на тему «Геометрические преобразования» – реферат

Методика преподавания темы “Геометрические преобразования плоскости” в условиях уровневой дифференциации

Обучающийся с первых дней занятий в образовательном учреждении встречается с математической задачей. На протяжении всего периода обучения в школе задача помогает ученику осваивать математические понятия, глубже выяснять всю многогранность, логичность взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения в реальной действительности.

Решение математических задач занимает в образовании одно из основополагающих мест. Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития школьника, глубины освоения учебного материала. Очень важно сделать так, чтобы процесс обучения не превращался для учеников в скучное и однообразное занятие и давал определенные общие знания по изучаемой теме.

Однако не всегда ученик способен понять и усвоить некоторые теоретические и практические задачи по той или иной теме в рамках обычного стандартного урока. В связи с этим возникает необходимость в дифференциации обучения, преподавания темы урока, решения задач с особым подходом к каждому обучающемуся.

При организации учебного процесса необходимо учитывать ряд характеристик ученика, которые способствуют либо его хорошему усвоению материала, либо наоборот, не качественного понимания изложения той или иной темы.

Таким образом, возникает особая необходимость использования уровневой дифференциации на всех ступенях обучения с 5 по 11 класс.

Смысл же дифференцированного подхода в данном случае состоит в том, что ученики, находясь в одних и тех же образовательных условиях, могут усваивать материал в своем темпе на различном уровне. При этом усваивается матариал как практической части, так и теоретической стороны вопроса изучения той или иной темы.

Таким образом судить о качестве выбранных методик, в частности индивидуализации обучения, можно лишь тогда, когда практика ребенка будет свидетельствовать о выполнении минимально необходимых требований в усвоении содержания. Именно на его основе формируются более высокие уровни овладения материалом.

В качестве темы, в рамках которой будет осуществлена дифференциация, была выбрана тема «Геометрические преобразования плоскости», так как методы геометрических преобразований позволяют решать большой класс задач элементарной геометрии: задачи на доказательство, построение, вычисление, нахождение геометрических мест точек. Большой класс задач на преобразование плоскости позволит преподавателю подобрать богатый инструментарий для реализации дифференцированного подхода в обучении такой сложной, но интересной теме.

Теоретические основы дифференциации

1.1Сущность понятия дифференциации

Дифференциацию можно рассматривать с трех позиций:

1) Процесса обучения (отбор форм, методов и приемов обучения);

2) Содержания образования (создание учебных планов, программ, учебной литературы и составления заданий, предъявляемых учащимся);

3) Построения школьной системы (формирование различных типов школ и классов).

Дифференциация обучения – это организация учебного процесса, при которой учитываются индивидуально – психологические особенности личности ученика (способности общие и специальные, уровень развития, интересы, психофизиологические свойства нервной системы и т.д.), характеризуется созданием нескольких групп учащихся (обычно три группы учащихся), в которых содержание образования, методы обучения, организационные формы имеют определенные расхождения, но незначительные.

Выделяют два типа дифференциации в обучении: внешняя дифференциация и внутренняя.

Внутренняя дифференциация: учитывает индивидуально-психологические особенности обучающихся в процессе обучения их в определенных группах, созданных по каким-либо критериям.

Деление на группы может быть явным или неявным, состав групп может меняться в зависимости от постановки учебной цели, задач исследования.

Внешняя дифференциация – это разделение обучающихся по определенной схеме, по заданным критериям (способностям, интересам и т.д.) на стабильные группы, в которых и содержание, и методы обучения, и формы организации учебного процесса различаются.

Виды дифференциации определяются, исходя из тех выбранных критериев, которые лежат в основе разделения обучающихся на конкретные группы.

Дифференциация обучения предполагает необходимый учет всех особенностей учащихся, форму их объединения и разделения на группы, ход познавательного процесса в конкретных группах.

Такое трактование понятия дифференциации обучения не предполагает наличие отрицательных характеристик, так как, прежде всего, в основе лежит учет индивидуально-психологических особенностей личности, что приспосабливает учебный процесс к ученику, а не ученика к учебному процессу.

Дифференциация обучения имеет и определенные формы, которые реализуются на практике. Это могут быть различного рода классы углубленного изучения конкретных предметов, факультативные кружки, включенные в учебный процесс, а также задания различного уровня сложности и т.д.

Существует два основных вида дифференциации: уровневая и профильная.

В рамках курсовой работы рассмотрим уровневую дифференциацию.

Определим логико-структурный анализ понятия «Дифференцируемое обучение» в виде конкретной схемы, которая поможет нам разобраться в теме.

Рис 1

Уровневая дифференциация

Смысл уровневой дифференциации состоит в том, что ученики, находясь в одном классе, занимаясь по одному учебнику, обучаясь по одной программе, могут усваивать учебный материал на различном уровне.

Цель уровневой дифференциации: обеспечить усвоение учебного материала каждым учеником на основе индивидуальных особенностей.

Перечислим и обозначим некоторые аргументы, которые свидетельствуют в пользу необходимости использования технологии уровневой дифференциации в обучении:

при использовании технологии уровневой дифференциации ученик имеет право выбора удобного для него темпа работы, определения пути его работы при решении поставленных задач в рамках образовательного процесса;

структура коллектива требует применение дифференциации в процессе обучения;

дифференцированное обучение благотворно воздействует на мотивацию школьника, благодаря чему возникает естественный интерес к изучению вопросов, решению задач, в частности, возможно, и нестандартных задач;

использование уровневой дифференциации в обучении способствует прочному усвоению учеником базового уровеня подготовки;

дифференцированное обучение не разрушает общую концепцию личности, оно сохраняет индивидуальность личности ученика;

уровневая дифференциация дает возможность успевающим учащимся углубить свои знания по предмету, расширить их и прочно усвоить дополнительные материалы на профильном уровне, а ученикам, не имеющих особых способностей к изучению дисциплины развивать свои способности к математике на базовом уровне;

уровневая дифференциация способствует повышению качества знаний.

Чаще всего дифференциация строится на принципе деления класса на микрогруппы, которые различаются по двум критериям: обученности и обучаемости.

Стоит рассмотреть два этих определения, поскольку обученность и обучаемость существенно различаются по своему значению.

Обученность – это сложившийся на протяжении всего срока обучения и развития личности итог в виде совокупности знаний на данный момент времени, т.е. характеристики развития ученика, которые сложились к сегодняшнему дню.

Показателями обученности могут служить достигнутый учеником:

уровень усвоения знаний, навыков и умений;

качества знаний и навыков способы и приемы их приобретения.

Обучаемость – это позиция ученика к усвоению нового знания и способов их добывания, готовность к переходу на новые уровни умственного развития, это совокупность интеллектуальных свойств личности ученика, его потенциальное превосходство в изучении отдельных тем, возможно проявляющееся в виде таланта собственного восприятия теоретико-практических навыков.

Если обученность является характеристикой актуального развития, т.е. того, чем уже располагает ученик, то обучаемость – характеристика его потенциального развития.

Уровневая дифференциация обучения предусматривает наличие базового обязательного уровня общеобразовательной подготовки ученика, которого обязан достичь обучающийся.

Использование технологии уровневой дифференциации на уроке предполагает:

наличие учебно-методического комплекса: система специальных дидактических материалов, банк заданий обязательного уровня, выделение обязательного материала в учебниках, заданий обязательного уровня в задачниках.

работу с несколькими группами учащихся на разных уровнях усвоения материала;

Некоторые способы уровневой дифференциации на уроках.

Дифференциация по объему учебного материала

Это, пожалуй, самый простой способ дифференциации. Его смысл состоит в том, что ученики с низким уровнем обучаемости, медлительным по восприятию учебного материала дается больше времени на выполнение определенного задания. В это время, ученики, других групп, разделившиеся по другим критериям на 2-ю и 3-ю группы в это время выполняют другого рода задание, которое можно считать дополнительным (аналогичное основному, более трудное или нестандартное, задание игрового характера: задание на смекалку, кроссворд, анаграмму и т.п.).

