приближённого интегрирования определённого интеграла: метод прямоугольников, метод трапеций и метод Симпсона. Все эти методы будут подробно выведены с оценкой погрешности каждого из них. Для более полного восприятия материала в работу помещён раздел, в котором подробно расписано решение, всеми тремя методами, определённого интеграла. В материале имеются иллюстрации, с помощью которых, можно более глубоко вникнуть в суть рассматриваемой темы.

    СОДЕРЖАНИЕ

    Введение…………………………………………………………3

    Основная часть………………………………………………….4

    -формула прямоугольников………………………………….6

    -формула трапеций…………………………………………..8

    -формула Симпсона…………………………………………10

    Практика……………………………………………………….15

    Заключение…………………………………………………….19

    Список литературы…………………………………………….20

    ВВЕДЕНИЕ

    Цель данной курсовой работы – изучение методов приближённого интегрирования. Для некоторых подынтегральных функций Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02 интеграл можно вычислить аналитически или найти в справочниках. Однако в общем случае первообразная Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02 может быть не определена: либо первообразные не выражаются через элементарные функции, либо сами подынтегральные функции не являются элементарными. Это приводит к необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных интегралов. Наиболее общеупотребительными приближенными методами вычисления одномерных определенных интегралов являются, так называемые, «классические» методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций, метод парабол (основанные на суммировании элементарных площадей, на которые разбивается вся площадь под функцией Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02). Хотя эти методы обычно предпочтительней в случае малых размерностей, они практически не годятся для вычисления многомерных интегралов, для их вычисления используются другие методы, однако в этой работе они рассмотрены не будут.

    ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

    I.Определение интеграла и его геометрический смысл.

    В начале узнаем, что такое определённый интеграл. Возможны два различных подхода к определению определённого интеграла.

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1: приращение F(b)-F(a) любой из преобразованных функций F(x) c при изменении аргумента от x=a до x=b называют определённым интегралом от a до b функции f и обозначается Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02.

    Причём функция F является первообразной для функции f на некотором промежутке D, а числа а и b принадлежат этому промежутку. Это можно записать следующим образом:

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02
    (1)

    это формула Ньютона-Лейбница.

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2:

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02Если при любой последовательности разбиений отрезка [a;b] таких, что δ=maxΔxi
    →0 (n→∞) и при любом выборе точекПриближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02 интегральная сумма σk
    =Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02f(εi
    ) Δxi
    стремится к одному и тому же конечному пределу А, то это число А и есть определённый интеграл, т.е.Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02limn→∞
    σk
    = limδ→0Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02f (εi
    ) Δxi
    =A(2).

    Где Δхi
    =xi
    -xi-1
    (i=1,2,…,n) ε=maxΔxi
    – начало разбиения Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02 произвольная точка из отрезка[xi-1
    ;xi
    ]
    сумма всех произведений f(εi
    )Δxi
    (i=1,…,n). Простыми словами, определенный интеграл есть предел интегральной суммы, число членов которой неограниченно возрастает, а каждое слагаемое стремится к нулю.

    ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ:

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02Всякая непрерывная на отрезке [a,b] функция f интегрируема на отрезке [a,b], функция f неотрицательна, но определённый интеграл Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02
    численно равен S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f, осью абсцисс и прямыми x=a и x=b, S=Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02f(x)dx.

    II.Приближённые методы вычисления.

    Как мы уже отметили, если функция f непрерывна на промежутке, то на этом промежутке существует функция F такая, что F’=f, то есть существует первообразная для функции f, но не всякая элементарная функция f имеет элементарную первообразную F. Объясним понятие элементарной функции.

    Функции: степенная, показательная, тригонометрическая, логарифмическая, обратные тригонометрическим называются основными элементарными функциями. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и суперпозиций основных элементарных.

    Например следующие интегралы: ∫ex
    dx; ∫Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02; ∫dx/ln│x│; ∫(ex
    /x)dx; ∫sinx2
    dx; ∫ln│x│sinxdx существуют, но не выражаются в конечном виде через элементарные функции, то есть относятся к числу интегралов, «не берущихся» в элементарных функциях.

    Бывает, что на практике сталкиваются с вычислением интегралов от функций, которые заданы табличными и графическими способами, или интегралы от функций, первообразные которых выражаются через элементарные функции очень сложно, что не удобно, долго и не рационально. В этих случаях вычисление определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница (1) сводит вычисление определённого интеграла от какой-либо функции к нахождению её первообразной. Значит, если первообразная не элементарна, надо вычислить определённый интеграл как-то по другому, поэтому прибегают к различным методам приближённого интегрирования.

    В основе приближённых методов интегрирования лежит геометрический смысл определённого интеграла, который рассмотрен выше.

    Формул приближённого интегрирования существует много. В данной курсовой работе будет рассмотрено три метода приближённого интегрирования: метод трапеций, метод прямоугольников и метод Симпсона.

    Рефераты:  Влияние человека на экологию. Это должен знать каждый житель планеты

    1.Формула прямоугольников

    Теперь рассмотрим первый вид приближённого вычисления:
    требуется вычислить определённый интеграл: Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02.

    Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция y=f(x). Разделим отрезок [a,b], аналогично как в формуле трапеций: точками a=x
    ,x1,
    x2
    ,…,xn
    =bна nравных частей длины Δх, где Δх=(b-a)/n.

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02Обозначим через y
    ,y1
    ,y2
    ,…,yn-1
    ,yn
    значение функции f(x) в точках x
    , x1
    , x2
    …,xn
    , то есть, если записать в наглядной формуле:

    Y
    =f(x
    ), y1
    =f(x1
    ), y2
    =f(x2
    )…yn
    ,=f(xn
    ).

    В данном способе подынтегральную функцию заменяем функцией, которая имеет ступенчатый вид (на рис. выделена).

    Составим суммы: y
    Δx y1
    Δx1
    y2
    Δx2
    … yn-1
    Δx; Y1
    Δx y2
    Δx … yn
    Δx

    Каждое слагаемое этих сумм выражает площадь, полученных прямоугольников с основанием Δх, которое является шириной прямоугольника, и длиной выраженной через yi
    : Sпр
    =a*b=yi
    Δx.

    Каждая из этих сумм является интегральной суммой для f(x) на отрезке [a,b], и равна площади ступенчатых фигур, а значит приближённо выражает интеграл. Вынесем Δx=(b-a)/n из каждой суммы, получим:

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02f(x)dx≈Δx(y
    y1
    … yn-1
    );

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02f(x)dx≈Δx(y1
    y2
    … yn
    ).

    Выразив x, получим окончательно:

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02f(x)dx≈((b-a)/n)(y
    y1
    … yn-1
    );(3)

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02f(x)dx≈((b-a)/n)(y1
    y2
    … yn
    );(3*)

    Это и есть формулы прямоугольников. Их две, так как можно использовать два способа замены подынтегральной функции. Если f(x)- положительная и возрастающая функция, то формула (3) выражает Sфигуры, расположенной под графиком, составленной из входящих прямоугольников, а формула (3*)- площадь ступенчатой фигуры, расположенной под графиком функции составленной из выходящих треугольников.

    Ошибка, совершаемая при вычислении интегралов по формуле прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число n (то есть чем меньше шаг деления)Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02. Для вычисления погрешности этого метода используется формула:Pnp
    =Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02, где Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02 Результат полученный по формуле (3) заведомо даёт большую площадь прямоугольника, так же по формуле (3*) даёт заведомо меньшую площадь, для получения среднего результата используется формула средних прямоугольников:Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02 (3**)

    2.Формула трапеций.

    Возьмём определённый интеграл
    f(x)dx, где f(x)- непрерывная подынтегральная функция, которую мы для наглядности будем предполагать положительной. При вычислении интеграла с помощью формулы трапеций подынтегральная функция fзаменяется функцией, график которой представляет собой ломанную линию (на рисунке 2 красным цветом), звенья которой соединяют концы ординат yi-1
    и yi
    (i=1,2,…,n).Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=a, x=b, y=0, y=f(x), а значит (следуя из геометрического смысла), и значение нужного нам интеграла, приблизительно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями yi-1
    и yi
    и высотой h=(b-a)/n, так как (если более привычно выражать для нас) hэто Δx,aΔx=(b-a)/n при делении отрезка на nравных отрезков при помощи точек x
    =a<x1
    <…<xn
    =b. Прямые x=xk
    разбивают криволинейную трапецию на nполосок. Принимая каждую из этих полосок за обыкновенную трапецию, получаем, что площадь криволинейной трапеции приблизительно равна сумме обыкновенных трапеций.

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02Площадь крайней полоски слева, как помниться из школьного курса геометрии, равна произведению полусуммы основания на высоту.

    S=Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02

    Итак, запишем сказанное выше в математическом виде:

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02(4)

    Формула (4) и есть формула трапеций

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02
    Для определения погрешности интеграла вычисленного с помощью формулы трапеций используется формула:Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02где Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02

    3.Формула Симпсона (формула парабол).

    Существует два подхода к формуле Симпсона. В одном используется парабола в другом нет.

    А) с использованием параболы.

    Разделим отрезок [a;b] на чётное число равных частей n=2m. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x
    ,x1
    ], [x1
    ,x2
    ] и ограниченной заданной кривой y=f(x), заменим площадью криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через три точки M
    [x
    ,y
    ], M1
    [x1
    ,y1
    ], M2
    [x2
    ,y2
    ] и имеющей ось, параллельную оси Oy (рис). Такую криволинейную трапецию будем называть параболической трапецией.

    Уравнение параболы с осью, параллельной оси Oy, имеет вид: Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02.

    Коэффициенты A, Bи C однозначно определяются из условия, что парабола проходит через три заданные точки. Аналогичные параболы строятся и для других пар отрезков. Сумма параболических трапеций и даст приближённое значение интеграла. Сначала вычислим площадь одной параболической трапеции. Для этого докажем лемму.

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02Лемма: если криволинейная трапеция ограничена параболой Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02, осью Ox
    и двумя ординатами, расстояние между которыми равно 2h, то её площадь равна: Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02 (5), где y
    и y2
    — крайние ординаты, а y1
    — ордината кривой в середине отрезка.

    Доказательство:

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02Расположим вспомогательную систему координат так, как показано на рис. Коэффициент в уравнение параболы Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02 определяются из следующих уравнений:

    Если x
    =-h, то Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02

    Если x1
    =0, то Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02 (6)

    Если x2
    =-h, то Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02

    Считая коэффициенты A. B, C известными определим площадь параболической трапеции с помощью определённого интеграла:

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02

    из равенства (6) следует, что

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02

    следовательно: Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02 ч.т.д. пользуясь формулой (5), можно написать приближённые равенства, учитывая, что Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02

    складывая левые и правые части, получим слева искомый интеграл, справа его приближённое значение:

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02

    или

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02

    (7)

    Это и есть формула Симпсона. Здесь число точек деления произвольно, но чем это число больше, тем точнее сумма в правой части равенства (6) даёт значение интеграла. Формула Симпсона даёт самое точное значение интеграла (из классических формул приближённого интегрирования), погрешность для этого метода находится по формуле:Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02где Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02

    Б) Без использования парабол

    В тех случаях, когда линия y=f(x) между x=aи x=b мало изогнута, интеграл Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02 приближенно выражается достаточно простой формулой. Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02Будем считать f(x) положительной и искать площадь криволинейной трапеции aABb. Для этого разделим отрезок [a;b] точкой Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02 пополам и в точке c(c,f(c))проведём касательную к линии y=f(x). После этого разделим [a,b] точками p и gна 3 равные части и проведём через них прямые x=pи x=q. Pи Q – точки пересечения прямых с касательной. Соединив APи BQ, получим 3 прямолинейные трапеции aAPp, pPQq, qQBb. Сумма площадей этих трапеций равна будет примерно равна площади криволинейной трапеции aABb:

    Обозначим: Aa, Pp, qQ, bB– основания трапеций;

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02— высота трапеций, в данном случае число n строго задано n=3Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02

    Получаем:

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02(8)

    Обозначим, что: aA=f(a)=ya
    , bB=f(b)=yb
    . Отрезки pPи qQне являются ординатами точек линии y=f(x), так как Pи Qлежат на касательной. Но нам нужна сумма этих отрезков, которая выражается через среднюю линию трапеции и равна полусумме её оснований, откуда Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02. Значит Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02. Формула (8) принимает вид:

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02(9). Эта формула называется малой формулой Симпсона.

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02Малая формула Симпсона пригодна, когда график подынтегральной функции мало изогнут, например для случая, изображённого на рисунке, применять малую формулу уже нельзя, так как она даёт значение 0 на [a,b]. Но если отрезок [a,b] разбить на части [a,c] и [c,b] и к каждому из них применить формулу (9), то получится приемлемый результат.

    Эта идея лежит в основе вывода «большой» формулы Симпсона.

    Для вычисления интеграла Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02 выберем какое-либо чётное число и разложим [a,b] на n равных частей точками Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02. Интеграл представим в виде суммы Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02. К каждому слагаемому справа применим малую формулу Симпсона. Учитывая, что в каждом интеграле длина промежутка интегрирования Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02, и положить Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02, то получим:

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02

    Раскроем скобки:

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02

    Это и есть «большая формула Симпсона». Её точность, также как и у всех формул рассмотренных выше, тем выше, чем больше n. Эта формула совпадает с формулой (7), выведенной с помощью парабол. Для оценки погрешности формулы Симпсона используется формула: Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02

    Рефераты:  Балки стропильные и подстропильные железобетонные: Предназначение и способы укладки, типы, монтаж, транспортировка и хранение

    Качество этой формулы лучше, чем формулы трапеции и прямоугольников, так как при одном и том же n она даёт большую точность.

    ПРАКТИКА

    Общий вид интеграла, решение которого, будет рассмотрено в этом разделе: Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02

    Заданные значения:

    a=0; c=0,3; m=2; b=3; k=7.

    Подставим заданные значения:

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02.
    Сначала, решим искомый интеграл напрямую, основываясь на полученные ранее знания.

    Применим метод замены:

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02

    Разделим отрезок [0;3] на n=10 равных частей и найдём шаг деления: Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02

    Найдём значение подынтегральной функции:

    XY
    0,30,289
    0,61,007
    0,92,199
    1,23,866
    1,56,009
    1,88,628
    2,111,724
    2,415,296
    2,719,344
    323,868

    ФОРМУЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ
    :

    1.Входящих

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02

    2.Выходящих

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02

    3.Средних

    XY
    0,150,101458
    0,450,58974
    0,751,543889
    1,052,973095
    1,354,878247
    1,657,259531
    1,9510,11701
    2,2513,45069
    2,5517,2606
    2,8521,54674

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02

    Определим погрешность метода прямоугольников:

    Pnp
    =Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02

    М2
    – максимальное значение второй производной на данном промежутке.

    ФОРМУЛА ТРАПЕЦИЙ

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02Определим погрешность метода трапеции:

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02

    М2
    – максимальное значение второй производной на данном промежутке.

    ФОРМУЛА СИМПСОНА

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02

    Определить погрешность метода Симпсона:

    Приближенное вычисление значений определенного интеграла. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование. 2010-01-02

    М4
    – максимальное значение четвёртой производной на данном промежутке.

    ЗАКЛЮЧЕНИЕ

    В завершении работы, хочется отметить ряд особенностей применения рассмотренных выше методов. Каждый способ приближённого решения определённого интеграла имеет свои преимущества и недостатки, в зависимости от поставленной задачи следует использовать конкретные методы. Если необходимо быстро получить решение, но нет необходимости в большой точности ответа, следует воспользоваться одним из методов прямоугольника. Если же необходимо получить наиболее точный результат, идеально подходит метод Симпсона. Метод трапеций даёт ответ более точный, чем метод прямоугольников, но методу Симпсона он сильно уступает, этот метод можно назвать «золотой серединой» между двумя другими.

    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

    1. И.П. Натансон : Краткий курс высшей математики

    2. И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигун : Математика для техникумов

    3. И.А. Сахарников : Высшая математика

    4. П.П. Коровнин : Математический анализ

    5. Л.И.Лихтарников, А.Н. Поволоцкий : основы математического анализа

    Список используемой литературы

    1.   Бахвалов Н.С.
    «Численные методы». М.: Наука, 1987 – 598 с.

    2.   Калиткин Н.Н.
    «Численные методы». М.: Наука, 1988 – 512 с.

    3.   Крылов В.И. «Вычислительные
    методы». М.: Наука, 1977 – 408 с.

    4.   Нечаев В.И., Нечаева О.А.,
    Почуева Л.Н. «Численные методы». Тула, 1999.

