Реферат: Ситуация риска и неопределенности в экономике

Ковариационная матрица

Все необходимое для расчета риска портфеля мы получили. Находим стандартное отклонение портфеля:sр = [Х1Х1s11 Х1Х2s12 Х1Х2s13 Х2Х1s21 Х2Х2s22 Х2Х3s23 Х2Х1s31 Х3Х2s32 Х3Х3s33]

В портфельной теории под риском понимается возможность отклоне­ния, как положительного, так и отрицательного, фактической доходности актива от его ожидаемой доходности. Иными словами, риск здесь рассматривается как неопределенность результата инвестирования, а не только как возможность понести убытки или недополучить прибыль.Численно риск оценивается по величине среднего квадратического (стандартного) отклонения доходности актива:

_i
– доходности инвестиционного актива при различных вариантах; p_i
– вероятности соответствующих вариантов; n – количество вариантов.Ожидаемая доходность инвестиционного актива

где ri
– доходности инвестиционного актива при различных вариантах; pi
– вероятности соответствующих вариантов; n – количество вариантов.

Также измерителем риска является фактора «бета». Коэффициент «бета» бумаги пока­зывает ее чувствительность к колебаниям рынка в будущем. Для оценки «беты» долж­ны быть учтены всевозможные источники подобных колебаний. Затем необходимо оце­нить, как отреагирует цена бумаги на каждое из этих изменений, а также вероятность такого изменения.

«Бету» бумаги можно интерпретировать как наклон графика рыночной модели. Если этот коэффициент был постоянным от периода к периоду, то «историческую бету» (historicalbeta) бумаги можно оценить путем сопоставления про­шлых данных о соотношении доходности рассматриваемой бумаги и доходности рын­ка.

Статистическая процедура для получения таких апостериорных (прошлых) значений коэффи­циента «бета» называется простой линейной регрессией (simplelinearregression), или ме­тодом наименьших квадратов. Как становится ясно, истинное значение коэффициента «бета» ценной бумаги невозможно установить, можно лишь оценить это значение.

Модели, рассматриваемые в финансовом анализе, связывают случайную величину r с величинами, которые объективно харак­теризуют финансовый рынок в целом. Такие величины называ­ются факторами.
В зависимости от постановки задачи факторы могут считаться как случайными, так и детерминированными, т.е. точно известными величинами.

В самом простом случае выделяется один фактор. Тогда ста­тистическая модель имеет вид:

Одна из самых распространенных моделей использует в ка­честве фактора F
доходность рыночного индекса.

Рыночная модель (marketmode) – это один из путей отражения взаимосвязи доходности акции за определенный период с доходностью за тот же период акции на рыночный индекс:

ri
= aiI
biI
rI
eiI, ( 2.6)

где ri
– доходность ценной бумаги i за данный период; rI
– доходность на рыночный индекс I за этот же период; aiI
– коэффициент смещения; biI
– коэффициент наклона; eiI
– случайная погрешность.

Как видно из выражения, при условии положительности коэффициента наклона, чем выше доходность на рыночный индекс, тем выше доходность ценной бумаги. “Бета” коэффициент исчисляется следующим образом:

где siI
, обозначает ковариацию между доходностью акции i и доходностью на рыночный индекс, а sI2
обозначает дисперсию (квадрат стандартного отклонения) доходности на индекс.

Исходя из рыночной модели, общий риск ценной бумаги i, измеряемый ее дисперсией и обозначенный как s2i
, состоит из двух частей: (1) рыночный (или систематический) риск (marketrisk); (2) собственный (или несистематический) риск (uniquerisk). Таким образом, s2i
равняется следующему выражению:

где s2i
обозначает дисперсию доходности на рыночный индекс, b2iI
s2i
– рыночный риск ценной бумаги i, а s2 ei
— собственный риск ценной бумаги i, мерой которого является дисперсия случайной погрешности eiI
.

В рыночной модели общий риск портфеля, измеряемый дисперсией его доходности выражается следующим образом:

Хi.
При этом значение

Совершенно другая ситуация возникает при рассмотрении собственного риска портфеля. Если предположить, что во все ценные бумаги инвестировано одинаковое количество средств, то доля Х
соста­вит 1/N. Если портфель становится более диверсифицированным, то количество бумаг в нем (равное N) становится больше.

Другим фактором, часто используемым в линейных регрессионных моделях, является доходность некоторого выделенного портфеля ценных бумаг, который называется касательным. Каждому портфелю соответствует случайная величина rp – доходность.

Оптимальной для любого инвестора стратегией в этой модели оказывается инвестирование части средств в касательный портфель, а части – в безрисковые облигации. Либо наоборот: получение займа для дополнительного инвестирования в касательный портфель. Чем меньше будет доля средств, вложенных в рисковые активы по отношению к безрисковым, тем меньше будет величина риска.

Очевидно, что доходности ценных бумаг, обращающихся на рынке, можно рассматривать в зависимости от времени. При этом будут зависеть от времени числовые характеристики слу­чайной величины rp. Так же, вообще говоря, будут зависеть от времени и значения параметров

Модель финансового рынка называется равновесной,
если чи­словые характеристики входящих в нее случайных величин по­стоянны во времени. Экономический смысл подобного предпо­ложения очевиден: рынок считается «устоявшимся», сбаланси­рованным. В этом случае можно получить некоторые конкрет­ные результаты, существенно упрощающие ситуацию.

Будем рассматривать модель зависимости доходности ценной бумаги от доходности касательного портфеля (предполагается, что безрисковая ставка получения и предоставления займов для всех участников рынка одна и та же и равна rf).
Если модель рав­новесная, т.е. рынок сбалансированный, то касательный портфель удовлетворяет следующему свойству: доля каждой ценной бумаги в нем соответствует ее относительной рыночной стоимости.

Итак, регрессионная модель для i-й ценной бумаги имеет вид:

.Имеем

Единственным параметром, характеризующим ценную бумагу, является ее чувствительность «бета» к рыночному портфелю.

Следующим методом является модель оценки финансовых активов (CAPM).

Уравнение ,
с доходностью рыночного портфеля.

Практическое значение модели оценки финансовых активов заключается в том, что она может служить для выявления неверно оцененных бумаг в неравновесной ситуации, т.е. в ситуации несбалансированного рынка. Так, если доходность ной бумаги выше той, которая задается уравнением, то бумага является переоцененной,
в противоположном случае — недооцененной.

Однофакторные модели во многих случаях являются вполне адекватными, однако чаще всего они оказываются слишком уп­рощенными и тогда приходится рассматривать зависимость до­ходности ценной бумаги от нескольких (т)
факторов, т.е. ли­нейные регрессионные модели вида:

Такими факторами могут быть, например, уровень инфля­ции, темпы прироста валового внутреннего продукта и др. Если данная ценная бумага относится к некоторому сектору экономи­ки, то безусловно следует рассматривать факторы, специфиче­ские для данного сектора.

Следует стремиться к возможно меньшему количеству объ­ясняющих переменных (факторов), поскольку кроме усложне­ния модели «лишние» факторы приводят к увеличению ошибок оценок.

В данной работе для простоты и в связи с устоявшимися стереотипами упростим определение (сузим понятие) рыночного риска, определив рыночный риск субъекта финансового рынка только как риск его потерь в условиях неопределенных (случайных) изменений рыночных факторов, оказывающих влияние на активы субъекта и/или портфель его активов и финансовых инструментов.

В настоящее время в мире и России задача корректной количественной оценки рыночного риска приобретает чрезвычайно большое значение. Далее мы кратко рассмотрим современные способы решения этой проблемы.

Казалось бы, современная теория финансов дает ответ на вопрос, как измерить рыночный риск. Согласно этой теории, мера риска должна учитывать величину отклонения фактического результата от ожидаемого и вероятность реализации такого исхода. В классическом подходе Гарри Марковица к решению проблемы выбора структуры инвестиционного портфеля принимается, что доходность любого рискованного финансового инструмента или портфеля в целом является случайной переменной, распределение вероятностей изменений доходности – нормальным, а мерой степени неопределенности доходности портфеля – стандартное отклонение от ожидаемого (среднего) значения.

Инвестор основывает свое решение по выбору портфеля исключительно на ожидаемой доходности и стандартном отклонении. То есть для каждого портфеля инвестор должен оценить ожидаемую доходность за период владения и стандартное отклонение, а затем выбрать лучший вариант, основываясь на этих двух параметрах.

Однако в практике риск-менеджмента применение стандартного отклонения в качестве оценки риска имеет серьезные недостатки, из которых выделим два наиболее важных:

• во-первых, стандартное отклонение не дает корректной оценки риска, если распределение изменений рыночной стоимости (в дальнейшем – стоимости) портфеля инвестиций перестает быть нормальным (гауссовским) и симметричным;

• во-вторых, лица, принимающие решения по управлению портфелем, как правило, предпочитают получать информацию о риске в виде величины реальных денежных потерь, а не в форме стандартного отклонения.

Стандартное отклонение учитывает как благоприятные изменения стоимости портфеля, так и неблагоприятные. Если распределение изменений стоимости портфеля имеет симметричный вид, то стандартное отклонение определяет корректное значение риска. Асимметричность распределения изменений стоимости многих финансовых портфелей современных инвесторов объясняется включением в их состав опционов и подобных опционам инструментов, изменением стоимости которых относительно рыночных цен активов и обязательств является нелинейным.

Swap – своп, обмен: 1) своп на валютном рынке: покупка или продажа валюты на условиях “спот” (Spot) с одновременным заключением обратной форвардной сделки для покрытия валютных рисков; 2) в общем случае, своп – операция по обмену обязательствами или активами для улучшения их структуры, снижения рисков и издержек, получения прибыли.

Swaption – “свопцион”: комбинация опциона и свопа в форме опциона на заключение операции своп на определенных условиях (например, взамен уплаты опционной премии).

Сар – “кэп” (“шапка”) – фиксированный максимум процентной ставки в облигационном займе; это условие может отделяться от конкретной облигации и обращаться как самостоятельная ценная бумага.

Collar – “ошейник”, “воротник”: фиксированные максимум и минимум процентной ставки в облигационном займе; может быть отделен от облигации и обращаться как самостоятельная ценная бумага.

CollarSwap – обмен обязательств по фиксированной ставке на обязательства по плавающей ставке, причем последняя имеет максимум и минимум.

FloorAgreement – соглашение “пол” -серия опционов “пут” (Put) относительно ставки ЛИБОР (LIBOR = LondonInterbankOfferedRate), другой процентной ставки или серия опционов “колл” (Call) на базе фьючерсного контракта, защищающие покупателя от снижения процентных ставок (продавец возмещает разницу между текущей и более высокой фиксированной ценами).

Warrants (WTs) – варранты, т.е. условие облигационного займа в форме ценных бумаг, дающих право на покупку дополнительных облигаций или акций заемщика по фиксированной цене; могут. самостоятельно обращаться на рынке.

