Формы представления информации – Реферат 1 – Реферат по информатике 1 курс – Сообщения, данные, сигнал, атрибутивные…

Министерство образования Российской Федерации

экзамен

информатика

Реферат

по    и н ф о р м а т и к е

на тему:

«Системы счисления

в истории развития компьютеров»

Выполнила:

ученица 11 класса

МОУ «Чекалинская СОШ»

Шувалова Татьяна

Руководитель:

учитель информатики

Шувалова Наталья Сергеевна

МОУ «Чекалинская СОШ»

2007-2008 уч. год

Содержание

Введение.

Вот уже много тысяч лет люди считают и записывают числа. Числа, цифры… они с нами повсюду.

Число – одно из важнейших понятий математики, содержание которого менялось в разные исторические эпохи.

“Все есть число”, — говорили пифагорейцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности. Известно множество способов представления чисел.  

Всем известно, что первоначально люди стали использовать числа для записи информации о количестве объектов. Разные народы записывали числа  по-разному. Вследствие этого стали появляться различные формы представления чисел – системы счисления.

Академик А.Н. Колмогоров замечает: “У математиков существует склонность, уже владея законченной математической теорией, стыдиться ее происхождения. По сравнению с кристаллической ясностью развития теории, начиная с уже готовых ее основных понятий и допущений, кажется грязным и неприятным занятием копаться в происхождении этих основных понятий и допущений. Все здание школьной алгебры и весь математический анализ могут быть воздвигнуты на понятии действительного числа без всякого упоминания об измерении конкретных величин (длин, площадей, промежутков времени и т.д.). Поэтому на разных ступенях обучения с разной степенью смелости неизменно проявляется одна и та же тенденция: возможно скорее разделаться с введением чисел и дальше уже говорить только о числах и соотношениях между ними. Против этой тенденции и протестует Анри Лебег”^[1].  

Нечто подобное, к сожалению, иногда наблюдается и в компьютерной науке. Владея развитой компьютерной теорией, компьютерные специалисты иногда забывают о той роли, которую сыграли системы счисления в истории компьютеров. Ведь первые счетные приборы (абаки и арифмометры), прообразы современных компьютеров, начали создаваться задолго до возникновения алгебры логики, теории алгоритмов – и главную роль при их создании сыграли именно системы счисления.

Абак

В школьном курсе информатики в темы изучения входит раздел «Системы счисления», который вызвал у меня интерес при изучении.

Цель моей работы: подробное изучение темы «Системы счисления в истории развития компьютеров» и приобретение дополнительных умений при работе в системах счисления.

Задачи:

В настоящее время идёт бурное развитие компьютерной техники. Считаю, что не следует забывать и умалчивать о том, с чего всё начиналось, о том, какую роль в истории развития компьютерной техники сыграло появление систем счисления. Об этом и пойдёт речь в моём реферате.

Глава 1. Из истории систем счисления. О роли систем счисления.

В истории систем счисления выделяют несколько этапов: начальная стадия счета, непозиционные системы счисления, алфавитные системы нумерации, поместные или позиционные системы счисления.

        На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они отличали друг от друга совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая большее число предметов, объединялась в понятии «много». Это был еще не счет, а лишь его зародыш. Поэтому, начальная стадия счета “характеризуется изображением сосчитываемых множеств при помощи частей тела, особенно пальцев рук и ног, палочек, узлов веревки и т.д. Как подчеркивается в статье И.Г. Башмаковой и А.П. Юшкевича “Происхождение систем счисления”^[2]: несмотря на крайнюю примитивность этого способа изображения, он сыграл исключительную роль в развитии понятия числа”.

        Человеку издревле приходилось считать различные предметы, нужно было и  записывать их количество.

Введём основные понятия.

Число изображают с помощью любого или нескольких символов, которые называют цифрами.

Цифра – это символ (знак), участвующий в записи числа.

Число – это некоторая величина. Числа записываются с помощью особых знаковых систем и складываются из цифр по определённым правилам.

Разряд – позиция цифры в числе.

Система счисления – знаковая система, в которой числа записываются по определённым правилам с помощью символов некоторого алфавита.

Алфавит системы счисления – это определённое множество символов (знаков), которые называются цифрами и используются для записи чисел.

Единичная (унарная) система счисления (непозиционная)

Самой первой, вероятно, возникла унарная система записи. Она возникла приблизительно 10-11 тысяч лет назад до н.э.). Количество предметов, например, мешков, изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было еще очень далеко). Поэтому числа обозначались соответствующим количеством черточек.

        Унарная запись получается очень громоздкой и неудобной, поэтому люди стали искать более компактные способы обозначать большие числа. Можно предположить, что для облегчения счета люди стали группировать предметы по 3, 5, 10 штук. И при записи стали использовать знаки, соответствующие группе из нескольких предметов. Так как люди, естественным образом, при подсчете использовали пальцы рук, то первыми появились знаки для обозначения групп предметов из 5 -10 штук (единиц). И, таким образом, возникли уже более удобные системы записи чисел. Появились разные условные обозначения для различных чисел.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления

Возникла во 2 половине третьего тысячелетия до н. э.. Числа наносили на глиняную дощечку и записывали из комбинации следующих ключевых «цифр» (1, 10, 100, 1000), как показано на рисунке.