2. Дифференциация по уровню трудности

Довольно часто работа учащихся дифференцируется по уровню трудности задач. Иногда, чтобы достичь определенных образовательных результатов необходимо дать возможность ученикам самостоятельно разобраться с темой, распределив при этом задания по группам. Поэтому следует привести пример дифференцированного задания по работе с текстом:

составить план по изучаемой теме (1-ый уровень);

подготовить список тезисов, определений по этой теме (2-ой уровень);

составить конспект, включающий в себя элементы плана и тезисов (3-ий уровень).

3. Дифференциация учебных заданий по уровню творчества

Некоторые задачи несут себе элементы творчества. Здесь может быть нестандартная формулировка или нестандартная модель задачи, например такая:

Рис 2.

Например, зная длину руки и длину большого пальца, прикинув, сколько раз большой палец вытянутой руки укладывается в видимом образе предмета, можно найти отношение высоты вертикального предмета к расстоянию до него. Здесь речь идет, конечно же, о таком преобразовании, как гомотетия.

4. Дифференциация работы по характеру помощи учащимся

Данный способ предусматривает работу в самостоятельном режиме учащихся. Тем, кто испытывает затруднения в выполнении конкретных учебных заданий, оказывается помощь. Интерес в том, чтобы не просто дать ответ на задачу сразу, а подвести ученика к нему, чтобы в итоге он разобрался в теме самостоятельно. Наиболее распространенными видами помощи являются:

наглядные опоры, иллюстрации, (в виде рисунка, фотографии, картины);

справочные материалы (в виде информационных ресурсов – аннотированного каталога, а также учебники);

образец оформления ответа; памятки, планы;

карточки-помощницы с наводящими вопросами;

начало или частичное выполнение задания.

5. Дифференциация работы по степени самостоятельности учащихся

При таком способе дифференциации все ученики выполняют одинакового рода задания, не уступающие другим по сложности или по оформлению, но одни ученики это делают под руководством учителя, а другие самостоятельно. Здесь также можно отметить: с преподавателям занимаются ученики, имеющие слабое представление по изучаемой теме, а самостоятельно работают разобравшиеся в теме обучающиеся.

Методика дифференцированной работы на уроке

Изучение нового материала

При изучении новой темы выделяется четыре этапа:

изучение;

усвоение;

закрепление;

углубление.

По прохождении выделенных этапов должны усвоиться определенные навыки и умения по какой-либо теме.

Группа (А), она же первая группа, в это время изучает, анализирует материал, продиктованный в тетрадь.

Учащиеся группы С, третьей группы, рассматривают задания через призму творчества и нестандартного изложения. Учащиеся группы В, второй группы, определяют свое внимание на задачах, которые требуют достаточно прочных знаний, положений темы. Также задач, в концепции решения которых заложено не одно действия, а несколько, что определяет проявить ученику определенную логику и следствия. Учащиеся группы А, первая группа, снова и снова возвращаются к основным моментам изложенной темы.

Проверка усвоения изученного материала

При организации проверки, усвоение материала осуществляется также дифференцированно, где подобраны задачи различного уровня сложности.

Для учащиеся из группы А, первой группы, допускается использование составленного учителем или коллективно плана ответа, алгоритма к заданию. На уроках используются разноуровневые карточки с заданием. В данных карточках на первом этапе предусмотрено решение обязательных заданий, которые нужно решить, это своего рода обязательный минимум, на втором этапе – более сложные задания, позволяющие раскрыть ученику понятийную базу, проявить нестандартные способности в решении задач, на третьем этапе – задания, требующие творческого подхода. При получении такого задания каждый ученик определяет для себя конкретный этапы работы над темой или задачей.

Организация текущего повторения

Организация повторения дает возможность ликвидировать у ученика пробелы в знаниях, в результате которых были допущены ошибки в решении определенного рода задач.

При организации повторения проговариваются недочеты, проводится анализ ошибок, допущенных учениками в самостоятельных и контрольных видах работы.

При разборе таких упражнений ученикам можно предложить разного типа задания:

“выберите из предложенных ответов верный”; ” найдите и исправьте ошибку” (группе А);

“назовите правило, которое применили в решении этой задачи”; “закончите решение, обоснуйте его” (группе В);

“поясните причину допущенной ошибки”; “сформулируйте перечень понятий, которые были использованы”; “придумайте подобное упражнение и дайте решение” (группе С).

Дифференцированная домашняя работа

Каждой группе учащихся дается домашняя работа. Группе А даются задания, соответствующие обязательному минимуму. Группа В выполняет аналогичные задачи с добавлением одной или нескольких задач профильного уровня. Для группы С предлагается решить задачи из различных учебников, пособий, которые предлагают авторы. Это могут быть варианты сборников, вариантов ЕГЭ или ОГЭ и т.д.

Контроль знаний (проведение самостоятельных и контрольных работ)

Самостоятельные и контрольные работы содержат упражнения базового уровня и профильного. Обучающие самостоятельные работы состоят из таких видов заданий как:

выделение главного и второстепенного в решении (для группы В);

работа с дополнительными источниками или материалами (для группы С);

решение по образцу, по примеру (для группы А).

Использование преподавателем несколько вариантов на контрольном или самостоятельном видах работ учеников позволяет судить об индивидуальном подходе, об дифференцированном обучении.

Дифференцированный подход в обучении нелегко применить на практике, поскольку это требует колоссальной работы преподавателя, прежде всего, по подготовке материала или заданий, разгруппированных по уровням сложности: значительно проще ориентироваться на среднего ученика. Но данный метод очень необходим, т. к. делает обучение более эффективным и в совокупности своей приводит к полноценным результатам, соответствующим целям обучения.

Теоретические сведения по теме «Геометрические преобразования плоскости»

Определим основные геометрические преобразование я плоскости в виде следующей иллюстрации и рассмотрим каждый вид преобразования плоскости в отдельности

Рис 3.

Отображение плоскости на себя

Представим себе, что каждой точ­ке плоскости сопоставляется (ставится в соответствие) какая-то точка этой же плос­кости, причем любая точка плоскости ока­зывается сопоставленной некоторой точке. Тогда говорят, что дано отображение плос­кости насебя.

Фактически мы уже встречались с отображениями плоскости на себя – вспом­ним осевую симметрию.

Две точки и называются симметричными относительно прямой , если эта прямая проходит через середину отрезка и перпендикулярна к нему. Каждая точка прямой считается симметричной самой себе.

Фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой также принадлежит этой фигуре. Прямая называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

Приведем примеры фигур, обладающих осевой симметрией. У неразвернутого угла одна ось симметрии – прямая, на которой расположена биссектриса угла. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет так же одну ось симметрии, а равносторонний треугольник – три оси симметрии. Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют по две оси симметрии, а квадрат – четыре оси симметрии. У окружности их бесконечно много – любая прямая, проходящая через ее центр, является осью симметрии.

Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, равносторонний треугольник.

Две точки и называются симметричными относительно точки О, ели О – середина отрезка . Точка О называется симметричной самой себе.

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.

Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окружность и параллелограмм. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центр симметрии параллелограмма – точка пересечения его диагоналей. Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии (точка О), у прямой их бесконечно много – любая точка прямой является ее центром симметрии. Примером фигур, не имеющей центра симметрии, является произвольный треугольник.

Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии или центр симметрии. Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля.

С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например зубчатые колеса.

Она дает нам пример такого отображения. В самом деле, пусть – ось симметрии (рис. 1). Возьмем произвольную точку М, не лежа­щую на прямой , и построим симметричную ей точку относительно прямой . Для это­го нужно провести перпендикуляр МР к пря­мой и отложить на прямой МР отрезок , равный отрезку МР, так, как показано на рисунке 1. Точка и будет иско­мой. Если же точка М лежит на прямой , то симметричная ей точка совпадает с точкой М. Мы видим, что с помощью осе­вой симметрии каждой точке М плоскости сопоставляется точка этой же плоскости. При этом любая точка оказывается сопо­ставленной некоторой точке М. Это ясно из рисунка 1.

Рис. 4

Итак, осевая симметрия представ­ляет собой отображение плоскости на себя.

Рассмотрим теперь центральную симметрию плоскости. Пусть О – центр симметрии. Каждой точке М плоско­сти сопоставляется точка , симметричная точке М относительно точки О (рис. 2).

Рис. 5

Попытайтесь самостоятельно убедиться в том, что центральная симметрия плоскости также представляет собой отображение плос­кости на себя.

Понятие движения

Осевая симметрия обладает сле­дующим важным свойством — это отображе­ние плоскости насебя, которое сохраняет расстояния между точками.

Поясним, что это значит. Пусть М и N — какие-либо точки, а и – сим­метричные им точки относительно прямой (рис. 3). Из точек и проведем перпен­дикуляры и к прямой . Пря­моугольные треугольники и равны по двум катетам: и (объясните, почему эти катеты равны).

Рис. 6

Поэтому гипотенузы MNи также равны. Следовательно, расстояние между точками Mи Nравно расстоянию между симметричными им точками и (Другие случаи расположения точек М, Nи , представленные на рисунке 4, рас­смотрите самостоятельно и убеди­тесь в том, что и в этих случаях).

Рис. 7

Таким образом, осевая симметрия является отображением, которое сохраняет расстояния меж­ду точками. Любое отображение, об­ладающее этим свойством, называ­ется движением (или перемещени­ем). Итак, движение плоскости — это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.

Почему отображение, со­храняющее расстояния, называют движением (или перемещением), можно по­яснить на примере осевой симметрии. Ее можно представить как поворот плоскости в пространстве на 180° вокруг оси . На рисун­ке 5 показано, каким образом происходит такой поворот.

Рис. 8

Отметим, что центральная сим­метрия плоскости также является движени­ем(пользуясь рисунком 6, убедитесь в этом самостоятельно).

Рис. 9

Докажем следующую теорему:

Теорема.При движении отрезок отображается на отрезок.

Доказательство:

Пусть при заданном движении плоскости концы Mи Nотрезка MNотобра­жаются в точки и (рис. 7). Дока­жем, что весь отрезок MN отображается на отрезок .

Рис. 10

Пусть Р — произвольная точ­ка отрезка MN, – точка, в которую ото­бражается точка Р. Тогда. Так как при движении расстояния сохраня­ются, то

, и . (1)

Из равенств (1) получаем, что, и, значит, точка ле­жит на отрезке (если предположить, что это не так, то будет выполняться неравенство ). Итак, точки отрезка MNотображаются в точки отрезка.

Нужно еще доказать, что в каж­дую точку отрезка отображается ка­кая-нибудь точка Pотрезка MN. Докажем это. Пусть – произвольная точка отрез­ка и точка Pпри заданном движении отображается в точку . Из соотношений (1) и равенства следует, что , и, значит, точка Pлежит на отрезке MN. Теоремадоказана.

Следствие. При движении треугольник отображаетсяна равный ему треугольник.

В самом деле, в силу доказанной теоремы при движении каждая сторона тре­угольника отображается на равный ей отре­зок, поэтому и треугольник отображается на треугольник с соответственно равными сто­ронами, т. е. на равный треугольник.

Пользуясь доказанной теоремой, нетрудно убедиться в том, что при движении прямая отображается на прямую, луч – на луч, а угол – на равный ему угол.

Наложения и движения

Напомним, что в нашем курсе гео­метрии равенство фигур определяется с по­мощью наложений. Мы говорим, что фигу­ра Ф равна фигуре , если фигуру Ф можно совместить наложением с фигурой Поня­тие наложения в нашем курсе относится к основным понятиям геометрии, поэтому оп­ределение наложения не дается. Под нало­жением фигуры Ф на фигуру мы понимаем некоторое отображение фигуры Ф на фи­гуру . Более того, мы считаем, что при этом не только точки фигуры Ф, но и любая точка плоскости отображается в определен­ную точку плоскости, т. е. наложение — это отображение плоскости на себя.

Однако не всякое отображение плоскости на себя мы называем наложением. Наложения — это такие отображения плос­кости на себя, которые обладают свойствами, выраженными в аксиомах:

Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.

На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.

Любой угол можно совместить наложением с равным ему углом двумя способами:

Любая фигура равна самой себе.

Если фигура Ф равна фигуре , то фигура равна фигуре Ф.

Если фигура равна фигуре , а фигура равна фигуре , то фигура равна фигуре .

1. так, что луч совместится с лучом , а луч – с лучом ;

   так, что луч совместится с лучом , а луч – с лучом .

Эти аксиомы позволяют до­казать все те свойства наложений, которые мы себе представляем наглядно и которыми пользуемся при доказательстве теорем и ре­шении задач. Докажем, например, что при наложении различные точки отображаютсяв различные точки.

В самом деле, предположим, что это не так, т. е. при некотором наложении какие-то две точки А и В отображаются в одну и ту же точку С. Тогда фигура , со­стоящая из точек А и Б, равна фигуре , состоящей из одной точки С. Отсюда следу­ет, что (аксиома 6), т. е. при некото­ром наложении фигура отображается в фигуру . Но это невозможно, так как на­ложение – это отображение, а при любом отображении точке С ставится в соответствие только одна точка плоскости.

Из доказанного утверждения сле­дует, что при наложении отрезок отобража­ется на равный ему отрезок. Действительно, пусть при наложении концы А иВотрезка АВ отображаются в точки и . Тогда от­резок АВ отображается на отрезок (ак­сиома 1), и, следовательно, отрезок АВ ра­вен отрезку. Так как равные отрезки имеют равные длины, то наложение являет­ся отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния, т. е. любое наложение является движением плоскости.

Докажем, что верно и обратное утверждение.

Теорема. Любое движение является наложением.

Доказательство:

Рассмотрим произвольное движе­ние (обозначим его буквой ) и докажем, что оно является наложением. Возьмем какой-нибудь треугольник ABC. При движении он отображается на равный ему треугольник А1В1С1. По определению равных треугольни­ков существует наложение , при котором точки А, B и С отображаются соответствен­но в точки , и .

Докажем, что движение совпадает с наложением . Предположим, что это не так. Тогда на плоскости найдется хотя бы одна такая точка М, которая при движении отображается в точку , а при наложении — в другую точку . Так как при отображениях и сохраняются расстояния, то АМ=А1М1, АМ=АгМ2, поэтому, т. е. точка равноудалена от точек и (рис. 8).

Рис. 11

Аналогично доказывается, что точки и равноудалены от точек и .Отсюда следует, что точки , и лежат на серединном перпендикуляре к отрезку .Но это невозможно, так как вершины треугольника не лежат на одной прямой. Таким образом, отображения и совпадают, т. е. движение является наложением. Теорема доказана.

Следствие. При движении любая фигура отображается на равную ей фигуру.

Параллельный перенос

Пусть – данный вектор. Па­раллельным переносом на вектор назы­вается отображение плоскости на себя, при котором каждая точка Mотображается в та­кую точку , что вектор равен векто­ру (рис. 9).

Рис. 12

Параллельный перенос является движением, т. е. отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния. Докажем это. Пусть при параллельном переносе на вектор точки М и N отображаются в точки и (рис. 9). Так как, , то . Отсюда следует, что и , поэтому четырехугольник – параллелограмм. Сле­довательно, , т. е. расстояние между точками М и N равно расстоянию между точками и (случаи, когда точ­ки Mи N расположены на прямой, парал­лельной вектору , рассмотрите самостоя­тельно). Таким образом, параллельный пере­нос сохраняет расстояния между точками и поэтому представляет собой движение. На­глядно это движение можно представить себе как сдвиг всей плоскости в направлении данного вектора на его длину.

