Египет и зарождение математики | Образовательная социальная сеть

(235 kb.)

Доступные файлы (1):

Содержание

1. Возникновение первых математических понятий и методов

2. Математика древнего Египта

3. Математика древнего Вавилона

4. Математика древнего Китая

5. Математика древней Индии
1. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ПЕРВЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИИ И МЕТОДОВ

Процесс формирования математических понятий и регулярных приемов решения определенных классов элементарных задач охва­тывает огромный промежуток времени. Его начало, по всей вероят­ности, относится к далекому времени, когда человек перешел к использованию орудий для добывания средств существования, а затем и к обмену продуктов труда. Завершается этот период с появлением качественно новых форм математического мышления, т. е. тогда, когда совокупность этих понятий и методов и их содер­жание делаются достаточно богатыми, чтобы образовать логически связанные системы — начальные формы математических теорий. Последние возникают в математике около VI—V вв. до н. э.

Материальные свидетельства, по которым можно изучать этот самый ранний период в истории математики, немногочисленны и неполны. Исследователю приходится привлекать факты обшей ис­тории культуры человечества, по преимуществу археологические материалы и историю языка. История математики периода ее за­рождения практически неотделима от общей истории челове­чества.

Формы и пути развития математических знаний у различных народов весьма разнообразны. Однако при всем своеобразии путей развития общим для всех пародов является то, что все основные понятия математики: понятие числа, фигуры, площади, бесконечно продолжающегося натурального ряда и т. д. — возникли из прак­тики и прошли длинный путь совершенствования.

Например, понятие числа возникло вследствие практической необходимости пересчета предметов. Вначале считали с помощью подручных средств: пальцев, камней, еловых шишек и т. д. Следы этого сохранились в названии математических исчислений: напри­мер, calculusв переводе с латинского означает счет камешками. Запас чисел на ранних ступенях весьма ограничен. Ряд известных и используемых натуральных чисел был конечен и удлинялся лишь постепенно. Сознание неограниченной продолжимости натурально­го ряда является признаком высокого уровня знаний и культуры.

Наряду с употреблением все больших и больших чисел возни­кали и развивались их символы, а сами числа образовывали систе­мы. Для ранних периодов истории материальной культуры харак­терно разнообразие числовых систем. Постепенно совершенствова­лись и унифицировались системы счисления. Употребляемая ныне во всех странах десятичная позиционная система нумерации — итог длительного исторического развития. Ей предшествовали:

1. Различные иероглифические непозиционные системы. В каж­дой из них строится система так называемых узловых чисел (чаще
   всего 1, 10, 100, 1000,…). Каждое такое число имеет индивидуаль­ный символ — иероглиф. Остальные числа (их называют алгорит­мическими) образуются приписыванием с той или другой стороны
   узлового числа других узловых чисел и повторением их. Примера­
   ми таких систем являются египетская, финикийская, пальмирская,
   критская, сирийская, аттическая (или Геродианова), старокитай­ская, староиндусская (карошти), ацтекская, римская. Последняя
   имеет систему узловых чисел: I, V, X, L, С, D, М, построенную по
   десятичному признаку с заметным влиянием пятиричной системы.
2. Алфавитные системы счисления. В этих системах буквы ал­фавита, взятые по 9, используются соответственно для обозначения
   единиц, десятков, сотен. Каждой букве при этом дается отличи­
   тельный знак, указывающий, что она используется как число.
   В случае, если букв алфавита недостаточно, привлекаются дополнительные буквы и знаки. Типичный пример алфавитной систе­мы – греческая ионическая (древнейшая сохранившаяся запись,
   сделанная по этой системе, относится к V в. до н. э.):

(дигамма)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 и т.д.

Алфавитные системы удобнее из-за краткости записи, однако они малопригодныдля оперирования с большими числами и тре­буют больших усилий для запоминания. Примерами алфавитной системыкроме приведенной являются древнеславянская (кириллица и глаголица), еврейская, арабская, грузинская, армянская и др.

3. Позиционные недесятичные, а затем десятичная система. К позиционным недесятичным системам относятся вавилонская, индейская (племени майя на полуострове Юкатан), индийская, современная двоичная.

Записи в позиционной десятичной системе с нулем впервые появились около 500 г. до н. э. в Индии.

В результате длительного исторического развития из повсе­дневной практической деятельности людей сформировались другие математические понятия: площади, объемы и другие абстракции пространственных свойств предметов.

Накопление знаний как численно-арифметического, так и геометрического характера создало следующие предпосылки для формирования математических теорий:

а) возможность предварять непосредственное оперирование с
вещами оперированием с их упрощенными, схематическими изобра­жениями и наименованиями (символами). На более поздней сту­пени это привело к развитию числовых систем и геометрических построений;

б)умение заменять конкретную задачу канонической задачей
более общего вида, решаемой по определенным правилам, охватывающим целую совокупность частных случаев. Речь идет о первичных формах создания общих алгоритмов и связанных с ними
математических исчислений.

Когда указанные предпосылки оказываются действующими и заметных масштабах, а в обществе образуется прослойка людей, умеющих пользоваться определенной совокупностью математиче­ских приемов, тогда появляются основания говорить о начале су­ществования математики как науки, о наличии ее элементов.

Рассмотрим конкретно ранние стадии формирования матема­тики на примере сохранившихся памятников математической куль­туры древних египтян, вавилонян, китайцев и индийцев.

2. МАТЕМАТИКА ДРЕВНЕГО ЕГИПТА

Наши познания о древнеегипетской математике основаны главным образом на двух больших папирусах математического характера и на нескольких небольших отрывках. Один из больших папирусов называется математическим папирусом Ринда (по име­ни обнаружившего его ученого) и находится в Лондоне. Он при­близительно 5,5 мдлины и 0,32 мширины. Другой большой папиpyc, почти такой же длины и 8 см ширины, находится в Москве. Содержащиеся в них математические сведения относятся пример­но к 2000 г. до н. э.

Папирус Ринда представляет собой собрание 84 задач прикладного характера. При решении этих задач производятся действия с дробями, вычисляются площади прямоугольника, тре­угольника, трапеции и

круга (последняя равна (8/9 d)² , что грубому приближению ? = 3,1605…), объемы параллеле­пипеда, цилиндра, размеры пирамид. Имеются также задачи на пропорциональное деление, а при решенииодной задачи находит­ся сумма геометрической прогрессии.

В московском папирусе собраны решения 25 задач. Большинство их такого же типа, как и в папирусе Ринда. Кроме того, в одной из задач (№ 14) правильно вычисляется объем усеченной пирамиды с квадратным основанием. В другой задаче (№ 10) содержится самый ранний в математике пример определения площа­ди кривой поверхности: вычисляется боковая поверхность корзины, т. е. полуцилиндра, высота которого равна диаметру основания.

При изучении содержании математических папирусов обнаруживается следующий уровень математических знаний древних египтян.

Ко времени написания этих документов уже сложилась опре­деленная система счисления: десятичная иероглифическая. Для узловых чисел вида 10^к (k = 0, 1, 2, …, 7) установлены индивиду­альные иероглифы. Алгоритмические числа записывались комби­нациями узловых чисел. С помощью этой системы египтяне справлялись со всеми вычислениями, в которых употребляются целые числа. Что касается дробей, то египтяне создали специальный аппарат, опиравшийся на понимание дроби только как доли еди­ницы. В силу этого представления употреблялись лишь дроби аликвотные (вида 1/n) и некоторые индивидуальные, как, например, 2/3 и 3/4. Все результаты, которые должны были выражаться дробями вида m/n, выражались суммой аликвотных дробей.

Для облегчения этих операций были составлены специальные таблицы, например таблица чисел вида 2/n(п = 3, … , 101). Интересно отметить, что в этой таблице подбор слагаемых неоднозна­чен. Таблицы, по-видимому, составлялись в течение долгого времени, складывались постепенно и в дошедшем до нас виде представляют просто сводку достигнутых результатов.

Сложились также определенные приемы производства мате­матических операций с целыми числами и дробями. Общей для всей вычислительной техники египтян является ее аддитивный характер, при котором все процедуры по возможности сводятся к сложению. Совместно с примитивным пониманием дроби только как части единицы эта особенность обусловила своеобразный характер вычислений.

При умножении, например, преимущественно используется способ постепенного удвоения одного из сомножителей и склады­вания подходящих частных произведений.

При делении также используется процедура удвоения и последовательного деления пополам. Деление, по-видимому, было самой трудной математической операцией для египтян. Здесь наблю­дается самое большое разнообразие приемов. Так, иногда в каче­стве промежуточного действия применялось нахождение двух третей или одной десятой доли числа и т. п.

Часто встречается операция, называемая хау («куча»), соот­ветствующая решению линейного уравнения вида:

ax bx … cx = ?

При сложении дробей, имеющих разные знаменатели, египтя­не использовали умножение их на вспомогательные числа. Спосо­бы подбора этих вспомогательных чисел не дают, однако, права судить об этом приеме как о единообразном процессе, адекватном способу приведения дробей к общему знаменателю. Исторические реконструкции во многом еще спорны и не подтверждены доста­точным количеством фактов.

Материалы, содержащиеся в папирусах, позволяют утверж­дать, что за 20 веков до нашей эры в Египте начали складываться элементы математики как науки. Эти элементы еще только начи­нают выделяться из практических задач, целиком подчинены их содержанию. Техника вычислений еще примитивна, методы реше­ния задач не единообразны. Однако материалов, которые позво­ляли бы вообще судить о развитии математики в Египте, еще не­достаточно. Мы использовали их поэтому лишь как один из при­меров того, в какое время и в какой форме начинает складывать­ся математическая наука.

3. МАТЕМАТИКА ДРЕВНЕГО ВАВИЛОНА

Другим примером того же рода может служить математиче­ское наследие древнего Вавилона. Это название обычно распрост­раняется на совокупность государств, располагавшихся в между­речье Тигра и Евфрата и существовавших в период от 2000 до 200 г. до н. э. До нас дошло около ста тысяч глиняных табличек с клинописными записями. Однако табличек с текстами математи­ческого содержания известно только около 50, а математических таблиц без текста — около 200.

