5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат Реферат
Содержание
  1. Основные понятия
  2. Что такое квадрат?
  3. Введение понятия арифметического квадратного корня​
  4. Квадрат
  5. 1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат
  6. Внесение под знак корня
  7. Возведение в степень
  8. Деление корней
  9. Извлечение корней
  10. Извлечение корней из больших чисел
  11. Как вычислить периметр и площадь квадрата
  12. Квадрат разности
  13. Квадрат суммы
  14. Квадрат числа: интересное свойство
  15. Квадратный корень. подробная теория с примерами
  16. Куб разности
  17. Не путать с кубом суммы!
  18. Осевая и центральная симметрии
  19. Оставшиеся 2/3 статьи доступны только ученикам youclever!
  20. Ответы к задачам
  21. Параллелограмм и ромб
  22. Признаки параллелограмма
  23. Признаки ромба.
  24. Применение формул сокращенного умножения
  25. Прямоугольник
  26. Свойства арифметического квадратного корня
  27. Свойства корней
  28. Свойства прямоугольника:
  29. Свойства ромба
  30. Свойства четырехугольников. квадрат
  31. Сравнение корней
  32. Теорема о свойствах параллелограмма.
  33. Трапеция
  34. Умножение корней
  35. Формулы сокращённого умножения
  36. Характеристическое свойство фигуры. характеристические свойства прямоугольника, ромба, квадрата. | социальная сеть работников образования
  37. Подведем итоги

Основные понятия

Основные геометрические фигуры на плоскости состоят из точек, линий, лучей, отрезков и вершин. У каждого предмета есть свои особенности, свойства и предназначение.

Самый минимальный объект в геометрии — точка. Ее особенность в том, что она не имеет измерительных мер: у нее нет высоты, длины, радиуса. У точки можно определить только ее расположение, которое принято обозначать одной заглавной буквой латинского алфавита.

Из множества точек может получится линия, а из нескольких соединенных между собой линий — геометрические фигуры.

виды линий

Каждая математическая фигура имеет собственную величину, которую можно измерить при помощи формул и внимательности.

Площадь — это одна из характеристик замкнутой геометрической фигуры, которая дает нам информацию о ее размере. S (square) — знак площади.

Периметром принято называть длину всех сторон многоугольника. Периметр обозначается заглавной латинской P.

Если параметры переданы в разных единицах длины, мы не сможем узнать какая площадь фигуры получится. Чтобы правильно решить задачу, нужно перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения

  • квадратный миллиметр (мм2);
  • квадратный сантиметр (см2);
  • квадратный дециметр (дм2);
  • квадратный метр (м2);
  • квадратный километр (км2);
  • гектар (га).

Геометрические тела — часть пространства, которая ограничена замкнутой поверхностью своей наружной границы.

Если все точки фигуры принадлежат одной плоскости, значит она является плоской.

Объемная фигура — геометрическая фигура, у которой все точки не находятся на одной плоскости.

Объемные геометрические фигуры:

  • шар;
  • конус;
  • параллелепипед;
  • цилиндр;
  • пирамида;
  • сфера.

В начальной школе дети узнают названия геометрических фигур и учатся различать плоские от объемных. Сейчас мы рассмотрим подробнее некоторые фигуры, разберем их определения и свойства.

Что такое квадрат?

Квадратом называют геометрическую фигуру с равными сторонами и углами. Об этом большинство из нас знают еще со школы. А вот какими свойствами он обладает и как вычисляются его площадь и периметр, помнят, к сожалению, не все.

Поэтому в данной статье речь пойдет о том, что такое квадрат, более подробно.

Введение понятия арифметического квадратного корня​

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа   называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен  .  .

А почему же число   должно быть обязательно неотрицательным?

Например, чему равен  ?

Так-так, попробуем подобрать. Может, три? Проверим:  , а не  .

Может,  ? Опять же, проверяем:  .

Ну что же, не подбирается?

Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число!

Это надо запомнить: число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!

Однако ты наверняка уже заметил, что в определении сказано, что «квадратным корнем из числа   называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен  ».

А в самом начале мы разбирали пример  , подбирали числа, которые можно возвести в квадрат и получить при этом  , ответом были   и  , а тут говорится про какое-то «неотрицательное число»!

Такое замечание вполне уместно. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратных уравнений и арифметического квадратного корня из числа.

К примеру,   не равносильно выражению  .

