17. Момент инерции тела и его физический смысл. Примеры вычисления момента инерции твердых тел. Теорема Штейнера

Единицы измерения момента инерции, теория и онлайн калькуляторы

Единицы измерения момента инерции

Моментом инерции тела, совершающего вращательные движения вокруг некоторой оси называют физическую величину ($J$), равную:

Число материальных точек, на которое разбито тело равно в нашем случае $k$. Если тело непрерывно и однородно, то:

где $r$ – функция положения материальной точки в пространстве; $
ho $ – плотность тела; $dV$ -объем элемента тела.

Килограмм, умноженный на метр в квадрате – единица измерения момента инерции в системе СИ

Проще всего единицу измерения момента инерции тела определить, если рассмотреть материальную точку, вращающуюся вокруг неподвижной оси:

где $m$ – масса материальной точки; $r$ – расстояние от нее до оси вращения.

Из выражения (3) очевидно, что:

Килограмм – метр в квадрате – единица измерения момента инерции в Международной системе единиц. Эта единица является производной в системе СИ. Килограмм – метр в квадрате – это момент инерции материальной точки, имеющей массу один килограмм, движущейся по окружность радиуса 1 метр, вокруг оси вращения.

Грамм – сантиметр в квадрате – единица измерения момента инерции в системе СГС

Если принять во внимание, что основными единицами измерения в системе СГС являются сантиметр, грамм и секунда, то используя определение момента инерции материальной точки (3), получим, что грамм – сантиметр в квадрате – единица измерения момента инерции в системе СГС:

Грамм, умноженный на сантиметр в квадрате – это момент инерции материальной точки, имеющей массу один грамм, находящейся на расстоянии один сантиметр от оси вращения.

Грамм-сантиметр в квадрате соотносится с единицей измерения момента инерции системы СИ как:

Момент инерции, не имеющий единицы измерения

Безразмерный момент инерции используют при изучении и описании движения и структуры небесных тел (планет, спутников и т. д). Безразмерным моментом инерции называют физическую величину, равную отношению момента инерции тела, обладающего радиусом $r$ и массой $m$, вращающегося около оси, к моменту инерции материальной точки равной массы ($m$), вращающейся относительно оси находящейся от точки на расстоянии $r$. Безразмерный момент инерции отображает распределение массы по глубине.

Примеры задач с решением

Задание. Каким будет единица измерения момента инерции материальной точки, которая вращается около неподвижной оси, если получить ее из основного закона динамики вращательного движения?

Решение. Формулу закона динамики вращательного движения для материальной точки представим как:

Единицей измерения момента сил в системе СИ является:

Угловое ускорение материальной точки найдем как:

В соответствии с выражением (1.3) имеем:

Ответ. Исходя из основного закона динамики вращательного движения, получаем, что в системе СИ момент инерции измеряется в килограммах, умноженных на метр в квадрате.

Решение. Будем считать Землю однородным шаром. Найдем момент инерции шара, относительно оси, которая проходит через центр. Разобьем шара на диски (рис.1) толщина которых составляет $dh$, радиус ($r) $дисков изменяется, плоскости дисков которые перпендикулярны оси вращения.

Из рис.1 очевидно, что:

при этом -R$le hle $R.

Элементарный момент инерции (диска) запишем как:

где масса выделенного диска ($dm=
ho dV$) равна:

Получим момент инерции шара, относительно оси, которая проходит через его центр масс, интегрируя выражение (2.4) по объему шара:

Плотность однородного шара равна:

то выражение (2.5) преобразуем к виду:

Окончательно формулу для нахождения момента инерции Земного шара запишем как:

Вычислим момент инерции Земли:

Для того, чтобы выразить момент инерции в $тcdot м^2$, используем соотношение:

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Механика представляет собой один из основных разделов физики, в котором рассматриваются законы движения и равновесия тел. При количественном описании движения вращения важной величиной является момент инерции. В данной статье изучим эту величину. Кроме того, ответим на вопрос о том, в чем измеряется момент инерции твердого тела.

Понятие о моменте инерции для точки материальной

Как физическую величину, его определяют в виде произведения массы на квадрат радиуса вращения. Предположим, что существует некоторая материальная точка, которая имеет массу m. Она вращается вокруг оси, при этом радиус окружности равен r. При заданных условиях инерции, момент вычисляется в соответствии со следующей формулой:

Вам будет интересно:Посад — это что такое? Значение слова

I = m*r2.

Этой формулой можно пользоваться даже в случаях изучения тел со сложной формой. Главным условием справедливости равенства является наличие огромной разницы между расстоянием до оси вращения r и геометрическими размерами самого тела. Например, при расчете величины I для нашей планеты, которая вращается вокруг Солнца по круговой траектории, можно считать Землю материальной точкой, поскольку расстояние до звезды на несколько порядков превышает радиус планеты.

Величина I для тела произвольной формы

В случае, если геометрические размеры вращающегося тела незначительно отличаются от радиуса r, тогда следует принимать во внимание форму тела. С учетом названного фактора рассчитывают момент инерции с использованием следующей формулы:

I = ∫m(r2*dm).

По сути, это равенство является суммой моментов инерций всех материальных точек, которые образуют тело. При проведении практических вычислений, записанной формулой пользуются в несколько ином виде, который представлен ниже:

I = ∫V(ρ*r2*dV).

Как видно, интегрирование по массе m заменяется на интегрирование по объему V. Здесь греческой буквой ρ обозначена плотность. Если тело является однородным, то ρ будет постоянной величиной, которую можно вынести за знак интеграла. Если же масса неоднородно распределена по телу, то плотность будет функцией параметра r. Записанную формулу удобно использовать при определении I разных тел, потому что расчет выполняется с помощью мысленного деления тела на элементарные объемы dV.