Десять подряд идущих одинаковых цифр можно было заменить числом,
но на разряд старше. Например, 10 палочек заменяли знаком  – одна «пута». См. Приложение 2.

Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи обычного сложения. Вначале писали число высшего порядка, а затем низшего.

Греческая непозиционная система счисления

        Жители Древней Греции применяли несколько способов записи чисел. Например, Афиняне для обозначения чисел пользовались первыми буквами слов-числительных:

Г (Гεvז ε) – пять

∆ (∆εкα) – десять

Н (Нкαזоν) – сто

Х (Xiλιασ) – тысяча

М (Мvрιασ) –  десять тысяч

или так:  I, II, III, IIII – 1, 2, 3, 4,.  ∆∆∆IIII – 10 10 10 4=34 См. Приложение 2.

С помощью этих чисел житель древней Греции мог записать любое число. Великий греческий математик Диофант Александрийский записывал дроби примерно так, как принято сейчас: числитель над знаменателем, но без черты. Это был один из способов записи дробей в Древней Греции.

Вавилонская непозиционная система. (Вавилонская клинопись)

        Возникла около 2 тысяч лет назад до н.э. в Древнем Вавилоне.

Шестидесятеричная вавилонская система — первая известная нам система счисления, основанная на позиционном принципе. Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, ее следы сохранились до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Точно так же, следуя примеру вавилонян, окружность мы делим на 360 частей (градусов).

Роль цифр играли клинья.

 – означал единицы

– означал десятки

Например, число ◄◄▼▼▼ – 23

Число 60 снова обозначалось тем же знаком (прямой клин), что и 1. Этим же знаком обозначались числа 3600 = 602, 216000 = 603 и все другие степени 60. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.

Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево. Чередование групп одинаковых знаков («цифр») соответствовало чередованию разрядов: Значение числа определяли по значениям составляющие его «цифр», но с учетом того, что «цифры» в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех же «цифр» в предыдущем разряде.

Но в конце числа этот символ обычно не ставился, то есть этот символ не был нулем в нашем понимании. Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, так как это было практически невозможно. При вычислениях они пользовались готовыми таблицами умножения.

Римская система счисления

В настоящее время более распространённая из непозиционных систем счисления – римская система счисления (например, в книгах, фильмах).

        В римской системе счисления появилась одна новая идея: хотя там тоже для обозначения чисел использовали латинские буквы (1 — I (один палец), 5 — V (раскрытая ладонь), 10 — X (две сложенные ладони); 50 — L , 100 — C, 500 — D, 1000 — M – (заглавные латинские буквы соответствующих слов: Centum-сто, Demimille – половина тысячи, Mille – тысяча)), но роль их зависела от порядка записи (значение могло не только прибавляться, но и вычитаться). Развитие этой идеи привело к появлению современных позиционных систем счисления.

Алфавитная система счисления

Например, многие народы использовали алфавитную систему счисления.

Это более совершенные непозиционные системы (славянская, ионийская, (греческая), финикийская и др.). В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита.

Алфавитная система была принята и в Древней Руси. До конца XVII века на Руси в алфавитной системе  в качестве цифр использовали 27 букв кириллицы. В ней  в качестве цифр использовали буквы, к которым добавляли специальные значки. На  Руси такие числа получались приписыванием над буквой древнерусской кириллицы специального знака – «титло», чтобы отличить их от обычных букв.

См. (Приложение 1).

        Но, все равно, число получалось сложением цифр, поэтому система оставалась неудобной. Представьте: чтобы пользоваться древнерусской системой счисления, нужно было знать числовое значение 30 букв, а еще — несколько особых символов, увеличивавших это значение (“тысяща”, “тьма”, “легион”, “леодр”… — все они получались при приписывании к “единице” — букве “аз” разных значков). Вычисления же в таких системах были вообще чрезвычайно затруднены, так как они были мало пригодны для оперирования с большими числами.

О появлении позиционной системы счисления.

Вернёмся в начальную стадию счета, которая “характеризуется изображением сосчитываемых множеств при помощи частей тела. Именно в этот период было сделано одно из крупнейших открытий античной математики. Речь идет о позиционном принципе представления чисел. Как подчеркивается в упомянутой выше статье Башмаковой И.Г. и Юшкевича А.П., “первой известной нам системой счисления, основанной на поместном, или позиционном принципе, является шестидесятеричная система древних вавилонян, возникшая примерно за 2000 лет до н.э.”.  

Для объяснения вопроса о её происхождении в истории математики возникло несколько конкурирующих гипотез. М. Кантор первоначально предположил, что сумерийцы (первичное население долины Евфрата) считали год равным 360 суткам и что шестидесятеричная система имеет астрономическое происхождение. По гипотезе Г. Кевича в долине Евфрата встретились два народа, из которых у одного была десятичная система счисления, а у другого основанием было число 6 (возникновение такого основания Кевич объясняет особым счетом на пальцах, в котором сжатая в кулак рука означала 6). Благодаря слиянию обеих систем возникло “компромиссное” основание 60. Заметим, что гипотезы Кантора и Кевича касаются вопроса о происхождении основания 60, но не самого позиционного принципа представления чисел.  

На последний вопрос отвечает гипотеза Нейгебауера об измерительном происхождении позиционного принципа, изложенная в книге “Лекции по истории античных математических наук” (т. 1 – “Догреческая математика”, 1937 г.). Согласно этой гипотезе “основные этапы образования позиционной системы в Вавилоне были таковы: 1) установление количественного соотношения между двумя самостоятельными существовавшими системами мер и 2) опускание названий разрядовых единиц при письме”. Эти этапы возникновения позиционных систем Нейгебауэр считает совершенно общими, подчеркивая при этом, что “позиционная шестидесятеричная система: оказалась вполне естественным конечным результатом долгого развития, ничем принципиально не отличающегося от аналогичных процессов в других культурах”.  

Что касается основания 60, которое, по мнению Нейгебауэра, возникло как синтез вавилонских систем мер, то более убедительной все же является гипотеза Кантора о его “астрономическом” происхождении. Происхождение числа 60 в качестве основания вавилонской системы счисления, а также чисел 12, 30 и 360 как узловых чисел всех календарных систем, систем измерения времени и угловых величин можно объяснить с позиций астрологических и астрономических знаний и основанных на них представлений о гармонии Вселенной. В Вавилоне и Египте с давних времен при составлении календарей большое значение придавали самой крупной из планет-гигантов – Юпитеру, который примерно за 12 лет делает полный оборот вокруг Солнца. Не меньшую роль играл также Сатурн, который совершает полный оборот вокруг Солнца примерно за 30 лет. Приняв 60 лет в качестве главного цикла Солнечной системы, составителям древних календарей удалось идеально согласовать циклы Юпитера (5×12=60) и Сатурна (2×30=60).  

Гармонию Вселенной с давних времен символизировали пять “правильных” геометрических тел, называемых “Платоновыми телами”. Особую роль при этом играл додекаэдр – правильный 12-гранник, гранями которого являются правильные пятиугольники (“пентаграммы”). Отсюда следует, что число углов на поверхности додекаэдра равно 5×12=60 (что соответствует 60-летнему циклу). Додекаэдр имеет 30 ребер (что соответствует циклу Сатурна) и 12 граней (что соответствует циклу Юпитера), а произведение этих чисел 30×12=360. Следуя магической числовой символике додекаэдра, которая отражала числовую гармонию циклов Юпитера и Сатурна, древние вавилоняне и выбрали число 60 в качестве основания своей системы счисления, а древние египтяне пришли к мысли разбить год на 12 месяцев (число граней додекаэдра), каждый из которых содержал ровно 30 дней (число ребер додекаэдра). Таким и был египетский календарь, созданный в четвертом тысячелетии до н.э. В этом календаре год состоял из 365 дней. Он делился на 12 месяцев по 30 дней каждый, в конце года добавлялось пять праздничных дней, которые, однако, не входили в состав месяцев. Заметим, что в своей системе измерения времени и угловых величин египтяне также использовали “магические” числа додекаэдра (1 сутки = 24 (2×12) часа, 1 час = 60 минут, 1 минута = 60 секунд, 2p=360╟, 1╟ = 60′).  

Появление позиционной системы обозначения чисел считается одной из основных вех в истории материальной культуры. В ее создании принимали участие целые народы. В 6 в. н.э. подобная система возникла у племени майя. Наиболее распространено мнение, что основанием системы счисления майя является число 20, имеющее “пальцевое” происхождение. Однако известно, что в системе майя есть одно отступление от двадцатеричного основания. См. Приложение 2. Вес следующего за узловым числом 20 индейцы майя выбрали равным 360 (а не 400). Все последующие веса разрядов являются производными от чисел 20 и 360, которые и выступают в роли узловых чисел, образующих систему майя. Как подчеркивается в упомянутой выше статье Башмаковой И. Г. и Юшкевича А. П., это “объясняется тем, что год майя делили на 18 месяцев, по 20 дней в каждом, плюс еще пять дней”. Таким образом, как и основание вавилонской системы, узловые числа системы майя имеют астрономическое происхождение. Существенно подчеркнуть, что годовой календарь майя по своей структуре (360 5) совпадал с египетским календарем. Учитывая высокий уровень развития культуры майя, можно высказать предположение, что майя были знакомы с “платоновыми телами” и что их годовой календарь был связан с икосаэдром – правильным телом, двойственным додекаэдру. Икосаэдр представляет собой правильный 20-гранник, гранями которого были правильные треугольники (отсюда деление месяца на 20 дней в календаре майя и выбор числа 20 в качестве первого узлового числа их системы счисления). Икосаэдр имеет 30 ребер (как и у додекаэдра) и 12 вершин (30×12=360). В каждой вершине сходится 5 углов, то есть общее число углов на поверхности икосаэдра равно 5×12=60. Таким образом, числовые характеристики икосаэдра также связаны с 12-, 30- и 60-летними циклами Солнечной системы.  

Мы для повседневных вычислений используем десятичную систему счисления, предшественницей которой является индусская десятичная система, возникшая примерно в XII-м столетии нашей эры. Известный французский математик Лаплас (1749-1827) выразил свое восхищение позиционным принципом и десятичной системой в следующих словах:  

Лаплас (1749-1827)

“Мысль выражать все числа девятью знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этой методе, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой”.

Убежденным сторонником использования индо-арабской десятичной системы счисления в торговой практике был известный итальянский математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи), получивший математическое образование в арабских странах. В своем сочинении “Liber abaci” (1202) он писал:  

“Девять индусских знаков – суть следующие: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С помощью этих знаков и знака 0, который называется по-арабски zephirum, можно написать какое угодно число”.  

Здесь словом “zephirum” Фибоначчи передал арабское “as-sifr” , являющееся дословным переводом индусского слова “sunya”, то есть “пустое”, служившее названием нуля. Слово “zephirum” дало начало французскому и итальянскому слову “zero” (нуль). С другой стороны, то же арабское слово “as-sifr” было передано через “ziffer”, откуда произошли французское слово “chiffre”, немецкое “ziffer”, английское “cipher” и русское “цифра”.

 Что касается выбора числа 10 в качестве основания десятичной системы счисления, то существует общепринятое мнение, что оно имеет “пальцевое” происхождение. Однако не следует забывать, что в древней науке число 10 всегда несло в себе особую смысловую нагрузку. Пифагорейцы называли его четверицей или тетрактидой. Говоря словами Эмпедокла в нем – “вечно текущей природы: корень источный”. Четверица 10 = 1 2 3 4 считалась у пифагорейцев одной из высших ценностей и являлась “символом всей Вселенной”, так как содержала в себе четыре “основных элемента”: единицу или “монаду”, обозначающую, по Пифагору, дух, из которого проистекает весь видимый мир; двойку, или “диаду” (2 = 1 1), символизирующую материальный атом; тройку, или “триаду” (3 = 2 1), то есть символ живого мира; и наконец, четверку, или “тетраду”, (4 = 3 1), соединявшую живой мир с монадой и поэтому символизировала целое, то есть “видимое и невидимое”. А поскольку тетрактида 10 = 1 2 3 4, то она выражала собой “Все”. Таким образом, гипотеза о “гармоничном” происхождении числа 10 имеет не меньшее право на существование, как и “пальцевая”.

Леонардо Пизано Фибоначчи

(1170-1228)

 В современной науке с развитием компьютерной техники на первые роли выдвинулась двоичная система счисления. Ее зачатки наблюдаются у многих народов. Например, у древних египтян широкое распространение получили методы умножения и деления, основанные на принципе удвоения. Изобретение двоичного способа нумерации приписывают китайскому императору Фо Ги, жизнь которого относится к 4-му тысячелетию до новой эры. Оказывается, к открытию двоичной системы счисления имели отношение многие математики, в частности, Фибоначчи. В своей книге “Liber abaci” он сформулировал “задачу о выборе наилучшей системы весовых гирь для взвешивания грузов на рычажных весах”. В русской историко-математической литературе эта задача известна под названием Баше-Менделеева в честь французского математика 17-го века Баше де Мезириака, поместившего ее в своем “Сборнике приятных и занимательных задач” (1612 г.), и выдающегося русского химика Дмитрия Ивановича Менделеева, который к концу жизни стал директором Главной Палаты мер и весов России и интересовался этой задачей по долгу своей службы.  

Известно два варианта решения задачи Баше-Менделеева. Первый предполагает, что гири разрешается класть только на одну, свободную от груза чашу весов; при этом оптимальным решением является “двоичная система гирь”: 1, 2, 4, 8, 16,:, которая при взвешивании “порождает” двоичный способ представления чисел. При втором варианте гири разрешается класть на обе чаши весов; оптимальным решением при этом является “троичная система гирь”: 1, 3, 9, 27,:, которая при взвешивании “порождает” троичную симметричную систему счисления, которая и была положена Н. П. Брусенцовым в основу троичного компьютера “Сетунь”.  

Но автор двоичной арифметики в истории науки доподлинно известен: это известный немецкий математик Готфрид Вильгейм фон Лейбниц (1646-1716), который в 1697 г. разработал правила двоичной арифметики. Лейбниц настолько был восхищен своим открытием, что в его честь выпустил специальную медаль, на которой были даны двоичные изображения начального ряда натуральных чисел – возможно, это был тот редкий случай в истории математики, когда математическое открытие было удостоено такой высокой почести.

Лейбниц

(1646-1716)

 Лейбниц, однако, не рекомендовал двоичную арифметику для практических вычислений вместо десятичной системы, но подчеркивал, что “вычисление с помощью двоек, то есть 0 и 1, в вознаграждение его длиннот является для науки основным и порождает новые открытия, которые оказываются полезными впоследствии, даже в практике чисел, а особенно в геометрии: причиной чего служит то обстоятельство, что при сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, всюду выявляется чудесный порядок”.  

Блестящие предсказания Лейбница сбылись только через два с половиной столетия, когда выдающийся американский ученый, физик и математик Джон фон Нейман предложил использовать именно двоичную систему счисления в качестве универсального способа кодирования информации в электронных компьютерах (“Принципы Джона фон Неймана”).

 Таким образом, как подчеркивают многие выдающиеся математики, открытие вавилонянами позиционного принципа, а затем индусами десятичной системы счисления, основанной на позиционном принципе, а также разработку Лейбницем двоичной арифметики по праву можно отнести к разряду действительно эпохальных математических открытий, существенно повлиявших на развитие материальной культуры, в частности, на развитие компьютерной техники.  

Джон фон Нейман

(1903-1957)

После появления современных компьютеров начал проявляться интерес к способам представления чисел и новым компьютерным арифметикам.

На этапе зарождения компьютерной эры был выполнен ряд проектов и сделано несколько интересных математических открытий, связанных с системами счисления. Пожалуй, наиболее интересным проектом в этом отношении является троичный компьютер “Сетунь”, разработанный в Московском университете под руководством Н. П. Брусенцова. Использование в нем так называемой троичной симметричной системы счисления для представления чисел впервые в истории компьютеров поставило знак равенства между отрицательными и положительными числами, позволив отказаться от различных “ухищрений” (обратный и дополнительный код), используемых для представления отрицательных чисел. Это обстоятельство, а также использование “троичной логики” при создании программ привело к созданию весьма совершенной архитектуры, которая и была воплощена в модели “Сетуни”. Именно “Сетунь” является наиболее ярким историческим примером, подтверждающим влияние системы счисления на архитектуру компьютера! 

Однако на заре компьютерной эры было сделано еще два открытия в области позиционных способов представления чисел, которые, однако, мало известны и которые в тот период не привлекли особого внимания математиков и инженеров.  

В 1939 г. бельгийский врач Эдуард Цекендорф, увлекавшийся числами Фибоначчи, опубликовал статью, посвященную так называемым “суммам Цекендорфа”, где он предлагал позиционный способ представления чисел:

N = anF(n) an-1F(n-1) … ai F(i) … a1F(1); (1)  

где a i = {0, 1} – двоичная цифра i-го разряда представления; n – разрядность представления; F(i) – число Фибоначчи, задаваемое с помощью следующего рекуррентного соотношения:

F(i) = F(i-1) F(i-2);

F(1) F(2) = 1;  

Однако наиболее революционным предложением в современной теории систем счисления по праву можно считать систему счисления с иррациональным основанием (“Тау-система”), предложенную в 1957 г. американским математиком Джорджем Бергманом, где понимается способ представления действительного числа А:

 где ai – двоичные цифры, 0 или 1; i = 0, 1, 2, 3; τ i – вес i-й цифры в представлении; τ – основание системы счисления.  

Вся суть состоит именно в том, что основанием системы счисления является знаменитое иррациональное число

которое является корнем следующего алгебраического уравнения:

x2 = x 1  

Будучи корнем указанного алгебраического уравнения, “золотая пропорция” обладает следующим математическим свойством:

τn = τn-1  τn-2,  

где n принимает значения из следующего множества: 0, 1, 2, 3 …  

Именно в этом обстоятельстве (иррациональное основание τ) кроется причина ряда “экзотических” свойств “системы Бергмана”^[3] .Существенно подчеркнуть, что “Тау-система” переворачивает наши традиционные представления о системах счисления, более того – традиционное соотношение между числами рациональными и иррациональными. В “Тау-системе” основанием, то есть началом счисления, является некоторое иррациональное отношение τ, с помощью которого, используя систему (2) можно представить все другие числа, включая натуральные, дробные и иррациональные.  

Идеи Цекендорфа и Бергмана впоследствии получили дальнейшее развитие. В книге “Введение в алгоритмическую теорию измерения” (1977 г.) представление Фибоначчи-Цекендорфа было обобщено с помощью понятия р-кода Фибоначчи, основанного на р-числах Фибоначчи, и разработана арифметика Фибоначчи для таких представлений.

Под р-кодом Фибоначчи понимается следующий способ представления натурального числа N:         N = anFp(n) an-1Fp(n-1) … aiFp(i) … a1Fp (1), (3)  

где ai = {0, 1} – двоичная цифра i-го разряда представления; n – разрядность представления; Fp(i) – р-число Фибоначчи, задаваемое с помощью следующей рекуррентной формулы:

Fp(i) = Fp(i-1) Fp(i-p-1); (4)

Fp(1) = Fp(2) = … = Fp(p 1) = 1, (5)  

где р – целое неотрицательное число, принимающее значение из множества {0, 1, 2, 3 …}.  