Из   следует, что

 , то есть   или  ;   (не помнишь почему так? Почитай тему «Модуль числа»!)

  1. А из   следует, что  .
  2. Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки являются результатом решения уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат.
  3. В наше квадратное уравнение подходит как  , так и  .
  4. Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.
  5. Итак, вкратце на примере, нужно ли ставить «плюс-минус» (этот наглядный пример привёл наш читатель Игорь, спасибо ему за это):
  6. Пусть есть две ситуации:
  7. 1)  
  8. 2)  
  9. В первом случае у нас квадратное уравнение и его решением будет   (уже видно отличие от второго случая) и далее получаем два корня  
  10. Во втором случае у нас НЕТ квадратного уравнения, просто х равен корню из числа и в этом случае ответ всегда «одно неотрицательное число», то есть 8.
  11. А теперь попробуй решить такое уравнение  .

Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит?

Начнем с самого начала – с нуля:   – не подходит.

Двигаемся дальше  ;   – меньше трех, тоже отметаем.

А что если  ? Проверим:   – тоже не подходит, т.к. это больше трех.

С отрицательными числами получится такая же история.

И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал?

Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между   и  , а также между   и  .

Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными.

И что дальше?

Давай построим график функции   и отметим на нем решения.

Попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора! Извлечем корень из  , делов-то!

Ой-ой-ой, выходит, что   Такое число никогда не кончается.

Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!?

Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение.   и   уже сами по себе ответы.

Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.

Рассмотрим еще один пример для закрепления. Разберем такую задачку: тебе необходимо пересечь по диагонали квадратное поле со стороной   км, сколько км тебе предстоит пройти?

  • Самое очевидное здесь рассмотреть отдельно треугольник и воспользоваться теоремой Пифагора:  .
  • Таким образом,  .
  • Так чему же здесь равно искомое расстояние?

Очевидно, что расстояние не может быть отрицательным, получаем, что  . Корень из двух приблизительно равен  , но, как мы заметили раньше,   -уже является полноценным ответом.

Квадрат

То есть квадрат – это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.

Понятно почему? Квадрат — ромб   – биссектриса угла A, который равен  . Значит   делит   (да и   тоже) на два угла по  .

Ну, это совсем ясно: прямоугольник  диагонали равны; ромб  диагонали перпендикулярны, и вообще – параллелограмм  диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к  .

Значит,  .

1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

Видеоурок 1: Прямоугольник, ромб и квадрат. Часть 1


Видеоурок 2: Прямоугольник, ромб и квадрат. Часть 2

Лекция: Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадратЧетырехугольники

Один подраздел многоугольников мы изучили в прошлом вопросе, сейчас же перейдем к изучению четырехугольников – это многоугольники, у которых 4 стороны, 4 вершины, 4 угла.

В школьном курсе геометрии изучают несколько основных типов четырехугольников – это параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и трапецию. В этом же вопросы мы рассмотрим все, кроме трапеции, поскольку все первые 4 типа многоугольников имеют некоторые похожие черты – у них противолежащая пара сторон параллельна.

Отличительная особенность всех четырехугольников – это то, что сумма всех углом равна 360 градусов.

Ну давайте начнем характеризовать все четырехугольники, имеющиеся в теме.

Исходя из названия, можно судить, что у данного четырехугольника что-то параллельное. Это совершенно верно, параллелограмм – это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

Все четырехугольники характеризуются своими свойствами, поэтому давайте ознакомимся со свойствами параллелограмма:

  • Параллельные стороны параллелограмма попарно равны между собой

  • Противолежащие углы параллелограмма также равны

  • Диагонали параллелограмма пересекаются в точке, которая делит из пополам

Если у четырехугольника присутствуют перечисленные свойства, то он является параллелограммом:

  • Какой — то Один признак выполнен
  • Все свойства параллелограмма можно использовать

Для любого параллелограмма справедлива следующая формула, по которой ясно, что сумма квадратов сторон диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

Данное свойство вытекает из теоремы Пифагора для двух прямоугольных треугольников.

Любую сторону можно найти по известным величинам диагоналей и углов между ними:

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

Найти стороны параллелограмма можно не только через диагонали, но и через высоты и площади:

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

Одними из наиболее важных формул являются формулы для нахождения диагоналей найти их можно по известным сторонам и углу между ними:

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

Но на самом деле самыми важными формулами являются формулы для нахождения площадей:

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадратКвадрат

Правильный четырехугольник – это квадрат. Как известно, у всех правильных фигур равны стороны и равны углы. Квадрат можно назвать частным случаем параллелограмма, поскольку все свойства и признаки параллелограмма видны и у квадрата.

Свойства квадрата:

  • Все стороны равны.
  • Все углы равны 90 градусам.
  • Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом, а точка их пересечения делит их пополам.
Рефераты:  Реферат: Устройство вывода на экран -

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

Отличительной особенностью диагонали квадрата является то, что она есть гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными сторонам квадрата, а гипотенузой равной диагонали. Именно поэтому из теоремы Пифагора диагональ квадрата всегда в раз больше его стороны.

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

Так как у квадрата все стороны равны, то найти периметр и площадь этой фигуры не составляет ни малейшего труда:

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадратПрямоугольник

Эта фигура характеризуется тем, что все её углы прямые, то есть по 90 градусов.

Свойства прямоугольника:

  • У прямоугольника все противолежащие стороны параллельны и равны между собой.

  • Все углы прямые.

  • Точка пересечения диагоналей делит их на равные части.

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон:

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

Как можно было понять, данная формула была выведена из теоремы Пифагора, поскольку в основе прямоугольника лежат 2 прямоугольных треугольника.

Формулы нахождения сторон по известным величинам диагоналей, а также площадей:

Формулы сторон прямоугольника

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

Формулы периметра прямоугольника

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

Формулы площадей

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадратРомб

И наконец-то мы подошли к последнему из параллелограммов, который называется ромбом.

У ромба, как и у квадрата, все стороны равно, но, как и у любого параллелограмма, его стороны попарно параллельны.

Отличительной особенностью ромба считается то, что его диагонали, пересекаясь под прямым углом, делятся пополам.

Не имеет смысла перечислять все свойства ромба, поскольку они аналогичны свойствам параллелограмма, а так же квадрата.

У ромба так же существует связь между длинами диагоналей и его сторон. Поскольку в основании ромба лежат 4 прямоугольных треугольника, то можно было вывести формулу связи диагоналей и сторон через теорему Пифагора:

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

Формулы для сторон ромба

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

Формулы площадей ромба

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

Внесение под знак корня

Что мы только не научились делать с корнями! Осталось только потренироваться вносить число под знак корня!

Это совсем легко! 

Допустим, у нас записано число  

Что мы можем с ним сделать? Ну конечно, спрятать тройку под корнем, помня при этом, что тройка – корень квадратный из  !

Зачем нам это нужно? Да просто, чтобы расширить наши возможности при решении примеров:

  Как тебе такое свойство корней? Существенно упрощает жизнь? По мне, так точно! Только надо помнить, что вносить под знак квадратного корня мы можем только положительные числа.

Реши самостоятельно вот этот пример —   Справился? Давай смотреть, что у тебя должно получиться:

Молодец! У тебя получилось внести число под знак корня! Перейдем к не менее важному – рассмотрим, как сравнивать числа, содержащие квадратный корень!

Возведение в степень

А что же будет, если квадратный корень возвести в квадрат? Все просто, вспомним смысл квадратного корня из числа   – это число, квадратный корень которого равен  .

  1. Так вот, если мы возводим число, квадратный корень которого равен  , в квадрат, то что получаем?
  2. Ну, конечно,  !
  3. Рассмотрим на примерах:

Все просто, правда? А если корень будет в другой степени? Ничего страшного!

  • Придерживайся той же логики и помни свойства и возможные действия со степенями.
  • Забыл?
  • Почитай теорию по теме «Степень и ее свойства» и тебе все станет предельно ясно.
  • Вот, к примеру, такое выражение:
  • В этом примере степень четная, а если она будет нечетная? Опять же, примени свойства степени и разложи все на множители:
  • С этим вроде все ясно, а как извлечь корень из числа в степени? Вот, к примеру, такое:

Довольно просто, правда? А если степень больше двух? Следуем той же логике, используя свойства степеней:

Ну как, все понятно? Тогда реши самостоятельно примеры:

А вот и ответы:

Деление корней

  • С умножением корней разобрались, теперь приступим к свойству деления.
  • Напомню, что формула в общем виде выглядит так:
  •  , если  .
  • А значит это, что корень из частного равен частному корней.
  • Ну что, давай разбираться на примерах:
  • Вот и вся наука. А вот такой пример:
  • Все не так гладко, как в первом примере, но, как видишь, ничего сложного нет.
  • А что, если попадется такое выражение:
  • Надо просто применить формулу в обратном направлении:
  • А вот такой примерчик:
  • Еще ты можешь встретить такое выражение:

Все то же самое, только здесь надо вспомнить, как переводить дроби (если не помнишь, загляни в тему дроби и возвращайся!). Вспомнил? Теперь решаем!

Уверена, что ты со всем, всем справился, теперь попробуем возводить корни в степени.

Извлечение корней

  1. Чтобы решение примеров с корнями не вызывало проблем, необходимо их видеть и узнавать.
  2. Для этого необходимо знать, по меньшей мере, квадраты чисел от   до  , а также уметь их распознавать.
  3. То есть, тебе необходимо знать, что   в квадрате равно  , а также, наоборот, что   – это   в квадрате.
  4. Первое время в извлечении корня тебе поможет эта таблица.
  • Как только ты прорешаешь достаточное количество примеров, то надобность в ней автоматически отпадет.
  • Попробуй самостоятельно извлечь квадратный корень в следующих выражениях:
  • Ответы:
  • Ну как, получилось? Теперь давай посмотрим такие примеры:
  • Ответы:

Извлечение корней из больших чисел

До этого мы вносили множитель под знак корня, а как его вынести? Надо просто разложить его на множители и извлечь то, что извлекается!

Можно было пойти по иному пути и разложить на другие множители:

Что дальше? А дальше раскладываем на множители до самого конца:

Неплохо, да? Любой из этих подходов верен, решай как тебе удобно.

  1. Разложение на множители очень пригодится при решении таких нестандартных заданий, как вот это:
  2. Не пугаемся, а действуем! Разложим каждый множитель под корнем на отдельные множители:
  3. А теперь попробуй самостоятельно (без калькулятора! его на экзамене не будет):

Разве это конец? Не останавливаемся на полпути!

На простые множители разложили. Что дальше? А дальше пользуемся свойством умножение корней и записываем все под одним знаком корня:

Вот и все, не так все и страшно, правда?

Получилось  ? Молодец, все верно!

А теперь попробуй вот такой пример решить:

А пример-то – крепкий орешек, так сходу и не разберешься, как к нему подступиться. Но нам он, конечно, по зубам.

Ну что, начнем раскладывать   на множители? Сразу заметим, что можно поделить число на   (вспоминаем признаки делимости):

А теперь, попробуй сам (опять же, без калькулятора!):

Ну что, получилось  ? Молодец, все верно!

Как вычислить периметр и площадь квадрата

Для вычисления площади и периметра квадрата необходимо знать значение одной стороны данного прямоугольника либо диагонали.

Поскольку стороны у него имеют одинаковую длину, то для того чтобы узнать периметр квадрата, следует умножить значение стороны на 4 или просто сложить все 4 стороны: полученная сумма и является периметром. К примеру, длина одной стороны вашего квадрата 5 см.

Следовательно, 5 нужно умножить на 4 (5 х 4 = 20) или же сложить все стороны: 5 5 5 5 = 20. Это самый простой способ вычисления.

Периметр квадрата вычисляется также с помощью значения диагонали. Сначала прочтите нашу статью по теме Как найти диагональ квадрата. Периметр квадрата равен произведению длины диагонали на 2 корня из 2.

Это означает, что если длина диагонали у вашего квадрата 10 см, то следует из 2 вывести корень (что будет равно приблизительно 1,4) и умножить на 2, затем на длину. Таким образом, 1,4 х 2 х 10 = 28 см (если округлить).

То есть периметр квадрата с диагональю 10 см будет равен около 28 см.

Для вычисления площади квадрата используется простой метод: следует возвести в квадрат длину одной стороны. Так, если она составляет 4 см, то следует 4 умножить на 4. Получается, что площадь квадрата со стороной 4 см равна 16 см.

Квадрат разности

Запомните!

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

(a − b)2 = a2 − 2ab b2

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

(a − b)2 = (b − a)2

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a − b)2 = a2 −2ab b2 = b2 − 2ab a2 = (b − a)2 Запомните!

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

(a b)3 = a3 3a2b 3ab2 b3

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

  • Выучите, что в начале идёт «a3».
  • Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3.
  • Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1. (a0 = 1, b0 = 1). Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени «a» и увеличение степени «b». В этом можно убедиться: (a b)3 = a3b0 3a2b1 3a1b2 b3a0 = a3 3a2b 3ab2 b3

Квадрат суммы

Запомните!

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(a b)2 = a2 2ab b2

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Найти 1122.

  • Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним. 112 = 100 1
  • Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат. 1122 = (100 12)2
  • Воспользуемся формулой квадрата суммы: 1122 = (100 12)2 = 1002 2 · 100 · 12 122 = 10 000 2 400 144 = 12 544
Рефераты:  Теории региональной экономики и пространственного размещения

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

  • (8a с)2 = 64a2 16ac c2

Квадрат числа: интересное свойство

Всем привет!

Практически все знают, что такое квадрат числа. Это число во второй степени. Или, другими словами, это число, умноженное само на себя. Это очень просто. Сегодня же я хочу показать Вам одно интересное свойство квадрата любого натурального числа. Большинство математиков скажут, что это очевидно. Но для остальных, не работающих каждый день с числами, это, думаю, покажется интересным фактом.

Что ж, сначала я напишу Вам формулировку этого свойства, затем докажу его. Звучит оно так: квадрат любого натурального числа n есть сумма n первых нечётных чисел.

Чтобы проще это было понять, приведу пару примеров. 1. 5²=25. А теперь сложим 5 первых нечётных чисел: 1 3 5 7 9=25 — для числа 5 работает. 2. 11²=121.

Сложим 11 первых нечётных чисел: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21=121. Тоже работает.

Свойство квадрата числа

И так для любого числа! Можете мне не верить, но я сам пришёл к этому, на мой взгляд, прекраснейшему свойству, когда мне было 11 лет.

Для меня лично это было открытием! А сейчас я Вам докажу, что это справедливо для любого натурального числа. Доказательство очень простое. В одной из предыдущих статей я рассказывал Вам об арифметических прогрессиях.

Для доказательства свойства очень пригодится формула нахождения суммы членов арифметической прогрессии:

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Найдём по этой формуле сумму n первых нечётных чисел. Первый член прогрессии равен единице, разность прогрессии равна двум (разность между двумя последовательными нечётными числами всегда равна двум). Подставив эти данные в формулу, получим:

Доказательство свойства

Квадратный корень. подробная теория с примерами

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Какое решение у данного уравнения? Какие числа можно возвести в квадрат и получить при этом  ?

Вспомнив таблицу умножения, ты легко дашь ответ:   и   (ведь при перемножении двух отрицательных чисел получается число положительное)!

Для упрощения математики ввели специальное понятие квадратного корня и присвоили ему специальный символ  

Давай разберемся с корнем до конца…

СОДЕРЖАНИЕ

Введение понятия арифметического квадратного корня​  Свойства арифметического квадратного корня Извлечение корней из больших чисел Как тебе квадратный корень? Все понятно?

Куб разности

Запомните!

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.

(a − b)3 = a3 − 3a2b 3ab2 − b3

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков « » и «−». Перед первым членом «a3 » стоит « » (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять «−», затем опять « » и т.д.

(a − b)3 = a3 − 3a2b 3ab2 − b3 = a3 − 3a2b 3ab2 − b3

Не путать с кубом суммы!

Запомните!

Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

a3 b3 = (a b)(a2 − ab b2)

Сумма кубов — это произведение двух скобок.

  • Первая скобка — сумма двух чисел.
  • Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение: (a2− ab b2) Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

Запомните!

Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

a3 − b3 = (a − b)(a2 ab b2)

Будьте внимательны при записи знаков.

Осевая и центральная симметрии

Две точки А и A1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему (рис. 171, а). Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе. На рисунке 171, б точки М и М1, N и N1 симметричны относительно прямой b, а точка Р симметрична самой себе относительно этой прямой.

Рис. 171

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

Приведём примеры фигур, обладающих осевой симметрией (рис. 172). У неразвёрнутого угла одна ось симметрии — прямая, на которой расположена биссектриса угла. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось симметрии, а равносторонний треугольник — три оси симметрии.

Рис. 172

Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника и ромба, разносторонний треугольник.

Две точки А и A1 называются симметричными относительно точки О, если О — середина отрезка АА1 (рис. 173, а). Точка О считается симметричной самой себе. На рисунке 173, б точки М и М1, N и N1 симметричны относительно точки О, а точки Р и Q не симметричны относительно этой точки.

Рис. 173

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.

Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окружность и параллелограмм (рис. 174). Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма — точка пересечения его диагоналей. Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии (точка О на рисунке 174), у прямой их бесконечно много — любая точка прямой является её центром симметрии. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является произвольный треугольник.

Рис. 174

Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии или центр симметрии. Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля (рис. 175).

Рис. 175

С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией (рис. 176). В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например зубчатые колёса.

Рис. 176

Оставшиеся 2/3 статьи доступны только ученикам youclever!

  • Стать учеником YouClever,
  • Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц», 
  • А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

Ответы к задачам

    401. а) 198,1см или 122,6 см; б) 23,4 дм или 19,8 дм.

    403. 18 см.

    404. Указание. Пусть ВМ — медиана прямоугольного треугольника АВС, проведённая к гипотенузе АС. Рассмотреть четырёхугольник ABCD, где D — точка, симметричная точке В относительно точки М.

    405. а) 60° и 120°; б) 30° и 60°.

    406. 42 см. 407. 22°30′ и 67°30′.

    410. а) Нет; б) нет; в) да.

    412. 24 см.

    417. а) Две; б) бесконечное множество: любая прямая, перпендикулярная к данной, а также сама прямая; в) одну.

    418. А, Е, О.

    422. а) Да; б) нет; в) да; г) да.

    423. О и X.

Параллелограмм и ромб

Параллелограмм — четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны. Определение ромба звучит точно также, поэтому мы их объединили.

Свойства фигур:

  • Противоположные стороны и углы равны.
  • Сумма любых двух соседних углов равна 180 градусов.
  • Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
  • Каждая диагональ делит фигуру на два равных треугольника.

Общие формулы расчета площади фигур:

  1. S = a * h, где a — сторона, h — высота.
    площади фигур
  2. S = a * b * sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними.
    площади фигур
  3. S = 0,5 * (d1 * d2), где d1,d2 — две диагонали.
    площади фигур

Периметр ромба — это произведение длины стороны на четыре.

P = 4 * a, где a — длина стороны.

Периметр ромба

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 * (a b), где a — ширина, b — высота.

Периметр параллелограмма

Признаки параллелограмма

Напомним, что признак параллелограмма отвечает на вопрос «как узнать?», что фигура является параллелограммом.

Признак 1. Если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.

В значках это так:

Почему? Хорошо бы понять, почему   – этого хватит. Но смотри:

А раз  ,

Ну вот и разобрались, почему признак 1 верен.

Признак 2. Если у четырехугольника противоположные стороны равны, то это – параллелограмм.

Ну, это ещё легче! Снова проведём диагональ  .

А значит:

Признак 3. Если у четырёхугольника противоположные углы равны, то это – параллелограмм.

И тоже несложно. Но …по-другому!

Значит,  . Ух! Но   и   – внутренние односторонние при секущей  !

Поэтому тот факт, что   означает, что  .

А если посмотришь с другой стороны, то   и   – внутренние односторонние при секущей  ! И поэтому  .

Видишь, как здорово?!

Признак 4. Если у четырехугольника диагонали делятся точкой пересечения пополам, то это – параллелограмм.

И опять просто:

Точно так же  ,    , и  .

Обрати внимание: если ты нашел хотя бы один признак параллелограмма в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.

Для полной ясности посмотри на схему:

Признаки ромба.

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны то это – ромб.

Рефераты:  Инсулины

Почему? Смотри:

Признак 2. Если в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей делит пополам оба угла, через которые она проходит, то этот параллелограмм – ромб.

А это почему? А посмотри,

Значит,   и оба этих треугольника – равнобедренные.

И снова обрати внимание! Не всякий четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями – ромб.

Вот пример:

Чтобы быть ромбом, четырёхугольник сперва должен «стать» параллелограммом, а потом уже демонстрировать признак 1 или признак 2.

Применение формул сокращенного умножения

  • Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.
  • Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.
  • Примеры:
  • a2 2a 1 = (a 1)2
  • (aс − 4b)(ac 4b) = a2c2 − 16b2

Прямоугольник

Прямоугольник — четырехугольник, у которого все стороны пересекаются под прямым углом.

Свойства прямоугольника:

  • Диагонали прямоугольника равны и делятся в точке пересечения пополам.
  • Около прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагонали.

Узнать площадь прямоугольника помогут следующие формулы:

  1. S = a * b, где a, b — ширина и высота прямоугольника.
    прямоугольник
  2. S = a * √(d2 — а2), где а — известная сторона, d — диагональ.
    прямоугольник с диагональю

    Диагональ — это отрезок, который соединяет противоположные стороны фигуры. Он есть во всех фигурах, число вершин которых больше трех.

  3. S = 0,5 ∗ d2 ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝑎), где d — диагональ.
    прямоугольник

Периметр прямоугольника — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 * (a b), где a — ширина, b — высота.

Свойства арифметического квадратного корня

Теперь ты знаешь, как извлекать корни и пришло время узнать о свойствах арифметического квадратного корня. Их всего 3:

  • умножение;
  • деление;
  • возведение в степень.

Их ну просто очень легко запомнить с помощью этой таблицы и, конечно же, тренировки:

СвойствоПример
Корень произведения равен произведению корней:
Корень из дроби — это корень из числителя и корень из знаменателя:  , если  
Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение:  , при  

Свойства корней

Мы поговорим о свойствах.

  1. Свойство умноженных чисел a и b, которое представляется как равенствоa·b=a·b. Его можно представить в виде множителей, положительных или равных нулю a1, a2, …, ak как a1· a2· …· ak=a1· a2· …· ak;
  2. из частного a:b= a:b,  a≥0, b>0, он также может записываться в таком виде ab=ab;
  3. Свойство из степени числа a с четным показателем a2·m=am при любом числе a, например, свойство из квадрата числа a2=a.

В любом из представленных уравнений можно поменять части до и после знака тире местами, например, равенство a·b=a·b трансформируется как a·b=a·b. Свойства для равенства часто используются для упрощения сложных уравнений.

Доказательство первых свойств основано на определении квадратного корня и свойствах степеней с натуральным показателем. Чтобы обосновать третье свойство, необходимо обратиться к определению модуля числа.

Первым делом, необходимо доказать свойства квадратного корня a·b=a·b. Согласно определению , необходимо рассмотреть, что a·b — число, положительное или равное нулю, которое будет равно a·b при возведениив квадрат.

Значение выражения a·b положительно или равно нулю как произведение неотрицательных чисел. Свойство степени умноженных чисел позволяет представить равенство в виде (a·b)2=a2·b2.

По определению квадратного корня a2=a и b2=b, то a·b2=a2·b2=a·b.

Аналогичным способом можно доказать, что из произведения k множителей a1, a2, …, ak будет равняться произведению квадратных корней из этих множителей. Действительно, a1·a2· …· ak2=a12· a22· …· ak2=a1· a2· …· ak.

Из этого равенства следует, что a1· a2· …· ak=a1· a2· …· ak.

Рассмотрим несколько примеров для закрепления темы.

Пример 1

3·525=3·525, 4,2·1312=4,2·1312 и 2,7·4·1217·0,2(1)=2,7·4·1217·0,2(1).

Необходимо доказать свойство арифметического квадратного корня из частного: a:b=a:b, a≥0, b>0. Свойство позволяет записать равенство a:b2=a2:b2, а a2:b2=a:b, при этом a:bявляется положительным числом или равно нулю. Данное выражение и станет доказательством.

Например, 0:16=0:16, 80:5=80:5 и 30,121=30,121.

Рассмотрим свойство квадратного корня из квадрата числа. Его можно записать в виде равенствакак a2=aЧтобы доказать данное свойство, необходимо подробно рассмотреть несколько равенств при a≥0 и при a

Свойства прямоугольника:

  1. Прямоугольник – параллелограмм
  2. Диагонали прямоугольника равны

Пункт 1) совсем очевидный – ведь просто выполнен признак 3 (  )

А пункт 2) – очень важный. Итак, докажем, что

диагонали прямоугольника равны.

А значит,   по двум катетам (  и   — общий).

Ну вот, раз треугольники   и   равны, то у них и гипотенузы   и   тоже равны.

Доказали, что  !

И представь себе, равенство диагоналей – отличительное свойство именно прямоугольника среди всех параллелограммов. То есть верно такое утверждение^

Если у параллелограмма равны диагонали, то это прямоугольник.

Давай поймём, почему?

Значит,   (имеются в виду углы параллелограмма). Но ещё раз вспомним, что   – параллелограмм, и поэтому  .

Значит,  . Ну и, конечно, из этого следует, что каждый из них по  ! Ведь в сумме-то они должны давать  !

Вот и доказали, что если у параллелограмма вдруг (!) окажутся равные диагонали, то это точно прямоугольник.

Но! Обрати внимание! Речь идёт о параллелограммах! Не любой четырехугольник с равными диагоналями – прямоугольник, а только параллелограмм!

Свойства ромба

  • Свойство 1. Диагонали ромба перпендикулярны.
  • Свойство 2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Посмотри на картинку:

Как и в случае с прямоугольником, свойства эти – отличительные, то есть по каждому из этих свойств можно заключить, что перед нами не просто параллелограмм, а именно ромб.

Свойства четырехугольников. квадрат

То есть квадрат – это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.

Понятно, почему? Квадрат — ромб     – биссектриса угла  , который равен  . Значит   делит   (да и   тоже) на два угла по  .

Ну, это совсем ясно: прямоугольник   диагонали равны; ромб   диагонали перпендикулярны, и вообще – параллелограмм   диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к  .

Значит,  

Сравнение корней

Зачем нам учиться сравнивать числа, содержащие квадратный корень?

Очень просто. Часто, в больших и длиииинных выражениях, встречающихся на экзамене, мы получаем иррациональный ответ (помнишь, что это такое? Мы с тобой сегодня об этом уже говорили!)

Полученные ответы нам необходимо расположить на координатной прямой, например, чтобы определить, какой интервал подходит для решения уравнения. И вот здесь возникает загвоздка: калькулятора на экзамене нет, а без него как представить какое число больше, а какое меньше? То-то и оно!

Например, определи, что больше:   или  ?

Сходу и не скажешь. Ну что, воспользуемся разобранным свойством внесения числа под знак корня?

Тогда вперед:

Ну и, очевидно, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень!

Т.е. если  , значит,  .

Отсюда твердо делаем вывод, что  . И никто не убедит нас в обратном!

Теорема о свойствах параллелограмма.

В любом параллелограмме:

Давай-ка поймём, почему это всё верно, иными словами ДОКАЖЕМ теорему.

Итак, почему верно 1)?

Раз   – параллелограмм, то :

  •    как накрест лежащие
  •    как накрест лежащие.

Значит,   (по II признаку:   и   — общая.)

Ну вот, а раз  , то   и   – всё! – доказали.

Но кстати! Мы ещё доказали при этом и 2)!

Почему? Но ведь   (смотри на картинку), то есть  , а   именно потому, что  .

Осталось только 3).

Для этого всё-таки придётся провести вторую диагональ.

И теперь видим, что   — по II признаку (  угла и сторона «между» ними).

Свойства доказали! Перейдём к признакам.

Трапеция

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две не параллельны.

Основное свойство: в трапецию можно вписать окружность, если сумма ее основ равна сумме боковых сторон.

Как найти площадь трапеции:

S = (a b) : 2 * h, где a, b — два разных основания, h — высота трапеции.

площадь трапеции

Построить высоту трапеции можно, начертив отрезок так, чтобы он соединил параллельные стороны и пересек их под прямым углом.

Формула периметра для равнобедренной трапеции отличается от прямоугольника тем, что у первого есть две равные стороны.

P = a b 2 * c, где a, b — параллельные стороны, c — две длины одинаковых сторон.

периметр равнобедренной трапеции

Умножение корней

  1. Взглянул еще раз на табличку… И, поехали!
  2. Начнем с простенького:
  3. Минуууточку.

      это  , а это значит, что мы можем записать вот так:

  4. Усвоил? Вот тебе следующий:
  5. Корни из получившихся чисел ровно не извлекаются? Не беда – вот тебе такие примеры:

А что, если множителей не два, а больше? То же самое! Формула умножения корней работает с любым количеством множителей:

Формулы сокращённого умножения

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо «a» и «b» в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Характеристическое свойство фигуры. характеристические свойства прямоугольника, ромба, квадрата. | социальная сеть работников образования

  • Подготовила
  • Ученица 7 «В» класса
  • Шлянина Екатернина
  • Руководитель:
  • Атабиева М.И
  • учитель математики
  • ЦЕЛИ ПРОЕКТА:

Познакомиться с характеристическим свойством фигуры. Характеристическими свойствами прямоугольника, ромба, квадрата.

Подведем итоги

  1. Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа   называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен  .  .
  2. Если мы просто извлекаем квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.
  3. Свойства арифметического корня:
    СвойствоПример
    Корень произведения равен произведению корней , если  
    Корень из дроби — это корень из числителя и корень из знаменателя. , если  
    Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение , при  
  4. При сравнении квадратных корней необходимо помнить, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень.
Оцените статью
Реферат Зона
Добавить комментарий