- Вычисление площади поверхности вращения.
- Курсовая работа: некоторые приложения определенного интеграла в математике –
- Объем тела с заданными площадями поперечных сечений.
- Плоская фигура и ее площадь.
- Площадь криволинейной трапеции.
- Тема 5. сечение геометрических тел плоскостями
- Формулы для вычисления площадей фигур на плоскости, длин дуг кривых на плоскости, площадей поверхностей тел вращения и объемов тел с помощью определенного интеграла
- Вывод формул для объема пирамиды и для объема шара
- Вывод формулы для площади сферы
Вычисление площади поверхности вращения.
Пусть (f(x)) — неотрицательная и непрерывная на отрезке ([a, b]) функция, (T = {x_{i}, i = overline{0, n}}) — разбиение отрезка ([a, b]), (L_{T}) — ломаная с вершинами (A_{i}(x_{i}, f(x_{i})), i = overline{0, n}), соединяющая последовательно точки (A_{0}, A_{1}, ldots A_{n}) (рис. 37.8), (l_{i}) — длина отрезка (mathcal{L}_{i} = [A_{i-1}, A_{i}]) — (i)-го звена ломаной (L_{T}). Тогда$$l_{i} = sqrt{(x_{i}-x_{i-1})^{2} (f(x_{i})-f(x_{i-1}))^{2}}.label{ref27}$$
При вращении вокруг оси (Ox) звена (mathcal{L}_{i}) образуется боковая поверхность усеченного конуса (цилиндра в случае, когда (f(x_{i}) = f(x_{i-1}))). Площадь этой поверхности, как известно из курса элементарной геометрии, равна$$p_{i} = pi (y_{i} y_{i-1})l_{i},quad y_{k} = f(x_{k}),quad k = overline{1, n},nonumber$$откуда следует, что площадь (mathcal{P}_{T}) поверхности, получаемой при вращении ломаной (L_{T}) вокруг оси (Ox), равна$$mathcal{P}_{T} = sum_{i=1}^{n}(y_{i} y_{i-1})l_{i}.label{ref28}$$
Если существует$$lim_{l(T) rightarrow 0} mathcal{P}_{T} = mathcal{P}.label{ref29}$$где (l(T)) — мелкость разбиения (T), а (mathcal{P}_{T}) определяется формулой eqref{ref28}, то число (mathcal{P}) называют площадью поверхности вращения, то есть площадью поверхности, образующейся при вращении вокруг оси (Ox) графика функции (y = f(x), a leq x leq b).
Доказательство.
(circ) Из формул eqref{ref28} и eqref{ref27} следует, что
$$
mathcal{P}_{T} = pisum_{i=1}^{n}sqrt{(x_{i}-x_{i-1})^{2} (y_{i}-y_{i-1})^{2}}(y_{i} y_{i-1}),label{ref31}
$$
где (y_i=f(x_i)). По теореме Лагранжа
$$
y_{i}-y_{i-1} = f'(xi_{i})Delta x_{i},label{ref32}
$$
где (xi_{i} in Delta_{i} = [x_{i-1}, x_{i}]), (Delta x_{i} = x_{i}-x_{i-1}). Поэтому формулу eqref{ref28} можно записать в виде
$$
mathcal{P}_{T} = pi sum_{i=1}^{n}(y_{i} y_{i-1}) sqrt{1 (f'(xi_{i}))^{2}}Delta x_{i}.label{ref33}
$$
Прибавим и вычтем в правой части равенства eqref{ref33} интегральную сумму для интеграла eqref{ref30}, соответствующую разбиению (T) и выборке (xi = xi_{i} (i = overline{1, n})), указанной формулой eqref{ref32}, то есть сумму
$$
sigma_{T} (xi, g)= 2pi sum_{i=1}^{n}(f(xi_{i}))sqrt{1 (f'(xi_{i}))^{2}}Delta x_{i}.label{ref34}
$$
где (g(x) = 2pi f(x)displaystylesqrt{1 (f'(x))^{2}}). Заметим, что в силу непрерывности функции (g) для любой выборки (xi) существует
$$
lim_{l(T) rightarrow 0} sigma_{T} (xi, g) = 2pi intlimits_a^b f(x) sqrt{1 (f'(x))^{2}} dx.nonumber
$$
Поэтому для доказательства формулы eqref{ref30} достаточно показать, что
$$
omega = mathcal{P}_{T}-sigma_{T} (xi, g) rightarrow 0 mbox{при} l(T) rightarrow 0.label{ref35}
$$
Из eqref{ref33} и eqref{ref34} следует, что
$$
omega = pi sum_{i=1}^{n}(y_{i} y_{i-1}-2f(xi_i)) sqrt{1 (f'(xi_{i}))^{2}}Delta x_{i}.label{ref36}
$$
При оценке величины (omega) воспользуемся тем, что функция (a) равномерно непрерывна на отрезке ([a, b]), то есть для любого (varepsilon > 0) существует (delta_{varepsilon} > 0) такое, что для любых точек (x’), (x″) из отрезка ([a, b]), удовлетворяющих условию (|x’-x″| < delta_{varepsilon}), выполняется неравенство
$$
|f(x’)-f(x″)| < frac{varepsilon}{C}.label{ref37}
$$
где число (C > 0) будет выбрано ниже.
