Конспект урока по теме "Экспериментальные данные и вероятности событий" | План-конспект урока по алгебре (9 класс) по теме: | Образовательная социальная сеть

Модель – это представление объекта, системы или идеи в некоторой форме, отличной от самой целостности.

Р. Шеннон

Под моделью (от лат. modulus – мера, образец, норма) понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные черты. Процесс построения и использования модели называется моделированием.

Два подхода к построению моделей

Способов построения моделей существует великое множество, ибо, пытаясь разобраться в сложившемся положении вещей, можно совершенно по-разному упрощать его в надежде вскрыть суть явления, а затем и разрешить.

Правда, не стоит забывать, что нередко упрощенческие подходы к сложным явлениям несут в себе значительную долю опасности.

Можно выделить два подхода к построению моделей (моделированию) тех или иных явлений, событий, обстоятельств, называя один из них западным, а другой восточным.

Западный. В небогатой философами Америке жил в XIX в своеобычный человек по имени Генри Торо (наиболее известная его работа «Уолден или жизнь в лесу» переведена на русский язык). Ему принадлежат слова: «Мы часто принимаем полутораумных людей как полоумных, потому что нам доступна лишь треть их ума».

Весьма нетривиальное высказывание, декларирующее по сути бесконечное уважение ко всякому человеку. А вот – математическая формула, навеянная этим высказыванием и в известном смысле точно его передающая: .

Выписанное равенство определяется сформулированной сентенцией, оно абсолютно правильно, но способно заменить это высказывание в очень малой степени – формула отражает лишь количественную сторону высказывания, но почти абстрагируется от его смысла.

Восточный. Однажды шах, отличавшийся крутым нравом, пожелал иметь свой парадный портрет. Это пожелание шаха само по себе ничего страшного не таило, однако художник, которому была оказана столь высокая честь, впал в отчаяние. И было отчего: шах был кривым на один глаз.

Конечно, можно было бы написать портрет шаха с двумя глазами. Но такой портрет вряд ли понравился бы заказчику – слишком явной была бы неправда. Можно было бы изобразить шаха, как есть – одноглазым. Но это вызвало бы шахский гнев (в этом чувства шаха вполне понятны и нам – неудачная фотография если и сохраняется, то на почетном месте обычно не вывешивается).

Казнь, как неизбежное следствие шахского гнева, казалась неминуемой. Однако жизнелюбивый художник после мучительных размышлений выход все же нашел.

Шах был изображен на охоте – восседая на великолепном коне, он целился из лука в не менее великолепного оленя. Один глаз был зажмурен.

Нужно ли объяснять, какой именно?

Во всех случаях портрет передает лишь часть того, что можно было бы рассказать о человеке. Отбор этой части определяется целью. У художника их было две – написать парадный портрет шаха и остаться живым.

Три типа моделей

Различают три типа моделей – физические, аналоговые и математические модели.

Физические модели. Так называют увеличенное или уменьшенное описание объекта или системы. Отличительная характеристика физической модели состоит в том, что в некотором смысле она выглядит как моделируемая целостность. Примером физической модели может служить игрушечная машинка, кукла, всем известны из астрономии модель солнечной системы, а из химии – модель атома или молекулы и т.п.

Применяются физические модели в машиностроении, самолетостроении, архитектуре и т.д.

Например, на одном из этапов разработки самолета новой конструкции возникает необходимость проверить его основные аэродинамические параметры. С этой целью подготовленную копию (модель) продувают в специальной (аэродинамической) трубе, а полученные показания затем тщательно исследуют. Выгода такого подхода очевидна. И потому все ведущие самолетостроительные компании используют физические модели подобного рода при разработке каждого нового летательного аппарата.

Аналоговые модели. Так называют модели, представляющие исследуемый объект аналогом, который ведет себя как реальный объект, но не выглядит как таковой.

Примерами аналоговых моделей являются графики, таблицы, диаграммы, карты (местности).

Например, нужно найти наиболее экономичный способ для регулярных известных поставок товаров в три города, построив для этого только один склад. Основное требование: место для склада должно быть таким, чтобы полные транспортные расходы были наименьшими (считается, что стоимость каждой перевозки равна произведению расстояния от склада до пункта назначения на общий вес перевозимых товаров и измеряется в тонно-километрах).

Наклеим карту местности на лист фанеры. Затем в месте нахождения каждого города просверлим сквозные отверстия, пропустим через них нити и привяжем к ним грузики, пропорциональные запросам товаров в этот город. Свяжем свободные концы нитей в один узел и отпустим. Под действием силы тяжести система придет в состояние равновесия. То место, которое при этом займет узел, и будет соответствовать оптимальному расположению склада.

Математические модели. Так называют модели, использующие для описания свойств и/или характеристик объекта или события математические символы и методы.

Если некоторую проблему удается перенести на язык формул, то она сильно упрощается. Математический подход прост еще и потому, что он подчиняется вполне определенным жестким правилам, которые нельзя отменить указом или иным способом.

Сложность нашей жизни как раз и состоит в том, что многое, что в ней случается, нередко свободно от пут каких бы то ни было условностей.

Математика имеет дело с упрощенным описанием явлений. По-существу, любая формула (или совокупность формул) представляет собой определенный этап в построении математической модели.

Опыт показывает, что построить модель (написать уравнение, неравенство или систему уравнений или неравенств) довольно легко. Трудно в этой модельной и, следовательно, упрощенной форме суметь передать суть изучаемого явления.

«Для нахождения приемлемого или оптимального решения задачи полезно знать, в чем она состоит. Как ни просто и прозрачно данное утверждение, чересчур многие … игнорируют очевидное» ( Р. Шеннон).

С середины ХХ в. В самых различных областях человеческой деятельности стали широко применять математические методы и ЭВМ. Возникли такие новые дисциплины, как «математическая экономика», «математическая химия», «математическая лингвистика» и т.д., изучающие математические модели соответствующих объектов и явлений, а также методы исследования этих моделей.

Математическая модель – это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования – исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако, моделирование – это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

Математическое моделирование и связанный с ним компьютерный эксперимент незаменимы в тех случаях, когда натурный эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам. Например, нельзя поставить натурный эксперимент в истории. Невозможно проверить правильность той или иной космологической теории. В принципе возможно, но вряд ли разумно, поставить эксперимент по распространению какой-либо болезни, например чумы, или осуществить ядерный взрыв, чтобы изучить его последствия. Однако все это можно сделать на компьютере, построив предварительно математические модели изучаемых явлений.

В рассказе знаменитого польского фантаста С. Лема «Путешествие второе или какую услугу оказали Трурль и Клапауций царю Жестокусу» из цикла «Кибериада» так описывается процесс математического моделирования ситуации:

«И друзья засели за эксперимент. Он состоял в том, что конструкторы смоделировали царя Жестокуса и чудовище, но лишь на бумаге, математическим методом; Трурль управлял первой моделью, а Клапауций – второй. Вот и сшиблись модели-враги на огромных белых листах, покрывающих стол, с такой силой, что лопнули графитовые стержни в карандашах. Неопределенным интегралом яростно извивался монстр под ударами царевых уравнений и повергался, рассыпанный в несчетное множество неизвестных, и восставал вновь, возведенный в высшую степень, а царь поражал его дифференциалами, да так, что лишь клочья функциональных операторов летели в разные стороны, и возник в результате такой нелинейно-алгебраический хаос, что конструкторы не могли уж разобраться, что стало с царем, а что – с чудовищем, и тот и другое исчезли во мгле перечеркнутых знаков. Встали друзья из-за стола и для подкрепления сил хлебнули из огромной лейденской амфоры, вновь уселись и снова начали бой, стремительный бой, спустив с цепи весь Высший Анализ; прах заклубился на бумаге, и чад пошел от раскаленных графитов. Мчался царь во весь опор свирепых своих коэффициентов, блуждал по лесу символов шестииндексных, возвращался по собственному следу, атаковал монстра до седьмого пота и восьмой равнодействующей, а чудовище распалось на сто многочленов, потеряв один икс и два ипсилона, забралось в знаменатель, вылупилось из кокона, взмахнуло корнями и как ударит математизированную царскую особу по боку, так что содрогнулось все царево уравнение, словно ударом наотмашь пораженное. Но тут Жестокус броней нелинейной прикрылся, бесконечно удаленной точки достиг, мигом вернулся и как ударит чудовище по голове сквозь все скобки, так что логарифм отвалился у монстра спереди, а степень – сзади. Втянуло чудовище щупальца внутрь и ковариантно – лишь карандашики мелькали – бац! Бац! – нанесло удар за ударом и еще один – по спине трансформаторной – и вот уже царь, упрощенный, зашатался от числителя и до всех знаменателей, и вытянулся во весь рост, а конструкторы, вскочив из-за стола, стали смеяться и рвать в клочья исписанные листы на глазах у соглядатаев, которые тщетно пытались подсматривать за ними…, но с высшей математикой незнакомые, поняли лишь, что конструкторы кричат один другому: “Победа! Победа!”»

