4. Примеры решения задач

9 класс. 53 урок.

Сила Ампера является главной составляющей закона Ампера — закона о взаимодействии электрических токов. В нём говорится, что в параллельных проводниках, в которых электрические токи текут в одном направлении, возникает сила притягивания. А в тех проводниках, в которых электрические токи текут в противоположных направлениях, возникает сила отталкивания. Также законом Ампера называют закон, который определяет силу действия магнитного поля не небольшую часть проводника, по которой протекает ток.В данном случае она определяется как результат умножения плотности тока, который идёт по проводнику, на индукцию магнитного поля, в котором проводник находится.

Задача 1 Определить силу, с которой однородное магнитное поле действует на проводник длиной 20 см, если сила тока в нем 300 мА, расположенный под углом 45 градусов к вектору магнитной индукции. Магнитная индукция составляет 0,5 Тл.

Задача 2 Проводник с током 5 А находится в магнитном поле с индукцией 10 Тл. Определить длину проводника, если магнитное поле действует на него с силой 20Н и перпендикулярно проводнику.

Задача 3 Определить силу тока в проводнике длиной 20 см, расположенному перпендикулярно силовым линиям магнитного поля с индукцией 0,06 Тл, если на него со стороны магнитного поля действует сила 0,48 Н.

Задача 4 Проводник длиной 20см с силой тока 50 А находится в однородном магнитном поле с индукцией 40 мТл. Какую работу совершит источник тока, если проводник переместится на 10 см перпендикулярно вектору магнитной индукции (вектор магнитной индукции перпендикулярен направлению тока в проводнике).

Индукция магнитного поля

Проводник с электрическим током всегда порождает магнитное поле. Для его описания используются различные величины, одной из которых является индукция. Рассмотрим это понятие подробнее.

Обнаружить магнитное поле можно по действию на движущиеся заряды или на проводник с током. При этом можно видеть, что направление возникающей силы зависит от направления электрического тока.

Рис. 1. Взаимодействие двух проводников с током.

Таким образом, можно ввести силовую характеристику магнитного поля – векторную величину индукции магнитного поля $overrightarrow B$. Модуль этой величины будет характеризовать силу, с которой магнитное поле действует на ток (интенсивность), а векторный характер – направление.

Направление магнитной индукции

Магнитные силы, как и любые другие силы, имеют направление. Для его определения служат специальные правила.

Правило буравчика

Согласно этому правилу, если направление поступательного движения острия буравчика при ввинчивании совпадает с направлением тока в проводнике, то направление вращательного движения буравчика в каждой точке совпадает с направлением вектора индукции магнитного поля.

Рис. 2. Правило буравчика.

Правило обхвата правой рукой

Приведенное правило зачастую недостаточно понятно из-за того, что буравчик в современном мире используется нечасто. Поэтому гораздо удобнее применять правило охвата правой рукой: если большой палец правой руки указывает направление тока, то остальные пальцы будут показывать направление магнитных линий.

Данное правило удобнее еще и потому, что его можно применять и для определения направления магнитной индукции катушки с током, в этом случае четыре пальца направляются вдоль витков катушки, в направлении тока в них, а большой палец укажет направление вектора магнитной индукции. То есть, большой палец в обоих случаях указывает на прямую линию, а остальные пальцы – на охватывающую.

Рис. 3. Правило обхвата правой рукой.

Модуль магнитной индукции

Закон, определяющий силу, с которой магнитное поле действует на проводник с током, был открыт А.Ампером. Согласно этому закону, сила, действующая на проводник, пропорциональна силе тока в проводнике, его длине и модулю магнитной индукции:

Максимальная сила соответствует перпендикулярному расположению линий магнитной индукции и тока. Зная эту силу, можно получить формулу индукции магнитного поля:

Из этой же формулы можно получить единицу измерения магнитной индукции – Тесла:

то есть, индукция силой 1 тесла – эта индукция, которая действует на проводник с силой тока 1 Ампер длинной 1 метр с силой 1 Ньютон.

1 Тл – это очень сильное магнитное поле. Обычное магнитное поле Земли имеет значение около 0,05 мТл. Индукция поля бытового магнита из защелок составляет около 5 мТл. Самое сильное магнитное поле, с которым может столкнуться обычный человек – это сила поля МРТ-томографа. Здесь значение индукции может доходить до 3 Тл !

Что мы узнали?

Индукция магнитного поля – это векторная величина, характеризующую интенсивность поля. Чем выше индукция, тем с большей силой поле действует на проводник с током. Направление магнитной индукции определяется правилом буравчика или правилом обхвата правой руки.

Тест по теме

Чтобы попасть сюда – пройдите тест.

Оценка доклада

А какая ваша оценка?