В книге “Коды золотой пропорции” (1984 г.) с использованием так называемых обобщенных золотых пропорций была обобщена система счисления Бергмана. Такие способы представления чисел были названы кодами золотой пропорции.  

Под кодами золотой пропорции понимаются следующие способы представления действительного числа А:

 где ai – двоичные цифры, 0 или 1; i = 0, 1, 2, 3 …; τpi – вес i-й цифры в представлении; τp – “золотая р-пропорция”, являющаяся действительным корнем следующего алгебраического уравнения:

τp 1=τp  1,  

где целое число р принимает значение из множества {0, 1, 2, 3 …}.  

Заметим, что при р = 0 уравнение золотой р-пропорции вырождается в  уравнение x = 2, и при этом tp = 2; при р = 1 оно вырождается в уравнение для классической золотой пропорции и корень τp совпадает с классической золотой пропорцией.  

Будучи корнем указанного алгебраического уравнения, “золотая р-пропорция” обладает следующим математическим свойством:

τpi=τpn-1  τpp-n-1 = τp Ч τpn-1 ,

где n принимает значения из следующего множества: 0, 1, 2, 3 …  

Заметим, что код золотой пропорции (6) является весьма широким обобщением классической двоичной системы счисления (случай р = 0) и системы Бергмана (р = 1). При р = x код золотой пропорции сводится к “унитарному коду”.  

Таким образом, р-коды Фибоначчи (3) и коды золотой р-пропорции (6) есть не что иное, как весьма широкое обобщение классического двоичного представления. Для представления чисел они используют те же двоичные символы 0 и 1 и по форме представления ничем не отличаются от классического двоичного кода. Различие между ними возникает только на этапе интерпретации весов двоичных разрядов. Например, одна и та же комбинация двоичных знаков 1001101 представляет в двоичной системе счисления различные числа, а именно число 45 = 26 23 22 20 в классической двоичной системе счисления, число 19 = 13 3 2 1 в коде Фибоначчи (1) и число А = τ6  τ3  τ2  τ0 – в “Тау-системе” (2), где

 золотая пропорция. Заметим, что число А является иррациональным числом! А это означает, что в “Тау-системе” мы можем представлять некоторые иррациональные числа в виде конечной совокупности битов! В этом и состоит первый неожиданный результат, вытекающий из теории кодов золотой пропорции.  

Основное преимущество кодов Фибоначчи и кодов золотой пропорции для практических применений состоит в их “естественной” избыточности, которая может быть использована для целей контроля числовых преобразований. Эта избыточность проявляет себя в свойстве “Эмножественности” представлений одного и того же числа. Например, число 19 в коде Фибоначчи имеет и другие кодовые представления:

19 = 1001101 = 1010001 = 1010010 = 0111101  

При этом различные кодовые представления одного и того же числа могут быть получены одно из другого с помощью специальных фибоначчиевых операций “свертки” (011 → 100) и “развертки” (100 → 011), выполняемых над кодовым изображением числа. Если над кодовым изображением выполнить все возможные “свертки”, то мы придем к специальному фибоначчиевому изображению, называемому “минимальной формой”, в которой двух единиц рядом в кодовом изображении не встречается. Если же в кодовом изображении выполнить все возможные операции “развертки”, то придем к специальному фибоначчиевому изображению, называемому “максимальной”, или “развернутой” формой, в которой рядом не встречается двух нулей.  

Именно эти математические результаты стали основой для проектов создания компьютерных и измерительных систем на основе “фибоначчиевого” и “золотого” представлений.

Таким образом, роль систем счисления в истории развития компьютеров огромна.

Глава 2. Виды систем счисления.

Итак, существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

2.1 Непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

На схеме видны основные непозиционные системы счисления.

Подробно о каждой из непозиционных систем счисления было сказано в главе 1.

В главе 1 можно было подробно проследить историю развития систем счисления. Сделаем вывод о переходе от непозиционных систем счисления к позиционным.

Индийская мультипликативная система счисления.

Итак, системы счисления, основанные на позиционном принципе, возникли независимо одна от другой в древнем Междуречье (Вавилон), у племени Майя и, наконец, в Индии. Всё это говорит о том, что возникновение позиционного принципа не было случайностью.

Каковы же были предпосылки для его создания? Что привело людей к этому замечательному открытию?

Чтобы ответить на эти вопросы, мы снова обратимся к истории о древнем Китае, Индии, и в некоторых других странах существовали системы записи, построенные на мультипликативном принципе.

Пусть, например, десятки обозначаются символом X, а сотни — Y. Тогда запись числа 323 схематично будет выглядеть так: 3Y 2Х 3. В таких системах для записи одинакового числа единиц, десятков, сотен или тысяч применяются одни и те же символы, но после каждого символа пишется название соответствующего разряда.

Следующей ступенью к позиционному принципу было опускание названий разрядов при письме подобно тому, как мы говорим «три двадцать», а не «три рубля двадцать копеек». Но при записи чисел по такой системе очень часто требовался символ для обозначения отсутствующего разряда.

Современная десятичная система счисления возникла приблизительно в V веке н.э. в Индии. Возникновение этой системы стало возможно после величайшего открытия — цифры «О» для обозначения отсутствующей величины.

Как же появился нуль?

Ранее ознакомившись с вавилонской системой счисления, можно сказать, что уже вавилоняне употребляли специальный символ для обозначения нулевого разряда. Примерно во II веке до н.э. с астрономическими наблюдениями вавилонян познакомились греческие ученые. Вместе с их вычислительными таблицами они переняли и вавилонскую систему счисления, но числа от 1 до 59 они записывали не клиньями, а в своей алфавитной нумерации. Но самое замечательное было то, что для обозначения нулевого разряда греческие астрономы стали использовать символ «О» (первая буква греческого слова Ouden — ничто). Этот знак, по-видимому, и был прообразом нашего нуля.

Индийцы познакомились с греческой астрономией между II и VI вв. н.э., это видно из того, что они переняли общие теоретические положения этой науки и многие греческие термины. В это время в Индии использовалась мультипликативная система счисления. По утверждению историков примерно в это время индийцы познакомились и с вавилонской системой счисления, и с греческим нулем. Индийцы соединили свою десятичную мультипликативную систему с принципами нумерации чисел греческих астрономов. Это и был завершающий шаг в создании нашей десятичной системы счисления.

В современной десятичной системе счисления, которая является позиционной, используются 10 арабских цифр. Почему мы называем наши цифры арабскими? С возникшей в Индии десятичной системой счисления первыми познакомились арабы. Они по достоинству ее оценили и начали использовать при расчетах в торговых операциях. Именно арабы завезли эту систему счисления в Европу. С начала XII века эта десятичная система счисления получила распространение по всей Европе под названием арабской. Будучи проще и удобнее остальных систем, она достаточно быстро вытеснила все другие способы записи чисел. С тех пор цифры, используемые для записи чисел в десятичной системе счисления, называются арабскими.

2.2 Позиционные системы счисления.

Древние греки построили геометрию, которую до сих пор изучают в школе. Они сумели доказать важнейшие теоремы, но считать они не умели. В древнем Риме придумали “римские цифры”, но выполнять арифметические действия над ними – безнадежно. Крупнейшим событием в развитии человечества является изобретение позиционной системы счисления (с/с). Появилась эта система, вероятно, в Индии.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры (количественное значение цифры) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Так, например, в десятичной с/с первая цифра справа указывает число единиц, следующая – число десятков и т.д.

Пример. В числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

700 50 7 0,7 = 7•102  5•101  7•100  7•10-1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием. 

Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

an-1 qn-1  an-2 qn-2 … a1 q1  a0 q0  a-1 q-1  … a-m q-m, где ai – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.

Например:

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, как показано на схеме. 

Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления.

Почему же люди пользуются десятичной системой, а компьютеры — двоичной?

Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления.

А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 – соответственно, третья и четвертая степени числа 2).

Глава 3. Перевод чисел в позиционных системах счисления.

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему

Достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).

Например:

Перевод числа из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную.

При переводе число нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой, как показано на рисунке.

Перевод целого числа из десятичной системы

в любую другую позиционную систему счисления.

При переводе целого десятичного числа в систему с основанием q его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q–1. Число в системе с основанием q записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.

Пример: Перевести число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4B16.

Перевод правильной десятичной дроби

в любую другую позиционную систему счисления.

При переводе правильной десятичной дроби в систему счисления с основанием q необходимо сначала саму дробь, а затем дробные части всех последующих произведений последовательно умножать на q, отделяя после каждого умножения целую часть произведения. Число в новой системе счисления записывается как последовательность полученных целых частей произведения.

Умножение производится до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Это значит, что сделан точный перевод. В противном случае перевод осуществляется до заданной точности. Достаточно того количества цифр в результате, которое поместится в ячейку.

Пример: Перевести число 0,35 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ: 0,3510 = 0,010112 = 0,2638 = 0,5916 .

Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную систему счисления.

При переводе числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную надо это число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления.

Итак, сформулируем основные алгоритмы перевода чисел, оформив следующую таблицу.

Глава 4. Арифметические операции над позиционными числами.

П. С. Лаплас писал о своём отношении к двоичной (бинарной) системе счисления великого математика Г.В. Лейбница: «В своей бинарной арифметике Лейбниц видел прообраз творения. Ему представлялось, что единица представляет божественное начало, а нуль – небытие и что высшее существо создаёт всё из небытия точно таким же образом, как единица и нуль в его системе выражают все числа». Эти слова подчёркивают универсальность алфавита, состоящего всего из двух символов.

Все позиционные системы счисления «одинаковы», а именно, во всех них арифметические операции  выполняются по одним и теме же правилам:

-выполняются законы: коммутативный, ассоциативный, дистрибутивный;

-справедливы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком;

-правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения и умножения.

 Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

Сложение

Таблицы сложения легко составить, используя правило Счета.

Сложение в двоичной системе        Сложение в восьмеричной системе 

Сложение в шестнадцатеричной системе

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.

Ответ: 141,5 59,75 = 201,2510 = 11001001,012 = 311,28 = C9,416 

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
11001001,012 = 27  26  23  20  2-2 = 201,25
311,28 = 3*82  1•81  1*80  2*8-1 = 201,25
C9,416 = 12*161  9*160  4*16-1 = 201,25

Вычитание

Пример 4. Вычтем единицу из чисел 102, 108 и 1016 

Пример 5. Вычтем единицу из чисел 1002, 1008 и 10016.

Пример 6. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

Ответ: 201,2510 – 59,7510 = 141,510 = 10001101,12 = 215,48 = =8D,816.

Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:
10001101,12 = 27  23  22  20  2–1 = 141,5;
215,48 = 2*82  1*81  5*80  4*8–1 = 141,5;
8D,816 = 8*161  D*160  8*16–1 = 141,5.

Умножение

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Умножение в двоичной системе

Умножение в восьмеричной системе

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Пример 7. Перемножим числа 5 и 6.

Ответ: 5*6 = 3010 = 111102 = 368.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
111102 = 24  23  22  21 = 30;
368 = 3•81  6•80 = 30.

Пример 8. Перемножим числа 115 и 51.

Ответ: 115*51 = 586510 = 10110111010012 = 133518.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
10110111010012 = 212  210  29  27  26  25  23  20 = 5865;
133518 = 1*84  3*83  3*82  5*81  1*80 = 5865.

Деление

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Пример 9. Разделим число 30 на число 6.

Ответ: 30 : 6 = 1012 = 58.

Пример 10. Разделим число 5865 на число 115.

Восьмеричная: 133518 :1638 

Ответ: 5865 : 115 = 5110 = 1100112 = 638.

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
1100112 = 25  24  21  20 = 51; 638 = 6*81  3*80 = 51.

Пример 11. Разделим число 35 на число 14.

Восьмеричная: 438 : 168 

Ответ: 35 : 14 = 2,510 = 10,12 = 2,48.

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

10,12 = 21  2 -1 = 2,5;                  2,48 = 2*80  4*8-1 = 2,5.

Заключение.

Подводя итог, хочется сказать, что главную роль при создании первых счетных приборов, например, абаков и арифмометров, прообразов современных компьютеров, а, в дальнейшем, и самих современных компьютеров, сыграли именно системы счисления.

От того, какая система счисления будет использована в электронно-вычислительных машинах (ЭВМ), зависят скорость вычислений, ёмкость памяти, сложность алгоритмов выполнения арифметических операций.

Для физического представления чисел необходимы элементы, способные находиться в одном из нескольких устойчивых состояний. Число этих состояний должно быть равно основанию принятой системы счисления. Тогда каждое состояние будет представлять соответствующую цифру из алфавита данной системы счисления. В процессе развития математической теории и компьютерной науки стало видно, какая из рассмотренных систем счисления будет использоваться в компьютере.

Таким образом, как подчеркивают многие выдающиеся математики, открытие вавилонянами позиционного принципа, а затем индусами десятичной системы счисления, основанной на позиционном принципе, а также разработку Лейбницем двоичной арифметики по праву можно отнести к разряду действительно эпохальных математических открытий, существенно повлиявших на развитие материальной культуры, в частности, на развитие компьютерной техники. Ведь, как известно, выдающийся американский ученый, физик и математик Джон фон Нейман предложил использовать именно двоичную систему счисления в качестве универсального способа кодирования информации в электронных компьютерах (“Принципы Джона фон Неймана”).

После появления современных компьютеров начал проявляться интерес к способам представления чисел и новым компьютерным арифметикам. Поэтому в изучение информатики особое место занимает раздел, посвящённый системам счисления, вызвавший у меня большой интерес при изучении данной темы.

Приложение 1

Азбука «Кириллица».

Приложение 2

Список  используемой литературы.

1. Урнов В.А. и др. Преподавание информатики в компьютерном классе, М.: Просвещение, 1990, стр. 17
2. Заварыкин В.М. Основы информатики и вычислительной техники, М.: Просвещение, 1989, стр.19
3. Гейн А.Г. Основы информатики и вычислительной техники, М.: Просвещение, 1992, стр.231
4. Кушнеренко А.Г. и др. Основы информатики и вычислительной техники, М.: Просвещение, 1991, стр.6
5. Поснова М.Ф. ЭВМ для всех. Для чего нужны и как работают персональные ЭВМ, Минск: Университетское, 1990, стр.7.
6. Угринович Н.Д. Информатика и информационные технологии. 10-11. Учебник для 10-11 классов. – М.: БИНОМ, 2005;
7. Угринович Н.Д. и др. Практикум по информатике и информационным технологиям. Учебное пособие. – М.: БИНОМ, 2005;
8. Windows-CD. Угринович Н.Д. Компьютерный практикум на CD-ROM. – М.: БИНОМ, 2005.

[1] Из предисловия книги “Измерение величин” Анри Лебега.

[2] “Энциклопедия элементарной математики”, том 1, “Арифметика”, 1951 г.