2. Конические сечения
В зависимости от положения секущей плоскости линиями сечения конической поверхности могут быть: эллипс, парабола, гипербола и окружность а в частных случаях: прямая, две пересекающиеся прямые и точка (рис. 8.3).
Рассмотрим некоторые примеры пересечения конуса плоскостью.
Если плоскость Ф пересекает все образующие поверхности конуса вращения, т.е. если φ>α, то линией сечения является эллипс (рис. 8.3 а). В этом случае секущая плоскость не параллельна ни одной из образующих поверхности конуса.
Если плоскость Ф параллельна основанию поверхности конуса, то линией пересечения является окружность (рис. 8.3.б).
Рис. 8.3. Изображение линии сечения поверхности конуса плоскостью: а – эллипса; б – окружности; в – параболы; г – гиперболы
Если плоскость Ф параллельна одной образующей поверхности конуса, т.е. φ=α, то линией пересечения является парабола (рис.8.3.в). В частном случае (плоскость является касательной к поверхности конуса) сечение вырождается в прямую.
Если плоскость Ф параллельна двум образующим поверхности конуса (в частном случае параллельна оси конуса), т.е. φ<α, то линией сечения является гипербола (рис. 8.3. г). В случае прохождения плоскости через вершину конической поверхности фигурой сечения могут быть сами образующие, т.е. гипербола вырождается в две пересекающие прямые.
Парабола, эллипс и гипербола как конические сечения
Каждая из трех указанных линий является плоским сечением некоторого прямого кругового конуса. Если секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса, то в сечении получается парабола.
На чертеже:
π — секущая плоскость, параллельная одной из образующих конуса;
S — вершина конуса;
сфера касается конуса по окружности, лежащей в плоскости σ, и секущей плоскости в точке F;
l — линия пересечения плоскостей πи σ;
X — произвольная точка сечения конуса плоскостью π;
Y — точка пересечения образующей SX с плоскостью σ;
Z — проекция точки X на прямую l.
Рис. 26
XF = XY как касательные к сфере. Точки Y и Z лежат в плоскости σ, угол между XY и σ равен углу между образующей конуса и плоскостью, перпенди-кулярной его оси.
Угол между XZ и σ равен углу между плоскостями π и σ. В силу выбора плоскости π эти углы равны, так что XY = XZ как наклонные, образующие равные углы с плоскостью σ. Поэтому XF = XZ, и точка X лежит на параболе с фокусом F и директрисой l.
Если секущая плоскость π пересекает все образующие конуса и не перпен-дикулярна его оси, то в сечении получается эллипс.
На чертеже:
π — секущая плоскость, пересекающая все образующие конуса;
S — вершина конуса;
две сферы касаются конуса по окружностям, лежащим в параллельных плоскостях 
и 
(на чертеже не изображены), и секущей плоскости π в точках 
и 
;
— произвольная точка сечения конуса плоскостью π;
, 
— точки пересечения образующей SX с плоскостями и .
Рис. 27
Имеем 
, 
(равенство касательных к сфере), так что
, т.е. точка X лежит на эллипсе с фокусами 
и ;
Отметим, что прямые 
и 
, получающиеся при пересечении плоскостей и ;плоскостью π, являются директрисами эллипса [докажите самосто-ятельно].
Если секущая плоскость π параллельна двум образующим конуса, то в сечении образуется гипербола.
Кривые второго порядка
Парабола, эллипс и гипербола задаются уравнениями второй степени. Общий вид многочлена второй степени от двух переменных
.
Кривые второго порядка — это линии на плоскости, задаваемые уравнениями вида
f(x, y) = 0.
Парабола, эллипс и гипербола — примеры кривых второго порядка.
Теорема.Уравнение кривой второго порядка может быть преобразовано посредством замены координат, состоящей из сдвига начала координат и поворота координатных осей, к одной из следующих девяти канонических форм.
I. Эллиптический тип
I.1. Эллипс
I .2. Точка
I.3. Пустое множество
II. Гиперболический тип
II .1. Гипербола
II.2. Пара пересекающихся прямых
III. Параболический тип
III.1. Парабола
III.2. Пара параллельных прямых
III.3. Пустое множество
III.4. Пара совпадающих прямых
Предел функции
Определение предела. Окрестностью точки X0 называется любой интервал с центром в точке X0
Число A называется пределом функции f (x) в точке X0, если для любого сколь угодно малого числа 
>0 найдется такое число 
> 0 (вообще говоря, зависящее от ), что для всех X таких, что 
< , X 
X0, выполняется неравенство 
.
Операции над пределами функций. Пусть функции f(x) и g(x) определены в некоторой окрестности точки X0 и кроме того, 
, 
. Тогда:
1. Предел суммы (разности) этих функций равен сумме (соответственно, разности) их пределов, т.е.
.
2. Предел произведения функций равен произведению их пределов, т.е.
.
3. Предел частного функций равен частному их пределов (при условии B 0), т.е.
.
Отсюда, в частности, вытекает, что постоянный множитель можно выносить за знак предела функции, т.е.
: 
.
Предел функции на бесконечности
Пусть функция f(x) определена на бесконечном промежутке (a; 
).
Число A называется пределом функции f(x) при x 
, если для любой положительной бесконечно большой последовательности
( т.е. xn 
, n ) последовательность 
соответствующих значений функции сходится к A.
Обозначение 
.
Односторонние пределы
Пусть функция f(x) определена в правой полуокрестности точки x0, т.е. на некотором интервале (x0,x0 ), где >0. Тогда говорят, что число A называется пределом функции f(x) справа в точке x0 (или правосторонним пределом), если для любой последовательности , сходящейся к x0 и такой, что все ее члены больше, чем x0, соответствующая последовательность значений функции 
сходится к числу A.
Обозначения: 
или 
.
Замечательные пределы
Первый замечательный предел
Второй замечательный предел
Часто используются следующие следствия из обоих замечательных пределов:
, 
;
, 
, 
.
Следствия:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
;
Непрерывность функции в точке
Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена в некоторой окрестности этой точки и 
Рекомендуемые страницы:
§
Решение систем уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса рассмотрим на примере.
Задача. Решить систему линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса.
Имеем неоднородную системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Число уравнений равно числу неизвестных. Вычислим определитель системы
, разложив по элементам первой строки:
Замечание. Тот же определитель можно вычислить с помощью добавления дополнительных двух первых столбцов. Определитель равен сумме произведений элементов по главной диагонали и элементов, параллельных главной диагонали минус сумма произведений элементов по побочной диагонали и элементов, параллельных этой диагонали:
Определитель системы не равен нулю, так что можно применить правило Крамера. Составим вспомогательный определитель 
, заменив столбец коэффициентов при 
столбцом свободных членов:
Вычислим определитель 
, полученный из определителя системы, заменой столбца коэффициентов при переменной 
столбцом свободных членов:
(методом последовательного исключения неизвестных).
Имеем уравнение (1). Запишем без изменения два первых уравнения. Умножим первое уравнение на (–2) и прибавим к третьему уравнению; запишем результат в третьей строке. Этот шаг представится в следующем виде:
Замечание. С помощью расширенной матрицы, методом исключения неизвестных, решение данной системы можно представить в виде:
Подставим неизвестные, двигаемся от нижнего уравнения к верхнему и находим неизвестные:
Если матрица A невырожденная 
то она имеет обратную 
матрицу.
. 
Решим систему.
Так как по формулам Крамера вычислен определитель системы и он равен 
то матрица A имеет обратную матрицу 
.
Ответ: x=3; y=2; z=1.
Дано:
, 
, 
, 
.
е) длину медианы 
к ребру А3А4 грани А1А3А4.
Решение: для наглядности построим пирамиду 
(необязательно соблюдая масштаб) и отметим на ней используемые векторы (рис. 29).
Рис. 29
Скалярное произведение 
получим как сумму произведений соответствующих координат: 
,
.
Ответ: 
.
б) Площадь грани 
будем вычислять исходя из геометрического смысла векторного произведения векторов. Модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Площадь треугольника равна 
.
Тогда площадь грани 
равна 
.
в) Объем пирамиды численно равен 
модуля смешанного произведения векторов, образующих данную пирамиду, например векторов 
, 
, 
.
, 
.
г) На искомой плоскости (А1А2А3) возьмем произвольную точку 
Векторы 
, 
, 
компланарны. Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю ( 
) 
=0..
Рис. 30
, 
, 
.
– уравнение плоскости.
д) Для вычисления высоты, опущенной из вершины 
на грань 
, воспользуемся формулой 
, где 
– длина высоты пирамиды. Объем пирамиды равен 
, площадь основания 
. Тогда 
, отсюда 
.
Замечание. Высоту пирамиды из вершины на грань , можно определить по формуле расстояния от точки М( 
) до плоскости Ax By Cz D=0:
d= 
d= 
Ответ: 
е) Вектор 
соединяет 
с серединой стороны 
. Найдем 
. Для этого вычислим полусуммы соответствующих координат векторов 
, 
, значит, 
Тогда длина медианы 
Ответ: 
Образец выполнения задания № 3
Задача.Дано уравнение 
линии в полярной системе координат. Надо: 1) определить точки, лежащие на линии, давая 
значения через промежуток, равный 
, начиная от 
в промежутке 
;
2) построить линию, соединив полученные точки с помощью лекала или от руки;
3) найти уравнение этой линии в прямоугольной декартовой системе координат (положительная полуось абсцисс берется совпадающей с полярной осью, полюс – с началом прямоугольной декартовой системы координат; обе системы координат берутся правыми);
4) определить вид кривой.
Решение.1) Для построения кривой, заданной уравнением 
, придаем значения от 
до 
через промежуток (с шагом) и заносим полученные значения в таблицу:
 | 0  |
 | 2,3 2,4 2,6 2,9 3,5 4,3 5,4 6,5 7 6,5 5,7 4,3 3,5 2,9 2,6 2,4 2,3 |
2)В полярной системе координат соединяем последовательно точки с координатами 
, получаем кривую (рис. 31).
3) Для получения уравнения линии в прямоугольной системе координат подставим значения полярного радиуса 
и угла 
, связывающие полярную и прямоугольную системы координат.
Рис. 31
, 
, 
.
Тогда 
.
– уравнение эллипса с центром в точке 
и полуосями 
Напомним, что полярный радиус точки может принимать только неотрицательные значения.
Образец выполнения задания № 4
Задача.Дано уравнение прямой 
и точка 
. Требуется найти уравнение плоскости, проходящей через точку А и содержащей прямую 
.
Решение: Прямая проходит через точку 
имеет направляющий вектор 
. Искомая плоскость проходит через прямую 
и точку .
Рис. 30
Рис. 32
На искомой плоскости возьмем произвольную точку 
. Векторы 
, 
, 
компланарны. Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю.
,
,
,
– уравнение плоскости.
Ответ: 
Образец выполнения задания № 5
Задача.Используя параллельный перенос осей координат, привести уравнение кривой 2-го порядка 
к каноническому виду и построить кривую.
Решение:Выделим полный квадрат по переменным x, y в левой части.
Итак, 
Разделим обе части на 6, получим
Для построения графика можно воспользоваться системой Mathematica
Рис. 33
Получаем уравнение гиперболы, действительная полуось которой 
, мнимая полуось 
, центр гиперболы 
Образец выполнения задания № 6
Задача.Найти указанные пределы(не пользуясь правилом Лопиталя).
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
Решение:
1) 
[Неопределенность 
. В числителе и знаменателе оставляем члены с наибольшей степенью] = 
2) 
[Неопределенность 
] = 
3) 
[Неопределенность 
] = 
4) 
[Неопределенность . Здесь 
, значит 
– бесконечно малая переменная. Воспользуемся формулой 
] = 
5) 
[Неопределенность 
] = 
[Воспользуемся эквивалентностью 
] = 
6) 
[Неопределенность 
. Здесь 
= бм. Воспользуемся эквивалентностью 
]=
Задача. Найти пределы функций.
1) 
.
Так как заданная функция непрерывная (при всех значениях 
, в том числе и при 
), то предел функции в 
равен значению функции в этой точке,
т.е. 
.
Итак, 
.
2) 
.
Функция 
в предельной точке 
не определена. Она представляет собой отношение двух бесконечно малых функций при 
(неопределенность вида 
); преобразуем ее, чтобы сократить на множитель, стремящийся к нулю. Разлагаем знаменатель на множители и сокращаем дробь на 
. Получаем
.
3) 
.
Функция 
в предельной точке 
не определена. Она представляет собой отношение двух бесконечно малых функций при 
(неопределенность вида 
). Разлагаем числитель и знаменатель дроби на множители, затем, сокращая дробь на 
, получаем
.
4) 
.
Функция 
при 
представляет собой неопределенность вида 
. В числителе и знаменателе оставляем члены с наивысшей степенью:
5) 
.
Функция 
при 
представляет собой неопределенность вида 
. Рассматривая данную функцию как дробную, со знаменателем, равным единице, избавимся от иррациональности в числителе и затем разделим числитель и знаменатель дроби на . Получаем
= [Оставим члены с наибольшей степенью] = 
6) 
.
Здесь х – бесконечно малая переменная, х = бм. Поэтому воспользуемся эквивалентностью 
. Тогда 
7) 
.
Здесь 
поэтому 
т.е. 
Воспользуемся эквивалентностью 
Тогда 
8) 
.
Функция 
в предельной точке 
не определена, она представляет собой отношение двух бесконечно малых функций при 
(неопределенность 
). Чтобы использовать первый замечательный предел, сделаем замену переменной, положив 
. Тогда при 
будет и
[Так как 
то 
] = 
9) 
.
[Перейдем к натуральному логарифму] = 
=[Воспользуемся эквивалентностью 
] = 
10) 
.
Делением числителя дроби на знаменатель выделим целую часть 
.
Таким образом,
[Здесь 
т.е. 
Воспользуемся эквивалентностью ] = 
Образец выполнения задания № 7
Задача.Найти производную 
функций.
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
Решение:
1) 
2) 
3) 
4) Здесь основание степени и показатель – переменные величины. Перейдем к основанию е: 
Тогда 
5) Данное уравнение задает в неявном виде функцию у. Найдем 
,выполнив цепочку преобразований.
в левой части соберем члены, содержащие 
Образец выполнения задания № 8
Задача.Найти и 
1) 
2) 
Решение:
1) 
или
2) Здесь функции 
я задана параметрическими уравнениями.
Образец выполнения задания № 9
Задача. Исследовать функцию 
и начертить ее график.
Решение:1. Функция определена и непрерывна на всей оси 
за исключением точек 
и 
, в которых она имеет бесконечный разрыв.
2. 
Так как 
то функция нечетна. Ее график симметричен относительно начала координат.
Это позволяет ограничиться исследованием графика данной функции только для значений 
. Остальную часть графика функции мы построим, пользуясь его симметрией.
3. При 
, т.е. график функции проходит через начало координат.
4. Вертикальной асимптотой графика функции служит прямая . Найдем односторонние пределы:
Для того чтобы выяснить, имеет ли график функции невертикальные асимптоты, вспомним, что коэффициенты 
и 
уравнения асимптоты 
находятся из соотношений
и 
.
Применим их к исследуемой функции:
Итак, 
Далее 
Следовательно, 
.
Таким образом, заключаем, что график исследуемой функции имеет асимптоту с уравнением 
или 
.
5. Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума. Для этого вычисляем первую производную от данной функции:
.
Найдем стационарные точки. Для этого достаточно приравнять к нулю числитель выражения для производной. Решая уравнение 
, находим 
, 
, 
. Производная может менять знак при прохождении аргумента через эти точки и точки разрыва функции 
и 
, в которых производная не существует.
Определим знак производной в интервалах между указанными точками. Так как 
и 
, то знак производной определяется знаком разности 
.
При 
имеем 
; следовательно, функция возрастает на этом интервале.
При 
имеем 
; следовательно, функция убывает на этом интервале.
Отсюда видно, что в точке 
функция имеет максимум (переход от возрастания к убыванию).
Определим ординату точки экстремума 
.
6. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба. Для этого вычислим вторую производную 
. Мы видим, что 
только при . Вторая производная может изменять знак в этой точке и в точке разрыва функции . Определим знак второй производной в интервалах между указанными точками.
При 
имеем 
; следовательно, график функции вогнут.
При 
имеем 
; следовательно, график функции выпуклый. Мы видим, что, проходя через точку , вторая производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, – абсцисса точки перегиба. Так как при 
то касательная к графику в точке перегиба параллельна оси абсцисс.
7. Все результаты исследования мы используем для построения графика данной функции (рис.34).
Рис. 34
Образец выполнения задания № 10
Задача.Дана функция 
. Найдите ее градиент в точке 
и производную линии 
: 
.
Рекомендуемые страницы:
Вывод уравнения для параболы, для эллипса и гиперболы
Нажав на кнопку “Скачать архив”, вы скачаете нужный вам файл совершенно бесплатно.
Перед скачиванием данного файла вспомните о тех хороших рефератах, контрольных, курсовых, дипломных работах, статьях и других документах, которые лежат невостребованными в вашем компьютере. Это ваш труд, он должен участвовать в развитии общества и приносить пользу людям. Найдите эти работы и отправьте в базу знаний.
Мы и все студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будем вам очень благодарны.
Чтобы скачать архив с документом, в поле, расположенное ниже, впишите пятизначное число и нажмите кнопку “Скачать архив”
Понятие конических сечений. Конические сечения-пересечения плоскостей и конусов. Виды конических сечений. Построение конических сечений. Коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка.
реферат [808,4 K], добавлен 05.10.2008
Образование конических сечений. Основное свойство и уравнение эллипса, исследование формы по его уравнению. Исследование форм параболы по ее уравнению. Директориальное свойство конических сечений. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения.
курсовая работа [156,7 K], добавлен 08.11.2021
Понятие и историческая справка о конусе, характеристика его элементов. Особенности образования конуса и виды конических сечений. Построение сферы Данделена и ее параметры. Применение свойств конических сечений. Расчеты площадей поверхностей конуса.
презентация [499,0 K], добавлен 08.04.2021
Общее уравнение кривой второго порядка. Составление уравнений эллипса, окружности, гиперболы и параболы. Эксцентриситет гиперболы. Фокус и директриса параболы. Преобразование общего уравнения к каноническому виду. Зависимость вида кривой от инвариантов.
презентация [301,4 K], добавлен 10.11.2021
Математическое понятие кривой. Общее уравнение кривой второго порядка. Уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы. Оси симметрии гиперболы. Исследование формы параболы. Кривые третьего и четвертого порядка. Анъези локон, декартов лист.
дипломная работа [877,9 K], добавлен 14.10.2021
Основные виды сечения конуса. Сечение, образованное плоскостью, проходящей через ось конуса (осевое) и через его вершину (треугольник). Образование сечения плоскостью, параллельной (парабола), перпендикулярной (круг) и не перпендикулярной (эллипс) оси.
презентация [137,9 K], добавлен 12.12.2021
Пространственные тела и их сечения; точка, прямая, плоскость и векторы. Методы построения, задание и построение сечений пространственных тел, исследование свойств сечения. Способы визуализации трехмерного пространства. Создание компьютерного приложения.
курсовая работа [533,7 K], добавлен 15.07.2021