Направление вектора магнитной индукции

Направлением вектора магнитной индукции считают направление, которое показывает северный полюс магнитной стрелки, которая может свободно устанавливаться в магнитном поле. Аналогичное направление имеет положительная нормаль к замкнутому контуру, по которому течет ток. Положительная нормаль имеет направление, совпадающее с направлением перемещения правого винта (буравчика), если его вращают по направлению тока в контуре. При использовании рамки с током или магнитной стрелки можно определить направление вектора

Если магнитное поле создает прямой проводник с током, то магнитная стрелка в любой точке этого поля устанавливается по касательной к окружности, плоскость которой перпендикулярна проводнику, центр находится на оси провода. Направление вектора

определяют при помощи правила правого винта (правила буравчика), которое говорит о том, что если поступательное перемещение буравчика совпадает с направлением течения тока в проводнике, то вращение головки винта совпадает с направлением вектора магнитной индукции.

Величина (модуль) вектора магнитной индукции

Магнитное поле оказывать действие на каждый участок проводника с током. Используя силу, действующую на проводник с током (силу Ампера), определяют величину вектора магнитной индукции магнитного поля. Так, модуль вектора

равен частному от деления максимальной силы Ампера

, с которой магнитное поле оказывает воздействие на отрезок проводника с током (I) к произведению силы тока на длину проводника

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца. По величине ее воздействия на заряд также можно установить модуль вектора

– модуль силы Лоренца; q – заряд частицы, движущейся со скоростью v в магнитном поле;

– это угол между векторами

связаны между собой правилом левой руки.

Формулой, которая определяет величину вектора магнитной индукции в конкретной точке магнитного поля можно считать следующее выражение:

– максимальный вращающий момент, действующий на рамку, которая обладает магнитным моментом

, равным единице, если нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля.

Основные формулы, которые служат для вычисления вектора магнитной индукции

Данный закон предоставляет нам возможность вычислить вектор магнитной индукции (

где I – сила тока;

– вектор элементарный проводник по модулю он равен длине проводника, при этом его направление совпадает с направлением течения тока;

– радиус-вектор, который проводят от элементарного проводника к точке, в которой находят поле;

– магнитная постоянная. Вектор

является перпендикулярным к плоскости, в которой расположены

Для однородного и изотропного магнетика, заполняющего пространство, вектор магнитной индукции в вакууме(

) и в веществе (

– относительная магнитная проницаемость вещества.

Принцип суперпозиции

Магнитная индукция поля (

), которое является наложением нескольких полей, находится как векторная сумма магнитных индукций отдельных полей (

Теорема о циркуляции

В однородном и изотропном веществе циркуляция вектора индукции магнитного поля по любому контуру L равна:

– сумма токов проводимости с учетом их знака, которые охвачены рассматриваемым контуром;

– магнитная проницаемость вещества. В том случае, если направление обхода контура связано с направлением течения тока при помощи правила правого винта, то ток считают положительным.

В случае непрерывного распределения тока по поверхности S силу тока вычисляют при помощи выражения:

равен по модулю площади элемента поверхности

– плотность тока.

Примеры частных случаев формул для нахождения вектора магнитной индукции см. раздел «Магнитная индукция формула»

Закон Био-Савара-Лапласа в магнитостатике – примерно то же самое, что и закон Кулона в электростатике. С помощью этого закона определяется индукция магнитного поля, созданного постоянным электрическим током. В сегодняшней статье разберем несколько примеров решения задач по магнитостатике на применение закона Био-Савара-Лапласа.

Присоединяйтесь к нам в телеграме, чтобы вовремя получать полезную рассылку и актуальные новости. А еще, не пропустите приятные скидки и акции на нашем втором канале.

Закон Био-Савара-Лапласа

В нашем блоге есть материалы, которые помогут справиться с задачами по разным темам:

Задача на закон Био-Савара-Лапласа №1

Прямой провод согнут в виде квадрата со стороной а=8 см. Какой силы ток надо пропустить по проводнику, чтобы напряженность магнитного поля в точке пересечения диагоналей была 20 А/м?

Согласно принципу суперпозиции напряженность магнитного поля в точке пересечения диагоналей квадрата будет равна сумме напряженностей, которые создают стороны. Поскольку стороны одинаковые, то:

Будем использовать формулу для магнитной индукции поля, создаваемого отрезком прямого провода с током (выводится из закона Био-Савара-Лапласа):

Тогда для напряженности в точке пересечения диагоналей получим:

Отсюда можем выразить ток:

Ответ: 1,78 А.

Задача на закон Био-Савара-Лапласа №2

Используя закон Био-Савара-Лапласа, определите магнитную индукцию в вакууме B поля в центре кругового проводника радиусом 10 см, если сила тока в проводнике равна 5 A.

Модуль магнитной индукции в центре кругового тока вычисляется по формуле:

Ответ: 0,31 мкТл.

Задача на закон Био-Савара-Лапласа №3

Используя закон Био-Савара-Лапласа выведите формулу для индукуии из предыдущей задачи.

Пусть ток идет по тонкому проводу в форме окружности, имеющей радиус R.

Разобъем провод на бесконечно малые элементы dl. Каждый такой элемент создает в центре окружности индукцию dB, направленную вдоль положительной нормали к контуру. По закону Био-Савара-Лапласа:

Угол альфа между векторами r и Idl равен 90 градусам, а r=R. Тогда, можно записать:

Интегрируя это выражение по контуру, получим:

Задача на закон Био-Савара-Лапласа №4

По квадратной рамке со стороной a=0,2 м течет ток 4 А. Определить напряженность и индукцию магнитного поля в центре рамки.

