Статистика Ферми-Дирака – abcdef.wiki

I. определение случайной величины (св), дискретной случайной величины (дсв). закон и многоугольник распределения дсв

При бросании игральной кости могут появиться числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Заранее определить возможные исходы невозможно, так как они зависят от многих случайных причин, которые не могут быть полностью учтены. В данном примере выпавшее число очков есть величина случайная, а числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 есть возможные значения этой величины.

Случайная величина – величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины (кратко: СВ) обозначают большими латинскими буквами , а принимаемые ими значения — малыми буквами , а принимаемые ими значения — малыми буквами

Из приведенного выше  примера, видно, что случайная величина Х может принять одно из следующих возможных значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений Х. Таким образом, в этом примере СВ принимает отдельные, изолированные возможные значения.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Закон распределения ДСВ Х удобно задавать с помощью следующей таблицы

называемой рядом распределения. При этом возможные значения  СВ Х в верхней строке этой таблицы располагаются в определенном порядке, а в нижней — соответствующие вероятности  СВ Х в верхней строке этой таблицы располагаются в определенном порядке, а в нижней — соответствующие вероятности .

Графически ряд распределения изображают в виде многоугольника (или полигона) распределения.

1.1. В ящике 2 нестандартные и 4 стандартные детали. Из него последовательно вынимают детали до первого появления стандартной детали. Построить ряд и многоугольник распределения ДСВ  — числа извлеченных деталей.

Решение.

Рассмотрим все возможные значения, которые может принимать случайна величина (СЛ) :: – первой вынули  стандартную деталь; — первая вынутая деталь нестандартная, вторая стандартная; — первая вынутая деталь нестандартная, вторая стандартная; — первая деталь нестандартная, вторая деталь нестандартная, третья деталь стандартная.Соответствующие им вероятности найдем воспользовавшись правилом умножения вероятностей (заметьте, что события зависимы):

Тогда закон распределения дискретной случайной величины Х примет вид:

Построим многоугольник распределения, отложив на оси абсцисс (ОХ) значения ДСВ Х, а на оси ординат (ОY) соответствующие им вероятности:

1.2. В партии, содержащей 20 изделий, имеется четыре изделия с дефектами. Наудачу отобрали три изделия для проверки их качества. Построить ряд распределения числа дефектных изделий, содержащихся в указанной выборке.

Решение.

 — число дефектных изделий, содержащихся в выборке.Рассмотрим все возможные значения, которые может принимать случайна величина (СЛ)  — число дефектных изделий, содержащихся в выборке.Рассмотрим все возможные значения, которые может принимать случайна величина (СЛ) : — ни одно изделие выборки не является дефектным, т.е. все изделия удовлетворяют стандарту; — ни одно изделие выборки не является дефектным, т.е. все изделия удовлетворяют стандарту; — выборка содержит одно изделие с дефектом и два стандартных изделия; — выборка содержит два изделия с дефектом и одно стандартное изделие; — выборка содержит два изделия с дефектом и одно стандартное изделие; — выборка содержит три изделия с дефектом;Найдем соответствующие им вероятности :

Тогда закон распределения дискретной случайной величины Х примет вид:

1.3. Три стрелка, ведущие огонь по цели, сделали по одному выстрелу. Вероятности их попадания в цель соответственно равны 0,5; 0,6; 0,8. Построить ряд и многоугольник  распределения СВ X — числа попаданий в цель.

Решение.

Пусть вероятности попадания для 1-го, 2-го и 3-го стрелков соответственно равны , тогда вероятности их промахов равны , тогда вероятности их промахов равны . Из предыдущих занятий должны помнить как связаны противоположные события: .

Рассмотрим все значения, которые может принять ДСВ Х – числа попаданий в цель.

 – ни один из стрелков не попал в цель; – ни один из стрелков не попал в цель; – один из стрелков попал в цель; – двое стрелков поразили цель; – двое стрелков поразили цель; – три стрелка поразили цель.Найдем соответствующие им вероятности :Запись вида :Запись вида означает, что 1-й стрелок попал, два других промахнулись, аналогичные рассуждения применимы к другим слагаемым. — (три стрелка поразили цель).Контроль:

Многоугольник распределения:

Ii. операции над дискретными случайными величинами

Суммой (соответственно, разностью или произведением) ДСВ Х, принимающей значения с вероятностями с вероятностями и ДСВ Y, принимающей значения с вероятностями с вероятностями  называется ДСВ, принимающая все значения вида  (соответственно,  (соответственно, или ) с вероятностями ) с вероятностями Обозначение:  (соответственно,  (соответственно,  или ).Произведением ДСВ Х на число ).Произведением ДСВ Х на число  называется ДСВ  , принимающая значения , принимающая значения  с вероятностями Квадратом (соответственно, m-ой степенью) ДСВ Х называется ДСВ, принимающая значения Квадратом (соответственно, m-ой степенью) ДСВ Х называется ДСВ, принимающая значения  (соответственно, ) с вероятностями ) с вероятностями  Обозначение:  (соответственно,  (соответственно, ).Дискретные СВ Х и Y называются независимыми, если независимы события  и  и  при любых 

2.1. Задано распределение ДСВ Х

Построить ряд распределения случайных величин:

Решение.

Возможные значения СВ Y таковы:

Вероятности этих значений равны вероятностям соответствующих значений СВ Х (например,  и т. д.). Таким образом

б) Значения СВ Z таковы: 

При этом 

 и т. д. Поэтому ряд распределения СВ Z имеет вид

2.2. Дискретная случайная величина Х имеет ряд распределения:

Построить:

а) ряд распределения СВ

б) График функции распределения СВ Y

Решение.

а) Вычисляем все значения  СВ Y,  подставляя соответствующие значения  СВ Y,  подставляя соответствующие значения в формулу :

Составим вспомогательную таблицу ряда распределения:

Составим ряд распределения.

При этом

Т. е. записываем значения ДСВ Y в таблицу в порядке возрастания. При одинаковых значениях ДСВ соответствующие вероятности складываем.

Итак, получаем

б) Самостоятельно.

2.3. Заданы распределения двух независимых случайных величин X и Y:

Найти:

а) функцию распределения СВ Х;

б) ряд распределения случайных величин ;в) ;в) ;

г) построить многоугольники распределения СВ Z ,W и V.

Решение.

а) Найдите функцию распределения СВ Х самостоятельно.

б) Найдем всевозможные значения , т. е. просуммируем все значения, которые принимает ДСВ Х, со всеми значениями ДСВ Y.

Предлагаю сделать это так, первое значение ДСВ Х сложить  последовательно с каждым значением ДСВ Y, потом то же самое проделать со вторым значением ДСВ Х и с третьим. Все операции показаны в таблице ниже.

Т. е. случайная величина принимает значения:

Найдем вероятности этих значений:

Запись вида означает вероятность наступления 2-х независимых событий {X=0} и {Y=2}, т. е.Для нахождения вероятностей означает вероятность наступления 2-х независимых событий {X=0} и {Y=2}, т. е.Для нахождения вероятностей воспользуемся правилом сложения несовместных событий:Запишем ряд распределения ДСВ

Сделаем проверку:

Многоугольник распределения СВ Z представлен ниже:

Далее рассмотрим ДСВ Найдем всевозможные значения Найдем всевозможные значения .

Все вычисления сведены в  таблицу ниже.

Таким образом случайная величина принимает значения:

Замечание. Как вы видите, я выписал для удобства все значения СДВ W в порядке возрастания, так как при составления ряда распределения их (значения случайной величины) нужно располагать по возрастанию.

Найдем вероятности этих значений:

Запишем ряд распределения ДСВ Сделаем проверку: Сделаем проверку:

Многоугольник распределения СВ W представлен ниже:

По аналогии с предыдущими пунктами найдем все значения ДСВ V :  .  Все вычисления сведены в  таблицу ниже.

Таким образом случайная величина принимает значения: 

Найдем вероятности этих значений:

Запишем ряд распределения ДСВ Сделаем проверку: Сделаем проверку:

Многоугольник распределения СВ V представлен ниже:

в) Найдем  . Пусть . Пусть .Построим ряд распределения ДСВ М, используя абсолютные величины значений ДСВ , иными словами возьмем по модулю все значения ДСВ W, например, , иными словами возьмем по модулю все значения ДСВ W, например, .

Получим ряд

Найдем вероятности всех значений ДСВ М, которые меньше, либо равны 2

Список использованной литературы:

1. Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике, 2 курс [Текст]/ К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный, Ю.А. Шевченко, Е.Д. Куланин; под редакцией С.Н. Федина.7-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 592с.
2. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]/ В.Е. Гмурман, 12-е изд., перераб. — М.: Высшее образование, Юрайт-Издат, 2009. — 479с.