Пусть разбиение (T) удовлетворяет условию (l(T) = displaystylemax_{1 leq i leq n} Delta x_{i} < delta_{varepsilon}); тогда (|x_{i}-xi_{i}| leq l(T) < delta_{varepsilon}), (|x_{i-1}-xi_{i}| leq l(T) < delta_{varepsilon}), так как (xi_{i} in Delta_{i}). Из eqref{ref37} следует, что
$$
|y_{i}-f(xi_{i})| = |f(x_{i})-f(xi_{i})| < frac{varepsilon}{C},quad |y_{i-1}-f(xi_{i})| < frac{varepsilon}{C},nonumber
$$
и поэтому
$$
|y_{i} y_{i-1}-2f(xi_{i})| < frac{2varepsilon}{C}.label{ref38}
$$
В силу непрерывности функции (f'(x)) на отрезке ([a, b]) существует число (M > 0) такое, что (0 < displaystylesqrt{1 (f'(x))^{2}} < M) для всех (x in [a, b]) и, в частности,
$$
0 < sqrt{1 (f'(xi_{i}))^{2}} < M,quad i = overline{1, n}.label{ref39}
$$
Из eqref{ref36}, eqref{ref38} и eqref{ref39} получаем следующую оценку:
$$
|omega| < pi sum_{i=1}^{n} frac{2varepsilon}{C} M Delta x_{i} = frac{2pi M (b-a)}{C}varepsilon.label{ref40}
$$
Возьмем (C = 2pi M (b-a)) в условии eqref{ref37}; тогда из eqref{ref40} следует, что для любого (varepsilon > 0) существует (delta_{varepsilon} > 0) такое, что для каждого разбиения (T), мелкость (l(T)) которого удовлетворяет условию (l(T) < delta_{varepsilon}), выполняется неравенство (|omega| < varepsilon). Это означает, что (omega rightarrow 0) при (l(T) rightarrow 0). Формула eqref{ref30} доказана. (bullet)
Решение.
(triangle) Сферический пояс высоты (h) можно получить вращением дуги полуокружности, заданной уравнением (y = f(x) = displaystylesqrt{R^{2}-x^{2}}, a leq x leq b), где ([a, b] subset [-R, R], b-a = h), вокруг оси (Ox) (рис. 37.9). Так как (f'(x) =-displaystylefrac{x}{sqrt{R^{2}-x^{2}}}), то (1 (f'(x))^{2} = displaystylefrac{R^{2}}{R^{2}-x^{2}}), (f(x)sqrt{1 (f'(x))^{2}} = R) и по формуле eqref{ref30} получаем (mathcal{P}_{T} = 2pi displaystyleintlimits_a^b R dx = 2pi R(b-a) = 2pi Rh). В частности, площадь поверхности сферы радиуса (R) равна (4pi R^{2}). (blacktriangle)
Курсовая работа: некоторые приложения определенного интеграла в математике –
Некоторые приложения определенного интеграла в математике
Курсовая работа студента гр. МТ-21
Нургалиев А.З.
Павлодарский университет
Павлодар 2005 год.
1. Введение.
В курсовой работе рассмотрены вопросы некоторого приложения определенного интеграла. Цель: изучить актуальность применения определенного интеграла и широту его использования в математике, оценить ее практическую и теоретическую значимость.
При разработки данного вопроса, был также рассмотрен несобственный интеграл, как частный случай определенного интеграла, его определение и виды.
2. Определенный интеграл.
Пусть функция f(x) задана в некотором промежутке [a,b]. Разобьем этот промежуток произвольным образом на части, вставив между a и b точки деления: 
. Наибольшую из разностей
(i=0,1,2, …,n-1) будем впредь обозначать через λ.
Возьмем в каждом из частных промежутков 
по произволу точку 
и составим сумму
.
Говорят, что сумма σ при λ→0 имеет (конечный) предел I, если для каждого числа ε>0 найдется такое число δ>0, что, лишь только λ<δ (т.е. основной промежуток разбит на части, с длинами 
), неравенство
выполняется при любом выборе чисел 
.
Записывают это так:
. (1)
Этому определению «на языке ε-δ», как обычно, противопоставляется определение «на языке последовательностей». Представим себе, что промежуток [α,b] последовательно разбивается на части, сначала одним способом, затем – вторым, третьим и т.д. Такую последовательность разбиений промежутка на части мы будем называть основной, если соответствующая последовательность значений 
сходится к нулю.
Равенство (1) можно понимать теперь и в том смысле, что последовательность значений суммы σ, отвечающая любой основной последовательности разбиений промежутка, всегда стремится к пределу I, как бы ни выбирать при этом .
Второе определение позволяет перенести основные понятия и предложения теории пределов и на этот новый предел.
Конечный предел I суммы σ при λ→0 называется определенным интегралом функции f(x) в промежутке от α до b и обозначается символом
;
в случае существования такого предела функции f(x) называется интегрируемой в промежутке [α,b].
Числа α и b носят название, соответственно, нижнего и верхнего пределов интеграла. При постоянных пределах определенный интеграл представляет собой постоянное число.
3. Несобственные интегралы.
Пусть f непрерывна на луче на луче 
и F(x) – первообразная для f на луче . Если существует
,
то этот предел обозначается 
и называется сходящимся несобственным интегралом.
Несобственные интеграл вида 
и аналогичный интеграл
получаются при замене в интеграле Римана с помощью функции t=t(x), непрерывной и дифференцируемой на полуинтервале [a,b) ( или (a,b] ) и являющейся бесконечно большой определенного знака при 
(или 
).
Здесь существенно, что особой точкой функции t является именно конец (левый или правый) отрезка [a,b]. Если особой точкой t(x) (как в разобранном выше примере) является внутренняя точка с интервала (a,b), то 
разбивается на 
и 
, и переход к аргументу t делается раздельно в каждом из слагаемых.
Пример.
Вычислим 
.
Пусть 
,
Другим видом несобственного интеграла является интеграл , если функция f не ограничена на 
, но непрерывна на 
при любом 
, 
(или на 
), т.е. не ограничена в окрестности точки 
(точки b).
Этот интеграл существует (сходится), если существует:
Пример.
, если 
f(x) непрерывна на [0,1]. После замены 
получаем
.
не ограничена на [0,1], т.к. первообразная функция на 
при любом , 
равна: 
, то
.