Начиная с 1970 годов на международных и национальных финансовых рынках многократно увеличились объемы операций, в связи с этим существенно усложнились структуры этих рынков и расширился перечень финансовых инструментов, предлагаемых участникам рынков.

Инструментарий, применяемый в международной практике, весьма разнообразен: на валютных рынках – форвардные и фьючерсные контракты, валютные опционы, свопы (Swap), опционы на свопы (Swaption); на денежных рынках – процентные фьючерсы, опционы на фьючерсы, свопы, опционы на свопы, кэпы (Сар)

, коллары (Col­lar), свопы на коллары (CollarSwap), флоры (Floor) и опционы на них (Caption, Floortion, Collar-tion); на фондовых рынках -фьючерсы и опционы не только на акции, но и на индексы, варранты (Warrants) и т.п. Параметры, описывающие степень риска (например, волатильность), могут рассматриваться в качестве торгуемого индекса, явным образом указывая на степень риска.

Международные финансовые рынки особенно динамично развиваются в течение последних двух десятилетий в ответ на значительные изменения в мировой экономике и экономической политике. Увеличение объемов международной торговли, появление транснациональных корпораций и банков, либерализация и волна дерегулирований национальных рынков в развитых странах, мировая хозяйственная интеграция способствовали росту интенсивности массового движения капитала.

Происходящее переплетение национальных и международных активов приводит к формированию единого универсального рынка капиталов, доступного всем субъектам независимо от их государственной и национальной принадлежности. Все эти события и факторы вызывают повышенный интерес к выбору методологии количественной оценки финансовых рисков.

2.2. VаR – модели оценки инвестиционных рисков

Для всесторонней (количественной и качественной) оценки рыночного риска в настоящее время в мире все активнее используется методология Value-at-Risk (VaR). Существует множество неточных переводов и понятий “Value-at-Risk” типа “стоимость под риском”, “стоимостная оценка (мера) риска” или даже “рисковая стоимость” и т.п., но, по мнению экспертов, подобные термины в научно-практической литературе следует использовать без перевода, используя латинские аббревиатуры и стараясь по возможности математически точно определять эти понятия с практическими иллюстрациями на примерах, применяя единую аббревиатуру.

Тем не менее даже в англоязычной литературе для Value-at-Risk используются две аббревиатуры – VAR и VaR. Правильно применять последний вариант аббревиатуры, т.е. VaR, так как аббревиатура VAR может иногда употребляться в одной и той же зарубежной статьедля обозначения и Value-at-Risk и дисперсии (Variance).

VaR – это вероятностно-статистический подход для определения соотношения ценовых показателей и риска, основным понятием в нем является распределение вероятностей, связывающее все возможные величины изменений рыночных факторов с их вероятностями.

Методология VaR стала особенно широко применяться в последние годы и сегодня используется в качестве единого унифицированного подхода к оценке риска международными банковскими и финансовыми организациями. Например, Банк международных расчетов (BIS) применяет VaR в качестве основы при установлении нормативов величины собственного капитала относительно риска активов.

Кроме единства и относительной простоты подхода, главным и, видимо, самым веским аргументом в пользу концепции VaR является тот факт, что VaR стала общепризнанной методологией оценки риска среди зарубежных организаций и финансистов.

Сторонники данной концепции верят, что в конечном итоге VaR позволит на общем языке обсуждать проблемы оценки риска финансовым директорам, бухгалтерам, акционерам, управленцам, аудиторам и регулирующим органам всех стран. Методология VaR обладает рядом других несомненных преимуществ, так как позволяет:

– оценить риск в терминах возможных потерь, соотнесенных с вероятностями их возникновения;

– измерить риски на различных рынках универсальным образом;

– агрегировать риски отдельных позиций в единую величину для всего портфеля, учитывая при этом информацию о количестве позиций, волатильности на рынке и периоде поддержания позиций.

К другим важным достоинствам VaR относятся: простота и наглядность расчётов, консолидация информации, возможность сравнительного анализа потерь и соответствующих им рисков, а также то, что сам процесс оценки риска не менее важен, чем результат. VaR -своеобразный способ мышления и рассуждения о рисках.

К недостаткам VaR относятся сильные и слабые допущения о свойствах финансовых рынков, поведении экономических агентов на этих рынках, о виде и параметрах эмпирической функции распределения вероятностей, о чувствительности портфеля и ряд других.

При оценке VaR практически не учитывается ликвидность – важная характеристика всех рынков, особенно российских. Это может привести к тому, что в отдельные моменты изменение структуры портфеля для уменьшения риска может оказаться бесполезным.

Методология VaR применима на стабильных рынках и перестает адекватно отображать величину риска, когда на рынках происходят быстрые и/или резкие изменения. Если рыночные условия существенно меняются, например, скачкообразно изменяются цены, резко изменяется ликвидность рынка или корреляция между активами, то VaR учтет эти изменения через определенный промежуток времени, только накопив необходимую статистику событий и данных. В течение же этого временного интервала любые оценки VaR будут некорректны.

С помощью VaR оценивается вероятность возникновения потерь больше определенного уровня, то есть оценивается “вес хвоста” распределения, поэтому дополнительно к VaR рекомендуется изучать поведение портфеля в стрессовых ситуациях (Stress-testing) и использовать сценарный подход (ScenarioApproach), чтобы оценить “длину хвоста” распределения.

К тому же VaR (как, впрочем, большинство известных методологий и методик) не дает абсолютной оценки возможных потерь, иногда VaR – “прогноз непрогнозируемых событий”.

Однако VaR – действительно универсальный подход к оценке рыночных рисков, методология и элемент культуры современного риск-менеджмента.

Одна из главных целей разработки концепции VaR – одним единственным числом агрегировать и отобразить информацию о рыночных рисках портфеля, а также о рисках составляющих портфель сегментов и элементов.

Следует различать VaR как методологию, т.е. совокупность отдельных методов и методик оценки рыночного риска и числовые значения VaR для различных финансовых инструментов и всего портфеля в целом как суммы потенциально возможных потерь.

Теоретически рыночный риск может характеризоваться единственным параметром – VaR.

Например, при оценке валютных рисков открытых валютных позиций фирмы или коммерческого банка ValueatRisk – выраженная в единицах базовой валюты суммарная оценка максимально возможных (с некоторой заданной вероятностью) убытков от воздействия того или иного рыночного фактора на открытую позицию по данному финансовому инструменту (впрочем, как и по портфелю в целом) в течение периода времени, необходимого для закрытия этой позиции.

Формализованно точное определение VaR портфеля активов (финансовых инструментов) часто формулируется следующим образом. Пусть портфель фиксирован (известна стоимостная структура портфеля: состав финансовых инструментов и их цены в момент времени t). VaR портфеля для заданного доверительного уровня и данного периода поддержания позиций Dt определяется как такое значение V, которое обеспечивает покрытие максимально возможных потерь DХ держателя (владельца или менеджера) портфеля за временной период Dt с заданной вероятностью р, т. е. выполняется соотношение: Р(DХ £ -V) = р.

С точки зрения теории вероятностей и математической статистики VaR соответствует р-квантилю заданного распределения. При этом VaR =
V соответствует доверительному уровню (Confidence Level), равному 1 – p.

Проще говоря, VaR – статистическая оценка максимально возможных потерь данного портфеля финансовых инструментов при заданном распределении за определенный период времени во всех случаях, за исключением заранее заданного малого процента ситуаций.

Итак, VaR – величина максимально возможных потерь, такая, что потери в стоимости данного портфеля инвестора за определенный период времени с заданной вероятностью не превысят этой величины.

Таким образом, VaR дает вероятностную оценку потенциальных убытков по портфелю в течение определенного временного периода при экспертно заданном доверительном уровне. Доверительный уровень определяет вероятность наступления определенного события (например, 99% или 99,9%).

Доверительный уровень может устанавливаться не только в процентах, но и в среднеквадратических отклонениях (например, как в правиле “трех сигм” для гауссовского распределения вероятностей).

Временной горизонт определяет период, в течение которого осуществляется измерение риска потерь; он должен выбираться исходя из наличия статистических данных и характера проводимых операций в зависимости от продолжительности срока владения активами и ликвидности рынка.

В любом случае определение VaR подразумевает знание функции распределения доходности портфеля за выбранный интервал времени. Если стандартное отклонение как мера риска определяет “ширину” плотности распределения доходности портфеля, то VaR определяет конкретное значение потерь в стоимости портфеля, соответствующее заданному весу “хвоста” распределения.

Пример, поясняющий понятие и определение VaR, приведен на рис. 2.2.1. По оси абсцисс отложены изменения цен ликвидации портфеля в течение определенного периода времени, по оси ординат – частота появления этих изменений. Кривая на рисунке задает плотность распределения вероятностей прибылей и потерь для данного портфеля (часто не гауссовского распределения) и заданного периода поддержания позиций.

Заштрихованная светлым область соответствует выбранному доверительному уровню 1 – р = 98,5% в том смысле, что ее площадь составляет 98,5% от общей площади под кривой; соответственно площадь затемненной области слева составляет 1,5% от общей площади под кривой. Таким образом, VaR представляет собой величину суммарных возможных потерь, отвечающих заданному доверительному уровню.

Рис.2.2.1.

Итак, для вычисления VaR необходимо определить ряд базовых элементов, непосредственно влияющих на его величину. В первую очередь это вероятностное распределение рыночных факторов, напрямую влияющих на изменения цен входящих в портфель активов. Понятно, что для его построения необходима некоторая статистика по поведению каждого из этих активов во времени.

Если предположить, что логарифмы изменений цен активов подчиняются нормальному (гауссовскому) закону распределения с нулевым средним, то достаточно оценить только волатильность (здесь Volatility – среднеквадратическое отклонение приращения логарифма цены актива в единицу времени).

Однако на реальном российском финансовом рынке (впрочем, как и на многих зарубежных и международных рынках) предположение (гипотеза) о нормальности распределения, как правило, не выполняется.

После задания функций распределения рыночных факторов необходимо выбрать доверительный уровень, то есть вероятность, с которой наши потери не должны превышать VaR. Затем надо определить период поддержания позиций (holdingperiod), на котором оцениваются потери.

При некоторых упрощающих предположениях легко показать, что значение VaR портфеля пропорционально квадратному корню из периода поддержания позиций. Поэтому при принятии этих предположений или их достоверности достаточно вычислять только однодневную величину VaR. Тогда, например, четырехдневное значение VaR будет в два раза больше, а 25-дневное – в пять раз.

Кроме того, если в портфеле содержатся сложные производные финансовые инструменты (например, опционы), надо выбрать функцию их ценообразования в зависимости от параметров рынка. Наконец, необходимо определить корреляционные связи между различными рыночными факторами и составить матрицу ковариаций. Последнее представляется весьма важным.