Влияние температуры

Необходимо заметить, что химический потенциал зависит от температуры. Однако для систем, имеющих температуру T{displaystyle T} ниже температуры Ферми TF=EFkB{displaystyle T_{F}={frac {E_{F}}{k_{B}}}} часто используется аппроксимацияμ≈EF{displaystyle mu approx E_{F}}. Функция μ{displaystyle mu } также представляется с любой точностью степенным рядом по чётным степеням отношения TTF<1{displaystyle {frac {T}{T_{F}}}<1}:

μ=EF∑n=0,1,2…[(−1)nπ2n22n(2n 1)(kBTEF)2n]=EF[1−π212(kBTEF)2 π480(kBTEF)4 …].{displaystyle mu =E_{F}sum _{n=0,1,2dots }{left[(-1)^{n}{frac {pi ^{2n}}{2^{2n}(2n 1)}}left({frac {k_{B}T}{E_{F}}}right)^{2n}right]}=E_{F}left[1-{frac {pi ^{2}}{12}}left({frac {k_{B}T}{E_{F}}}right)^{2} {frac {pi ^{4}}{80}}left({frac {k_{B}T}{E_{F}}}right)^{4} ldots right].}

Измерение скоростей газовых молекул. опыт штерна. распределение максвелла

Общая формула

В системе температур распределение Ферми , которое измеряет вероятность заполнения, имеет вид:
Т{ Displaystyle Т ! ,}W.(Э.){ Displaystyle W (E)}

W.(Э.)знак равно1exp⁡(Э.-μkБ.Т) 1{ displaystyle W (E) = { frac {1} { exp { left ({ frac {E- mu} {k _ { mathrm {B}} T}} right)} 1}} }

С участием

Если энергия вычисляется из наинизшего возможного одночастичного состояния, ее также называют энергией Ферми . Вероятность заполнения  состояния с энергией уровня Ферми при всех температурах:
Э.{ displaystyle E ,}Э.Ф.{ displaystyle E _ { rm {F}} ,}W.{ displaystyle W}Э.знак равноЭ.Ф.{ Displaystyle Е = Е _ { rm {F}} ! ,}

W.(Э.знак равноЭ.Ф.)знак равно1е0 1знак равно12 .{ displaystyle W (E = E _ { rm {F}}) = { frac {1} {e ^ {0} 1}} = { frac {1} {2}} .}

Чтобы рассчитать плотность частиц, преобладающую в энергии , например Б. Для электронов в металле распределение Ферми должно быть умножено на плотность состояний :
Э.{ displaystyle E ,}⟨п(Э.)⟩{ Displaystyle langle п (Е) rangle}Д.(Э.){ Displaystyle D (E) ! ,}

⟨п(Э.)⟩знак равноW.(Э.)⋅Д.(Э.) .{ Displaystyle langle п (E) rangle = W (E) cdot D (E) .}

Получение минимума свободной энергии

Схематическая диаграмма состояний, энергии и заполнения для системы из 7 энергетических уровней , каждый из которых вырожден в -кратно и -фермионно заполнен.

Э.1…Э.7-е{ displaystyle E_ {1} dots E_ {7}}Д.я{ displaystyle D_ {i}}Nя{ displaystyle N_ {i}}

Статистика Ферми-Дирака может быть получена хорошим способом из условия, что свободная энергия предполагает минимум в тепловом равновесии (с твердым телом и объемом ) . Для этого мы рассматриваем фермионы, например электроны, которые распределены по уровням . Уровни имеют энергии и каждый раз вырождены (см. Рис.), Поэтому они могут принять максимум электронов ( принцип Паули ). Число электронов на -м уровне обозначено. Для макросостояния системы неважно, какой из электронов находится на -м уровне и какое из состояний они занимают. Таким образом, макросостояние полностью определяется последовательностью чисел .
Т,N{ displaystyle T, N}V{ displaystyle V}Ф.знак равноЭ.-ТС.{ Displaystyle F = E-TS}N{ displaystyle N}язнак равно1,2,3…Я.{ Displaystyle я = 1,2,3 точки I}Э.1,Э.2,Э.3…Э.Я.{ displaystyle E_ {1}, E_ {2}, E_ {3} dots E_ {I}}Д.1,Д.2,Д.3…Д.я{ displaystyle D_ {1}, D_ {2}, D_ {3} dots D_ {i}}Д.я{ displaystyle D_ {i}}я{ displaystyle i}Nя{ displaystyle N_ {i}}N{ displaystyle N}я{ displaystyle i}Д.я{ displaystyle D_ {i}}N1,N2,…{ displaystyle N_ {1}, N_ {2}, dots}

