Защита проектов «Функциональные зависимости в реальных процессах и явлениях и в других науках» | Проект на тему: | Образовательная социальная сеть

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Сосновская средняя общеобразовательная школа №1

Проблемно-реферативная работа

Функциональная зависимость и

русское народное творчество

Выполнил: Лизякин Андрей

ученик 10 «б» класса

Руководитель: учитель математики

высшей категории  Хлыстова Н.А.

п. Сосновское

2021 год

КРАТКАЯ АННОТАЦИЯ

В основной части реферата рассматривается  история развития и становления функции, определение понятия функции, способы задания функции, основные свойства функции с конкретными примерами. При этом своей точки зрения рассматривается соответствие этих понятий с русскими народными пословицами и поговорками, опираясь на свой жизненный опыт.

В работе имеется практическое исследование – сопоставление знаний одноклассников о свойствах функций с поговорками и пословицами, отражающими их в реальной жизни.

Материал реферата изложен последовательно, доступно, может быть использован как дополнительный материал на уроках математики.                  

«Первое, что бросается нам в глаза

при рассмотрении мира в целом –

это взаимная связь всего существующего»

В.И.Ленин

ВВЕДЕНИЕ

 При изучении явлений окружающего мира и в практической деятельности нам приходится рассматривать величины различной природы: длину, площадь, объём, массу, температуру, время и т.д. Каждая область знаний: физика,  химия,  биология и т.д. – имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов.  

Выдающийся отечественный математик А.Н. Колмогоров писал: «Математика не просто один из языков. Математика – это язык плюс рассуждения, это как бы язык и логика вместе. Математика – орудие для размышления. В ней сконцентрированы результаты точного мышления многих людей. При помощи математики можно связать одно рассуждение с другим. Очевидные сложности природы с ее законами и правилами, каждое из которых допускает отдельное очень подробное объяснение» [12, с. 44].

  Таким образом, математика позволяет сформировать определенные формы мышления, необходимые для изучения окружающего нас мира.

 В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел. Математика рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлеченном виде, изучает различные законы их взаимосвязи, которые на математическом языке называются функциональными зависимостями, или функциями.

 Функция – это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.

 Математика изучает зависимость между переменными в процессе их изменения. Человеку очень часто приходится иметь дело с различными зависимостями между величинами. Для строителей важной является зависимость изменения стоимости строительства от его длительности, качества выполнения работ от качества строительных материалов. Для предприятий автомобильного транспорта вызывает интерес зависимость расхода топлива от качества дорог. Перечень таких примеров можно продолжить.

Русский народ создал огромную литературу: мудрые пословицы, хитрые загадки, торжественные былины и волшебные сказки. Это не только плод народного досуга, это и достоинство, и ум русского народа.

Гипотеза: можно ли сопоставить зависимость между какими-либо переменными  математической закономерности в конкретной ситуации с русским народным творчеством – пословицами и поговорками.

Цели работы:

установить функциональную зависимость переменных величин в реальных процессах и в математике, используя русское народное творчество.

Задачи:

1.Проанализировать различную литературу по данному вопросу.

2.Сопоставить способы задания функции и свойств функций с русскими народными пословицами и поговорками.

3.Раскрыть красоту математических закономерностей, которыми описываются многие процессы и явления окружающей действительности.

4.Исследовать знания одноклассников о функциональной зависимости.

Методы решения задач:

 1.Изучить различную литературу по данному вопросу.

 2.Выделить основные способы задания функций и основные свойства функций.

3.Провести анкетирование одноклассников с целью выявления знаний о функциональной зависимости.

I.   ИЗ ИСТОРИИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ФУНКЦИЙ

Понятие функции уходит своими корнями в ту далёкую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они ещё не умели считать, но уже знали, что, чем больше они поймают рыбы, тем больше будет еды в их племени, чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела, чем лучше они будут ориентироваться на местности, тем меньше опасностей их поджидает.

Древнегреческий историк Геродот (ок. 425 до н.э.) писал, что египетские цари, разделив землю между египтянами, брали с каждого из них ежегодный налог, пропорциональный площади занимаемого участка. Конечно, ни египетские цари, на землевладельцы, ни сам Геродот не произносили слово «функция», но речь идет о том, что каждому значению площади соответствовало некоторое значение налога.

С развитием скотоводства и земледелия, ремесла и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами.

Идея функциональной зависимости содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.

Понятие функции заложили в XVII веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных – последними буквами латинского алфавита – x, y, z, известных – начальными буквами того же алфавита – a, b, c, … и т.д.  У Рене Декарта и Пьера Ферма (1601-1665) в геометрических работах появляется отчетливое представление переменной величины и прямоугольной системы координат. В своей «Геометрии» в 1637 году Декарт дает понятие функции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы; он систематически рассматривал лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться  с понятием аналитического выражения – формулы. В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени (называл «флюентой»).

В «Геометрии» Декарта и работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило интуитивный характер, и было связано с геометрическими или с механическими представлениями: ординаты точек кривых – функция от абсцисс (x); путь и скорость – функция от времени (t) и т.п.

 Явное определение функции было впервые дано в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Оно привело в восхищение престарелого Лейбница, увидевшего, что отход от геометрических образов знаменует новую эпоху в изучении функций. Так слово «функция» (от латинского functio – исполнение обязанностей, деятельность) ввел немецкий ученый Лейбниц.

Леонард Эйлер во «Введении в анализ бесконечных» (1748) примыкает к определению своего учителя Иоганна Бернулли, несколько уточняя его:         «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». Так понимали функцию на протяжении почти всего  XVII века Даламбер, Лагранж и другие математики того времени.

Описание функции, почти совпадающее с современным, встречается уже в учебниках математики начала XIX века. Сторонником такого понимания функции был Н.И. Лобачевский.  В 1834 году Н.И.Лобачевский писал: «Общее понятие функции требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбрать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной».    

 В 1837 году немецкий математик П.Л. Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции: «y есть функция переменной x ( a ≤ x ≤ b), если каждому значению x на этом отрезке соответствует совершенно определенное значение y, причем безразлично каким образом установлено это соответствие – аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами». Во второй половине 19 века после создания теории множеств в понятие функции, помимо идеи соответствия была включена и идея множества. Таким образом, общее определение понятия функции формулируется следующим образом: если каждому элементу x множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент y из множества В, то говорят, что на множестве А задана функция y=f(x). 

Дальнейшее развитие математической науки в 19 веке основывалось на общем определении функции Дирихле, ставшим классическим.

II.   ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

 Пусть D и E – непустые числовые множества, а  х и у – соответственно их элементы. Если каждому х € D ставится, в соответствии с некоторым правилом, только одно значение у € Е , то говорят, что между переменными  х и  у существует функциональная зависимость, и  х  называют независимой переменной ( или аргументом), а у – зависимой переменной ( или функцией).

  Изучение зависимостей между различными величинами составляет смысл  многих наук. Средством описания всего многообразия реальных зависимостей на математическом языке служит понятие функции.        Две переменные  x  и  y  связаны функциональной зависимостью, если для каждого значения одной из них можно получить по определенному правилу одно или несколько значений другой.  

Определение. Переменную y называют функцией переменной x, если каждому значению x из некоторого числового множества соответствует одно определенное значение переменной  y.

 Например: соответствие между множествами А и В является функцией.

    Формула  задает площадь квадрата S как функцию его стороны а.     Формула  задает путь s, пройденный телом при равномерном движении, как функцию времени движения t.

Символическая запись функции: у=f (x ) (x € D, y € E). Множества D называют областью определения функции и обозначают D ( f ), а множества Е  называют областью изменения функции. Говорят еще, что функция  f  отображает множества D на множества E.  Символ  f  ввел в 1733 году французский математик Клеро.

Главное в зависимости переменных состоит в том, что каждому значению независимой переменной некоторым образом – с помощью графика, таблицы, формулы или как-то иначе – поставлено в соответствие одно определённое значение зависимой переменной.

Независимая переменная имеет специальное название – аргумент. Значение у, соответствующее заданному значению x, называют значением функции.

III.  СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ

Зависимости между величинами выражаются на математическом языке с помощью таблиц, словесного описания, графиков и формул. Способы задания функций сопоставим с соответствующими пословицами и поговорками.

1.  Табличный способ

Он состоит в том, что все числовые значения аргумента х1, х2, …, хk располагают в одной строке таблицы, а значения функции у1, у2, …, уk – в другой строке так, чтобы каждому значению аргумента отвечало соответствующее значение функции. Несмотря на простоту, такой способ задания функции обладает существенным недостатком, так как не дает полного представления о характере функциональной зависимости между х и у и не является наглядным. Например,

По этому принципу, например, построена таблица квадратов, таблица кубов, таблица Брадиса. Данному способу задания функции соответствует пословица –  «Знай, сверчок, свой шесток!», в которой любой сверчок – независимая переменная – аргумент, а его расположение на шестке по определенному правилу (закону) – функция.

2.  Словесный способ

 Этот способ задания проиллюстрируем примером функции Дирихле          у= D(х): если х – рациональное число, то значение функции D (х) равно 0. Таким образом, чтобы найти значение D(хо) при заданном  х=хо, необходимо каким-либо способом установить, рационально или иррационально число хо. По традиции принцип Дирихле – это пример о «зайцах и клетках». Если в решении конкретной задачи нужно применить принцип Дирихле, то предстоит разобраться, что в ней — «клетки», а что — «зайцы». Причем в роли зайцев могут выступать различные предметы и математические объекты. Например: числа, места в таблице. «И псу конурка, и коту печурка»– эта пословица соответствует данному способу задания функции, так как в ней есть соответствие «клетки – зайцы». С точки зрения нашей темы: «при любом отображении множества Х, содержащего (n 1)-элементов, в множество У, содержащее n-элементов, найдутся два элемента множества Х, имеющие один и тот же образ».

3.  Графический способ

Функциональная зависимость может быть задана с помощью графика функции у = f (x). Графиком числовой функции  f  называется множество точек плоскости (х; у), где х принимает всевозможные значения из области определения функции, а у = f(х).

На рисунке график определяет функцию      

у = f(х) на отрезке [a; b].

Преимуществом такого способа задания является наглядность, позволяющая установить важные черты поведения функции, и по графику можно получить различную полезную информацию.

 Например,  на рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Томске с 8 по 24 января 2005 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. По рисунку можно определить, сколько дней выпадало более 2 миллиметров осадков, или какого числа выпало наибольшее (наименьшее) количество осадков за данный период.

 Соответствующая поговорка –                                                                    «Лебедь по поднебесью, мотылек над землей – всякому путь свой».  Путь лебедя и мотылька можно показать в прямоугольной системе координат.

4.  Аналитический способ

 При аналитическом способе задания известна формула, по которой по заданному значению аргумента х можно найти соответствующее значение функции у. В математике чаще всего используется именно аналитический способ задания функций. Преимуществами такого способа задания являются компактность, возможность подсчета значения у при любом значении х и возможность применения математического аппарата для более детального исследования поведения функции. Например, формула  задает переменную у как функцию переменной х: по этой формуле можно для любого значения аргумента х  можно вычислить соответствующее значение функции у: у(1) = -1, у(-1) = 3, у(0) = 0 и т.д.

Однако аналитическому способу задания функции присуща недостаточная наглядность и возможная трудность вычисления значений функции. Этому способу задания функции можно сопоставить следующую пословицу – «Яблоко от яблони недалеко падает». Яблоко – аргумент, и оно, упав с яблони, окажется в том месте, которое ему соответствует согласно формуле задания данной функции.

IV.  СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

1. Область определения и множество значений функции

Областью определения функции называют множество всех значений, которые может принимать ее аргумент. Чтобы по графику функции у=f(х) найти ее область определения, нужно, двигаясь слева направо вдоль оси ОХ, записать все промежутки значений х, на которых существует график функции.

Множество всех тех значений, которые принимает сама функция у, называется множеством значений этой функции. Чтобы по графику функции  у=f(х) найти ее множество значений, нужно, двигаясь снизу вверх вдоль оси OУ, записать все промежутки значений y, на которых существует график функции. Функция у=f(х) является заданной, если указана область определения и правило, по которому можно определить значение функции по заданному значению аргумента x. Если область определения не задана, то считают, что областью определения являются все значения аргумента, при котором f(х) имеет смысл.

 «Кто не знает дальнего, тот не знает и близкого; не зная чужих, не узнаешь своих» – эта пословица указывает на взаимно связанные свойства функции у=f(х) – область определения и множество значений.

2. Монотонность

Промежутки возрастания и убывания функции называют промежутками монотонности этой функции.

Функция y=f(x) называется возрастающей на интервале (a;b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x12, справедливо f(x1)<f(x>2.

На практике используется следующая формулировка: функция  возрастает, если большему значению ее аргумента соответствует большее значение функции. Например, функция является возрастающей на всей области ее определения.                    

Пословица, отражающая данное свойство, – «Чем дальше в лес – тем больше дров».  По горизонтали – удаление в лес, по вертикали – количество заготовленных дров, так как обычно в начале леса много деревьев уже срублено, да и делянки для заготовки дров в начале леса не выделяются.

Функция y = f(x) называется убывающей на интервале (a;b), если для любых  x1 и x2 из этого интервала таких, что x12, справедливо  f(x1)>f(x2). На практике – большему значению ее аргумента соответствует меньшее значение функции. Например, функция является убывающей при х<0 и  х>0.    

Пословица, отражающая данное свойство, – «Тише едешь – дальше будешь». По горизонтали – время, по вертикали – скорость. Чем меньше скорость – тем больше будет потрачено времени на дорогу, но без проблем можно двигаться в данном направлении, не нарушая правила дорожного движения.

Есть известная поговорка «Чем больше пушек, тем меньше масла». Имеются в виду возможности производства в одной стране продовольствия и вооружения (в данном случае «масла» и «пушек»). Оказывается, верность поговорки подтверждают математические расчеты. На рисунке эти расчеты представлены графически. Экономисты изображенный график называют линией производственных возможностей. Этот график наглядно показывает, как изменяется структура производства в условиях к войне и ведения войны, почему при этом появляется товаров и продуктов питания. По графику видно, что если, например, производить 40 тыс. «пушек», то «масла» при этом можно будет произвести только 2 тыс.тонн. А если снизить производство «пушек» до 10 тыс., то тогда есть возможность произвести 6 тыс.тонн «масла».

3. Нули функции

Значения х, при которых функция принимает значение, равное нулю, называют нулями функции.

Например, функция – 4 имеет нули функции х= -2 и х=2.

Это свойство иллюстрирует пословица «Что город – то норов, что дом – то обычай».  График функции у = f(х) – это город, жители которого живут по законам страны, но в каждом доме есть свои обычаи, в данном случае дома, в котором жители соблюдают свои индивидуальные обычаи – нули функции у = f(х).

4. Четность функции

Функцию у(х) называют четной, если у(-х) = у(х) для любого х из области определения данной функции.

Например, функция  – четная, так как  для любого х. Это свойство характеризует пословица «Что держишь в уме, то и видишь во сне».  Часть графика функции, расположенного в первой четверти – отражение действительности (в уме), а часть графика функции во второй четверти – видение (сон). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Функцию у(х) называют нечетной, если у(-х) = -у(х) для любого х из области определения данной функции.

Например, функция  – четная, так как  для любого х. Пословица  «Холодная зима – жаркое лето» характеризует данное свойство. Часть графика функции, расположенного в первой четверти – отражение лета (так как х>0 и у>0), а часть графика функции в третьей четверти – зимы (так как х<0 и у<0). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

5  Ограниченность  функции

Функция называется  ограниченной, если существует такое положительное число M, что |  f ( x ) |   M  для всех значений  x . Если такого числа не существует, то функция – неограниченная.

Число m называют наименьшим значением функции  у = f(х) на множестве Х, если:                

1) в области определения существует такая точка х0, что   f(х0) = m.

2) для всех х из области определения выполняется неравенство   f(х) ≥ f(х0).

Число M называют наибольшим значением функции  у = f(х) на множестве Х, если:                

1) в области определения существует такая точка х0, что   f(х0) = M.

2) для всех х из области определения выполняется неравенство  f(х) ≤ f(х0).

 «Не руби выше головы: щепа глаза запорошит» – соответствие пословице: голова – наибольшее значение – число М, график – путь топора, который не рекомендуется поднимать выше головы. Тогда точка m – наименьшее значение функции – например, основание ствола дерева.

6.  Периодичность

Функция у = f(х) называется периодической, если существует такое число Т≠0, что для любого значения х, взятого из области определения, значения х Т  и  х-Т  также принадлежат области определения и выполняется равенство f(х) = f(х Т) = f(х-Т). 

Это число Т и называется периодом функции.

 Многие процессы в окружающем нас мире имеют повторяющийся характер. Например, положение маятника в моменты времени, отличающиеся на период колебаний маятника, одинаковы. 

С течением времени повторяются день и ночь, приливы и отливы, раз в год повторяется взаимное расположение Земли и Солнца.

«Будет зима – будет и лето»- эта пословица отражает периодичность чередования времен года.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 Поставленная перед работой цель достигнута.

 Я установил со своей точки зрения функциональную зависимость переменных величин в реальных процессах и в математике через устное народное творчество – русские пословицы и поговорки. Пословицы – это отражение устойчивых закономерностей, выверенных многовековым опытом народа.

 Аналогия с пословицами позволяет лучше понять и запомнить определенные свойства функций и может служить своего рода опорным сигналом для запоминания свойства функций. Формирование понятия функции, начавшееся еще в XVI-XVII веках, придало мощный импульс развитию всех наук, которое мы наблюдаем до настоящего времени.  

Рассмотрение различных способов задания функции показывает:

1) для подробного изучения поведения функции лучше всего сочетать исследование аналитического выражения функции с построением ее графика;

2)из определения функции вытекает, что для ее задания необходимо лишь указать правило (закон) соответствия между величинами х и у, при этом способ задания этого правила (закона) не имеет значения.

Наблюдая различные процессы и явления, мы стараемся разглядеть самые существенные их черты, самые глубокие закономерности. Часто они оказываются общими для широчайшего круга наблюдаемых событий.  Общей оказывается и математическая модель, построенная на основе этих закономерностей.

Современная математика знает множество функций, и у каждой свой неповторимый облик, как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на Земле. Математические формулы – лишь удобный язык для изложения идей и методов математики. Сами же эти идеи можно изобразить, используя привычные и наглядные образы из окружающей жизни.

И где бы конкретно ни появилась зависимость между какими-либо переменными, сделанное абстрактное математическое заключение можно применять в конкретной ситуации к любым конкретным объектам, в том числе и к русскому народному творчеству.

ЛИТЕРАТУРА

1.Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учебник для общеобразоват. учреждений : базовый и профильный уровни /[Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева, М.И.Шабунин]; под ред.А.Б.Жижченко.-4-е изд.-М. : Просвещение, 2021.-368 с.: ил.

2.Алгебра . 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений /Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович и др./; под ред.Г.В.Дорофеева; Рос.акад. наук, изд-во «Просвещение». – 6-е изд. – М. Просвещение, 2021. – 288с.: ил. –(Академический школьный учебник)

3. Алгебра . 7 класс: учебник для общеобразовательных учреждений /Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович и др./; под ред.Г.В.Дорофеева; Рос.акад. наук, изд-во «Просвещение». – 7-е изд. – М. Просвещение, 2021. – 256с.: ил. –(Академический школьный учебник)

4.Функции и их графики: учебное пособие  /Авт.сост. Н.В.Бурмистрова, Н.Г.Старостенкова – Саратов: Лицей, 2008.- 64с.

5.Русские народные загадки, пословицы, поговорки./ Сост. Ю.Г.Круглов.- М.: Просвещение, 1990. – 335с.: ил.

6.Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Книга для учащихся   ср.шк.- М. Просвещение, 1990. – 224с. : ил.

7.www.bymath.net  Алгебра. Функции и графики. Функциональная зависимость между двумя переменными

8.http://neparsya.net/referat/mathematics/istiriya_funkcii

9.http://ru.wikipedia.org/wiki/

10.http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_philosophy/

11.Ленин В.И. Пол. собр. соч. – Т. 20, с. 20.

ПРИЛОЖЕНИЕ  №1

Задания одноклассникам

ПРИЛОЖЕНИЕ  №2

Полученные результаты:

1. из опрошенных 33 обучающихся 10-х классов изобразили график функции, соответствующий данной пословице со своей точки зрения.
2. из них 27 обучающихся верно отметили свойства функции, подходящие к определенной пословице.

Отразим данные в виде диаграммы:

3.  на вопрос: «Какие русские народные пословицы и поговорки вы знаете и употребляете их в своей речи?» были ответы следующие:

«Делу – время, потехе – час» – 4

«Без труда не выловишь и рыбку из пруда» – 6

«Не рой другому яму, не то сам в нее попадешь» – 1

«Не имей сто рублей, а имей сто друзей» – 3

«Любишь кататься, люби и саночки возить» – 3

«Что посеешь, то и пожнешь» – 1

«Дареному коню в зубы не смотрят» – 2

«Семь раз отмерь, один раз отрежь» – 3

«Готовь сани летом, а телегу – зимой» – 1

« Тише едешь – дальше будешь» – 5

«Мал золотник да дорог» – 1

«Сделел дело – гуляй смело» – 3

Приложение №3

Портреты великих математиков – основоположников понятия функции