Арифметическая м геометрическая прогрессии в окружающей нас жизни | Образовательная социальная сеть

Арифметическая м геометрическая прогрессии в окружающей нас жизни | Образовательная социальная сеть Реферат

Числовые последовательности (основные понятия)

Если каждому натуральному числу n поставить в соответствие действительное число an, то говорят, что задано числовую последовательность:

a1, a2, a3, . . . , an, . . .  .

Итак, числовая последовательность — функция натурального аргумента.

Число a1 называют первым членом последовательности, число a2 — вторым членом последовательности, число a3 — третьим и так далее.

Из двух соседних членов an и an 1 последовательности член an 1 называют последующим (по отношению к an), а an — предыдущим (по отношению к an 1).

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Часто последовательность задают с помощью формулы n-го члена, то есть формулы, которая позволяет определить член последовательности  по его номеру.

► Например,

последовательность положительных нечётных чисел можно задать формулой

an = 2n –1,

а последовательность чередующихся 1 и –1 — формулой

bn = (–1)n 1. ◄        

Последовательность можно определить рекуррентной формулой, то есть формулой, которая выражает любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько) члены.

► Например,

если  a1 = 1,  а  an 1 = an 5, то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

a1 = 1,

a2 = a1 5 = 1 5 = 6,

a3 = a2 5 = 6 5 = 11,

a4 = a3 5 = 11 5 = 16,

a5 = a4 5 = 16 5 = 21.

Если  а1 = 1,  а2 = 1,  an 2 = an an 1,  то первые семь членов числовой последовательности устанавливаем следующим образом:

a1 = 1,

a2 = 1,

a3 = a1 a2 = 1 1 = 2,

a4 = a2 a3 = 1 2 = 3,

a5 = a3 a4 = 2 3 = 5,

a6 = a4 a5 = 3 5 = 8,

a7 = a5 a6 = 5 8 = 13. ◄

Последовательности могут быть конечными и бесконечными.

Последовательность называется конечной, если она имеет конечное число членов. Последовательность называется бесконечной, если она имеет бесконечно много членов.

► Например,

последовательность двузначных натуральных чисел:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

конечная.

Последовательность простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

бесконечная. ◄

Последовательность называют возрастающей, если каждый её член, начиная со второго, больше чем предыдущий.

Последовательность называют убывающей, если каждый её член, начиная со второго, меньше чем предыдущий.

► Например,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — возрастающая последовательность;

1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . , 1/n, . . . — убывающая последовательность. ◄

Последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают, называется монотонной последовательностью. 

Монотонными последовательностями, в частности, являются возрастающие последовательности и убывающие последовательности.

Арифметическая м геометрическая прогрессии в окружающей нас жизни | образовательная социальная сеть

Исследовательская работа обучающейся

9 класса Таныгиной Алены на тему:

«Арифметическая и геометрическая прогрессии

в окружающей нас жизни»

Арифметическая и геометрическая

прогрессии в  окружающей нас жизни

Аннотация проекта:

В работе дается ответ на вопрос: действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни?  Для этого сделан исторический экскурс для установления авторства теории о прогрессиях. Приведены примеры применения прогрессий в различных отраслях хозяйства. Сделан анализ влияния размножения живых организмов в геометрической прогрессии на жизнь на Земле

Актуальность исследования. (почему это важно).    

 В 9 классе мы изучаем прогрессии: дали определение, научились находить по формулам любой член прогрессии, сумму первых членов прогрессии. Найдя ответы на вопросы: имеет ли это какое — либо практическое значение и как давно люди знают последовательности, как возникло это понятие, мы подтвердим или опровергнем утверждение о том, что математика – наука очень древняя  и возникла она из практических нужд человека, что алгебра является  частью общечеловеческой культуры.

   Проблемный вопрос:

Действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни?

Объект исследования: последовательности: арифметическая и геометрическая прогрессии. 

  Предмет исследования: практическое применение этих прогрессий

     Гипотеза исследования:

           На уроках математики мы много раз слышали о том, что математика – наука очень древняя  и возникла она из практических нужд человека. Видимо, и прогрессии имеют определенное практическое значение.

Цель исследования:

 установить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры

их применения.

Задачи исследования :

1.   Изучить наличие задач на прогрессии с практическим содержанием в различных учебных пособиях.

2.   Выяснить:

— когда и в связи с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности -прогрессии;

— какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме.