Следует, однако, помнить, что любая числовая мера степени неопределенности является ограниченной – лишь само реальное распределение дает исчерпывающую характеристику риска. Поэтому в качестве такой меры риска выбор той или иной функции и числовых характеристик распределения должен производиться с учетом особенностей конкретной задачи управления рисками.

Так, например, принимая доверительный уровень, скажем, 99%, мы должны подумать о последствиях “остального” 1% -будет ли это не слишком большой проигрыш порядка одного стандартного отклонения, или что-то типа мировых кризисов октября 1987 года (тогда индекс Доу-Джонса упал более чем на 800 пунктов)

И, наконец, для расчета VaR необходимо знать стоимостную структуру портфеля (состав и цены финансовых инструментов).

Получение релевантной информации о составе портфеля – непростая задача. Некоторые крупные корпорации, имеющие в своем портфеле тысячи торгуемых на различных рынках инструментов и ведущие активные финансовые операции, сталкиваются с проблемой оперативного получения информации о текущей структуре портфеля.

Другая проблема состоит в выборе времени фиксации цен активов, образующих портфель. Торговые сессии на мировых рынках заканчиваются в разное время, что создает проблему: по каким ценам считать изменение стоимости портфеля? Обычно время фиксации выбирается как время закрытия торгов на рынке, где сосредоточены основные активы компании.

Итак, после того как выявлены все базовые элементы, следует обратиться непосредственно к процедуре вычисления Value-at-Risk.

Существуют три основных метода вычисления VaR: аналитический метод (иначе называемый вариационно-ковариационным методом, или методом ковариационных матриц), метод исторического моделирования (исторический метод, или метод исторических данных) и метод статистического моделирования (метод статистических испытаний или, иначе, метод Монте-Карло).

Основная идея аналитического метода заключается в выявлении рыночных факторов, влияющих на стоимость портфеля, и аппроксимации стоимости портфеля на основе этих факторов. То есть финансовые инструменты, составляющие портфель, разбиваются, насколько это возможно, на элементарные активы, такие, что изменение каждого зависит только от воздействия одного рыночного фактора.

Портфель раскладывается на базисные активы (компоненты), от которых зависит его текущая (современная) стоимость (PresentValue). Среднеквадратичное отклонение стоимости портфеля определяется среднеквадратическими отклонениями каждой из компонент и матрицей ковариаций. Наиболее известное воплощение этой модели – Risk-MetricsJ.Р. Morgan.

Этот метод требует только оценки параметров распределения при явном допущении о виде распределения рыночных факторов. Обычно делают предположение о нормальном законе распределения каждого рыночного фактора. На основе данных прошлых периодов (далее исторических данных) вычисляются математические ожидания и дисперсии факторов, а также корреляции между ними.

Оценив стандартные отклонения логарифмов изменений цен для каждого из входящих в портфель активов, вычисляем VaR для них путем умножения стандартных отклонений на соответствующий доверительному уровню коэффициент. Полное вычисление VaR портфеля требует знания корреляционных связей между его элементами.

Аналитический метод может быть обобщен на портфель с произвольным числом различных активов – достаточно знать их волатильности и корреляции между ними. Волатильности важны при рассмотрении нелинейных инструментов. Корреляции между различными активами особенно важны при рассмотрении сложных портфелей – именно корреляция определяет характер неттирования прибылей/убытков между различными инструментами.

Серьезное преимущество этого метода состоит в том, что для большинства рыночных факторов все необходимые параметры нормального распределения хорошо известны. Отметим также, что оценка риска в рамках методологии VaR, полученная с помощью аналитического метода, совпадает с оценкой риска, предлагаемой современной портфельной теорией.

Аналитический метод прост в реализации и позволяет относительно быстро (возможно, даже в режиме реального времени) вычислять VaR практически на любых современных компьютерах. Но качество оценки ухудшается при увеличении в портфеле доли инструментов с нелинейными функциями выплат.

Кроме того, необходимость делать допущения о виде распределений для базовых активов является серьезным недостатком этого метода. Аналитический метод обладает также рядом не менее существенных недостатков. В частности, приходится опираться на весьма сомнительные гипотезы о нормальности распределения и стационарности нормального распределения, что делает метод мало пригодным для современных российских (и не только российских) условий.

Метод неприменим для портфелей, состоящих из инструментов, стоимость которых зависит от базисных активов нелинейным образом, например, для портфелей, содержащих нелинейные финансовые инструменты типа опционов и так называемых кредитных деривативов (CreditDerivatives).

Резюмируя все вышесказанное по аналитическому методу, можно выделить основные положительные и отрицательные стороны применения аналитического метода для расчета VaR. Преимущества: простота и наглядность расчетов; возможность расчета совокупной величины VaR для линейных инструментов; доступность методических материалов. Недостатки: допущение о нормальном распределении; невозможность расчета VaR для нелинейных инструментов.

Следующий метод, который используется при вычислении VaR, – это метод исторического моделирования. Этот метод заключается в исследовании изменений стоимости портфеля за предыдущий исторический период. Исторические изменения стоимости активов используются для оценки изменения текущей стоимости портфеля. Определяются максимально возможные изменения стоимости портфеля для выбранного доверительного уровня.

Для вычисления VaR на определенный исторический период составляется база данных значений цен инструментов, входящих в портфель (или выделенных рыночных факторов, если портфель аппроксимируется). После этого надо вычислить изменения цен инструментов за промежуток времени, для которого рассчитывается VaR, и получить соответствующие значения изменений стоимости портфеля.

Этот метод является непараметрическим и основан на весьма понятном предположении о неизменности развития и стационарности рынка в ближайшем будущем. Выбирается период времени (например, 100 торговых дней), за который отслеживаются относительные изменения цен всех входящих в сегодняшний портфель активов.

Затем для каждого из этих изменений вычисляется, насколько изменилась бы цена сегодняшнего портфеля, после чего полученные 100 чисел сортируются по убыванию. Взятое с обратным знаком число, соответствующее выбранному доверительному уровню (например, для уровня 99% необходимо взять число с номером 99), и будет представлять собой эмпирическую оценку VaR портфеля.

У исторического метода есть безусловные преимущества – он не требует серьезных упрощающих предположений и способен улавливать весьма неординарные события на рынке. Важные преимущества данного метода состоят также в том, что он свободен от предположений о виде распределения рыночных факторов портфеля, прост в осуществлении. При его использовании не возникает проблем с оценкой портфеля, содержащих опционы и подобные им инструменты.

К недостаткам обсуждаемого метода следует отнести то, что он требует проведения большой работы по сбору исторических данных и их обработке. Кроме того, оценка возможных изменений стоимости портфеля ограничена набором предыдущих исторических изменений.

Типичная проблема при использовании данного метода состоит в отсутствии требуемого объема исторических данных. Чтобы получить более точную оценку VaR, необходимо использовать как можно больший объем данных, но использование слишком старых данных приводит к тому, что сегодняшний (и тем более будущий) риск будет оценен на основе данных, которые не соответствуют текущему состоянию рынка.

Таким образом, наиболее существенным недостатком исторического метода является его исключительная неустойчивость по отношению к выбору предыстории.

В самом деле, пусть портфель состоит только из одного фьючерса на доллар США. Пусть из доступных нам n дней периода предыстории в течение первых n/2 дней волатильность изменений цен фьючерса была равна 1%, а в течение последующих n/2 дней – в десять раз меньшее, чем при выборе всей доступной предыстории.

Следующим на очереди является метод статистического моделирования (иначе метод Монте-Карло), который основан на моделировании случайных процессов с заданными характеристиками. Данный метод заключается в моделировании возможных изменений стоимости портфеля при некоторых предположениях.

Выявляются основные рыночные факторы, влияющие на стоимость портфеля. Затем строится совместное распределение этих факторов каким-либо способом, например, с использованием исторических данных или данных, основанных на каком-либо сценарии развития экономики.

Таким образом, изменения стоимости портфеля моделируются на основе выбранных статистических параметров отдельных активов, входящих в состав портфеля.

В отличие от исторического моделирования в методе Монте-Карло изменения цен активов генерируются псевдослучайным образом в соответствии с заданными параметрами. Имитируемое распределение может быть в принципе любым, а число сценариев весьма большим (от нескольких десятков до сотен тысяч). В остальном этот метод почти аналогичен методу исторического моделирования.

Метод Монте-Карло является наиболее точным и надежным при рассмотрении нелинейных инструментов. Этот метод имеет еще несколько важных преимуществ. Он не использует конкретную модель определения параметров и может быть легко перенастроен в соответствии с экономическим прогнозом.

Недостатки метода Монте-Карло – его медленная сходимость (это приводит к существенным затратам времени и вычислительных мощностей), сложность и трудоемкость расчетов.

Итак, метод Монте-Карло отличается высокой точностью и надежностью, пригоден практически для любых портфелей, но его применение требует качественной математической подготовки специалистов и достаточных компьютерных ресурсов для сложных вычислений.

Выбор одного из методов определения VaR зависит, прежде всего, от структуры портфеля, временных ограничений и технических возможностей, а также многих других условий и обстоятельств.

Поэтому, вообще говоря, сложно рекомендовать тот или иной метод вычисления VaR. Выбирая, какому из них отдать предпочтение, необходимо учитывать макро- и микроэкономическую ситуации, а также стратегические и тактические цели и задачи конкретной организации.

Конкретные модели расчетов VaR могут быть основаны на комбинации изложенных выше методов и их модификаций.

Выделим основные моменты данной главы, на которые нужно обратить внимание. Ожидаемая доходность служит мерой потенциального вознаграждения, связанного с портфелем. Стандартное отклонение рассматривается как мера риска портфеля. Ожидаемая доходность портфеля является средневзвешенной ожидаемой доходностью ценных бумаг, входящих в портфель.

Одной из распространенных моделей по оценке рисков является VaR модель. VaR – величина максимально возможных потерь, такая, что потери в стоимости данного портфеля инвестора за определенный период времени с заданной вероятностью не превысят этой величины.

3. Разработка и реализация мер по управлению инвестиционными рисками.

3.1. Управление инвестиционными рисками в коммерческом банке

Для рынка долговых инструментов присущи свои особенности определения основных направлений и методов управления рисками.

Деятельность по управлению рисками связана с решением следующих задач:

· выявление рисков, присущих операциям на рынке корпоративных облигаций;

· проведение количественной оценки возможных потерь, связанных с реализацией этих рисков;

· определение предельно допустимого уровня финансовых потерь по операциям с корпоративными облигациями;

· ограничение возможных потерь от реализации рисков на уровне не выше предельно допустимого, путем установления комплексной системы ограничений (лимитов) на операции с корпоративными облигациями.

