Теорема Ферма: история и доказательства. Реферат. Математика. 2009-01-12

Таким образом, 6230840 = 2³×5×7²×11×17²,
а -6230840 = -2³×5×7²×11×17².
Здесь и далее первые степени простых чисел не пишем.

Следствие (о взаимно простых
сомножителях степени). Если имеется разложение n^k = m₁×…×m_s степени
целого числа n в произведение попарно взаимно
простых целых ненулевых сомножителей m₁ , … , m_s , то эти
сомножители, с точностью до знака, являются k-ми
степенями некоторых попарно взаимно простых чисел. Болееточно:
m_i = e_i×u_i^k
, гдеe_iÎ
{-1, 1}, u_iÎN , НОД(u_i
, u_j) = 1 (1 £ i £
s, 1 £
j £
s), |n| = u₁×…×u_s
, e₁×…×e_s = .

Доказательство. Запишем m_i = e_i×|m_i| , где e_i = 1, если m_i > 0 и e_i = -1, если m_i > 0 (1 £i£s), и
аналогично n = d×|n|. Тогда,
очевидно, получается равенство d^k×|n|^k = (e₁×…×e_s)×|m₁|×…×|m_s|, откуда  = d = d^k = e₁×…×e_s , |n|^k = = |m₁|×…×|m_s| . При этом
все модули являются натуральными числами, так что осталось доказать утверждение
для натуральных чисел.

Пусть n, m₁ , … , m_sÎN имеют
разложения ,  (1 £i£s) в
произведения простых чисел, где выполнены неравенства p₁ < … <
p_f , а r_ij – простые
числа, не встречающиеся среди p₁ , … , p_f. Тогда .
Переставляя простые числа в правой части (собирая их в степени с одинаковыми
основаниями), получим в левой и правой частях равенства канонические
разложения, которые должны быть одинаковыми по основной теореме арифметики. Это
показывает, что в правой части должны отсутствовать сомножители r_ij (1 £j£t_i , 1 £i£s), а
показатели степеней при простом числе p_lв левой и
правой частях равны: k×a_l =  (1 £l£f).

Таким образом, , причём
ввиду попарной взаимной простоты чисел m₁ , … , m_sкаждое
простое число p_i (1 £i£f) участвует
лишь в одном из разложений чисел m₁ , … , m_s. Поэтому

,

где g_l = b_1l … b_sl, но на
самом деле в этой сумме лишь одно ненулевое слагаемое. Значит, сравнивая
показатели степеней при p_lв левой и
правой частях равенства, по основной теореме арифметики заключаем, что каждая
степень b_ijделится на k : b_ij = k×g_ijдля
некоторого натурального или нулевого g_ij(1 £i£s, 1 £j£f).

Итак,

,

т.е.
u_i =  (1 £ i £
s).

Эти числа попарно взаимно просты,
т.к. любой общий делитель двух из них u_i , u_j будет общим
делителем взаимно простых чиселm_i , m_j, а значит,
равен ± 1.

Следствие доказано.

Наконец, напомним простейшие
сведения из теории сравнений. Два целых числа a, bназываются сравнимыми
по модулю mÎZ {0}, если a – bMm.

Примеры:8 º 2 (mod 3), т.к. 8
– 2 = 3×2, -27  12 (mod 5), т.к.
разность -27 – 12 = -39 не делится нацело на 5.

Упомянем некоторые важнейшие
свойства сравнений.

1⁰.
Числа a и b сравнимыпо модулю m тогда и только
тогда, когда они дают одинаковые остатки при делении на m.

2⁰.
Условия aMb
и aº 0 (modb)
эквивалентны.

3⁰.
Любое целое число a сравнимо само с собой по любому модулю m (рефлексивность
отношения сравнимости).

4⁰.
Если a º b (mod m), то b º
a (mod m) (симметричность отношения сравнимости).

5⁰.
Если a º b (mod m) и b º
с (mod m), то a º c (mod m)
(транзитивность отношения сравнимости).

6⁰.
Если a º b (mod m), то для любого целого
числа c справедливо

a ±
c º b ±
c (mod m) , a×c º
b×c
(mod m).

7⁰.Если
a º b (mod m) и
c º d (mod m), то
a ± c º
b ± d (mod m).

8⁰.Если
a º b (mod m) и
c º d (mod m), то
a×c
º
b×d
(mod m).

9⁰.
Если a º b (mod m), то для любого
натурального k верно сравнение a^kº
b^k (mod m).

10⁰. Если целые
числа a, b, m делятся нацело на число d ÎZ {0}, то a º b (mod m)
тогда и только тогда, когда .

11⁰.
Если d×aºd×b
(modm)
и НОД(d
, m)
= 1, то aºb
(modm).

Сравнения
дают удобный язык для изучения делимости чисел. Связь сравнений с делимостью
выявлена в свойстве 2⁰.

Примеры:
1.
Вычислить остаток числа a⁴
– 8×a³
19 при делении на 23, если известно, что aдаёт
при делении на 23 остаток 5.

Если a º
5 (mod 23), то

a⁴ – 8×a³
19 º (a²)²
– 8×a×a²
19 º 2² – 8×5×2
19 º

º – 40×2
(2² 19) º
-(-6)×2 0 º
12 (mod
23),

т.е. искомым остатком будет 12.

2. Вычислить 18¹⁰⁰
20 (mod
25).

18¹⁰⁰ 20 º
(-7)¹⁰⁰ – 5 º (7²)⁵⁰
– 5 º (-1)⁵⁰ – 5 º

º 1 – 5 º
-4 º 21 (mod
25).

Таким образом, не вычисляя числа 18¹⁰⁰
20, можно сказать, что остаток этого числа при делении на 25 равен
21.

3. Найти
младшую цифру числа 24³⁵ – 18 .

Нужно вычислить . Имеем

24³⁵ – 18 º
4³⁵ – 8 º (4²)¹⁷×4
– (-2) º 6¹⁷×4
2 º 6×4
2 º 4 2 = 6 (mod
10).

Здесь использован тот факт, что младшая цифра
числа 6^k
равна 6, т.е. 6^kº 6 (mod
10).
Таким образом, искомой младшей цифрой будет 6.

§
2. Диофантовы уравнения, пифагоровы тройки и Великая теорема Ферма

Диофантово уравнение
– это уравнение вида P(x₁
, … , x_n)
= 0,
где левая часть представляет собой многочлен от переменных x₁
, … , x_n
с целыми коэффициентами. Любой упорядоченный набор (u₁
; … ; u_n)
целых чисел со свойством P(u₁
, … , u_n)
= 0
называется (частным) решением диофантовауравненияP(x₁
, … , x_n)
= 0.
Решить диофантово уравнение – значит найти все его решения, или, как
говорят, общее решение этого уравнения. Часто диофантовыминазывают
и уравнения вида P(x₁
, … , x_n)
= Q(x₁
, … , x_n),
где в левой и правой частях стоят многочлены от переменных x₁
, … , x_n:
их всегда можно записать в виде диофантовых уравнений P(x₁
, … , x_n)
– Q(x₁
, … , x_n)
= 0.

Эти уравнения названы в честь Диофанта
Александрийского (жил около III
в. до РХ), о жизни которого почти ничего не известно. Через века до нас дошли
шесть книг из тринадцати его главного труда “Арифметика” и книга “О
многоугольных числах”. Выражаясь современным языком, он разрабатывал приёмы
нахождения рациональных решений алгебраических уравнений от нескольких
неизвестных.

Примеры:1.3×x – 8 = 0 – диофантово
уравнение первой степени от одной переменной x. Очевидно,
что оно не имеет решений, т.к. 8 не делится нацело на 3. В то же
время, это уравнение имеет корень x =  , который не
является целым.

2. Диофантово уравнение 6×x = 24 имеет
единственное решение x = 4.

3. В курсе
алгебры и теории чисел рассматривают линейные диофантовы уравнения первой
степени от двух неизвестных x,
y, общий вид
которых таков: a×x
b×y
= c, где a,
b,
c
– заданные
целые числа. Известно, что такое диофантово уравнение имеет решение тогда и
только тогда, когда НОД(a,
b)
| c
– наибольший
общий делитель коэффициентов делит нацело правую часть. При выполнении этого
условия линейное диофантово уравнение от двух переменных имеет бесконечное
число решений.

Нахождение решений произвольных диофантовых
уравнений – непростая задача. Более того, в 70-х годах XX
в. было доказано, что она алгоритмически неразрешима, т.е. невозможно придумать
алгоритм (программу для ЭВМ), который для произвольного заданного диофантова
уравнения давал бы ответ на вопрос: “Есть у этого уравнения хотя бы одно
решение ?”.

Тем удивительнее, что для некоторых классов
диофантовых уравнений можно получить полное описание их решений. Классической
задачей такого рода, обсуждаемой в “Арифметике” Диофанта, является задача о
пифагоровых тройках, т.е. о нахождении всех решений диофантова уравнения x²
y²
= z²,
представляющего собой соотношение Пифагора для прямоугольного треугольника.
Вначале найдём все его рациональные решения, а затем – и все целые решения.

1. Рациональные решения уравнения
Пифагора.
Во-первых, уравнение переписывается в виде  , где отношения  ,  рациональны,
если рациональными были x, y. Эти
отношения являются рациональными координатами точек на единичной окружности.
Точки с рациональными координатами на окружности назовём рациональными.
Если все рациональные точки M(u; v) окружности
уже описаны, то u² v² = 1 и  = u,  = v, т.е. x = z×u, y = z×v , где zÎQ. Таким
образом, задача нахождения всех рациональных решений уравнения Пифагора свелась
к описанию всех рациональных точек окружности.

Изложим общий метод нахождения всех
рациональных точек окружности, применимый и для многих других кривых, заданных
полиномиальными уравнениями.

Выберем на кривой рациональную
точку, например точку S(0; -1) на
окружности (рис. 1). Если M(u; v) –
произвольная рациональная точка, то рациональным будет и  .

Обратно, если tÎQ , то u = t×(v 1) и u² v² = 1, т.е.t²×(v 1)²
v² = 1 или (t² 1)×v² 2×t²×v t²– 1= 0. Здесь
дискриминант D = 4×t⁴ – 4×(t⁴ – 1) = 4 и  . Если
взять знак минус, то получим v = -1, u = t×(v 1) = 0, т.е. точку S(0; -1). Если же
брать плюс, то  ÎQ .

Таким образом, доказано, что точка
на окружности рациональна тогда и только тогда, когда она либо совпадает с S(0; -1), либо
получается по формулам  при
некотором tÎQ .

Легко понять, что точка S(0; -1) не может
быть получена по приведённым формулам ни при каком рациональном t. Можно
видоизменить параметризацию, чтобы включить точку S в общие
решения. Для этого запишем число tÎQв
несократимом виде  , где mÎZ, nÎN, НОД(m, n) = 1. Тогда
формулы перепишутся так:  . Они
определены при любых m, nÎZи при n = 0 дают точку S(0;-1). Таким
образом, доказана следующая теорема:

Теорема (о рациональных точках на
окружности).(1)Все рациональные точки M(x; y) единичной
окружности имеют координаты

 ,

при некоторых m, nÎZ , НОД(m, n) = 1.

(2) Все рациональные пифагоровы
тройки, т.е. рациональные решения уравнения x² y² = z² задаются
формулами  , где m, nÎZ и НОД(m, n) = 1, zÎQ .

2. Целые решения уравнения Пифагора. Рассмотрим
диофантово уравнение x² y² = z² от трёх
неизвестных x, y, z. Оно,
конечно, имеет решения: например, (0; 0; 0), (0; 1; 1), (3; 4; 5) и
множество других. Решения, в которых одно из чисел равно нулю, называются
тривиальными. Ясно, что все тривиальные решения имеют вид: (0; y; ±y), (x; 0; ±x), где x, yÎZ . Поэтому
достаточно искать только нетривиальные решения.

Назовём решение (x; y; z) примитивным,
если любые два числа в нём взаимно просты, т.е. если НОД(x, y) = НОД(x, z) = НОД(y, z) = 1. Ясно, что
если есть некоторое решение (x; y; z) и D = НОД(x, y, z), то x = D×x₁ , y = D×y₁ , z = D×z₁ при
некоторых целых x₁ , y₁ , z₁ , причём
ввиду x² y² = z² получаем,
сокращая на D², x₁² y₁² = z₁², т.е. тройка
(x₁ ; y₁ ; z₁) тоже
является решением. Кроме того, это решение примитивно: если НОД(x, y) = d > 1, то x₁ = d×x₂ , y₁=d×y₂ , d²×(x₂² y₂²)= z₁² и число z₁ делится на
любой простой делитель p числа d, вопреки
взаимной простоте чисел x₁ , y₁ , z₁ .
Аналогично рассматриваются и другие случае НОД(x, z) > 1,
НОД(y, z) > 1.

Итак, доказано, что любое решение
уравнения Пифагора получается из примитивного умножением всех его компонент на
некоторое натуральное число D. Поэтому достаточно искать
лишь примитивные пифагоровы тройки. Поскольку каждая такая тройка состоит из
рациональных чисел, то можно применить описание рациональных пифагоровых троек.

Прежде всего, заметим, что из x² y² = z²следует, что
одно из чисел x, yчётно, а
другое нечётно. Действительно ввиду примитивности тройки x, yне могут
быть чётными одновременно. Если x, yоба нечётны,
то x² y²чётно, т.е. zчётно и x² y²делится на 4,
что ведёт к противоречию: если x=2×u 1, y = 2×v 1 (u, vÎZ), тоx² y² = 4×(u² u v² v) 2 и не делится
на 4.

Поменяв, если нужно, x, yместами
(уравнение Пифагора симметрично по x, y), будем
считать, что x чётно, а yнечётно.
Согласно предыдущей теореме, каждая примитивная тройка (x; y; z) имеет вид  при целых z, m, n, НОД(m, n) = 1. Значит, x×(m² n²) = z×2×m×n, причём
числа xи z взаимно
простые. По основному свойству взаимно простых чисел получаем m² n² = z×t (tÎZ) иx×t =2×m×n, y =  , т.е. m²
– n² = y×t . Отсюда 2×m² = (z y)×t, 2×n²
= (z – y)×t, т.е. t – общий
делитель чисел 2×m²и 2×n². Поэтому tделит НОД(2×m², 2×n²)=2×НОД(m²,n²)=2.

Если t = ±2, то m² n² = ±2×zM 2, т.е. взаимно
простые числа m, n оба
нечётны, и кроме того, ±2×x = 2×m×n, т.е. x= ±m×n – нечётно,
вопреки выбору x.

Значит, t = ±1, x = ±2×m×n, y = ±(m² – n²), z = ±(m² n²), где целые
числа m, nвзаимно
простые разной чётности (иначе y чётно), а
комбинации знаков могут быть любыми. Учитывая возможность поменять местами x, y, получаем ещё
возможность x = ±(m² – n²), y = ±2×m×n, z = ±(m² n²). Любая
целочисленная тройка получается одновременным умножением компонент описанных
выше примитивных троек на произвольное целое число.

Легко проверить непосредственно, что
найденные тройки действительно являются пифагоровыми: так, для x = ±(m² – n²), y = ±2×m×n, z = ±(m² n²) получаем

x²
y² = (m² – n²)² (2×m×n)²
= m⁴ – 2×m²×n²
n⁴ 4×m²×n²
=

= m⁴ 2×m²×n² n⁴ = (m² n²)²
= z².

доказательство теорема
ферма уравнение

Таким образом, доказана

Теорема (о пифагоровых тройках). Любая
пифагорова тройка имеет один из следующих видов:

,

где D, m, n – целые
числа, m и n взаимно
простые разной чётности.

Именно сочинение Диофанта
“Арифметика”, изданное в 1621 году в переводе Клода Гаспара де Баше де
Мазирьяка (1581-1630), в котором исследовались рациональные и целые решения
уравнения Пифагора, дало повод Пьеру Ферма записать на полях этого перевода
одно из самых достопримечательных замечаний в истории математики:

“Невозможно разложить куб на два
куба, или биквадрат на два биквадрата, или вообще степень, большую двух, на две
степени с тем же самым показателем; я нашел этому поистине чудесное
доказательство, однако поля слишком малы, чтобы оно здесь уместилось”. Таким
образом, большая или Великая теорема Ферма утверждает, что уравнение xⁿ yⁿ = zⁿ, ни при
каком натуральном n, большем
двух, неразрешимо в натуральных числах.

К сожалению, сам Ферма не оставил
своего чудесного доказательства, в его записках было обнаружено обоснование
лишь частного случая этой теоремы для n = 4. Долгие
годы все усилия по доказательству Великой теоремы Ферма были тщетны,
продвижения начали появляться лишь, начиная с XVIII в.: Л.
Эйлер доказал теорему Ферма для n = 3 (1770 г), А. Лежандр – при n = 5 (1825 г), и
Г. Ламе – для n = 7 (1839 г).

В 1908 году Пауль Вольфскель завещал
премию в 100 тысяч германских марок тому, кто первым представит доказательство.
В результате инфляции после первой мировой войны величина премии в настоящее
время ничтожна. К тому же как указывает Г. Эдвардс в своей книге о теореме
Ферма [5], премия была назначена лишь за доказательство предположения –
нахождение контрпримера не принесло бы ни пфеннига его открывателю !

После объявления о премии Великой
теоремой Ферма занялись не только профессионалы, но и широкая публика. Так как
в условие награждения входило требование, чтобы доказательство было
опубликовано, а научные издательства не желали принимать ложных доказательств,
то авторы печатали свои доказательства на собственный счет. Так во многих
странах, в том числе и в России, появилось много печатных неправильных
доказательств Великой теоремы Ферма.

Общим свойством этих “доказательств”
является то, что они ошибочны уже для наименьшего показателя в теореме Ферма, а
именно, для показателя n = 3. Авторы этих работ, преимущественно не
математики, оперировали только элементарными средствами. Между тем, известное
правильное доказательство, как будет ясно из дальнейшего, уже для показателя n = 3 является
неэлементарным.

Замечательные продвижения
принадлежат Э. Куммеру (1810-1893), который своими исследованиями по проблеме
Ферма оказал решающее влияние на развитие алгебраической теории чисел. В XX столетии
его методы были усовершенствованы и дополнены (1929 г. и позже) прежде всего
благодаря усилиям У. Вандивера, Г. Ламе и Э. Лемера. К 80-м годам XX в. с
использованием ЭВМ неразрешимость уравнения хⁿ yⁿ = zⁿв
натуральных числах была установлена для всех n £ 2¹²⁵⁰⁰⁰(З.
Вагштафф, 1976 г.). Если принять во внимание, что число 2¹²⁵⁰⁰⁰
записывается 37628-ю цифрами, то поиски контрпримера к Великой теореме
Ферма представлялись совершенно безнадежным занятием.

июня 1993 г. математик из Принстона
Эндрю Вайлс в докладе на конференции по теории чисел в Кембридже
(Великобритания) анонсировал решение проблемы Ю. Таниямы (о модулярности
эллиптических кривых с рациональными коэффициентами). Ранее уже было доказано
(в 1985 г. Г. Фрей выдвинул гипотезу, которую в 1986 г. доказал К. Рибет), что
из доказательства проблемы Таниямы следует утверждение Великой теоремы Ферма.
Однако, в начале декабря 1993 г., когда рукопись Э. Вайлса уже готова была
отправиться в печать, в его доказательстве были обнаружены пробелы. Автор
извинился и попросил два месяца для исправления. Только через год с небольшим
появилось полное доказательство гипотезы Таниямы, но уже двух авторов – Э.
Вайлса и его ученика Р. Тейлора [6, 7]. Новых пробелов в этих работах
специалистами пока не найдено.

Сама по себе Великая теорема Ферма
не имеет большого значения для математики. Однако она сыграла важную роль для
развития теории алгебраических чисел, теории идеалов, алгебраической геометрии
и математики в целом: попытки её доказательства приводили к открытию новых
методов, обогативших многие смежные области математики.

Закончим этот параграф следующими
элементарными замечаниями о Великой теореме Ферма.

Лемма (об уравнении xⁿ yⁿ = zⁿ). (1) Если
диофантово уравнение xⁿ yⁿ = zⁿ имеет
нетривиальные целочисленные решения, то оно имеет решение в попарно взаимно
простых целых числах.

(2) Великую теорему Ферма достаточно
доказать для простых нечётных показателей n = p и для n = 4.

Доказательство. (1) Если xⁿ yⁿ = zⁿдляx, y, zÎZи НОД(x, y, z) = D, то , т.е. , причём
целые числа  взаимно
просты: НОД() = 1. Поэтому
сразу можно считать, что НОД(x, y, z) = 1.

Если какие-то два из чисел x , y , zне взаимно
просты, то в их канонических разложениях участвует одно и то же простое число p. Пусть,
например, оно участвует в xи z, т.е. xMp, yMp. Тогда yⁿ = zⁿ – xⁿMp, а значит, yMp, вопреки НОД(x, y, z) = 1.

(2) Пусть
Великая теорема Ферма доказана для n = 4 и для
любого нечётного простого числаn = p. Рассмотрим
случай произвольного показателя n.

Если в каноническое разложение nвходит
нечётное простое число p, т.е. n = p×m, то существование
нетривиального решения (x; y; z) диофантова
уравнения xⁿ yⁿ = zⁿравносильно
тому, что (x^m)^p (y^m)^p = (z^m)^p, т.е.
существованию нетривиального решения для теоремы Ферма с показателем p – противоречие.

Если же nне делится
ни на одно простое нечётное число, то 1 < n = 2^kM 4, и
аналогичные рассуждения показывают, что n = 4×m и (x^m)⁴
(y^m)⁴
= (z^m)⁴, вопреки
теореме Ферма для показателя 4.

Лемма доказана.

§
3. Метод бесконечного спуска и доказательство Великой теоремы Ферма для
показателя n
= 4

Метод бесконечного спуска.
Вот цитата из письма П. Ферма к Каркави от августа 1659 года: “Поскольку
обычные методы, которые изложены в книгах, недостаточны для доказательства
столь трудных предложений, я нашел совершенно особый путь для того, чтобы достичь
этого. Я назвал этот способ доказательства бесконечным (infinie) или
неопределенным (indefinie)
спуском; в начале я пользовался им только для доказательства отрицательных
предложений:

–  что не существует числа, меньшего на
единицу кратного трёх, которое составлялось бы из квадрата и утроенного
квадрата;

–   что не существует прямоугольного
треугольника в числах, площадь которого была бы квадратным числом.

Доказательство проводится путём приведения к
абсурду таким способом: если бы существовал какой-нибудь прямоугольный
треугольник в целых числах, который имел бы площадь, равную квадрату, то
существовал бы другой треугольник, меньший этого, который обладал бы тем же
свойством.

Если бы существовал второй, меньший первого,
который имел бы то же свойство, то существовал бы в силу подобного рассуждения
третий, меньший второго, который имел бы то же свойство, и, наконец, четвертый,
пятый, спускаясь до бесконечности.

Но если задано число, то не существует
бесконечности, по спуску меньших его (все время подразумеваются целые число).
Откуда заключают, что не существует никакого прямоугольного треугольника с
квадратной площадью”.

Этот метод бесконечного или
неопределенного спуска действительно сделался одним из наиболее мощных средств
диофантова анализа.

После П. Ферма его с успехом
применяли Л. Эйлер и Л. Лагранж, а в наши дни – Л. Дж. Морделл, А. Вейль и
другие. При этом метод был распространен на проблемы решения уравнения в
рациональных числах. Осуществить метод спуска в общем случае теоремы Ферма
мешает неединственность разложения целых чисел алгебраических колец в
произведение простых сомножителей из того же кольца.

Проиллюстрируем суть метода
бесконечного спуска простыми примерами.

Примеры: 1. Докажем,
что  –
иррациональное число.

Предположим противное, т.е.
что  , где p, qÎN. Тогда
имеем ×q = p, 2×q² = p², откуда
видно, что p чётно: p = 2×p₁ (p₁ÎZ). Поэтому q² = 2×p₁², и теперь q чётно: q = 2×q₁ (q₁ÎZ). Кроме того,  . Таким
образом, начав с пары таких натуральных чисел (p; q), что
 , получили
новую пару натуральных чисел (p₁ ; q₁) , где p₁ < p, q₁ < q, с тем же
свойством. Точно так же по этой паре построим ещё одну пару (p₂ ; q₂), где p₂ < p₁ , q₂< q₁ , и этот
процесс построения пар можно продолжать бесконечно. Однако убывающая цепочка
натуральных чисел p > p₁ > p₂ > … бесконечной
быть не может. Полученное противоречие доказывает, что предположение о
рациональности числа  было
неверно.

2.
Докажем, что диофантово уравнение x² y² = 3×z² имеет
только тривиальное решение x = y = z = 0.

Предположим, вопреки доказываемому,
что (x; y; z) –
нетривиальное решение. Тогда x и y делятся на 3.
Действительно, рассматривая уравнение по модулю 3, получим сравнение x² y²º 0 (mod 3), которое
выполнено только при xº 0 ºy (mod 3), в чём легко
убедиться, перебрав возможные значения x, yÎ {0, 1, 2}:

Теперь x
= 3×x₁
, y
= 3×y₁
и 3×(x₁²
y₁²)
= z²
, значит, z
= 3×z₁
. Поэтому x₁²
y₁²
= 3×z₁².
Таким образом, начав с нетривиального решения (x;
y;
z),
получили новое нетривиальное решение (x₁
; y₁
; z₁
), причём |x₁|
< |x|
, |y₁|
< |y|
, |z₁|
< |z|
.
По этому решению можно построить новое нетривиальное решение (x₂
; y₂
; z₂
), где |x₂|
< |x₁|
, |y₂|
< |y₁|
, |z₂|
< |z₁|
, и этот процесс можно продолжать бесконечно. Однако убывающая цепочка
натуральных чисел |x|
>|x₁|
> > |x₂|
> … не может быть бесконечной. Полученное
противоречие показывает, что предположение о существовании нетривиального
решения рассматриваемого уравнения x²
y²
= 3×z²
было неверным.

Проблема Ферма для показателя n
= 4. Дадим короткое
доказательство, использующее классификацию пифагоровых троек.

Теорема (о диофантовом уравнении x⁴
y⁴
= z²).
Диофантово уравнение x⁴
y⁴
= z²
не имеет решений в натуральных числах. В частности, не имеет решений в
натуральных числах и уравнение x⁴
y⁴
= z⁴.

Доказательство.
Пусть (x;
y;
z)
–
натуральное решение, т.е. x,
y,
zÎN.
Если
D = НОД(x,
y)
> 1, то для любого простого числа p,
входящего в каноническое разложение D,
число p⁴
входит в разложение z²,
а
значит, p²
входит в разложение z.
Поэтому равенство x⁴
y⁴
= z²
можно последовательно сокращать на p⁴
,
не нарушая вида этого равенства. Таким образом, через несколько шагов придём к
аналогичному соотношению со взаимно простыми числами x,
y.

Если НОД(x,
y)
= 1,
то НОД(x,
z)
= 1 = НОД(y,
z).
Действительно, если, например, x
и z делятся на
некоторое простое число, то на это число делится и y⁴,
а значит, y вопреки условию НОД(x,
y)
= 1.
Таким образом, можно считать, что (x;
y;
z)
– примитивное решение уравнения, т.е. все числа x,
y,
z попарно
взаимно просты.

Если (x;
y;
z)
-примитивное решение диофантова уравнения x⁴
y⁴
= z²
в натуральных числах, то (x²;
y²;
z)
– примитивная пифагорова тройка. Следовательно, она имеет один из следующих
видов:

 ,

где u, v – взаимно
простые целые числа разной чётности (§ 1).

Рассмотрим только первую
возможность, когда y нечётно, т.к. во втором случае всё
аналогично. Тогда y² v² = u², т.е. (y; v; u) – тоже
пифагорова тройка, причём примитивная, т.к. u, v взаимно
простые числа. Значит, можно считать, что y= s² – t², v = 2×s×t, u = s² t² для
некоторых взаимно простых натуральных чисел s, t. Поэтому из x² = 4×s×t×(s² t²) следуетx = 2×x₁ , где x₁² = s×t×(s² t²), причём
числа s×t и s² t² взаимно
просты: если простое число p – их общий делитель, то p | s или p | t и p | (s² t²), откуда по
свойствам делимости p – общий делитель взаимно
простых чисел s, t, что
невозможно. Следовательно, по следствию из основной теоремы арифметики получаем
s² t² = b², s×t = a² , и далее s = m² , t = n² и m⁴ n⁴ = b².

Таким образом, по примитивному
решению (x; y; z) построено
новое примитивное решение (m;n; b), причём b < x₁² < z, т.е.
реализован метод бесконечного спуска. Значит, диофантово уравнение x⁴ y⁴ = z² не имеет
нетривиальных решений, а значит, их не имеет и уравнение x⁴ y⁴ = z⁴.

Теорема доказана.

§ 4. Сводка результатов: от Эйлера
до Куммера

Уже доказательство Великой теоремы Ферма для
показателя n
= 3
не элементарно. Впервые полученное Эйлером, оно в течение многих лет оставалось
идейным источником для дальнейших обобщений и модификаций.

1. Доказательство Великой теоремы
Ферма для показателя n
= 3. Пусть нашлись
такие x,
y,
zÎZ,
что z³
= x³
y³
= (x
y)×(x²
– x×y
y²)
.
Рассмотрим последовательно два случая.

I.
x
, y,
z
не делятся на 3.
Воспользуемся известным фактом: a³ºa
(mod
3),
в котором легко убедиться непосредственно, рассмотрев все возможности aº
0, aº
1, aº
-1 (mod
3)
и проверив, что a³º
0, a³º
1, a³º
-1 (mod
3)
соответственно. Поэтому zºz³
= x³
y³ºx
y
(mod
3),
т.е. z
= x
y
3×uдля
некоторого целого числа u.
Отсюда получаем x³
y³
= z³
= (x
y
3×u)³
= (x
y)³
9×(x
y)²×u
27×(x
y)×u²
27×u³
= x³
3×x²×y
3×x×y²
y³
9×k
= x³
y³
3×x×y×(x
y)
9×k.

Значит, 3×x×y×(x
y)
9×k
= 0,
т.е. x×y×(x
y)
= -3×k
и x×y×zºx×y×(x
y)
º 0 (mod
3),
вопреки тому, что x,
y,
zне
делятся на 3.

II.
x×y×zM 3.
Без ограничения общности можно считать, что zM
3 :
если, например, xM
3,
то y³
(-z)³
= (-x)³,
т.е. x,
y,
zможно
менять местами. Кроме того, ввиду попарной взаимной простоты чисел x,
y,
zможно
считать, что x,
yне
делятся на 3.

Из z³
= (x
y)×(x²
– x×y
y²)
= (x
y)×((x
y)²
– 3×x×y)
º (x
y)³
(mod
3)
следует, что x
yM
3.
Пусть
z = 3×t,
x y = 3×s.
Тогда

27×t³
= 3×s×(9×s²
– 3×x×(3×s
– x)), 3×t³
= s×(3×s²
– 3×s×x
x²).

При этом 3×s² – 3×s×x x² 3 (иначе xM 3), так что s = 3×u и
получается равенство t³ = u×(x² – 9×u×x 27×u³). Ясно, что
числа uи x² – 9×u×x 27×u³взаимно
простые: если p – их общий
простой делитель, то p | x², т.е. p – общий
делитель 9×u = x yи x² , а значит,
p – общий
простой делитель xи y – противоречие.
Итак, произведение взаимно простых чисел u×(x² – 9×u×x 27×u³) является
кубом целого числа. По следствию из основной теоремы арифметики (§ 1 главы I), u = v³, x² – 9×u×x 27×u³ = n³для
некоторых целых чисел v, n.

Здесь и проявилась гениальность
Эйлера: его идея состояла в том, чтобы разложить на множители величину x² – 9×u×x 27×u³, что не
удаётся сделать в обычных целых числах. Для этого можно рассмотреть квадратное
уравнение l² – 9×l 27 = 0, полученное
при l =  и найти его
корни

l₁ =  = 3×(2 w),

l₂ =  = 3×(1 – w),

где w =  .

Итак, l² – 9×l 27 = (l – l₁)×(l – l₂) и x² – 9×u×x 27×u³ = (x – 3×(2 w)×u)×(x – 3×(1 – w)×u) = (x – 6×u – w×3×u)×(x – 3×u w×3×u) = n³.

Таким образом, имеем разложение куба
в произведение двух множителей в числах K = {a w×bÎC | a, bÎZ}. Сам Эйлер
сделал отсюда вывод о том, что множитель x – 3×(1 – w)×uявляется
кубом (k w×m)³,
где k, mÎZ , т.е.

x – 3×(1
– w)×u
= (k w×m)³Û

Û
x – 3×u
w×3×u
= k³ w×3×k²×m
w²×3×k×m²
w³×m³.

Учитывая, что

w² =  = –w – 1 и w³ = w×w² = w×(-w – 1) = –w² – w = w 1 – w = 1, получаем

x
– 3×u
w×3×u
= k³
w×3×k²×m
w²×3×k×m²
w³×m³Û

Û
x – 3×u w×3×u
= k³ w×3×k²×m
– (w 1)×3×k×m²
m³Û

Û
x – 3×u w×3×u
= (k³ – 3×k×m²
m³) w×(3×k²×m
– 3×k×m²)
Û

Û .

Из взаимной простоты целых чисел u, xследует
взаимная простота целых чисел k, m, что вместе
с полученным ранее условием u = v³ даёт разложение
v³ = k×m×(k – m) куба целого
числа в произведение трёх попарно взаимно простых целых чисел. Поэтому k = p³, m = q³и k – m = r³ для
некоторых p, q, rÎZ, т.е. p³ = r³ q³– равенство,
аналогичное исходному, причём модули чисел p, q, rменьше |v| < |v|³
= |u| =  < |z| = |x y|×|x² – x×y y²|. Таким
образом, для завершения доказательства Великой теоремы Ферма при n = 3 можно
применить метод бесконечного спуска.

Теорема доказана.

2. Необходимые уточнения. Приведённое
рассуждение не вполне корректно. Так, например, в обосновании нуждается даже
вывод о том, что

x – 3×u w×3×u = (k³ – 3×k×m² m³) w×(3×k²×m – 3×k×m²) Û

 .

Для этого нужно доказать, что из a w×b = c w×d, где a, b, c, dÎZ, следуют
равенства a = cи b = d. Это
сделать легко: если b¹d, то w =  ÎQ, что
невозможно, ибо w
=  ÏR .

Существенный пробел доказательства
состоит в выводе

(x – 3×(1 – w)×u)×(x – 3×(2 w)×u) = n³Þx – 3×(1 – w)×u = (k w×m)³.

Подобное утверждение для целых чисел
можно вывести на основании основной теоремы арифметики и только при условии
взаимной простоты сомножителей. Следовательно, для завершения доказательства
Эйлера нужно развить теорию делимости для чисел из множества K = {a w×bÎC | a, bÎZ} и доказать
основную теорему арифметики. Это тем более необходимо, если учесть, что для
чисел вида a i××b (a, bÎZ), очень
похожих на числа из K, однозначность разложения,
вообще говоря, не выполнена:

= 2×2 = (1 i×)×(1 – i×).

Не имея возможности дать полное и
подробное обоснование однозначности разложения в произведение простых
множителей в K, наметим лишь канву рассуждений со
всеми необходимыми определениями и примерами, в которых видна идея общего
рассуждения.

а.множество K замкнуто
относительно сложения, вычитания, умножения и сопряжения:

 = (p – q) – w×q
Î
K ,

(p w×q)
± (r w×s)
= (p ± r) w×(q ± s) Î
K ,

(p w×q)×(r
w×s)
= p×r
w×(q×r
p×s)
w²×q×s
=

= p×r
w×(q×r
p×s)
(-w
– 1)×q×s
= (p×r
– q×s)
w×(q×r
p×s
– q×s)Î
K .

Здесь использованы равенства:

 = -1 – w,

w² =  = – 1 – w.

Подмножества в C , замкнутые
относительно сложения, вычитания и умножения, называются числовыми кольцами.
Значение их в том, что с их элементами можно производить вычисления почти как с
целыми числами.

Для удобства в дальнейшем при p, qÎZ будем, как
обычно, отождествлять числа p q×wÎCи p w×qÎK, а также pÎZ и p w×0 ÎK, q×wÎCи 0 w×qÎK.

б) Пусть a , bÎK, a¹ 0. Говорят,
что a делит b или b кратно a, если b = a×gдля
некоторого gÎK .
Аналогично целым числам вводятся понятия общего делителя и общего
кратного нескольких элементов.

Элемент eÎK {0} называется обратимым,
если обратный элементe ^-1 , который
существует в С, лежитв K . Например,
w×(w²) = w× = 1, т.е. w – обратимый
элемент в K с обратным w² = -1 w×(-1) ÎK.

Элементы a, b, … , gÎKназываются взаимно
простыми, если любой их общий делитель обратим. Они называются попарно
взаимно простыми, если любые два из них взаимно простые.

Элемент π ÎK называется простым,
если в любом разложении π = a×b (a , bÎK) один из множителей
a , bобратим,
т.е. разложение тривиально. Не всякое простое целое число будет простым
в K: 3 = (i×)×(-i×) = = (1 2×w)×(-1 – 2×w), причём
элементы -1 – 2×w, 1 2×wне обратимы:
например, (1 2×w)^-1 =  ÏK, т.к. из
равенства  = m w×n = = m ×nполучим
невозможное 2×i× = 6×m – 3×n i×3××n.

Два элемента a, bÎK называются ассоциированными,
если a = e×bдля
некоторого обратимого элемента eÎK. В этом
случае пишут a ~ b.

в) Для элемента a = p w×qÎKопределим норму

N(a) = (p w×q)×(p w²×q) = p² (w w²)×p×q q² = p² – p×q q²ÎZ,

которая на самом деле совпадает с
квадратом модуля комплексного числа a
: p w²×q = p ×q = . Таким
образом, N(a) = a× = |a|²³ 0, и
справедливы следующие свойства квадрата модуля:

(N1)N(a) = 0 Ûa = 0;

(N2)N(a)×N(b) = |a|²×|b|²
= |a×b|²
= N(a×b);

(N3)N(1) = 1.

г) Лемма (об обратимых элементах). Следующие
условия для элемента aÎK
эквивалентны:

(1) элемент aÎK обратим;

(2) N(a) = 1;

(3) aÎ {1, -1, w, –w, w², –w²}.

д) Теорема (о делении с остатком). В числовом
кольце K выполняется
алгоритм деления с остатком относительно нормы, т.е. для любых aÎK, bÎK {0}
существуют такие g , dÎK , что a = b×g d и N(d) < N(b).

Пример: Разделим a = 2 – w×5 на b = 3 w×2 с остатком.

Вначале вычислим частное обычных
комплексных чисел

 .

Теперь найдём ближайшие целые числа
к дробям  и  : -1 и
-3 соответственно и образуем число g = -1 w×(-3). Поэтому a = b×g d, где

d = a – b×g = 2 – w×5 – (3 w×2)×(-1 w×(-3)) = 2 –
5×w 3 11×w 6×w² = 5 6×w – 6×(w 1) = -1
w×0, причём N(d) = N(-1 w×0) = (-1)²
– (-1)×0 0²
= 1 < 3² – 3×2 2² = 7 = N(b).

Таким образом, частное g = -1 w×(-3), и остаток d = -1 w×0.

е) Лемма (основное свойство простых
элементов).
Если π
– простой
в K элемент и π | a×b×…×g , где a , b, … , gÎK , то π делит один
из сомножителей a , b , … , g .

ж) Лемма (о простых числах). (1) Элемент
π
= x w×y – простой в
K тогда и
только тогда, когда

либо π ~ p для
некоторого простого натурального числа p,
неразложимого в K,

либо N(π) = (x w×y)×(x ×y) = p – простое
натуральное число. Все остальные элементы с нормой p имеют вид π×e или ×e для
обратимого элемента eÎK .

Пример: Найдём все
простые элементы в Kс нормой 13.

Если π = x w×y – простой
элемент в KиN(π) = 13 = x² – x×y y² = 13, то x² – x×y y² – 13 = 0 – уравнение
для x, и D = y² – 4×(y² – 13) = 52
– 3×y²³ 0, т.е. 3×y²£ 52, |y| £ 4(x , yÎZ). При y = 1 находим x = -3, т.е. π = -3 w.

Значит, остальные простые элементы с
нормой 13 имеют вид e×πили e×для
обратимых элементовeÎ {±1, ±w, ±w²}, т.е.

w×π = w×(-3 w) = –w×3 – w – 1 = -1 – w×4, w× = w×(-4 – w) = 1 – w×3,

w²×π = w²×(-3 w) = (w 1)×3 1 = 4 w×3 , w²× = w²×(-4 – w) = 3 w×4.

В итоге получаем все элементы с
нормой 13:

±(3 – w), ±(4 w), ±(1 w×4), ±(1 – w×3), ±(4 w×3), ±(3 w×4).

з) Теорема (основная теорема
арифметики кольца K).(1)
Любой ненулевой элемент из K либо
обратим, либо является произведением некоторого обратимого и нескольких простых
элементов из K.

(2) Такое разложение единственно с
точностью до перестановки сомножителей и ассоциированности: если e×π₁× … ×π_s = d×r₁× … ×r_t , то s = t и после
перестановки сомножителей справедливы равенства π_i = l_i×r_i (1 £i£s), d = e×l₁× … ×l_s для
некоторых обратимых элементов l₁ , … , l_sÎK .

Пример: Найдём
каноническое разложение элемента a = 126 – w×68.

Ясно, что 126 – w×68 = 2×(63 – w×34), причём 2
– простой элемент в K: если 2 = a×b, то N(a)×N(b) = 4, т.е. N(a) = 2 = N(b), что
невозможно, т.к. квадратное уравнение x² – y×x y² = 2 относительно
xне имеет
решений ввиду того, что его дискриминант D = 8 – 3×y²не является
квадратом целого числа при yÎZ.

Разложим b = 63 – w×34. Вначале
разложим на множители число b× = = N(63 – w×34) = 63²
63×34 34²
= 7267 = 13²×43. Таким образом, в разложение
bмогут
входить лишь простые элементы, участвующие в разложениях простых натуральных
чисел 13 и 43.

Число 13 уже было разложено
выше: 13 = (-3 w)×(-4 – w). Если
разделить bна -4 – w, то

 ,

т.е. деления нацело нет. Однако при
делении bна -3 w имеем:

 = -22 w×3.

Таким образом, b = (-3 w)×(-22 w×3). Остаётся
разложить g = -22 w×3 c нормой N(-22 w×3) = N(b) / 13 = 13×43.

Снова поделим на простое число -3
w с нормой 13:

 = 7 w.

Значит, g = (-3 w)×(7 w), где N(7 w) = 43 – простое
натуральное число, так что 7 w – простой элемент в K.

Итак, a = 126 – w×68 = 2×(-3 w)²×(7 w) – каноническое
разложение в K.

и) Следствие (о разложении степени).Если в K некоторая
степень разложена в произведение необратимых попарно взаимно простых
сомножителей: zⁿ = u₁× … ×u_k , то каждый
сомножитель u_i является (с
точностью до обратимого множителя) той же степенью подходящего элемента из K: u_i = e_i×t_iⁿ , (1 £i£k), z = e×t₁× … ×t_k , eⁿ = e₁× … ×e_k .

Основываясь на этих результатах,
закончим обоснование гениальной догадки Эйлера.

В полученном разложении (x – 3×u w×3×u)×(x – 6×u – w×3×u) = n³сомножители x – 3×(1 – w)×uи x – 3×(2 w)×u взаимно
просты. Действительно, любой их общий простой в Kделитель πделит и
комбинации

(x – 3×(1
– w)×u)
– (x – 3×(2 w)×u)
= 3×(2
w
– 1 w)×u
= 3×(1
2×w)×u,

(2 w)×(x
– 3×(1
– w)×u)
– (1 – w)×(x
– 3×(2
w)×u)
= (1 2×w)×x.

Он не может делить u и x, т.к. иначе
u² = N(u) MN(π) и x² = N(x) MN(π), вопреки
взаимной простоте целых чисел u, x. Значит, π | (1 2×w) – простое в K с нормой 3,
и можно считать, что

π = 1 2×w = 1 – w 3×w = 1 – w (1 – w)×(1 – )×w =

= (1 – w)×(1 (1 – )×w) = (1 – w)×w,

т.е. π | (1 – w). Изπ | (x – 3×(1 – w)×u) получаем π | x , N(π) | N(x) или 3 | x² – противоречие
с выбором x 3.

Итак, n³ = (x – 3×(1 – w)×u)×(x – 3×(2 w)×u) – разложение
куба в произведение двух взаимно простых в Kмножителей.
Значит,

x – 3×(1 – w)×u = e×(k w×m)³
= w^e×(k w×m)³
(eÎ {0, 1, 2})

для некоторых целых k, mи обратимого
eÎ {1, w, w²} . Здесь
учтено, что (-e×(k w×m)³
= e×(-k – w×m)³). Более
подробно, правая часть равна:

e = 0:k³ 3×w×k²×m 3×w²×k×m² m³ = (k³-3×k×m² m³) 3×w×k×m×(k–m);

e = 1:w×((k³-3×k×m² m³) 3×w×k×m×(k-m))
= -3×k×m×(k-m) w×(k³-3×k²×m m³);

e = 2:w²×((k³-3×k×m² m³) 3×w×k×m×(k-m))
= -k³ 3×k²×m-m³–w×(k³-3×k×m² m³).

Последние два случая невозможны, в чём легко
убедиться, рассматривая полученное равенство по модулю 3: при e
= 1
имеем x
– 3×u
= -3×k×m×(k–m),
т.е. xM 3 – противоречие,
а при e
= 2 получаем
3×u
= –k³ 3×k×m²–m³,
т.е. k³
m³делится
на 3, так что из x
– 3×u
= –k³ 3×k²×m–m³
снова xM 3 – противоречие.

Итак, x
– 3×(1 – w)×u
= (k
w×m)³,
и доказательство Эйлера полностью обосновано (по модулю сформулированных выше
свойств кольца K).

Таким образом, для решения проблемы
Ферма о натуральных числах Эйлером были привлечены числа другой природы:
комплексные числа вида a w×b, где a, bÎZ, w =  . Здесь w – корень
уравнения x³ = 1, и можно
доказать, что каждое число a
= a w×b
удовлетворяет некоторому кубическому уравнению с целыми коэффициентами: (a – a)³
= (w×b)³
= b³, т.е. a³ – 3×a²×a 3×a×a² – a³ – b³ = 0.

Любое комплексное число aÎС ,
удовлетворяющее уравнению с целыми коэффициентами, называется алгебраическим.
Таким образом, Эйлером был заложен фундамент теории алгебраических чисел,
бурное развитие которой продолжается до сих пор.

3. Метод Куммера. По лемме об
уравнении xⁿ yⁿ = zⁿ, Великую
теорему Ферма осталось доказать для любого нечётного простого числа p. Идея
Эйлера позволила (усилиями А. Лежандра и Г. Ламе) доказать Великую теорему
Ферма для n = 5, 7, 11 и
13, но общего доказательства на этом пути получить не удалось. Только Э.
Куммер в середине XIX в. сумел обобщить эту идею и
получить метод дающий доказательство для всех, так называемых, регулярных
простых показателей (см. [1]) (в частности, для всех показателей, меньших 100).

Куммер исходил из аналогичного
рассмотренному выше в доказательстве Эйлера разложения

x^p
y^p = (x y)×(x w×y)×
… ×(x
w
^p-1×y),

где w^p = 1 , w =  . Таким
образом, можно рассмотреть числовое кольцо

K_p = {ÎC | a_kÎZ (0 £k£p – 1)}.

Если бы удалось доказать, что это
кольцо с однозначным разложением в произведение простых элементов, то Великая
теорема Ферма была бы доказана.

Проблема состоит в том, что
однозначность разложений в произведение простых элементов в кольце K_pвыполняется
не всегда. Чтобы преодолеть эту преграду Куммер применил метод расширения
множества K_pдо
полугруппы Д идеальных объектов, называемых ныне дивизорами, в которых
разложение на множители однозначно. В доказательстве Эйлера, ввиду основной
теоремы арифметики, справедливой в кольце K, достаточно
было взять Д = K {0}, но в общем
случае всё не так просто.

Такая конструкция расширения K_pÍДбыла
обоснована им для регулярных простых чисел p, одна из
возможных характеризаций которых такова: нечётное простое число pрегулярно
тогда и только тогда, когда для любого чётного k = 2, 4, … ,
p – 3 число 1^k 2^k … (p – 1)^k не делится
на p².

Примеры: 1.p = 3 регулярно,
т.к. нет чисел k.

2.p = 5 регулярно,
т.к. для k = 2 имеем 1²
2² 3² 4² = 30  5².

3. Среди простых чисел первой
сотни не регулярны только 37, 59, 67. Для них Куммер доказал Великую
теорему Ферма отдельно.

Хотя метод Куммера позволяет
доказать Великую теорему Ферма для широкого класса показателей, но до сих пор
не известно, является ли множество регулярных простых чисел бесконечным. С
появлением ЭВМ проверка регулярности стала возможной для очень больших чисел n
£ 2¹²⁵⁰⁰⁰, так что
горизонт показателей, для которых Великая теорема Ферма доказана методом
Куммера, существенно расширился, но не стал беспредельным.

ГЛАВА
II.
ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА И a×b×c–ГИПОТЕЗА

§
1. Гипотеза Таниямы и доказательство Вайлса Великой теоремы Ферма

Удивительно, но, как это часто бывает в
математике, решение проблемы Ферма пришло совсем с другой стороны, нежели
ожидалось. Как уже отмечалось, Э. Вайлс и Р. Тейлор доказали гипотезу Таниямы,
относящуюся к теории эллиптических кривых, но из неё К. Рибет, основываясь на
гениальной догадке Г. Фрея, вывел Великую теорему Ферма.

К сожалению, объём работы не позволяет подробно
остановиться на исследованиях Вайлса-Тейлора. Поэтому лишь наметим путь,
ведущий к доказательству Проблемы Ферма.

1. Эллиптические кривые.Эллиптической кривой называетсякривая на плоскости, заданная
уравнением

y² = x³
a×x²
b×x c,
где
a, b, c ÎQ.

По аналогии с дискриминантом

общего кубического уравнения x³ a×x² b×x c = 0 вводится дискриминантD
эллиптической кривой y² = x³ a×x² b×x c (a, b, cÎQ), равный по
определению D = -16×(4×a³×c – a²×b² – 18×a×b×c 27×c² 4×b³). Отличие в
числовом множителе от дискриминанта Dздесь не принципиально, но удобно
тем, что при целых aи b
дискриминант тоже будет целым числом.

На рис. 2, 3 приведены некоторые
графики эллиптических кривых: неособые с ненулевым дискриминантом, и особые
– с нулевым.

Эллиптическая кривая y² = x³ a×x² b×x c (a, b, cÎZ) называется полустабильной,
если сравнение x³ a×x² b×x cº 0 (modp) не имеет
трёхкратных корней для любого простого p | (4×a³×c – a²×b² – 18×a×b×c 27×c² 4×b³).

Примеры: 1. Кривая y² = x³ не
полустабильна: её дискриминант нулевой, т.к. a = b = c = 0, а правая
часть имеет трёхкратный корень x = 0 по любому
простому модулю.

2. Пусть A, B – взаимно
простые целые числа, С = A B. Тогда
эллиптическая кривая y² = x×(x – A)×(x – C)
полустабильна.

Действительно, уравнение кривой
имеет вид y² = x³ – (A C)×x² A×C×x,аеё дискриминант вычисляется так:

D = -16×(-
(A C)²×(A×C)²
4×(A×C)³)
= -16×(A×C)²×(A
– C)² = -16×A²×B²×C².

Поэтому, если p | A²×B²×C², то pделит одно
из чисел A, B, C, причём два
из этих чисел не могут делиться на p ввиду
взаимной простоты Aи B: например,
если AMp, CMp, то B = (C – A) Mp –
противоречие. Таким образом, корни xº 0, xºA, xºC (modp) правой части
уравнения кривой не могут все быть одинаковыми.

Определим для эллиптической кривой y² = x³ a×x² b×x c понятие кондуктора,
ограничившись только важным для дальнейшего случаем, т.к. общее его определение
требует далеко выходящих за рамки данного изложения понятий. Грубо говоря, кондуктор
 собирает в
одно произведение все простые числа, участвующие в каноническом разложении
дискриминанта эллиптической кривой. При этом степень e_p, с которой
простое число p входит в кондуктор, равна 1,
если a² 3×b (modp). Эта
степень e_pравна 2,
если p > 3 и a²º 3×b (modp).В
случае, когда сравнение x³ a×x² b×x cº 0 (modp) не имеет
решений,степень e_pсовпадает с
показателем, с которым pвходит в
каноническое разложение дискриминанта D. Остальные
возможности p = 2, 3
для кривой с условием a²º 3×b (modp) исследуются
более сложно, но они не встретятся в дальнейшем, так что оставим их без
комментариев.

Примеры: 1. Длякривой
y² = x³ – x 1 имеем

D = -16×(4×a³×c-a²×b²-18×a×b×c 27×c² 4×b³)
= – 16×(27×1²
4×(-1)³)
= -2⁴×23.

Таким образом, N = 2^e×23^d. Остаётся
вычислить степени e,d.

Поскольку многочлен x³ – x 1 не имеет
корней по модулю 2, то e = 4. По модулю 23 имеем a² 3×bÛ 0² 3×(-1) (mod 23). Поэтому d = 1.

Итак, кондуктор эллиптической кривой y²
= x³
– x
1 равен
N = 2⁴×23.

2. Пусть A, B – взаимно
простые целые числа, С = A B. Вычислим
кондуктор эллиптической кривой y² = x×(x – A)×(x – C),
дискриминант которой вычислен ранее: D = -16×A²×B²×C².
Следовательно, в кондуктор Nвойдут
двойка, а также нечётные простые числа, делящие A²×B²×C², т.е.
делящие одно из чисел A, B, C: N =  . Вычислим
показатели, с которыми эти простые числа входят в кондуктор. При этом 2|A×B×C, т.к. в
равенстве A B = Cвсе три
числа не могут быть нечётными.