    Таблица 1. значения коэффициентов ньютона-котеса

    H

    N

    1

    2

    3

    4

    H

    1/2

    1/6

    1/8

    7/90

    H1

    1/2

    3/8

    16/45

    H2

    1/6

    3/8

    2/15

    H3

    1/8

    16/45

    H4

    7/90

    Интересно
    отметить, что из формулы (2) следуют как частные случаи: формула трапеций при n=1

    формула
    Симпсона при n=2

    правило трех
    восьмых при n=3

    Формулу (2)
    при n>6
    не применяют, так как коэффициенты Ньютона-Котеса становятся слишком большими и
    вычислительная погрешность резко возрастает.

    Таблица 2. значения узлов квадратурной формулы чебышева

    Число интервалов n

    Номер узла i

    Значение узла Xi

    1

    1

    2

    0,211325

    0,788675

    2

    1

    2

    3

    0,146447

    0,500000

    0,853553

    3

    1

    2

    3

    4

    0,102673

    0,406204

    0,593796

    0,897327

    4

    1

    2

    3

    4

    5

    0,083751

    0,312730

    0,500000

    0,687270

    0,916249

    5

    1

    2

    3

    4

    5

    0,066877

    0,288740

    0,366682

    0,633318

    0,712260

    0,933123

    Для любых
    пределов интегрирования имеем:

     где ,

    Значения xi берутся из таблицы при
    выбранном значении n. Для повышения точности можно не только увеличивать количество
    узлов, но и разбивать отрезок [a, b] на подотрезки, к каждому из которых применяется соответствующая
    формула. Не рекомендуется применять формулы с большим количеством узлов (n>=8).Доказано, что для
    n=8 построить квадратурную
    формулу Чебышева невозможно.

    Блок-схема
    основной программы

    Блок-схема
    процедуры: метод трапеций

    Блок-схема
    процедуры: метод Ньютона-Котеса

    Блок-схема
    процедуры: метод Чебышева

    Текст программы

    program Curs;

    uses crt, graph;

    var i, n:integer;

    t:byte;

    a, b, eps, h:real;

    x, sum1, sum2, seps, m0, m1, m2, m3, m4:real;

    lf:text;

    st:string;

    function f (x:real):real;

    begin

    f:=19.44*exp (0.224*x);

    end;

    procedure gr (xn, xk:real);

    var x, y, mx, my, dx, dy,

    ymin, ymax, xh:real;

    xb, yb, xm, ym, xl, yv, xp, yn, bord1, bord2,
    bord3, bord4, xt, yt, xt1, yt1, dxp, dyp, nd, nr, i, kx, ky, k:integer;

    st:string;

    begin

    k:=100;

    xh:=(xk-xn)/100;

    ymax:=f(xn);

    dx:=(xk-xn)/100;

    for i:=1 to 100 do

    begin x:=xn dx*i;

    y:=f(x);

    if y>ymax then ymax:=y;

    end;

    ymin:=0;

    ymax:=round(ymax);

    nd:=detect;

    initgraph (nd, nr, ‘c:tp7bgi’);

    bord1:=60; kx:=6;

    bord2:=30; ky:=8;

    bord3:=30;

    bord4:=80;

    xb:=0; yb:=0; xm:=getmaxx; ym:=getmaxy;

    xl:=xb bord1;

    xp:=xm-bord2;

    yv:=yb bord3;

    yn:=ym-bord4;

    dxp:=(xp-xl) div kx;

    dyp:=(yn-yv) div ky;

    dx:=(xk-xn)/kx;

    dy:=(ymax-ymin)/ky;

    xl:=xp-dxp*kx;

    yn:=yv dyp*ky;

    mx:=(xp-xl)/(xk-xn);

    my:=(yn-yv)/(ymax-ymin);

    setfillstyle (1,15);

    bar (xb, yb, xm, ym);

    setcolor(0);

    setlinestyle (0,0,1);

    bar (xl, yv, xp, yn);

    settextjustify (0,2);

    settextstyle (2,1,4);

    setcolor(9);

    for i:=0 to kx do begin

    xt:=xl dxp*i;

    str (xn dx*i:6:3, st);

    line (xt, yn‑3, xt, yn 3);

    outtextxy (xt 4, yn 8, st);

    end;

    settextstyle (0,0,1);

    for i:=0 to ky do begin

    yt:=yv dyp*i;

    str (ymax-dy*i:6:3, st);

    line (xl‑3, yt, xl 3, yt);

    outtextxy (xl‑56, yt‑4, st);

    end;

    outtextxy (xl 100, bord3 div 2,’y=19.44*exp
    (0.224*x)’);