Вавилонская система математических символов имеет два основных элемента: клин с числовым значением 1 и крючок с числовым значением 1 и крючок с числовым значением 10. Повторением этих знаков можно запи­сать числа от 1 до 59. Любое число записывается слева направо по принципу . Таким образом система счисления оказывается позиционной 60-ричной. Однако эта систе­ма не имеет нуля, а один и тот же знак «клина» может обозначать не только единицу, но любое число вида 60^±к(k— натуральное число). Различать числа, написанные в такой системе (она назы­вается неабсолютной), можно лишь исходя из условий задачи.

Содержание табличек показывает, что на основе этой системы были созданы многие единообразные правила арифметических действий как с целыми числами, так и с дробями. Для облегче­ния действий существовали таблицы умножения (от 1·1 до 60·60). При перемножении больших чисел с помощью таблицы умножения находились частичные произведения, которые затем складывались. Деление производилось с помощью таблиц обратных значений (так как b:a = b·1/а).

Кроме таблиц вавилоняне использовали таблицу квадратов целых чисел, их кубов, обращенные таблицы (таблицы квадратных корней), таблицы чисел вида п³ п²и т. д.

В ряде вавилонских текстов содержится исчисление процентов
за долги, пропорциональное деление. Имеется также ряд текстов,
посвященных решению задач, которые с со­ временной точки зрения сводятся к уравнениям 1-й, и 2-й и даже 3-й степени.

Б. Л. ван дер Варден в своей книге «Пробуждающаяся наука» классифицировал все приемы решения задач в вавилонских табличках. Он пришел к выводу, что эти приемы эквивалентны приемам решения
следующих десяти видов уравнений и их систем:

а) уравнения с одним неизвестным:

ах=b, х² = а; х²± ах=b; х³=а; х²(х 1)=а;

б) системы уравнений с двумя неизвестными:

х ± у=а, ху=b, х² у² = b.

Кроме того, вавилонянам были известны: суммирование арифметических прогрессий; суммы вида

Наконец, в 1945 г. Нейгебауер и Сакс опубликовали расшифровку чрезвычайно интересной таблички, хранящейся в библиотеке Ко­лумбийского университета (США). В ней оказался перечень пря­моугольных треугольников с рациональными сторонами, т. е. троек пифагоровых чисел x² y² = z². Реконструкция метода их под­бора приводит, по-видимому, к формулам: х = р²– q²; y = 2pq; z = p² q², известным в теориичисел как диофантовы.

Геометрические знания вавилонян, по-видимому, превышали египетские, так как в текстах помимо общих типов задач встреча­ются начатки измерения углов и тригонометрических соотношений. В основном, впрочем, они тоже состояли из вычислений площадей и объемов прямолинейных фигур, обычных для элементарной геометрии. Площадь

круга вычислялась по формуле S=c²/12 ( c-длина окружности), откуда получалось плохое еще приближение: ? = 3. Имелись также и способы приблизительного вычисления объемов, основанные на своеобразном усреднении размеров.

Внимание ряда исследователей привлекает высокая алгоритмичность, проявлявшаяся в математических текстах древнего Ва­вилона. Это дало повод к высказыванию предположений, что в те времена культивировались общие методы, отвлеченные от конкрет­ных задач и представляющие своеобразную алгебру (Нейгебауер, Фогель). Однако существуют и более осторожные оценки матема­тических достижений вавилонян.

Вавилонские математические традиции распространились на сопредельные государства Ближнего Востока и могут быть про­слежены в них вплоть до эпохи эллинизма (ок. 330 г. — ок. 30 г. до н. э.).

Итак, к середине первого тысячелетия до н. э. в ряде стран Средиземноморского бассейна сложились такие условия, что мате­матика могла быть осмыслена как самостоятельная наука, были выделены как самостоятельный объект человеческой мысли ее основные понятия и предложения, и форма этого выделения оказа­лась достаточно общей и абстрактной для введения логических доказательств. Эта следующая фаза развития математики с наи­большей силой определилась в античной Греции к VI—V вв. до н. э.

Приведенные примеры показывают, как в разных странах происходил процесс накопления большого конкретного математи­ческого материала в виде приемов арифметических действий, спо­собов определения площадей и объемов, методы решения некото­рых классов задач, вспомогательных таблиц и т. п. Примерно такой же процесс накопления математических знаний происходил в Китае и в Индии.

4. МАТЕМАТИКА ДРЕВНЕГО КИТАЯ

Развитие научных знаний в Китае имеет многовековую бога­тую историю; установлено также и раннее оригинальное развитие китайской математики. Однако до сих пор не преодолена разроз­ненность и скудность достоверной научной информации о матема­тических познаниях китайцев в древности.

По утверждению китайского историка математика Ли Яня, математические познания китайцев восходят к XIV в. до н. э. В истории математики древнего Китая имеются сведения о деся­тичной системе счета, специальной иероглифической символике чисел, об оперировании большими числами, наличии вспомогатель­ных счетных устройств (узелки, счетная доска), об оперировании циркулем, линейкой и угольником и т. д.

Самым ранним математическим сочинением, если не считать трактата о чжоу-би (солнечных часах), является «Математика в девяти книгах», иногда называемая «Математикой в девяти гла­вах», или разделах. Это сочинение появилось как своеобразный итог математических достижений Китая к началу нашей эры. Есть сведения, что оно было составлено выдающимся государственным деятелем и ученым Чжан Цаном (152 г. до н. э.), собравшим и си­стематизировавшим все известные к его времени математические знания. «Математика в девяти книгах» неоднократно подвергалась переработкам и дополнениям: в I в. до н. э. (Гэн Чоу-чан), в III в. н. э. (Лю Хуэй), в VI в. (Чжень Луань), в VII в. (Ли Чунь-фен) и др.

В результате этих переработок «Математика в девяти книгах»
приобрела вид своеобразной математической энциклопедии со
сравнительно неоднородным содержанием. В VII—X вв. н. э. она
сделалась основным учебником для поступающих на государствен­ную службу и классическим сочинением, от которого отправлялись
ученые-математики в своих исследованиях.

Книги, составляющие это сочинение, имеют вид отдельных свитков. Они посвящены различным темам, преимущественно прак­тического характера. Различие обусловлено, по-видимому, тем, что различные книги предназначались для чиновников различных ведомств: землемеров, инженеров, астрономов, сборщиков налогов и т. п. Позднейшие дополнения вносились в киши по признаку не математической общности, а единстватемы.

Изложение — догматическое: формулируются условия задач (всего 246 задач) и даются ответы к ним. После группы однотип­ных задач формулируется алгоритм их решения. Этот алгоритм состоит или из общей формулировки правила или из указаний последовательных операций над конкретными числами. Выводов этих правил, объяснений, определений, доказательств нет.

Книга I называется «Измерение полей». Единицей измерения служит прямоугольник со сторонами 15 и 16 бу (т. е. шагов, при­близительно равных 133 см). Площади прямолинейных фигур вы­числяются верно. При вычислении площадей круга, сектора и кольца принимается, что ? = 3. Площадь сегмента вычисляется как площадь трапеции, большее основание которой совпадает с осно­ванием сегмента, а меньшее основание и высота — каждое равно высоте сегмента.

Используемая при этом система счисления – десятичная иероглифическая. Числа делятся на классы по четыре разряда в каждом. Особого знака, нуля при такой системе записи, очевид­но, не требуется. Нуль, действительно, появился значительно позд­нее, только в XII в., и был, видимо, заимствован из математики Индии. Чтобы придать большую общность постановке основной задачи об измерении площадей, в первой книге введены простые дроби и арифметические действия над ними. Правила действий — обычные: особенностью является только то, что при делении дробей требуется предварительное приведение их к общему знаменателю.

Употребляемое в первой книге значение ?= 3, видимо, сохра­нилось с оченьдавнего времени. Китайские математики того вре­мени умели и более точно вычислять значение. Например, в I в. до н. э. у Лю Синя мы встречаем ? = 3,1547, во II в. н. э. у Чжан Хэна ?=. (Чжан Хэн считал, что квадрат длины окружности относится к квадрату периметра описанного квадрата как 5:8). В IIIв. н. э. при вычислении сторон вписанных многоугольников Лю Хуэй нашел, что ? = 3,14.

Книга 2 «Соотношение между различными видами зерновых культур» отражает старинную практику взимания налогов зерном, измеряемых в объемных мерах, и расчетов при переработке этого зерна. Математические задачи, возникающие при этом, — это за­дачи на тройное правило и пропорциональное деление. Ко второй книге была позднее добавлена группа задач на определение стои­мости предметов, число которых может быть как целым, так и дробным.

Задачи на пропорциональное деление, деление пропорциональ­но обратным значениям чисел, а также простое и сложное тройное правило составляют содержание и следующей, третьей, книги «Деление по ступеням». Правил суммирования арифметических прогрессий здесь еще нет; они встречаются, по-видимому, впервые в математическом трактате Чжан Цяю-цзяня (VI в.).

В четвертой книге «Шао-гуан» вначале речь идет об опреде­лении стороны прямоугольника по данным значениям площади и другой стороны. Затем излагаются правила извлечения квадрат­ных и кубических корней, нахождения радиуса круга по его пло­щади. Правила сформулированы специально для счетной доски; подкоренное число делится на разряды соответственно по 2 или 3 знака, затем последовательно подбирается очередное значение корня и дается правило перестройки палочек на счетной доске. При решении задач, связанных с вычислением элементов круга или сферы, принимается ? = 3.

В книге 5 «Оценка работ» собраны задачи, связанные с рас­четами при строительстве крепостных стен, валов, плотин, башен, ям, рвов и других сооружений. При этом вычисляются как объемы различных тел, так и потребности в рабочей силе, материале, транспортных средствах при различных условиях.

Книга 6 «Пропорциональное распределение» начинается груп­пой задач о справедливом (пропорциональном) распределении на­логов. Математические методы здесь те же, что в книге 3, где речь шла о распределении доходов между чиновниками различных классов, -пропорциональное деление, простое и сложное тройное правило. Кроме того, в шестую книгу входит серия задач на сум­мирование отдельных арифметических прогрессии и задач на сов­местную работу с разной производительностью.

«Избыток-недостаток» — так называется седьмая книга. В ней подобраны задачи, приводившиеся к линейным уравнениям и их системам, и разработан способ их решения, совпадающий с методом двух ложных положений. Задачи и в этом случае накап­ливались в возрастающей степени трудности. Метод тоже еще не сформулирован четко и имеет много разновидностей частного ха­рактера.

Усовершенствование складывающихся в седьмой книге правил решения систем линейных уравнений и распространение их на си­стемы с большим числом неизвестных изложены в правиле «фан-чэн», которому посвящена вся восьмая книга. Задачи этой книги приводят к системам до пяти линейных уравнений с положитель­ными корнями. Для всех систем установлен единый алгоритм вычисления корней – упомянутый «фан-чэн», состоящий в сле­дующем.

Пусть дана система линейных уравнений:

В соответствии с китайским способом письма (справа налево по столбцам сверху вниз) составляется расширенная матрица си­стемы:

Эту матрицу преобразовывают так, чтобы все числа левее и выше главной диагонали коэффициентов были нулями:

Преобразование проводят обычным для теории детерминантов путем, но при этом оперируют только со столбцами; столбцы и строки матрицы здесь еще неравноправны. Преобразованная матрица с нулями соответствует ступенчатой системе уравнений:

откуда последовательно определяются корни системы уравнений.

В процессе преобразований матрицы системы китайские уче­ные ввели отрицательные числа. Для их сложения и вычитания было введено специальное правило «чжэн-фу», которое можно пе­ревести как правило «плюс-минус». Так как все вычисления, в том числе и преобразования матрицы, проводились на счетной доске, то для обозначения отрицательных чисел применялись счетные палочки другого цвета или формы, а в случае записи применялись иероглифы разных цветов,

Расширение понятия числа, которое мы отметили выше, является характерной особенностью развития математики. Те же стремления обеспечить общность решения в радикалах уравнений 2-4-й степеней в XVI в. в Италии привели к введению мнимых чисел. Что же касается приоритета китайских математиков относительно правила «фан-чэн», то он бесспорен. Достаточно указать, что в Европе идея создания подобного детерминанта впервые была высказана только Лейбницем в конце XVII в. Отрицательные числа в явном виде появились несколько раньше – в конце XV в. и сочинениях Н. Шюке.

Практическую основу последней книги «Математики в девяти книгах» составляют задачи определения недоступных расстояний и высот с помощью теоремы Пифагора и свойств подобных тре­угольников. Математически эта книга особенно интересна общей, алгебраической формулировкой правил. Помимо элементарных способов применения теоремы Пифагора в ней имеется способ на­хождения пифагорейских троек, т. е. целочисленных решений уравнения x² y²=z²:

Некоторые задачи приводят к полным квадратным уравнени­ям, а правила их решения эквивалентны общеупотребительным и сейчас формулам.

Мы остановились подробно на обзоре содержания «Мате­матики в девяти книгах», так как это сочинение является самым значительным и, пожалуй, единственным крупным памятником древней китайской математики, имеющим к тому же энциклопеди­ческий характер. Оно показывает, что в течение многих веков математика Китая развивалась по преимуществу в вычислительно-алгоритмическом направлении и создала существенные элементы алгебраического подхода к решению задач.

Причины того, что математика Китая (а как мы увидим ниже, и Индии) приобрела такие особенности, коренятся в общественно-экономических условиях жизни общества. Последние были таковы, что эти государства в качестве одной из основных функций вынуждены были принять на себя организацию общественных работ в области ирригации, транспорта и оборонительных сооружений. Постоянные заботы о календаре и об общности и строгости рели­гиозных установлений усугубляли эту направленность научных занятий. Феодальный гнет и давление религии определили медленный, застойный характер развития всех наук, в том числе и математики.

Вычислительно-алгоритмическую направленность китайская математика сохранила и в последующий период, вплоть до середи­ны XIV в. Наибольшие успехи были опять достигнуты в области алгебры иарифметико-вычислительных методов. Вслед за решением квадратных уравнений мы встречаем у Ван Сяо-туна в VII в. сведение задачи к кубическому уравнению.

В прямоугольном треугольнике даны: произведение катетов xy=P=706 и разность между гипотенузой и одним из катетов и разность между гипотенузой и одним из катетов Требуется найти стороны треугольника. Ван Сяо-тун для решения уравнения ссылается (как на общеизвестный) на метод, который используется идля извлечения корня. Ссылки на этот метод имеются и в «Математике в девяти книгах», и в позднейших математических книгах. Но подробное разъяснение метода встречается только в рукописи математика XIII в. Цинь Цзю-шао, известной под ставшим традиционным заглавием: «Девять отделов математики».

Существо этого метода, получившего в китайской математике название метода «небесного элемента» (так называлось неизвест­ное), состоит в следующем. Нужно решить уравнение Р_п(х)=0; для определенности принять Р_п(х) =а₄х⁴ а₃х³ а₂х² а₁х а₀. Первую цифру ркорня отыскиваютподбором. Производят подстановку: х=у р .Получается вспомогательное уравнение
?(у)= А₄у⁴ А₃у³ А₂у² А₁у А₀
Последовательность операций нахождения коэффициентов этого вспомогательного уравнения может быть выражена схемой:

Путем подбора опять находят первую цифру корня вспомога­тельного уравнения ?(у)=0; или, что то же самое, вторую цифру корня уравнения Р_п(х)=0. Пусть это будет q. Подстановка y=z qприводит к уравнению ?(z)=O, коэффициенты которого находят вновь по вышеуказанной схеме.

Метод небесного элемента был крупным достижением, завер­шившим развитие алгебры в Китае в средние века. Китайские ма­тематики использовали его с большим искусством.

Метод небесного элемента по-своей математической сущности эквивалентен методу Руффини-Горнера, открытому в Европе на рубеже XIX в.

В средние века в математике Китая все больше выявлялись и формировались алгебраические элементы как в области создания общих алгебраических методов, так и в формировании и усовер­шенствовании символики. В «Драгоценном зеркале четырех эле­ментов» (1303 г.; четыре элемента — это четыре неизвестных, образно называемые: небеса, земли, мужчины, вещи) Чжу Ши-цзе решал задачи, приводящиеся к системам четырех уравнений с че­тырьмя неизвестными путем последовательного исключения неиз­вестных.

Другим крупным достижением математиков средневекового Китая было регулярно применяемое суммирование прогрессий
, , ,

известное из сочинений Шэнь Ко (XI в.) и Ян Хуэя (XIII в.).

Наряду с арифметико-алгебраическими задачами в Китае раз­вивались элементы комбинаторики; был найден треугольник бино­миальных коэффициентов, известный теперь под названием тре­угольника Паскаля. По-видимому, как одно из обобщений задач арифметики появились теоретико-числовые задачи.

Практический подход к задачам геометрии, наблюдавшийся в «Математике в девяти книгах», сохранялся в китайской матема­тике на протяжении всего рассматриваемого периода времени.

В геометрическом наследии древнего и средневекового Китая вид­ное место занимает сочинение Лю Хуэя (III в. н. э.) «Математика морского острова», имевшее вначале характер комментария и до­бавления к последней части «Математики в девяти книгах». В окончательном виде в «Математику морского острова» входят задачи на определение размеров недоступных предметов и рас­стояний до них. Решаются они по преимуществу применением тео­ремы Пифагора или подобия треугольников. Попыток системати­ческого дедуктивного построения математики в Китае не отмечено.

Все известные нам источники утверждают, что с XIV в. в Ки­тае начинается длительный период застоя в развитии наук. Добы­тые ранее знания не развиваются и даже забываются; математика развивается преимущественно за счет усвоения иностранных зна­ний. В 1583 г. в Китай проник иезуит-миссионер М. Риччи, вслед за которым Китай наводнила целая армия священнослужителей и монахов. Видимо, не без их содействия в 1606 г. в Китае впервые появились издания «Начал» Евклида, в 1650 г.-таблицы лога­рифмов Влакка. Оригинальное же развитие китайской науки под давлением колонизаторов и законсервировавшихся феодальных форм правления прекратилось. Китайские математики-специалисты подготавливались к научной деятельности за границей, в большин­стве там же и работали.

Математика в Китае получила новый стимул к развитию толь­ко в XX в. под влиянием народно-освободительного движения, а затем народной революции и руководства Коммунистической пар­тии Китая. В 1928 г. в Нанкине была образована центральная научно-исследовательская академия, среди 13 институтов которой был и институт математики. Собравшиеся в этом институте уче­ные вели работу по многим направлениям одновременно. Они по­лучили результаты в области рядов Фурье, аналитической теории чисел, топологии, дифференциальной геометрии, теории вероятнос­тей и математической статистики, алгебры, теории конечных групп.

После 1949 г. в Китае началось быстрое развитие математики в тесном содружестве с математиками СССР. Особенно тесно уче­ные сотрудничали в области аналитической теории чисел, где Хуа Ло-кэн и другие вели работы методом тригонометрических сумм, изобретенным академиком И. М. Виноградовым. К работам Д. Е. Меньшова об ортогональных рядах примыкают работы Чень Цзян-гуана и Ван Фу-чуна. Исследования Су Бо-цина и других связаны с работами советских математиков школы С. П. Финикова по линейным комплексам. Даже в теории вероятностей, где осо­бенно сильное влияние оказывали английские и американские ма­тематики, сказалось сближение с советскими специалистами шко­лы А. Н. Колмогорова. Сотрудничество китайских математиков с советскими коллегами всегда было плодотворным, обогащало их в научном отношении и способствовало развитию прогрессив­ного мировоззрения и практических успехов в приложениях математики.
5. МАТЕМАТИКА ДРЕВНЕЙ ИНДИИ

В древней и средневековой математике народов Индии много общего с китайской математикой. В Индии математика тоже яв­ляется очень древней наукой, издавна составляющей часть куль­туры. В ней тоже преобладали вычислительно-алгоритмические методы и отсутствовали попытки построения дедуктивных систем; геометрия индийцев — также практическая.

Эта общность характера науки и путей ее развития не случай­на и отражает сходность путей исторического развития обеих вели­ких стран и давние экономические и культурные связи между ними. В Индии к началу нашей эры уже сложилась развитая фео­дальная система организации общества. Длительная консервация феодальных отношений усугублялась кастовым расслоением со­циальных групп населения, что определило, несмотря на бурное временами течение политических событий, весьма медленный темп развития производства и науки.

Английские, французские, португальские колонизаторы в тече­ние нескольких столетий насильственно задерживали естественное развитие производства, науки и культуры индийского народа. Только в наше время происходит процесс национального освобож­дения и подъема производительных сил Индии.

Самыми ранними памятниками математической культуры ин­дийцев являются религиозные книги: сутры и веды. Их происхож­дение относят к VIII—VII вв. до н. э. Написаны они на давно уже умершем языке — санскритском. В них мы находим геометриче­ские построения, составляющие важную часть ритуалов при постройке культовых сооружений: храмов, алтарей и т. д. В них можно найти первые способы квадрирования кругов, применение теоремы Пифагора. Видимо, вследствие требований архитектуры решалась и арифметическая задача о нахождении пифагоровых троек натуральных чисел.

Числовая система с древних времен определилась как деся­тичная. Столь же рано определилась склонность к оперированию большими числами, нашедшая отражение в легендах. Будда, на­пример, отличался феноменальным умением считать; он строил числовые десятичные системы до 10⁵⁴, давая наименования каждо­му разряду. Женихи прекрасной богини Земли, добиваясь ее руки, обязаны были соревноваться в письме, арифметике, борьбе и стрельбе из лука. Победитель соревнования Сарватасидда приду­мал, в частности, шкалу чисел, идущих в геометрической прогрес­сии со знаменателем 100, до 10^{7 9•·46}, т. е. до числа с 421 нулем. Пристрастие к операциям с большими числами сохранялось в течение всейистории математики в Индии.

Haиболее яркий период развития, оставивший самые значительные образцыматематической литературы, — это V—XII вв. н. э. В это время трудились выдающиеся индийские ученые — математики и астрономы: Ариабхатта (конец V в.), Брахмагупта (род. 598 г.), Магавира (IX в.), Бхаскара Акарья (род. 1114 г.). От Ариабхатты, жившего в северо-восточной Индии, осталось сочинение в стихах астрономического и математического содер­жания. В нем сформулированы правила элементарной математи­ки: арифметики, геометрии и тригонометрии. Брахмагупта также в стихотворной форме написал огромное сочинение в 20 книгах «Усовершенствованная наука Брамы», в котором 12-я книга посвя­щена арифметике и геометрии, а 18-я — алгебре и неопределен­ным уравнениям. Значительное математическое содержание имеют две книги Бхаскары: «Лилавати» и «Виджаганита». «Лилавати» (что значит «прекрасная») Бхаскара посвятил своей дочери. В поэтической манере в 13 отделах книги излагаются: 1) метроло­гия; 2) действия над целыми числами и дробями и извлечение корней; 3) способ обращения, способ ложного положения и другие частные приемы решения задач; 4) задачи на бассейны и смеси; 5) суммирование рядов; 6) планиметрия; 7—11) вычисление раз­личных объемов; 12) задачи неопределенного анализа; 13) задачи комбинаторики.

Другое сочинение Бхаскары — «Виджаганита» — состоит из восьми отделов: 1) действии над положительными и отрицатель­ными числами; 2—3) неопределенные уравнения 1-й и 2-й степени; 4) линейные алгебраические уравнения; 5) квадратные уравнения; 6) системы линейных уравнений; 7—8) неопределенные уравнения
2-й степени.

Мы не ставим себе здесь целью описание всех источников, заслуг и роли отдельных лиц. Нашей целью является оценка уров­ня достижений математиков Индии, особенностей форм и методов математического исследования и путей развития индийской мате­матики. Поэтому здесь мы дадим лишь общие характеристики.

Как было уже сказано, главной особенностью индийской мате­матики является преобладание вычислительных приемов, препод­носимых учащимся или читателям в догматической форме. Среди арифметических правил обращает на себя внимание широкое рас­пространение правила обращения, которое состоит в следующем: задумывается число, но учащемуся или противнику сообщаются лишь последовательность операций с задуманным числом и конеч­ный результат. Решение задачи состоит в последовательном про­ведении всех операций в обратном порядке. Например, в сочине­нии Бхаскары «Лилавати» перед неизвестной красавицей ста­вится задача: назвать число, которое, будучи умножено на три, увеличено затем на три четверти произведения, разделено на 7, уменьшено на частного, умножено само на себя и уменьшено на 52, после извлечения квадратного корня, прибавления 8 и деле­ния на 10, даст 2. Среди других правил вычислительной техники индийцев есть правило извлечения корней и действий с иррациональностями.

Оперирование большими числами, помимо отработки единой числовой десятичной системы с нулем и числовой симво­лики, привело к введению в математику представлений о беско­нечно больших числах. Бхаскара вводил это представление, рассматривая выражения вида и поясняя, что это есть тоже число, но не претерпевающее изменений, приращения или ущерба, какое бы большое число мы к нему ни прибавляли или от него ни отни­мали; его, по выражению Бхаскары, можно уподобить вечному времени бесконечной цепи существований.

Индийские математики ввели и правильно трактовали и по­нятие отрицательного числа. Так, Брахмагупта разъясняет, что числа могут трактоваться либо как имущество, либо как долг. Правила операций с числами тогда таковы: сумма двух имуществ есть имущество, двух долгов — долг, имущества и долга — их разность, а если они равны — нуль. Сумма нуля и долга есть долг, имущества и нуля — имущество. Произведение двух имуществ или двух неимуществ есть имущество; результат произведения иму­щества на долг представляет убыток. То же правило справедливо и при делении. Квадрат имущества, или долга, есть имущество; имущество имеет два корня: один составляет прибыль, другой — долг. Корня убытка не существует, ибо таковой не может быть квадратом. Однако, вводя отрицательные числа, индийские мате­матики не использовали их как равноправные элементы матема­тики, считая их только чем-то вроде логических возможностей, потому что, по выражению Бхаскары, люди с ними не согласны. Кроме правил и задач арифметики в индийскую математику входили также решения ряда задач алгебры, неопределенного анализа, комбинаторных задач. К алгебре относятся в первую очередь правила решения линейных уравнений, их систем и квад­ратных уравнений.

Развитие методов решения задач неопределенного, или диофантова, анализа представляет одно из высших достижений индийской математики. Появление подобных методов – общее явление для всех древних математических культур. Причина того, что математики Индии, Греции, Китая и других стран интересовались решением подобных задач, лежит, по-видимому, в необходимости изучения периодически повторяющихся явлений, например в астрономии.

В самом деле, вопрос о периоде времени, состоящем одновре­менно из целого числа дней (х) и целого числа лет (у), приводит к неопределенному уравнению: 10 960у=30х. Другие вопросы, например о периоде повторения некоторых явлений, приводят к полным неопределенным уравнениям. Индийские ученые умели на­ходить целочисленные решения различных видов неопределенных уравнений 1-й и 2-й степени.

Мы уже упоминали о характерной форме изложения, при ко­торой не воспроизводится ни ход рассуждений, ни доказательство, что не дает возможности судить о теоретико-числовых методах индийских математиков. Однако то немногое, что известно, пока­зывает наличие ряда теоретико-числовых методов.

Индийская геометрия носит все черты прикладной науки. Есть чертежи, есть правила, иногда даже правил нет, под чертежом написано только: «смотри!». Некоторый интерес представляют тригонометрические таблицы, в которых хорды заменены полухор­дами. При этом вводятся в рассмотрение по существу тригономет­рические функции: синусы, косинусы и синусы-версусы (sinvers a = = 1—cosa).

В истории Индии имеется достаточно фактов, свидетельствую­щих о наличии экономических и политических связей с греческими, египетскими, арабскими государствами и с Китаем. В математике считается бесспорным индийское происхождение десятичной систе­мы счисления с нулем и правил счета. Можно проследить заимст­вование индусами у греков некоторых геометрических сведений и т. д. Но количество этих фактов невелико. Вопрос о связях и взаимных влияниях математики Индии, Греции, Китая и арабских стран еще остается недостаточно выясненным.

В заключение еще раз отметим, что относительно математики в Китае и в Индии мы располагаем очень ограниченным запасом сведений. Либо исчезли, либо еще не найдены многие ма­териальные свидетельства возникновения и накопления математи­ческих знаний как части древних культур. Помимо разрушитель­ного влияния времени, в этом виноваты колонизаторы, которые уничтожили целые народы. Где последнее оказалось невозможным, как это было в Китае и в Индии, были приложены все усилия для фальсификации истории, для превознесения заслуг капиталистиче­ских «цивилизаторов» и «просветителей», несущих якобы свет «темным» народам. В более завуалированной форме эти тенденции выражены в теориях о едином научном источнике, о распростра­нении по всему миру знаний одного избранного народа и т. п.

История учит, что развитие всех форм деятельности человече­ского общества происходит под влиянием единых мотивов эконо­мического развития. Это влияние сказывается, в частности, в об­ласти математики во множественности источников ее возникнове­ния. Математика возникла и формировалась как наука во многих местах, нередко весьма удаленных друг от друга и между собой, казалось бы, не связанных.

При этом всегда действовали и проявлялись общие законо­мерности: происхождение математики из практической деятель­ности людей, выделение числовых и геометрических абстракций в качестве отдельной области человеческих знаний, образование логически последовательной системы этих абстракций, применение последних к практическим задачам и т. п. Однако форма осу­ществления общих закономерностей, характер математической науки, соотношение ее элементов имели много различий и особен­ностей, которые необходимо принимать во внимание, чтобы соста­вить правильное представление о путях и перспективах развития математических наук.

Список литературы

1. Рыбников К. А. История математики: учебник. – М.: МГУ, 1994. – 496с.
2. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. – М.: Наука, 1990. – 251с.