Несобственный интеграл может появится и при интегрировании по частям.
,
т.е.
,
где 
– первообразная для arcsinx на [0,1].
4.1.Формула Валлиса.
Для вывода формулы Валлиса необходимо вычислить следующий интеграл:
(при натуральном m).
Интегрируя по частям, найдём
.
Двойная подстановка обращает в нуль. Заменяя 
через 
, получим
откуда рекуррентная формула:
,
по которой интеграл 
последовательно приводится к 
и 
. Именно, при m=2n имеем
,
если же m=2n 1, то
.
Такие же точно результаты получаются и для .
Для более короткой записи найденных выражений воспользуемся символом m!!(произведение натуральных чисел, не превосходящих m и одной с ним чётности). Тогда можно будет написать
(1)
Из формулы (1) можно вывести знаменитую формулу Валлиса (J. Wallis).
Предполагая 0<x<
, имеем неравенства
.
Проинтегрируем эти неравенства в промежутке от 0 до :
Отсюда, в силу (1), находим
или
.
Так как разность между двумя крайними выражениями
,
очевидно, стремится к 0 при 
, то 
является их общим пределом. Итак,
или
.
Отсюда в свою очередь вытекает
Эта формула носит название формулы Валлиса. Она дает довольно простое выражение числа p через натуральные числа. Теоретически этот результат интересен. Что касается ценности этой формулы как средства фактического вычисления p, то она невелика. Именно, чтобы получить удовлетворительную точность, надо взять n довольно большим, а тогда выражение 
оказывается весьма громоздким.
4.2. Применение формулы Валлиса для интеграла Эйлера-Пуассона.
Интеграл Эйлера-Пуассона имеет вид:
;
Приведём метод его нахождения. Мы знаем что положив:
(т.к. 
),
имеем соотношение:
;
отсюда заключаем:
,
что дает:
.
Установив это, замечаем, что предел отношения 
при бесконечно большом n равен единице; действительно, так как 
убывает при возрастании n, то мы имеем неравенство:
или:
.
Мы видим, следовательно, что 
заключается между единицей и дробью 
, которая также равна единице при бесконечном n.
Установив это, получаем равенство:
,
которое нам дает, если заставим n бесконечно возрастать:
,
и, следовательно:
.
Полагая теперь 
в интеграле 
, мы получим следующее новое выражение:
;
заменив затем z на 
, получаем:
и, следовательно, при бесконечном n
.
Достаточно затем положить 
, чтобы установить результат, к которому мы стремились:
.
4.3. Вывод формулы Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
Формула интегрирования по частям: 
,
а обобщенная формула примет вид:
. (1)
Положим, что в формуле (1)
. Тогда 
, 
, …, 
, 
; при x=b все функции v, v’, …, 
обращаются в нуль. Пользуясь для u, u’, u’’, … функциональным обозначением f(x), f’(x), f’’(x), …, перепишем (1) в виде
.
Отсюда получается формула Тейлора с дополнительным членом в виде определенного интеграла
.
Заменим здесь b через x, а 
через 
:
.
Новое выражение для дополнительного члена, не содержит никаких неизвестных чисел.
Если угодно, из этого выражения можно было бы вывести и уже знакомые нам формы дополнительного члена. Например, воспользовавшись тем, что множитель 
подинтегральной функции не меняет знака, можно применить к последнему интегралу обобщенную теорему о среднем
,
где с содержится в промежутке 
. Таким образом, мы вновь получили лангранжеву форму дополнительного члена.
5. Заключение.
В курсовой работе даны определения определенного и несобственного интеграла и его виды, рассмотрены вопросы некоторого приложения определенного интеграла. В частности, формула Валлиса, имеющая историческое значение, как первое представление числа p в виде предела легко вычисляемой рациональной варианты, а также вычисление интеграла Эйлера-Пуассона с помощью этой формулы. Рассмотрен способ получения формулы Тейлора с дополнительным членом в интегральной форме.
Формулой Валлиса в теоретических исследованиях пользуются и сейчас (например, при выведении формулы Стирлинга). Что касается фактического приближенного вычисления p, то существуют методы, гораздо более быстро ведущие к цели.
Интеграл Эйлера-Пуассона применяется при вычислении более сложных несобственных интегралов, встречается в теории вероятности.
Новое выражение для дополнительного члена в формуле Тейлора интересно тем, что оно не содержит никаких неизвестных чисел.
Данную курсовую работу можно использовать в качестве лекционного и справочного материала.
Список литературы
Фихтенгольц Г. М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления»(II том) – Москва, 1970г.
Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисления»(I том) – Москва, 1970г.
Эрмит Ш. «Курс анализа» – Москва, 1936г.
Объем тела с заданными площадями поперечных сечений.
Пусть тело (Omega) заключено между плоскостями, перпендикулярными оси Ох и пересекающими эту ось в точках (x = a) и (x = b), где (a < b) (рис. 37.7).
Обозначим через (G_{x}) фигуру, получаемую в сечении тела (Omega) плоскостью, перпендикулярной оси (Ox) и проходящей через точку (x in [a, b]) этой оси. Будем считать, что при любом (x in [a, b]) фигура (G_{x}) квадрируема, а ее площадь (sigma (x)) — функция, непрерывная на отрезке ([a, b]).
Доказательство.
(circ) Пусть (T = {x_{i}, i = overline{0, n}}) — разбиение отрезка ([a, b]), (m_{i}) и (M_{i})-соответственно наименьшее и наибольшее значения функции (sigma(x)) на отрезке (Delta x_{i} = [x_{i-1}, x_{i}], Delta x_{i} = x_{i}-x_{i-1}, i = overline{1, n}). Так как (sigma(x)) — непрерывная функция, то существуют точки (xi_{i} in Delta_{i}) и (xi_{i}’) такие, что (sigma(xi_{i}) = m_{i}, sigma(xi_{i}’) = M_{i}, i = overline{1, n}).
Обозначим через (Omega_{i}) ту часть тела (Omega), которая заключена между плоскостями (A_{i-1}) и (A_{i}), перпендикулярными оси (Ox) и проходящими соответственно через точки (x_{i-1}) и (x_{i}) (см. рис. 37.7).
Пусть (D_{i}) и (D_{i}’) — цилиндрические тела высотой (Delta x_{i}), построенные на сечениях (G_{xi_{i}}) и (G_{xi_{i}’}) как на основаниях и расположенные между плоскостями (A_{i-1}) и (A_{i}). Тогда (D_{i} subset Omega_{i} subset D_{i}’) а объемы тел (D_{i}) и (D_{i}’) соответственно равны
$$
V(D_{i}) = m_{i}Delta x_{i},quad V(D_{i}’) = M_{i}Delta x_{i}.nonumber
$$
Если (p) — объединение тел (D_{1}, ldots, D_{n}), а (P) — объединение тел (D_{1}’, ldots, D_{n}’), то (p subset Omega subset P),
$$
V(p) = sum_{i=1}^{n}m_{i}Delta x_{i},quad V(P) = sum_{i=1}^{n}M_{i}Delta x_{i}.nonumber
$$
Так как (sup V(p) = inf V(P) = displaystyleintlimits_a^b sigma(x) dx), то (Omega) — кубируемое тело, a его объем выражается формулой eqref{ref20}. (bullet)
Решение.
(triangle) Воспользуемся тем, что площадь фигуры (G), получаемой в сечении эллипсоида плоскостью, параллельной плоскости (Oyz) и отстоящей от нее на расстоянии (x_{0}), где (0 leq x_{0} leq a), равна
$$
S(x_{0}) = pi bc (1-frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}).label{ref21}
$$
В самом деле, граница фигуры (G) — эллипс, задаваемый уравнениями
$$
frac{y^{2}}{b^{2}} frac{z^{2}}{c^{2}} = 1-frac{x_{0}^{2}}{a^{2}},quad x = x_{0}
$$
Полуоси этого эллипса равны (blambda) и (clambda), где (lambda = displaystylesqrt{1-frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}}). Используя пример 1, получаем формулу eqref{ref21}, а по формуле eqref{ref20} находим искомый объем эллипсоида:
$$
v = 2 intlimits_0^a S(x) dx = 2pi bc intlimits_0^a left(1-frac{x^{2}}{a^{2}}right) dx = frac{4}{3} pi abc.nonumber
$$
Отсюда следует, что объем шара, радиус которого равен (R), выражается формулой (v = displaystylefrac{4}{3} pi R^{3}) . (blacktriangle)
Плоская фигура и ее площадь.
Произвольное ограниченное множество точек плоскости будем называть плоской фигурой. Если плоскую фигуру можно представить как объединение конечного числа непересекающихся прямоугольников, то такую фигуру назовем клеточной.
Подпрямоугольником будем понимать множество точек вида$$K = {(x, y): a_{1} leq x leq b_{1}, a_{2} leq y leq b_{2}}nonumber$$или множество, получаемое из (K) удалением части границы (или всей границы) множества (K).
Площадью прямоугольника (K) назовем число ((b_{1}-a_{1})(b_{2}-a_{2})) независимо от того, принадлежат или не принадлежат множеству (K) его граничные точки, а площадью клеточной фигуры назовем сумму площадей прямоугольников, из которых составлена эта фигура.
Плоскую фигуру (G) назовем квадрируемой, если для любого (varepsilon > 0) найдутся клеточные фигуры (q) и (Q) такие, что$$q subset G subset Q,label{ref1}$$$$0 leq S(Q)-S(q) < varepsilon,label{ref2}$$где (S(Q), S(q)) — площади фигур (Q) и (q) соответственно.
Пусть плоская фигура (G) квадрируема. Тогда площадью этой фигуры назовем число (S(G)) такое, что$$S(q) leq S(G) leq S(Q)label{ref3}$$для любых клеточных фигур (q) и (Q), удовлетворяющих условию eqref{ref1}.
Доказательство.
(circ) Так как для любых клеточных фигур (q) и (Q), удовлетворяющих условию eqref{ref1}, выполняется неравенство
$$
S(q) leq S(Q),nonumber
$$
то по теореме об отделимости существуют (sup S(q)) и (inf S(Q)) (супремум и инфимум берутся по всем клеточным фигурам, соответственно содержащимся в фигуре (G) и содержащим эту фигуру), причем
$$
S(q) leq sup S(q) leq inf S(Q) leq S(Q),label{ref5}
$$
откуда
$$
S(q) leq sup S(q) leq S(Q),label{ref6}
$$
Таким образом, число (S(G) = sup S(q)) удовлетворяет условию eqref{ref3}.
Докажем единственность числа (S(G)). Предположим, что наряду с числом (S(G)) существует еще одно число (S'(G)), удовлетворяющее условию eqref{ref3}, то есть
$$
S(q) leq S^{‘}(G) leq S(Q),label{ref7}
$$
Тогда из eqref{ref3} и eqref{ref7} в силу свойств неравенств получаем, что
$$
|S(G)-S'(G)| leq S(Q)-S(q)label{ref8}
$$
для любых клеточных фигур таких, что (q subset G subset Q). Так как (G) -квадрируемая фигура, то разность (S(Q)-S(q)) можно сделать сколь угодно малой в силу условия eqref{ref2}, выбрав соответствующие фигуры (Q) и (q). Поэтому из eqref{ref8} следует, что (S'(G) = S(G)). Таким образом, квадрируемая фигура (G) имеет площадь (S(G)), причем в силу eqref{ref5} справедливо равенство eqref{ref4}. (bullet)
Доказательство.
