- Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
- Математическое ожидание дискретной случайной величины.
- Дисперсия дискретной случайной величины.
- Функция распределения дискретной случайной величины.
- Математическое ожидание дискретной случайной величины – иностранный язык – referat-zona.ru
- Реферат найти дискретные случайные величины
- Случайные величины
Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
Дискретная случайная величина $X$ может принимать значения $x_1,dots , x_n$ с вероятностями $pleft(x_1right), dots , pleft(x_nright)$. Соответствие между этими значениями и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.
$begin{array}{|c|c|}hlineX_i & x_1 & x_2 & dots & x_n \hlinep_i & p_1 & p_2 & dots & p_n \hlineend{array}$
Пример 2. Пусть случайная величина $X$ — число выпавших очков при подбрасывании игрального кубика. Такая случайная величина $X$ может принимать следующие значения $1, 2, 3, 4, 5, 6$. Вероятности всех этих значений равны $1/6$. Тогда закон распределения вероятностей случайной величины $X$:
$begin{array}{|c|c|}hline1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \hline1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \hlineend{array}$
Замечание. Поскольку в законе распределения дискретной случайной величины $X$ события $1, 2, dots , 6$ образуют полную группу событий, то в сумме вероятности должны быть равны единице, то есть $sum{p_i}=1$.
Математическое ожидание дискретной случайной величины.
Математическое ожидание случайной величины задает ее «центральное» значение. Для дискретной случайной величины математическое ожидание вычисляется как сумма произведений значений $x_1,dots , x_n$ на соответствующие этим значениям вероятности $p_1,dots , p_n$, то есть: $Mleft(Xright)=sum^n_{i=1}{p_ix_i}$. В англоязычной литературе используют другое обозначение $Eleft(Xright)$.
Свойства математического ожидания $Mleft(Xright)$:
- $Mleft(Xright)$ заключено между наименьшим и наибольшим значениями случайной величины $X$.
- Математическое ожидание от константы равно самой константе, т.е. $Mleft(Cright)=C$.
- Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: $Mleft(CXright)=CMleft(Xright)$.
- Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: $Mleft(X Yright)=Mleft(Xright) Mleft(Yright)$.
- Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: $Mleft(XYright)=Mleft(Xright)Mleft(Yright)$.
Пример 3. Найдем математическое ожидание случайной величины $X$ из примера $2$.
Дисперсия дискретной случайной величины.
Возможные значения случайных величин с равными математическими ожиданиями могут по-разному рассеиваться вокруг своих средних значений. Например, в двух студенческих группах средний балл за экзамен по теории вероятностей оказался равным 4, но в одной группе все оказались хорошистами, а в другой группе — только троечники и отличники.
Дисперсия дискретной случайной величины $X$ равна:
$$Dleft(Xright)=sum^n_{i=1}{p_i{left(x_i-Mleft(Xright)right)}^2}. $$
В англоязычной литературе используются обозначения $Vleft(Xright), Varleft(Xright)$. Очень часто дисперсию $Dleft(Xright)$ вычисляют по формуле $Dleft(Xright)=sum^n_{i=1}{p_ix^2_i}-{left(Mleft(Xright)right)}^2$.
Свойства дисперсии $Dleft(Xright)$:
- Дисперсия всегда больше или равна нулю, т.е. $Dleft(Xright)ge 0$.
- Дисперсия от константы равна нулю, т.е. $Dleft(Cright)=0$.
- Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии при условии возведения его в квадрат, т.е. $Dleft(CXright)=C^2Dleft(Xright)$.
- Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. $Dleft(X Yright)=Dleft(Xright) Dleft(Yright)$.
- Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. $Dleft(X-Yright)=Dleft(Xright) Dleft(Yright)$.
Пример 6. Вычислим дисперсию случайной величины $X$ из примера $2$.
Функция распределения дискретной случайной величины.
Способ представления дискретной случайной величины в виде ряда распределения не является единственным, а главное он не является универсальным, поскольку непрерывную случайную величину нельзя задать с помощью ряда распределения. Существует еще один способ представления случайной величины — функция распределения.
Функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $Fleft(xright)$, которая определяет вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения $x$, то есть $Fleft(xright)=Pleft(X < xright)$
Свойства функции распределения:
- $0le Fleft(xright)le 1$.
- Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения из интервала $left(alpha ; beta right)$, равна разности значений функции распределения на концах этого интервала: $Pleft(alpha < X < beta right)=Fleft(beta right)-Fleft(alpha right)$
- $Fleft(xright)$ — неубывающая.
- ${mathop{lim}_{xto -infty } Fleft(xright)=0 }, {mathop{lim}_{xto infty } Fleft(xright)=1 }$.
Пример 9. Найдем функцию распределения $Fleft(xright)$ для закона распределения дискретной случайной величины $X$ из примера $2$.
$begin{array}{|c|c|}hline1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \hline1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \hlineend{array}$
Если $xle 1$, то, очевидно, $Fleft(xright)=0$ (в том числе и при $x=1$ $Fleft(1right)=Pleft(X < 1right)=0$).
Если $1 < xle 2$, то $Fleft(xright)=Pleft(X=1right)=1/6$.
Если $2 < xle 3$, то $Fleft(xright)=Pleft(X=1right) Pleft(X=2right)=1/6 1/6=1/3$.
Если $3 < xle 4$, то $Fleft(xright)=Pleft(X=1right) Pleft(X=2right) Pleft(X=3right)=1/6 1/6 1/6=1/2$.
Если $4 < xle 5$, то $Fleft(Xright)=Pleft(X=1right) Pleft(X=2right) Pleft(X=3right) Pleft(X=4right)=1/6 1/6 1/6 1/6=2/3$.
Если $5 < xle 6$, то $Fleft(xright)=Pleft(X=1right) Pleft(X=2right) Pleft(X=3right) Pleft(X=4right) Pleft(X=5right)=1/6 1/6 1/6 1/6 1/6=5/6$.
Если $x > 6$, то $Fleft(xright)=Pleft(X=1right) Pleft(X=2right) Pleft(X=3right) Pleft(X=4right) Pleft(X=5right) Pleft(X=6right)=1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6=1$.
Итак, $F(x)=left{begin{matrix}0, при xle 1,\ 1/6,при 1 < xle 2,\ 1/3, при 2 < xle 3,\ 1/2,при 3 < xle 4,\ 2/3, при 4 < xle 5,\ 5/6, при 4 < xle 5,\ 1, при x > 6.end{matrix}right.$
График функции распределения $Fleft(xright)$:
Математическое ожидание дискретной случайной величины – иностранный язык – referat-zona.ru
2.5 Математическое ожидание дискретной случайной величины
Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется сумма произведений её всех возможных значений на соответствующие вероятности, обозначается через М(Х).
Если случайная величина принимает значения 
, соответственно с вероятностями 
, 
… 
, то
Стоит заметить, что математическое ожидание является величиной постоянной, его часто называют статистическим значением случайной величины, а также центром распределения, так как около него группируются отдельные значения случайной величины.
Для «Свободного стихотворения»:
M(X)
= 1
0.1238 20.0952 30.0762 40.1238 50.1333 60.1714 70.1047 80.0762 90.0476 100.0285 120.0095 180.0095 = 5.0738
Для «The Cradle Song»:
M(X)
= 10.095 20.1428 30.1238 40.3904 50.1333 60.1142 70.0857 = 4.1797
Соответственно, M(X)> M(X), исходя из данного результата можно утверждать, что первое стихотворение сложнее для восприятия на слух, чем второе, что немаловажно для анализа звучащей речи.
2.6 Дисперсия дискретной случайной величины
Дисперсией дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата её отклонения от среднего статистического значения и обозначается через D(X).
Для первого стихотворения:
D(X)= 0.1238(1 – 5.0738 )
0.0952(2 – 5.0738) 0.0762(3 – 5.0738) 0.1238(4 – 5.0738) 0.1333(5 – 5.0738 ) 0.1714(6 – 5.0738 )
0.1047(7 – 5.0738) 0.0762(8 – 5.0738) 0.0476(9 – 5.0738) 0.0285(10 – 5.0738 ) 0.0095(12 – 5.0738 ) 0.0095(18 – 5.0738 )= 8.0928
Для второго стихотворения:
D(X)= 0.095(1 – 4.1797) 0.1428(2 – 4.1797) 0.1238(3 – 4.1797) 0.3904(4 – 4.1797) 0.1333 (5 – 4.1797) 0.1142(6 – 4.1797) 0.0857(7 – 4.1797) = 2.9732
§
2.2 Непрерывные вариационные ряды
Непрерывные вариационные ряды, как и дискретные, широко распространены в анализе устной и звучащей речи, так как здесь значения признака:
длина
частота
интенсивность звука
могут отличаться друг от друга на как угодно малую величину. Поскольку отличия между вариантами имеют непрерывный характер, используется только интервальное построение вариационного ряда. Для исследования данных фонетических аспектов нужны специальные измерительные приборы для замеров звучания слогов. Несмотря на невозможность проведения данного анализа, я расскажу о его основном принципе.
При наличии результатов эмпирических исследований, создаются непрерывные интервальные ряды, где 
– длина слогов в мс, а интервалы вариант выглядят следующим образом – (
, (
), (
) и так далее.
Ширина интервала определяется по формуле Стерджесса:
.
При этом интервальная разность k округляется до ближайшего целого числа, число интервалов l определяется из выражения
.
2.3 Графическое построение дискретных лингвистических вариационных рядов для рассматриваемых стихотворений
Несмотря на его простоту, слабой стороной табличного описания колебания признака является недостаточная наглядность. Поэтому для достижения большей наглядности я использую графическое изображение интересующего меня распределения (длин словоформ по фонемам) – многоугольник распределения признака (полигон).
2.4 Ряды распределения дискретных случайных величин
Так как дискретная случайная величина может принимать возможные значения с различными вероятностями, чтобы охарактеризовать её в статистическом смысле, необходимо указать вероятности всех её значений.
Законом распределения вероятностей дискретной случайной величины называется таблица соответствия между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Эта таблица – ряд распределения дискретной случайной величины.
Для первого стихотворения:
Для второго стихотворения:
По определению, сумма вероятностей событий в каждом из стихотворений должна быть равна 1
Сделаю проверку результатов. Для первого стихотворения:
0.1238 0.0952 0.0762 0.1238 0.1333 0.1714 0.1047 0.0762 0.0476 0.0285 0.0095 0.0095 = 0.9997
–
подсчёты произведены с небольшой погрешностью
Для второго стихотворения:
0.095 0.1428 0.1238 0.3904 0.1333 0.1142 0.0857 = 0.997
1
Из данных результатов следует, что предыдущие исследования сделаны без ошибок.
§
2. Анализ стихотворений
2.1 Построение дискретного вариационного ряда
«Свободный стих»
Приманной легкостью играя,
Зовет, влечет свободный стих.
И соблазнил он, соблазняя,
Ленивых малых и простых.
Сулит он быстрые ответы
И достиженья без борьбы.
За мной! За мной! И вот, поэты –
Стиха свободного рабы.
Они следят его извивы,
Сухую ломкость, скрип углов,
Узор пятнисто-похотливый
Икающих и пьяных слов…
Немало слов с подолом грязным
Войти боялись… А теперь
Каким ручьем однообразным
Втекают в сломанную дверь!
Втекли, вшумели и впылились…
Гогочет уличная рать.
Что ж! Вы недаром покорились:
Рабы не смеют выбирать.
Без утра пробил час вечерний,
И гаснет серая заря…
Вы отданы на посмех черни
Коварной волею царя!
А мне лукавый стих угоден.
Мы с ним веселые друзья.
Вариационные ряды длин словоупотребления в фонемах:
7 9 6
5 6 9 4
1 9 2 10
7 5 1 7
5 2 7 6
1 10 3 5
2 4 2 4 1 3 5
5 10 4
3 6 3 6
6 7 5 5
4 18
8 1 6 4
6 4 1 7
5 7 1 5
5 6 12
8 1 9 4
6 7 1 8
7 8 3
3 1 2 7 9
4 2 6 7
3 4 6 3 8
1 6 6 4
2 5 2 6 5
8 6 4
1 3 7 4 6
2 1 3 7 6
(порядок следования чисел здесь повторяет порядок следования слов в стихотворении построчно)
Рассматривая приведенную здесь последовательность чисел нетрудно заметить, что величина длины словоформ варьирует от одной единицы совокупности к другой. Моя задача – определить и изучить вариацию признака в данной совокупности.
Возможные значения признака в статистике называют вариантами. Различия между вариантами могут быть как количественными (дискретными или непрерывными) и качественными.
Теперь я построю дискретный вариационный ряд длины словоформ в фонемах в данном стихотворении:
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
| N | 13 | 10 | 8 | 13 | 14 | 18 | 11 | 8 | 5 | 3 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Где X – признак, N – сумма всех вариант, – варианты, 
– число повторений вариант
N = 105 (так как текст состоит из 105 слов, как было указано выше)
Теперь вместо абсолютных частот 
укажу относительные частоты (частости) 
в процентах:
| X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| f*100% | 12,38% | 9,52% | 7,62% | 12,38% | 13,33% | 17,14% | 10,47% | 7,62% | 4,76% |
Самые распространённые слова в данном стихотворении имеют длину в 6 фонем (17,14%)
Проведу аналогичные действия со стихотворением «Колыбельная»:
A Cradle Song
Sweet dreams form a shade,
O’er my lovely infants head.
Sweet dreams of pleasant streams,
By happy silent moony beams
Sweet sleep with soft down,
Weave thy brows an infant crown.
Sweet sleep Angel mild,
Hover o’er happy child.
Sweet smiles in the night,
Hover over my delight.
Sweet smiles Mothers smiles
All the livelong night beguiles.
Sweet moans, dovelike sighs,
Chase not slumber from thy eyes,
Sweet moans, sweeter smiles,
All the dovelike moans beguiles.
Sleep sleep happy child.
All creation slept and smil’d.
Sleep sleep, happy sleep, 1
While o’er thee thy mother weep
Sweet babe in thy face,
Holy image I can trace.
Вариационные ряды длин словоупотребления в фонемах:
4 5 4 1 5
4 3 5 7 3
4 5 4 7 6
3 4 7 4 4
4 4 4 4
3 3 5 2 6 5
4 4 6 5
6 2 3 4 5
4 6 2 2 4
6 4 3 6
4 6 5 6
2 2 7 4 7
4 5 7 4
4 3 6 4 2 3
4 5 4 6
2 2 7 5 7
4 4 4 4
2 7 5 3 6
4 4 4 4
4 4 2 2 4 3
4 4 2 2
4 3 4 2 3 5
Дискретный вариационный ряд длины словоформ в фонемах в данном стихотворении будет таков:
Где так же, как и в предыдущем примере, X – признак (количество фонем в слове), N – сумма всех вариант, – варианты, – число повторений вариант.
N = 105
Очевидным является то, что дискретные вариантные ряды двух стихотворений сильно отличаются друг от друга, это можно представить нагляднее, если вместо абсолютных частот указать относительные частоты 
в процентах:
Различие между длинами словоформ в рассматриваемых стихотворениях состоит в том, что у английского автора преобладают слова в четыре фонемы (39,04%), в то время как у Зинаиды Гиппиус – в шесть. Так же несложно заметить, что количество вариантов в стихотворении «The Cradle Song» значительно меньше, чем в «Свободный стих».
Реферат найти дискретные случайные величины
События, основные распределения в теории вероятностей. Операции над событиями. Формула полной вероятности. Формула Бейеса и Бернулли, повторение испытаний. Случайные величины, закон распределения дискретной случайной величины, биноминальное распределение.
курсовая работа, добавлен 21.11.2021
Случайные события, теоремы сложения и умножения вероятностей. Виды случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины. Закон больших чисел. Плотность распределения вероятностей. Нормальное и показательное распределение.
курс лекций, добавлен 24.04.2021
Рассмотрение закона распределения случайной величины. Расчет математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения числа. Вероятность попадания случайной величины в интервал. График плотности распределения математических функций.
контрольная работа, добавлен 29.05.2021
Плотность распределения нормальной случайной величины. Вычисление ее дисперсии, математического ожидания и среднеквадратического отклонения. Интегральная функция Лапласа. Правило “трех сигм”. Понятие “двумерной” величины. Формула условной вероятности.
лекция, добавлен 19.01.2021
Закон распределения дискретной случайной величины. Построение графика функции распределения. Расчет математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения случайной величины. Изображение графически эмпирической функции распределения.
задача, добавлен 03.07.2021
Вычисление наивероятнейшей частоты события. Функция распределения случайной величины, определение её математического ожидания, дисперсии и моды. Вероятность наступления противоположного события. Функция распределения непрерывной случайной величины.
контрольная работа, добавлен 04.04.2021
Понятие случайной величины. Примеры случайной величины, множество значений которой либо конечно, либо счетно. Проведение эксперимента, в результате которого может появиться или не появиться некоторое событие. Закон распределения случайной величины.
лекция, добавлен 27.09.2021
Основные понятия теории вероятностей. Локальная теорема Лапласа, формула Пуассона, Бейса. Случайные величины и законы их распределения. Плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины. Среднеквадратическое (стандартное) отклонение.
шпаргалка, добавлен 06.11.2009
Закономерности случайных явлений. Методы количественной оценки влияния случайных факторов на различные явления. Операции над событиями и их свойства. Дискретные и непрерывные случайные величины. Ряд распределения вероятности дискретной случайной величины.
курс лекций, добавлен 16.05.2021
Знакомство с законом распределения дискретной случайной величины. Общая характеристика таблицы значений эмпирической плотности относительных частот и эмпирической функции распределения. Рассмотрение способов вычисления выборочной средней выборки.
контрольная работа, добавлен 17.03.2021
Случайные величины
Случайные
величины