Будем рассматривать каждую из четырех сторон рамки, как отдельный проводник, создающий в ее центре магнитную индукцию. Направление векторно-магнитной индукции определяется по правилу правого винта: все векторы направлены в одну сторону, перпендикулярно рамке.

Найдем индукцию, создаваемую одной стороной рамки:

По принципу суперпозиции, запишем формулу для общей индукции в центре рамки и вычислим:

Ответ: 22,6 мкТл.

Задача на закон Био-Савара-Лапласа №5

Проводник согнут в виде правильного треугольника со стороной а=20 см. Какой ток протекает по периметру треугольника, если в его центре напряженность поля равна Н = 71,64 А/м?

Условно разбиваем проводник на три проводника, каждый из которых создает магнитное поле. По закону Био – Савара – Лапласа элемент контура dl, по которому течет ток I, создает в некоторой точке А пространства магнитное поле напряженностью:

r – расстояние от точки А до элемента тока dl, α – угол между радиус-вектором и элементом тока dl. Напряженность магнитного поля в точке О будет равна:

Теперь выражение для напряженности можно переписать в следующем виде:

Из рисунка видно, что угол α1 равен 30 градусам, а угол α2 = 150. Очевидно, что результирующая напряженность:

Отсюда найдем ток:

Ответ: 10 А.

Вопросы на закон Био-Савара-Лапласа

Вопрос 1. Сформулируйте закон Био-Савара-Лапласа

Ответ. Закон Био-Савара-Лапласа гласит:

Магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма (суперпозиция) полей, создаваемых отдельными элементарными участками тока.

Элементарный участок dl с током I создает магнитную индукцию:

Здесь альфа — угол между радиусом-вектором и направлением тока в проводнике.

Вопрос 2. Что такое магнитная индукция?

Ответ. Магнитная индукция — векторная физическая величина, силовая характеристика магнитного поля. Определяет, с какой силой поле действует на заряд, движущийся в нем.

Вопрос 3. Сформулируйте теорему о циркуляции магнитной индукции.

Ответ. Циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру, охватывающему токи, прямо пропорциональна алгебраической сумме токов, пронизывающих этот контур:

Вопрос 4. Как определяется направление вектора магнитной индукции?

Ответ. Направление вектора магнитной индукции определяется по правилу буравчика (правого винта):

Направление вращения головки винта дает направление вектора магнитной индукции, поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.

Вопрос 5. Что такое напряженность магнитного поля?

Ответ. Напряженность — векторная физическая величина, равная разности вектора магнитной индукции B и вектора намагниченности M. Связана с индукцией формулой:

Нужна помощь в решении задач и выполнении других заданий? Профессиональный сервис для учащихся всегда к вашим услугам.

Магнитное поле

Магнитное поле – особая форма материи, существующая вокруг движущихся электрических зарядов – токов.

Источниками магнитного поля являются постоянные магниты, проводники с током. Обнаружить магнитное поле можно по действию на магнитную стрелку, проводник с током и движущиеся заряженные частицы.

Для исследования магнитного поля используют замкнутый плоский контур с током (рамку с током).

Впервые поворот магнитной стрелки около проводника, по которому протекает ток, обнаружил в 1820 году Эрстед. Ампер наблюдал взаимодействие проводников, по которым протекал ток: если токи в проводниках текут в одном направлении, то проводники притягиваются, если токи в проводниках текут в противоположных направлениях, то они отталкиваются.

Свойства магнитного поля:

• магнитное поле материально;
• источник и индикатор поля – электрический ток;
• магнитное поле является вихревым – его силовые линии (линии магнитной индукции) замкнутые;
• величина поля убывает с расстоянием от источника поля.

Важно!
Магнитное поле не является потенциальным. Его работа на замкнутой траектории может быть не равна нулю.

Магнитным взаимодействием называют притяжение или отталкивание электрически нейтральных проводников при пропускании через них электрического тока.

Магнитное взаимодействие движущихся электрических зарядов объясняется так: всякий движущийся электрический заряд создает в пространстве магнитное поле, которое действует на движущиеся заряженные частицы.

1 Тл – это индукция такого магнитного поля, в котором на каждый метр длины проводника при силе тока 1 А действует максимальная сила 1 Н.

Направление вектора магнитной индукции совпадает с направлением от южного полюса к северному полюсу магнитной стрелки (направление, которое указывает северный полюс магнитной стрелки), свободно установившейся в магнитном поле.

Направление вектора магнитной индукции можно определить по правилу буравчика:

если направление поступательного движения буравчика совпадает с направлением тока в проводнике, то направление вращения ручки буравчика совпадает с направлением вектора магнитной индукции.

Для определения магнитной индукции нескольких полей используется принцип суперпозиции:

магнитная индукция результирующего поля, созданного несколькими источниками, равна векторной сумме магнитных индукций полей, создаваемых каждым источником в отдельности:

Поле, в каждой точке которого вектор магнитной индукции одинаков по величине и направлению, называется однородным.

Наглядно магнитное поле изображают в виде магнитных линий или линий магнитной индукции. Линия магнитной индукции – это воображаемая линия, в любой точке которой вектор магнитной индукции направлен по касательной к ней.

Свойства магнитных линий:

• магнитные линии непрерывны;
• магнитные линии замкнуты (т.е. в природе не существует магнитных зарядов, аналогичных электрическим зарядам);
• магнитные линии имеют направление, связанное с направлением тока.

Густота расположения позволяет судить о величине поля: чем гуще расположены линии, тем сильнее поле.

На плоский замкнутый контур с током, помещенный в однородное магнитное поле, действует момент сил ​( M )​:

где ​( I )​ – сила тока в проводнике, ​( S )​ – площадь поверхности, охватываемая контуром, ​( B )​ – модуль вектора магнитной индукции, ​( alpha )​ – угол между перпендикуляром к плоскости контура и вектором магнитной индукции.

Тогда для модуля вектора магнитной индукции можно записать формулу:

где максимальный момент сил соответствует углу ​( alpha )​ = 90°.

В этом случае линии магнитной индукции лежат в плоскости рамки, и ее положение равновесия является неустойчивым. Устойчивым будет положение рамки с током в случае, когда плоскость рамки перпендикулярна линиям магнитной индукции.

Взаимодействие магнитов

Постоянные магниты – это тела, длительное время сохраняющие намагниченность, то есть создающие магнитное поле.

Основное свойство магнитов: притягивать тела из железа или его сплавов (например стали). Магниты бывают естественные (из магнитного железняка) и искусственные, представляющие собой намагниченные железные полосы. Области магнита, где его магнитные свойства выражены наиболее сильно, называют полюсами. У магнита два полюса: северный ​( N )​ и южный ​( S )​.

Важно!
Вне магнита магнитные линии выходят из северного полюса и входят в южный полюс.

Разделить полюса магнита нельзя.

Объяснил существование магнитного поля у постоянных магнитов Ампер. Согласно его гипотезе внутри молекул, из которых состоит магнит, циркулируют элементарные электрические токи. Если эти токи ориентированы определенным образом, то их действия складываются и тело проявляет магнитные свойства. Если эти токи расположены беспорядочно, то их действие взаимно компенсируется и тело не проявляет магнитных свойств.

Магниты взаимодействуют: одноименные магнитные полюса отталкиваются, разноименные – притягиваются.

Магнитное поле проводника с током

Электрический ток, протекающий по проводнику с током, создает в окружающем его пространстве магнитное поле. Чем больше ток, проходящий по проводнику, тем сильнее возникающее вокруг него магнитное поле.

Магнитные силовые линии этого поля располагаются по концентрическим окружностям, в центре которых находится проводник с током.

Направление линий магнитного поля вокруг проводника с током всегда находится в строгом соответствии с направлением тока, проходящего по проводнику.

Направление магнитных силовых линий можно определить по правилу буравчика: если поступательное движение буравчика (1) совпадает с направлением тока (2) в проводнике, то вращение его рукоятки укажет направление силовых линий (4) магнитного поля вокруг проводника.

При изменении направления тока линии магнитного поля также изменяют свое направление.

По мере удаления от проводника магнитные силовые линии располагаются реже. Следовательно, индукция магнитного поля уменьшается.

Направление тока в проводнике принято изображать точкой, если ток идет к нам, и крестиком, если ток направлен от нас.

Для получения сильных магнитных полей при небольших токах обычно увеличивают число проводников с током и выполняют их в виде ряда витков; такое устройство называют катушкой.

В проводнике, согнутом в виде витка, магнитные поля, образованные всеми участками этого проводника, будут внутри витка иметь одинаковое направление. Поэтому интенсивность магнитного поля внутри витка будет больше, чем вокруг прямолинейного проводника. При объединении витков в катушку магнитные поля, созданные отдельными витками, складываются. При этом концентрация силовых линий внутри катушки возрастает, т. е. магнитное поле внутри нее усиливается.

Чем больше ток, проходящий через катушку, и чем больше в ней витков, тем сильнее создаваемое катушкой магнитное поле. Магнитное поле снаружи катушки также складывается из магнитных полей отдельных витков, однако магнитные силовые линии располагаются не так густо, вследствие чего интенсивность магнитного поля там не столь велика, как внутри катушки.

Магнитное поле катушки с током имеет такую же форму, как и поле прямолинейного постоянного магнита: силовые магнитные линии выходят из одного конца катушки и входят в другой ее конец. Поэтому катушка с током представляет собой искусственный электрический магнит. Обычно для усиления магнитного поля внутрь катушки вставляют стальной сердечник; такую катушку называют электромагнитом.

Направление линий магнитной индукции катушки с током находят по правилу правой руки:

если мысленно обхватить катушку с током ладонью правой руки так, чтобы четыре пальца указывали направление тока в ее витках, тогда большой палец укажет направление вектора магнитной индукции.