(circ) Необходимость условий eqref{ref9} очевидна, так как по определению квадрируемой фигуры эти условия выполняются, если взять (tilde? = q, tilde{Q} = Q), где (q) и (Q) — клеточные фигуры, удовлетворяющие соотношениям eqref{ref1}, eqref{ref2}.
Докажем достаточность. Фиксируя произвольное число (varepsilon > 0), найдем в силу eqref{ref9} такие квадрируемые плоские фигуры (tilde?) и (tilde{Q}), что
$$
tilde? subset G subset tilde{Q}, 0 leq S(tilde{Q})-S(tilde?) < frac{varepsilon}{2},label{ref10}
$$
Так как (tilde?) и (tilde{Q}) — квадрируемые плоские фигуры, то существуют клеточные фигуры (Q’) и (q’) такие, что
$$
q’ subset tilde?,quad tilde{Q} subset Q’,quad 0 leq S(tilde?)-S(q’) < frac{varepsilon}{4},quad S(Q’)-S(tilde{Q}) < frac{varepsilon}{4}.label{ref11}
$$
Из eqref{ref10} и eqref{ref11} следует, что
$$
q’ subset G subset Q’,quad 0 leq S(Q’)-S(q’) < varepsilon.nonumber
$$
Это означает, что (G) — квадрируемая фигура, причем
$$
S(G) = sup S(tilde?) = inf S(tilde{Q}). bulletnonumber
$$
Площадь криволинейной трапеции.
Одной из основных задач, приводящих к понятию определенного интеграла, является задача о площади криволинейной трапеции, то есть фигуры (G), задаваемой на плоскости (Oxy) условиями$$G = {(x, y): a leq x leq b, 0 leq y leq f(x)},label{ref12}$$где (f(x)) — функция, непрерывная на отрезке ([a, b]).
Доказательство.
(circ) Пусть (T = {x_{i}, i = overline{0, n}}) — разбиение отрезка ([a, b]), (M_{i}) и (m_{i}) — соответственно наибольшее и наименьшее значения функции (f) на отрезке (Delta_{i} = [x_{i-1}, x_{i}], Delta x_{i} = x_{i}-x_{i-1}, i = overline{1, n}) (рисунок ниже).
Рассмотрим клеточную фигуру (q), составленную из прямоугольников (q_{i} (i = overline{1, n})), таких, что длина основания (i)-го прямоугольника равна (Delta x_{i}), а высота равна (m_{i}).
Аналогично определяется клеточная фигура (Q), составленная из фигур (Q_{i}), где (Q_{i}) — прямоугольник, длина основания которого (Delta x_{i}), а высота (M_{i}, i = overline{1, n}).
Очевидно, (q subset G subset Q), площади фигур (q) и (Q) соответственно равны
$$
S(q) = sum_{i=1}^{n}m_{i}Delta x_{i},quad S(Q) = sum_{i=1}^{n}M_{i}Delta x_{i}.nonumber
$$
Заметим, что
$$
S(q) = s_{T}, S(Q) = S_{T},label{ref14}
$$
где (s_{T}) и (S_{T}) — соответственно нижняя и верхняя суммы Дарбу для функции (f) при разбиении (T) отрезка ([a, b]).
Так как функция (f(x)) непрерывна на отрезке ([a, b]), то в силу критерия интегрируемости для любого (varepsilon > 0) найдется такое разбиение (T) этого отрезка, что
$$
0 leq S_{T}-s_{T} < varepsilon.nonumber
$$
Иными словами (см. равенства eqref{ref14}), существуют клеточные фигуры (q) и (Q) такие, что
$$
q subset G subset Q,quad 0 leq S(Q)-S(q) < varepsilon,nonumber
$$
то есть выполняются условия eqref{ref1}, eqref{ref2}. Это означает, что (G) — квадрируемая фигура и согласно теореме 1 справедливо равенство eqref{ref4}, которое в силу равенств eqref{ref14} можно записать в виде
$$
S(G) = sup s_{T} = inf S_{T}.label{ref15}
$$
Используя следствие из критерия интегрируемости функции, получаем
$$
sup s_{T} = inf S_{T} = intlimits_a^b f(x) dx.label{ref16}
$$
Из eqref{ref15} и eqref{ref16} следует, что площадь (S = S(G)) криволинейной трапеции (G) выражается формулой eqref{ref13}. (bullet)
Рассмотрим теперь фигуру (D) (рис. 37.1), ограниченную отрезками прямых (x = a) и (x = b) и графиками непрерывных на отрезке ([a, b]) функций (y = f_{1}(x)) и (y = f_{2}(x)), где (f_{1}(x) leq f_{2}(x)) при (x in [a, b]). Если (f_{1}(x) geq 0) для всех (x in [a, b]), то площадь фигуры (D) равна разности площадей криволинейных трапеций (D_{2}) и (D_{1})
Формула eqref{ref17} остается в силе и в случае, когда не выполняется условие (f_{1}(x) geq 0) для всех (x in [a, b]). Чтобы убедиться в этом, достаточно сдвинуть фигуру (D) вдоль положительного направления оси (Oy) на (y_{0} = displaystylevertmin_{x in [a, b]}f_{1}(x)vert) и воспользоваться тем, что площади равных фигур совпадают.
Отсюда следует, что площадь кругового сектора (радиуса (R)), соответствующего центральному углу (alpha), равна$$frac{pi R^{2}}{2pi}alpha = frac{R^{2}alpha}{2}.nonumber$$
Тема 5. сечение геометрических тел плоскостями
Сечением поверхности геометрического тепа плоскостью называется плоская фигура , содержащая точки, принадлежащие и поверхности и секущей плоскости.
Общий принцип построения сечения состоит в определении точек пересечения ребер или образующих данной поверхности с секущей плоскостью.