3.  Установить: имеют ли арифметическая и геометрическая прогрессии прикладное значение?  Найти примеры применения прогрессий в нашей жизни.           

    Методы исследования:

Анализ школьных учебников математики.

Анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета.

Обобщение найденных фактов в учебниках по биологии и  по экологии и в медицинских справочниках.

Арифмети́ческая прогре́ссия

   числовая последовательность, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего увеличением его на определённое число.

   Имеет вид:  a1, a1 d, a1 2d, a1 3d, …, a1 (n-1)d,…

   Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число.

   Имеет вид:  b1, b1q, b1q2, b1q3,… ,b1qn-1,…  

Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции.    В Древнем Египте в V в до н.э. греки знали прогрессии и их суммы:

 1 2 3 … n = =2 4 6 … 2n = n·(n 1).    Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым (V в.)  (слайд 11).

Примеры отдельных арифметических и геометрических прогрессий можно встретить еще в древневавилонских и греческих надписях, имеющих возраст около четырех тысячелетий и более. В древней Греции еще пять столетий до н.э. были известны такие суммы:

                1 2 3 … n=½n(n 1);

                1 3 5 … (2n-1)=n2;

                2 4 6 … 2n=n(n 1). (слайд 12)

    В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко второму тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий. Вот пример задачи из египетского папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками и, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры».      В трудах  АРХИМЕДА (ок. 287-212 гг. до н.э.) излагаются первые сведения о прогрессиях.  (слайд 13, 14, 15)

Пифагор (IV в. до н. э.) и его ученики рассматривали последовательности, связанные с геометрическими фигурами.  

Вопросами последовательности занимался  Леонардо Пизанский (Фибоначчи).  Наиболее известной из сформулированных Фибоначчи задач является «задача о размножении кроликов», которая привела к открытию числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, именуемой впоследствии «рядом Фибоначчи».

Задача Фибоначчи :    Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения (показано в таблице).

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 3 = 5; 3 5 = 8; 5 8 = 13, 8 13 = 21; 13 21 = 34 и т.д.

О том, как давно была известна геометрическая прогрессия, свидетельствует знаменитое предание о создании шахмат. Рассказывают, что индийский принц Сирам рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него изобретатель шахмат: за первую клетку шахматной доски – одно зерно, за вторую – два, за третью – четыре, за четвертую – восемь и так до 64-го поля. Здесь явная геометрическая прогрессия с первым членом, равным 1, и знаменателем, равным 2.

  В Германии молодой Карл Гаусс (1777-1855) нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи ещё учеником начальной школы.

           1 2 3 4 … 98 99 100 =  (1 100) (2 99) (3 98) … (50 51)=

=101×50 =5050. Это – арифметическая прогрессия.

Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другие.

Много старинных задач, дошедших до нас, связанных с прогрессией.

 «Задача о семи старухах».

 Старухи направляются в Рим, каждая имеет 7 мулов, каждый мул тащит 7 мешков, в каждом мешке находится 7 хлебов, у каждого хлеба лежит 7 ножей, каждый нож нарежет 7 кусков хлеба. Чему равно общее число всего перечисленного?  (Решение дано на слайде)

Рефераты:  два текста содержат одинаковое количество символов . Первый составлен из символов алфавита - Школьные

В историческом отношении эта задача интересна тем, что она тождественна с задачей, которая встречалась в папирусе Ринда (Египет), то есть через три тысячи лет после египетских школьников задачу предлагалось разрешить итальянским школьникам.

 7, 49, 343, 2401, 16807, 117649

 –это геометрическая прогрессия, первый член b1= 7 и знаменатель прогрессии q=7.

  bn= b1 q n-1.  b6= 7 ·76-1= 7 ·75= 76= 117649.

 Sn =(b1(q n -1))/(q-1);  S6 = (7(7 6 -1))/(7-1) = (7(117649 -1))/6=

=7 ·117648:6=137256

Еще пример старинных задач, дошедших до нас, которые вы сами можете решить, применив формулы суммы арифметической и геометрической прогрессии:

Шли семь старцев
У каждого старца по семь костылей;
На каждом костыле по семь сучков;
На каждом сучке по семь кошелей;
В каждом кошеле по семь пирогов;
В каждом пироге по семь воробьёв.
Сколько всего воробьёв?