    setcolor(12);

    if xn*xk<0 then begin

    xt:=xl-trunc (xn*mx);

    line (xt, yv, xt, yn);

    end;

    if ymax*ymin<0 then begin

    yt:=yv trunc (ymax*my);

    line (xl, yt, xp, yt);

    end;

    xh:=(xk-xn)/5;

    for i:=0 to 5 do begin

    setcolor(3);

    x:=xn xh*i;

    y:=f(x);

    xt:=xl trunc((x-xn)*mx);

    yt:=yv trunc((ymax-y)*my);

    circle (xt, yt, 3);

    if i>0 then

    line (xt, yt, xt1, yt1);

    setcolor(5);

    rectangle (xt1, yt1, xt, yn);

    xt1:=xt;

    yt1:=yt;

    end;

    repeat until keypressed;

    closegraph;

    end;

    function pr:real;

    var s, x:real;

    begin

    s:=0;

    x:=a;

    for i:=1 to n do

    begin

    s:=s abs (f(x))*h;

    x:=x h;

    end;

    pr:=s;

    end;

    function tr:real;

    var s, x:real;

    begin

    s:=0;

    x:=a;

    for i:=1 to n do

    begin

    s:=s (f(x) f (x h))/2*h;

    x:=x h;

    end;

    tr:=s;

    end;

    function ch:real;

    var s, dp, kf, a1, b1:real;

    s:=0;

    kf:=sqrt (1/3);

    for i:=2 to n 1 do

    begin

    a1:=a h*(i‑2);

    b1:=a1 h;

    s:=s ((b1‑a1)/2)*(f((a1 b1)/2‑kf*((b1‑a1)/2)) f((a1 b1)/2 kf*((b1‑a1)/2)));

    end;

    ch:=s;

    end;

    function si:real;

    var s, x, f1, f2:real;

    begin

    s:=0;

    x:=a;

    i:=1;

    f1:=0;

    repeat

    f1:=f1 f (a h*i);

    i:=i 2;

    until i>=n;

    i:=2;

    f2:=0;

    repeat

    f2:=f2 f (a h*i);

    i:=i 2;

    until i>=n;

    s:=h/3*(f(a) f (b-h) (4*f1) (2*f2));

    si:=s;

    end;

    begin

    assign (lf, ‘otchet.txt’);

    rewrite(lf);

    clrscr;

    write (‘Введите значение левого предела интегрирования: ‘);
    readln(a);

    write (‘Введите значение правого предела интегрирования: ‘);
    readln(b);

    write (‘Введите значение погрешности: ‘); readln(eps);

    write (‘Введите начальное значение количества разбиений: ‘);
    readln(n);

    writeln;

    gr (a, b);

    write (‘Ждите, идет обработка данных ‘);

    m0:=0;

    writeln (lf, ‘ КУРСОВАЯ РАБОТА’);

    writeln (lf, ‘ ПО КУРСУ ИНФОРМАТИКА’);

    writeln (lf, ‘ «ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ’);

    writeln (lf, ‘ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА» ‘);

    writeln (lf, ‘ Выполнил: студент гр. ‘);

    writeln (lf, ‘          Вариант 22 y=19.44*exp (0.224*x)’);

    writeln (lf, ‘ Xn=’, a:5:3,’ Xk=’, b:5:3,’
    Eps=’, eps:5:3);

    writeln(lf);

    writeln (lf, ‘ РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ’);

    repeat

    h:=abs (b-a)/n;

    m1:=pr;

    m2:=tr;

    m3:=si;

    m4:=ch;

    seps:=abs (m1‑m0);

    writeln (lf, ‘ │’, n:7,’ │’,
    m1:11:8,’│’, m2:11:8,’│’, m3:11:8,’│’, m4:11:8,’│’, seps:11:8,’│’);

    m0:=m1;

    n:=n 200;

    until (seps<=eps);

    clrscr;

    reset(lf);

    while not eof(lf) do

    begin

    readln (lf, st);

    writeln(st);

    end;

    {write (‘Нажмите <Enter> для выхода из программы’);

    close(lf);

    end.

    Федеральное
    агентство по образованию рф

    Тульский государственный
    университет

    Кафедра АОТ и ОС

    Оцените статью
    Реферат Зона
    Добавить комментарий