Конечной целью деятельности по управлению рисками является максимизация экономической эффективности, при поддержании сопутствующих рисков на уровне не выше, чем предельно допустимый.

В портфельном инвестировании при расчетах лимитов по операциям с облигациями за основу выбираются ряд рисков.

Статический риск – риск, связанный с возможностью неисполнения контрагентом своих обязательств. Статический риск включает в себя кредитный риск неисполнения эмитентом своих обязательств по выпущенным долговым обязательствам и риск неисполнения контрагентом своих обязательств по поставке оплаченных банком ценных бумаг или по оплате поставленных ему банком ценных бумаг.

Динамический риск – риск, связанный с возможным неблагоприятным изменением рыночной конъюнктуры. Динамический риск включает в себя риск неблагоприятного изменения процентных ставок на рынке, следствием которого являются негативные изменения в доходности портфеля, а так же риск падения ликвидности рынка, следствием которого является невозможность реализации облигаций портфеля без существенных потерь.

Исходя из текущих условий деятельности на рынке облигаций и политики Банка, проводимой по отношению к этим операциям и управлению рисками, устанавливаются следующие нормативы чувствительности к риску.

Неприемлемый риск – величина убытков, неприемлемая с точки зрения функционирования банка в целом. Устанавливается в абсолютной сумме руководством Банка.

Предельно допустимый риск – величина убытков, приводящая к необходимости возмещения их части трейдерами в расчете на величину общего лимита средств, выделяемых на операции с облигациями. Норматив устанавливается в инвестиционных ориентирах в соответствии с решением правления Банка.

В абсолютной сумме он рассчитывается как максимальный процент убытков, превышение которого влечет за собой необходимость возмещения, умноженный на величину общего лимита средств, выделяемых на операции с корпоративными облигациями, и деленный на сто процентов.

Максимально приемлемый риск – величина убытков, равная глобальному стоп-лоссу, установленному в Положение об инвестиционной политике и портфельном управлении для сектора облигаций в расчете на величину общего лимита средств, выделяемых на операции с облигациями.

Для того, чтобы трейдер имел более детальную картину о состоянии своего портфеля, нужно произвести количественную оценку возможных потерь, связанных с данными рисками.

Оценка статического риска производится на основе кредитного анализа эмитента или контрагента, а также статистической вероятности неисполнения своих обязательств эмитентом, обладающим данным уровнем кредитного качества.

Величина статического риска по конкретной открытой позиции будет равна произведению суммы открытой позиции на вероятность неисполнения эмитентом или контрагентом своих обязательств.

Величина общего статического риска портфеля будет равна сумме статического риска по всем открытым позициям.

Оценка динамического риска производится на основе исторических данных о ценах и ликвидности рыночных инструментов и прогнозе экономической ситуации на анализируемый период.

Величина динамического риска изменения процентных ставок равна максимально возможному негативному изменению стоимости инструмента в прогнозируемой на период экономической ситуации. Величина риска, определяемая этим методом не должна превышать величину потерь, определенную в качестве предельно допустимой, глобальным стоп-лоссом в расчете на данную конкретную позицию.

Динамический риск процентных ставок рассчитывается на планируемый период владения бумагой.Величина динамического риска ликвидности равна: для торгуемых бумаг – сумме превышения величины открытой позиции над среднедневным биржевым оборотом по данному инструменту за три последних месяца (по номиналу), умноженной на вероятность неисполнения эмитентом своих обязательств; для бумаг, взятых на первичном размещении, риск ликвидности рассчитывается аналогично, но за среднедневной оборот берется среднедневной оборот по наиболее схожему по своим характеристикам инструменту, который уже обращается на вторичном рынке.

С целью ограничения величины статического и динамического риска, как по портфелю в целом, так и по отдельным отраслям и эмитентам на операции с облигациями устанавливаются лимиты.

Базовый кредитный лимит рассчитывается на основе анализа кредитного качества заемщика и вероятности дефолта, соответствующей этому кредитному качеству. Расчет данного лимита больше подходит для облигаций корпоративного сектора. Величина статического риска у государственных бумаг очень мала и практически не участвует в расчетах, за исключением муниципальных облигаций.

Базовый кредитный лимит определяется таким образом, чтобы общая величина статического риска соответствующая открытой позиции на всю сумму лимита не превышала величины максимально приемлемого риска. Величина базового кредитного лимита определяется как сумма максимально приемлемого риска, деленная на вероятность дефолта данного конкретного заемщика. При этом, дефолт трактуется в соответствии с определением рейтинговых агентств Moody’s или S&P.

Вероятность дефолта определяется: для предприятий имеющих общепризнанный кредитный рейтинг, – как процент предприятий, имевших соответствующий рейтинг и объявивших дефолт в тот же срок от получения рейтинга, что и анализируемое предприятие плюс один год, среди всех предприятий, получивших этот же рейтинг в соответствующий период.

Информация берется из публикаций Moody’s или S&P. При осуществлении инвестиций со сроком «до погашения», в качестве периода, для определения вероятности дефолта, берется срок от получения рейтинга плюс срок оставшийся до погашения. При наличии прогноза по рейтингу (позитивный/негативный) вероятность дефолта может использоваться соответствующая рейтингу на ступень выше или ниже, чем та, которая присвоена предприятию, но только если оценка прочих рисков подтверждает прогноз изменения рейтинга.

Для предприятий, не имеющих общепризнанного кредитного рейтинга, вероятность дефолта оценивается на основе сравнения показателей финансового положения, кредитной истории, качества менеджмента, доли рынка и прочих существенных показателей анализируемого предприятия, с показателями наиболее близкого по характеру деятельности предприятия, которое имеет общепризнанный кредитный рейтинг в заданный период.

При этом, вероятность дефолта берется не ниже, чем вероятность дефолта за соответствующий период соответствующая самому низкому кредитному рейтингу по классификации Moody’s или S&P. Для всех предприятий, независимо от того, имеют ли они общепризнанный кредитный рейтинг или нет, в обязательном порядке проводится анализ кредитного качества по методике Банка «Зенит» или любой другой аналогичной методике, или, в случае нахождения таковой, – более совершенной.

Скорректированный базовый кредитный лимит определяется путем уменьшения, в случае необходимости, величины базового кредитного лимита для того, чтобы учесть размер компании – эмитента и совокупный объем выпуска всех эмиссий облигаций данного эмитента, обращающихся на открытом рынке.

Скорректированный базовый кредитный лимит определяется как базовый кредитный лимит, уменьшенный до величины чистого денежного потока компании за год и затем уменьшенный до величины, не превышающей 3% от совокупного объема выпуска всех эмиссий облигаций данного эмитента, обращающихся на открытом рынке.

На заседание правления банка для последующего утверждения выносится скорректированный базовый кредитный лимит.

Текущими лимитами ограничивается общий совокупный риск портфеля корпоративных облигаций, общий совокупный риск вложений в каждую отдельную отрасль и совокупный риск по каждой открытой позиции.

Глобальный объемный лимит по риску портфеля устанавливается таким образом, чтобы сумма статического и динамического риска по всем позициям портфеля корпоративных облигаций не превышала величины неприемлемого риска.

Объемный лимит вложений в одну отрасль равен сумме статического и динамического риска по всем вложениям в одну отрасль не должна превышать величины предельно допустимого риска.

Текущий лимит на открытую позицию рассчитывается как сумма статического и динамического риска по каждой отдельной открытой позиции не должна превышать величины максимально приемлемого риска.

Текущие лимиты не выносятся на обсуждение заседания правления банка, а контроль за их соблюдением осуществляется начальником подразделения и сотрудником, отвечающим за аналитическую работу по операциям с корпоративными облигациями.

Чтобы избежать непредвиденных потерь по портфелю, нужно проводить оперативный контроль за рисками и соблюдением лимитов.

Предварительно, перед каждым новым открытием позиции, осуществляются расчеты рисков. Риски определяются как в отдельности – по новой позиции, так и, с учетом ранее открытых позиций, по отрасли и по портфелю в целом.

По результатам расчетов, определяется значение текущего лимита на новую позицию. При этом, открытие позиции на всю сумму текущего лимита не должно привести к нарушению отраслевого и глобального объемных лимитов.

При покупке инструментов на первичном рынке, допускается открывать позицию на всю сумму скорректированного базового кредитного лимита, без учета динамического риска, однако при появлении вторичного рынка по бумаге и данных для расчетов динамического риска, размер позиции должен быть уменьшен, в случае необходимости, до величины текущего кредитного лимита.

Отчет по рискам портфеля составляется одновременно с месячным прогнозом развития ситуации на рынке корпоративных облигаций.

В случае, если по результатам пересмотра, один или несколько лимитов оказываются нарушенными, в портфель следует внести соответствующие коррективы.

Бывают такие ситуации, что в портфелях находятся ценные бумаги, эмитенты которых не имеют кредитного рейтинга, и иногда бывает сложно определить по параметрам облигации какова степень статического риска у данного заемщика.

После августовского кризиса 1998 года российский рынок ценных бумаг пережил ряд потрясений, связанных с неспособностью либо нежеланием заемщиков исполнять свои обязательства по облигациям и кредитам. В результате риск дефолта стал одним из наиболее важных факторов, принимаемых во внимание при оценке долговых ценных бумаг.

Традиционной мерой такого риска является превышение уровня доходности к погашению над безрисковой процентной ставкой. Мы предлагаем альтернативный подход, который позволяет математически определить предполагаемую вероятность дефолта по долговым финансовым инструментам, которая является мерой риска дефолта как на развивающихся, так и на развитых рынках. Этот показатель играет весьма важную роль во внутрибанковском планировании.

Трейдеры по ценным бумагам могут использовать этот показатель в частности для торговли относительной сто­имостью (ценные бумаги сходного кредитного качества должны иметь близкие значения вероятности дефолта).

Во внутри банковском планировании, например при приведении стоимости фондирования разных направле­ний бизнеса внутри банка к безрисковым ставкам, а так­же для расчетов стоимости хеджирования кредитных ри­сков, коммерческие банки пользуются этим подходом.

Умножая данный показатель на стоимость актива, можно теоретически определить стоимость хеджирова­ния или в случае кредитования клиента банком размер компенсации за дополнительный риск.

Для расчета предполагаемой вероят­ности дефолта предположим, что вероятность его на­ступления в период между любыми двумя последова­тельными платежами не зависит от срока до погашенияценной бумаги. Такой подход аналогичен тому, который используется при расчете доходности к погашению по облигациям, когда при расчете приведенной стоимости будущих платежей в качестве ставки дисконтирования используется одна и та же процентная ставка — доход­ность к погашению,
рассчитываемая по формуле:

Bond рriсе = YTM =
r RiskPremium,
где r— безрисковая процентная ставка.

Для расчета приведенной стоимости будущих плате­жей в качестве ставки дисконтирования будет исполь­зоваться безрисковая процентная ставка,
так как весь риск будет заложен в оценке вероятных платежей.

Пусть Р
— вероятность наступления дефолта в период между любыми двумя последовательными платежами. Тогда вероятность того, что дефолт не наступит в первый период выплаты по ценной бумаге, равна (1 – Р), а в i-й период — произведению вероятностей ненаступления дефолта во все предыдущие периоды и (1 – Р), т. е. .

В случае если дефолт не наступает, держатель цен­ной бумаги получает платеж Сi, а в случае дефолта — остаточную стоимость ценной бумаги RV.

Таким образом, с учетом риска наступления дефолтаинвестор может рассчитывать на получение i-го плате­жа в размере (1 – Р)

При этом текущая приведенная стоимость PV, такого платежа будет равна

PVi= [(1 – Р)r
)

где r— безрисковая доходность (для долларовых облигаций — доходность по USTreasuriesили местному инструменту с мини­мальным риском дефолта).

Р
Рыночная стоимость ценных бумаг равна сумме при­веденных стоимостей всех платежей, таким образом, зная рыночную цену, можно рассчитать предполагае­мую вероятность дефолта:

Bondprice =

Вероятность Р может быть выражена следующим образом:

Р = 1 – е.

Формула для приведенной стоимости ценной бумаги может быть сведена к следующей:

Bondprice = Т,
где р — плотность распределения вероятности дефолта (в нашем предположении р не зависит от вре­мени). dD(t) = (1 – D(t))pdt — приращение функции рас­пределения вероятности дефолта при приращении времени на dt. d(l – D(t))/(l – D(t)) = -pdt. Отсюда D(t) = 1 – eТ
на (1 – Р), т. е. е

Приведенная выше модель может быть использована инвесторами и трейдерами для сравне­ния ценных бумаг сходного кредитного качества.

Например, при уровне остаточной стоимости 12% от номинальной стоимости предполагаемая годовая ве­роятность дефолта по российским еврооблигациям в начале марта составляла 9 — 11%.

В то же время по ОВГВЗ составляет от 11% (по 7-му траншу) до 25% (по 4-му траншу), что говорит о несоот­ветствии оценки ценных бумаг участниками рынка и агентством Standard&
Poor’s, которое недавно урав­няло рейтинги ОВГВЗ и еврооблигаций на уровне ССС .

Коммерческими банками такая модель может быть использована для расчета маржи над безрисковой про­центной ставкой для заемщиков с различным рейтингом.

Рассмотрим ситуацию, когда в банке существует си­стема внутренних рейтингов заемщиков и некоторые кредиты имеют частичное покрытие, которое может рассматриваться как остаточная стоимость в случае неисполнения заемщиком своих обязательств.

Предполагается выдать кредит заемщику с рейтин­гом,
предполагающим 10%-ю вероятность неисполне­ния обязательств.
Кредит подлежит погашению через год с выплатой половины суммы через полгода и ос­тавшейся суммы через год.

Если безрисковая ставка в данной валюте составля­ет 15%, а остаточная стоимость 20% от суммы кредита, то согласно приведенной модели процентная ставка должна составлять 23,85%.

В случае изменения рейтинга заемщика (оценки ве­роятности неисполнения обязательств) с помощью этой же модели можно переоценить стоимость креди­та. Например, если через 3 месяца после выдачи кре­дита рейтинг заемщика предполагает вероятность не­исполнения обязательств 15%, а остаточная стоимость оценивается в 10%, то стоимость такого кредита будет составлять 97,3%.

Рассмотрим еще один пример, где применяется данная модель. Компания обращается в банк за возоб­новлением кредита. С момента подачи последней за­явки кредитоспособность компании, по мнению банка, упала и риск кредитования
возрос, по крайней мере, на 10 процентных пунктов, до 20%.

По сравнению с предыдущим разом в случае прода­жи займа на рынке вы получили бы только 90 центов/долл. При той же оценке уровня остаточной стои­мости изложенная выше методология предлагает вам повысить ставку займа на 10,4 процентных пунктов, с 23,85 до 34,25%.

Таким образом, модель оценки вероятности дефол­та может быть инструментом оценки рыночной стоимо­сти существующих долгов, а также механизмом опре­деления процентных ставок по кредитам с учетом рис­ка заемщика.

Для трейдеров наряду с доходностью к по­гашению данная модель может служить удобным инст­рументом для сравнения привлекательности облига­ций различных эмитентов, позволяя численно опреде­лить уровень риска дефолта.

Для коммерческих банков применение данной методологии осложнено российскими реалиями, на­пример:

• дифференциацией отношений компаний с кредито­рами: одним платят, другим нет;

• отсутствием внутрироссийских рейтингов компаний и др.

Тем не менее внутри банков рейтинги заемщиков должны существовать, поэтому некоторые эле­менты предложенного подхода могут быть использованы как элементы в создании внутри­банковских методик оценки рисков.

Рассмотрим как производится оценка доходности и риска ценных бумаг с фиксированным доходом, в частности векселей и облигаций.

Сейчас трудно найти работу, в которой бы проводился вероятностный анализ доходности и риска долговых обязательств. Скорее всего, это связано с тем, что доходность такого рода бумаг не лежит в произвольно широких пределах, как это имеет место для акций и паев взаимных фондов на акциях.

Моделируя ценные бумаги с фиксированным доходом, мы знаем параметры выпуска (дата выпуска, цена размещения, дата погашения, число купонов, их размер и периодичность). Единственное, чего мы не знаем, – это то, как будет изменяться котировка этих бумаг на рынке в зависимости от текущей стоимости заемного капитала, которая косвенно может быть оценена уровнем федеральной процентной ставки страны, где осуществляются заимствования.

Идея вероятностного анализа долговых обязательств, представленная здесь, состоит в том, чтобы отслоить от истории сделок с долговыми обязательствами неслучайную составляющую цены (тренд). Тогда оставшаяся случайная составляющая (шум) цены может рассматриваться нами как случайный процесс с непрерывным временем, в сечении которого лежит нормально распределенная случайная величина с нулевым средним значением и со среднеквадратичным отклонением (СКО), равным s(t), где t – время наблюдения случайного процесса. Ожидаемый вид функции s(t) будет исследован нами позже.

Получим аналитический вид трендов долговых обязательств и для начала рассмотрим простейшие случаи таких выражений, которые имеют место для дисконтных бескупонных облигаций и дисконтных векселей.

Пусть бумага данного вида эмитирована в момент времени TI
по цене N0
< N, где N – номинал ценной бумаги. Тогда разница N – N0
составляет дисконт по бумаге. Параметрами выпуска также определен срок погашения бумаги TM
, когда владельцу бумаги возмещается ее номинал в денежном выражении.

Пусть t – момент времени, когда инвестор собирается приобрести бумагу. Определим ее справедливую рыночную цену С(t). Это выражение и является трендом для случайного процесса цены бумаги.

Пусть время в модели дискретно, а интервал дискретизации – год. Бумага выпускается в обращение в начале первого года, а гасится в конце n – го. Тогда рыночная цена дисконтного инструмента, приобретаемого в начале (k 1) – го года обращения бумаги, имеет вид:

где r – внутренняя норма доходности долгового инструмента, определяемая по формуле:

Формула (3.6) предполагает, что на рынке имеются бумаги с той же самой внутренней нормой доходности, что и наша, которые при этом имеют реинвестируемые купонные платежи, а период реинвестирования равен одному году. Если бы не так, то расчет следовало бы вести по формуле, предполагающей, что период реинвестирования платежей совпадает с периодом обращения дисконтного инструмента.

Получим аналоги формул (3.6) и (3.7) для непрерывного времени, предполагая по ходу, что реинвестирование также идет в непрерывном времени с периодом бесконечно малой длительности. Это делается следующим образом. Разобъем весь период обращения ценной бумаги [TI
, TM
] на интервалы числом n и длительностью

Обозначим t = TI
k * D и применим к расчету рыночной цены бумаги формулы (3.6) и (3.7). Это дает:

Предельный переход в (3.9) и (3.10) при D® 0 дает:

Это и есть соотношение для справедливой цены дисконтной бумаги для непрерывного времени. Качественный вид функции (3.10) представлен на рис. 3.1.1.

Сделаем предположение о характере шума цены. Для этого построим частную производную цены по показателю внутренней нормы доходности бумаги:

Видно, что чувствительность цены к колебаниям процентной ставки имеет нестационарный вид и убывает до нуля по мере приближения срока погашения бумаги. Таким образом, резонно искать среднеквадратичное отклонение (СКО) шума как функцию вида:

Ожидаемый вид СКО представлен на рис. 3.1.2.

С практической точки зрения это означает следующее. Мы наблюдаем случайный процесс цен на бумаги, который можно обозначить H(t). Тогда шум процесса имеет вид

где C(t) – тренд цены – определяется по (6.6).

Рис. 3.1.2. Ожидаемый вид функции СКО

Перейдем от нестационарного шума к стационарному введением корректирующего делителя

Тогда процесс e*
(t) является стационарным, и в его сечении находится случайная величина с матожиданием 0 и с СКО s0
. И определение фактического значения параметра s0
этого процесса может производиться стандартными методами.

Теперь посмотрим, что делается со случайной величиной доходности долгового инструмента, в процентах годовых:

где Т – период владения долговым инструментом.

Заметим здесь, что рыночная цена H(t), измеренная в момент t, не рассматривается нами как случайная величина, так как ее значение в этот момент известно. Эта же цена неизвестна в будущем времени (t T) и является случайной величиной, которая имеет нормальное распределение с матожиданием С(t T) и СКО s(t T) (эти функции вычисляются по формулам (3.11) и (3.14)).

Cлучайный процесс доходности на интервале [t, t T] в сечении имеет параметры:

Рассмотрим пример анализа доходности дисконтной облигации.

Облигация номиналом N = 1000$ выпускается в обращение в момент времени TI =
0(
далее все измерения времени идут в годах)
сроком на 2 года c дисконтом 30%, то есть по эмиссионной цене N0
= 700$.

Инвестор намеревается приобрести бумагу в момент времени t =1. В этот момент текущая цена бумаги на рынке составляет H(1) = 820$. Для проведения статистического анализа доступна история сделок с бумагой за истекший год ее обращения.Требуется идентифицировать доходность облигации R(t=1, T) на протяжении оставшегося года владения ( T Î [0, 1] ) как случайный процесс и определить параметры этого процесса.

Согласно (3.11), (3.12), внутренняя норма доходности нашей облигации составляет

r = ln(1000/700) = 35.67% годовых, (3.20)

а справедливая цена

С(t) = 1000*exp(-(2-t)*0.3567/2), t Î [0, 2]. (3.21)

Далее следует этап анализа истории цены за истекший год. СКО шума цены, согласно (3.14), имеет вид

где s0
определяется на основе анализа истории скорректированного шума цены вида (3.16).