Для определения направления линий магнитного поля, создаваемого витком или катушкой, можно использовать также правило буравчика:

если вращать ручку буравчика по направлению тока в витке или катушке, то поступательное движение буравчика укажет направление вектора магнитной индукции.

Электромагниты нашли чрезвычайно широкое применение в технике. Полярность электромагнита (направление магнитного поля) можно определить и с помощью правила правой руки.

Сила Ампера

Сила Ампера – сила, которая действует на проводник с током, находящийся в магнитном поле.

Направление силы Ампера определяют по правилу левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы перпендикулярная к проводнику составляющая вектора магнитной индукции ​( B_perp )​ входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца указывали направление тока в проводнике, то отогнутый на 90° большой палец покажет направление силы Ампера.

Сила Ампера не является центральной. Она направлена перпендикулярно линиям магнитной индукции.

Сила Ампера широко используется. В технических устройствах создают магнитное поле с помощью проводников, по которым течет электрический ток. Электромагниты используют в электромеханическом реле для дистанционного выключения электрических цепей, магнитном подъемном кране, жестком диске компьютера, записывающей головке видеомагнитофона, в кинескопе телевизора, мониторе компьютера. В быту, на транспорте и в промышленности широко применяют электрические двигатели. Взаимодействие электромагнита с полем постоянного магнита позволило создать электроизмерительные приборы (амперметр, вольтметр).

Простейшей моделью электродвигателя служит рамка с током, помещенная в магнитное поле постоянного магнита. В реальных электродвигателях вместо постоянных магнитов используют электромагниты, вместо рамки – обмотки с большим числом витков провода.

Коэффициент полезного действия электродвигателя:

где ​( N )​ – механическая мощность, развиваемая двигателем.

Коэффициент полезного действия электродвигателя очень высок.

Алгоритм решения задач о действии магнитного поля на проводники с током:

• сделать схематический чертеж, на котором указать проводник или контур с током и направление силовых линий поля;
• отметить углы между направлением поля и отдельными элементами контура;
• используя правило левой руки, определить направление силы Ампера, действующей на проводник с током или на каждый элемент контура, и показать эти силы на чертеже;
• указать все остальные силы, действующие на проводник или контур;
• записать формулы для остальных сил, упоминаемых в задаче. Выразить силы через величины, от которых они зависят. Если проводник находится в равновесии, то необходимо записать условие его равновесия (равенство нулю суммы сил и моментов сил);
• записать второй закон Ньютона в векторном виде и в проекциях;
• решить полученную систему уравнений относительно неизвестной величины;
• решение проверить.

Сила Лоренца

Сила Лоренца – сила, действующая на движущуюся заряженную частицу со стороны магнитного поля.

Формула для нахождения силы Лоренца:

где ​( q )​ – заряд частицы, ​( v )​ – скорость частицы, ​( B )​ – модуль вектора магнитной индукции, ​( alpha )​ – угол между вектором скорости частицы и вектором магнитной индукции.

Направление силы Лоренца определяют по правилу левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы перпендикулярная к проводнику составляющая вектора магнитной индукции ​( B_perp )​ входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца указывали направление скорости положительно заряженной частицы, то отогнутый на 90° большой палец покажет направление силы Лоренца.

Если заряд частицы отрицательный, то направление силы изменяется на противоположное.

Важно!
Если вектор скорости сонаправлен с вектором магнитной индукции, то частица движется равномерно и прямолинейно.

В однородном магнитном поле сила Лоренца искривляет траекторию движения частицы.

Если вектор скорости перпендикулярен вектору магнитной индукции, то частица движется по окружности, радиус которой равен:

где ​( m )​ – масса частицы, ​( v )​ – скорость частицы, ​( B )​ – модуль вектора магнитной индукции, ​( q )​ – заряд частицы.

В этом случае сила Лоренца играет роль центростремительной и ее работа равна нулю. Период (частота) обращения частицы не зависит от радиуса окружности и скорости частицы. Формула для вычисления периода обращения частицы:

Угловая скорость движения заряженной частицы:

Важно!
Сила Лоренца не меняет кинетическую энергию частицы и модуль ее скорости. Под действием силы Лоренца изменяется направление скорости частицы.

Если вектор скорости направлен под углом ​( alpha )​ (0° < ( alpha ) < 90°) к вектору магнитной индукции, то частица движется по винтовой линии.

Важно!
Если частица движется в электрическом и магнитном полях, то полная сила Лоренца равна:

Особенности движения заряженной частицы в магнитном поле используются в масс-спектрометрах – устройствах для измерения масс заряженных частиц; ускорителях частиц; для термоизоляции плазмы в установках «Токамак».

Алгоритм решения задач о действии магнитного (и электрического) поля на заряженные частицы:

• сделать чертеж, указать на нем силовые линии магнитного (и электрического) поля, нарисовать вектор начальной скорости частицы и отметить знак ее заряда;
• изобразить силы, действующие на заряженную частицу;
• определить вид траектории частицы;
• разложить силы, действующие на заряженную частицу, вдоль направления магнитного поля и по направлению, ему перпендикулярному;
• составить основное уравнение динамики материальной точки по каждому из направлений разложения сил;
• выразить силы через величины, от которых они зависят;
• решить полученную систему уравнений относительно неизвестной величины;
• решение проверить.

Основные формулы раздела «Магнитное поле»

Задачи на вектор магнитной индукции

Задачи по физике – это просто!

Не забываем, что решать задачи надо всегда в системе СИ!

А теперь к задачам!

Элементарные задачи из курса школьной физики на расчет величины магнитной индукции и магнитного потока.

Определить магнитный поток, проходящий через площадь 20 м 2 , ограниченную замкнутым контуром в однородном магнитном поле с индукцией 20 мТл, если угол между вектором магнитной индукции и плоскостью контура составляет 30 o .

Определите магнитный поток, пронизывающий плоскую прямоугольную поверхность со сторонами 25 см и 60 см, если магнитная индукция во всех точках поверхности равна 1,5 Тл, а вектор магнитной индукции образует с нормалью к этой поверхности угол, равный: а) 0, б) 45 o , в) 90 o .

Магнитный поток внутри контура, площадь поперечного сечения которого 60 см 2 , равен 0,3 мВб. Найдите индукцию поля внутри контура. Поле считать однородным.

Определить магнитную индукцию магнитного поля, если магнитный поток через площадь 500 см 2 , ограниченную контуром, составил 9×10 -4 Вб. Угол между вектором магнитной индукции и плоскостью контура составляет 60 o .

Протон, влетев в магнитное поле со скоростью 100 км/с, описал окружность радиусом 50 см. Определить индукцию магнитного поля, если заряд протона составляет 1,6х10 -19 Кл, а масса равна 1,67х10 -27 кг.

По двум тонким прямым проводникам, параллельным друг другу, текут одинаковые токи I (см. рисунок). Как направлен вектор индукции создаваемого ими магнитного поля в точке С?

Вектор магнитной индукции в точке C есть сумма векторов магнитной индукции от двух проводников. Согласно правилу правой руки: «Если отведенный в сторону большой палец правой руки расположить по направлению тока, то направление обхвата провода четырьмя пальцами покажет направление линий магнитной индукции». Следовательно, вектор магнитной индукции от нижнего проводника направлен в точке C от нас, а вектор магнитной индукции от верхнего проводника — к нам. Однако модуль вектора магнитной индукции ослабевает по мере удаления от проводника. Таким образом, суммарный вектор магнитной индукции в точке C направлен к нам.

Направление поля можно искать, используя также правило буравчика: «Если направление поступательного движения буравчика (винта) совпадает с направлением тока в проводнике, то направление вращения ручки буравчика совпадает с направлением вектора магнитной индукции поля, создаваемого этим током».

Решение задач на тему «Индукция магнитного поля»

Первая
из задач раздела “Электромагнетизм”
посвящена определению
индукции магнитного поля в заданной
точке посредством формул, вытекающих
из закона Био-Савара-Лапласа, с
использованием принципа суперпозиции
магнитных полей. В задачах используются
следующие комбинации проводников с
током: параллельные или перекрещивающиеся
бесконечно длинные проводники, бесконечно
длинный проводник, согнутый под некоторым
углом, бесконечно длинный проводник и
круговой контур, два соосных круговых
контура, отрезок проводника, квадратная
рамка. Возможны и другие аналогичные
комбинации. При решении необходимо
представить рисунок с изображением
векторов индукции магнитного поля,
создаваемых отдельными проводниками
системы, и результирующий вектор

.
Для расчёта отдельных составляющих

следует выбрать соответствующую формулу
из номеров (3.6 –3.10).

Пример
4.1. По отрезку прямого провода BC
длиной l =
80 см течёт ток I = 50 А.
Определить магнитную индукцию поля,
создаваемого этим током в точке А,
равноудалённой от концов отрезка провода
и находящуюся на расстоянии ro
= 30 см от его
середины.

Пример 4.3. Бесконечно длинный
проводник с током I = 50 А
согнут под прямым углом. Найти напряжённость
магнитного поля в точке, лежащей на
биссектрисе этого угла и отстоящей от
вершины угла на расстоянии d
= 10 см.

Вторая
группа задач основана на применении
закона Ампера либо формулы силы Лоренца.
Для задач на силу Ампера используются
варианты проводника с током, помещённого
в однородное магнитное поле, взаимодействия
двух проводников с током, трёх проводников
с током либо проводника с током и
квадратной рамки. Для проводника с
током, помещённого в магнитное поле,
используется формула (3.12), для двух
параллельных проводников – формула
(3.13), для трёх параллельных проводников
либо проводника и квадратной рамки к
формуле (3.13) добавляется принцип
суперпозиции сил. Для задач на силу
Лоренца используются варианты движения
заряженной частицы в однородном магнитном
поле по окружности либо по винтовой
линии, а также движения заряженной
частицы в поле, создаваемом бесконечно
длинным проводником с током, индукция
которого находится по формуле (3.8).
Величина силы Лоренца находится по
формуле (3.16); поскольку сила Лоренца
перпендикулярна вектору скорости
частицы, она сообщает ей центростремительное
ускорение. Поэтому для решения задач о
движении заряженной частицы в однородном
магнитном поле необходимо использовать
второй закон Ньютона и формулу
центростремительной силы.

Пример
4.4. По трём прямым параллельным
проводам, находящимся на одинаковом
расстоянии d =20 см друг от
друга текут одинаковые токи I
= 400А. В двух проводах направления
токов совпадают. Вычислить для каждого
из проводов отношение силы, действующей
на него, к его длине.

Проверку размерностей
в полученных рабочих формулах
производить нет необходимости в
силу очевидности алгебраических
преобразований.

Найдём
численные значения сил

Ответ: F1/l
= F2/l
= 0,16 А/м; F3/l
=
0,27 А/м

Пример
4.5. Протон,
прошедший ускоряющую разность потенциалов
U =
600 В, влетел
в однородное магнитное поле с индукцией
В = 0,3 Тл и начал двигаться по окружности.
Вычислить радиус окружности.

,
то она сообщает протону нормальное
ускорение

.
(1)

Модуль силы Лоренца находится
по формуле

,
(2)

где
α = 90о в
случае круговой траектории частицы.

Нормальное
ускорение находится по формуле

.
(3)

Подставляя (2) и (3) в (1), получим

,
(4)

откуда
радиус траектории протона будет равен

.
(5)

Скорость протона
найдём, воспользовавшись связью между
работой сил поля и изменением кинетической
энергии протона

.
(7)

Подставляя (7) в (5), получим

.
(8)

Убедимся
в том, что правая часть этого равенства
даёт единицу длины (м)

Следовательно,
выведенная формула (8) имеет правильный
физический смысл. Подставим численные
значения в формулу (8)

Ответ:
R =
1,18 см

Пример
4.6. Электрон,
имея скорость

На
заряженную частицу
(в нашем
случае электрон), влетевшую в магнитное
поле, действует сила Лоренца,
перпендикулярная векторам магнитной
индукции

и скорости

.
(1)

Так
как вектор силы Лоренца перпендикулярен
вектору скорости, то модуль скорости
не будет изменяться под действием этой
силы. Поэтому и значение силы Лоренца
будет оставаться постоянным, как это
следует из формулы (1). Из механики
известно, что постоянная по величине
сила, перпендикулярная вектору скорости,
вызывает движение по окружности.
Следовательно, электрон, влетевший в
магнитное поле под углом к вектору
индукции, будет одновременно двигаться
по окружности со скоростью v⊥
=
v•sinα
и
прямолинейно вдоль поля со скоростью
vǁ
=
v•cosα.
В результате
одновременного участия в этих двух
движениях траектория электрона будет
представлять винтовую линию (см. рисунок).

Радиус
окружности, по которой движется электрон,
найдём, приравнивая силу Лоренца (1) к
центростремительной силе (2)

.
(2)

Приравнивая
правые части уравнений (1) и (2), получим

,
(3)

откуда
радиус окружности, описываемой электроном,

.
(4)

Период обращения электрона по
окружности

.
(5)

Шаг
винтовой линии равен пути, проходимому
электроном вдоль поля со скоростью vx

за период

.
(6)

Подставив числовые значения,
получим

мм.
= 2,06 мм.

Ответ: R
=0,19 мм; h = 2,06 мм

Третья
из задач посвящена явлению электромагнитной
индукции и описывающему это явление
закону Фарадея (3.23). В задачах этой
группы используются различные способы
изменения магнитного потока, пронизывающего
контур или катушку. В одних вариантах
задаётся закон изменения магнитного
потока Φ (индукции В, напряжённости
магнитного поля Н), пронизывающих
неподвижный контур или катушку. Закон
может быть линейным или синусоидальным,
и представлен либо уравнением, либо
графически. В случае графического
представления необходимо по заданной
зависимости составить соответствующее
ему уравнение. Напряжённость магнитного
поля Н переводится в индукцию В с помощью
формулы (3.1), индукция В – в магнитный
поток Φ с помощью формулы (3.19); выражение
для магнитного потока подставляется в
закон Фарадея (3.23), после чего выполняется
операция дифференцирования магнитного
потока по времени.

В задачах
на два соосных контура по заданному
закону изменения тока в большом контуре
необходимо найти закон изменения
магнитного потока, пронизывающего малый
контур с помощью формулы (3.6).

В других
вариантах магнитное поле постоянно, а
в нём рамка либо вращается, либо
растягивается так, что её площадь
обращается в ноль. Возможны варианты,
когда требуется определить разность
потенциалов (напряжение) на концах
проводящего стержня, движущегося
поступательно или вращающегося в
магнитном поле. В задачах этого типа
необходимо найти закон изменения площади
S(t) и подставить его формулу
магнитного потока (3.19);
последующий порядок расчёта совпадает
с рассмотренным выше.

В случае
протекания через индуктивную катушку
изменяющегося тока возникает явление
самоиндукции; в данном случае следует
пользоваться формулой (3.27).

Пример
4.7. В однородном магнитном поле с
индукцией В = 0,02 Тл равномерно вращается
с частотой n = 300 оборотов
в минуту вокруг вертикальной оси
горизонтальный стержень длиной l
= 0,5 м. Ось вращения проходит
через конец стержня параллельно линиям
магнитной индукции. Определить разность
потенциалов U на концах
стержня.

.
(1)

Магнитный поток в
общем случае находится как

.

(2)

Индукция магнитного поля (магнитная индукция, вектор магнитной индукции) (

) – это одна из основных физических векторных величины, которые характеризуют магнитное поле. Это силовая характеристика данного поля, отображающая действие поля на заряженную частицу в рассматриваемой точке пространства.

Определения индукции магнитного поля

Индукцию магнитного поля можно определить разными способами: понятие вращающего момента рамки с магнитным моментом, используя закон Ампера, силу Лоренца.

1) Модуль вектора индукции магнитного поля в конкретной точке однородного магнитного поля определен максимальным вращающим моментом (

), который действует на рамку, обладающую магнитным моментом (

2) Величина индукции магнитного поля равна пределу отношения силы (dF), с которой действует магнитное поле на элементарный проводник с током, к силе тока (I) умноженной на длину этого проводника (dl), при длине проводника стремящейся к нулю. При этом проводник имеет такое расположение в магнитном поле, что данный предел имеет максимальное значение:

направлен перпендикулярно элементу dl, и направлению силы Ампера. Если смотреть из конца

3) Исходя из определения силы Лоренца (

где q – заряд частицы, движущейся в магнитном поле; v – скорость движения частицы;

– угол между направлением скорости частицы и вектором поля. Направления силы Лоренца, векторов скорости и магнитной индукции связаны между собой правилом левой руки. Если левую руку расположить так, что в нее входит

, четыре вытянутых пальца направить по

Для однородного изотропного магнетика, заполняющего пространство, вектор магнитной в веществе (

) и вектор индукции в вакууме(

Суперпозиция магнитных полей

Для магнитного поля справедлив принцип суперпозиции: если присутствует магнитных, то индукция результирующего поля равна векторной сумме отдельных индукций:

Индукция магнитного поля. Закон Био-Савара-Лапласа. Принцип суперпозиции. Магнитное поле прямого тока.

Закон Био – Савара – Лапласа и его применение к расчету магнитного поля

Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалось французскими учеными Ж.Био (1774-1862) и Ф.Саваром (1791-1841). Результаты этих опытов было обобщены выдающимся французским математиком и физиком П.Лапласом.

Закон Био – Савара – Лапласа для проводника с током I, элемент длины которого

создает в некоторой точке А индукцию поля

, т.е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Поскольку направление

где a – угол между векторами

Рис.4. К закону Био-Савара-Лапласа.

Для магнитного поля, также как и для электрического справедлив принцип суперпозиции: если имеется несколько элементов тока или несколько контуров с током, каждый из которых создает магнитное поле, то при одновременном действии всех токов индукция результирующего поля равна векторной сумме отдельных полей:

магнитная индукция поля, создаваемого элементом интегрирования длиной. Интегрирование производится по всей длине проводника

Расчет характеристик магнитного поля (

1. Магнитное поле отрезка прямого провода с током. Вычислим индукцию магнитного поля, создаваемого отрезком АВ прямолинейного проводника с током I, в точке С, расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии а (рис.5). Индукция магнитного поля в точке С будет равна

Но , тогда и . Подставив эти значения в (2.4), получим

2.Магнитное поле бесконечно длинного прямого провода с током. Для такого провода угол a1 = 0, а угол a2 = 180о. Тогда

где a – длина перпендикуляра, опущенного из точки наблюдения С на проводник с током.

3.Магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис.6). Как следует из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитное поле одинакового направления – вдоль нормали от витка. Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sina=1) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, по закону Био – Савара – Лапласа,

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током равна

4.Определить индукцию магнитного поля на оси кругового тока радиусом R, в точке А на расстоянии а от плоскости контура, по которому течет ток силой I (рис.7).

Воспользуемся законом Био – Савара – Лапласа

где магнитная индукция, создаваемая элементом тока в точке, определяемой радиусом-вектором . Выделим на кольце элемент и от него в точку А проведем радиус-вектор . Направление вектора определим по правилу правого винта. Согласно принципу суперпозиции, магнитная индукция в точке А определяется Рис.7 интегрированием , где интегрирование ведется по всем элементам кольца. Разложим вектор на две составляющие: перпендикулярную плоскости кольца и , параллельную плоскости кольца, т.е. . Тогда . Заметим, что из соображений симметрии и что векторы от различных элементов сонаправлены. Поэтому заменим векторное суммирование (интегрирование) скалярным , где и , поскольку перпендикулярен и, следовательно, sina =1 (r2 =R2 + a2).