В зависимости от положения секущей плоскости по отношению к плоскостям проекций можно различать два основных случая: 1) поверхность геометрического тела рассекается плоскостью частного положения; 2) поверхность тела рассекается плоскостью общего положения.
Построение проекций сечения любого геометрического тела плоскостью частного положения графически осуществляется весьма просто в связи с тем обстоятельством, что одна из проекций сечения совпадает с одним из следов плоскости и, следовательно, проецируется в прямую линию. Поэтому задача состоит в том, чтобы построить вторую проекцию сечения, исходя из условия принадлежности его одновременно и секущей плоскости и поверхности геометрического тела
На рисунке 5.1 приведен пример построения проекций сечения трехгранной пирамиды фронтально проецирующей плоскостью Р. Фронтальная проекция сечения располагается на следе РV в виде отрезка прямой 1′2′3′; горизонтальная проекция сечения построена при помощи линий проекционной связи, проведенных до встречи с горизонтальными проекциями соответствующих ребер. Истинная величина и форма сечения определена способом плоско-параллельного перемещения. Однако для этого построения можно было использовать и способы совмещения и перемены плоскостей проекций.
На рисунке 5.2 представлена полная развертка нижней отсеченной части пирамиды.
Развертку начинаем строить с определения натуральной величины ребер пирамиды SA, SB, SC. На рисунке 5.1 показано определение НВ ребер пирамиды путем вращения их до положения параллельного плоскости V. Натуральная величина ребер SA = s′a′, SB = s′b′, SC = s′c′.
На свободном месте поля чертежа произвольно выбираем точку S и методом триангуляции строим боковую поверхность пирамиды, состоящую из трех треугольников SAC, SAB, SBC, затем пристраиваем основание АВС, натуральной величиной которого является горизонтальная проекция основания аbc.
Истинные величины усеченных боковых ребер пирамиды А – I, B – II, C – III определяем перемещением параллельно оси Х фронтальных проекций точек 1′, 2′, 3′ на соответствующие натуральные величины ребер. Определенные таким образом истинные величины усеченных ребер пирамиды откладываем на соответствующих ребрах развертки пирамиды, получаем точки I, II, III. Затем их соединяем и получаем линию, которая делит развертку на верхнюю и нижнюю отсеченную часть. К одному из отрезков, например, I-II пристраиваем натуральную величину сечения I – II – III.
Date: 2021-09-24; view: 573; Нарушение авторских прав
§
7. Как определить точку пересечения прямой линии с плоскостью?
8. Какое направление имеют проекции линий перпендикулярной плоскости при задании ее следами?.
9. Если линия перпендикулярна плоскости, то как найти направление
проекций перпендикуляра, если плоскость задана точками или линиями?
10. Как построить плоскость, проходящую через данную точку, и пер- пендикулярную данной прямой линии?
11. В чем заключается условие взаимной перпендикулярности двух плоскостей и как это проверяется на эпюре?
12. Если точка вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости Н, то какой вид будут иметь проекции траектории, описываемой точкой на Н и V?
13. Изменится ли длина горизонтальной проекции отрезка прямой, если вращать отрезок вокруг оси, перпендикулярной плоскости Н?
14. Сколько раз надо повернуть отрезок прямой и вокруг каких осей, для того чтобы отрезок из общего положения привести в положение, перпендикулярное плоскости Н?
15. Сколько раз надо повернуть плоскость и вокруг каких осей, для того чтобы плоскость из общего положения привести в положение, параллельное плоскости Н?
24. Чем отличается способ вращения от способа совмещения?
25. Как построить центр и радиус вращения для любой точки при вращении ее вокруг горизонтали?
26. Где расположится горизонтaльный след проецирующей плоскости, если вращать его вокруг фронталъного следа до совмещения с плоскостю V?
27. Как расположится горизонтaльный след фронталъно проецирующей плоскости относительно фронтального следа, если вращать эту плоскость вокруг фронталъного следа до совмещения с плоскостью V?
28. Чем отличается способ вращения от способа перемены плоскостей проекций?
29. Какие координаты точки сохраняются при замене плоскостей проекций?
30. Сколько раз надо заменить плоскости проекций для того, чтобы прямая общего положения спроецировалась на новую плоскость проекций в виде точки?
31. Сколько раз надо переменить плоскости проекций для того, чтобы плоская фигура, расположенная в общем положении, спроецировалась на новую плоскость проекций в натуральную величину?
32. В каких случаях поверхности вращения пересекаются по плоским кривым линиям?
33. В каких случаях применяются сферические поверхности для построения линии пересечения поверхностей вращения?
34. Какие секущие плоскости целесообразно применять при пересечении криволинейных поверхностей?
35. Какие точки у линии пересечения криволинейных поверхностей являются основными, и как они строятся?
36. На базе каких задач из начертательной геометрии строится линия пересечения поверхностей?
37. Как строится линия пересечения скатов крыши над зданием?
38. В каком порядке рекомендуется строить линии пересечения двугранных поверхностей?
39. На базе каких задач из начертательной геометрии строится линия пересечения поверхностей?
40. Какие точки линии пересечения гранных поверхностей можно соединить отрезком прямой?
41. Если одна из точек пересечения видимая, другая невидимая, то будет ли отрезок прямой, соединяющий эти точки, видимым?
42. Что называют разверткой поверхностей?
43. Какие поверхности называют развертывающимися и какие неразвертывающимися?
44. Укажите основные свойства разверток.
45. Укажите последовательность графических построений разверток поверхностей конуса и цилиндра.
46. Что называют аппроксимацией поверхности?
47. Какие способы разверток многогранников вы знаете?
Date: 2021-09-24; view: 510; Нарушение авторских прав
§
Аудиторная контрольная работа состоит из двух заданий:
– первое задание берется из 1раздела настоящих методических указаний;
– второе задание берется из 2 раздела настоящих методических указаний;
– третье задание берется из перечня контрольных вопросов.
Студент из первого задания выполняет один из вариантов, из второго – три задачи, из третьего задания студент отвечает на один вопрос по указанию преподавателя.
Задание первое Задание второе
| 1 Эпюр №1, вариант 1 2 Эпюр №1, вариант 2 3 Эпюр № 1, вариант 3 4 Эпюр № 1, вариант 4 5 Эпюр № 1, вариант 5 6 Эпюр № 2, вариант 1 7 Эпюр № 2, вариант 2 8 Эпюр № 2, вариант 3 9 Эпюр № 2, вариант 4 10 Эпюр № 3, вариант 1 11 Эпюр № 3, вариант 2 12 Эпюр № 3, вариант 3 13 Эпюр № 3, вариант 4 14 Эпюр № 4, вариант 1 15 Эпюр № 4, вариант 2 16 Эпюр № 4, вариант 3 17 Эпюр № 4, вариант 4 18 Эпюр № 5, вариант 1 19 Эпюр № 5, вариант 2 20 Эпюр № 5, вариант 3 21 Эпюр № 5, вариант 4 22 Эпюр № 6, вариант 1 23 Эпюр № 6, вариант 2 24 Эпюр № 6, вариант 3 25 Эпюр № 6, вариант 4 | 1 Задача 1.1; 4.18; 6.8 2 Задача 1.2; 4.17; 6.7 3 Задача 1.3; 4.16; 6.6 4 Задача 2.1; 4.15; 6.5 5 Задача 2.2; 4.14; 6.4 6 Задача 2.3; 4.13; 6.3 7 Задача 2.4; 4.12; 6.4 8 Задача 2.5; 4.11; 6.3 9 Задача 2.6; 4.10; 6.2 10 Задача 2.7; 4.9; 6.1 11 Задача 2.8; 4.8; 5.7 12 Задача 2.9; 4.7; 5.6 13 Задача 2.10; 4.6; 5.5 14 Задача 2.11; 4.5; 5.4 15 Задача 2.12; 4.4; 5.3 16 Задача 3.1; 4.3; 5.2 17 Задача 3.2; 4.2; 5.1 18 Задача 3.3; 4.1; 6.8 19 Задача 3.4; 3.16; 6.7 20 Задача 3.5; 3.15; 6.6 21 Задача 3.6; 3.14; 6.5 22 Задача 3.7; 3.13; 6.4 23 Задача 3.8; 3.12; 6.3 24 Задача 3.9; 3.11; 6.2 25 Задача 3.10; 4.1; 6.1 |
Вопросы к экзамену
1 Центральное и параллельное проектирование на плоскость. Основные свойства параллельных проекций (перечислить).
2 Основные свойства параллельных проекций (привести их доказательства и указать применение в методе ортогональных проекций).
3 Деление отрезка прямой в данном отношении (доказать свойство параллельных проекций об отношении отрезков прямой линии и разделить профильную прямую в заданном отношении, не прибегая к профильной проекции).
4 Определение длины отрезка прямой и углов наклона к плоскостям проекций. Обосновать все известные способы решения этой задачи (5 способов).
5 Скрещивающиеся прямые. Метод конкурирующих точек и его применение (показать на примерах).
6 Взаимное положение двух прямых в пространстве (показать на примерах, на наглядном чертеже и эпюре).
7 Точка и прямая в плоскостях общего и частного положения (показать на наглядном чертеже и на эпюре).
8 Главные линии плоскости (показать их использование при решении задач).
9 Пересечение прямой с поверхностью геометрического тела (показать на наглядном чертеже и на эпюре нахождение точки входа и выхода).
10 Пересечение поверхности геометрического тела плоскостью (показать на наглядном чертеже и на эпюре пример построения линии пересечения).
11 Построения линии пересечения многоугольников.
12 Построение линии пересечения поверхностей геометрических тел.
13 Кривые поверхности (привести классификацию и примеры применения в технике). Задать на эnюрешар и конус, цилиндр и взять точку на их поверхности.
14 Многогранники (изобразить на эпюре прямую и пирамиду, задать точку на поверхности пирамиды и призмы, выполнить развертку призмы).
15 Развертки кривыx поверхностей (объяснить на примере развертки прямого кругового цилиндра. .
16. Способы перемены плоскостей проекций (объяснить сущность способа на наглядном чертеже и на эпюре). Решить задачу.
17. Способ вращениявокруг осек, перпендикулярных к плоскостям проекции (объяснитьсущность способа на наглядном чертеже и на эпюре).
18. Способ совмещения, (объяснить сущность способа на наглядном чертеже и на эпюре). Решить задачу.
19. Понятие обосновной теореме аксонометрии. Основные виды аксонометрических проекций, рекомендуемые ГОСТ (коэффициенты искажения и углы между осями).
20. Косоугольная фронтальная диметрия (коэффициенты искажения, углы между осями). Изображение окружностей, заданных на плоскостях проекций Н, V, W.
21. Прямоугольная диметрия (коэффициенты искажения, углы между осями). Изображение окружностей, заданных на плоскостях проекций Н, V, W.
22. Прямоугольная изометрия (коэффициенты искажения, углы между осями). Изображение окружностей, заданных на плоскостях проекций Н, V, W.
23. Косоугольная фронтальная изометрия (коэффициенты искажения, углы между осями). Изображение окружностей, заданных на плоскостях проекций Н, V, W.
24. Горизонтальная косоугольная изометрия (коэффициенты искажения, углы между осями). Изображение окружностей, заданных на плоскостях проекций Н,V,W.
Date: 2021-09-24; view: 318; Нарушение авторских прав
Формулы для вычисления площадей фигур на плоскости, длин дуг кривых на плоскости, площадей поверхностей тел вращения и объемов тел с помощью определенного интеграла
В данном разделе справочника приведена таблица, содержащая формулы, с помощью которых можно вычислить:
Площади криволинейных трапеций различного вида (площади фигур, ограниченных графиками функций);
Длины дуг кривых на плоскости;
Объемы тел, если известны площади их поперечных сечений;
Объемы тел, полученных при вращении криволинейных трапеций вокруг оси абсцисс Ox ;
Площади поверхностей тел, полученных при вращении графиков функций вокруг оси абсцисс Ox.
| Рисунок | Формула | Описание |
 |  | Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f (x), f (x) > 0, a < x < b, снизу – осью Ox , x = a и x =b . |
 |  | Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху осью Ox , снизу – графиком функции y = f (x), f (x) < 0, a < x < b, а с боков – отрезками прямых x = a и x =b . |
 |  | Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f (x), a < x < b, снизу – графиком функции y = g (x), g (x) < f (x), a < x < b, снизу – осью Ox , x = a и x =b . |
 |  | Длина дуги графика функции y = f (x), a < x < b (длина дуги кривой на плоскости) |
 |  | Объем тела в случае, когда известны площади поперечных сечений этого тела S (x), Плоскость каждого поперечного сечения перпендикулярна оси Ox |
 |  | Объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f (x), f (x) > 0, a < x < b, снизу – осью Ox , x = a и x =b , вокруг оси Ox |
 |  | Площадь поверхности тела, полученного при вращении графика функции y = f (x), f (x) > 0, вокруг оси Ox |
.Рисунок:
Формула:
Описание: Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f (x), f (x) > 0, a < x < b, снизу – осью Ox , x = a и x =b . |
Рисунок:
Формула:
Описание: Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху осью Ox , снизу – графиком функции y = f (x), f (x) < 0, a < x < b, а с боков – отрезками прямых x = a и x =b . |
Рисунок:
Формула:
Описание: Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f (x), a < x < b, снизу – графиком функции y = g (x), g (x) < f (x), a < x < b, снизу – осью Ox , x = a и x =b . |
Рисунок:
Формула:
Описание: Длина дуги графика функции y = f (x), a < x < b (длина дуги кривой на плоскости) |
Рисунок:
Формула:
Описание: Объем тела в случае, когда известны площади поперечных сечений этого тела S (x), Плоскость каждого поперечного сечения перпендикулярна оси Ox |
Рисунок:
Формула:
Описание: Объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f (x), f (x) > 0, a < x < b, снизу – осью Ox , x = a и x =b , вокруг оси Ox |
Рисунок:
Формула:
Описание: Площадь поверхности тела, полученного при вращении графика функции y = f (x), f (x) > 0, вокруг оси Ox. |
Применение формул, перечисленных в таблице, проиллюстрировано на примерах, содержащих, в частности, вывод формулы объема пирамиды, формул объема шара и площади сферы.
Вывод формул для объема пирамиды и для объема шара
Пример 4. Вывести формулу для объема пирамиды, воспользовавшись формулой для вычисления объема тела по известным площадям поперечных сечений.
Решение. Рассмотрим произвольную n – угольную пирамиду BA1A2 … An с вершиной B, высота BK которой равна H, а площадь основания A1A2 … An равна S. Обозначим через S (x) площадь сечения
параллельнойпараллельной основанию пирамиды и находящейся нарасстояниирасстоянии x от вершины пирамиды B (рис. 4).
Рис.4
Поскольку многоугольникиA1A2 … An подобны с коэффициентом подобия 
A1A2 … An подобны с коэффициентом подобия
Рассмотрим теперь в пространстве систему координат Oxyz и расположим нашу пирамиду BA1A2 … An так, чтобы ее вершина B совпала с началом координат O, а высота пирамиды BK оказалась лежащей на оси Ox (рис. 5).
Рис.5
Тогда сечение поперечным сечением, поскольку его плоскость перпендикулярна оси Ox.
Воспользовавшись формулой, позволяющей вычислить объем тела по известным площадям поперечных сечений, получаем
Далее при помощи таблицы неопределенных интегралов и формулы Ньютона – Лейбница находим
Итак, мы получили формулу для объема пирамиды
котрой пользовались в различных разделах справочника.
Замечание. Совершенно аналогично выводится формула для объема конуса. Формулы дляобъема прямой призмыобъема прямой призмы и для объема цилиндра вывести таким способом еще проще, поскольку у них все сечения, перпендикулярные высоте, равны между собой. Мы рекомендуем провести эти выводы читателю самостоятельно в качестве полезного упражнения.
Пример 5. Вывести формулу для объема шара радиуса R, воспользовавшись формулой для вычисления объема тела вращения.
Решение. Рассмотрим функцию
графиком которой является верхняя полуокружность радиуса R с центром в начале координат O. Шар радиуса R получается в результате вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции (3) и ограниченной снизу отрезком
Ox (рис. 6).
Рис.6
В соответствии с формулой для вычисления объема тела вращения получаем
Далее при помощи таблицы неопределенных интегралов и формулы Ньютона – Лейбница находим
что и должно было получиться.
Вывод формулы для площади сферы
Пример 6. Вывести формулу для площади сферы радиуса R, воспользовавшись формулой для вычисления площади поверхности тела вращения.
Решение. Снова рассмотрим функцию
графиком которой является верхняя полуокружность радиуса R с центром в начале координат O (рис. 7).
Рис.7
Поскольку сфера радиуса R получается в результате вращения вокруг оси Ox графика функции (4), то в соответствии с формулой для вычисления площади поверхности тела вращения получаем
Воспользовавшись свойствами степеней,таблицей производных сложных функций и таблицей производных часто встречающихся функций, находим
Подставим найденную производную в выражение, стоящее под знаком квадратного корня:
Таким образом, подынтегральная функция принимает вид:
Далее с помощью таблицы неопределенных интегралов и формулы Ньютона – Лейбница получаем
что и должно было получиться.
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.