Результаты применения записанного выше равенства для геометрических тел идеальной формы, например, для сферы, цилиндра или стержня, собраны в соответствующие таблицы. В чем измеряется момент инерции? Ниже на рисунке приводятся величины I для некоторых тел. Как видим, все формулы линейно зависят от массы тел и от квадрата геометрического параметра.

В чем измеряется момент инерции тела?

Получив необходимые теоретические сведения для величины I, каждый легко сможет ответить на поставленный вопрос. Действительно, если взглянуть на формулу для I материальной точки, то, отвечая на вопрос о том, в чем измеряется момент осевой инерции, следует ответить, что в килограммах на квадратный метр. Сокращенно эта единица записывается кг*м2. Очевидно, что ту же самую единицу мы получим, если воспользуемся интегральным выражением через объем и плотность.

Отметим, что кг*м2 также можно записать, как м2*кг. Такая форма записи тоже допускается, однако, в практической физике ее не используют.

Поскольку и килограмм, и метр являются системными единицами измерения массы и длины, соответственно, то кг*м2 является также единицей СИ для момента инерции.

Не следует изучаемую единицу путать с другой, которая обозначается, как кг/м2. Хотя ее используют редко, и она не является единицей СИ, тем не менее она позволяет рассчитать соответствующее давление, если ее умножить на ускорение свободного падения.

Пример задачи

Разобравшись, в чем измеряется момент инерции, и как его вычислять, решим следующую задачу: необходимо определить момент инерции Земли, полагая ее материальной точкой.

Для успешного решения этой задачи следует знать всего два параметра: массу планеты и средний радиус ее солнечной орбиты. Оба значения можно посмотреть в соответствующих справочниках. Масса M и радиус орбиты R Земли равны:

M = 5,972*1024 кг;

R = 149,6*109 м.

Воспользовавшись выражением для вычисления инерции момента точки материальной, приходим к следующему результату:

I = M*R2 = 5,972*1024*(149,6*109)2 = 1,34*1047 кг*м2.

Мы получили гигантское значение. Если сравнить его с моментом инерции Земли относительно ее собственной оси, то окажется, что он будет в миллиард раз меньше рассчитанной величины. Таким образом, приближение материальной точки вполне уместно для рассмотренной задачи.

Количественное изучение динамики и кинематики вращательного движения предполагает знание момента инерции материальной точки и твердого тела относительно оси вращения. Рассмотрим в статье, о каком параметре идет речь, а также приведем формулу для его определения.

Общие сведения о физической величине

Сначала дадим определение момента инерции материальной точки и твердого тела, а затем покажем, как его следует использовать при решении практических задач.

Под указанной физической характеристикой для точки, имеющей массу m, которая вокруг оси вращается на расстоянии r, подразумевается следующая величина:

Вам будет интересно:Формулы момента силы для статики и динамики. Работа момента силы

I = m * r².

Откуда следует, что единицей измерения изучаемого параметра являются килограммы на квадратный метр (кг*м²).

Если вместо точки вокруг оси вращается тело сложной формы, которое имеет произвольное распределение массы внутри себя, то его момент инерции определяется так:

I = ∫m(r² * dm) = ρ * ∫V(r² * dV).

Где ρ – плотность тела. С помощью интегральной формулы можно определить величину I для абсолютно любой системы вращения.

Момент инерции имеет точно такой же смысл для вращения, как масса для поступательного движения. Например, каждый знает, что швабру для мытья полов легче всего вращать вокруг оси, проходящей через ее ручку, чем через перпендикулярную ей. Связано это с тем, что момент инерции в первом случае гораздо меньше, чем во втором.

Величина I для тел разной формы

При решении задач по физике на вращение часто необходимо знать момент инерции для тела конкретной геометрической формы, например, для цилиндра, шара или стержня. Если применить записанную выше формулу для I, то несложно получить соответствующее выражение для всех отмеченных тел. Ниже приведены формулы для некоторых из них:

стержень: I = 1 / 12 * M * L²;

цилиндр: I = 1 / 2 * M * R²;

сфера: I = 2 / 5 * M * R².

Здесь приведены I для оси вращения, которая проходит через центр массы тела. В случае цилиндра ось параллельна генератрисе фигуры. Момент инерции для других геометрических тел и вариантов расположения осей вращения можно найти в соответствующих таблицах. Заметим, что для определения I разных фигур достаточно знать всего один геометрический параметр и массу тела.

Теорема Штейнера и формула

Момент инерции можно определить, если ось вращения расположена на некотором расстоянии от тела. Для этого следует знать длину этого отрезка и величину IO тела относительно проходящей через центр его массы оси, которая должна быть параллельна рассматриваемой. Устанавливающая связь между параметром IO и неизвестным значением I закрепляется в теореме Штейнера. Момент инерции материальной точки и твердого тела математически записывается следующим образом:

I = IO + M * h2.

Здесь M – масса тела, h – расстояние от центра массы до оси вращения, относительно которой необходимо вычислить I. Это выражение несложно получить самостоятельно, если воспользоваться интегральной формулой для I и учесть, что все точки тела находятся на расстояниях r = r0 + h.

Теорема Штейнера значительно облегчает определение I для многих практических ситуаций. Например, если необходимо найти I для стержня длиной L и массой M относительно оси, которая проходит через его конец, то применение теоремы Штейнера позволяет записать:

I = IO + M * (L / 2)2 = 1 / 12 * M * L2 + M * L2 / 4 = M * L2 / 3.