Теперь бумага полностью идентифицирована. Случайный процесс ее доходности имеет параметры, которые определяются по формулам (3.18), (3.19). В частности, на момент погашения бумаги Т = 1, C(2) = 1000$, s(1 1) = 0, e(1 1) = 0, и R(1,1) = (1000-820)/(820*1) = 21.95% годовых – неслучайная величина.

Оценим процесс количественно через Т = 0.5 лет владения бумагой, задавшись параметром СКО шума s0
= 20$. Тогда

C(1.5) = 1000*exp(-(2-1.5)*0.3567/2) = 914.7$, (3.23)

Пусть бумага данного вида эмиттирована в момент времени TI
по цене N0
, причем эта цена может быть как выше, так и ниже номинала (это обусловлено соотношением объявленной купонной ставки и среднерыночной ставки заимствования, с учетом периодичности платежей).

Тогда временная последовательность купонных платежей может быть отображена вектором на оси времени с координатами

Формула для справедливой цены процентного долгового инструмента имеет вид:

номер интервала, которому принадлежит рассматриваемый момент t,

моменты ti
определяются соотношением (3.27), а внутренняя норма доходности долгового инструмента r отыскивается как корень трансцендентного уравнения вида

С(TI
) = N0
. (3.32)

Если купон по процентной бумаге нулевой, то переходим к рассмотренному выше случаю дисконтной бумаги.

Анализ соотношений (3.30) и (3.31) показывает, что шум цены, тренд которой имеет вид (3.28), является нелинейно затухающей кусочной функцией на каждом интервале накопления купонного дохода, причем шум получает как бы две составляющих: глобальную – для всего периода обращения бумаги, и локальную – на соответствующем моменту t интервале накопления купонного дохода.

Исследуем характер шума цены процентной бумаги:

где C(t) – тренд цены – определяется по (3.28).

Руководствуясь соображениями, изложенными в предыдущем примере дисконтных бумаг, будем отыскивать СКО шума цены в виде:

а i определяется по (3.29). Соотношение (3.35) является частной производной справедливой цены (3.28) по показателю внутренней нормы доходности бумаги с точностью до постоянного множителя.

Аналогично предыдущему примеру, мы можем получить нормировочный делитель для шума цены процентной бумаги. Переход от нестационарного шума к стационарному будет иметь вид:

На рис. 3.1.3 приведен примерный вид тренда цены процентной бумаги, а на рис. 3.1.4 – примерный вид СКО такой бумаги.

Рис. 3.1.3. Функция справедливой цены процентной бумаги

Рис. 3.1.4. Функция СКО процентной бумаги

Что касается доходности процентных инструментов, то формулы (3.17) – (3.18) получают поправку в виде проплаченного за время Т купонного дохода:

где m – число оплаченных купонов процентной бумаги за период T.

Вывод о том, что случайный процесс

Рассмотрим расчетный пример.

Облигация номиналом N = 1000$ выпускается в обращение в момент времени TI =
0(далее все измерения времени идут в годах)
сроком на 3 года c дисконтом 10%, то есть по эмиссионной цене N0
= 900$. По бумаге объявлено три годовых купона по ставке 20% годовых, то есть размером DN = 200$.

Инвестор намеревается приобрести бумагу в момент времени t =1 сразу после первого купонного платежа. В этот момент текущая цена бумаги на рынке составляет H(1) = 940$. Для проведения статистического анализа доступна история сделок с бумагой за истекший год ее обращения.

Определим внутреннюю норму доходности нашей процентной бумаги, итеративно решив уравнение (3.32). Тогда, согласно (3.28), это уравнение приобретает вид:

(1000 200) * exp(-r) 200*(exp(-r/3) exp(-2r/3)) = 900, (3.40)

откуда методом итераций получаем r = 67.2% годовых.

Выражение для справедливой цены приобретает вид:

Далее следует этап анализа истории цены за истекший год. СКО шума цены, согласно (3.34) – (3.35), имеет вид

где

а s0
определяется на основе анализа истории скорректированного шума цены вида (3.36).

Теперь бумага полностью идентифицирована. Случайный процесс ее доходности имеет параметры, которые определяются по формулам (3.18), (3.19). В частности, на момент погашения бумаги Т = 2, C(3) = 1200$, s(1 2) = 0, e(1 2) = 0, и R(1,2) = (1200-940)/(940*2) = 13.83% годовых – неслучайная величина.

Оценим процесс количественно через Т = 1 год владения бумагой непосредственно перед получением дохода по второму купону, задавшись параметром СКО шума s0
= 20$. Тогда

C(2-0) = 1200*exp(-(3-2)*0.672/3) 200 = 1159.2$, (3.44)

Обладая квазистатистикой ценового поведения облигации, мы можем оценить СКО шума цены (3.14) и (3.34) как треугольную нечеткую функцию фактора времени. И все соответствующие вероятностные распределения приобретают вид нечетких функций, а случайные процессы приобретают постоянные нечеткие параметры.

Мы получили вероятностную интерпретацию цены долгового инструмента. Зная матожидание и дисперсию цены, мы можем оценивать то же для текущей доходности. И тогда мы можем решать задачу Марковица, отыскивая максимум доходности портфеля при фиксированном СКО портфеля.

Если квазистатистики по отдельной долговой бумаге нет, можно воспользоваться статистикой квазистатистикой ведущих индексов по долговым обязательствам (например, индексами доходности по 10-летним или 30-летним государственным долговым обязательствам, анализируемыми в пределах последнего года).

Параметры случайных процессов для этих индексов могут быть взяты за основу при моделировании ценовых случайных процессов для индивидуальных долговых обязательств, при этом мера уверенности эксперта в оценке параметров будет находиться в обратной зависимости от ширины расчетного коридора, формируемого соответствующими нечеткими числами и вероятностными распределениями с нечеткими параметрами.

3.2. Хеджирование как метод страхования рисков

Стремление финансиста избежать риска и обеспечить себе гарантированную доходность вложенного капитала побуждает его к такой организации портфеля активов, при которой получается минимально возможный разброс эффективностей относительно приемлемого для него значения.

Одна из главных проблем финансовой математики и финансовой инженерии состоит в том, чтобы выявить условия, при которых подобное снижение риска осуществимо. И если это так, то определить начальный капитал, делающий возможным подобное хеджирование.

Одним из основных факторов снижения риска выступает отрицательная коррелированность эффективностей портфельных компонентов. В связи с этим соответствующие стратегии хеджирования основываются на противопоставлении опционов на акции и самих акций, а также облигаций различной срочности.

Известно, что активы с отрицательно коррелированными доходностями снижают риск портфеля. Данное свойство применяют для получения защищенных от риска финансовых вложений, сочетая те на­правления, у которых возможные уклонения доходностей от их ожидае­мых значений противоположны.

Этим, в том числе, объясняется становление на развитых финансовых рынках биржевой торговли по заключению контрактов с опционами и фьючерсами – одними из основных финансовых инструментов, относя­щихся к производным ценным бумагам и обладающих хеджирующими достоинствами.

О масштабах торговли можно судить хотя бы потому, что, например, на Нью-Йоркской бирже в дневном обороте за­ключаются 3,4 млн. опционных контрактов. Если учесть, что каждый единичный контракт – это сделка на куплю или продажу 100 акций, то, следовательно, ежедневно было задействовано порядка 340 млн. акций.

Высокий спрос на фьючерсы и опционы поддерживается, в отличие от акций, благодаря заинтересованности инвесторов в снижении порт­фельного риска и вопреки неблагоприятным значениям ожидаемой до­ходности (низкая) и риска (высокий). Для удачливых инвесторов дости­гаемые здесь эффективности могут быть намного выше, чем по акциям, что, впрочем, уравновешивается, в силу контрактного характера этих бу­маг, проигрышем “оппонентов”.

Проиллюстрируем на примере акции и колл-опциона полярность изменения доходностей финансового актива и заключенного на него срочного контракта. Пусть для определенности это будет европейский тип опциона «при деньгах» (контрактная цена равна текущему курсу), который дает право на дату покупки акции по цене, равной текущей котировке S, и допустим, что за контрактный срок Т дивиденды на акцию выплачиваться не будут.

При удорожании акции до уровня St> S держатель опциона воспользуется своим правом и эмитент вынужден будет исполнить контракт по заниженной цене. В результате его брутто-потери (без учета премии) со­ставят величину fт
= ST
– S, равную тому выигрышу, который он имеет как владелец акции (происходит перекачка выигрыша по акции в карман держателя опциона).

На рынке ценных бумаг отмеченная разнонаправленность обнаруживает себя через отрицательную статистическую связь (корреляцию) доходностей по акциям и опционам.

Этот пример подсказывает, в частности, один из доступных способов получения безрискового портфеля через соблюдение хеджирующей пропорции между числом проданных колл-опционов (короткая позиция), в расчете на одну купленную акцию. Заметим, что разнообразие опцион­ных позиций (2 х 2 = 4) по вариантам сделки (купить, продать) и видам опционов (“колл”, “пут”) позволяет прийти к другим вариантам отрица­тельных корреляций, например сочетать покупку акций и пут-опционов на нее. Это, в свою очередь, расширяет возможности составления хеджи­рующих смесей.

В качестве еще одного варианта отрицательной коррелированности рассмотрим разнопериодные облигации.
В дальнейшем будет показано, как это свойство позволяет решать “защитные” задачи от риска, связанного с изменением процентной ставки. Для простоты ограничимся обсуждением бескупонных облигаций.

В общем случае разные периоды будут отличаться эффективностями вложений. Информация об этом содержится в кривой доходности (yieldcurve), отражающей зависимость доходности к погашению от срока вы­пуска до погашения. Взаимоотношение между доходностью и срочно­стью долговых контрактов (облигаций) называется еще временной структурой процентных ставок(termstructureofinterestrates).

Практиче­ски эта кривая строится по текущим рыночным ценам на государствен­ные долговые обязательства (которые признаются безрисковыми) раз­личных сроков погашения. Обычно кривая доходности имеет положи­тельный наклон, то есть ценные бумаги с большим сроком до погашения имеют более высокую доходность.

В повседневной деятельности инвесторы в зависимости от своих запросов опираются на различные варианты кривых доходности. Для сравнительного анализа временной структуры ими привлекаются как процентные ставки, выводимые из текущих котировок однотипных бумаг с разными датами эмиссии, например трехмесячных ГКО, так и кривые доходности, отслеживающие динамику ее изменения и персонифицированные по выпускам.