1 Построение модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект – явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т.д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики в виде уравнений, неравенств или их систем, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.

2 Решение математической задачи, к которой приводит модель. На этом этапе болшое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.

3 Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области. Другими словами, полученные математические результаты переводятся на язык исходной задачи.

4 Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности. То есть проверку адекватности модели выполняют те, кто сформулировал первоначальную задачу.

5 Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

Классификация моделей

Классифицировать модели можно по разным критериям. Например, по характеру решаемых проблем модели могут быть разделены на функциональные и структурные. В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. При этом одни из них рассматриваются как независимые переменные, а другие – как функции от этих величин. Математическая модель обычно представляет собой систему уравнений разного типа (дифференциальных, алгебраических и т.д.), устанавливающих количественные зависимости между рассматриваемыми величинами. Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Как правило, эти связи не поддаются количественному измерению. Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов. Граф – это математический объект, представляющий собой некоторое множество точек (вершин) на плоскости или в пространстве, некоторые из которых соединены линиями (ребрами).

По характеру исходных данных и результатов предсказания модели могут быть разделены на детерминистические и вероятностно-статистические. Модели первого типа дают определенные, однозначные предсказания. Модели второго типа основаны на статистической информации, а предсказания, полученные с их помощью, имеют вероятностный характер.

Примеры математических моделей

Задача о движении снаряда.

Рассмотрим следующую задачу механики.

Снаряд пущен с Земли с начальной скоростью v₀ = 30 м/c под углом α = 45⁰ к ее поверхности; требуется найти траекторию его движения и расстояние S между начальной и конечной точкой этой траектории.

1. Построение модели.Пренебрегая размерами снаряда, будем считать его материальной точкой. Введем систему координат хОу, совместив ее начало О с исходной точкой, из которой выпущен снаряд ось х направим горизонтально, а ось у – вертикально (см. рис.).

Тогда, как это известно из школьного курса физики, движение снаряда описывается формулами:

, ,

где t – время, g = 10 м/c² – ускорение свободного падения. Эти формулы и дают математическую модель поставленной задачи.

Рисунок 7.1

2. Решение математической задачи, к которой приводит модель.Выражая t через х из первого уравнения и подставляя во второе, получим уравнение траектории движения снаряда:

.

Эта кривая (парабола) пересекает ось х в двух точках: х₁ = 0 (начало траектории) и х₂ = (место падения снаряда). Подставляя в полученные формулы заданные значения v₀ и α, получим ответ: у = х – 90х², S = 90 м.

3. Интерпретация полученных следствий из математической модели.у = х – 90х²– уравнение, описывающее траекторию движения,расстояние между конечной и начальной точками S = 90 м.

Отметим, что при построении этой модели использован ряд предположений: например, считается, что Земля плоская, а воздух и вращение Земли не влияют на движение снаряда.

Требуется найти высоту h₀ и радиус r₀ жестяного бака объема V = 30 м³, имеющего форму закрытого кругового цилиндра, при которых площадь его поверхности S минимальна (в этом случае на его изготовление пойдет наименьшее количество жести).

1. Построение модели.Запишем следующие формулы для объема и площади поверхности цилиндра высоты h и радиуса r:

, .

Выражая h через r и V из первой формулы и подставляя полученное выражение во вторую, получим:

.

2. Решение математической задачи, к которой приводит модель. С математической точки зрения, задача сводится к определению такого значения r, при котором достигает своего минимума функция S(r). Найдем те значения r₀, при которых производная обращается в ноль: . Можно проверить, что вторая производная функции S(r) меняет знак с минуса на плюс при переходе аргумента r через точку r_0., следовательно, в точке r₀ функция S(r) имеет минимум. Соответствующее значение h₀ = 2r₀.Подставляя в выражение для r₀ и h₀ заданное значение V, получим искомый радиус и высоту .

3. Интерпретация полученных следствий из математической модели. На изготовление цилиндрического бака пойдет меньше всего жести, если у него будет радиус и высота

Транспортная задача.

В городе имеются два склада муки и два хлебозавода. Ежедневно с первого склада вывозят 50 т муки, а со второго – 70 т на заводы, причем на первый – 40 т, а на второй – 80 т.

Обозначим через a_ijстоимость перевозки 1 т муки с i-того склада на j-тый завод (i,j = 1,2). Пусть а₁₁ = 1,2 р., а₁₂ = 1,6 р., а₂₁ = 0,8 р., а₂₂ = 1 р.

Как нужно спланировать перевозки, чтобы их стоимость была минимальной?

1. Построение модели.Придадим задаче математическую формулировку. Обозначим через х₁₁ и х₁₂ количество муки, которое надо перевезти с первого склада на первый и второй заводы, а через х₂₁ и х₂₂ – со второго склада на первый и второй заводы соответственно. Тогда получим следующую систему уравнений:

Общая стоимость всех перевозок определяется формулой: f = 1,2x₁₁ 1,6x₁₂ 0,8x₂₁ x₂₂.

С математической точки зрения задача заключается в том, чтобы найти четыре числа х₁₁, х₁₂, х₂₁ и х₂₂, удовлетворяющие всем заданным условиям и дающие минимум функции f.

2. Решение математической задачи, к которой приводит модель.Решим систему уравнений (1) относительно х_ij (i,j = 1, 2) методом исключения неизвестных (метод Гаусса). Получим, что

а х₂₂ не может быть определено однозначно. Так как (i,j = 1,2), то из системы (2) следует, что . Подставляя выражения из системы (2) для х₁₁, х₁₂, х₂₁ в формулу для f, получим f = 148 – 0,2х₂₂.

Эта функция линейная, с угловым коэффициентом k = -0,2 < 0. Следовательно, она убывает на всем промежутке [30; 70]. Значит, свое наименьшее (минимальное) значение эта функция принимает при х₂₂ = 70. Соответствующие значения других неизвестных определяем с помощью системы (2): х₁₁ = 40, х₁₂ = 10, х₂₁ = 0.

3. Интерпретация полученных следствий из математической модели. Стоимость перевозок будет минимальной, если с первого склада на первый хлебозавод будет поставляться 40 т муки, на второй хлебозавод – 10 т муки, а вся мука со второго склада будет поставляться только на второй хлебозавод.

Пусть N(0) – исходное количество атомов радиоактивного вещества, а N(t) – количество нераспавшихся атомов в момент времени t. Экспериментально установлено, что скорость изменения количества этих атомов N^/(t) пропорциональна N(t), то есть N^/(t) = -lN(t), l > 0 – константа радиоактивности данного вещества.

В школьном курсе математического анализа показано, что решение этого дифференциального уравнения имеет вид N(t) = N(0)е^–lt. Время Т, за которое число исходных атомов уменьшилось вдвое, называется периодом полураспада, и является важной характеристикой радиоактивности вещества. Для определения Т надо положить в формуле . Тогда . Например, для радона , и, следовательно, Т = 3,15 сут.

Задача о коммивояжере.

Коммивояжеру, живущему в городе А₁, надо посетить города А₂, А₃и А₄, причем каждый город точно один раз, и затем вернуться обратно в А₁. Известно, что все города попарно соединены между собой дорогами, причем длины дорог b_ij между городами A_i и A_j (i,j = 1, 2, 3, 4) таковы: b₁₂ = 30, b₁₄ = 20, b₂₃ = 50, b₂₄ = 40, b₁₃ = 70, b₃₄ = 60.

Надо определить порядок посещения городов, при котором длина соответствующего пути минимальна.

Построение модели.

Изобразим каждый город точкой на плоскости и пометим ее соответствующей меткой A_i (i = 1, 2, 3, 4). Соединим эти точки отрезками прямых: они будут изображать дороги между городами. Для каждой «дороги» укажем ее протяженность в километрах (рис. 7.2). Получился граф – математический объект, состоящий из некоторого множества точек на плоскости (называемых вершинами) и некоторого множества линий, соединяющих эти точки (называемых ребрами). Более того, этот граф меченый, так как его вершинам и ребрам приписаны некоторые метки – числа (ребрам) или символы (вершинам). Циклом на графе называется последовательность вершин V₁, V₂,…,V_k, V₁ такая, что вершины V₁, V₂,…,V_k – различны, а любая пара вершин V_i, V_{i 1} (i = 1, …, k-1) и пара V₁, V_k соединены ребром. Рассматриваемая задача заключается в отыскании такого цикла на графе, проходящего через все четыре вершины, для которого сумма всех весов ребер минимальна.

Рисунок 7.2

2. Решение математической задачи, к которой приводит модель.Найдем перебором все различные циклы, проходящие через четыре вершины и начинающиеся в А₁: 1) А₁, А₄, А₃, А₂, А₁; 2) А₁, А₃, А₂, А₄, А₁; 3) А₁, А₃, А₄, А₂, А₁. Найдем теперь длины этих циклов (в км): L₁ = 160, L₂ = 180, L₃ = 200. Итак, маршрут наименьшей длины – это первый.

Заметим, что если в графе п вершин и все вершины попарно соединены между собой ребрами (такой граф называется полным), то число циклов, проходящих через все вершины, равно . Следовательно, в нашем случае имеется ровно три цикла.

3. Интерпретация полученных следствий из математической модели.Порядок посещения городов, при котором длина соответствующего пути коммивояжера минимальна, следующий: А₁, А₄, А₃, А₂, А₁ или в обратном порядке.

Здесь мы рассмотрим пример вероятностной модели (основные понятия теории вероятностей находятся в теоретическом разделе 5 темы).

Предположим, что в электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказов 1-го, 2-го и 3-го элементов соответственно равны Р₁ = 0,1, Р₂ = 0,15, Р₃ = 0,2. Будем считать цепь надежной, если вероятность того, что в цепи не будет тока, не более 0,4. Требуется определить, является ли цепь надежной.

1. Построение модели. Так как элементы включены последовательно, то тока в цепи не будет, если откажет хотя бы один из элементов.

Пусть А – событие, состоящее в том, что тока в цепи не будет; событие А_i (i = 1, 2, 3) заключается в том, что i-тый элемент работает. Тогда Р(А₁) = 1 – 0,1 = 0,9, Р(А₂) = 1- 0,15 = 0,85, Р(А₃) = 1 – 0,2 = 0,8. Очевидно, что событие, состоящее в том, что по цепи проходит ток, равно событию, заключающемуся в том, что все три элемента работают, т.е. равно произведению трех независимых событий А₁, А₂и А₃(наступление каждого из этих событий не зависит от наступления двух других).

2. Решение математической задачи, к которой приводит модель. По теореме о вероятности произведения независимых событий Р(А₁А₂А₃) = Р(А₁)Р(А₂)Р(А₃) = 0,9·0,85 ·0,8 = 0,612. Тогда Р(А) Р(А₁А₂А₃) = 1. Поэтому Р(А) = 1 – 0,612 = 0,388 < 0,4.

3. Интерпретация полученных следствий из математической модели.Р(А) = 0,388 < 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Задача о диете.

Дама просто приятная решила похудеть и, как это нередко случается, обратилась за советом к подруге. Подруга – дама приятная во всех отношениях, посоветовала ей перейти на рациональное питание, состоящее из двух новомодных продуктов Р и Q.

Дневное питание этими новинками должно давать не более 14 единиц жира (чтобы похудеть), но и не менее 300 калорий (чтобы не сойти с дистанции раньше). На банке с продуктом Р написано, что в одном килограмме этого продукта содержится 15 единиц жира и 150 калорий, а на банке с продуктом Q – 4 единицы жира и 200 калорий соответственно. При этом цена 1 кг продукта Р равна 15 у.е., а 1 кг продукта Q – 25 у.е.

Так как дама просто приятная в это время была несколько стеснена в средствах, то ее интересовал ответ на следующий вопрос: в какой пропорции нужно брать эти удивительные продукты Р и Q для того, чтобы выдержать условия диеты и истратить как можно меньше денег?

1. Построение модели. Обозначим через х количество продукта Р, а через у – количество продукта Q, требуемые для выполнения условий диеты.

Количество единиц жира, содержащегося в х кг продукта Р и в у кг продукта Q, равно 15х 4у и по условию диеты не должно превосходить 14. Поэтому .

В свою очередь, количество калорий, содержащихся в х кг продукта Р и в у кг продукта Q, равно 150х 200у и должно быть не меньше 300. Значит, .

Теперь о стоимости продуктов. Она равна z(х; у) = 15x 25y и в соответствии с высказанными пожеланиями должна быть минимальной. Последнее записывается так: z(х; у) = 15x 25y → min.

Итак, мы получили систему неравенств

которая является математической моделью задачи.

Полученная система неравенств называется системой ограничений задачи, а функция z(х; у) называется целевой функцией задачи.

2. Решение математической задачи, к которой приводит модель. Для решения применим координатно-графический метод.

Решением системы ограничений является многоугольник, полученный путем пересечения областей решений всех неравенств системы. Решением линейного неравенства является одна из полуплоскостей, на которые прямая, соответствующая данному неравенству, делит координатную плоскость. Для определения искомой полуплоскости берется точка, не лежащая на прямой, ее координаты подставляются в неравенство. Если в результате получается верное числовое неравенство, то решением является полуплоскость, содержащая выбранную точку. В противном случае, решением является другая полуплоскость.

Введем на плоскости прямоугольную систему координат хОу и построим многоугольник решений системы ограничений нашей задачи.

Из условий х ≥ 0 и у ≥ 0 вытекает, что все точки, которые удовлетворяют системе ограничений, лежат в первой координатной четверти.

Теперь решим неравенство . Ему соответствует прямая, заданная уравнением , которая проходит через точки и . Для проверки возьмем точку О(0; 0): 15 · 0 4 · 0 = 0 ≤ 14. Так как 0 ≤ 14 – верное неравенство, то решением неравенства является полуплоскость, содержащая точку О.

Обращаясь подобным же образом с неравенством , находим точки пересечения прямой с осями координат – точки С(2; 0) и D(0; 1,5). Для проверки также возьмем точку О(0; 0): 150 · 0 200 · 0 = 0 ≥ 300. Так как 0 ≥ 300 – неверное числовое неравенство, то решением неравенства является полуплоскость, не содержащая точку О.

Рисунок 7.4

Пересечением всех полуплоскостей является треугольник BDK (рис. 7.4). Точка К является точкой пересечения прямых АВ и CD и имеет координаты .

Теперь среди всех точек треугольника найдем ту, координаты которой удовлетворяют условию минимальности целевой функции z.

Для этого построим так называемую линию нулевого уровня функции z, которая задается уравнением z(x; y) = 0. Будем двигать эту прямую в направлении вектора , координатами которого являются соответствующие коэффициенты целевой функции, до места первой встречи этой прямой с треугольником BDK. Искомой точкой будет точка К . То есть искомые значения х = , у = 1.

3. Интерпретация полученных следствий из математической модели. Таким образом, чтобы выполнить условия диеты и истратить при этом как можно меньше средств, продукты Р и Q нужно брать в отношении х : у = : 1 = 2 : 3. То есть на 2 части продукта Р брать 3 части продукта Q.

Выводы

Модель – это условный образ объекта, построенный для упрощения его исследования.

Конечно, при попытке упрощенного описания ситуации некоторыми обстоятельствами приходится пренебрегать, считая их несущественными. Однако единого взгляда на то, что именно существенно, а что не очень, по-видимому, нет. Можно, например, не обращать внимания на то, что начался дождик. Но одно дело пробежать под накрапывающим дождем сотню метров, и совсем другое – часовая прогулка под таким дождем без зонта.

Предлагая построенную или выбранную нами модель, мы непременно должны указывать пределы, в которых ею можно пользоваться, и предупреждать о том, что нарушение этих ограничений приводит (и, скорее всего, приведет) к серьезным ошибкам. Коротко говоря, у каждой модели есть свой ресурс.

Покупая блузку или рубашку, мы привыкли к наличию меток, на которых указаны максимально допустимая температура глажения, дозволенные виды стирки и т.п. Это, конечно, ни в коей мере не означает, что нам запрещается, взяв докрасна раскаленный утюг, пройтись им по ткани раз-другой. Такое мы сделать можем. Но вот захотим ли мы носить блузку или рубашку после такого глажения?

Таким образом, построение модели опирается на значительное упрощение изучаемой ситуации и, следовательно, к получаемым на ее основе выводам нужно относиться достаточно осторожно – модель может не все.

Вместе с тем, даже весьма грубая на вид идеализация нередко позволяет глубже вникнуть в суть проблемы. Пробуя как-то влиять на параметры модели (выбирать их, управлять ими), мы получаем возможность подвергнуть исследуемое явление качественному анализу и сделать выводы общего характера.

Контрольные вопросы

1 Что такое модель, моделирование?

2 Какие два подхода различают в моделировании? В чем их особенность?

3 Перечислите типы моделей. Дайте им краткую характеристику.

4 В чем важность математического моделирования?

5 Перечислите этапы математического моделирования. Охарактеризуйте каждый этап.

6 Как можно классифицировать математические модели?

7 Приведите пример задачи математического моделирования.

8 Почему нужно с осторожностью относиться к выводам, полученным на основе модели?

Основной уровень

Задание 1.Укажите, какие из данных предложений являются высказываниями или высказывательными формами, не являются высказываниями или высказывательными формами:

1.1 а) Курган – столица России; б) Студент университета; в) Треугольник АВС подобен треугольнику А¹В¹С¹; г) Луна – спутник Марса.

1.2 а) Кислород – газ; б) Каша – вкусное блюдо; в) Математика – интересный предмет; г) Картины Пикассо слишком абстрактны.

1.3 а) Железо тяжелее свинца; б) Да здравствуют музы!; в) Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны; г) Если в треугольнике все углы равны, то он равносторонний.

1.4 а) Сегодня плохая погода; б) В романе А.С. Пушкина «Евгений Онегин» 136 245 букв; в) Река Ангара впадает в озеро Байкал; г) Число 12345 кратно 3.

1.5 а) Чтобы подключиться к Интернету с домашнего компьютера, необходим модем и соответствующее программное обеспечение; б) Солнце светит для всех; в) Все ученики любят информатику; г) Некоторые из учеников любят информатику.

1.6 а) А ты любишь информатику?; б) Посмотри в окно; в) Крокодилы летают очень низко; г) Число 8456 является совершенным.

1.7 а) Без труда не выловишь и рыбку из пруда; б) Как хорошо быть генералом!; в) Революция может быть мирной и немирной; г) Зрение бывает нормальное, или у человека имеется дальнозоркость или близорукость.

1.8 а) Познай самого себя; б) Не может быть, что ни один человек не дышит жабрами; в) Талант всегда пробьет себе дорогу; г) Некоторые животные мыслят.

1.9 а) Информатика, в частности, изучает алгоритмы; б) Всякая истина является конкретной; в) Это утверждение ложно; г) Человек – брюнет.

1.10 а) Существует жизнь после смерти; б) Шел дождь; в) Число у делится на 7; г) 3 2 = 5.

Задание 2.Формализуйте данные сложные высказывания:

2.1 а) «Луна – планета и 2 3 = 5»; б) «Если 17 делится на 4, то оно делится на 2»; в) «12 делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 3»; г) «Если на улице холодно и сыро, мы не пойдем в лес».

2.2 а) «Луна – планета или 2 3 = 5»; б) «Если 20 делится на 4, оно делится на 2»; в) «11 делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 3»; г) «На улице не холодно или на улице не сыро».

2.3 а) «1 – простое число и 2 – простое число»; б) «Если Солнце всходит на востоке, то оно заходит на западе»; в) «15 делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 3»; г) «Здесь холодно, и было бы хорошо, если бы ты закрыл окно».

2.4 а) «1 – простое число или 2 – простое число»; б) «Если Солнце всходит на юге, то оно заходит на западе»; в) «15 делится на 3 тогда и только тогда, когда оно делится на 6»; г) «Если какое-то вещество нагревать, оно расплавится или испарится, но оно может также и взорваться».

2.5 а) «Кислород – металл и 2 ´ 2 = 5»; б) «Если Солнце всходит на востоке, то оно заходит на севере»; в) «12 делится на 6 тогда и только тогда, когда 12 делится на 3»; г) «Если завтра выпадет снег, мы пойдем в лес на лыжах и возьмем с собой собаку».

2.6 а) «Кислород – металл или 2 ´ 2 = 5»; б) «Если Солнце всходит на севере, то оно заходит на западе»; в) «11 делится на 6 тогда и только тогда, когда 11 делится на 3»; г) «Если свет имеет волновую природу, то когда он представляется в виде потока частиц (корпускул), допускается ошибка».

2.7 а) «Цинк – металл и цезий – металл»; б) «Если Москва – большой город, то Солнце заходит на западе»; в) «15 делится на 6 тогда и только тогда, когда 15 делится на 3»; г) «Если данное число делится на 6, то оно делится на 2 и делится на 3».

2.8 а) «Цинк – металл или цезий – металл»; б) «Если Москва – большой город, то Солнце заходит на юге»; в) «15 делится на 5 тогда и только тогда, когда 15 делится на 4»; г) «Если данное число делится на 8, то оно является четным или делится на 16».

2.9 а) «Каждое число делится на 2 или делится на 3»; б) «Если 2 ´ 2 = 5, то Нью-Йорк – маленький город»; в) «15 делится на 5 тогда и только тогда, когда 15 делится на 4»; г) «Если вы были в Париже, то вы видели Лувр или видели Эйфелеву башню».

2.10 а) «Эйфелева башня находится в Париже или она находится в Нью-Йорке»; б) «Если 2 ´ 2 = 5, то Нью-Йорк – большой город»; в) «Солнце восходит на востоке тогда и только тогда, когда оно заходит на западе»; г) «Если мистер Джонс счастлив, то миссис Джонс несчастлива и если мистер Джонс несчастлив, то миссис Джонс счастлива».

Задание 3. По форме высказываний и выраженным на естественном языке составляющим его простым высказываниям получите фразу на естественном языке. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16) .

3.1 а = «8 – четное число»; b = «8 делится на 4»

3.2 а = «Все дети любят манную кашу»; b = «Все дети хорошо растут»

3.3 а = «Самолеты летают высоко»; b = «Самолеты падают очень редко»

3.4 а = «Собака бывает кусачей»; b = «Собака живет в будке»

3.5 а = «9 – нечетное число»; b = «9 делится на 3»

3.6 а = «Лошади умеют летать»; b = «Лошади высоко прыгают»

3.7 а = «Ночью все кошки серы»; b = «Найти черную кошку в черной комнате очень легко»

3.8 а = «Историк Гуськов увлекается математикой»; b = «Математика помогает изучать историю»

3.9 а = «6 – четное число»; b = «6 делится на 4»

3.10 а = «Все спортсмены – здоровые люди»; b = «Спорт помогает вести здоровый образ жизни»

Задание 4. Составьте таблицы истинности для формул:

4.1 1) ; 2) ; 3) .

4.2 1) ; 2) ; 3) .

4.3 1) ; 2) ; 3) .

4.4 1) ; 2) ; 3) .

4.5 1) ; 2) ; 3) .

4.6 1) ; 2) ; 3) .

4.7 1) ; 2) ; 3) .

4.8 1) ; 2) ; 3) .

4.9 1) ; 2) ; 3) .

4.10 1) ; 2) ; 3) .

Задание 5.Укажите, какие из формул в предыдущей задаче являются тавтологиями, противоречиями, выполнимыми (опровержимыми).

Задание 6. С помощью таблиц истинности проверьте, какие из данных формул являются равносильными:

6.1 F = ; G = ; H = .

6.2 F = ; G = ; H = .

6.3 F = ; G = ; H = .

6.4 F = ; G = ; H = .

6.5 F = ; G = ; H = .

6.6 F = ; G = ; H = .

6.7 F = ; G = ; H = .

6.8 F = ; G = ; H = .

6.9 F = ; G = ; H = .

6.10 F = ; G = ; H = .

Повышенный уровень

Задание 1.Укажите, какие из данных предложений являются высказываниями или высказывательными формами, не являются высказываниями или высказывательными формами:

1.1 а) Число слов в этом предложении равно семи; б) В четырехугольнике противоположные стороны равны; в) Во всяком четырехугольнике противоположные стороны равны; г) Существует наибольшее натуральное число.

1.2 а) Осень – лучшая пора года; б) Небо над Сицилией всегда голубое; в) Сожалею, но вы мне не нравитесь; г) Ни одно простое число не является четным.

1.3 а) Глина – это жидкость или газ; б) Из елки можно сделать палку, но из палки не сделаешь елку; в) Фенхель лучше всего растет на участках со сравнительно влажной, слегка кислой почвой; г) Некоторые птицы не летают.

1.4 а) Если воробей – птица, он летает; б) Каждый квадрат является ромбом; в) У ромба диагонали взаимно перпендикулярны; г) Когда идет дождь, все небо покрыто тучами.

1.5 а) Число является простым, если и только если оно делится только на единицу и на само себя; б) Холодный и пустынный дом; в) Если металл нагревается, он плавится; г) Неправда, что философские споры неразрешимы.

Задание 2.Формализуйте данные сложные высказывания:

2.1 а) «Лев Толстой написал роман «Воскресение» или он написал роман «Анна Каренина»»; б) «Тот, кто изучал геометрию, знает теорему Пифагора или, во всяком случае, слышал о ней, а если эта теорема ему неизвестна, ему нетрудно будет понять ее».

2.2 а) «Число 2 четное или оно простое»; б) «Если у меня будет свободное время и не будет дождя, то я не буду писать сочинение, а пойду на дискотеку».

2.3 а) «2 ´ 2 = 4 или белые медведи живут в Африке»; б) «Лошадь погибает от одного грамма никотина, но я не лошадь, следовательно, курить вредно».

2.4 а) «Если Париж расположен на Темзе, то белые медведи обитают в Африке»; б) «Без Вас хочу сказать Вам много,/ При Вас я слушать Вас хочу».

2.5 а) «Если я – Наполеон, то у кошки четыре ноги»; б) «Люди получают высшее образование тогда, когда они заканчивают институт, университет или академию».

Задание 3. По форме высказываний и выраженным на естественном языке составляющим его простым высказываниям получите фразу на естественном языке. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) .

3.1 а = «Теория Дарвина является научной»; b = «Теория Дарвина может быть подтверждена опытными данными»; с = «Теория Дарвина может быть опровергнута опытными данными».

3.2 а = «Свидетель был запуган»; b = «Свидетель видел преступника»; с = «Свидетель запомнил номера скрывшейся машины».

3.3 а = «Обезьяну можно научить играть на скрипке»; b = «Обезьяна очень умна»; с = «Обезьяна может запоминать порядок выполнения операций».

3.4 а = «Ребенок требует к себе повышенного внимания»; b = «Ребенок очень устал»; с = «Ребенок хочет есть».

3.5 а = «Работать на компьютере интересно»; b = «Работать на компьютере полезно»; с = «Работать на компьютере вредно для здоровья».

Задание 4. Составьте таблицы истинности для формул:

4.1 1) ; 2) ; 3) .

4.2 1) ; 2) ; 3) .

4.3 1) ; 2) ; 3) .

4.4 1) ; 2) ; 3) .

4.5 1) ; 2) ; 3) .

Задание 5.Укажите, какие из формул в предыдущей задаче являются тавтологиями, противоречиями, выполнимыми (опровержимыми).

Задание 6. С помощью таблиц истинности проверьте, какие из данных формул являются равносильными:

6.1 F = ; G = ; H = .

6.2 F= ; G = ; H = .

6.3 F = ; G = ; H = .

6.4 F = ; G = ; H = .

6.5 F = ; G = ; H = .

Основной уровень

Задание 1. Вычислите: а) , б) . (п – номер варианта)

Задание 2.Вычислите а) , б) , в) . (п – номер варианта)

Задание 3. Решите задачу:

3.1 Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9? Сколько среди них чисел, кратных 5?

3.2 Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9? Сколько среди них чисел, кратных 11?

3.3 Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9? Сколько среди них чисел, кратных 3?

3.4 Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех вертикальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг. Сколько всего стран могут использовать такую символику? Сколько всего стран могут использовать такую символику с верхней белой полосой?

3.5 Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех вертикальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг. Сколько всего стран могут использовать такую символику? Сколько всего стран могут использовать такую символику с нижней зеленой полосой?

3.6 Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех вертикальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг. Сколько всего стран могут использовать такую символику? Сколько всего стран могут использовать такую символику с синей и красной полосами, расположенными рядом?

3.7 В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они для трусов и футболок использовали белый, красный, синий, зеленый или желтый цвета, причем были представлены все возможные варианты. Сколько команд участвовали в турнире? Сколько команд играли в зеленых футболках?

3.8 В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они для трусов и футболок использовали белый, красный, синий, зеленый или желтый цвета, причем были представлены все возможные варианты. Сколько команд участвовали в турнире? У скольких команд футболки и трусы были разного цвета?

3.9 В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они для трусов и футболок использовали белый, красный, синий, зеленый или желтый цвета, причем были представлены все возможные варианты. Сколько команд участвовали в турнире? У скольких команд футболки и трусы были разного цвета, причем трусы были не красные?

3.10 В клетки квадратной таблицы 2×2 произвольно ставят крестики и нолики. Сколькими способами можно заполнить эту таблицу? В скольких случаях в левой нижней клетке будет стоять крестик?

Задание 4.Решите задачу:

4.1 Вова точно помнит, что в формуле оксида азота подряд идут буквы Н и О и что есть один нижний индекс – то ли двойка, то ли тройка. Нарисуйте дерево возможных вариантов, из которых Вове придется выбирать ответ. Сколько имеется вариантов, в которых индекс равен двойке?

4.2 Вова точно помнит, что в формуле оксида азота подряд идут буквы Н и О и что есть один нижний индекс – то ли двойка, то ли тройка. Нарисуйте дерево возможных вариантов, из которых Вове придется выбирать ответ. Сколько имеется вариантов, в которых индекс стоит на первом месте?

4.3 Вова точно помнит, что в формуле оксида азота подряд идут буквы Н и О и что есть один нижний индекс – то ли двойка, то ли тройка. Нарисуйте дерево возможных вариантов, из которых Вове придется выбирать ответ. Сколько имеется вариантов, в которых индекс стоит на втором месте?

4.4 Одновременно происходят выборы мэра города и префекта округа. На должность мэра выставили свои кандидатуры Алкин, Балкин, Валкин, а на должность префекта – Эшкин, Юшкин, Яшкин. Нарисуйте дерево возможных вариантов голосования и определите с его помощью число различных исходов. В скольких вариантах будет кандидатура Эшкина?

4.5 Одновременно происходят выборы мэра города и префекта округа. На должность мэра выставили свои кандидатуры Алкин, Балкин, Валкин, а на должность префекта – Эшкин, Юшкин, Яшкин. Нарисуйте дерево возможных вариантов голосования и определите с его помощью число различных исходов. В скольких вариантах фамилии кандидатов на должность мэра и на должность префекта состоят из разного числа букв?

4.6 Одновременно происходят выборы мэра города и префекта округа. На должность мэра выставили свои кандидатуры Алкин, Балкин, Валкин, а на должность префекта – Эшкин, Юшкин, Яшкин. Нарисуйте дерево возможных вариантов голосования и определите с его помощью число различных исходов. Как изменится ответ, если учесть еще кандидата «против всех»?

4.7 Из четырех тузов поочередно выбирают два. Нарисуйте дерево возможных вариантов. В скольких случаях среди выбранных будет бубновый туз?

4.8 Из четырех тузов поочередно выбирают два. Нарисуйте дерево возможных вариантов. В скольких случаях вторым выбранным будет туз пик?

4.9 Из четырех тузов поочередно выбирают два. Нарисуйте дерево возможных вариантов. В скольких случаях тузы будут разного цвета?

4.10 У Аси есть любимый костюм, в котором она ходит в школу. Она одевает к нему белую, голубую, розовую или красную блузку, а в качестве «сменки» берет босоножки или туфли. Нарисуйте дерево возможных вариантов Асиной одежды. Сколько дней Ася сможет выглядеть по-новому в этом костюме?

Задание 5. Решите задачу, используя правила умножения и сложения и формулы сочетаний, размещений и перестановок.

5.1 «Вороне где-то Бог послал кусочек сыра», брынзы, колбасы, сухарика и шоколада. «На ель Ворона взгромоздясь, позавтракать совсем уж было собралась, да призадумалась»:

а) если есть кусочки по очереди, то из скольких вариантов придется выбирать;

б) сколько получится «бутербродов» из двух кусочков;

в) если съесть сразу три кусочка, а остальные спрятать, то из скольких вариантов придется выбирать;

г) сколько получится вариантов, если какой-то кусочек все-таки бросить Лисе, а потом ответить на вопрос пункта а)?

5.2 «Проказница Мартышка, Осел, Козел и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Сколькими способами они могут:

а) по одному сесть за выбранные четыре инструмента;

б) выбрать 5 инструментов из 12 данных;

в) по одному сесть за какие-то 4 из выбранных 5 инструментов из 12 данных;

г) выгнать одного, не имеющего слуха, и потом сыграть на каких-то трех из выбранных 5 инструментов из 12 данных?

5.3 Из колоды в 36 карт вынимают 5 карт. Найдите:

а) число всех возможных вариантов выбора;

б) число вариантов, при которых среди полученных карт есть 4 туза;

в) число вариантов, при которых все полученные карты – пики;

г) число вариантов, при которых все полученные карты – одной масти.

5.4 По списку в 9 классе 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выбрать трех дежурных по классу. Сколькими способами это можно сделать:

а) все члены этой группы должны быть девочками;

б) все члены этой группы должны быть мальчиками;

в) в группе должны быть 1 девочка и 2 мальчика;

г) в группе должны быть 2 девочки и 1 мальчик?

5.5 По списку в 9 классе 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выделить группу из трех человек для посещения заболевшего одноклассника. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) все члены этой группы должны быть девочками;

б) все члены этой группы должны быть мальчиками;

в) в группе должны быть 1 девочка и 2 мальчика;

г) в группе должны быть 2 девочки и 1 мальчик?

5.6 По списку в 9 классе 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выделить группу из трех человек для посещения заболевшей одноклассницы. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) все члены этой группы должны быть девочками;

б) все члены этой группы должны быть мальчиками;

в) в группе должны быть 1 девочка и 2 мальчика;

г) в группе должны быть 2 девочки и 1 мальчик?

5.7 В оперном театре 10 певцов и 8 певиц, а в опере по замыслу композитора 5 мужских и 3 женских партии. Сколько существует различных певческих составов для спектакля, если известно, что:

а) певцы А и Б ни за что не будут петь вместе;

б) певец А будет петь тогда и только тогда, когда будет петь певица В;

в) 6 певцов накануне сорвали голос на футболе, и одной певице придется петь мужскую партию;

г) все певцы и певицы прекрасно ладят между собой?

5.8 а) Составьте таблицу из двух строк, расположив в первой строке числа k от 0 до 5, во второй строке – числа ; б) При каком значении числа k получится наибольшее значение числа ? в) Найдите сумму чисел во второй строке составленной таблицы; г) Отметьте на координатной плоскости точки (k; ).

5.9 а) Составьте таблицу из двух строк, расположив в первой строке числа k от 0 до 5, во второй строке – числа . б) При каком значении числа k получится наибольшее значение числа ? в) Найдите сумму чисел во второй строке составленной таблицы. г) Отметьте на координатной плоскости точки (k; ).

5.10 а) Проверьте, что (а b)² = а²b⁰ а¹b¹ а⁰b². б) Проверьте, что (a b)³ = a³b⁰ a²b¹ a¹b² a⁰b³. в) Используя равенство (a b)⁴ = (a b)³(a b), выведите формулу сокращенного умножения для суммы двух чисел в четвертой степени. г) Проверьте, что (a b)⁴ = a⁴b⁰ a³b¹ a²b² a¹b³ a⁰b⁴.

Повышенный уровень

Задание 1. Вычислите: а) , б) . (п – номер варианта)

Задание 2.Вычислите а) , б) , в) . (п – номер варианта)

Задание 3. Решите задачу:

3.1 Современные пятиборцы в течение двух дней участвуют в соревновании по следующим видам спорта: конкур (кросс на лошадях), фехтование, плавание, стрельба, бег.

а) Сколько существует вариантов порядка прохождения видов соревнования?

б) Сколько существует вариантов порядка прохождения видов соревнования, если известно, что последним видом должен быть бег?

в) Сколько существует вариантов порядка прохождения видов соревнования, если известно, что последним видом должен быть бег, а первым – конкур?

г) Сколько существует вариантов, в которых конкур и фехтование не проходят подряд?

3.2 Шесть граней игрального кубика помечены цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Кубик бросают дважды и записывают выпадающие цифры.

а) Найдите число всех возможных вариантов.

б) Укажите те из них, в которых произведение выпавших чисел кратно 10.

в) Составьте таблицу из двух строк. В первой строке запишите суммы выпавших очков, во второй – количество вариантов, в которых выпадает эта сумма.

г) Составьте аналогичную таблицу для модуля разности выпавших очков.

3.3 На плоскости даны 10 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Три точки покрасили в рыжий цвет, а остальные – в черный.

а) Сколько можно провести отрезков с разноцветными концами?

б) Сколько можно провести отрезков с рыжими концами?

в) Составьте таблицу из двух строк. В первой строке запишите количество рыжих точек из 10 данных (от 0 до 10), во второй – число отрезков с разноцветными концами при таком способе раскраски.

г) 5 точек покрасили в серый цвет, 2 точки – в бурый и 3 – в малиновый цвет. Сколько можно построить серо-буро-малиновых треугольников?

3.4 Группа туристов планирует осуществить поход по маршруту Антоново – Борисово – Власово – Грибово. Из Антонова в Борисово можно сплавиться по реке или дойти пешком. Из Борисова во Власово можно дойти пешком или доехать на велосипедах. Из Власова в Грибово можно доплыть по реке, доехать на велосипедах или дойти пешком.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов похода.

б) Сколько всего вариантов похода могут выбрать туристы?

в) Сколько есть полностью не пеших вариантов?

г) Сколько вариантов похода могут выбрать туристы при условии, что хотя бы на одном из участков маршрута они должны использовать велосипеды?

3.5 Вова услышал в песне, что «…у зим бывают имена…». Он вспомнил семь самых хороших зим своей жизни, написал семь женских имен и решил дать каждой вспомнившейся зиме женское имя из своего списка (всем – разное).

а) Сколькими способами он может это сделать?

б) Сколько способов существует, если первая зима – точно Татьяна, а последняя – несомненно, Анна?

в) Сколько способов существует, если женских имен восемь, а не семь?

г) Сколько способов существует, если имен семь, а зим восемь?

Задание 4. Выполните требуемое действие:

4.1 Вычислите: а) 7!; б) 8!; в) 6! – 5!; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .

4.2 Сократите дробь: а) ; б) ; в) ; г) .

4.3 Упростите выражение: а) ; б) ; в) ; г) .

4.4 Решите уравнение: а) п! = 7(п – 1)!; б) (m 17)! = 420(m 15)!; в) (b – 10)! = 77(b – 11)!; г) (Зх)! = 504(3x – 3)!.

4.5 1) Делится ли 11! на: а) 64; б) 25; в) 81; г) 49? 2) Сколькими нулями оканчивается число: а) 101; б) 12!; в) 15!; г) 26!?

Задание 5. Решите задачу:

5.1 а) Вычислите для п = 3, 4, 5, 6, 7. б) Отметьте на координатной плоскости точки (п; ) для п = 3, 4, 5, 6, 7. в) На графике какой функции у = f(х) лежат все точки вида (п; )? г) Начиная с какого п все эти точки будут расположены выше прямой у = 10x 37?

5.2 Решите уравнение: а) ; б) ; в) ; г) .

5.3 В чемпионате России по футболу в высшей лиге уча­ствуют 16 команд. Перед началом чемпионата газета «Спорт» провела Интернет-опрос читателей, задав им два вопроса: 1) какая команда получит золотые, какая – серебряные и какая – бронзовые медали? 2) какие две команды окажутся среди неудачников, т. е. займут два последних места? Читатели в своих ответах указали все возможные варианты и при ответе на первый, и при ответе на второй вопросы.

а) Сколько вариантов состава неудачников указали участники опроса?

б) Сколько из них тех, в которые входит команда «Динамо»?

в) Сколько вариантов тройки призеров указали участники опроса?

г) Сколько из них тех, в которые входят «Спартак» и «Зенит»?

5.4 Из 20 вопросов к экзамену Вова 12 вопросов выучил, 5 совсем не смотрел, а в остальных что-то знает, а что-то нет. На экзамене в билете будет три вопроса.

а) Сколько существует вариантов билетов?

б) Сколько из них тех, в которых Вова знает все вопросы?

в) Сколько из них тех, в которых есть вопросы всех трех типов?

г) Сколько из них тех, в которых Вова выучил большинство вопросов?

5.5 Двенадцать рабочих надо разбить на три бригады по 4 человека.

а) Сколько может быть различных составов бригад?

б) Сколько из них тех, в которых рабочие А, Б, В окажутся вместе?

в) Сколько из них тех, в которых рабочие Д и Е окажутся вместе?

г) Сколько из них тех, в которых рабочие А, Б, В по одному окажутся в разных бригадах?

Основной уровень

Задание 1. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное:

1.1 А = «день рождения моего друга – число, меньше, чем 32».

1.2 А = «на уроке математики ученики делали физические упражнения».

1.3 А = «на уроке математики ученики решали математические задачи».

1.4 А = «сборная России по футболу станет чемпионом мира в 2030 году».

1.5 А = «сборная России по хоккею станет чемпионом мира в 2030 году».

1.6 А = «из интервала (1; 2) наугад взяли какое-то число, оно оказалось натуральным».

1.7 А = «из отрезка [1; 2] наугад взяли какое-то число, оно оказалось натуральным».

1.8 А = «из отрезка [1; 2] наугад взяли какое-то число, оно оказалось рациональным».

1.9 А = «вверх подкинули монету, и она упала на землю «орлом»».

1.10 А = «вверх подкинули монету, и она упала на ровную землю, встав на ребро».

Задание 2. Решите задачу используя определение классической вероятности случайного события:

2.1 Случайным образом выбрали двузначное положительное число. Найдите вероятность того, что оно оканчивается нулем.

2.2 Случайным образом выбрали двузначное положительное число. Найдите вероятность того, что оно состоит из одинаковых цифр.

2.3 Случайным образом выбрали двузначное положительное число. Найдите вероятность того, что оно больше 27 и меньше 46.

2.4 Случайным образом выбрали двузначное число. Найдите вероятность того, что оно не является квадратом целого числа.

2.5 Случайным образом выбрали двузначное число. Найдите вероятность того, что оно является квадратом целого числа.

2.6 Двузначное число составили из цифр 0, 1, 2, 3, 4. Какова вероятность того, что это число четное?

2.7 Двузначное число составили из цифр 0, 1, 2, 3, 4. Какова вероятность того, что это число нечетное?

2.8 Двузначное число составили из цифр 0, 1, 2, 3, 4. Какова вероятность того, что это число делится на 5?

2.9 Двузначное число составили из цифр 0, 1, 2, 3, 4. Какова вероятность того, что это число делится на 4?

2.10 Двузначное число составили из цифр 0, 1, 2, 3, 4. Какова вероятность того, что это число делится на 10?

Задание 3. Решите задачу, используя понятие противоположных событий:

3.1. Случайным образом выбрали целое число из промежутка [100; 200). Найдите вероятность того, что оно не оканчивается нулем.

3.2. Случайным образом выбрали целое число из промежутка [100; 200). Найдите вероятность того, что среди его цифр есть хотя бы одна цифра больше 2.

3.3. Случайным образом выбрали целое число из промежутка [100; 200). Найдите вероятность того, что оно не является квадратом целого числа.

3.4. Случайным образом выбрали целое число из промежутка [100; 200). Найдите вероятность того, что сумма его цифр меньше 17.

3.5. Случайным образом выбрали целое число из промежутка [100; 200). Найдите вероятность того, что оно не оканчивается единицей.

3.6. Игральную кость бросили дважды. Найдите вероятность того, что среди выпавших очков есть хотя бы одна единица.

3.7. Игральную кость бросили дважды. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков больше трех.

3.8. Игральную кость бросили дважды. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков меньше 11.

3.9. Игральную кость бросили дважды. Найдите вероятность того, что произведение выпавших очков меньше 27.

3.10. Игральную кость бросили дважды. Найдите вероятность того, что произведение выпавших очков меньше 15.

Задание 4. Решите задачу, используя теоремы сложения и умножения вероятностей:

4.1 В темном ящике 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных. Вы случайно вытаскиваете 3 билета. Найдите вероятность того, что есть хотя бы один выигрышный билет.

4.2 В темном ящике 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных. Вы случайно вытаскиваете 3 билета. Найдите вероятность того, что все билеты выигрышные.

4.3 В темном ящике 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных. Вы случайно вытаскиваете 3 билета. Найдите вероятность того, что есть ровно один проигрышный билет.

4.4 В темном ящике 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных. Вы случайно вытаскиваете 3 билета. Найдите вероятность того, что есть ровно два выигрышных билета.

4.5 Из колоды в 36 карт случайным образом одновременно вытаскивают 2 карты. Найдите вероятность того, что обе они черной масти.

4.6 Из колоды в 36 карт случайным образом одновременно вытаскивают 2 карты. Найдите вероятность того, что обе они пиковой масти.

4.7 Из колоды в 36 карт случайным образом одновременно вытаскивают 2 карты. Найдите вероятность того, что обе они трефовой масти.

4.8 Из колоды в 36 карт случайным образом одновременно вытаскивают 2 карты. Найдите вероятность того, что одна из них пиковой, а другая трефовой масти.

4.9 Карточка «Спортлото» содержит 49 чисел. В итоге тиража выиграют какие-то 6 чисел. Какова вероятность того, что на вашей карточке, где отмечены 6 чисел, верно угадано 0 чисел?

4.10 Карточка «Спортлото» содержит 49 чисел. В итоге тиража выиграют какие-то 6 чисел. Какова вероятность того, что на вашей карточке, где отмечены 6 чисел, верно угадано 1 число?

Задание 5. Решите задачу, используя понятие условной вероятности события:

5.1 Из колоды карт (36 карт) случайным образом поочередно вытащили две карты. Найдите вероятность того, что обе карты – тузы черной масти.

5.2 Из колоды карт (36 карт) случайным образом поочередно вытащили две карты. Найдите вероятность того, что вторая карта – пиковый туз, если первая карта – туз красной масти.

5.3 Из колоды карт (36 карт) случайным образом поочередно вытащили две карты. Найдите вероятность того, что вторая карта – красной масти, если первая карта – туз красной масти.

5.4 Из колоды карт (36 карт) случайным образом поочередно вытащили две карты. Найдите вероятность того, что вторым вынут бубновый туз, если первая карта – не бубновый туз.

5.5 В коробке «Ассорти» – 20 неразличимых по виду конфет, из которых 12 с шоколадной начинкой и 8 с фруктовой начинкой. Тане разрешили взять две конфеты. Какова .вероятность того, что конфеты – с разными начинками?

5.6 В коробке «Ассорти» – 20 неразличимых по виду конфет, из которых 12 с шоколадной начинкой и 8 с фруктовой начинкой. Тане разрешили взять две конфеты. Какова .вероятность того, что обе конфеты окажутся с любимой Таниной начинкой – шоколадной?

5.7 В коробке «Ассорти» – 20 неразличимых по виду конфет, из которых 12 с шоколадной начинкой и 8 с фруктовой начинкой. Тане разрешили взять две конфеты. Какова .вероятность того, что обе конфеты – с фруктовой начинкой?

5.8 В коробке «Ассорти» – 20 неразличимых по виду конфет, из которых 12 с шоколадной начинкой и 8 с фруктовой начинкой. Тане разрешили взять две конфеты. Какова .вероятность того, что первая конфета – с шоколадной начинкой, а вторая – с фруктовой?

5.9 В коробке «Ассорти» – 20 неразличимых по виду конфет, из которых 12 с шоколадной начинкой и 8 с фруктовой начинкой. Тане разрешили взять две конфеты. Какова .вероятность того, что первая конфета – с фруктовой начинкой, а вторая – с шоколадной?

5.10 Из колоды карт (36 карт) случайным образом поочередно вытащили две карты. Найдите вероятность того, что вторым вынут бубновый валет, если первая карта – валет черной масти.

Повышенный уровень

Задание 1. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное.

1.1 Вы открыли эту книгу на любой странице и прочитали первое попавшееся существительное. Оказалось, что: а) в написании выбранного слова есть гласная буква; б) в написании выбранного слова есть буква «о»; в) в написании выбранного слова нет гласных букв; г) в написании выбранного слова есть мягкий знак.

1.2 Даны два интервала (0; 1) и (5; 10). Из первого интервала выбрали число а, из второго — число с. Оказалось, что: а) число а меньше числа с; б) число а больше числа с; в) число а с принадлежит интервалу (5; 10); г) число а с не принадлежит интервалу (5; 10).

1.3 В мешке лежат 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Оказалось, что: а) из мешка вынули 4 шара, и все они синие; б) из мешка вынули 4 шара, и все они красные; в) из мешка вынули 4 шара, и все они оказались разного цвета; г) из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного цвета.

1.4 В двух урнах находятся по пять шаров пяти различных цветов: белого, синего, красного, желтого, зеленого. Из каждой урны одновременно вынимают по одному шару. Оказалось, что: а) вынуты шары разного цвета; б) вынуты шары одного цвета; в) вынуты черный и белый шары; г) вынуты два шара, причем каждый оказался окрашенным в один из следующих цветов: белый, синий, красный, желтый, зеленый.

1.5 Вы открыли эту книгу на любой странице и прочитали первое попавшееся прилагательное. Оказалось, что: а) в написании выбранного слова есть гласная буква; б) в написании выбранного слова есть буква «о»; в) в написании выбранного слова нет гласных букв; г) в написании выбранного слова есть мягкий знак.

Задание 2. Решите задачу используя определение классической вероятности случайного события:

2.1 Из четырех тузов случайным образом одновременно вытащили две карты. Найдите вероятность того, что обе карты – тузы черной масти.

2.2 Из четырех тузов случайным образом одновременно вытащили две карты. Найдите вероятность того, что среди выбранных карт есть пиковый туз.

2.3 Из четырех тузов случайным образом одновременно вытащили две карты. Найдите вероятность того, что среди выбранных карт есть туз красной масти.

2.4 Из четырех тузов случайным образом одновременно вытащили две карты. Найдите вероятность того, что среди выбранных карт нет бубнового туза.

2.5 Из четырех тузов случайным образом одновременно вытащили две карты. Найдите вероятность того, что среди выбранных карт есть бубновый туз.

Задание 3. Решите задачу, используя понятие противоположных событий:

3.1 Из костей домино случайно выбрали одну. Найдите вероятность того, что она не является дублем.

3.2 Из костей домино случайно выбрали одну. Найдите вероятность того, что на ней не выпала «тройка».

3.3 Из костей домино случайно выбрали одну. Найдите вероятность того, что на ней не выпала «двойка».

3.4 Из костей домино случайно выбрали одну. Найдите вероятность того, что произведение очков на ней меньше 29.

3.5 Из костей домино случайно выбрали одну. Найдите вероятность того, что модуль разности очков больше единицы.

Задание 4. Решите задачу, используя теоремы сложения и умножения вероятностей:

4.1 Карточка «Спортлото» содержит 49 чисел. В итоге тиража выиграют какие-то 6 чисел. Какова вероятность того, что на вашей карточке, где отмечены 6 чисел, верно угаданы 2 числа?

4.2 Карточка «Спортлото» содержит 49 чисел. В итоге тиража выиграют какие-то 6 чисел. Какова вероятность того, что на карточке вы верно угадали хотя бы одно число?

4.3 Карточка «Спортлото» содержит 49 чисел. В итоге тиража выиграют какие-то 6 чисел. Какова вероятность того, что на карточке вы верно угадали не более одного числа?

4.4 Карточка «Спортлото» содержит 49 чисел. В итоге тиража выиграют какие-то 6 чисел. Какова вероятность того, что на карточке вы верно угадали не менее трех чисел?

4.5 Карточка «Спортлото» содержит 49 чисел. В итоге тиража выиграют какие-то 6 чисел. Какова вероятность того, что на карточке вы верно угадали 4, 5 или 6 чисел?

Задание 5. Решите задачу:

5.1 Из чисел 1, 2, 3, 4, 5 одновременно выбирают три. Найдите вероятность того, что: а) существует прямоугольный треугольник с такими сторонами; б) существует произвольный треугольник с такими сторонами; в) произведение этих чисел оканчивается на ноль; г) их сумма меньше 10.

5.2 Случайно нажимают три клавиши из одной октавы. Найдите вероятность того, что: а) звучат ноты «си» и «до»; б) не звучит нота «фа»; в) звучит нота «ля»; г) получится до-мажорное трезвучие.

5.3 На бильярдном столе – шары от № 1 до № 15 и еще шар «крест». Бить можно любым шаром по любому. Найдите вероятность того, что при случайном выборе: а) ударят шаром № 7 по какому-то другому шару; б) ударят по шару № 7 шаром с меньшим номером; в) ударят «крестом» по шару № 7; г) ударят «крестом» по шару с двузначным номером.

5.4 Вы находитесь в круглом зале с 10 дверьми, из которых какие-то 4 заперты. Вы случайным образом выбираете две двери. Найдите вероятность того, что: а) вы не сможете выйти из зала; б) вы можете выйти из зала, но вернуться через другую дверь уже не сможете; в) вы сможете выйти через одну, а вернуться в зал через другую; г) хотя бы через одну дверь вы сможете выйти из зала.

5.5 Вы находитесь в круглом зале с 10 дверьми, из которых какие-то 5 заперты. Вы случайным образом выбираете три двери. Найдите вероятность того, что: а) вы не сможете выйти из зала; б) вы можете выйти из зала, но вернуться через другую дверь уже не сможете; в) вы сможете выйти через одну, а вернуться в зал через другую; г) хотя бы через одну дверь вы сможете выйти из зала.