Можно обратится к соответствующей таблице и увидеть, что в ней приводится именно эта формула для тонкого стержня с осью вращения на его конце.

Уравнение моментов

В физике вращения существует формула, которая называется уравнением моментов. Выглядит она следующим образом:

M = I * α.

Здесь M – момент силы, α – угловое ускорение. Как видно, момент инерции материальной точки и твердого тела и момент силы линейно связаны друг с другом. Величина M определяет возможность некоторой силы F создать вращательное движение с ускорением α в системе. Для вычисления M пользуются следующим простым выражением:

M = F * d.

Где d – плечо момента, которое равно расстоянию от вектора силы F до оси вращения. Чем меньше плечо d, тем меньшей способностью создать вращение системы будет обладать сила.

Уравнение моментов по своему смыслу полностью соответствует второму закону Ньютона. При этом I играет роль инерционной массы.

Пример решения задачи

Вообразим себе систему, которая представляет собой цилиндр, закрепленный на вертикальной оси с помощью невесомого горизонтального стержня. Известно, что ось вращения и главная ось цилиндра параллельны друг другу, и расстояние между ними равно 30 см. Масса цилиндра составляет 1 кг, а его радиус равен 5 см. На фигуру действует касательная к траектории вращения сила в 10 Н, вектор которой проходит через главную ось цилиндра. Необходимо определить угловое ускорение фигуры, которое будет вызывать эта сила.

Для начала вычислим момент инерции I цилиндра. Для этого следует применить теорему Штейнера, имеем:

I = IO + M *d² = 1 / 2 * M * R² + M * d² = 1 / 2 * 1 * 0,05² + 1 * 0,3² = 0,09125 кг*м².

Прежде чем пользоваться уравнением моментов, необходимо определить момент силы M. В данном случае имеем:

M = F * d = 10 * 0,3 = 3 Н*м.

Теперь можно определить ускорение:

α = M/I = 3/0,09125 ≈ 32,9 рад/с².

Рассчитанное угловое ускорение говорит о том, что каждую секунду скорость цилиндра будет увеличиваться на 5,2 оборота в секунду.

В этой статье

История понятия «инерция»

До эпохи Возрождения, в Средние века, в западной философии общепринятой была аристотелевская теория движения. Ученик Платона, древнегреческий философ Аристотель (384 – 322 гг. до н. э.) утверждал, что в отсутствии внешней силы все объекты остановятся, и что движущиеся объекты продолжают двигаться только до тех пор, пока есть побуждающая к движению сила.

Бюст Аристотеля. Римская копия греческого бронзового оригинала

Это утверждение закономерно вытекало из реальных наблюдений.  При этом Аристотель объяснял движение снарядов, выпущенных из орудия, невидимым действием окружающей среды, которая каким-то образом продолжает двигать снаряд. При этом философ пришел к выводу, что такое движение в пустоте невозможно.

Принцип движения по инерции, который возник у Аристотеля для «движений в пустоте», гласил, что объект имеет тенденцию сопротивляться изменению движения.

Окончательно от аристотелевской теории отказались в ходе ряда открытий, предшествовавших научной революции XVII века.

Портрет Кеплера в 1610 году

Термин «инерция», от латинского слова «безделье» или «лень» (лат. inertia),  был впервые использован немецким математиком и астрономом Иоганном Кеплером (1571 – 1630 гг.) в его книге «Epitome Astronomiae Copernicanae», которая была опубликована в трех частях в 1617–1621 гг. Но Кеплер определял инерцию только как сопротивление движению, основываясь на старом предположении, что покой – это естественной состояние вещей, которое не нужно объяснять и к которому стремятся тела.

Покой и движение объединил единым принципом современник Кеплера Галилео Галилей (1564 — 1642) — итальянский физик, механик, астроном, философ и математик. Он первый, кто направил зрительную трубу в небо, превратив её в телескоп. В 1609 году он создал свой первый телескоп с трёхкратным увеличением. Галилео Галилей писал, что «если устранить все внешние препятствия, то тяжелое тело на сферической поверхности, концентрической Земле, будет поддерживать себя в том состоянии, в котором оно находилось; если его поместить в движение к западу (например), то оно будет поддерживать себя в этом движении».

Чтобы оспорить идею Аристотеля о естественности состояния покоя, Галилей проводил один из таких мысленных экспериментов. Если исключить силу трения, то шар, катящийся по склону оврага (холма), взлетит до той же высоты на противоположной стороне. Если второй склон постепенно наклонять, шар будет катиться все дальше и дальше и в горизонтальном положении склона будет катиться бесконечно долго.

Мысленный эксперимент Галилея

Галилей сделал вывод, что «Тело, движущееся по ровной поверхности, будет продолжать движение в том же направлении с постоянной скоростью, если движение не будет нарушено».

Позднее, мысли Галилея будут уточнены и систематизированы Исааком Ньютоном. Исаак Ньютон (1642 – 1727) — английский физик, математик, механик и астроном, основатель классической физики. В своем труде «Математические начала натуральной философии» (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica), впервые опубликованном в 1687 году, он изложил закон всемирного тяготения и три закона динамики.

Явление инерции, изначально сформулированное Галилеем, вошло в первый закон Ньютона.

Три закона Ньютона

Инерция: взгляды от Аристотеля до Ньютона

Оговоримся, что согласно определению, законы Ньютона справедливы только для систем отсчета (система отсчета – это тело отсчета со связанной с ним системой координат, относительно которого можно вычислять положение тел, и система измерения времени, т.е. некоторые часы), которые принято называть инерциальными. Инерциальная система отсчета – это такая система, в которой ускорение тел зависит только от приложенных сил, а не свойством самой системы отсчета (наблюдателя) перемещаться с ускорением.

Посмотрим на второй закон Ньютона.

Чаще его записывают в виде:

так как в инерциальной системе отсчета сила является причиной ускорения тела.

Как видно из второй формулы, для тела неизменной массы ускорение тела (скорость изменения его скорости) прямо пропорционально силе, приложенной к телу (чем сильнее толкаем, тем быстрее тело разгоняется) и обратно пропорционально его массе (чем тяжелее тело, тем сложнее его разгонять).

Представим, что тело движется в вакууме и на него не действуют никакие силы (F=0). Значит и скорость его меняться не будет (a=0).

Инерция (лат. inertia — покой, постоянство, неизменность) – природное явление сохранения равномерного прямолинейного движения или состояния покоя любого тела, пока на него не действуют внешние силы или если действие сил скомпенсировано.

Инертность – свойство конкретного тела оставаться в покое или равномерно прямолинейно двигаться. От инертности зависит ускорение тела при приложении к нему внешних сил. Мерой количественного измерения инертности тела в прямолинейном движении является его масса. Больше масса – больше инертность тела, т.е. тем сложнее придать ему ускорение (разогнать или остановить).

Тормозной путь грузовика и легковушки

Из-за большей чем у легковушки массы у грузовика инертность выше. Соответственно, и тормозной путь у него будет больше – нужно приложить большую силу, чтоб его остановить (хотя, можно поставить очень мощные тормоза). Говорить, что у грузовика больше инерция – некорректно.

Мерой инертности тела в прямолинейном движении выступает его масса. Больше масса – больше инертность тела.

Инерция, кинетическая энергия, работа

А к какому трюку прибегает фокусник, чтобы в случае со скатертью все предметы остались на столе? Правильно, нужно выдернуть скатерть за наименьшее время. Чем меньше время, тем меньше энергии перейдет с силой трения на предметы и они просто не успеют разогнаться.

Трюк со скатертью

Энергия движущегося тела называется кинетической энергией и измеряется в Джоулях. Если тело неподвижно, кинетическая энергия равна нулю.

Чтобы разогнать тело массой m до нужной скорости V из состояния покоя (например, самолет), нужно выполнить работу, равную кинетической энергии разогнанного тела (без учета разных потерь):

Работа по изменению кинетической энергии тела совершается за счет приложения к нему некоторой силы – силы тяжести, силы трения, силы воздействия на него другого тела (тяжелоатлета-силача, дующего ветра, реактивной тяги ракетного двигателя и пр.).

Пусть силач разогнал до 0.1 м/с (10 сантиметров в секунду) легковую машину массой 1200 кг и самолет Ил-76 массой 88 500 кг в космосе (не будем учитывать силу трения). Тогда для преодоления инерции этих тел ему пришлось сжечь мышечной энергии на 6 Дж и 442,5 Дж соответсвенно. Т.е. на преодоление инерции покоя у самолета у спортсмена уйдет в 74 раза больше энергии, чем на автомобиль.

Чтобы остановить тело массой m, движущееся со скоростью V, нужно совершить обратную работу, равную отрицательному значению кинетической энергии этого тела:

Т.е. чем больше скорость тела и его масса, тем больше энергии на преодоление инерции движения надо затратить.

Если выключить мотор, машина под действием силы трения ее движущихся частей друг о друга, силы трения о воздух корпуса и силы трения колес об асфальт остановится сама. Но остановить машину можно и быстрее, увеличив силу трения с помощью тормозных дисков, т.е. выжав педаль тормоза.

При равной скорости масса грузовика намного больше, а значит больше его кинетическая энергия. Двигаясь накатом грузовик остановится дальше, чем легковой автомобиль – его инертность выше. Кстати, можно ли остановить грузовик быстрее легкового автомобиля и при каких условиях?

Инерция проявляется не только для прямолинейного движения, но и при вращении тел. В двигателе есть специальное устройство – маховик (на рисунке справа маховик покрашен темно-серым цветом и имеет зубчики). Инерция его вращения помогает работать двигателю нормально. Энергия расширяющихся газов при воспламенении топлива толкает поршень вниз, а затем ему нужно идти вверх, выталкивая продукты сгорания. Без маховика поршень не смог бы провернуть коленвал без рывков. Двигатель без маховика заглохнет.

Ну а со спинерами и волчками знакомы многие.

Вот только в приведенных примерах форма тела не меняется. А изменится ли инертность тела при изменении его формы?

Вращение на фигурном катании

Многие могут вспомнить фигурное катание. Масса тела фигуриста за выступление не меняется. Но его скорость вращения мгновенно увеличивается, стоит прижать руки и ноги, и вытянуться в струнку. Т.е. при уменьшении радиуса тела скорость вращения увеличивается. Т.е. инертность тела должна уменьшиться? Давайте разбираться.

Вернемся к формулам. Скорость вращающегося тела описывается как произведение угловой скорости (омега) на радиус:

При этом кинетическая энергия вращающегося тела примет вид:

Синим цветом выделено произведение массы тела на радиус в квадрате. Эта величина называется моментом инерции вращающегося тела и обозначается латинской буквой I (и).

Мерой инертности вращающего тела выступает момент инерции, который зависит от массы тела и расстояния этой массы от центра вращения.

Представим, что девочка не только вращает груз над собой, но и идет. Тогда полная кинетическая энергия девочки с грузом примет вид:

Первая часть описывает кинетическую энергию двигающейся прямолинейно с некоторой скоростью девочки с грузом, а вторая – кинетическую энергию вращающегося груза. Полная кинетическая энергия — это сумма энергии прямолинейно движущегося тела и энергии вращающегося тела. Точно так же кинетическая энергия будет рассчитываться для движущегося по столу раскрученного волчка или съезжающего с наклонной плоскости цилиндра.