Для любого распределения электронов по уровням справедливо следующее:

Nзнак равно∑язнак равно1Я.Nя(1)Э.знак равно∑язнак равно1Я.NяЭ.я(2)С.знак равноkБ.пер⁡W.(3).{ displaystyle { begin {align} N & = sum _ {i = 1} ^ {I} N_ {i} & qquad (1) \ E & = sum _ {i = 1} ^ {I} N_ {i} E_ {i} & qquad (2) \ S & = k _ { rm {B}} ln W & qquad (3) &. end {выровнено}}}

Уравнение (1) дает общее количество частиц, которое следует поддерживать постоянным, изменяя каждую, чтобы найти минимум . Уравнение (2) дает энергию системы, принадлежащей текущему распределению , которая должна быть вставлена в формулу для . Уравнение (3) представляет собой (согласно Людвигу Больцману ) энтропию состояния системы (макросостояния) , указывающую термодинамическую вероятность для соответствующей последовательности чисел заполнения , то есть количество возможных распределений (микросостояний) электронов в местах для всех Уровни вместе.
Nя{ displaystyle N_ {i}}Ф.{ displaystyle F}Э.{ displaystyle E}Ф.{ displaystyle F}W.знак равно∏язнак равно1Я.W.я{ Displaystyle W = prod _ {я = 1} ^ {I} W_ {я}}N1,N2,…{ displaystyle N_ {1}, N_ {2}, dots}Nя{ displaystyle N_ {i}}Д.я{ displaystyle D_ {i}}язнак равно1,2,3…Я.{ Displaystyle я = 1,2,3 точки I}Чтобы найти распределение, в котором свободная энергия становится минимальной , варьируя при ограничении , мы используем метод множителей Лагранжа . Следует
Nя{ displaystyle N_ {i}}Nзнак равноcОпsт{ Displaystyle N = const}Ф.{ displaystyle F}

∂Ф.∂Nязнак равноλ∂N∂Nя≡λ{ displaystyle { frac { partial F} { partial N_ {i}}} = lambda { frac { partial N} { partial N_ {i}}} Equiv lambda}для всех .я{ displaystyle i}

Это ( независимый) множитель Лагранжа. Для вычисления производной требуется явная формула для:
λ{ displaystyle lambda}я{ displaystyle i}∂Ф.∂Nя{ displaystyle { tfrac { partial F} { partial N_ {i}}}}С.{ displaystyle S}

С.знак равноkБ.пер⁡W.знак равноkБ.пер⁡∏язнак равно1Я.W.язнак равноkБ.∑язнак равно1Я.пер⁡W.я{ Displaystyle S = К _ { rm {B}} ln W = k _ { rm {B}} ln prod _ {i = 1} ^ {I} W_ {i} = k _ { rm {B }} sum _ {i = 1} ^ {I} ln W_ {i}}

это

W.язнак равно(Д.яNя)знак равноД.я!Nя![Д.я-Nя]!.{ displaystyle { begin {align} W_ {i} & = { binom {D_ {i}} {N_ {i}}} \ & = { frac {D_ {i}!} {N_ {i} ! [D_ {i} -N_ {i}]!}}. End {выровнено}}}

биномиальный коэффициент d. ЧАС. количество возможностей выбрать разные объекты среди объектов .
Д.я{ displaystyle D_ {i}}Nя{ displaystyle N_ {i}}С помощью упрощенной формулы Стирлинга результат еще больше
пер⁡k!≈kпер⁡k-k{ Displaystyle ln к! приблизительно к ln kk}

пер⁡W.я≈Д.япер⁡Д.я-Д.я-Nяпер⁡Nя Nя-[Д.я-Nя]пер⁡[Д.я-Nя] [Д.я-Nя]знак равноД.япер⁡Д.я-Nяпер⁡Nя-[Д.я-Nя]пер⁡[Д.я-Nя]{ displaystyle { begin {align} ln W_ {i} & приблизительно D_ {i} ln D_ {i} -D_ {i} -N_ {i} ln N_ {i} N_ {i} – [D_ {i} -N_ {i}] ln [D_ {i} -N_ {i}] [D_ {i} -N_ {i}] \ & = D_ {i} ln D_ {i} -N_ {i} ln N_ {i} – [D_ {i} -N_ {i}] ln [D_ {i} -N_ {i}] end {выровнено}}}

и, таким образом

∂пер⁡W.я∂Nя≈-пер⁡Nя-1 пер⁡[Д.я-Nя] 1знак равно-пер⁡Nя пер⁡[Д.я-Nя]знак равнопер⁡([Д.я/Nя-1]).{ displaystyle { begin {align} { frac { partial ln W_ {i}} { partial N_ {i}}} & приблизительно – ln N_ {i} -1 ln [D_ {i } -N_ {i}] 1 \ & = – ln N_ {i} ln [D_ {i} -N_ {i}] \ & = ln ([D_ {i} / N_ {i } -1]). End {выровнено}}}

Общее уравнение (2) принимает вид

λзнак равно∂Ф.∂Nязнак равно∂Э.∂Nя-Т∂С.∂Nязнак равноЭ.я-kБ.Т∂пер⁡W.я∂Nязнак равноЭ.я-kБ.Тпер⁡([Д.я/Nя-1]){ displaystyle lambda = { frac { partial F} { partial N_ {i}}} = { frac { partial E} { partial N_ {i}}} – T { frac { partial S } { partial N_ {i}}} = E_ {i} -k _ { rm {B}} T { frac { partial ln W_ {i}} { partial N_ {i}}} = E_ { i} -k _ { rm {B}} T ln ([D_ {i} / N_ {i} -1])}.

Вставка заданной вероятности занятия и преобразования приводит к:
жязнак равноNяД.я{ displaystyle f_ {i}: = { frac {N_ {i}} {D_ {i}}}}жя{ displaystyle f_ {i}}

жязнак равно1exp⁡Э.я-λkБ.Т 1{ displaystyle f_ {i} = { frac {1} { exp { frac {E_ {i} – lambda} {k _ { rm {B}} T}} 1}}}.

Это статистика Ферми-Дирака. Множитель Лагранжа оказывается их химическим потенциалом .
μзнак равноλ{ displaystyle mu = lambda}

Применение

Статистики Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна применяются в том случае, когда необходимо учитывать квантовые эффекты, когда частицы обладают «неразличимостью». Квантовые эффекты проявляются тогда, когда концентрация частиц N/V⩾nq{displaystyle N/Vgeqslant n_?} (где nq{displaystyle n_?} — квантовая концентрация).

Квантовая концентрация — это концентрация, при которой расстояние между частицами соразмерно с длиной волны де Бройля, то есть когда волновые функции частиц соприкасаются, но не перекрываются. Квантовая концентрация зависит от температуры.

Статистика Ферми — Дирака применяется к фермионам (частицы, на которые действует принцип Паули), статистика Бозе — Эйнштейна применяется к бозонам. Оба этих распределения становятся распределением Максвелла — Больцмана при высоких температурах и низких концентрациях.

Распределением Максвелла — Больцмана часто описываются классические «различимые» частицы. Другими словами, конфигурация частицы A{displaystyle A} в состоянии 1 и частицы B{displaystyle B} в состоянии 2 отличается от конфигурации частицы B{displaystyle B} в состоянии 1 и частицы A{displaystyle A} в состоянии 2. Когда эта идея была проработана полностью, оказалось, что распределение частиц по энергетическим состояниям приводит к нефизическим результатам для энтропии, что известно, как парадокс Гиббса. Эта проблема исчезла, когда стал ясен тот факт, что все частицы неразличимы. Статистики Ферми — Дирака, и Бозе — Эйнштейна приближаются к статистике Максвелла — Больцмана в пределе высоких температур и низких плотностей. Статистика Максвелла — Больцмана хорошо описывает поведение газов. Статистика Ферми — Дирака часто используется для описания электронов в твердых телах, на ней, к примеру, базируются основные положения теории полупроводников в частности, и электроники в целом.

Программа «управление временем» сотрудников в школе высшего спортивного мастерства»

Функция распределения

Функцией распределения называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величина , определяющую вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения

Свойства функции распределения:

1.   – неубывающая функция, т.е.  – неубывающая функция, т.е. ,  если
2.   непрерывна слева в любой точке  непрерывна слева в любой точке , т.е. 

Функция распределения ДСВ имеет вид

где суммирование ведется по всем индексам , для которых , для которых

1.4. Задан закон распределения ДСВ Х:

Найти функцию распределения и построить ее график.

Решение.

По определению функции распределения находим:

если , то , то , так как значения меньше -2 ДСВ Х не принимает;если , то , то если , то , то , так как может принять значения -2 или -1если может принять значения -2 или -1если , то если если , то если если , то Таким образом, функция распределения Таким образом, функция распределения имеет вид: