Исследовательская работа по теме: «Применение производных и интегралов в физике, математике и электротехнике.» | Образовательная социальная сеть

Исследовательская работа по теме: «Применение производных и интегралов в физике, математике и электротехнике.» | Образовательная социальная сеть Реферат

Геометрический смысл и определение определенного интеграла

Как отмечалось, интегрирование — это действие, обратное дифференцированию. Оно позволяет по заданной производной функции найти (восстановить) эту функцию. Покажем, что эта операция тесно связана с задачей вычисления площади.

Например, в механике часто приходится определять координату Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Приведем соответствующие определения и обоснования, которые позволяют сделать эти рассуждения более строгими.

Пусть на отрезке Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Чтобы найти С, подставим х = а. Получаем F (а) = S (а) С. Поскольку S (а) = 0, то С = F (а), и равенство (1) можно записать так:

Учитывая, что площадь криволинейной трапеции равна S (b), подставляем в формулу (2) х = b и получаем S = S (b) = F (b) — F (а). Следовательно, площадь криволинейной трапеции (рис. 104) можно вычислить по формуле

где Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции сводится к нахождению первообразной F (х) для функции f (x), то есть к интегрированию функции f (х).

Разность Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Формулу (4) называют формулой Ньютона—Лейбница.

Вычисляя определенный интеграл, удобно разность F (b) -F (а) обозначать следующим образом: Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияЗамечание. В задачах из курса алгебры и начал анализа на вычисление площадей как ответ чаще всего приводится числовое значение площади. Поскольку на координатной плоскости, где изображается фигура, всегда указывается единица измерения по осям, то в этом случае мы всегда имеем и единицу измерения площади — квадрат со стороной 1. Иногда, чтобы подчеркнуть, что полученное число выражает именно площадь, ответ записывают так: Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Первообразная

Вы умеете по заданной функции находить ее производную, знаете, что производная применяется во многих областях. В частности, умея дифференцировать, по данному закону Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Нередко в механике приходится решать обратную задачу: находить закон движения по известному закону изменения скорости.

Например, из курса физики вам известен такой факт: если скорость изменяется по закону и Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Вы знаете, что нахождение производной заданной функции называют дифференцированием. Обратную операцию, то есть нахождение функции по ее производной, называют интегрированием.

Определение. Функцию Интеграл и его применение с примерами решения называют первообразной функцией (или коротко первообразной) функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения если для всех Интеграл и его применение с примерами решения выполняется равенство Интеграл и его применение с примерами решенияНапример, функция Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Цель интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные на заданном промежутке.

Как связаны между собой все первообразные данной функции, указывает следующая теорема.

Теорема 24.1 (основное свойство первообразной). Если функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения любое число, то функция Интеграл и его применение с примерами решения также является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения. Любую первообразную функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения можно представить в виде Интеграл и его применение с примерами решения, где Интеграл и его применение с примерами решения некоторое число.Доказательство. Поскольку функция Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияобщим видом первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Из основного свойства первообразной следует, что графики любых двух первообразных данной функции можно получить друг из друга параллельным переносом вдоль оси координат (рис. 24.1).

Совокупность всех первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решениянеопределенным интегралом и обозначаютИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

При решении задач на первообразную удобно пользоваться таблицей, приведенной на форзаце 3.

Покажем на примерах, с помощью каких соображений можно обосновать утверждения, приведенные в этой таблице.

Пример:

Найдите общий вид первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Поскольку Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Найдите общий вид первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Решение:

На промежутке Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Для функции Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Поскольку Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Замечание.

Можно доказать, что функция Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Площадь криволинейной трапеции. определенный интеграл

Рассмотрим функцию Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Рассмотрим теорему, которая позволяет вычислять площади криволинейных трапеций.

Теорема 26.1. Площадь Интеграл и его применение с примерами решения криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения и прямыми и Интеграл и его применение с примерами решения можно вычислить по формулеИнтеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения любая первообразная функции Интеграл и его применение с примерами решения на отрезкеИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Имеем:

По определению функции Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Найдите площадь Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Решение:

На рисунке 26.5 изображена криволинейная трапеция, площадь которой требуется найти.

Одной из первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Найдите площадь Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Решение:

График функции Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияОпределение. Пусть Интеграл и его применение с примерами решения первообразная функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения, числа Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения принадлежат промежутку Интеграл и его применение с примерами решения. Разность Интеграл и его применение с примерами решения называют определенным интегралом функции Интеграл и его применение с примерами решения на отрезке Интеграл и его применение с примерами решенияОпределенный интеграл функции Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Рефераты:  Положительные и отрицательные черты мажоритарной, пропорциональной и смешанной избирательных систем : Курсовая работа : Государство и право

Равенство (1) называют формулой Ньютона—Лейбница.

Следовательно, для вычисления определенного интеграла Интеграл и его применение с примерами решения

  1. найти любую первообразную Интеграл и его применение с примерами решения функции Интеграл и его применение с примерами решения на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения
  2. вычислить значение первообразной Интеграл и его применение с примерами решения в точках Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения
  3. найти разность Интеграл и его применение с примерами решения

При вычислении определенных интегралов разность Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислите Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Имеем:

Если функция Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Действительно,

Если каждая из функций Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Таким образом, используя свойства определенного интеграла, можем записать:

Следовательно, если функции Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Найдите площадь Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Решение:

На рисунке 26.10 изображена фигура, площадь которой требуется найти.

Решив уравнение Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Тогда искомая площадь

Правила нахождения первообразной

При нахождении производных функций вы пользовались не только формулами, записанными в таблице (см. форзац 2), но и правилами дифференцирования. В этом пункте мы рассмотрим три правила нахождения первообразных.

Теорема 25.1. Если функции Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения являются соответственно первообразными функций Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения то на этом промежутке функция Интеграл и его применение с примерами решенияявляется первообразной функцииИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Из теоремы 25.1 следует, что

где Интеграл и его применение с примерами решения

Аналогично можно доказать, что

Теорема 25.2. Если функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения некоторое число, то на этом промежутке функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функцииИнтеграл и его применение с примерами решения

Докажите теорему 25.2 самостоятельно.

Теперь можно записать: Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияТеорема 25.3. Если функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения некоторое число, отличное от нуля, то на соответствующем промежутке функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Найдите общий вид первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Напомним, что функция Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Решение примера 1 можно записать и так:

Пример:

Найдите одну из первообразных функции:

Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Решение:

1) Поскольку функция Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Для функции Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Согласно теореме 25.3 запись Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Скорость движения материальной точки по координатной прямой изменяется по закону Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Функция Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Применение интеграла в физике и геометрии | методическая разработка на тему: | образовательная социальная сеть

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ САМАРСКОЙ ОБЛАСТИ

«СЕРГИЕВСКИЙ ГУБЕРНСКИЙ ТЕХНИКУМ»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ОТКРЫТОГО УРОКА

по дисциплине ОУД. 04  Математика

Тема:  Применение интеграла в физике и геометрии

Преподаватель: Н.В.Макаричева

с. Сергиевск, 2021 г.

Содержание

1.Аннотация……………………………………………………………………….2

2. Учебное занятие…………………………………………………………………3

3. План занятия……………………………………………………………………6

4. Приложение……………………………………………………………………10

5. Список литературы……………………………………………………………18

АННОТАЦИЯ

    Данная методическая разработка предназначена для проведения занятия по теме:  «Применение интеграла в физике и геометрии».

В основе занятия – демонстрация умений применять формул интегрирования в практических расчетах.

Повторение и актуализация знаний по предыдущему разделу тесно связаны с изучаемым материалом.

Методическая разработка включает описание методических приемов, позволяющих решить задачи, особенно актуальные при подготовке специалиста: проверить сформированность знаний, умений и навыков; развить внимательность и профессиональное мышление при проведении практических расчетов.

Для оценки сформированности профессиональных компетенций применяется фронтальная беседа, работа в малых группах.

Материал предлагаемого занятия можно брать за основу и в зависимости от конкретных условий дополнять и дорабатывать его.

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ САМАРСКОЙ ОБЛАСТИ

«СЕРГИЕВСКИЙ ГУБЕРНСКИЙ ТЕХНИКУМ»

ОТКРЫТЫЙ УРОК

 по дисциплине ОУД. 04  Математика

Тема:  Применение интеграла в физике и геометрии

1 КУРС

Цель открытого урока:   показать методику применения формул интегрирования в практических расчетах.

Преподаватель: Н.В.Макаричева

Сергиевск, 2021 г.

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ САМАРСКОЙ ОБЛАСТИ

«СЕРГИЕВСКИЙ ГУБЕРНСКИЙ ТЕХНИКУМ»

Тезис урока: «Дорога та, что сам искал,

вовек не позабудется…»

(Н. Рыленков)

Учебное занятие

Дисциплина: ОУД. 04 Математика

Тема: Применение интеграла в физике и геометрии

Тип занятия:  комбинированный

Вид: урок-конференция

Форма работы: дискуссия, беседа

Курс: 1

Цель: показать методику применения формул интегрирования в практических расчетах.

Задачи:

 Обучающие:

различных областях современной жизни

Развивающие:

Воспитательные:

Задачи урока:

Оборудование:

Междисциплинарные связи: информатика, физика, геометрия, биология, экономика

Обучающий должен уметь: применять формулы интегрирования

План занятия

  1. Организационный этап
  2. Постановка цели и мотивация учебной деятельности

учащихся (выдвижение гипотезы)

  1. Актуализация опорных знаний
  2. Повторение, обобщение и анализ основных фактов
  3. Сообщения учащихся из истории интегрального исчисления
  4. Этап изучения новых знаний и способов деятельности
  5. Перенос знаний в новую ситуацию
  6. Этап контроля и самоконтроля
  7. Подведение итогов. Рефлексия.
  8. Постановка домашнего задания.

Подготовительный этап урока: за две недели до урока учащиеся разбиваются на группы для выполнения совместных проектов по темам: «История возникновения интегрального исчисления», «Применение интеграла в различных областях деятельности человека»

  1. Организационный этап (2мин)

Цель: Приветствие учащихся, организация внимания, фиксация отсутствующих

  1. Постановка темы и цели конференции. Мотивация учебной деятельности (выдвижение гипотезы) (слайд 1,2,3). 3 мин.
  1. Актуализация опорных знаний (5 мин)

Цель: Воспроизведение ранее изученного материала для установления преемственности прежних и новых знаний, применения их в нестандартной ситуации. (формируется кластер знаний) (слайд 4)


https://cdn2.arhivurokov.ru/multiurok/html/2021/10/15/s_59e339ae92884/712183_2.png

  1. Повторение, обобщение и анализ основных фактов. Фронтальная работа с классом (13 мин).

1) Сформулируйте определение первообразной.

2) Какие правила нахождения первообразных вы знаете? Приведите примеры их применения.

3) Сформулируйте теорему выражающую основное свойство первообразной.

4) В чем заключается задача интегрирования?

5) Сформулируйте определение неопределенного интеграла.

6) Какие правила интегрирования вы знаете?

7) Что такое определенный интеграл?

8) Что такое определенного интеграла с геометрической точки зрения?

9) Запишите формулу Ньютона- Лейбница

10) Какие свойства определенного интеграла интеграла вы знаете?

.

а) https://cdn2.arhivurokov.ru/multiurok/html/2021/10/15/s_59e339ae92884/712183_3.pngdх = 5х С б) https://cdn2.arhivurokov.ru/multiurok/html/2021/10/15/s_59e339ae92884/712183_4.pngdх = https://cdn2.arhivurokov.ru/multiurok/html/2021/10/15/s_59e339ae92884/712183_5.png х7

в) https://cdn2.arhivurokov.ru/multiurok/html/2021/10/15/s_59e339ae92884/712183_6.png; г) https://cdn2.arhivurokov.ru/multiurok/html/2021/10/15/s_59e339ae92884/712183_7.png; д) https://cdn2.arhivurokov.ru/multiurok/html/2021/10/15/s_59e339ae92884/712183_8.png;

е) https://cdn2.arhivurokov.ru/multiurok/html/2021/10/15/s_59e339ae92884/712183_9.png; ж) https://cdn2.arhivurokov.ru/multiurok/html/2021/10/15/s_59e339ae92884/712183_10.png;

5. Сообщения учащихся из истории возникновения и развития интегрального исчисления. Презентация «Ньютон и Лейбниц» (12 мин).

  1. Этап получения новых знаний и способов деятельности (25 мин).

Определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа. Он является мощным средством исследования в математике, физике и других дисциплинах.

1. Доклады учащихся из истории интегрального исчисления(слайды.

2.Защита проектов о применении интеграла в науке и технике

Применение интеграла в геометрии (Презентация № 1)

Применение интеграла в физике (Презентация № 2)

Применение интеграла в экономике (Презентация№ 3)

Применение интеграла при решении практических задач

(Презентация № 4)

Общий вывод участников проекта.

Физминутка (2 мин).

Представьте, что вы – красивый и стройный знак интеграла. Потянитесь руками к вашему верхнему пределу интегрирования, вдох. Плавно, через стороны, опускаем руки вниз и тянемся к нижнему пределу интегрирования, выдох. А теперь показываем, как широко понятие интеграла, руки в стороны, вдох. Исходное положение, выдох. Движения повторяем.

  1. Перенос знаний в новую ситуацию (10 мин)

Архимед и его «Квадратура параболы» (сообщение учащегося)

(вычисление пощади параболического сегмента) – задание выполняет учащийся в интерактивной среде Stratum 2000 (ЭОР School-collection)

Составление алгоритма нахождения площади сегмента параболы.

  1. Этап контроля и самоконтроля(15 мин)

1)Групповая работа работа учащихся по вариантам с последующей

взаимопроверкой . (Приложения №1,2)

2) Работа в парах (при наличии времени) (Приложение 3)

  1. Подведение итогов. Рефлексия (2 мин).

В завершении нашей конференции хочется отметить, что при выполнении проектов (при сборе информации, её анализе и передаче), «шагая», пусть не всегда уверенно, но осознавая куда, зачем и как, вы, уважаемые учащиеся, получили ни с чем не сравнимый свой собственный драгоценный опыт!

На основании которого можно сделать вывод:

  1. Определенный интеграл — это некоторый фундамент для изучения математики, которая вносит незаменимый вклад в решение задач практического содержания.
  2. Тема «Интеграл» ярко демонстрирует связь математики с физикой, биологией, техникой и экономикой.
  3. Развитие современной науки немыслимо без использования интеграла.

Выводы (выводы делают учащиеся).

  1. Обобщили имеющиеся знания по теме «Интеграл».
  2. Проверили уровень умения применять теоретические знания при вычислении интегралов.
  3. Получили новые знания в области применения интегрального исчисления.
  4. Получили подтверждение о практической взаимосвязи изучаемых дисциплин– алгебры, физики, геометрии
  1. Постановка домашнего задания (2 мин).

Базовый уровень: № 370, 373, 273(б; г), 275 (стр 312)

Профильный уровень: № 371, 372, 379, 273 (а,в), 278 (стр 312)

Заключение

Студент читает стихотворение Петра Долженкова «Определенный интеграл».

Определенный интеграл,

Ты мне ночами начал сниться,

Когда тебя впервые брал,

Я ощутил твои границы.

И ограниченность твоя

Мне придавала больше силы.

С тобой бороться должен я,

Но должен победить красиво!

Какое счастие познал

Я в выборе первообразной,

Как долго я ее искал,

Как мне далась она не сразу.

Замен и подстановок ряд

Привел к решению задачи.

Ты побежден! Ты мною взят!

Да и могло ли быть иначе…

Приложение 1

Варианты самостоятельной работы

Вариант 1

     Значения функций характерных углов

Вариант 2

     Значения функций характерных углов

Вариант 3

ЗАДАНИЯ

ОТВЕТЫ

  1. Вычислить интегралы:

1. 9 2. – 2 3. –9 4. 21https://cdn2.arhivurokov.ru/multiurok/html/2021/10/15/s_59e339ae92884/712183_19.png

2. 

1. 9 2. – 9 3. 4.

3. 

1. – 1 2. 1 3. 12,4 4. – 12,4

  1. Вычислить площадь фигуры,

ограниченной линиями у = cos,

у = 0, х =0 , х =0 

  1. – 1,5 2. 

3. 3 4. 1,5

  1. Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс

 криволинейной трапеции,

      ограниченной линиями: у=х2, у=0,

        х=0, х=2.

1.   2. 6,4

  1.   3. – 2

     Значения функций характерных углов

Вариант 4

Задания

Ответы

  1. Вычислить интеграл:
  1. – 5 2. 4

3. – 8 4. – 4

2. 

  1. 0 2. – 6

3. 3(- 1) 4. –3(  1)

3. 

  1. 4,5 2. – 4,5

3. 3 4. – 3

  1. Вычислить площадь фигуры,

ограниченной линиями

у = sin , у = 0, х = , х = 

  1. – 1 2. 1

3. https://cdn2.arhivurokov.ru/multiurok/html/2021/10/15/s_59e339ae92884/712183_21.png 4. 3

  1. Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: у=2-х2, у=х2, х=0

1. https://cdn2.arhivurokov.ru/multiurok/html/2021/10/15/s_59e339ae92884/712183_14.png  2. 1

3. – 4 4.  

    Значения функций характерных углов

Вариант 5

     Значения функций характерных углов

Приложение 2

Ответы

Критерии оценивания: «5» — 5 верно выполненных заданий

«4» — 4 верно выполненных заданий

«3» — 3 верно выполненных заданий

«2» — менее 3 верно выполненных заданий

Приложение 3

Приложение 4

Оценочный лист учащегося

Список используемой литературы

1. Дадаян А.А. Математика – М.: ФОРУМ, 2008.

2. Дадаян А.А. Сборник задач по математике – М.: ФОРУМ: 2008.

3. Григорьев С.Г., Задулина С.В.  Математика – М. ACADEMA, 2008.

Интернет-ресурсы

www. bibat.ru

www. еco.nw.ru

Coqeneration. comimoqes.uendes.com

Gos.ru  

Biqht.biysk.ru

Таблица интегралов

Опираясь на таблицу производных можно составить таблицу интегралов.

Рефераты:  История Интернета. Реферат. Информационное обеспечение, программирование. 2014-07-03

Для того, чтобы функция F(x) была первообразной для функции f(х) на некотором промежутке X, необходимо, чтобы обе функции F(x) и f(х) были определены на этом промежутке X.

Например, Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решениях > 1,6, согласно таблице интегралов, первообразная равна — Интеграл и его применение с примерами решения

Используя правила дифференцирования, можно сформулировать некоторые правила интегрирования.

Пусть функции F(x) и G(x) на некотором промежутке являются первообразными для функций Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияПравило 1: Функция Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияПравило 2: Функция Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Проинтегрируйте функциюИнтеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Согласно правилу 1 и 9 пункту таблицы интегралов: Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Проинтегрируйте функцию Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Найдём интеграл этой функции, используя правила 1, 2 интегирования, а также пункты 1 и 10 таблицы интегралов:Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

При решении таких примеров удобно использовать замену переменных.

Именно, обозначим х2 8 = u тогда,Интеграл и его применение с примерами решения

Проверка: Найдём производную от полученной функции и получим

подынтегральную функциюИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить интегралИнтеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Сделаем замену sinx = t. Тогда Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

При вычислении этого интеграла помогает тождество Интеграл и его применение с примерами решения

Тогда

Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Согласно тождеству Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Для подынтегральной функции справедлива равенства: Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Для вычисления этого интеграла воспользуемся Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Проверка:

Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Для вычисления этого интеграла воспользуемся Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Приведём также правило интегрирования по частям.

Правило 3*.

Если на некотором интервале X функции Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

Доказательство формулы следует из правила дифференцирования произведения функций Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решениявыраженияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить интегралИнтеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Подберём Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить интегралИнтеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Представим подынтегральную функцию Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Согласно формуле (1),

Значит, Интеграл и его применение с примерами решения

Проверка:

Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Пример 3.

Для нахождения интеграла удобно положить Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

В этом случае Интеграл и его применение с примерами решенияС). Согласно формуле интегрирования по частям,Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Оцените статью
Реферат Зона
Добавить комментарий