Так как вращающееся тело может иметь форму, отличную от точки или маленького шарика, то и формула момента инерции для более точных расчетов может принимать разный вид.

Некоторые формулы для расчета момента инерции для тел разной формы

Цилиндры одинаковой массы (m1 = m2), но разного радиуса (r1 < r2), скатываются с горки высотой h. Какой цилиндр скатится быстрее? Какое из тел обладает меньшей инертностью?

Цилиндры одинаковой массы, но разного радиуса, скатываются с горки высотой h

В верхней точке кинетическая энергия обоих цилиндров будет равна нулю, так как скорость равна нулю. Потенциальная энергия будет одинаковой и максимальной.

Потенциальная и кинетическая энергия 1 и 2 цилиндра верхней точке

При скатывании цилиндров по закону сохранения энергии потенциальная энергия переходит в кинетическую и в самой нижней точке будет равна нулю, так как высота равна нулю. А кинетическая энергия в нижней точке будет складываться из поступательной кинетической энергии и кинетической энергии вращающегося тела и у обоих тел также будет одинаковой, так как их потенциальные энергии были равны.

Кинетическая энергия первого и второго цилиндра в нижней точке

Но так как радиус первого тела меньше второго, то и момент инерции первого тела меньше второго и будет справедливо:

Тогда для кинетической энергии поступательного движения будет справедливо отношение:

Следовательно, скорость первого цилиндра должна быть выше скорости второго, и он скатится быстрее. Так как мерой инертности вращающегося тела является момент инерции, то первое тело с меньшим радиусом и меньшим моментом инерции будет обладать меньшей инертностью, чем второе. Разогнаться под действием каких-либо сил (силы тяжести) такому телу проще.

Вопросы

1. Посмотри на картинку с формулами для расчета момента инерции для тел разной формы. Как ты думаешь, какая формула лучше подходит для расчёта момента инерции маховика автомобиля. Варианты ответа: a, b, c, d, e, f, g, h, или i

2. Два волчка одинаковой массы раскрутили до одинаковой угловой скорости, но диаметр первого волчка меньше диаметра второго. Какой из них упадет раньше?

3. На рисунке показаны три варианта конструкции. Какой вариант машинки имеет наименьшую инертность, а какой максимальную? Почему?

Что такое инерция?

Инерция в физике – способность тел определенное время сохранять состояние движения при отсутствии действия внешних сил. Впрочем, понятие инерции имеет частое применение не только в физике, но и в нашей повседневной жизни. Так обычно «инертным» называют человека, который совершенно не проявляет никакой инициативы, делают только то, что ему скажут другие, и делает это крайне медленно, без какого-либо энтузиазма. «Движется по инерции», – говорим мы, когда хотим подчеркнуть, что что-то делается без какого-либо смысла, а просто потому, что так было заведено когда-то или в силу наработанной годами привычки. И если с понятием инерции все более-менее понятно, благодаря таким вот житейским примерам, то термин «момент инерции» требует более детального пояснения, чем мы и займемся в нашей статье.

Определение момента инерции

Со школьной программы по физике мы прекрасно знаем, что масса тела является мерой его инертности. Например, если в супермаркете сильно толкнуть две тележки, одна из которых будет пустой, а вторая нагруженной разными товарами, то впоследствии остановить будет труднее тележку, нагруженную товарами в силу ее большей массы. Другими словами, чем больше у тела масса, тем большее на него воздействие инерции и тем больше нужно сил, чтобы изменить движение такого тяжелого тела.

В приведенном примере тележка движется по прямой линии, то есть иными словами совершает поступательное движение. И если при поступательном движении какого-либо теле его масса является мерой его инерции, то при вращательном движении тела вокруг своей оси мерой его инерции будет величина, которая собственно и называется – момент инерции.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при его вращении вокруг оси. Обычно обозначается буквой J и измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр. Такое академическое определение того, что такое момент инерции.

Как рассчитать точное значение момента инерции? Для этого есть общая формула, помогающая физикам определять момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно маленькие кусочки с массой dm, то момент инерции будет равным сумме произведения этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения. Формула будет иметь такой вид:

J – момент инерции, r – расстояние до оси вращения.

Для материальной точки массы m, которая вращается вокруг оси на расстоянии r, данная формула будет иметь такой вид:

Теорема Гюйгенса – Штейнера

Говоря о моменте инерции невозможно не упомянуть о теореме двух математиков Гюйгенсе и Штейнере, которые дали формулировку определению характеристики параллельных осей.

Теорема Гюйгенса – Штейнера гласит: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Если записать вышесказанное математической формулой, то получится следующее:

Где d – расстояние между осями

Эта теорема значительно облегчает решения многих физических задач, связанных с инерцией. К примеру, у Вас имеется объект произвольной формы, центробежная сила которого известна. При помощи формулы Штейнера можно вычислить момент инерции тела относительно любой оси параллельной линии, которая проходит через середину фигуры.

Моменты инерции простейших объектов

Несмотря на внешнюю простоту, вычисление моментов инерции для разных предметов предполагает знание интегралов, этих важных инструментов высшей математики. Для упрощения задачи создана таблица с вычислениями инерции для простых геометрических фигур: круга, квадрата, цилиндра и т. д.

Так выглядят математические расчеты вычисления моментов инерции для круга и кольца.

Аналогичным образом будет рассчитываться момент инерции цилиндра.

Предлагаем вашему вниманию более детальную таблицу с формулами для расчета момента инерции для основных геометрических фигур: шара, сферы, диска, цилиндров, и т. д.

Рекомендованная литература и полезные ссылки

• Тарг С. М. Момент инерции // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1992. — Т. 3. — С. 206—207. — 672 с. — 48 000 экз. — ISBN 5-85270-019-3.
• Showman, Adam P.; Malhotra, Renu. The Galilean Satellites (англ.) // Science. — 1999. — Vol. 286, no. 5437. — P. 77—84. — DOI:10.1126/science.286.5437.77. — PMID 10506564.
• Margot, Jean-Luc; et al. Mercury’s moment of inertia from spin and gravity data (англ.) // Journal of Geophysical Research (англ.)русск. : journal. — 2012. — Vol. 117. — DOI:10.1029/2012JE004161.
• Галкин И.Н. Внеземная сейсмология. — М.: Наука, 1988. — С. 42-73. — 195 с. — (Планета Земля и Вселенная). — 15 000 экз. — ISBN 502005951X.
• Трофимова Т. И. Курс физики. — 7-е изд. — М.: Высшая школа, 2001. — 542 с.
• Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с.
• Яворский Б. М., Детлаф А. А. Физика для школьников старших классов и поступающих в вузы: учебное пособие — М.: Дрофа, 2002, 800с. ISBN 5-7107-5956-3

Видео

И в завершение образовательное видео по теме нашей статьи.

Эта статья доступна на английском языке – Moment of Inertia.

Схожі записи

Рассмотрим материальную точку массой m, которая находится на расстоянии r, от неподвижной оси (рис. 26). Моментом инерции J материальной точки относительно оси называется скалярная физическая величина, равная произведению массы m на квадрат расстояния r до этой оси:

J = mr2 (75)

Момент инерции системы N материальных точек будет равен сумме моментов инерции отдельных точек:

К определению момента инерции точки.

Если масса распределена в пространстве непрерывно, то суммирование заменяется интегрированием. Тело разбивается на элементарные объемы dv, каждый из которых обладает массой dm.

В результате получается следующее выражение:

Для однородного по объему тела плотность ρ постоянна, и записав элементарную массу в виде:

dm = ρdv, преобразуем формулу (70) следующим образом:

Размерность момента инерции – кг*м2.

Момент инерции тела является мерой инертности тела во вращательном движении, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности при поступательном движении.

Момент инерции — это мера инертных свойств твердого тела при вращательном движении, зависящая от распределения массы относительно оси вращения. Иными словами, момент инерции зависит от массы, формы, размеров тела и положения оси вращения.

Всякое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает моментом инерции относительно любой оси, подобно тому, как тело обладает массой независимо от того, движется оно или находиться в покое. Аналогично массе момент инерции является величиной аддитивной.

В некоторых случаях теоретический расчёт момента инерции достаточно прост. Ниже приведены моменты инерции некоторых сплошных тел правильной геометрической формы относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Момент инерции бесконечно плоского диска радиуса R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска:

Момент инерции шара радиуса R:

Момент инерции стержня длиной L относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно ему:

Момент инерции бесконечно тонкого обруча радиуса R относительно оси, перпендикулярной его плоскости:

Момент инерции тела относительно произвольной оси рассчитывается с помощью теоремы Штейнера:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Рассчитаем при помощи теоремы Штейнера момент инерции стержня длиной L относительно оси, проходящей через конец перпендикулярно ему (рис. 27).

К расчету момента инерции стержня

Согласно теореме Штейнера, момент инерции стержня относительно оси O′O′ равен моменту инерции относительно оси OO плюс md2. Отсюда получаем:

Очевидно: момент инерции неодинаков относительно разных осей, и поэтому, решая задачи на динамику вращательного движения, момент инерции тела относительно интересующей нас оси каждый раз приходится искать отдельно. Так, например, при конструировании технических устройств, содержащих вращающиеся детали (на железнодорожном транспорте, в самолетостроении, электротехнике и т. д.), требуется знание величин моментов инерции этих деталей. При сложной форме тела теоретический расчет его момента инерции может оказаться трудно выполнимым. В этих случаях предпочитают измерить момент инерции нестандартной детали опытным путем.

Момент силы F относительно точки O

Динамика твердого тела

В механике под твердым телом понимают систему материальных точек, расстояние между любыми двумя точками которого в процессе движения остается неизменным. Поэтому все результаты, полученные в предыдущих темах (“Динамика материальной точки”, “Закон сохранения импульса”, “Закон сохранения энергии” и “Закон сохранения момента импульса”) для системы материальных точек, применимы и к твердому телу.

Момент инерции – это величина, зависящая от распределения масс в теле и являющаяся, наряду с массой, мерой инертности тела при непоступательном движении. При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси момент инерции тела относительно этой оси определяется выражением

– элементарные массы тела;

– их расстояния от оси вращения.

Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением. Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции сводится к вычислению интеграла

– масса элемента тела, находящегося на расстоянии

от интересующей нас оси. Интегрирование должно производиться по всему объему тела.

Аналитическое вычисление таких интегралов возможно только в простейших случаях тел правильной геометрической формы.

Если известен момент инерции тела относительно какой-либо оси, можно найти момент инерции относительно любой другой оси, параллельной данной. Используя теорему Штейнера, согласно которой момент инерции тела

относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела

и параллельной данной оси, и произведения массы тела т на квадрат расстояния между осями

Вычисление момента инерции тела относительно оси часто можно упростить, вычислив предварительно момент инерции относительно точки. Сам по себе момент инерции тела относительно точки не играет никакой роли в динамике. Он является чисто вспомогательным понятием, служащим для упрощения вычислений.

Рассмотрим некоторую точку твердого тела массой

и с координатами

Квадраты расстояний ее до координатных осей

а моменты инерции относительно тех же осей

Сложив эти равенства и просуммировав по всему объему тела

Из этого выражения можно получить связь между моментами инерции плоского тела, относительно осей

. Пусть масса плоского тела сосредоточена в плоскости

Отметим некоторые свойства момента инерции, отличающие его от массы. Во-первых, момент инерции зависит от геометрических размеров тела. Это свойство момента инерции демонстрирует фигурист на льду, когда, прижимая руки к телу, он уменьшает свой момент инерции, что приводит к увеличению скорости вращения спортсмена в соответствии с законом сохранения момента импульса (4.10). Во-вторых, значение момента инерции зависит от выбора оси, относительно которой он вычисляется.

Момент инерции представляет собой, таким образом, важную величину, и нужно уметь определять её относительно произвольной оси вращения. Отметим, что в определении момента инерции (4.8) вычисления будут тем более точными, чем на большее число материальных точек можно разбить сумму в выражении (4.8). В пределе это означает переход к интегрированию:

В формуле (4.11) r – это расстояние от выделенного элемента тела массой dm до оси вращения.

В качестве примера вычислим момент инерции однородного диска радиуса R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр. Выделим на диске кольцевой слой толщиной dr. Все точки этого слоя будут находиться на одинаковом расстоянии r от оси вращения, и выражение под знаком интеграла запишется в виде

где r – плотность материала диска, b – толщина диска (рис. 4.3).

Рисунок 4.3 – Однородный диск радиуса R

Подставим выражение (4.12) в выражение (4.11) и проинтегрируем по r. В результате получим:

Теперь учтём в выражении (4.13), что масса всего диска равна произведению плотности r на объём диска bp R2, и окончательно получим:

Вычислить момент инерции тела относительно произвольной оси, даже не проходящей через тело, позволяет теорема Штейнера, согласно которой момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

Вычислим момент инерции того же диска относительно оси O¢O¢, проходящей через образующую диска (рис. 4.3). В соответствии с теоремой Штейнера, момент инерции диска относительно оси O¢O ¢ будет равен

Отметим, что прямое вычисление момента инерции диска относительно оси O¢O¢ по формуле (4.11) представляет собой более трудную задачу, чем та, которую мы решили.

Определение:Моментом
инерции материальной точки относительно
неподвижной оси называется скалярная
физическая величина, являющаяся мерой
инертности этой точки при вращательном
движении и, равная произведению её массы
на квадрат расстояния до оси,
т.е.

Определение:Моментом
инерции системы материальных точек
относительно неподвижной оси называется
скалярная физическая величина, являющаяся
мерой инертности этой системы при
вращательном движении и, равная
алгебраической сумме произведений масс
всех материальных точек системы на
квадрат их расстояний до оси,
т.е.

Момент
инерции определен только относительно
оси.

В случае непрерывного распределения
масс с плотностью сумма за­менится
на интеграл по всему объему тела:

Найдем моменты инерции для простейших
(геометрически правильных) форм твердого
тела, масса которого равномерно
распределена по объему, т.е.

1. Момент инерции
обручаотносительно оси, перпендикулярной
к его плоскости и проходящей через его
центр.

Обруч считается бесконечно тонким, т.е.
толщиной обода можно пре­небречь по
сравнению с радиусом R..
Поскольку в этой системе все массы
находятся на одинаковом расстоянии от
оси вращения, R2можно вынести из-под знака интеграла:

,
гдеm— полная масса обруча.

2. Момент инерции
дискаотносительно оси, перпендикулярной
его плоскости и проходящей через центр.
Диск считается бесконечно тонким, т.е.
его толщина много меньше ра­диуса
R.Момент инерции,
согласно определению, величина аддитивная:
момент инерции целого тела равен сумме
моментов инерции его частей. Разобьем
диск на бесконечно тонкие обручи радиусомsи толщинойds
(См.рис.).

Момент инерции диска относительно
перпендикулярной оси, проходящей через
центр.

Площадь поверхности обруча равна
произведению его длины на толщину: 2

s
ds.Поскольку массатдиска распределена равномерна, масса
обручаdmпропорциональна площади его поверхности:

Момент инерции обруча мы уже знаем:

. Осталось просуммировать моменты
инерции всех таких обручей:

Такой же результат получится и для
момента инерции цилиндра конеч­ной
длины относительно его продольной оси.

3. Момент инерции
шараотносительно его диаметра.
Поступим аналогичным образом: “нарежем”
шар на бесконечно тон­кие диски
толщинойdz.находящиеся на расстоянииzот центра (См.рис.).

Момент инерции шара относительно
диаметра.

Радиус такого диска равен

. Массу дискаdmнаходим, разде­лив массу шаратна его объем

, умножив на объем диска:

Момент инерции диска был найден выше.
В применении к данному слу­чаю, он
равен:

Момент инерции шара находится
интегрированием по всем таким дискам:

4.Момент инерции
тонкого стержняотносительно оси,
проходящей через его середину
перпендикулярно стержню.

Пусть стержень имеет длину
ℓ.Направим осьxвдоль стержня. Начало координат по
условию находится в центре стрежня.
Возьмем эле­мент стержня длинойdx.находящийся на расстоянииxот оси враще­ния. Его масса равна

dm
= (m/ℓ)
dx,а момент инерцииdJ=(m/ℓ)
x2

dx.
Отсюда находим момент инерции стрежня:

Момент инерции величина аддитивная,
т.е. суммарный момент инерции системы
тел относительно какой-либо оси, равен
сумме моментов инерции каждого из тел
данной системы относительно той же оси:

Физический смысл момента инерции:Инерционные свойства при поступательном
движении характеризуются только массой
тела, т.е. зависит только от массы.
Инерционные свойства при вращательном
движении характеризуются моментом
инерции, т.е. зависят от его массы,
расстояния до оси вращения и расположению
теда по отношению к этой оси. Последнее
означает, что относительно двух разных
осей инерционные свойства вращательного
движения одного и того же движения тела
будут разными. Пример.

Момент
инерции — скалярная (в
общем случае — тензорная) физическая
величина,
мера инертности во вращательном
движении вокруг
оси, подобно тому, как масса тела является
мерой его инертности в поступательном
движении. Характеризуется распределением
масс в теле: момент инерции равен сумме
произведений элементарных масс на
квадрат их расстояний до базового
множества (точки, прямой или плоскости).

2.
Физический смысл момента инерции.
Произведение момента инерции тела на
его угловое ускорение равно сумме
моментов всех сил, приложенных к телу.
Сравните. Вращательное движение.
Поступательное движение. Момент инерции
представляет собой меру инерции тела
во вращательном движении

Например,
момент инерции диска относительно оси
О’ в соответствии с теоремой Штейнера:

Теорема
Штейнера: Момент инерции I относительно
произвольной оси равен сумме момента
инерции I0 относительно оси, параллельной
данной и проходящей через центр масс
тела, и произведения массы тела m на
квадрат расстояния d между осями :

Момент импульса твердого тела. Вектор угловой скорости и вектор момента импульса. Гироскопический эффект. Угловая скорость прецессии

Момент
импульса твердого тела относительно
оси есть сумма моментов импульса
отдельных частиц, из которых состоит
тело относительно оси. Учитывая, что

Если
сумма моментов сил, действующих на тело,
вращающееся вокруг неподвижной оси,
равна нулю, то момент импульса сохраняется
(закон сохранения
момента импульса):

.
Производная момента импульса твердого
тела по времени равна сумме моментов
всех сил, действующих на тело:

угловую
скорость как вектор, величина которого
численно равна угловой скорости, и
направленный вдоль оси вращения, причем,
если смотреть с конца этого вектора, то
вращение направлено против часовой
стрелки.
Исторически сложилось2,
что положительным направлением вращения
считается вращение «против часовой
стрелки», хотя, конечно, выбор этого
направления абсолютно условен.
 Для
определения направления вектора угловой
скорости можно также воспользоваться
«правилом буравчика» (которое также
называется «правилом правого винта»)
− если направление движения ручки
буравчика (или штопора) совместить с
направлением вращения, то направление
движения всего буравчика совпадет с
направлением вектора угловой скорости.

Вращающееся
тело ( колесо мотоцикла ) стремиться
сохранять положение оси вращения в
пространстве неизменным .( гироскопический
эффект )
Поэтому
возможно движение на 2-х колёсах, но не
возможно стояние на двух колёсах
Этот
эфект используется в корабельных и
танковых системах наведения орудий. (
корабль качается на волнах, а орудие
смотрит в одну точку ) 
В
навигации и др.

Наблюдать
прецессию достаточно просто. Нужно
запустить волчок и
подождать, пока он начнёт замедляться.
Первоначально ось вращения волчка
вертикальна. Затем его верхняя точка
постепенно опускается и движется по
расходящейся спирали.
Это и есть прецессия оси волчка.

Главное
свойство прецессии — безынерционность:
как только сила,
вызывающая прецессию волчка, пропадёт,
прецессия прекратится, а волчок займёт
неподвижное положение в пространстве.
В примере с волчком этого не произойдет,
поскольку в нём вызывающая прецессию
сила — гравитация Земли —
действует постоянно.

19.
Идеальная и вязкая жидкость. Гидростатика
несжимаемой жидкости. Стационарное
движение идеальной жидкости. Уравнение
Бирнулли.

Идеальной
жидкостью назвается
воображаемая несжимаемая
жидкость,
в которой отсутствуют вязкость,
внутреннее трение и теплопроводность.
Так как в ней отсуствует внутреннее
трение, то нет касательных
напряжений между
двумя соседними слоями жидкости.

вязкая
жидкость характеризуется
наличием сил трения, которые возникают
при ее движении.
вязкой
наз. жидкость,
в которой при движении кроме нормальных
напряжений наблюдаются и касательные
напряжения

Рассматриваемые
в Г. ур-ния относит. равновесия несжимаемой
жидкости в поле сил тяжести (относительно
стенок сосуда, совершающего движение
по нек-рому известному закону, напр.
поступательное или вращательное) дают
возможность решать задачи о форме
свободной поверхности и о плескании
жидкости в движущихся сосудах – в
цистернах для перевозки жидкостей,
топливных баках самолётов и ракет и т.
п., а также в условиях частичной или
полной невесомости на космич. летат.
аппаратах. При определении формы
свободной поверхности жидкости,
заключённой в сосуде, кроме сил
гидростатич. давления, сил
инерции и
силы тяжести необходимо учитывать
поверхностное натяжение жидкости. В
случае вращения сосуда вокруг вертик.
оси с пост. угл. скоростью свободная
поверхность принимает форму параболоида
вращения, а в сосуде, движущемся
параллельно горизонтальной плоскости
поступательно и прямолинейно с пост.
ускорением а,
свободной поверхностью жидкости является
плоскость, наклонённая к горизонтальной
плоскости под углом