Дифференциал функции

Что такое дифференцируемость функции

Определение 6.1. Функция дифференцируемой в точкеТеорема 6.1. Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке необходимо и достаточно, чтобы в точке существовала конечная производная

Доказательство.

Необходимость. Если функция Достаточность. Если Определение 6.2. Главная линейная часть приращения функции дифференциалом

Геометрический смысл дифференциала следует из формулы (6.2), рис. 6.1. Согласно принятым обозначениям:

Дифференциал функции равен приращению

Правила вычисления дифференциала аналогичны соответствующим правилам нахождения производной:

Таким образом, форма записи дифференциала сохраняется, если независимую переменную заменить некоторой функцией. Это свойство называется инвариантностью (неизменностью) формы записи дифференциала.

Основные теоремы дифференциального исчисления

Определение 7.1. Функция локальный максимум {локальный минимум), если

Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения функции в них – локальными экстремумами функции.

Если функция локальным односторонним или краевым экстремумом.Определение 7.2. Точка критической (стационарной) точкой, если производная функции в этой точке обращается в нуль Теорема 7.1 (Ферма).Пусть функция определена на  и в некоторой точке имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке существует конечная производная то

Доказательство.

Пусть в точке Замечание 7.1. В доказательстве теоремы существенно, что Геометрический смысл теоремы Ферма. Если Теорема 7.2 (Ролля). Пусть функция 1) определена и непрерывна на отрезке 2) дифференцируема для Тогда найдется точка  такая, что

Доказательство. Рассмотрим два случая.

1. Если функция

Замечание 7.2. Все условия теоремы Ролля существенны.

Геометрический смысл теоремы Ролля. При выполнении условий теоремы внутри отрезка Теорема 7.3 (Коши). Пусть заданы функции и и пусть:1) они определены и непрерывны на отрезке 2) дифференцируемы для Тогда найдется точка  такая, что

Доказательство.

Очевидно, что

Введем вспомогательную функцию

Функция

откуда

Теорема 7.4 (Лагранжа о среднем). Пусть функция непрерывна на отрезке  дифференцируема на интервале  Тогда найдется точка такая, что

или

    (7.1)

Доказательство.

Рассмотрим наряду с функцией

Из последнего равенства легко получается формула (7.1).

Замечание 7.3. Формула Лагранжа (7.1) часто записывается в виде

1.  
Происхождение понятия определённого интеграла и инфинитезимальные методы
Архимеда.

Понятие интеграла и интегральное
исчисление возникли из потребности вычислять площади любых фигур и поверхностей
и объёмы произвольных тем. Предыстория интегрального исчисления восходит к
глубокой древности. Идея интегрального исчисления была древними учёными
предвосхищена в большей мере, чем идея дифференциального исчисления.

Следует особо упомянуть об одном
интегральном методе Архимеда, примененном в следующих его произведениях:

«О шаре и цилиндре», «О спиралях» и
«О коноидах и сфероидах». В последнем произведении рассмотрены объёмы
сегментов, получаемых при сечении плоскостью тел, образованных вращением вокруг
оси эллипса, параболы или гиперболы.

В терминологии Архимеда
«прямоугольный коноид» – это параболоид вращения, «тупоугольный коноид» – одна
полость двуполостного гиперболоида вращения, «сфероид» – элипсоид вращения.

В XIX предложении своего произведения
«О коноидах и сфероидах» Архимед доказывает следующую лемму: «Если дан сегмент
какого–нибудь из коноидов, отсечённый перпендикулярной к оси плоскостью, или же
сегмент какого–нибудь из сфероидов, не больший половины этого сфероида и точно
также отсечённый, то можно вписать в него телесную фигуру и описать около него
другую, состоящих из имеющих равную высоту цилиндров, и притом так, что
описанная фигура больше вписанной на величину, меньшую любой наперёд заданной
телесной величины.»

Эта лемма является ярким примером
метода интегральных сумм, существо которого состоит в следующем: тело вращения
разбивается на части и каждая часть аппроксимируется описанным и вписанным
телами, объёмы которых можно вычислить. Сумма объёмов описанных тел будет больше,
а сумма вписанных тел – меньше объёма тела вращения.

_п и нижних v_п
и находит объём V полуэллипсоида, как общий предел этих сумм при п ® ¥.
Так же он определяет объём сегментов параболоида и гиперболоида вращения.
Выражаясь современным языком Архимед определил интегралы:

                          1/2  sin
j dj = 1,      sin j dj = – cos a
1.

Конечно у Архимеда нет ещё общих
понятий предела и интеграла, нет и общего алгоритма интегрального исчисления.
Приведённые и другие его выкладки всегда связаны с решением конкретных
геометрических задач без указаний на то, что в основе всех их лежит один и тот
же общий приём арифметического суммирования сколь угодно малых частей фигуры.

Итак, дано тело вращения АВС и
телесная (объёмная) величина Е>0.
Делим ВО на п равных частей и строим описанные и вписанные цилиндры,
суммы объёмов которых, соответственно обозначим, Von и Vвn.

Теперь предположим, что на данном
рисунке изображён сегмент эллипсоида вращения и поставлена задача вычислить его
объём. В таком случае

V_оп
= p
hа²
p
h(х₁)²
h(х₂)²
h(х_п-1)²
=

                        = phå (хk)2, (х0 =
0)

Задача сведена к суммированию
квадратов чисел. Далее Архимед производит геометрические преобразования,
эквивалентные следующим аналитическим преобразованиям:

Так как  х2/а2
у2/в2 = 1,  то  х2 = а2/в2(в2
– у2)  и  далее каждого сечения:                               (х1)

                        (х2)2
= а2/в2(в2 –(2h)2),

                        …………………………,

х_п-1²а²в²в²
п
–1)
h²

откуда             Vоп
= åph(хk)2
= (phа2)/в2[пв2
– h2åJ2], где

J – последовательные
натуральные числа. Для нахождение сумм квадратов последних Архимед применил
геометрические оценки вида      (
п³h²
)/3 < å(J
h²п
1)
³ h³
)/3

откуда (так как
пh = в
)

                        (
в³
)/3 < å(J
h²h в³
/3
в³пв³п² в³п³

что до известной степени
эквивалентно оценке для ò
х2dх

из этих оценок получается

Vоп
= p(а2/в2)h
[пв2 – h2(п3/3)] = pа2в(1–1/3)
= 2/3pа2в

Аналогично     Vвп< 2/3pа2в.

Но так как согласно лемме, Vоп
– Vвп< Е,
то  искомый объём сегмента

                        V < 2/3pа2в,

то есть, равен удвоенному объёму
конуса с тем же основанием и высотой, что и сегмент.

Единственность предела
доказывается, как и во всех других случаях, приведением к противоречию.

Приведённый пример показывает, что
в античной математике сложился ряд элементов определённого интегрирования, в
первую очередь построение верхних и нижних интегральных сумм, аналогичных до
известной степени суммам Дарбу.

Бесконечно малые величины

1.В этом параграфе чаще всего независимое переменное будем обозначать через .О пределение. Бесконечно малой величиной вблизи называется функция, зависящая от и имеющая предел, равный нулю при условии, что независимое переменное стремится к .Например, стремится к 3; стремится к нулю.Бесконечно малые величины при условии, что независимое переменное стремится к нулю, будем называть «бесконечно малыми», не указывая, а только подразумевая условие

Приведем примеры геометрического и физического содержания.

Пример:

Площадь является бесконечно малой при любых

Пример:

Объема

Пример:

Объем

Пример:

По закону Ома Если этот предел существует и равен нулю,то бесконечно малая величина называется бесконечно малой более высокого порядка, чем .Если предел равен конечному числу ^*, то бесконечно малые и называются величинами одного порядка; если , то и называются эквивалентными бесконечно малыми.^* – этот предел может зависеть от других переменных, отличных от

Пример:

Пусть , так как

Пример:

Пусть , поскольку

Пример:

, так как

Пример:

.В заключение параграфа рассмотрим функцию , тогда приращение функции равно независимого переменного , т. е. приращение функции одного переменного является функцией двух независимых переменных .

Пример:

Пусть дана функция

Геометрический смысл теоремы лагранжа о среднем

При выполнении условий теоремы на интервале Следствие 7.1. Пусть функция

Доказательство.

Пусть Следствие 7.2. Пусть функции

Доказательство.

Так как функция Следствие 7.3. Пусть функция

Доказательство.

Пусть

Применение дифференциала к различным задачам

Рассуждения не только приводят к понятию дифференциала, но в некоторых случаях позволяют найти производную. Предположим, что приращение некоторой функции представлено в виде

где x) не зависит от h, и

Тогда

откуда

т. е. x)—производная заданной функции.

Пример:

Найти производную от функции f(x), определенной геометрически как объем, ограниченный:

1) поверхностью Р, полученной от вращения вокруг оси Ох дуги ОА, принадлежащей параболе

2) плоскостью П1, перпендикулярной оси Ох и отстоящей от начала координат на расстояние х (рис. 74).

Ясно, что объем зависит от величины х, т. е. является функцией х .

Возьмем произвольное число х. Соответствующее значение функции f(х) будет определяться объемом, ограниченным поверхностью Р и плоскостью П1 . Дадим х приращение h. Объем, т. е. функция f(x), в связи с этим получит приращение Р и плоскостями П1 и П2. Плоскости П1 и П2 пересекаются с поверхностью Р по окружностям (так как Р—поверхность вращения). Обозначим эти окружности К1 и К2.

Рассмотрим два цилиндра: первый из них имеет основанием К1, образующую, параллельную оси Ох, и высоту h, второй имеет основанием К2 и образующую, также параллельную оси Ох (рис. 77).

Объем первого цилиндра обозначим через W1 второго — через W2 . Из чертежей ясно, что приращение функции W1 и меньше объема W2 т. е.

Но oбъемы W1 и W2 легко подсчитать:

Разность объемов W1 и W2 (т. е. объем цилиндрического кольца) равна

Приращение W1 на некоторую часть разности W2 — W1 поэтомугдеh. Поэтому равенство (**) является частным случаем равенства (*). Следовательно, вывод, который был сделан в начале параграфа, может быть перенесен и на равенство (*), т. е. производная от функции f(х) равна

В этом примере следует обратить внимание на то, что функция f(х) была определена чисто геометрически, нам не была известна формула, определяющая эту функцию, однако производную мы нашли.

Пример:

Рассмотрим цилиндрическую трубу, у которой радиус внешней поверхности R, радиус внутренней поверхности r, высота H. Найдем объем V материала, из которого сделана эта труба (рис. 78).

Будем называть этот объем объемом цилиндрического слоя. Поскольку объем внешнего цилиндра равен

или

Если стенка трубы тонкая, то r и R мало отличаются друг от друга. Обозначим их разность через h (h = R — r). Тогда формула (*) примет вид

или

Второй член, стоящий в правой части равенства (*), второго порядка относительно h. Поэтому при

Интересно отметить еще один способ получения этой формулы (рис. 79).

Если разрезать трубку вдоль ее образующей и развернуть на плоскость, то получим «почти» прямоугольный параллелепипед с измерениями h и H. Его объем равен Hh , т. е. как раз тому, что дает формула (***).

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференцирование в математике
43. Формулы и правила дифференцирования
44. Дифференциальное исчисление
45. Дифференциальные уравнения
46. Дифференциальные уравнения первого порядка
47. Дифференциальные уравнения высших порядков
48. Дифференциальные уравнения в частных производных
49. Тригонометрические функции
50. Тригонометрические уравнения и неравенства
51. Показательная функция
52. Показательные уравнения
53. Обобщенная степень
54. Взаимно обратные функции
55. Логарифмическая функция
56. Уравнения и неравенства
57. Положительные и отрицательные числа
58. Алгебраические выражения
59. Иррациональные алгебраические выражения
60. Преобразование алгебраических выражений
61. Преобразование дробных алгебраических выражений
62. Разложение многочленов на множители
63. Многочлены от одного переменного
64. Алгебраические дроби
65. Пропорции
66. Уравнения
67. Системы уравнений
68. Системы уравнений высших степеней
69. Системы алгебраических уравнений
70. Системы линейных уравнений
71. Системы дифференциальных уравнений
72. Арифметический квадратный корень
73. Квадратные и кубические корни
74. Извлечение квадратного корня
75. Рациональные числа
76. Иррациональные числа
77. Арифметический корень
78. Квадратные уравнения
79. Иррациональные уравнения
80. Последовательность
81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
82. Тригонометрические функции произвольного угла
83. Тригонометрические формулы
84. Обратные тригонометрические функции
85. Теорема Безу
86. Математическая индукция
87. Показатель степени
88. Показательные функции и логарифмы
89. Множество
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат

Теорема лагранжа

ТЗ. Пусть функция f(х) непрерывна на сегменте [a; b] и дифференцируема на открытом интервале (a; b). Тогда существует хотя бы одна точка Доказательство: Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что внутри сегмента [a; b] есть, по крайней мере, одна такая точка с, в которой касательная к графику функции f(х) параллельна секущей, соединяющей крайние точки графика функции (Рис. 76):

Рис. 76. Геометрический смысл теоремы Лагранжа.

Составим уравнение секущей AВ, угловой коэффициент которой равен

Дополнительное объяснение теоремы Лагранжа:

Теорема 12.7.1. (Теорема Лагранжа) Пусть функция f(x) непрерывна на отрезкеДоказательство. Введем на отрезке

тогда функция F(x) примет вид;

Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля: она непрерывна на отрезке

Формулу (12.7.1) называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа приведена на рис. 12.5.

Заметим, что отношение

Следствие 12.7.1. Если функция f определена на некотором отрезке, имеет производную, равную нулю во всех внутренних точках и непрерывна на концах отрезка, то она постоянна на рассматриваемом отрезке.

Действительно, каковы бы ни были точки Следствие 12.7.2. Если две функции f и g дифференцируемы во всех внутренних точках некоторого отрезка и