Ответ: 117649 воробьёв 

Каждый из 7 человек имеет 7 кошек. Каждая кошка съедает по 7 мышек, каждая мышка за одно лето может уничтожить 7 ячменных колосков, а из зёрен одного колоска может вырасти 7 горстей ячменного зерна. Сколько горстей зерна ежегодно спасается благодаря кошкам?

Ответ: 16807 горстей.          

Прогрессии широко встречаются в окружающей нас жизни.

Прогрессии в природе.

Все организмы обладают интенсивностью размножения в геометрической прогрессии. Примеры этих организмов:

ИНФУЗОРИИ…    Летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам.         Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения?

Ответ:  b15 = 2·214 = 32 768 (геометрическая прогрессия)

БАКТЕРИИ…     Известно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д.  (геометрическая прогрессия). Результат каждого удвоения будем называть поколением. (слайд 39)

Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов. (слайд 40)

Задача №524.  [Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2021, -224с.(108) ]

Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток.

Решение. В сутках 1440 минут,  каждые двадцать минут появляется новое поколение — за сутки 72 поколения. По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, у которой b1=1, q=2, n=72, находим, что S72=272-1= 4 722 366 482 869 645 213 696 — 1=

                  = 4 722 366 482 869 645 213 695. (слайд 41)  Это число читается:

Всего бактерий

4 септиллиона

722 сектиллиона

366 квинтиллионов

482 квадриллионов

869 триллиона

645 миллиарда

709 миллионов

213 тысяча 695  (слайд 42)

Интенсивность размножения бактерий используют…         в пищевой

промышленности (для приготовления напитков, кисломолочных продуктов,

при квашении, солении и др.),   в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин),  в сельском хозяйстве (для приготовления силоса, корма для животных и др.),  в коммунальном  хозяйстве и природоохранных  мероприятиях  (для очистки сточных вод,ликвидации

нефтяных пятен)  Еще примеры организмов, которые распространяются в геометрической прогрессий:

МУХИ……          “Потомство пары мух съест мёртвую лошадь также скоро как лев”.   Карл Линней.  Девятое поколение одной пары мух наполнило бы куб, сторона которого равна 140 км, или же составило бы нить, которой можно опоясать земной шар 40 млрд. раз. (примео геометрической прогрессии).  (слайд 44)

ОДУВАНЧИК…….       “Потомство одного одуванчика за 10 лет может   покрыть  пространство  в  15  раз больше суши земного шара”.

                                       К. А. Тимирязев.

Задачи:

Одно растение одуванчика занимает на земле площадь 1 кв. метр  и даёт в год около 100 летучих семян.

а) Сколько кв. км площади покроет всё потомство одной особи одуванчика  через 10 лет при условии, если он размножается  беспрепятственно по геометрической прогрессии?   Ответ:  1012 км2

б) Хватит ли этим растениям на  11-й год места  на поверхности  суши земного шара?

Ответ:    нет, Sсуши = 148 млн км2   (слайды 45-46)

ТЛИ…….   Всего за пять поколений, то есть за 1 – 1,5 летних месяцев,

одна единственная тля может оставить более 300 млн.  потомков, а за год её потомство способно будет покрыть поверхность земного шара слоем

толщиной почти в 1 метр.   (слайд 47)

ВОРОБЬИ…… Потомство пары птиц величиной с воробья при продолжительности жизни в четыре года может покрыть весь земной шар за 35 лет.  

Еще две биологические задачи с применением прогрессии:   При каждом делении амёбы получается две новые особи. Сколько особей будет после 6 делений? После 10 делений?

Гидра размножается почкованием, причём при каждом делении получается 5 новых особей. Какое количество делений необходимо для получения 625 особей?  

Прогрессии в банковских расчетах.

Каждому в жизни приходится решать задачи, связанные с денежными вкладами.  

Представьте себе, что вы открыли в банке вклад в сумме а р. Под р% годовых на t лет. У вас есть две стратегии поведения: либо в конце каждого года хранения вклада снимать проценты по вкладу,  либо прийти в банк один раз — в конце срока хранения вклада. Kaкой доход вы получите в том и другом случаях?  

Чтобы ответить на этот вопрос , вам то же надо решить задачу на геометрическую прогрессию.

Прогрессии строителю:       Представьте, что вы – учетчик на стройке. Привезли большое количество бревен строевого леса. Нужно быстро определить, сколько бревен привезли, чтобы закрыть наряд шоферу.

Количество бревен легко подчитывается по формуле суммы арифметической прогрессии с разностью, равной единице, если бревна уложены так, как показано на рисунке.  (слайд 55)

Прогрессии в медицине.  

[Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2021, -224с.(с.100)

Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

Найдя сумму п первых членов арифметической прогрессии, найдете, что вам надо купить 180 капель. Т.е. 2 пузырька лекарства.

Решение. Составим математическую модель задачи:

        5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5

    ап1 d(n-1),      

   40=5 5(п-1),        

      п=8,                      

   Sп=((a1 aп)n)/2,   S8 =(5 40)·8:2=180,

  180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180 40 180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства. 

Прогрессии в спорте.  

Задача № 468
 [Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений / Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2021, -224с.(с.100)]

В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?

Решение. Составим математическую модель задачи. Система штрафных очков составляет арифметическую прогрессию, первый член которой равен 1, а разность – 0,5. Сумма первых n членов ( количество промахов) равно 7. Найдем число промахов — n.

Задача №469.
Задача № 471
[Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2021, -224с.(с.100)

Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?

Рефераты:  Защита человека в опасных и чрезвычайных ситуациях

Решение. Составим математическую модель задачи:    1400, 1300, …, 1400-100(n-1). a1=1400; d=-100, Sn=5000. Надо найти n.

 Sn= (2a1 d (n-1))n:2;

5000= (2·1400-100 · (n-1)) n:2;            Условию  задачи  удовлетворяет

10000= (2800-100 n 100) n;            n=4 ( при n=25 аn=-1000, но аn>0)

10000= (2900-100 n) n;                    Значит, альпинисты покорили

100 n2-2900 n 10000=0;                  высоту за 4 дня.

 n2-29 n 100=0;  n=25, n=4.                  Ответ: за 4 дня.

В каких процессах ещё встречаются
такие закономерности?  
Деление ядер урана происходит с помощью нейронов. Нейтрон, ударяя по ядру урана раскалывает его на две части. Получается два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывают их еще на 4 части и т.д. — это геометрическая прогрессия.

 При повышении температуры в арифметической прогрессии скорость химической реакции вырастает в геометрической прогрессии.

Возведение многоэтажного здания — пример арифметической прогрессии. Каждый раз высота здания увеличивается на 3 метра.

Вписанные друг в друга правильные треугольники — это геометрическая прогрессия.

Денежные вклады под проценты — это пример геометрической последовательности. Зная формулы суммы членов геометрической последовательности, можно подсчитывать сумму на вкладе.

 Равноускоренное движение — арифметическая прогрессия, т.к. за каждые промежутки времени тело увеличивает скорость в одинаковое число раз.

Допустим, что работники нанялись вырыть вам колодезь с таким условием, чтобы за первый аршин глубины им заплатили 400руб, а за каждый следующий         150-ю  рублями  больше, чем за предыдущий. Чтобы подсчитать, сколько рублей заплатить,  если они вырыли колодец глубиной 16 м, вы применяете формулу суммы п первых членов арифметической прогрессии. (слайд 65)

Задачи на применение прогрессий встречаются в старых учебниках по математике, в книгах по занимательной математике  (слайды 66-74).

 О поселковых слухах:    

Удивительно, как быстро разбегаются по посёлку слухи! Иной раз не пройдет и двух часов со времени какого– нибудь  происшествия, которое видели всего несколько человек, а новость уже облетела весь посёлок: все о ней знают, все слышали. Итак, задача:

       В поселке 16 000 жителей. Приезжий в 8.00 рассказывает новость трем соседям; каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д. Во сколько эта новость станет известна половине посёлка?

Если слух распространяется по посёлку и далее таким способом, то есть каждый узнавший эту новость успевает в ближайшие четверть часа передать её трём согражданам, то осведомление посёлка будет происходить по следующему расписанию:

   в 9.00 новость узнают 40 27 ·3=121 (человек);

      9.15                           121 81 ·3 =364 (человек);

      9.30                           364 243 ·3=1093 (человек);

      9.45                           1093 729 ·3=3280 (человек);

     10.00                          3280 2187 ·3 =9841(человек).

Эту задачу можно решить по-другому, используя формулу суммы  n первых членов геометрической прогрессии.

О финансовых пирамидах.

Разберёмся в механизмах этих организаций. Организатор начинает вовлекать в свою организацию и говорит, что, если внести указанную плату по указанным адресам  по 1 рублю, а затем заплатить ещё по 5 таким же адресам, вычеркнув первый адрес и дописав свой последним, то через некоторое время вы получите уйму денег. Хотя желающих разбогатеть по щучьему веленью немало, но в выигрыше оказываются только учредители такой игры. 

Решение. Дело в том, что число участников увеличивается в 5 раз с каждым кругом. Если пятёрка устроителей подпишет, допустим, 120 человек со своими адресами, то в первом круге участвуют 120 человек, во втором – 600, в третьем – 3 000, …, в десятом – 234  375  000 человек; это намного больше населения страны. Так что участник, включившийся в восьмом или девятом круге, уже ничего не получит.

 Прогрессии в литературе.

Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями! Так, вспомним строки из»Евгения Онегина».

Не мог он ямба от хорея,

Как мы не бились отличить…                                                                        Ямб — это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8… Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

         Хорей — это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7…пгн

Примеры:

Ямб:

«Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил…»

Прогрессия: 2; 4; 6; 8…

Хорей:.

«Я пропАл, как звЕрь в загОне»                     Б. Л. Пастернак

Прогрессия: 1; 3 ;5; 7…      

      «бУря  мглОю  нЕбо  крОет»

прогрессия 1; 3; 5;7.                        А.С. Пушкин.

Много задач  с практическим содержанием на прогрессии в современных  учебниках  по алгебре.

Выводы: 

Установили, что сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл.

Убедились в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другими.

Выяснили, что в развитие теории о прогрессиях внесли ученые Архимед, Пифагор и его ученики, французские математики  Леонард Фибоначчи и Баше де Мезириака,  немецкие математики  М. Штифель, Н. Шюке, и        К. Гаусс.

Нашли много задач  на арифметическую и геометрическую прогрессию в старых и в современных учебниках по математике. Заметили, что арифметическая прогрессия в практических задачах встречается чаще геометрической. Много задач с практическим содержанием в учебнике для 9 класса под редакцией Г.В. Дорофеева [4].

Обнаружили, что интенсивное размножение бактерий в геометрической прогрессии широко применяется в пищевой промышленности, в фармакологии, в медицине, в сельском и коммунальном хозяйствах, в банковских расчетах (начисление сложных процентов).

Сделав анализ задач на прогрессии с практическим содержанием мы увидели, что прогрессии встречаются при решении задач в медицине, в строительстве, в банковских расчетах, в живой природе, в спортивных соревнованиях и в других жизненных ситуациях. Следовательно, нам необходим навык применения знаний, связанных с прогрессиями.

Список использованных источников:

Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г.Мордкович. – 9-е изд., стер. – М.:Мнемозина, 2007. – 231 с.;

Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев и др. под ред. С.А. Теляковского –М.: Просвещение, 2009 – 271 с.;

Алгебра. 9 класс, : Учебник для общеобразовательных учреждений / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феактистов И.Е. . -М.: Мнеозина, 2008, -447с. № 698, 699,702,725,734, 788, 789 (7 задач)

Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных.9 кл.: Учебник  для общеобразовательных учебных заведений/ Г.В. Дорофеев , С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; под ред. Г.В. Дорофеева. -М. :Дрофа, 2000,-352с.;

Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы -М.: Просвещение, 1990.-224сю;

Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989.-352с..

http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm 

http://students.tspu.ru/students/legostaeva/index.php?page=op 

http://festival.1september.ru/articles/568100/ 

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавляется одно и то же число.

Иначе,

a1, a2, a3,  . . .  , an, . . .

является арифметической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:

an 1 = an d,

где  d — некоторое число.

Таким образом, разность между последующим и предыдущим членами данной арифметической прогрессии всегда постоянна:

а2 – a1 = а3 – a2 = . . . = an 1 – an = d.

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать её первый член и разность.

► Например,

если  a1 = 3,  d = 4, то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

a1 =3,

a2 = a1 d = 3 4 = 7,

a3 = a2 d = 7 4 = 11,

a4 = a3 d = 11 4 = 15,

a5 = a4 d = 15 4 = 19. ◄

Рефераты:  Реферат: История развития баскетбола -

Для арифметической прогрессии с первым членом a1 и разностью d её n-й член может быть найден по формуле:

an = a1 (n – 1)d.

► Например,

найдём тридцатый член арифметической прогрессии

1, 4, 7, 10, . . .

Имеем,

a1 =1,  d = 3,

a30 = a1 (30 – 1)d =1 29·3 = 88. ◄

Так как

an–1 = a1 (n – 2)d,

an = a1 (n – 1)d,

an 1 = a1 nd,

то, очевидно,

то есть,

каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Так как верно и обратное утверждение, то имеет место следующее утверждение:

числа a, b и c  являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда одно из них равно среднему арифметическому двух других.

► Например,

докажем, что последовательность, которая задаётся формулой  an = 2n – 7, является арифметической прогрессией.

Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:

an = 2n – 7,

an–1 = 2(n – 1) – 7 = 2n – 9,

an 1 = 2(n  1) – 7 = 2n – 5.

Следовательно,

что и доказывает нужное утверждение. ◄

Отметим, что n-й член арифметической прогрессии можно найти не толь через a1, но и любой предыдущий ak, для чего достаточно воспользоваться формулой

an = ak (n – k)d.

► Например,

для  a5  можно записать

a5 = a1 4d,

a5 = a2 3d,

a5 = a3 2d,

a5 = a4 d. ◄

Так как

an = an–k kd,

an = an k – kd,

то, очевидно,

то есть,

любой член арифметической прогрессии, начиная со второго равен полусумме равноотстоящих от него членов этой арифметической прогрессии.

Кроме того, для любой арифметической прогрессии справедливо равенство:

am an = ak al,

если

m n = k l.

► Например,

в арифметической прогрессии  1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

1) a10 = 28 = (25 31)/2 = (a9   a11)/2;

2) 28 = a10 = a3 7d = 7 7·3 = 7 21 = 28;

3) a10 = 28 = (19 37)/2 = (a7  a13)/2;

4) a2 a12 = a5 a9, так как

    a2 a12 = 4 34 = 38,

    a5 a9 = 13 25 = 38. ◄ 

Сумма

Sn = a1 a2 a3 . . . an,

первых n членов арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних слагаемых на число слагаемых:

Отсюда, в частности, следует, что если нужно просуммировать члены

ak, ak 1,  . . . , an,

то предыдущая формула сохраняет свою структуру:

► Например,

в арифметической прогрессии  1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S10 = 1 4 . . . 28 = (1  28) · 10/2 = 145;

10 13 16 19 22 25 28 = S10 – S3 = (10 28) · (10 – 4 1)/2 = 133. ◄

Если дана арифметическая прогрессия, то величины  a1,  an,  d,  n  и  Sn  связаны двумя формулами:

Поэтому, если значения трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При этом:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называют бесконечную геометрическую прогрессию, модуль знаменателя которой меньше 1, то есть 

|q| < 1.

Заметим, что бесконечно убывающая геометрическая прогрессия может не быть убывающей последовательностью. Это соответствует случаю

–1 < q < 0.

При таком знаменателе последовательность знакопеременная. Например,

1, –1/2, 1/4, –1/8, . . .  .

Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому неограниченно приближается сумма первых n членов прогрессии при неограниченном возрастании числа n. Это число всегда конечно и выражается формулой

► Например,

10 1 0,1 0,01 . . . = 10 / (1 – 0,1) = 11 1/9 ,

10 – 1 0,1 – 0,01 . . . = 10 / (1 0,1) = 9 1/11 . ◄

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Иначе,

b1, b2, b3, . . .  , bn, . . .

является геометрической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:

bn 1 = bn · q,

где q ≠ 0 — некоторое число.

Таким образом, отношение последующего члена данной геометрической прогрессии к предыдущему есть число постоянное:

b2/b1 = b3/b2 = . . . = bn 1/bn = q.

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.

Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать её первый член и знаменатель.

► Например,

если  b1 = 1,  q = –3, то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

b1 = 1,

b2 = b1 ·q = 1 · (–3) = –3,

b3 = b2 ·q = –3 · (–3) = 9,

b4 = b3 ·q = 9 · (–3) = –27,

b5 = b4 ·q = –27 · (–3) = 81. ◄

Для геометрической прогрессии с первым членом  b1 и знаменателем q её n-й член может быть найден по формуле:

bn = b1 ·qn–1.

► Например,

найдём седьмой член геометрической прогрессии 1, 2, 4, . . .

Имеем,

b1 = 1,  q = 2,

b7 = b1 · q6= 1 · 26 = 64. ◄

Так как

bn–1 = b1 ·qn–2,

bn = b1 ·qn–1,

bn 1 = b1 ·qn,

то, очевидно,

bn2 = bn–1 · bn 1,

то есть,

каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому (пропорциональному) предшествующего и последующего членов.

Так как верно и обратное утверждение, то имеет место следующее утверждение:

числа  a, b и c  являются последовательными членами некоторой геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда квадрат одного из них равен произведению двух других, то есть одно из чисел является средним геометрическим двух других.

► Например,

докажем, что последовательность, которая задаётся формулой  bn = –3 · 2n, является геометрической прогрессией. Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:

bn = –3 · 2n,

bn–1 = –3 · 2n–1,

bn 1 = –3 · 2n 1.

Следовательно,

bn2 = (–3 · 2n)2 = (–3 · 2n–1) · (–3 · 2n 1) = bn–1 · bn 1,

что и доказывает нужное утверждение. ◄

Отметим, что n-й член геометрической прогрессии можно найти не только через b1, но и любой предыдущий член bk, для чего достаточно воспользоваться формулой

bn = bk ·qn–k.

► Например,

для  b5  можно записать

b5 = b1 ·q4,

b5 = b2 ·q3,

b5 = b3 ·q2,

b5 = b4 ·q. ◄

Так как

bn = bk ·qn–k,

bn = bn–k ·qk,

то, очевидно,

bn2 = bn–k · bn k

то есть,

квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго равен произведению равноотстоящих от него членов этой прогрессии.

Кроме того, для любой геометрической прогрессии справедливо равенство:

bm · bn = bk · bl,

если

m   n = k   l.

► Например,

в геометрической прогрессии  1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

1) b62 = 322 = 1024 = 16 · 64 = b5 · b7;

2) 1024 = b11 = b6 ·q5 = 32 · 25 = 1024;

3) b62 = 322 = 1024 = 8 · 128 = b4 · b8;

4) b2 · b7 = b4 · b5,  так как

    b2 · b7 = 2 · 64 = 128,

    b4 · b5 = 8 · 16 = 128. ◄

Сумма

Sn = b1   b2   b3  . . .  bn

первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем q ≠ 0  вычисляется по формуле:

А при q = 1 — по формуле

Sn = nb1

Заметим, что если нужно просуммировать члены

bk, bk 1,  . . . ,bn,

то используется формула:

► Например,

в геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S10 = 1 2 . . . 512 = 1 · (1 – 210) / (1 – 2) = 1023;

64 128 256 512 = S10 – S6 = 64 · (1 – 210–7 1) / (1 – 2) = 960. ◄

Если дана геометрическая прогрессия, то величины  b1,  bn,  q,  n  и  Sn  связаны двумя формулами:

Поэтому, если значения каких-либо трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Для геометрической прогрессии с первым членом b1 и знаменателем q имеют место следующие свойства монотонности:

b1 > 0  и  q > 1;

b1 < 0  и  0 < q < 1;

b1 > 0  и  0 < q < 1;

b1 < 0  и  q > 1.

Если  q < 0, то геометрическая прогрессия является знакопеременной: её члены с нечётными номерами имеют тот же знак, что и её первый член, а члены с чётными номерами — противоположный ему знак. Ясно, что знакопеременная геометрическая прогрессия не является монотонной.

Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:

Pn = b1 · b2 · b3 · . . . · bn = (b1 · bn) n/2.

► Например,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128)8/2 = 1284 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48)5/2 = (1441/2)5 = 125 = 248 832.◄

Связь арифметической и геометрической прогрессий

Арифметическая и геометрическая прогрессии тесно связаны между собой. Рассмотрим лишь два примера.

Если

a1, a2, a3, . . .— арифметическая прогрессия с разностью d, то

ba1, ba2, ba3, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем bd.

► Например,

1, 3, 5, . . . — арифметическая прогрессия с разностью 2 и

71, 73, 75, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 72. ◄

Если

b1, b2, b3, . . .— геометрическая прогрессия с знаменателем q, то

loga b1,  loga b2,  loga b3, . . . — арифметическая прогрессия с разностью  loga q.

► Например,

2, 12, 72, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 6 и

lg 2,  lg 12,  lg 72, . . . — арифметическая прогрессия с разностью  lg 6. ◄

Оцените статью
Реферат Зона
Добавить комментарий