Остановимся на двух способах инвестирования в зависимости от дли­тельности ценных бумаг с фиксированной доходностью:

· для краткосрочных облигаций – это покупка и хранение их до срока погашения, а затем реинвестирование поступивших средств;

· другой вариант V игра на кривой доходности при наличии определен­ных условий. Одно из условий состоит в том, что кривая доходности имеет наклон вверх. Другое условие – это уверенность инвестора в том, что кривая доходности в будущем не изменится. При данных ограниче­ниях инвестор, играющий на кривой доходности, покупает ценные бумаги, имеющие более длительный срок до погашения, чем это ему в действительности необходимо, а затем продает их до срока погашения, получая таким образом некоторую дополнительную прибыль.

Рассмотрим инвестора, который вкладывает средства в 90-дневные казначейские векселя. В данный момент они продаются по 98,25 долл. при номинале в 100 долл., то есть их доходность составляет (загод):

(100-98,25) / 98,25 * (365 / 90) * 100 = 7,22%.

Однако 180-дневные казначейские векселя продаются по 96 долл., что дает большую доходность: (100-96) / 96 * (365 / 180) * 100 = 8,45%.

Изобразим возрастающую кривую доходности, на которой располо­жены эти значения.

Рис.3.2.1 Кривая доходности казначейских векселей.

Согласно этой кривой за 90 дней до срока истечения ожидаемая цена продажи длинных векселей будет равна дисконтированной по ставке 7,22% величине их номинала, что, как легко убедиться, даст 98,25 долл. Заметим, что это значение совпадает с текущей ценой 90-дневных век­селей, поскольку в соответствии со сделанным предположением кривая доходности не поменялась за 90 дней. Это означает, что ожидаемая ставка доходности от перепродажи составит: (98,25-96,00) / 96,00 * (365 / 90) * 100 = 9,5%.

Итак, ожидаемая доходность при игре по кривой выше, чем доход­ность “ожидания” по короткой облигации (9,5 > 7,22). Данное явление происходит потому, что инвестор ожидает получить прибыль за счет досрочной реализации 180-дневных векселей, которые были первоначально приобретены.

Таким образом, с точки зрения доходности из двух альтернатив – покупка и погашение 90-дневных векселей или покупка 180-дневных бумаг и их продажа через те же 90 дней – вторая оказывается предпочтительнее.

Разумеется, что для убывающей кривой доходности вывод поменяется на противоположный. Если же эффективности не зависят от горизонта погашения (доходность постоянна), альтернативы становятся равновыгодными.

Ситуационно подходящий срок погашения может следовать кален­дарным обязательствам инвестора, например необходимости покрыть задолженность в определенном объеме на определенную дату. Допусти­мо, конечно, отложить требуемую сумму и держать ее до на­ступления удобного момента.

Но разумнее обойтись меньшей суммой и наращивать ее до нужного размера с помощью облигаций. Для этого можно купить облигации с погашением на нужный период или восполь­зоваться более короткими бумагами и реинвестированием. Еще один способ – вложиться в облигации с превосходящим периодом и продать их по срочности обязательства.

Следует иметь в виду, что в реальности будущие процентные ставки случайны. Поэтому как реинвестирование (короткие бумаги), так и игра на кривой доходности более рискованны, чем просто покупка бумаг с подходящим сроком погашения.

В самом деле, при многошаговом наращении по однопериодным бу­магам и преждевременной продаже длинных бумаг результаты будут за­висеть от случайных в будущем ставок по формулам начисления и соот­ветственно дисконтирования по сложным процентам. Отсюда понятно, что получаемые по каждому варианту изменения в выигрышах будут по разному реагировать на изменение процентных ставок: копируя их для коротких бумаг и отрицая для длинных.

К примеру,
пусть для простоты кривая доходности горизонтальна, то есть доходность к погашению не зависит от времени погашения t. Иначе говоря, текущие Р_t
стоимости связаны одной той же (в отличие от предыдущего примера) ставкой дисконтирования г: P_t
(l r)_t
, t=l,2, …,

то есть все контракты независимо от срока их действия имеют одну и ту же внутреннюю норму доходности.

Обозначим базовую процентную ставку, действующую в настоящий момент, через г0
. Для покрытия задолженности D на дату Т можно вос­пользоваться одним из трех вариантов вложения: в однопериодные, Т-периодные и в облигации с погашением позже долга (L > Т) и номи­налом

D(l r^L-T
.При начальном капитале I = D(l r₀
)

Таким образом, доходность реинвестирования (короткие бумаги) станет выше, а доходность перепродажи (длинные бумаги) снизится.

При падении ставки (г < го) выводы поменяются на симметричные. Отсюда видно, что случайные доходности активов, предшествующих долгу и следующих за ним, меняются разнонаправленно, то есть имеют о
трица­тельнуюкорреляцию.

Известны: исходная цена бумаги, дивидендный доход в процентах, безрисковая процентная ставка, страйк, срок опционного контракта или срок до его исполнения. Далее есть варианты расчета. Если известна волатильность подлежащего актива, можно посчитать теоретическую цену опциона, и наоборот, если известна фактическая цена опциона, можно оценить соответствующую волатильность актива.

Итак, мы можем оценить, насколько сильно теоретическая цена опциона отличается от фактической и тем самым сделать косвенную оценку эффективности использования опционов. Но может ли такая оценка быть количественной? Что, если я приобретаю не один опцион, а выстраиваю опционную комбинацию? Каков инвестиционный эффект от покрытия опционом подлежащего актива?

Чтобы ответить на перечисленные вопросы, нужно как бы отстраниться от всего достигнутого в опционной теории и посмотреть на проблему совсем с другой стороны – а именно так, так, как на нее смотрит классический инвестор. А он задается простым вопросом: если я покупаю по известнойцене один опцион или некоторую опционную комбинацию, на какой эффект с точки зрения доходности и риска своих вложений я могу рассчитывать?

Умея рассчитывать доходность и риск одного или группы опционов, можно перейти к оценке того же для опционных портфелей.

Введем следующие обозначения, которые будем употреблять в дальнейшем:

Входные данные (дано):

T – расчетное время (срок жизни портфеля или время до исполнения опционного контракта);

S0
– стартовая цена подлежащего опционам актива;

zc
– цена приобретения опциона call;

zp
– цена приобретения опциона put;

xc
– цена исполнения опциона call;

xp
– цена исполнения опциона put;

ST
– финальная цена подлежащего опционам актива в момент Т (случайная величина);

rT
– текущая доходность подлежащего актива, измеренная в момент времени T по отношению к стартовому моменту времени 0 (случайная величина);

sr
– среднеквадратическое отклонение (СКО) доходности подлежащего актива;

Выходные данные (найти):

IT
– доход (убыток) по опциону (комбинации), случайная величина;

RT
– текущая доходность опциона (комбинации), измеренная в момент времени T по отношению к стартовому моменту времени 0 (случайная величина);

sR
– СКО доходности опциона (комбинации);

QT
– риск опциона (комбинации).

Далее по тексту работы все введенные обозначения будут комментироваться в ходе их использования.

Также мы дополнительно оговариваем следующее:

1. Мы не рассматриваем возможность дивидендных выплат (чтобы не усложнять модель).

2. Здесь и далее мы будем моделировать опционы только американского типа, т.е. такие, которые могут быть исполнены в любой момент времени на протяжении всего срока действия опциона. Это необходимо, чтобы не требовать синхронизации срока жизни портфеля на подлежащих опционам активах и сроков соответствующих опционных контрактов.

Общепринятым модельным допущением к процессу ценового поведения акций является то, что процесс изменения котировки является винеровским случайным процессом, и формула Блэка-Шоулза тоже берет это предположение за исходное. Существуют определенные ограничения на использование вероятностей в экономической статистике.

Но, поскольку этот инструмент учета неопределенности является традиционным и общеупотребительным, я хочу оформить свои результаты в вероятностной постановке, при простейших модельных допущениях с использованием аппарата статистических вероятностей. А затем, по мере накопления опыта моделирования, мы будем усложнять модельные допущения и одновременно переходить от статистических вероятностей к вероятностным распределениям с нечеткими параметрами, используя при этом результаты теории нечетких множеств. Задача эта в целом выходит за рамки данной монографии, но заложить основы этой теории мы сможем уже здесь.

Посмотрим на винеровский ценовой процесс c постоянными параметрами m (коэффициент сноса, по смыслу – предельная курсовая доходность) и s (коэффикциент диффузии, по смыслу – стандартное уклонение от среднего значения предельной доходности). Аналитическое описание винеровского процесса:

где z(t) – стандартный винеровский процесс (броуновское движение, случайное блуждание) с коэффициентом сноса, равным нулю и коэффициентом диффузии, равным единице.

Если принять, что начальное состояние процесса известно и равно S0
, то мы можем, исходя из (2.1), построить вероятностное распределение цены ST
в момент T. Эта величина, согласно свойств винеровского процесса как процесса с независимыми приращениями, имеет нормальное распределение со следующими параметрами:

– среднее значение:

– среднеквадратичное отклонение (СКО) величины ln ST
/S0
:

В принципе, для моих последующих построений вид вероятностного распределения цены подлежащего актива несущественен. Но здесь и далее, для определенности, мы остановимся на нормальном распределении. Его плотность обозначим как

Примерный вид плотности нормального распределения вида (3.51) представлен на рис. 3.2.2.

Рис. 3.2.2. Примерный вид плотности нормального распределения

Теперь, сделав все базовые допущения к математической модели, мы можем переходить непосредственно к процессу вероятностного моделирования опционов и их комбинаций.

Приобретая опцион call, инвестор рассчитывает получить премию как разницу между финальной ценой подлежащего актива ST
и ценой исполнения опциона xc
. Если эта разница перекрывает цену приобретения опциона zc
, то владелец опциона получает прибыль. В противном случае имеют место убытки.

Случайная величина дохода по опциону связана со случайной величиной финальной цены подлежащего актива соотношением 3.49.

В правой части (3.52) все параметры являются известными и постоянными величинами, за исключением ST
, которая является случайной величиной с плотностью распределения (3.51).

А текущую доходность по опциону call мы определим формулой

Представление (3.49), когда стартовая и финальная цены актива связаны экспоненциальным множителем, является неудобным для моделирования. Аналогичные неудобства вызывает представление доходности на основе степенной зависимости. Именно поэтому мы оперируем категорией текущей доходности как линейной функции дохода и финальной цены.

Предполагая нормальность распределения финальной цены актива (что соответствует винеровскому описанию ценового процесса), мы автоматически таким образом приходим к нормальному распределению текущей доходности. Построенная линейная связь текущей доходности и цены является полезной особенностью, которая потом может быть удачно использована в ходе вероятностного моделирования.

Определим плотность jI
(y) распределения дохода IT
по опциону как функции случайной величины ST
. Воспользуемся известной формулой. Если исходная случайная величина X имеет плотность распределения jX
(x), а случайная величина Y связана с X функционально как Y=Y(X), и при этом существует обратная функция X=X(Y), тогда плотность распределения случайной величины Y имеет вид

В нашем случае, исходя из (3.52),

dST
/dIT
= 1, IT
> -zc
. (3.56)

Мы видим, что в точке IT
= -zc
плотность jI
(y) приобретает вид дельта-функции. Необходимо определить множитель при дельта-функции. Это можно сделать косвенным образом. На участке, где функция ST
(IT
) дифференцируема, в силу (3.54)-( 3.58) выполняется

_T
> -z_c
. (3.57)

В силу нормирующего условия справедливо

откуда, в силу (2.10), искомый множитель K есть

Множитель K есть, таким образом, не что иное как вероятность события ST
< xc
. При наступлении такого события говорят, что опцион call оказался не в деньгах
. Это событие – условие отказа от исполнения call-опциона и прямые убытки в форме затрат на приобретение опциона.

Наконец, итоговое выражение для jI
(y)

где

На рис. 3.2.2 представлен примерный вид плотности вида (3.60).

Рис. 3.2.2. Примерный вид плотности усеченного распределения

Видно, что мы перешли от нормального распределения цен к усеченному нормальному распределению доходов. Но это не классическое усеченное распределение, а распределение, функция которого претерпевает разрыв первого рода в точке с бесконечной плотностью.

Теперь нетрудно перейти к распределению доходности jR
(v), пользуясь (3.53), (3.54) и (3.60):

Плотности вида (3.60) и (3.62) – бимодальные функции.

Теперь оценим риск инвестиций в call опцион. Мне думается, что правильное понимание риска инвестиций сопряжено с категорией неприемлемой доходности, когда она по результатам финальной оценки оказывается ниже предельного значения, например, уровня инфляции в 4% годовых.

Поэтому риск инвестиций в опцион call может быть определен как вероятность неприемлемой доходности по формуле

где jR
(v) определяется по (3.62).

Среднеожидаемая доходность вложений в опцион определяется стандартно, как первый начальный момент распределения:

Среднеквадратическое отклонение доходности call опциона от среднего значения также определяется стандартно, как второй центральный момент распределения

Рассмотрим важные асимптотические следствия полученных вероятностных форм. Для этого установим связь между доходностями call опциона и подлежащего актива, с учетом (3.52) и (3.53):

где

Видим, что доходность опциона call и подлежащего актива связаны кусочно-линейным соотношением, причем на участке прямой пропорциональности это происходит с коэффициентом g, который собственно, и характеризует фактор финансового рычага (левериджа).

То есть между соответствующими параметрами подлежащего актива на участке, когда опцион оказывается в деньгах, возникает линейная связь посредством левериджа. С ростом среднеожидаемой доходности актива растет и средняя доходность call опциона, а с ростом волатильности актива растет также и волатильность опциона.

Итак, мы получили вероятностные формы для описания доходности и риска по вложениям в опцион call. Действуя аналогичным образом, мы можем получать подобные формы для опционов другой природы, а также для их комбинаций друг с другом и с подлежащими активами.

Приобретая опцион put, инвестор рассчитывает получить премию как разницу между ценой исполнения опциона xp
и финальной ценой подлежащего актива ST
. Если эта разница перекрывает цену приобретения опциона zp
, то владелец опциона получает прибыль. В противном случае имеют место убытки.

Надо сказать, что приобретение опциона put без покрытия подлежащим активом не является традиционной стратегий. Классический инвестор все же психологически ориентируется на курсовой рост приобретаемых активов. С этой точки зрения стратегия классического инвестора – это стратегия «быка». А покупка put опциона без покрытия – эта «медвежья» игра.

Обычная логика использования опциона put – это логика отсечения убытков с фиксацией нижнего предела доходности, который не зависит от того, насколько глубоко провалился по цене подлежащий актив. Но для нас не имеет значения, какой стратегии придерживается инвестор.

Проведем рассуждения по аналогии с предыдущим разделом работы. Случайная величина дохода по опциону связана со случайной величиной финальной цены подлежащего актива соотношением.

А текущая доходность по опциону put определяется формулой

Используем все соображения о получении плотностей распределения, выработанные в предыдущем разделе работы.В нашем случае, исходя из (3.69)

|dST
/dIT
| = 1, IT
> -zp
. (3.72)

Интересно отметить, что в случае опциона call цена подлежащего актива и доход по опциону связаны возрастающей зависимостью, а в нашем случае – убывающей. То есть чем хуже чувствует себя актив, тем лучше держателю непокрытого опциона (если, конечно, инвестор заодно не владеет и самим подлежащим активом).

Множитель K при дельта-функции в точке IT
= -zp
есть

вероятность события ST
> xp
. Опцион оказывается не в деньгах, что есть условие отказа от исполнения put опциона и прямые убытки в форме затрат на приобретение этого опциона.

Итоговое выражение для плотности распределения jI
(y) случайной величины дохода по опциону put имеет вид

Плотность вида (2.27) – это усеченный с двух сторон нормальный закон плюс дельта-функция на границе усечения. С этой точки зрения качественный вид зависимости (2.27) повторяет вид того же для опциона call в силу симметрии нормального распределения. При произвольном распределении финальной цены результаты были бы другими.

Теперь нетрудно перейти к распределению доходности jR
(v), пользуясь (3.69), (3.70) и (3.71):

Разумеется, отмечаем бимодальность (3.74) и (3.75).

Поэтому риск инвестиций в опцион put может быть определен по формуле

где

а jR
(v) определяется по (3.75).

Среднеожидаемая доходность вложений в опцион и СКО определяются по (2.64) и (2.65) соответственно.

Рассмотрим асимптотические следствия по аналогии с call опционом. Для этого установим связь между доходностями put опциона и подлежащего актива, с учетом (3.69) и (3.70):

где

Видим, что доходность опциона put и подлежащего актива связаны кусочно-линейным соотношением, причем на участке прямой пропорциональности это происходит с коэффициентом g, который собственно, и характеризует фактор финансового рычага (левериджа).

То есть между соответствующими параметрами подлежащего актива на участке, когда опцион оказывается в деньгах, возникает линейная связь посредством левериджа. С ростом средней доходности актива средняя доходность put опциона падает, а с ростом волатильности актива волатильность опциона также растет.

В начале года инвестор приобретает за zc
= 10 ед. цены опцион call на подлежащий актив со стартовой ценой S0
= 100 ед. Цена исполнения опциона xc
= 100 ед., опцион американский, срочностью 1 год. Поскольку цена исполнения совпадает со стартовой ценой, то покупаемый опцион является опционом в деньгах.

Инвестор ориентируется на следующие параметры доходности и риска подлежащего актива: текущая доходность r = 30% годовых, СКО случайной величины текущей доходности sr
= 20% годовых. В пересчете на финальную цену ST
это означает, что через время Т = 0.

Все полученные соотношения реализованы в компьютерной программе. Расчет по формулам (3.63) – (3.65) дает Q_T
= 0.335, _S
= 188.5% годовых. Одновременно отметим: поскольку вероятность того, что опцион не в деньгах, мала (0.066), то полученные значения моментов близки к своим асимптотическим приближениям (3.68) _S
= 200% годовых соответственно.

Результаты наглядно показывают то, что опцион – это одновременно высокорисковый и высокодоходный инструмент. Высокая доходность достигается за счет левериджа: не вкладывая деньги в подлежащий актив, инвестор тем не менее получит по нему возможный доход и не будет участвовать в убытках.

Другое дело, что обычно инвестор балансирует на грани прибылей и убытков, ибо все ищут выигрыша, и никто не станет работать себе в убыток. Поэтомудля call-опционов в деньгах разница между среднеожидаемой ценой подлежащего актива и ценой приобретения опциона обычно колеблется вокруг цены исполнения.

Это означает, что вложения в непокрытые опционы с точки зрения риска сопоставимы с игрой в орлянку. Для put опциона в деньгах сопоставимыми являются цена исполнения, с одной стороны, и сумма цены опциона и ожидаемой цены подлежащего актива – с другой стороны.

Исследуем рынок полугодовых call-опционов компании IBM. Это можно сделать, воспользовавшись материалами по текущим котировкам опционов на сервере MSN. Исследуем вопрос, какие из обращающихся на рынке call-опционы нам предпочтительнее покупать. Для этого нам нужно задаться прогнозными параметрами распределения доходности подлежащего актива, близкими к реальным. Это будет как бы тот ранжир, которым будут вымеряться опционы выделенной группы.

Взглянем на вектор исторических данных IBM за прошедший квартал (рис.3.2.3). Процесс существенно нестационарен, поэтому стандартной линейной регрессией пользоваться нельзя. Глядя на график, зададимся умеренной оценкой доходности порядка 30% годовых и СКО доходности в 30% годовых. Эти параметры и примем за базовые.

Стартовая цена подлежащего актива на дату покупки опциона – 114.25$. Соответственно, через полгода мы должны иметь финальное распределение цены подлежащего актива с параметрами: среднеее – 131$, СКО – 17$.

Рис. 3.2.3 Ценовая динамика call-опционов компании IBM

В таблицу 3.2.1 сведены значения доходностей и рисков по каждой группе опционов.

Таблица 3.2.1

Из таблицы 3.2.1 видно, что безусловными фаворитами являются опционы №№ 1 и 4. Все прочие опционы обладают несопоставимыми характеристиками, они явно переоценены.

Проведем аналогичное исследование put опционов в соответствии с данными примера 2. Результаты расчетов сведены в таблицу 3.2.2

Таблица3.2.2

Видно, что при наших инвестиционных ожиданиях put опционы являются совершенно непригодными для инвестирования инструментами. Видимо, рынок ждет глубокого падения акций IBM и, соответственно, запрашивает высокие опционные премии за риск.

Решим обратную задачу: каких параметров акций IBM через полгода ждет рынок,чтобы инвестирование в put опционы представлялось этому рынку справедливым делом с точки зрения критериев доходности и риска. Возьмем для рассмотрения опцион IBMPC ценой 13.1$ и ценой исполнения 115$ и будем варьировать величинами ожидаемой доходности и риска подлежащего актива. Результаты расчетов сведены в таблицу 3.2.3.

Таблица 3.2.3

Видно, что рынок настроен на тактическое снижение цены подлежащего актива в темпе порядка (-30%) годовых. Только в этом диапазоне мы имеем приемлемые риски и высокие степени доходности инвестиций в опционы – такие, чтобы упомянутый риск оправдать.

В первой части данной главы мы получили вероятностную интерпретацию цены долгового инструмента. Зная матожидание и дисперсию цены, мы можем оценивать то же для текущей доходности. И тогда мы можем решать задачу Марковица, отыскивая максимум доходности портфеля при фиксированном среднеквадратичном отклонении портфеля.

Во второй части главы мы рассмотрели основные аспекты хеджирования как страхования рисков. Рассмотрели как производятся расчеты по инвестициям в производные инструменты. Производные инструменты, как основной инструмент по снижению рисков, пользуется большой популярностью на мировых рынках.

Заключение