Поворот

Отметим на плоскости точку о (центр поворота) и зададим угол (угол по­ворота). Поворотом плоскости вокруг точки О на угол называется отображение плос­кости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку ,что и угол равен (рис. 10). При этом точка О остается на месте, т. е. отобра­жается сама в себя, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки О в одном и том же направлении – по часовой стрелке или против часовой стрелки. На рисунке 330 изображен поворот против часовой стрелки.

Рис. 13

Поворот является движением, т.е. отображением плоскости на себя, сохраняю­щим расстояния.

Докажем это. Пусть О – центр поворота, – угол поворота против часовой стрелки (случай поворота по часовой стрелке рассматривается анало­гично). Допустим, что при этом повороте точки М и N отобража­ются в точки и (рис. 11). Треугольники и рав­ны по двум сторонам и углу между ними: , и угол MON равен углу (для случая, изображенного на рисунке 11, каждый из этих углов равен сумме угла и угла ).

Рис. 14

Из равенства этих треугольников следует, что MN=M1N1, т. е. расстояние между точками Mи Nрав­но расстоянию между точками и (слу­чай, когда точки О, М и N расположены на одной прямой, рассмотрите самостоятельно). Итак, поворот сохраняет расстояния между точками и поэтому представляет собой дви­жение. Это движение можно представить себе как поворот всей плоскости вокруг дан­ной точки о на данный угол .

Аффинные преобразования и их свойства

Линейные операторы, преобразующие плоскость саму в себя (то есть линейные операторы вида ) и имеющие обратный, играют важную с практической точки зрения роль и потому выделяются в специальный класс.

Линейный оператор , отображающий плоскость P саму на себя, с матрицей , для которой в любом базисе , называется аффинным преобразованием плоскости.

Если линейное преобразование аффинное в некоторой декартовой системе координат, то это преобразование будет аффинным и в любой другой декартовой системе координат.

Каждое аффинное преобразование имеет единственное обратное, которое также является аффинным.

Для выяснения геометрического смысла числовых характеристик матрицы аффинного преобразования переформулируем определение ориентации пары неколлинеарных векторов на плоскости, использовавшись операцией векторного произведения.

Пусть есть некоторый нормальный вектор плоскости , направленный в сторону наблюдателя. Тогда пару неколлинеарных векторов и назовем право ориентированной, если существует такое, что и, соответственно, – лево ориентированной, если существует такое, что .

При аффинном преобразовании всякий базис переходит в базис, а для любых двух базисов существует единственное аффинное преобразование, переводящее первый базис во второй.

Рассмотрим теперь вопрос о том, что происходит с различными геометрическими объектами на плоскости при аффинном преобразовании:

При аффинном преобразовании образом прямой линии является прямая.

При аффинном преобразовании образом параллельных прямых являются параллельные прямые, общая точка пересекающихся прямых-прообразов переходит в точку пересечения их образов.

При аффинном преобразовании сохраняется деление отрезка в данном отношении.

При аффинном преобразовании отношение длин образов двух отрезков, лежащих на параллельных прямых, равно отношению длин их прообразов.

При аффинном преобразовании всякая декартова система координат переходит в декартову систему координат, причем координаты образа каждой точки плоскости в новой системе координат будут совпадать с координатами прообраза в исходной.

Для всякого аффинного преобразования существует пара взаимно ортогональных направлений, которые переводятся данным аффинным преобразованием во взаимно ортогональные1.

Методика реализации индивидуального подхода к учащимся при уровневой дифференциации изучения темы «Геометрические преобразования плоскости» в курсе алгебры основной школы

Квалифицированная организация дифференцированного подхода в обучении математике требует большого количества временных затрат при планировании учителем задач к уроку, учитывая индивидуальные особенности каждого ученика, и осуществлении учебного процесса, взаимосвязи и методы организации учебного сотрудничества. Поэтому учитель помимо должного профессионализма должен также повышать свою квалификацию и перенимать опыт других коллег в организации такого метода, поскольку методики и технологии совершенствуются и претерпевают значительные улучшения. Учителю также необходимо иметь опыт составления разноуровневых учебных задач для дифференцированной работы с учащимися. Руководствуясь теоретическими и практическими материалами, учитель сможет самостоятельно составить разноуровневые задачи по различным темам, но нив коем случае нельзя умалять значение методическое при составлении данных задач.

Под задачей будем понимать цель, достижение которой возможно с помощью определенных действий (деятельности) в столь же определенной учебной ситуации. В зависимости от варианта предъявления ученику названных трех компонентов задачи от него будет требоваться выполнение деятельности продуктивного или репродуктивного характера. Тем самым задается различный уровень усвоения:

Выделим три уровня сложности задач, которые соответствуют I, II и III уровням усвоения опыта учащимися, приведенным выше.

I уровень. Решение задач осуществляется учениками на основе только что полученных знаний и способов деятельности, которые они воспроизводят по памяти. Это задачи на применение теорем, определений, правил, алгоритмов, формул и т. п.

Готовность учащихся выполнять воспроизведение по памяти рассматривается как обязательный результат обучения, который реализован в большинстве школьных учебников.

II уровень. Задачи требуют от учащихся применения усвоенных знаний и способов деятельности в нестандартной ситуации, которые сопровождаются воспроизведением с элементами преобразования.

Комбинируя известные приемы решения задач, ученик уточняет, анализирует сложившуюся ситуацию и выбирает соответствующий способ деятельности для разрешения. К таким типам задач можно отнести комбинированные задачи, которые требуют от ученика знания и умения применять различные элементы знаний, усвоенных на I уровне.

III уровень. Задачи этого уровня требуют от ученика творческо-преобразующей деятельности и навыки усвоенных знаний и приемов решения в новой для обучающегося ситуации, где необходимы уже умения I и II уровней. В процессе поиска решения задачи ученик, опираясь на собственную интуицию, сообразительность, смекалку, сам определяет пути решения задачи. Ученик в процессе деятельности высвобождается от однотипных способов решения, от формальных алгоритмов и находит собственное видение в решении упражнения.

В процессе работы над темой, необходимо выделить нулевой уровень, который указывает сформированность на уровне понимания, узнавания. На этом уровне ученик показывает своё понимание связности условия и цели задачи тем способам и методам, которые, возможно, использует при работе с задачей, но еще не демонстрирует запоминание.

Проиллюстрируем уровневую дифференциацию на задачах.

Определим группы учащихся: А, В, С.

Изучаемая тема: «Симметрия»

Задание для группы А: Изучить теоретический материал в учебнике А.В. Погорелова и выписать основные определения и теоремы, связанные с темой. Составьте список вопросов и ответы на них.

Задание для группы В: Рассмотрите задачи, представленные в учебнике и проведите анализ.

Задание для группы С: Ознакомьтесь с материалами учебника и подберите задачи, отличные от предложенных в других источниках и решите их.

Таким образом, мы определили три направления работы: первая группа – А занимается поиском теоретического материала, составляют список вопросов и дают ответы на них; вторая группа- В изучают задачи, предложенные в ученике и дают подробное их решение; группа С изучает задачи в учебнике, после чего предлагают другие упражнения, отличные от предложенных: творческие, нестандартные и т.д

Предполагаемая работа группы А:

1. Объясните, какие точки называются симметричными относительно данной точки?
Ответ. Пусть O – фиксированная точка и X – произвольная точка плоскости. Отложим на продолжении отрезка OX за точку O отрезок OX’, равный OX. Точка X’ называется симметричной точке X относительно точки O. Точка, симметричная точке O, есть сама точка O. Очевидно, что точка, симметричная точке X’, есть точка X.

Рис.14

2. Какое преобразование называется симметрией относительно данной точки?
Ответ. Преобразование фигуры F в фигуру F’, при котором каждая еë точка X переходит в точку X’, симметричную относительно данной точки O, называется преобразованием симметрии относительно точки O. При этом фигуры F и F’ называются симметричными относительно точки O

Рис.15

3. Какая фигура называется центрально – симметричной?
Ответ. Если преобразование симметрии относительно точки O переводит фигуру F в себя, то она называется центрально-симметричной, а точка O называется центром симметрию.

4. Что такое центр симметрии фигуры?

Приведите пример центрально – симметричной фигуры.
Ответ. Если преобразование симметрии относительно точки O переводит фигуру F в себя, то она называется центрально-симметричной, а точка O называется центром симметрии.
Например, параллелограмм является центрально-симметричной фигурой. Его центром симметрии является точка пересечения диагоналей

Рис.16

Предполагаемая работа группы В:

1) Докажите, что симметрия относительно точки есть движение.
Ответ. Преобразование симметрии относительно точки является движением.
Доказательство. Пусть X и Y – две произвольные точки фигуры F Преобразование симметрии относительно точки O переводит их в точки X’ и Y’. Рассмотрим треугольники XOY и X’OY’. Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников. У них углы при вершине O равны как вертикальные, а OX = OX’, OY = OY’ по определению симметрии относительно точки O. Из равенства треугольников следует равенство сторон: XY = X’Y’. А это значит, что симметрия относительно точки O есть движение. Теорема доказана.

Рис.17

2) Какие точки называются симметричными относительно данной прямой?
Ответ. Пусть g – фиксированная прямая. Возьмем произвольную точку X и опустим перпендикуляр AX на прямую g. На продолжении перпендикуляра за точку A отложим отрезок AX’, равный отрезку AX. Точка X’ называется симметричной точке X относительно прямой g. Если точка X лежит на прямой g, то симметричная ей точка есть сама точка X. Очевидно, что точка, симметричная точке X’, есть точка X.

Рис.18

Докажите, что симметрия относительно прямой есть движение.
Ответ. Преобразование симметрии относительно прямой является движением.
Доказательство. Примем данную прямую за ось y декартовой системы координат . Пусть произвольная точка A (x; y) фигуры F переходит в точку A’ (x’; y’) фигуры F’. Из определения симметрии относительно прямой следует, что у точек A и A’ равные ординаты, а абсциссы отличаются знаком: x’ = —x.

Рис.19

Предполагаемая работа группы С:

1. Через точку , данную внутри угла (меньшего, чем развернутый), провести прямую, отрезок которой, заключенный между сторонами угла, делится в этой точке пополам.

Решение. Обозначим через  симметрию относительно точки , а через  и  – прямые, на которых лежат стороны угла (рис. 11).

Рис. 20 Иллюстрация к задаче

В результате симметрии  прямая  переходит в параллельную ей прямую  которая пересекает вторую сторону угла в точке . Так как , то точка , симметричная , принадлежит прямой, которая симметрична , т.е. . Таким образом, точки  и  симметричны относительно , и потому отрезок  делится в точке  пополам, т.е. прямая  – искомая.

Нетрудно понять, почему в задаче 1 была применена осевая, а в задаче 2 – центральная симметрия. Так как биссектриса угла – его ось симметрии, то попытка применить осевую симметрию в задаче 1 совершенно естественна (так же, как и применение центральной симметрии в задаче 2, поскольку отрезок  должен делиться в точке  пополам, т.е. искомые точки  и  должны быть симметричными относительно точки ). И в других случаях анализ условия задачи позволяет найти движение, применение которого дает решение.

2. Окружность, центр которой принадлежит биссектрисе угла, пересекает его стороны в точках A, B, C и D. Доказать, что |AB| = |CD|.

Рис. 21

Решение. Обозначим через P одну из сторон угла, а через Q — круг, границей которого является рассматриваемая окружность. При симметрии s относительно биссектрисы угла луч P переходит в луч P′, который образует вторую сторону угла, а круг Q переходит в себя: s(P) = P′, s(Q) = Q. Согласно свойству сохранения пересечения фигура P ⋂ Q переходит в s(P) ⋂ s(Q), т. е. в P′ ⋂ Q. Иначе говоря, отрезок AB переходит в отрезок CD, и потому |AB| = |CD|.

Таким образом, учебный процесс можно организовать, используя дифференцируемый подход в обучении. Учитель может использовать данную технологию при:

Введении новых знаний: учащиеся самостоятельно организуют поиск информации и самостоятельно пытаются решить задачи, если учащиеся состоят в группе преуспевающих;

На этапе закрепления материала: учитель организует тестовые задания, учитывая уровни познавательной деятельности каждого из ребят;

На этапе выдачи домашнего задания: подготовка карточек, индивидуальных образовательных маршрутов.

В рамках обсуждения учитель может предложить учащимся обсудить тему «Геометрические преобразования плоскости» организуя группы обсуждений, используя метод шести шляп:

Рис. 22

Класс делится на 6 команд и берет на сея функции шляпы: если черная, то отвечает за высказывание негативных предпосылок по данной теме.

Рассмотрим реализацию данного метода:

Наряду с методом геометрических мест, алгебраическим методом в решении задач на построение используется метод движений. Сущность его в том, что прежде всего на этапе анализа, наряду с данными и искомыми фигурами рассматривают (включают в чертеж) фигуры, полученные из данных или искомых фигур или их частей с помощью того или иного движения.

Учащиеся 7-8 классов испытывают поначалу значительные трудности с тем, как подойти к задаче на построение.

При решении задач на движение нужно использовать схемы, поскольку они выполняют ориентировочную роль и дают возможность одновременно видеть все связи между данными. Лучшему и быстрому осознанию сути явления, зафиксированного в схеме, помогает уменьшение количества перекодировок, которые потребуется делать при сопоставлении схемы с реальной ситуацией. Поэтому применяемая схема должна быть разумно сокращенной и упрощенной по сравнению с реальным явлением и в то же время наиболее естественной для каждой задачи.

Знания по геометрии, в частности геометрическое преобразование плоскости позволили человеку делать проекты зданий и создавать произведения искусства

Рис 23

Таким образом, учитель может организовать полноценный диалог с учащимися, организуя работу в группах. Данный вид работы целесообразней проводить во внеурочное время или в исследовательской работе школьников при анализе тем.

Тесты, их использование при изучении темы «Движение»

Учитель может также использовать тесты как выявление уровня знаний учащихся.

Среди всех известных методов диагностирования наиболее ценным является метод тестирования. В чем же его ценность? Тесты позволяют:

1)оживить процесс обучения;

2) учитывать индивидуальные особенности учащихся;

3) проверять качество усвоения теоретического и практического материала;

4) сэкономить учебное время, затрачиваемое на опрос, и личное время учителя, идущие на проверку;

5) обеспечить оперативность проверки выполнения работы.

Предлагаемые тесты по теме «Движения» носят диагностический характер, предназначены для проверки усвоения школьниками учебного материала. Тесты не содержат громоздких вычислений и охватывают, по возможности, все основные понятия и факты темы.

Тест группы А

1. Какое из высказываний верное?

А. Прямоугольник имеет две оси симметрии, это две его диагонали.

В. Прямоугольник имеет две оси симметрии, это два серединных перпендикуляра к его сторонам.

С. Прямоугольник имеет четыре оси симметрии.

Д. Все высказывания А, В и С неверные.

а) А б) В в) С г) Д

2. Любой отрезок имеет осей симметрии:

а) 0 б) 1 в) 2 г) бесконечно много

3. Известно, что при некоторой центральной симметрии точка А переходит в точку С, а В – в Д (центр симметрии не принадлежит АВ). Назовите верные высказывания:

А. Длина отрезка АД равна длине отрезка ВС.

В. Фигура, составленная из отрезков АВ, ВС, СД, АД является параллелограммом.

С. Величина угла АВС равна величине угла СВД.

Д. Длина отрезка АВ равна длине СД.

а) А, С; б) В, С, Д; в) В, Д г) А, В, Д

4. Назовите верные высказывания:

А. При осевой симметрии два соответственных отрезка параллельны.

В. При центральной симметрии два соответственных луча сонаправлены.

С. Центр поворота, при котором точка А переходит в точку В, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ.

Д. Любой пятиугольник не имеет центра симметрии

а) С, Д б) В, С, Д в) А,В г) А, Д

5. Сторона равностороннего треугольника АВС равна 12см, ВД – медиана. При параллельном переносе на направленный отрезок АД треугольник АВС отобразился на треугольник ДВ1С1. Найдите периметр фигуры СКВ1С1, где К – точка пересечения ВС и ДВ1.

