Иррациональные уравнения и неравенства – математика –
МОУ СОШ «УК №20»
Иррациональные
уравнения и неравенства
реферат по алгебре
ученика 11 «В» класса
Торосяна Левона
Руководитель:
Олейникова Р. М.
Сочи 2002г.
Содержание.
I. Введение
II. Основные правила
III. Иррациональные уравнения:
· Решение иррациональных уравнений стандартного вида.
· Решение иррациональных уравнений смешанного вида.
· Решение сложных иррациональных уравнений.
IV. Иррациональные неравенства:
· Решение иррациональных неравенств стандартного вида.
· Решение нестандартных иррациональных неравенств.
· Решение иррациональных неравенств смешанного вида.
V. Вывод
VI. Список литературы
I. Введение
Я, Торосян Левон, ученик 11 «В» класса, выполнил реферат по теме: «Иррациональные уравнения и неравенства».
Особенностью моей работы является то, что в школьном курсе на решение иррациональных уравнений отводится очень мало времени, а ВУЗовские задания вообще не решаются. Решение иррациональных неравенств в школьном курсе не рассматри- вают, а на вступительных экзаменах эти задания часто дают. Я самостоятельно изучил правила решения иррациональных уравнений и неравенств. В реферате показаны решения как иррациональных уравнений и неравенств стандартного типа, так и повышенной сложности. Поэтому реферат можно использовать как учебное пособие для подготовки в ВУЗ, также рефератом можно пользоваться при изучении этой темы на факультативных занятиях.
II. Иррациональные уравнения
Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.
Решаются такие уравнения возведением обеих частей в степень. При возведении в четную степень возможно расширение области определения заданного уравнения. Поэтому при решении таких иррациональных уравнений обязательны проверка или нахождение области допустимых значений уравнений. При возведении в нечетную степень обеих частей иррационального уравнения область определения не меняется.
Иррациональные уравнения стандартного вида можно решить пользуясь следующим правилом:
Решение иррациональных уравнений стандартного вида:
а) Решить уравнение 
= x – 2,
Решение.
= x – 2,
2x – 1 = x2 – 4x 4,
Проверка:
x2 – 6x 5 = 0, х = 5, 
= 5 – 2,
x1 = 5, 3 = 3
x2 = 1 – постор. корень х = 1, 
1 – 2 ,
Ответ: 5 пост. к. 1 -1.
б) Решить уравнение 
= х 4,
Решение.
= х 4,
Ответ: -1
в) Решить уравнение х – 1 = 
Решение.
х – 1 =
х3 – 3х2 3х – 1 = х2 – х – 1,
х3 – 4х2 4х = 0,
х(х2 – 4х 4) = 0,
х = 0 или х2 – 4х 4 = 0,
(х – 2)2 = 0,
х = 2
Ответ: 0; 2.
г) Решить уравнение х – 
4 = 0,
Решение.
х – 4 = 0,
х 4 = , Проверка:
х2 8х 16 = 25х – 50, х = 11, 11 – 
4 = 0,
х2 – 17х 66 = 0, 0 = 0
х1 = 11, х = 6, 6 – 
4 = 0,
х2 = 6. 0 = 0.
Ответ: 6; 11.
Решение иррациональных уравнений смешанного вида:
· Иррациональные уравнения, содержащие знак модуля:
а) Решить уравнение 
= 
Решение.
= , 
–
x
Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:
или 
Ответ: 
б) Решить уравнение 
Решение.
, 
–
x
Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:
или 
Ответ: 
.
· Иррациональные показательные
уравнения:
а) Решить уравнение
Решение.
ОДЗ: 
Пусть 
= t, t > 0
Сделаем обратную замену:
= 1/49, или = 7,
= 
, 
– (ур-ние не имеет решений) x = 3.
Ответ: 3
б) Решить уравнение
Решение.
Приведем все степени к одному основанию 2:
данное уравнение равносильно уравнению:
Ответ:
0,7
· Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность четной степени:
Решить уравнение 
Решение.
возведем обе части уравнения в квадрат
3x – 5 – 2
2x – 2 = 2
x –1 =
x
Проверка:
x
x = 3, 
4x
1 = 1.
x = 1,75 
Ответ: 3.
· Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность нечетной степени:
Решить уравнение 
Решение.
возведем обе части уравнения в куб
но 
, значит:
возведем обе части уравнения в куб
(25 x)(3 – x) = 27,
Ответ: –24; 2.
· Иррациональные уравнения, которые решаются заменой:
а) Решить уравнение 
Решение.
Пусть 
= t, тогда 
= 
, где t > 0
t – 
Сделаем обратную замену:
= 2, возведем обе части в квадрат
Проверка: x = 2,5 
Ответ: 2,5.
б) Решить уравнение 
Решение.
Пусть 
= t, значит 
= 
, где t > 0
t
t – 6 = 0,
Сделаем обратную замену:
= 2, возведем обе части уравнения в четвертую степень
x
8 = 16, Проверка:
x = 8, x = 2, 
x = 2. 6 = 6
Ответ: 2.
в) Решить уравнение 
Решение.
Пусть 
= t, где t > 0
Сделаем обратную замену:
= 2, возведем обе части уравнения в квадрат
Проверка: 
, 
Ответ: –5; 2.
Решение сложных иррациональных уравнений:
· Иррациональное уравнение,
содержащее двойную иррациональность:
Решить уравнение 
Решение.
возведем обе части уравнения в куб
возведем обе части уравнения в квадрат
Пусть 
= t
t 2– 11t 10 = 0,
Сделаем обратную
замену: Проверка:
= 10, или = 1, x = 
, 
x = -пост. корень 
0
Ответ: 1.
x = 1, 
1 = 1
· Иррациональные логарифмические уравнения:
а) Решить уравнение lg3 0,5lg(x – 28) = lg
Решение.
lg3 0,5lg(x – 28) = lg,
lg(3
= lg,
Учитывая ОДЗ, данное
уравнение равносильно системе:
Ответ: 32,75
б) Решить уравнение 
Решение.
Ответ: 
; – 2; 3.
IV. Иррациональные неравенства
Неравенства называются иррациональными, если его
неизвестное входит под знак корня (радикала).
Иррациональное неравенство
вида 
равносильно системе неравенств:
Иррациональное неравенство
вида 
равносильно совокуп-ности двух систем неравенств:
и 
Решение иррациональных неравенств стандартного вида:
а) Решить неравенство 
Решение.
Данное неравенство
равносильно системе неравенств:
–
Ответ: [1; 2).
1
3 x
б) Решить неравенство 
Решение.
Данное неравенство
равносильно двум системам неравенств:
Ответ: 
в) Решить неравенство 
Решение.
Данное неравенство
равносильно системе неравенств:
Ответ: нет решений
Решение иррациональных неравенств нестандартного вида:
а) Решить неравенство 
Решение.
Данное неравенство
равносильно системе неравенств:
Ответ: 
б) Решить неравенство
Решение.
Данное неравенство
равносильно системе неравенств:
Ответ: 
· Решение иррациональных неравенств с помощью правила знаков при умножении и делении:
а) Решить неравенство 
Решение.
Учитывая то, что 
и правило знаков при делении данное неравенство равносильно системе
неравенств:
Ответ: 
б) Решить неравенство (2x – 5)
Решение.
(2x – 5)
Учитывая то, что и правило знаков при делении данное неравенство равносильно системе
неравенств:
Ответ: 
· Решение иррациональных неравенств способом группировки:
Решить неравенство 
Решение.
,
сгруппируем по два слагаемых
вынесем общий множитель за скобку
учитывая, что 
> 0 и правило знаков при умножении данное неравенство равносильно системе неравенств:
Ответ: 
( 0; 1 )
· Иррациональное неравенство, содержащее два знака иррациональности:
Решить неравенство 
Решение.
Данное неравенство
равносильно системе неравенств:
Ответ: 
· Решение иррациональных неравенств заменой:
Решить неравенство 
Решение.
Пусть 
= t, тогда 
= 
, t
> 0
Сделаем
обратную замену:
возведем в квадрат обе части неравенства
Ответ: 
Решение иррациональных неравенств смешанного вида:
· Иррациональные показательные
неравенства:
а) Решить неравенство 
Решение.
,
т.к. y = 0,8t
, то
0,5x(x – 3) < 2,
0,5x2 – 1,5x – 2 < 0,
x2 – 3x – 4 < 0,
f(x) = x2 – 3x – 4,
ОДЗ
,
–
Нули функции: x1 = 4; x2 = – 1. –1 4 x
Ответ: х
б) Решить неравенство 4
– 2
< 2
– 32
Решение.
4– 2 < 2– 32, ОДЗ:
x > 0
2
– 2
2 < 2 24 – 25, выполним группировку слагаемых
2(2– 2) – 24(2–2) < 0,
(2– 2) (2– 24) < 0, учитывая правило знаков и ОДЗ данное неравенство равносильно 2-м системам:
или 
т.к. y = 2t
, то 
т.к. y = 2t, то
Ответ: х
· Решение иррациональных логарифмических неравенств:
Решить
неравенство 
Решение.
уч. ОДЗ данное нер-во равносильно системе нер-ств
Ответ: 
V. Вывод
Реферат помог мне научиться решать иррациональные уравнения и неравенства следующих типов: стандартные, показательные, содержащие знак модуля, логарифмические, повышенного уровня.
Примеры
взяты и подробно разобраны не только из школьной программы, но и из вступительных экзаменов в школу А.Н. Колмогорова при МГУ, из сборника задач по математике под редакцией М.И. Сканави.
Этот материал может быть интересен и полезен выпуск – никам школ и абитуриентам
технических вузов.
VI. Список литературы
1) Алгебра и начала анализа. Под редакцией А.Н. Колмогорова
2) 3000 конкурсных задач по математике. Авторы: Е.Д. Куланин, В.П. Норин
3) Справочные материалы по математике. Авторы: В.А. Гусев, А.Г. Мордкович
4) Сборник задач по математике. Под
редакцией М.И. Сканави
5) Справочный материал
Какие неравенства называются иррациональными
В этой лекции мы будем рассматривать неравенства, содержащие переменную (неизвестное) под знаком корня. Такие неравенства называются иррациональными.
При решении иррациональных неравенств часто используют подход, который мы уже применяли, решая иррациональные уравнения. Он состоит в замене исходного неравенства равносильным ему неравенством (системой или совокупностью неравенств).
Пример №1
Решим неравенство 
Ответ. 
Пример №2
Решим неравенство 
Обратим внимание на то, что на области определения левая и правая части данного неравенства обе неотрицательны, поэтому оно равносильно системе неравенств
решение которой следующее:
Ответ.
Пример №3
Решить неравенство:
Решение:
а) Учитывая свойства корня нечетной степени, получаем:
б) По определению корня четной степени значения выражения
выражение имеет смысл, т. е. когда значения подкоренного выражения неотрицательны. Таким образом, имеем:
Ответ: 
Пример №4
Решить неравенство:
Решение:
а) По определению корня четной степени значения выражения 
При решении иррациональных неравенств часто используется также метод интервалов.
Пример №5
Решить неравенство 
Решение:
Обозначим 
Пример №6
Решить неравенство 
Решение:
Решение этого примера аналогично решению примера 3.
Используя рисунок 22, записываем решение неравенства
▲ При решении иррациональных неравенств часто используются следующие утверждения о равносильности неравенств и систем неравенств:
Решим пример 3, используя равносильность (1):
Решим пример 4, используя равносильность (2):
Ответ: 
Для решения заданий такого типа, как, например, в 1.265, можно использовать следующие утверждения о равносильности:
Аналогичные утверждения можно записать и для неравенств 
Реферат: иррациональные уравнения и неравенства
МОУ СОШ «УК №20»
Способы решения иррациональных неравенств
С действием возведения в степень связаны разные виды выражений. Будем рассматривать выражения с переменными, при образовании которых используются действия сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень, причем возведение в степень хотя бы один раз применено к выражению с переменной.
Если показатель степени целый, то возникает рациональное выражение, если дробный, то — иррациональное выражение, а если иррациональный, то — трансцендентное выражение.
К трансцендентным выражениям приводят и действия нахождения значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса, арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса. Рациональные и иррациональные выражения вместе составляют множество алгебраических выражений.
Из выражений
выражения (1) и (2) являются рациональными, выражения (3) и (4) — иррациональными, выражения (5) и (6) — трансцендентными, а выражения (1)—(4) — алгебраическими.
В зависимости от того, из каких выражений составлено уравнение, говорят о рациональных, иррациональных, трансцендентных уравнениях.
Из уравнений
уравнения (1) и (2) являются рациональными, уравнения (3) и (4) — иррациональными, а уравнения (5) и (6) — трансцендентными.
Так же говорят о рациональных, иррациональных, трансцендентных неравенствах.
В этом параграфе рассматривается решение иррациональных уравнений и неравенств. При их решении нужно следить за тем, какие преобразования выполняются при этом.
Утверждение 
равносильно утверждению 
следует из утверждения 
Отношения равносильности и следования связаны:
При решении иррациональных неравенств нужно учитывать, что проверка подстановкой найденного множества чисел обычно невозможна из-за его бесконечности. Поэтому при решении неравенств нужно следить за равносильностью проводимых преобразований.
Теорема:
Верны следующие равносильности:
Доказательство проводится по схеме, использованной при доказательстве теоремы 9 с применением соответствующих свойств числовых неравенств.