а) 28 см б) 24см в) 30см г) 36см

6. При параллельном переносе А (-3; 4) переходит в А1 (1;-1). Найдите координаты точки В1, в которую переходит точка В (2;-3) при данном переносе.

а) (4; -5) б) (-2;2) в (6; -8) г) (-2; 0)

7. А (-2,4; 3,7), А1 – симметричная ей точка относительно оси Ох, точка А2 – симметричная точке А1 относительно оси Оу. Найдите координаты точки А2.

а) (2,4; -3,7) б) (-2,4; -3,7) в) (2,4; 3,7) г) правильного ответа нет

КЛЮЧ

Тест группы В

1. Какие прямые при центральной симметрии переходят в себя?

А. Параллельные

Б. Перпендикулярные

В. Проходящие через центр симметрии

Г. Таких нет

2. Как расположены относительно друг друга две центрально симметричные прямые?

А. Совпадают

Б.Параллельны

В. Перпендикулярны

Г. пересекаются в центре симметрии

3. При каком расположении трех различных прямых образованная ими фигура имеет бесконечно много центров симметрии?

А. Прямые параллельны

Б. Прямые пересекаются в одной точке

В. Две прямые параллельны, третья им перпендикулярна

Г. Прямые параллельны, и одна из них находится на равных расстояниях от двух других.

4. Какому условию должны удовлетворять два луча, чтобы они были центрально симметричны.

А. Лежать в одной полуплоскости относительно прямой, проходящей через их начала.

Б. Лежать на параллельных прямых

В. Быть сонаправленными

Г. Быть противоположно направленными.

5. Какие точки переходят в себя при повороте вокруг некоторой точки на угол β?

А.Принадлежащие прямым, проходящим через центр поворота

Б. Принадлежащие углам с вершиной в центре поворота

В. Центр поворота

Г. Лучи с началом в центре поворота.

6. На какой угол нужно повернуть прямую вокруг точки, не принадлежащей ей, чтобы получить прямую, параллельную данной?

А. 90º Б.180º В.270º Г.360º

7. Поворот на какой положительный угол совпадает с поворотом на угол β (0º< β < 360º)?

А. 360º – β Б.180º – β В. 180º β Г. 90º β

8. Центром симметрии какого порядка является точка пересечения диагоналей произвольного параллелограмма?

А. Второго Б. Третьего В. Четвертого Г.Шестого

9. Какие прямые при осевой симметрии переходят в себя?

А. Параллельные оси

Б. Перпендикулярные оси

В. Ось и перпендикулярные ей прямые

Г. Пересекающие ось под углом 45º.

10. При каком условии прямая при осевой симметрии переходит в параллельную себе прямую?

А. Совпадает с осью Б. Параллельна оси

В. Перпендикулярна оси Г. Таких прямых нет

11. Сколько осей симметрии имеет правильный пятиугольник?

А. 0 Б. 5 В. 10 Г. 20

12. Сколько осей симметрии имеет правильный шестиугольник?

А. 3 Б. 6 В. 9 Г. 12

13. Сколько существует параллельных переносов, переводящих луч в сонаправленный ему луч?

А. 1 Б. 2 В. 3 Г.Бесконечно много

14. При каком условии существует параллельный перенос, переводящий один отрезок в другой?

А. Отрезки равны Б. Отрезки параллельны

В. Отрезки равны и параллельны

Г. Отрезки пересекаются в своих серединах

15. Сколько различных векторов задают пары вершин параллелограмма?

А. 4 Б. 6 В.8 Г. 12

16. Определить вид четырехугольника СДЕF , СF = – ЕД и │‌‌СF│ = │ЕД‌│

А. Произвольный параллелограмм

Б. Ромб

В. Квадрат

Г. Равнобедренная трапеция.

17. В какую фигуру перейдет полуплоскость при движении?

А. В отрезок Б. В прямую В. В полуплоскость Г. В плоскость

18. При некотором движении луч АВ перешел в луч А1В1. При этом лучи оказались сонаправлены. При каких движениях это возможно?

А. Параллельный перенос

Б. Центральная симметрия

В. Параллельный перенос или центральная симметрия

Г. Параллельный перенос или осевая симметрия

19. При каком условии существует движение, переводящее треугольник КЛМ в треугольник К1Л1М1 ?

А. Соответствующие стороны треугольников параллельны

Б. Соответствующие стороны треугольников перпендикулярны

В. Соответствующие стороны треугольников равны

Г. Соответствующие углы треугольников равны

20. Назовите движение, при котором каждая прямая переходит в параллельную прямую или сама в себя.

А. Центральная симметрия

Б. Центральная симметрия или параллельный перенос

В. Осевая симметрия или параллельный перенос

Г. Параллельный перенос.

КЛЮЧ

Тест группы С

1. Даны прямая, отрезок и точка О. Построить отрезок так, чтобы его концы принадлежали данным прямой и отрезку, а точка О была бы его серединой.

2. Разделить параллелограмм на две равновеликие части.

3. Построить пятиугольник, имеющий: а) одну ось симметрии; б) более одной оси симметрии.

4. Можно ли построить такой пятиугольник, диагональ которого лежит на его оси симметрии? Ответ обосновать.

5. Построить квадрат ABCD по его центру О и точкам М и N, которые принадлежат соответственно прямым АВ и ВС (ОМ не равно ON).

Так как задачи группы С нестандартны и рассчитаны на способных и разбирающихся в теме учеников, то наличие 5 задач требует от них того такого же количества времени на решение, какое потребуется группе А и В для другого типа теста.

Подбор задач по теме «Геометрическое преобразование плоскости»

Симметрия относительно точки

Даны прямая, отрезок и точка О. Построить отрезок так, чтобы его концы принадлежали данным прямой и отрезку, а точка О была бы его сере­диной.

В треугольнике ABCпроведены медианы АА1, ВВ1и СC1, пересекающиеся в точке М. Точки P1Q и Rявляются соответственно серединами отрезков AM, BMи СМ. Доказать, что A1B1C1 = PQR.

Построить треугольник по двум сторонам и медиане к третьей стороне. В каких пределах может изменяться длина медианы, если длины сторон треугольника равны а и b?

Точки М, N и К являются серединами отрезков, одним концом которых яв­ляется вершина треугольника ABC, а другим – точка пересечения его медиан. До­казать, что треугольник, вершинами которого являются точки пересечения прямых, содержащих точки М, N и К, параллельных соответствующим сторонам треугольника ABC, равен треугольнику ABC.

Даны две окружности и точка Р. Построить параллелограмм так, чтобы его вершины принадлежали данным окружностям, а точка Р являлась пересечением диагоналей параллелограмма.

Прямая, содержащая точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, отсекает на его сторонах отрезки BEи DF. Доказать, что эти отрезки равны.

Разделить параллелограмм на две равновеликие части.

Из концов диаметра ВС окружности с центром О проведены две равные хорды ВА и CDтак, что ВА и CDне пересекаются и лежат по разные стороны от ВС. Доказать, что ОА и 0Dпринадлежат одной прямой и DO = ОА.

Около окружности описан шестиугольник с параллельными противолежащими сторонами. Доказать, что противолежащие стороны этого шестиугольникаравны.

Противолежащие стороны выпуклого шестиугольника ABCDEFпопар­но параллельны и равны. Какую часть площади шестиугольника составляет пло­щадь треугольника АСЕ?

На окружности даны точки А и В, на прямой lдана точка М. Найти на окружности такую точку X, чтобы прямые АХ и ВХ пересекали прямую lв точках, находящихся на равных расстояниях от точки М.

Через точку М угла ABC, не принадлежащую его сторонам, провести се­кущую так, чтобы получился треугольник наименьшей площади.

Около окружности описан восьмиугольник, противолежащие стороны ко­торого попарно параллельны. Доказать, что противолежащие стороны восьми­угольника попарно равны.

Даны треугольник ABCи некоторая точка Х. Построить параллело­грамм BXCY,а затем другой параллелограмм YXAZ. Доказать, что сущест­вует гомотетия, переводящая точку Xв точку Z, и найти ее коэффициент и центр.

В данный четырехугольник вписать параллелограмм при условии, что две вершины параллелограмма фиксированы и принадлежат: а) противолежащим сторонам; б) смежным сторонам четырехугольника.

Медиана СМ треугольника ABCобразует со сторонами АС и ВС соответ­ственно углы  и . Какой из этих углов больше, если АС < ВС?

Симметрия относительно прямой

Построить пятиугольник, имеющий: а) одну ось симметрии; б) более одной оси симметрии.

Через данную точку провести прямую, пересекающую две данные прямые под равными углами.

Построить треугольник по стороне, разности двух других сторон и углу, заключенному между первой стороной и большей из двух других сторон.

Построить треугольник по двум сторонам и разности противолежащих им углов.

Внутри острого угла дана точка М. Построить треугольник МАВ наимень­шего периметра, вершины А и В которого лежат на сторонах угла.

Построить выпуклый четырехугольник ABCD,имеющий только одну ось симметрии – прямую BD.

Можно ли построить такой пятиугольник, диагональ которого лежит на его оси симметрии? Ответ обосновать.

Доказать, что в выпуклом многоугольнике с нечетным числом вершин и имеющем оси симметрии, ни одна из диагоналей не может лежать на оси сим­метрии.

Построить треугольник по углу, прилежащей стороне и разности двух дру­гих сторон.

Построить треугольник по заданной ненулевой разности двух его углов и длинам сторон, противолежащих этим углам.

Даны две концентрические окружности. Построить ромб, отличный от квадрата, чтобы: а) две вершины принадлежали одной окружности, а две другие вершины – другой; б) три вершины принадлежали одной окружности, а одна – другой.

Построить треугольник ABCпо трем данным серединным перпендикуля­рам р, qи rк его сторонам.

В данную окружность вписать треугольник, стороны которого параллель­ны трем данным прямым.

Около треугольника ABCописана окружность, пересекающая биссектри­су угла С в точке М. Из ортоцентра Н треугольника проведен перпендикуляр HDк биссектрисе так, что точка Dпринадлежит lc. Доказать, что CD: СМ = cos С.

Около окружности с центром О описан четырехугольник ABCD. Доказать, что АОВ C0D= 180°.

В данную окружность вписать пятиугольник, стороны которого параллель­ны пяти данным прямым.

На биллиардном столе прямоугольной формы лежит шар. В каком направлении необходимо произвести удар по шару, чтобы, отразившись от всех бортов, шар прошел через свое первоначальное положение?

Доказать, что точка пересечения прямых, которые содержат боковые сто­роны равнобокой трапеции, точка пересечения ее диагоналей и середины оснований трапеции принадлежат одной прямой.

Доказать, что прямая, содержащая середины двух параллельных хорд окружности, проходит через ее центр.

Окружность F1пересекает концентрические окружности F2и F3соответ­ственно в точках А, В и С, D. Доказать, что хорды АВ и CDпараллельны.

Три равные окружности имеют общую точку. Доказать, что окружность, проведенная через вторые точки пересечения данных трех окружностей, равна данным.

На плоскости даны четыре равные окружности, проходящие через одну точку и пересекающиеся вторично в шести точках. Доказать, что четыре окружно­сти, проходящие через каждые три из этих шести точек, взятых по одной на каждой из данных окружностей, пересекаются в одной точке.

На плоскости даны прямая и точка, не лежащая на ней. Найти геометри­ческое место центров правильных треугольников, одна вершина которых находится в данной точке, а другая – на данной прямой.

На плоскости даны прямая и точка, не принадлежащая ей. Найти геомет­рическое место третьих вершин правильных треугольников, одна вершина которых находится в данной точке, а другая – на данной прямой.

Поворот

Построить квадрат ABCDпо его центру О и точкам М иN, которые при­надлежат соответственно прямым АВ и ВС (ОМ не равноON).

Построить такой равносторонний треугольник, чтобы одна его вершина совпала с данной точкой О, а две другие принадлежали двум данным окружностям.

Через данную внутри окружности точку провести хорду данной длины.

На сторонах ВС, СА и АВ равностороннего треугольника ABCданы соответственно точки М, N и Р. Известно, что ВМ : МС = CN: NA= АР : РВ =k.

а) Доказать, что MNP— равносторонний треугольник,

б) Вычислить MN,если ВС = a, k= 2.

Ha сторонах АВ и ВС треугольника ABCкак на основаниях построены оди­наково ориентированные квадраты ABMNи ВСОР. Обозначим их центры через О1 и О2, середину стороны АС – через К, середину отрезка МР – через L. Доказать, что четырехугольник O1LO2K— квадрат.

На сторонах АС и ВС треугольника ABCвне его построены равносторон­ние треугольники АСВ1и ВСА1. Найти углы треугольника МА1О, где М – середи­на стороны АВ, точка О — центр треугольника АСВ1.

На продолжении сторон прямоугольного треугольника ABCотложены от­резки АР и АЕ, равные соответственно катетам АВ и АС треугольника ABC. Дока­зать, что прямая, содержащая медиану AMтреугольника ABC, перпендикулярна отрезку DE.

Дан квадрат ABCD. Через центрэтого квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые, отличные от прямых АС и BD. Доказать, что фигуры, являющиеся пересечением этих прямых с квадратом, равны.

Через центр О правильного треугольника ABCпроведены две прямые, образующие между собой угол в 60°. Доказать, что отрезки этих прямых, заключен­ные внутри треугольника, равны.

Построить равносторонний треугольник так, чтобы одной его вершиной была точка Р, другая принадлежала прямой а, третья — прямой b.

На сторонах АВ и АС треугольника ABCвне его построены квадраты ABNMи ACQP. Доказать, что МС BP.

Даны два одинаково ориентированных квадрата MP0Rи MUVW. Доказать, что отрезки PUи RWравны и перпендикулярны.

На сторонах АВ и ВС треугольника ABCпостроены квадраты с центрами Dи Е, причем точки С и Dрасположены по одну сторону от АВ, а точки А и Е – по разные стороны от ВС. Доказать, что угол между прямыми АС и DEравен 45°.

Построить квадрат ABCDпо его центру О и двум точкам М и N,принад­лежащим прямым ВС и CD(ОМ неравенON).

Параллельный перенос

Даны четыре различные точки А, В, С и D. Провести через них соответ­ственно четыре параллельные прямые а, b, с и dтак, чтобы ширина полосы между прямыми а и bбыла равна ширине полосы между прямыми cиd.

Построить трапецию по ее диагоналям, углу между ними и одной из сторон.

Доказать что если прямая, проходящая через середины оснований трапе­ции, образует равные углы с прямыми, содержащими ее боковые стороны, то трапе­ция равнобочная.

Две равные окружности касаются внешним образом в точке К. Секущая, параллельная линии центров, пересекает окружности последовательно в точках А, В, С и D. Доказать, что величина угла АКС не зависит от выбора секущей.

Определить площадь трапеции, все стороны которой известны.

На окружности с центром О даны такие три точки А, В и С, что АОВ=ВОС=60°. Доказать, что расстояние от точки В до произвольного диаметра окружности равно или сумме, или абсолютному значению разности расстояний от точек А и С до этого диаметра.

Через точку М, лежащую вне окружности , провести прямую т, пересе­кающую  в двух точках А и В, так, чтобы АВ = ВМ.

Прямые, которым принадлежат боковые стороны трапеции, перпендику­лярны. Доказать, что длина отрезка, концами которого являются середины основа­ний трапеции, равна полуразности длин оснований.

Сумма длин оснований трапеции равна 21 см, а длины диагоналей равны 13 и 20 см. Вычислить площадь трапеции.

Расстояние между центрами двух пересекающихся окружностей равных радиусов равно d. Прямая, параллельная линии центров, пересекает первую окруж­ность в точках А и В, вторую – в точках С и D. Найти длину отрезка АС (смотри рисунок).

Построить четырехугольник ABCD, зная длину его сторон и длину отрезка MN, соединяющего се­редины сторон АВ и DC.

Диагонали трапеции с основаниями а и bвзаимно перпендикулярны. Какие значения может принимать высота трапеции?

Гомотетия

Доказать, что в произвольном треугольнике ABCточка М пересечения медиан, точка Н пересе­чения высот и центр О описанной окружности принадлежат одной прямой (прямая Эйлера).

Дан угол ABCи внутри него точка М. Про­вести через точку М прямую так, чтобы отрезок ее, заключенный внутри угла ABC, делился точкой М в отношении 1 : 2.

Доказать, что если через точку касания двух окружностей провести произвольную прямую, то она пересечет окружности вторично в таких точках, что радиусы, проведенные в эти точки, параллельны.

Даны три параллельных, попарно не равных отрезка MN, PQи RS, причем лучи MN, PQи RSсонаправлены. Доказать, что три точки пересечения пар прямых МР и NQ, MRи NS, PRи QSпринадлежат одной прямой; точки пересечения пар прямых MQи NP, QRи PS, MRи NSтакже принадлежат одной прямой (смотри рисунок).

Две окружности касаются внутренним обра­зом в точке А. Секущая а пересекает окружности в расположенных последовательно точках М, N, P, Q(смотри рисунок). Доказать, чтоMAN= PAQ.

Длины отрезков, одним концом которых является общая точка, а другим – точка прямой, разделены в одном и том же отношении. Доказать, что точки деленияпринадлежат одной прямой.

Геометрические преобразования в школьном курсе геометрии. Роль и анализ материала

Введение в школьный курс линии геометрических преобразований позволило дать «аппаратное», «рабочее» истолкование равенства и подобия фигур. Если в учебнике Погорелова первоначально вводятся равные треугольники через равные элементы, то аналогичное определение равенства (подобия) для произвольных фигур ввести затруднительно – нужны геометрические преобразования. По учебнику Атанасяна равенство вводилось через наложение, что не давало эффективного аппарата для решения задач на построение.

Геометрические преобразования позволили ввести в школьный курс динамику, преодолеть некоторую статичность традиционного синтетического подхода. При этом появилась возможность уделить особое внимание развитию определенных сторон пространственного воображения школьников.

Геометрические преобразования дают новый эффективный метод решения задач, позволяющий во многих случаях облегчить доказательство теорем и решения задач.

Геометрические преобразования способствуют реализации внутрипредметных связей с алгеброй (функциональная зависимость, преобразования графиков функций), межпредметных – с физикой (механическое поступательное движение и т.д.).

Геометрические преобразования привносят в школьную математику эстетику, изящество. Идея симметрии – орнаменты, снежинки, архитектурные сооружения являются воплощением этой идеи, являясь одним из важнейших средств гуманитаризации обучения математике.

Рассмотрим для наглядности пример реализации эстетического восприятия темы «Геометрическое преобразования плоскости» узоры в деревянном зодчества г. Самара.

Рис. 24

Теория геометрических преобразований в школе может быть построена традиционным – синтетическим, а так же аналитическим методами. Наибольшее распространение получил смешенный: аналитико-синтетический подход, использующийся в действующих учебниках. Это позволяет упростить изложение, а так же формировать у школьников представление о возможности использования различных способов задания геометрических преобразований.

В учебнике Погорелова (теоретико-групповой подход) материал представлен в виде двух отдельных тем: «Движения» (8 кл.) и «Преобразования подобия» (9 кл.). Обе темы начинаются с общих вопросов: вводится общее понятие, дается два общих групповых свойства, рассматриваются свойства этих видов преобразований, их виды и специфические свойства каждого вида.

Учебник Атанасяна (реально-практический подход) предусматривает вначале описательное знакомство с симметрией (8 кл.). В конце 9 класса рассматривается общее понятие движения и его свойства, затем отдельно изучаются параллельный перенос и поворот.

2. Рассмотрение частных видов движений осуществляется по следующему примерному плану:

Выполняется построение и одновременно проговаривается определение того или иного вида движений (определение – генетическое); вводятся сопутствующие понятия.

Предлагаются задания на построение фигур, полученных путем, воздействия движением на данные фигуры.

Неявно вводится тождественное преобразование как преобразование, переводящее фигуру саму в себя.

Упражнения на распознавание доказательство того, что данное преобразование является движением (преобразованием подобия) обычно предваряется задачей на построение и последующее измерение или вычисление расстояний.

Доказательство специфических свойств данного вида преобразованийпри изучении преобразований подобия и признаков подобия треугольников можно порекомендовать использование аналогии с движениями. Это можно реализовать на вводной лекции введения понятия преобразования подобия и гомотетии. Одновременно повторяя пройденный материал по теме «Движения» и «Признаки равенства треугольников», учащиеся формулируют соответствующие утверждения, относящиеся к теме «Подобие». Все сведения заносятся в таблицу, и соответствующие факты затем доказываются.

С материалом о геометрических преобразованиях тесно связано рассмотрение признаков подобия треугольников, являющихся основой для решения большого количества задач в синтетической геометрии. Формулировка признаков подобия аналогична формулировке признаков равенства и может быть дана самими учениками в процессе выполнения соответствующих заданий исследовательского характера.

По учебнику Погорелова доказательство признаков подобия треугольников основывается на свойствах гомотетии и допускает использование одного и того же чертежа. Работа по доказательству всех признаков может осуществляться относительно единовременно, крупноблочно, со значительным участием самих учеников. Доказательство признаков подобия треугольников осуществляется последовательно (один признак вытекает из другого).

3. Геометрические преобразования лежат в основе мощного метода, значительно упрощающего решение многих задач планиметрии и стереометрии. Овладение этим методом предполагает сформированность у учащихся умений выполнять ряд специфических действий.

Умения:

Строить образы фигур при том или ином геометрическом преобразовании.

Распознавание точек и фигур, определяющих это преобразование.

Использование свойств преобразований для обоснования наличия определенного соотношения между рассматриваемыми геометрическими фигурами.

Выбор вида преобразования, который целесообразно использовать при решении данной конкретной задачи.

Овладение методом геометрических преобразований предусматривает несколько этапов:

подготовительный;

ознакомительный;

формирующий;

совершенствующий.

Литература

Заславский А.А., Геометрические преобразования. — М.: МЦНМО, 2004. 86 с., 2-е изд., стереотипное.

Умнов А.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: Учеб. Пособие: Для вузов – М.О.: Издание ЗАО «Оптимизационные системы и технологии» 2004. – 368 стр., с илл.Тимошенко Тамара Андреевна, Программа и материалы элективного курса для учащихся 10-11 классов «Преобразования плоскости и их применение к решению задач элементарной геометрии». Пояснительная записка

Решение задач с помощью аффинных преобразований [Электронный ресурс]. Режим доступа:

Геометрические преобразования [Электронный ресурс]. Режим доступа:

Группы преобразований [Электронный ресурс]. Режим доступа:

С.Н. Дорофеев. Геометрические преобразования в примерах и задачах. [Электронный ресурс]. Режим доступа:

А.В. Погорелов. Контрольные вопросы и ответы. [Электронный ресурс]. Режим доступа:

Научная библиотека. Геометрические преобразования. [Электронный ресурс]. Режим доступа:

Атанасян Л.С. Бутузов В.Ф. Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 7-9 класс. [Электронный ресурс]. Режим доступа:

Коллекция рефератов. [Электронный ресурс]. Режим доступа:

Демоверсии. СГА тесты. [Электронный ресурс]. Режим доступа:

Дифференциация обучения как важнейшее средство обновления школы на современном этапе. [Электронный ресурс]. Режим доступа:

В. В. Прасолов. Задачи по планиметрии. Учебное пособие. [Электронный ресурс]. Режим доступа: