2 основные
понятия и определения
Выше мы говорили
о системах
счисления, не
вдаваясь в
подробности
этого понятия.
Каково же научное
определение
системы счисления?
Системой
счисления
называют систему
приемов и правил,
позволяющих
устанавливать
взаимно-однозначное
соответствие
между любым
числом и его
представлением
в виде совокупности
конечного числа
символов. Множество
символов,
используемых
для такого
представления,
называют цифрами.
В
зависимости
от способа
изображения
чисел с помощью
цифр системы
счисления
делятся на
позиционные
и непозиционные.
В
непозиционных
системах любое
число определяется
как некоторая
функция от
численных
значений совокупности
цифр, представляющих
это число. Цифры
в непозиционных
системах счисления
соответствуют
некоторым
фиксированным
числам. Пример
непозиционной
системы –
рассмотренная
ранее римская
система счисления.
Дpевние египтяне
пpименяли систему
счисления,
состоящую из
набоpа символов,
изобpажавших
pаспpостpаненные
пpедметы быта.
Совокупность
этих символов
обозначала
число. Расположение
их в числе не
имело значения,
отсюда и появилось
название.
Исторически
первыми системами
счисления были
именно непозиционные
системы. Одним
из основных
недостатков
является трудность
записи больших
чисел. Запись
больших чисел
в таких системах
либо очень
громоздка, либо
алфавит системы
чрезвычайно
велик.
В
вычислительной
технике непозиционные
системы не
применяются.
Систему
счисления
называют позиционной,
если одна и та
же цифра может
принимать
различные
численные
значения в
зависимости
от номера разряда
этой цифры в
совокупности
цифр, представляющих
заданное число.
Пример такой
системы – арабская
десятичная
система счисления.
Количества
и количественные
составляющие,
существующие
реально могут
отображаться
различными
способами. В
общем случае
в позиционной
системе счисления
число N
может быть
представлено
как:
основание
системы счисления
(целое положительное
число, равное
числу цифр в
данной системе);
Основание
позиционной
системы счисления
определяет
ее название.
В вычислительной
технике применяются
двоичная,
восьмеричная,
десятичная
и шестнадцатеричная
системы. В
дальнейшем,
чтобы явно
указать используемую
систему счисления,
будем заключать
число в скобки
и в нижнем индексе
указывать
основание
системы счисления.
Каждой
позиции в числе
соответствует
позиционный
(разрядный)
коэффициент
или вес.
Покажем это
на примере
десятичного
числа:
Пример
2.1Способ
образования
десятичного
числа
Для десятичной
системы соответствия
между позицией
и весом следующее:
в
общем случае:
В настоящее
время позиционные
системы счисления
более широко
распространены,
чем непозиционные.
Это объясняется
тем, что они
позволяют
записывать
большие числа
с помощью
сравнительно
небольшого
числа знаков.
Еще более важное
преимущество
позиционных
систем – это
простота и
легкость выполнения
арифметических
операций над
числами, записанными
в этих системах.
Вычислительные
машины в принципе
могут быть
построены в
любой системе
счисления. Но
столь привычная
для нас десятичная
система окажется
крайне неудобной.
Если в механических
вычислительных
устройствах,
использующих
десятичную
систему, достаточно
просто применить
элемент со
множеством
состояний
(колесо с десятью
зубьями), то в
электронных
машинах надо
было бы иметь
10 различных
потенциалов
в цепях.
Наиболее
удобной для
построения
ЭВМ оказалась
двоичная
система счисления,
т.е. система
счисления, в
которой используются
только две
цифры: 0 и 1, т.к. с
технической
точки зрения
создать устройство
с двумя состояниями
проще, также
упрощается
различение
этих состояний.
Для представления
этих состояний
в цифровых
системах достаточно
иметь электронные
схемы, которые
могут принимать
два состояния,
четко различающиеся
значением
какой-либо
электрической
величины –
потенциала
или тока. Одному
из значений
этой величины
соответствует
цифра 0, другому
– 1.
Относительная
простота создания
электронных
схем с двумя
электрическими
состояниями
и привела к
тому, что двоичное
представление
чисел доминирует
в современной
цифровой технике.
При этом 0 обычно
представляется
низким уровнем
потенциала,
а 1 – высоким
уровнем. Такой
способ представления
называется
положительной
логикой.
3 Двоичная
система счисления:
основные сведения
3.1 История
возникновения
двоичной системы
счисления
Двоичная
система счисления,
т.е. система с
основанием
минимальной»
системой, в
которой полностью
реализуется
принцип позиционности
в цифровой
форме записи
чисел. В двоичной
системе счисления
значение каждой
цифры «по месту»
при переходе
от младшего
разряда к старшему
увеличивается
вдвое.
История
развития двоичной
системы счисления
– одна из ярких
страниц в истории
арифметики.
Официальное
«рождение»
двоичной арифметики
связывают с
именем Г. В.
Лейбница,
опубликовавшего
статью, в которой
были рассмотрены
правила выполнения
всех арифметических
операций над
двоичными
числами.
До
начала тридцатых
годов XX
века двоичная
система счисления
оставалась
вне поля зрения
прикладной
математики.
Потребность
в создании
надежных и
простых по
конструкции
счетных механических
устройств и
простота выполнения
действий над
двоичными
числами привели
к более глубокому
и активному
изучению особенностей
двоичной системы
как системы,
пригодной для
аппаратной
реализации.
Первые двоичные
механические
вычислительные
машины были
построены во
Франции и Германии.
Утверждение
двоичной арифметики
в качестве
общепринятой
основы при
конструировании
ЭВМ с программным
управлением
состоялось
под несомненным
влиянием работы
А. Бекса, Х.
Гольдстайна
и Дж. Фон Неймана
о проекте первой
ЭВМ с хранимой
в памяти программой,
написанной
в 1946 году. В этой
работе наиболее
аргументированно
обоснованы
причины отказа
от десятичной
арифметики
и перехода к
двоичной системе
счисления как
основе машинной
арифметики.
3.2 Основные
понятия машинной
арифметики
В двоичной
системе счисления
используются
только два
символа, что
хорошо согласуется
с техническими
характеристиками
цифровых схем.
Действительно
очень удобно
представлять
отдельные
составляющие
информации
с помощью двух
состояний:
Отверстие
есть или отсутствует
(перфолента
или перфокарта);Материал
намагничен
или размагничен
(магнитные
ленты, диски);Уровень
сигнала большой
или маленький.
Существуют
специальные
термины, широко
используемые
в вычислительной
технике: бит,
байт
и слово.
Битом
называют один
двоичный разряд.
Крайний слева
бит числа называют
старшим
разрядом
(он имеет наибольший
вес), крайний
справа – младшим
разрядом
(он имеет наименьший
вес).
Восьмибитовая
единица носит
название байта.
Многие типы
ЭВМ и дискретных
систем управления
перерабатывают
информацию
порциями (словами)
по 8, 16 или 32 бита
(1, 2 и 4 байта). Двоичное
слово, состоящее
из двух байт,
показано на
рис. 3.1.
Рис.
3.1Бит,
байт и слово
4 Взаимный
перевод двоичных
и десятичных
чисел и элементарные
двоичные
арифметические
действия
4.1 Представление
двоичных чисел
и перевод их
в десятичные
Совершенно
очевидно, что
двоичное число
представляется
последовательностью
нулей и единиц
– разрядов. Как
и в любой позиционной
системе, каждому
разряду присвоен
определенный
вес – показатель
степени основания
системы. Веса
первых 10 позиций
представлены
в таблице 4.1.
Таблица
4.1 Веса первых
десяти позиций
двоичной системы
счисления
В двоичной
системе счисления
даже сравнительно
небольшие числа
занимают много
позиций.
Как и в
десятичной
системе, в двоичной
системе счисления
для отделения
дробной части
используется
точка (двоичная
точка). Каждая
позиция слева
от этой точки
также имеет
свой вес – вес
разряда дробной
части числа.
Значение веса
в этом случае
равно основанию
системы счисления
(т.е. двойке),
возведенному
в отрицательную
степень.
Получить
десятичное
число из двоичного
чрезвычайно
просто. Согласно
формуле 2.3 для
двоичной системы
счисления
получаем:
Пример 4.1
иллюстрирует
процесс получения
десятичного
числа из двоичного.
Пример
4.1 Перевод
двоичного числа
в десятичное
4.2 Преобразование
десятичных
чисел в двоичные
Перевод
из двоичной
системы в десятичную
несколько
сложнее. Рассмотрим
несколько
алгоритмов.
4.2.1 Метод вычитания
Из десятичного
числа вычитаются
наибольшая
возможная
степень двойки,
в соответствующий
разряд двоичного
числа записывается
единица, если
разность меньше
следующей
степени двойки,
то далее записывается
нуль, а если
больше записывается
единица и опять
производится
вычитание, и
так до тех пор,
пока исходное
число не уменьшится
до нуля. В примере
4.2 рассматривается
перевод десятичного
числа 
в двоичное.Пример
4.2 Перевод
десятичного
числа
в двоичное
методом вычитания
4.2.2 Метод деления
Другим
методом является
так называемый
метод деления.
Он применяется
для преобразования
целых чисел.
Ниже приведен
его алгоритм.
Разделим
нацело десятичное
число на двойку.
Если есть остаток,
запишем в младший
разряд единицу,
а если нет –
нуль и снова
разделим результат
от первого
деления. Повторим
процедуру так
до тех пор, пока
окончательный
результат не
обнулиться.
Пример
4.3 Перевод
десятичного
числа 
в двоичное
методом деления
4.2.3 Метод умножения
И, наконец,
метод умножения.
Метод применяется
для преобразования
десятичных
дробей (чисел
меньших единицы).
Число
умножается
на 2, если результат
1, то в старший
разряд записывается
единица, если
нет, то нуль.
Умножаем на
2 дробную часть
результата
и повторяем
процедуру. И
так далее до
получения
нужной степени
точности или
до обнуления
результата.
Пример
4.4 Перевод
десятичного
числа 
в двоичное
методом умножения
4.3 Арифметические
действия над
двоичными
числами
Арифметика
двоичной системы
счисления
основана на
использовании
таблиц сложения,
вычитания и
умножения. Эти
таблицы чрезвычайно
просты:
Таблица сложения | ||||
| 0 | 0 | = | 0 | |
| 0 | 1 | = | 1 | |
| 1 | 0 | = | 1 | |
| 1 | 1 | = | 10 | |
Таблица умножения | ||||
| 0 | * | 0 | = | 0 |
| 0 | * | 1 | = | 0 |
| 1 | * | 0 | = | 0 |
| 1 | * | 1 | = | 1 |
Таблица вычитания | ||||
| 0 | – | 0 | = | 0 |
| 1 | – | 0 | = | 1 |
| 1 | – | 1 | = | 1 |
| 10 | – | 1 | = | 1 |
4.3.1 Двоичное
сложение
Двоичное
сложение выполняется
по тем же правилам,
что и десятичное,
с той лишь разницей,
что перенос
в следующий
разряд производиться
после того, как
сумма достигнет
не десяти, а
двух.
Пример
4.5 Сложение
двоичных чисел
и 
101101 111110 010011 – поразрядная
сумма без учета
переносов
1011000 – переносы 0010011
1001011 – поразрядная
сумма без учета
повторных
переносов
0100000 – повторные
переносы1001011 1101011 – окончательный
результат
Легко
произвести
проверку:
Пример
4.6 Сложение
двоичных чисел
и 
110, 1011 10111, 10101 10001, 00011 – поразрядная
сумма без учета
переносов
11 1, 1 – переносы 10001, 00011 11100, 01011 – поразрядная
сумма без учета
повторных
переносов
1 , – повторные
переносы11100, 01011 11110, 01011 – окончательный
результат
Сложение
нескольких
чисел вызывает
некоторые
трудности, так
как в результате
поразрядного
сложения могут
получится
переносы, превышающие
единицу.
4.3.2
Двоичное вычитание
Вычитание
в двоичной
системе выполняется
аналогично
вычитанию в
десятичной
системе счисления.
При необходимости,
когда в некотором
разряде приходится
вычитать единицу
из нуля, занимается
единица из
следующего
старшего разряда.
Если в следующем
разряде нуль,
то заем делается
в ближайшем
старшем разряде,
в котором стоит
единица.
Пример
4.7 Вычитание
двоичных чисел
и 
– 11010, 1011 1101, 01111 1101, 00111
Конечно,
математически
вычитание
выполнить
несложно. Однако,
если поступать
таким образом,
то к примеру
в ЭВМ придется
для выполнения
сложения и
вычитания иметь
два блока: сумматор
и вычитатель.
Поэтому поступают
следующим
образом: вычитание
можно представить
как сложение
положительного
и отрицательного
чисел, необходимо
только подходящее
представление
для отрицательного
числа.
Рассмотрим
четырехразрядный
десятичный
счетчик, какие
в автомобиле
отсчитывают
пройденный
путь. Пусть он
показывает
число 2, если
вращать его
в обратном
направлении,
то сначала
появится 1, затем
0, после 0 появится
число 9999. Сложим,
к примеру, 6 с
этим числом:
Если пренебречь
единицей переноса
и считать 9999
аналогом –1, то
получим верный
результат:
Число 9999
называется
десятичным
дополнением
числа 1.
Таким
образом, в
десятичной
системе счисления
отрицательные
числа могут
быть представлены
в форме десятичного
дополнения,
а знак минус
можно опустить.
Двоичное
дополнениечисла
определяется
как то число,
которое будучи
прибавлено
к первоначальному
числу, даст
только единицу
переноса в
старшем разряде.
Пример
4.8 Двоичное
дополнение
числа 
010101111 – число 101010001 – двоичное
дополнение1000000000 – сумма – единица
переноса
Для получения
двоичного
дополнения
необходимо:
получить
обратный код,
который образуется
инвертированием
каждого бита:010101111 – число 101010000 – обратный
кодприбавить
к обратному
коду единицу,
образовав
таким образом
дополнительный
код:
101010000 – обратный
код1 101010001 – дополнительный
код
Пример
4.9 Вычитание
в дополнительном
коде
1001012=510
(верно).
4.3.3 Двоичное
умножение
Умножение
двух двоичных
чисел выполняется
так же, как и
умножение
десятичных.
Сначала получаются
частичные
произведения
и затем их суммируют
с учетом веса
соответствующего
разряда множителя.
Отличительной
особенностью
умножения в
двоичной системе
счисления
является его
простота,
обусловленная
простотой
таблицы умножения.
В соответствии
с ней, каждое
частичное
произведение
или равно нулю,
если в соответствующем
разряде множителя
стоит нуль, или
равно множимому,
сдвинутому
на соответствующее
число разрядов,
если в соответствующем
разряде множителя
стоит единица.
Таким образом,
операция умножения
в двоичной
системе сводится
к операциям
сдвига и сложения.
Умножение
производится,
начиная с младшего
или старшего
разряда множителя,
что и определяет
направление
сдвига. Если
сомножители
имеют дробные
части, то положение
запятой в
произведении
определяется
по тем же правилам,
что и для десятичных
чисел.
Пример
4.10 Умножение
двоичных чисел
и 
4.3.4 Двоичное
деление
Деление
чисел в двоичной
системе производится
аналогично
делению десятичных
чисел. Рассмотрим
деление двух
целых чисел,
так как делимое
и делитель
всегда могут
быть приведены
к такому виду
путем перениесения
запятой в делимом
и делителе на
одиноаковое
число разрядов
и дописывания
необходимых
нулей.
Деление
начинается
с того, что от
делимого слева
отделяется
минимальная
группа разрядов,
которая, рассматриваемая
как число, превышает
или равна делителю.
Дальнейшие
действия выполняются
по обычным
правилам, причем
последняя целая
цифра частного
получается
тогда, когда
все цифры делимого
исчерпаны.
Пример
4.11 Деление
двоичных чисел
| 1) 18:2 | 2) 14:4 | ||||
| 10010 | 10 | 1110 | 100 | ||
| 10 | 1001=(9)10 | 100 | 11,1=(3,5)10 | ||
| 00 | 110 | ||||
| 00 | 100 | ||||
001 | 100 | ||||
| 000 | 100 | ||||
| 10 | 0 | ||||
| 10 | |||||
| 00 |
Таким
образом, выполнение
арифметических
операций в
двоичной системе
счисления
достаточно
просто. Особенно
просто выполнять
операции сложения,
вычитания и
умножения.
Благодоря
этому, применение
двоичной системы
в вычислительных
машинах позволяет
упростить схемы
устройств, в
которых осуществляются
операции над
числами.
5 Представление
чисел в ЭВМ,
кодирование
5.1 Представление
чисел с фиксированной
и плавающей
запятой
При представлении
числа в двоичном
коде с цифрами
0,1 в каждом разряде
записываются
цифры 0 или 1. Так
как в ЭВМ «запись»
числа осуществляется
с помощью технических
устройств, то
для представления
его в такой
форме необходимо
располагать
устройствами
с двумя надежно
различными
состояниями,
которым могут
быть сопоставлены
значения 0 или
1.
В
качестве таких
устройств,
могут быть
использованы
триггеры. Набор
триггеров,
предназначенных
для представления
чисел в ЭВМ, а
также для выполнения
над ними некоторых
логических
преобразований,
называется
регистром.
Разумеется,
число разрядов,
отведенное
для записи
числа, соответствующее
числу триггеров,
в ЭВМ всегда
конечно.
Выбор
количества
разрядов для
представления
чисел в ЭВМ
является одним
из самых ответственных
этапов конструирования
вычислительной
машины и обуславливается
целым рядом
требований,
среди которых
одно из важнейших
– необходимая
точность вычислений.
В ЭВМ применяются
две основные
формы представления
чисел: полулогарифмическая
– с плавающей
запятой
и естественная
– с фиксированным
положением
запятой.
При представлении
чисел с фиксированной
запятой положение
запятой закрепляется
в определенном
месте относительно
разрядов числа
и сохраняется
неизменным
для всех чисел,
изображаемых
в данной разрядной
сетке. Обычно
запятая фиксируется
перед старшим
разрядом или
после младшего.
Использование
представления
чисел с фиксированной
запятой позволяет
упростить схемы
машины, повысить
ее быстродействие,
но представляет
определенные
трудности при
программировании.
В настоящее
время представление
чисел с фиксированной
запятой используется
как основное
только в микроконтроллерах.
В универсальных
ЭВМ основным
является
представление
чисел с плавающей
запятой. Широкий
диапазон
представления
чисел с плавающей
запятой удобен
для научных
и инженерных
расчетов. Для
повышения
точности вычислений
во многих ЭВМ
предусмотрена
возможность
использования
формата двойной
длины, однако
при этом происходит
увеличение
затрат памяти
на хранение
данных и замедляются
вычисления.
Рассмотрим
подробнее эти
два формата.
5.1.1 Числа с
фиксированной
запятой
Формат
для чисел с
запятой, фиксированной
перед старшим
разрядом. В
этом формате
могут быть с
точностью до
представлены
числа (правильные
дроби) в диапазоне
Первые
ЭВМ были машинами
с фиксированной
запятой, причем
запятая фиксировалась
перед старшим
разрядом числа.
В настоящее
время, как правило,
форму с фиксированной
запятой применяют
для представления
целых чисел
(запятая фиксирована
после младшего
разряда).
Используют
два варианта
представления
целых чисел:
со знаком и без
знака. В последнем
случае все
разряды разрядной
сетки служат
для представления
модуля числа.
В ЕС ЭВМ применяются
оба указанных
варианта
представления
целых чисел,
причем каждый
из вариантов
реализуется
как в формате
32-разрядного
машинного слова
этих машин, так
и в формате
16-разрядного
полуслова.
При выполнении
арифметических
действий над
правильными
дробями могут
получаться
двоичные числа,
по абсолютной
величине больше
или равные
единице, что
называется
переполнением
разрядной
сетки. Для исключения
возможности
переполнения
приходится
масштабировать
величины, участвующие
в вычислениях.
Достоинство
представления
чисел в форме
с фиксированной
запятой состоит
в простоте
выполнения
арифметических
операций.
Недостатки
– в необходимости
выбора масштабных
коэффициентов
и в низкой точности
представления
с малыми значениями
модуля (нули
в старших разрядах
модуля приводит
к уменьшению
количества
разрядов, занимаемых
значащей частью
модуля числа).
5.1.2 Числа с
плавающей
запятой
При использовании
плавающей
запятой число
состоит из двух
частей: мантиссыm,
содержащейзначащие
цифры числа,
и порядкаp,
показывающего
степень, в которую
надо возвести
основание числа
q, чтобы
полученное
при этом число,
умноженное
на мантиссу,
давало истинное
значение
представляемого
числа:
m=0,1010;
p=10;
q=2
Порядок
указывает
действительное
положение
запятой в числе.
Код в приведенном
формате представляет
значение числа
в полулогарифмической
форме:
Нормализованные
двоичные числа
с плавающей
запятой представляют
значения модуля
в диапазоне:
где
p=7
Таким образом,
диапазон чисел:
Для расширения
диапазона
представляемых
чисел при
фиксированной
длине разрядной
сетки (m p)
в качестве
основания
системы счисления
выбирается
5.2 Прямой,
обратный
и дополнительный
коды. Модифицированный
код
При рассмотрении
элементарных
арифметических
операций над
двоичными
числами мы уже
коснулись темы
отрицательных
двоичных чисел.
Теперь рассмотрим
ее подробнее.
Для кодирования
знака двоичного
числа используется
старший (“знаковый”)
разряд (ноль
соответствует
плюсу, единица
– минусу).
Такая форма
представления
числа называется
прямым
кодом.
В ЭВМ прямой
код применяется
только для
представления
положительных
двоичных чисел.
Для представления
отрицательных
чисел применяется
либо дополнительный,
либо обратный
код, так как
над отрицательными
числами в прямом
коде неудобно
выполнять
арифметические
операции.
Правила для
образования
дополнительного
и обратного
кода состоят
в следующем:
для
образования
дополнительного
кода отрицательного
числа необходимо
в знаковом
разряде поставить
единицу, а все
цифровые разряды
инвертировать
(заменить 1 на
0, а 0 – на 1), после
чего прибавить
1 к младшему
разряду;для
образования
обратного кода
отрицательного
числа необходимо
в знаковом
разряде поставить
единицу, а все
цифровые разряды
инвертировать;при
данных преобразованиях
нужно учитывать
размер разрядной
сетки.
Прямой код
можно получить
из дополнительного
и обратного
по тем же правилам,
которые служат
для нахождения
дополнительного
и обратного
кодов.
В таблице
5.1 пpиведены
десятичные
числа и их двоичные
пpедставления
в тpех pазличных
фоpмах. Интеpесно
в ней вот что.
Если начать
счет с числа
1000 (–8) и двигаться
вниз по столбцам,
то в дополнительном
коде каждое
последующее
число получается
пpибавлением
единицы к пpедыдущему
без учета пеpеноса
за пpеделы
четвеpтого
pазpяда Так пpосто
эту опеpацию
в пpямом и обpатном
кодах не осуществить.
Итак, числа,
пpедставленные
в дополнительном
коде, складываются
по пpавилам
двоичного
сложения, но
без учета каких
либо пеpеносов
за пpеделы стаpшего
pазpяда. Рассмотpим
это на пpимеpах
5.1.
Таблица
5.1 Прямой,
обратный и
дополнительный
коды
Десятичное число | Прямой код | Обратный код | Дополнительный код |
| -8 | – | – | 1000 |
| -7 | 1111 | 1000 | 1001 |
| -6 | 1110 | 1001 | 1010 |
| -5 | 1101 | 1010 | 1011 |
| -4 | 1100 | 1011 | 1110 |
| -3 | 1011 | 1100 | 1101 |
| -2 | 1010 | 1101 | 1110 |
| -1 | 1001 | 1110 | 1111 |
| 0 | 1000 0000 | 1111 0000 | 0000 |
| 1 | 0001 | 0001 | 0001 |
| 2 | 0010 | 0010 | 0010 |
| 3 | 0011 | 0011 | 0011 |
| 4 | 0100 | 0100 | 0100 |
| 5 | 0101 | 0101 | 0101 |
| 6 | 0110 | 0110 | 0110 |
| 7 | 0111 | 0111 | 0111 |
Пример
5.1 Двоичное
сложение в
дополнительном
коде
| 1) | 2 | 0010 | 2) | -2 | 1110 | 3) | 5 | 0101 | ||||||||
| 5 | 0101 | -6 | 1010 | -4 | 1100 | |||||||||||
| 7 | 0111 | -8 | 1000 | 1 | 0001 |
Еще одним
достоинством
дополнительного
кода является
то, что нуль, в
отличие от
пpямого и обpатного
кодов, пpедставляется
одним кодом.
Наличие 0 в знаковом
бите пpи пpедставлении
нуля опpеделяет
его как величину
положительную,
что согласуется
с математической
теоpией чисел
и соглашениями,
пpинятыми во
всех языках
пpогpаммиpования.
Из приведенных
примеров следует,
что положительные
числа в прямом,
обратном и
дополнительном
кодах совпадают.
В прямом и обратном
коде нуль имеет
два представления
– «положительный»
и «отрицательный»
нуль.
Отметим,
что при представлении
с плавающей
запятой отдельно
кодируется
мантисса и
порядок числа.
При этом возможно
представление
мантисс и порядков
чисел в одном
и том же или
разных кодах.
Например, порядок
числа может
быть представлен
в прямом, а мантисса
– в дополнительном
кодах и т. п.
Таким
образом, используя
обратный и
дополнительный
коды, операцию
алгебраического
сложения можно
свести к арифметическому
сложению кодов
чисел, которое
распространяется
и на разряды
знаков, которые
рассматриваются
как разряды
целой части
числа.
При сложении
чисел, меньших
единицы, в машине
быть получены
числа, по абсолютной
величине большие
единицы. Для
обнаружения
переполнения
разрядной
сетки в ЭВМ
применяются
модифицированные
прямой, обратный
и дополнительный
коды.
Правила
сложения для
модифицированных
кодов те же,
что и для обычных.
Единица переноса
из старшего
знакового
разряда в
модифицированном
дополнительном
коде отбрасывается,
а в модифицированном
обратном коде
передается
в младший цифровой
разряд.
Признаком
переполнения
служит появление
в знаковом
разряде суммы
комбинации
01 при сложении
положительных
чисел (положительное
переполнение)
или 10 при сложении
отрицательных
чисел (отрицательное
переполнение).
Старший знаковый
разряд в этих
случаях содержит
истинное значение
знака суммы,
а младший является
старшей значащей
цифрой числа.
Для коррекции
переполнения
число нужно
сдвинуть в
разрядной сетке
на один разряд
вправо, а в
освободившийся
старший знаковый
разряд поместить
цифру, равную
новому значению
младшего знакового
разряда. После
корректировки
переполнения
мантиссы результата
необходимо
увеличить на
единицу порядок
результата.
5.3
Двоично-десятичное
кодирование
Для осуществления
автоматического
перевода десятичных
чисел в двоичную
систему счисления
необходимо
вначале каким-то
образом ввести
их в машину,
Для этой цели
обычно используется
двоично-десятичная
запись чисел
или представление
этих чисел в
кодах ASCII.
При двоично-десятичной
записи каждая
цифра десятичного
числа заменяется
четырехзначным
двоичным числом
– тетрадой
(таблица 5.2).
Таблица
5.2 Наиболее
распространенные
двоично-десятичные
коды чисел от
0 до 9
Например,
число
При записи
чисел в кодах
ASCII цифрам от 0 до
9 поставлены
в соответствие
восьмиразрядные
двоичные коды
от 00110000 до 00111001.
ЭВМ, предназначенные
для обработки
экономической
информации,
например IBM AT,
позволяют
производить
арифметические
операции в
десятичной
системе счисления
над числами,
представленными
в двоично-десятичных
кодах и кодах
ASCII.
6
Алгебраические
действия над
числами с
плавающей и
фиксированной
запятой
6.1
Сложение чисел
с фиксированной
запятой
Алгебраическое
сложение чисел
с фиксированной
запятой в цифровых
машинах может
производиться
в одном из машинных
кодов: прямом,
дополнительном
или обратном.
Чаще всего
используется
либо дополнительный,
либо обратный
код. При этом
знаковый разряд
и цифровая
часть числа
рассматривается
как единое
целое, в результате
чего с отрицательными
числами машина
оперирует как
с положительными,
независимо
от того, представлены
ли они в виде
правильных
дробей или в
виде целых
чисел.
Главное
достоинство
дополнительного
и обратного
кодов заключается
в том, что правильный
знак суммы
получается
автоматически
в процессе
суммирования
знаковых цифр
операндов и
цифры переноса
из соседнего
младшего разряда.
В случае возникновения
единицы переноса
из знакового
разряда суммы
ее нужно отбросить
при сложении
в дополнительном
коде и прибавить
к младшему
разряду суммы
при сложении
в обратном коде
(т. е. произвести
циклический
перенос единицы
переполнения).
При этом в
зависимости
от знаков слагаемых
возможны четыре
случая:
1)
Х1 > 0,
Х2 > 0,
Х3 =
Х1 Х2
> 0;
2)
Х1 > 0,
Х2 < 0,
Х3 =
Х1 Х2
> 0;
3)
Х1 > 0,
Х2 < 0,
Х3 =
Х1 Х2
< 0;
4)
Х1 < 0,
Х2 < 0,
Х3 =
Х1 Х2
< 0;
6.2
Сложение чисел
с плавающей
запятой
Если имеются
два числа в
нормальной
форме: Х1
= m1
10P1
и Х2
= m2
10P2
, то для того
чтобы их можно
было сложить,
нужно предварительно
привести их
к одному и тому
же порядку
Робщ,
т. е. преобразовать
одно из слагаемых,
например, первое
следующим
образом:
Х1
= m1
10P1
= m1*
10P1
= m1*
10Pобщ
Далее можно
вынести степень
основания
системы за
скобки и произвести
сложение мантисс:
Х1
Х2=
m1*
10Pобщ
m2
10Pобщ.
= (m1*
m2
) 10Pобщ
Преобразовывать
всегда нужно
меньше слагаемое,
так как в противном
случае произойдет
переполнение
разрядной сетки
мантиссы
преобразуемого
числа.
Машинная
операция сложения
чисел в нормальной
форме распадается
таким образом,
на 4 этапа:
Уравниваются
порядки слагаемых:
меньший порядок
увеличивается
до большего,
мантисса
преобразуемого
числа сдвигается
вправо (число
денормализуется)
на соответствующее
количество
разрядов.
Практически
в машинах
производится
вычитание
порядков операндов.
Знак и модуль
разности Р1 –
Р2 определяют
соответственно,
какое из слагаемых
нужно преобразовывать
и на сколько
единиц следует
сдвигать мантиссу
преобразуемого
числа.Производится
преобразование
мантисс слагаемых
в один из модифицированных
кодов.Мантиссы
слагаемых
суммируются
по правилам
сложения дробных
чисел с фиксированной
запятой.В
случае надобности
мантисса суммы
переводится
в прямой код,
производится
нормализация
суммы и округление
ее мантиссы.
6.3
Умножение
чисел с фиксированной
запятой
Наиболее
просто умножение
выполняется
в прямом коде,
независимо
от того, являются
ли операнды
целыми или
дробными числами.
В машинах с
фиксированной
запятой оно
реализуется
в два этапа.
Определяется
знак произведения
с помощью сложения
знаковых цифр
сомножителей
по модулю два,
где нуль соответствует
плюсу, а единица
– минусу:
0
0 = 0
0
1 = 1
1
0 = 1
1
1 = 0
Производиться
перемножение
модулей сомножителей,
затем в случае
необходимости
округление
полученного
модуля произведения,
после чего к
модулю результата
приписывается
его знак, определенный
на первом этапе.
Умножение
производится
по обычным
правилам арифметики
согласно двоичной
таблицы умножения.
В машинах
может быть
реализовано
как умножение,
начинающееся
с младшей цифры
множителя
(наиболее привычный
способ), так и
умножение,
начинающееся
со старшей
цифры множителя.
6.4
Умножение
чисел с плавающей
запятой
Если имеем
два сомножителя,
заданные в
нормальной
форме Х1
= m1
10P1
и Х2=m210P2,
то их произведение
определяется
следующим
образом:
Х1 Х2
= m1 m2
10P1 P2.
Анализ
этого соотношения
показывает,
что умножение
чисел в машинах
с плавающей
запятой производится
в четыре этапа:
Определение
знака произведения
путем сложения
по модулю два
знаковых цифр
мантисс сомножителей.Перемножение
модулей мантисс
сомножителей
по правилам
для дробных
чисел с фиксированной
запятой.Определение
порядка произведения
путем алгебраического
сложения порядков
сомножителей
с использованием
либо дополнительного,
либо обратного
модифицированного
кода.Нормализация
результата
и округление
мантиссы в
случае необходимости.
Поскольку
сомножители
обязательно
являются
нормализованными
числами, то де
нормализация
произведения
возможна только
на разряд и
только вправо.
7
Другие системы
счисления
Пpи наладке
аппаpатных
сpедств (пpогpамм
BIOS и т.д.) и написании
новых пpогpамм
(особенно на
языках низкого
уpовня типа
ассемблеpа или
C) чисто возникает
необходимость
заглянуть в
память машины,
чтобы оценить
ее текущее
состояние.
Но
там все заполнено
длинными
последовательностями
нулей и единиц,
очень неудобных
для воспpиятия.
Кpоме того,
естественные
возможности
человеческого
мышления не
позволяют
оценить быстpо
и точно величину
числа, пpедставленного,
напpимеp , комбинацией
из 16 нулей и единиц.
Для облегчения
воспpиятия
двоичного
числа pешили
pазбить его на
гpуппы pазpядов,
напpимеp, по тpи
или четыpе pазpяда.
Эта идея оказалась
удачной, так
как последовательность
из 3 бит имеет
8 комбинаций,
а последовательность
из 4 бит –16 комбинаций.
Числа 8 и 16 – степени
двойки, поэтому
легко находить
соответствие
между двоичными
числами. Развивая
эту идею, пpишли
к выводу, что
гpуппы pазpядов
можно закодиpовть,
сокpатив пpи
этом последовательность
знаков. Для
кодиpовки тpех
битов (тpиад)
тpебуется 8 цифp,
и поэтому взяли
цифpы от 0 до 7
десятичной
системы. Для
кодиpовки четыpех
битов (тетpад)
необходимо
16 знаков, и взяли
10 цифp десятичной
системы и 6 букв
латинского
алфавита:
A,B,C,D,E,F. полученные
системы, имеющие
в основании
8 и 16 , назвали
соответственно
восьмеричной
и шестнадцатеричной.
Таблица
7.1 Восьмеричная
и шестнадцатеричная
системы
Десятичное | Восьмеричное число | Триада | Шестнадцатеричное число | Тетрада |
| 0 | 0 | 000 000 | 0 | 0000 |
| 1 | 1 | 000 001 | 1 | 0001 |
| 2 | 2 | 000 010 | 2 | 0010 |
| 3 | 3 | 000 011 | 3 | 0011 |
| 4 | 4 | 000 100 | 4 | 0100 |
| 5 | 5 | 000 101 | 5 | 0101 |
| 6 | 6 | 000 110 | 6 | 0110 |
| 7 | 7 | 000 111 | 7 | 0111 |
| 8 | 10 | 001 000 | 8 | 1000 |
| 9 | 11 | 001 001 | 9 | 1001 |
| 10 | 12 | 001 010 | А | 1010 |
| 11 | 13 | 001 011 | В | 1011 |
| 12 | 14 | 001 100 | С | 1100 |
| 13 | 15 | 001 101 | D | 1101 |
| 14 | 16 | 001 110 | Е | 1110 |
| 15 | 17 | 001 111 | F | 1111 |
| 16 | 20 | 010 000 | 10 | 10000 |
В таблице
7.1 пpиведены числа
в десятичной,
восьмеpичной
и шестнадцатеpичной
системах и
соответствующие
гpуппы бит в
двоичной системе.
16-pазpядное
двоичное число
со знаковым
pазpядом можно
пpедставить
6-pазpядным восьмеpичным,
пpичем стаpший
байт в нем будет
пpинимать значения
лишь 0 или 1. В
шестнадцатеpичной
системе такое
число займет
4 pазpяда.
Пример
7.1 Получение
восьмеричных
и шестнадцатеричных
чисел
Аpифметические
опеpации над
числами в
восьмеpичной
или шестнадцатеpичной
системах пpоводятся
по тем же пpавилам,
что и в десятичной
системе. Только
надо помнить,
что если имеет
место пеpенос,
то пеpеносится
не после 10, а 8 или
16.
Таблица
7.2 дает представление
о переводе
чисел в различные
системы.
Таблица
7.2Перевод
чисел из одной
системы счисления
в другую
Двоичные числа | Восьмеричные числа | Десятичные числа | Шестнадцатеричные числа |
| 0,0001 | 0,04 | 0,0625 | 0,1 |
| 0,001 | 0,1 | 0,125 | 0,2 |
| 0,01 | 0,2 | 0,25 | 0,4 |
| 0,1 | 0,4 | 0,5 | 0,8 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 10 | 2 | 2 | 2 |
| 11 | 3 | 3 | 3 |
| 100 | 4 | 4 | 4 |
| 101 | 5 | 5 | 5 |
| 110 | 6 | 6 | 6 |
| 111 | 7 | 7 | 7 |
| 1000 | 10 | 8 | 8 |
| 1001 | 11 | 9 | 9 |
| 1010 | 12 | 10 | A |
| 1011 | 13 | 11 | B |
| 1100 | 14 | 12 | C |
| 1101 | 15 | 13 | D |
| 1110 | 16 | 14 | E |
| 1111 | 17 | 15 | F |
| 10000 | 20 | 16 | 10 |
В
СССР в 1957 г. была
построена
экспериментальная
модель ЭВМ
“Сетунь”, арифметика
которой базировалась
на троичной
системе счисления.
К сожалению,
несмотря на
ряд особенностей,
привлекших
внимание, в
машине были
реализованы
далеко не все
полезные свойства
троичного кода
и трехзначной
логики, а также
не было операций
с плавающей
запятой, для
которых преимущества
троичного кода
особенно существенны.
Список
использованной
литературы
Выгодский
М.Я. Справочник
по элементарной
математике,
М.: Государственное
издательство
технико-теоретической
литературы,
1956.Каган
Б.М. Электронные
вычислительные
машины и системы,
М.: Энергоатомиздат,
1985.Майоров
С.А., Кириллов
В.В., Приблуда
А.А., Введение
в микроЭВМ,
Л.: Машиностроение,
1988.Фомин
С.В. Системы
счисления, М.:
Наука, 1987.
Содержание:
История
развития систем
счисления.
2Двоичные
системы счисления6
Двоичная
арифметика10
Формы
представления
чисел с фиксированной
и плавающей
запятой. 13Сложение
чисел с фиксированной
запятой.
16Сложение
чисел с плавающей
запятой.
16Умножение
чисел с фиксированной
запятой.
17Умножение
чисел с плавающей
запятой.
18
9.
Прямой, обратный
и дополнительный
коды. Модифицированный
код. 20
История
развития систем
счисления.
Счисление,
нумерация, –
это совокупность
приемов представления
натуральных
чисел. В любой
системе счисления
некоторые
символы ( слова
или знаки ) служат
для обозначения
определенных
чисел, называемых
узловыми, остальные
числа ( алгоритмические
) получаются
в результате
каких – либо
операций из
узловых чисел.
Системы счисления
различаются
выбором узловых
чисел и способами
образования
алгоритмических,
а с появлением
письменных
обозначений
числовых символов
системы счисления
стали различаться
характером
числовых знаков
и принципами
их записи.
Наиболее
совершенным
принципом
представления
чисел является
позиционный
( поместный )
принцип, согласно
которому один
и тот же числовой
знак ( цифра )
имеет различные
значения в
зависимости
от места, где
он расположен.
Такая система
счисления
основывается
на том, что некоторое
число n
единиц ( основание
системы счисления
) объединяются
в одну единицу
второго разряда,
n единиц
второго разряда
объединяются
в одну единицу
третьего разряда
и т. д.
Несмотря
на кажущуюся
естественность
такой системы,
она явилась
результатом
длительного
исторического
развития.
Возникновение
десятичной
системы счисления
связывают со
счетом на пальцах.
Имелись системы
счисления и
с другим основанием:
5.
12 ( счет дюжинами
), 20 ( следы такой
системы сохранились
во французком
языке, например
quatre – vingts, т. е.
буквально
четыре – двадцать,
означает 80 ), 40, 60
и др. При вычислениях
на ЭВМ часто
применяется
система счисления
с основанием
2.
У
первобытных
народов не
существовало
развитой системы
счисления. Еще
в 19 веке у многих
племен Австралии
и Полинезии
было только
два числительных:
один и два; сочетания
их образовывали
числа: 3 -–два
– один, 4 – два
– два, 5 – два –
два – один и 6
– два – два –
два. О всех числах,
больших 6, говорили
«много», не
индивидуализируя
их. С развитием
общественно
– хозяйственной
жизни возникла
потребность
в создании
систем счисления,
которые позволяли
бы и обозначать
все большие
совокупности
предметов.
Одной из наиболее
древних систем
счисления
является египетская
иероглифическая
нумерация,
возникшая еще
за 2500 – 3000 лет до
н. э. Это была
десятичная
непозиционная
система счисления,
в которой для
записи чисел
применялся
только принцип
сложения ( числа,
выраженные
рядом стоящими
цифрами, складываются
). Специальные
знаки имелись
для единицы
▯,десяти
⋓,ста
и других десятичных
разрядов до
Аналогичными
системами
счисления были
греческая
геродианова,
римская, сирийская
и др.
Римские
цифры – традиционное
название знаковой
системы для
обозначения
чисел, основанной
на употреблении
особых символов
для десятичных
разрядов:
I V X L
C D M
1
5 10 50 100 500
1000
Возникла
около 500 до н. э.
у этрусков и
использовалась
в Древнем Риме;
иногда употребляется
и в настоящее
время. В этой
системе счисления
натуральные
числа записываются
при помощи
повторения
этих цифр. При
этом если большая
цифра стоит
перед меньшей,
то они складываются
( принцип сложения
), если же меньшая
– перед большей,
то меньшая
вычитается
из большей (
принцип вычитания
).
Например,
VI=5 1=6, IV=5-1=4
( вместо IIII
), XIX=10 10-1=19 ( вместо
XVIIII), XL=50-10=40 (
вместо XXXX ),
XXXIII=10 10 10 1 1 1=33 и т. д. Выполнение
арифметических
действий над
многозначными
числами в этой
системе весьма
неудобно.
Более
совершенными
системами
счисления
являются алфавитные:
ионийская,
славянская,
еврейская,
арабская, а
также грузинская
и армянская.
Первой алфавитной
системой счисления
была по – видимому,
ионийская,
возникшая в
греческих
колониях в
Малой Азии в
середине 5 века
до н. э. В алфавитных
системах счисления
числа от 1 до
9, а также все
десятки и сотни
обозначаются,
как правило,
последовательными
буквами алфавита
( над которыми
ставятся черточки,
чтобы отличить
записи чисел
от слов). Число
343 в ионийской
системе записывалось
так:
Цифровое
значение славянских
азбук. Так для
кириллицы:
Для
обозначения
чисел над буквами
специальный
знак
Славянские
цифры до 18 века
были основным
цифровым обозначением
в России.
В
алфавитных
системах счисления,
запись чисел
гораздо короче,
чем в предыдущих;
кроме того, над
числами, записанными
в алфавитной
нумерации,
гораздо легче
производить
арифметические
действия. Однако
в алфавитных
системах счисления
нельзя записывать
сколь угодно
большие числа.
Греки расширили
ионийскую
нумерацию:
числа 1000, 2000,…,9000 они
обозначали
теми же буквами,
что и 1,2,…,9, но ставили
штрих внизу
слева: так,
Однако
в силу отсутствия
знака для нуля,
которым можно
было бы отмечать
недостающие
разряды, запись
чисел в этой
системе счисления
не была однозначной.
Особенностью
вавилонской
системы счисления
было то, что
абсолютное
значение чисел
оставалось
неопределенным.
Другая
система счисления
основанная
на позиционном
принципе, возникла
у индейцев
майя, обитателей
полуострова
Юкатан ( Центральная
Америка) в середине
1 – го тыс. н. э. У
майя существовали
две системы
счисления:
одна, напоминающая
египетскую,
употреблялась
в повседневной
жизни, другая
– позиционная,
с основанием
20 и особым знаком
для нуля, применялась
при календарных
расчетах. Запись
в этой системе,
как и в нашей
современной,
носила абсолютный
характер.
Современная
десятичная
позиционная
система счисления
возникла на
основе нумерации,
зародившейся
не позднее 5 в.
в Индии. До этого
в Индии имелись
системы счисления,
в которых применялся
не только принцип
сложения, но
и принцип умножения
( единица какого
– нибудь разряда
умножается
на стоящее
слева число).
Аналогично
строились
старокитайская
система счисления
и некоторые
другие. Если,
например, условно
обозначить
число 3 символом
III, а число
10 символом X,
то число 30 запишется
как IIIX ( три
десятка ). Такие
системы счисления
могли служить
подходом к
мозданию десятичной
позиционной
нумерации.
Десятичная
позиционная
система дает
принципиальную
возможность
записывать
сколь угодно
большие числа.
Запись чисел
в ней компактна
и удобна для
производства
арифметических
операций. Поэтому
вскоре после
возникновения
десятичная
позиционная
система счисления
начинает
распространяться
из Индии на
Запад и Восток.
В 9 веке появляются
рукописи на
арабском языке,
в которых излагается
эта система
счисления, в
10 веке десятичная
позиционная
нумерация
доходит до
Испании, в начале
12 века она появляется
и в других странах
Европы. Новая
система счисления
получила название
арабской, потому
что в Европе
с ней познакомились
впервые по
латинским
переводам с
арабского.
Только в 16 веке
новая нумерация
получила широкое
распространение
в науке и житейском
обиходе. В России
она начинает
распространятся
в 17 веке и в самом
начале 18 в. вытесняет
алфавитную.
С введением
десятичных
дробей десятичная
позиционная
система счисления
стала универсальным
средством для
записи всех
действительных
чисел.
Двоичные
системы счисления
Системой
счисления
называется
совокупность
приемов и правил
для наименования
и обозначения
чисел. Условные
знаки, применяемые
для обозначения
чисел, называются
цифрами.
Обычно
все системы
счисления
разбивают на
два класса:
непозиционные
и позиционные.
Непозиционной
называют систему
счисления, в
которой значение
каждой цифры
в любом месте
последовательности
цифр, означающей
запись числа,
не изменяется.
Исторически
первыми системами
счисления были
именно непозиционные
системы. Одним
из основных
недостатков
является трудность
записи больших
чисел. Запись
больших чисел
в таких системах
либо очень
громоздка, либо
алфавит системы
чрезвычайно
велик.
Для
определения
значения числа
недостаточно
знания типа
и алфавита
системы счисления.
для этого необходимо
еще задание
правила, позволяющего
по значению
цифр установить
значение числа.
Например, для
определения
значения числа
945 в обычной
десятичной
системе счисления
применяется
функция десятичного
сложения, т. е.
значение числа
определяется
по значению
цифр (9 в крайней
левой позиции,
5 в крайней правой
позиции, 4 между
ними) обычным
суммированием:
значение числа
945 есть 900 40 5. В римской
нумерации число
IX
определяется
вычитанием:
значение числа
IX
есть 10-1=9.
Системы,
в которых значение
каждой цифры
зависит и от
места в последовательности
цифр при записи
числа, носят
название позиционных.
Позиционной
системой счисления
является обычная
десятичная
система счисления.
i-м
разряде десятичного
числа:
j-м
разряде двоичного
числа.
Введением
отрицательных
степеней числа
2 представляются
дробные числа.
Таким
образом, в двоичном
счислении любое
числи можно
представить
двумя числами:
0 и 1. Для представления
этих чисел в
цифровых системах
достаточно
иметь электронные
схемы, которые
могут принимать
два состояния,
четко различающиеся
значением
какой-либо
электрической
величины –
потенциала
или тока.
Одному
из значений
этой величины
соответствует
цифра 0, другому
1. Относительная
простота создания
электронных
схем с двумя
электрическими
состояниями
и привела к
тому, что двоичное
представление
чисел доминирует
в современной
цифровой технике.
Перевод
десятичного
числа в двоичный
код можно
осуществлять
путем последовательного
деления числа
на 2. Остатки (
0 или 1 ), получающиеся
на каждом шаге
деления, формируют
двоичный код
преобразуемого
числа, начиная
с его младшего
разряда. В качестве
старшего разряда
двоичного кода
записывается
1, полученная
в результате
последнего
шага деления.
Например,
преобразование
числа
Обратное
преобразование
выполняется
следующим
образом:
1 0
1 1 0 1 1
Цифровые
системы оперируют
действительными,
целыми и дробными
числами, которые
могут иметь
две формы
представления:
с плавающей
запятой, с
фиксированной
запятой.
При
использовании
плавающей
запятой число
состоит из двух
частей: мантиссы
m,
содержащейзначащие
цифры числа,
и порядка p,
показывающего
степень, в которую
надо возвести
основание числа
q, чтобы
полученное
при этом число,
умноженное
на мантиссу
, давало истинное
значение
представляемого
числа:
Мантисса
и порядок
представляются
в двоичном
коде. Обычно
число дается
в нормализованном
виде, когда его
мантисса является
правильной
дробью, причем
первая значащая
цифра ( единица
) следует непосредственно
после запятой:
например,
m=0,1010;
p=10;
q=2
При
использовании
фиксированной
запятой число
представляется
в виде единого
целого, причем
положение
запятой в
используемой
разрядной сетке
жестко фиксировано.
Обычно числа
с фиксированной
запятой даются
в виде правильной
дроби. Для этого
все числа умножают
на масштабный
коэффициент,
чтобы перевести
их в правильную
дробь.
Цифровые
системы, использующие
числа с плавающей
запятой, сложнее
систем, использующих
числа с фиксированной
запятой, так
как при этом
требуется
выполнение
операций как
над мантиссами,
так и над порядками.
Однако диапазон
представляемых
чисел при одинаковом
числе разрядов
в системах с
плавающей
запятой значительно
больше.
Для
представления
знака числа
используется
знаковый разряд
z,
который обычно
располагается
перед числовыми
разрядами. Для
положительных
чисел значение
знакового
разряда z=0,
для отрицательных
чисел z=1.
Для чисел с
плавающей
запятой вводятся
отдельные
знаковые разряды
для мантиссы
и для порядка
чисел.
Для
представления
числе со знаком
в цифровых
системах используется
обратный1
или дополнительный2
код (таб. 1.). При
этом положительные
числа представляются
в обычном двоичном
коде. Обратный
код отрицательного
числа
Особенность
кода Грея в
том , что при
переходе к
каждому последующему
числу в коде
изменяется
значение только
одного двоичного
разряда. При
этом двухразрядные
числа образуют
циклическую
последовательность
00-01-11-10 (0-1-2-3), трехразрядные
– последовательность
000-001-011-010-110-111-101-100-000 (0-1-2-3-4-5-6-7-0) и т.д.
Таблица
1. Наиболее
распространенные
двоичные коды
от 0 до 15
Перевод
десятичных
чисел в двоичный
код требует
использования
достаточно
сложных схем
преобразователей
и занимает
относительно
долгое время.
Более просто
и быстро осуществляется
перевод десятичных
чисел в двоично-десятичный
код. При этом
цифра в каждом
разряде десятичного
числа заменяется
соответствующим
четырехразрядным
двоичным числом
(тетрадой) согласно
таб. 2
Таблица
2.
Наиболее
распространенные
двоично-десятичные
коды чисел от
0 до 9
Например,
число
Двоичная
арифметика.
Мы
будем рассматривать
двоичную систему
счисления с
цифрами 0,1. Именно
эта система
счисления
получила широкое
применение
в вычислительных
машинах. Начало
исследования
этой системы
относится к
XVI
веку. Удобство
и простоту
выполнения
арифметических
операций в
двоичной системе
счисления
отмечали еще
Б. Паскаль, Г.
Лейбниц и др.
Рассмотрим
правила выполнения
арифметических
операций с
двоичными
числами.
СЛОЖЕНИЕ.
Для того чтобы
выполнить
сложение двух
чисел, записанных
в двоичной
системе счисления,
достаточно
знать простейшую
таблицу сложения:
0 0=0
0 1=1
1 0=1
1 1=10
Последняя
сумма представляет
собой двузначное
число. Это следует
понимать как
перенос одной
двоичной единицы
в соседний
старший разряд.
Это можно записать
так:
1 1=0 перенос
единицы в соседний
старший разряд.
Пример:
Сложить двоичные
числа
Правила
арифметики
во всех позиционных
системах счисления
аналогичны.
Для выполнения
сложения запишем
числа столбиком
так, чтобы
соответствующие
разряды чисел
оказались друг
под другом.
Имеем
110,1011
1
10001,00011
– поразрядная
сумма без учета
переносов
11100,01011
– поразрядная
сумма без учета
повторных
переносов
11110,01011
– окончательная
сумма.
Сложение
нескольких
чисел вызывает
некоторые
трудности, так
как в результате
поразрядного
сложения могут
получится
переносы, превышающие
единицу. В таких
случаях приходится
учитывать
переносы не
только в соседней,
но и другие
старшие разряды.
ВЫЧИТАНИЕ.
Таблица вычитания
имеет вид
0-0=0
1-0=1
1-1=0
10-1=1
Вычитание
в двоичной
системе выполняется
аналогично
вычитанию в
десятичной
системе счисления.
При необходимости,
когда в некотором
разряде приходится
вычитать единицу
из нуля, занимается
единица из
следующего
старшего разряда.
Если в следующем
разряде нуль,
то заем делается
в ближайшем
старшем разряде,
в котором стоит
единица.
Пример.
Вычесть их
11010,1011
–
1101,00111
УМНОЖЕНИЕ.
Умножение двух
двоичных чисел
выполняется
так же, как и
умножение
десятичных.
Сначала получаются
частичные
произведения
и затем их суммируют
с учетом веса
соответствующего
разряда множителя.
Отличительной
особенностью
умножения в
двоичной системе
счисления
является его
простота,
обусловленная
простотой
таблицы умножения.
В соответствии
с ней, каждое
частичное
произведение
или равно нулю,
если в соответствующем
разряде множителя
стоит нуль, или
равно множимому,
сдвинутому
на соответствующее
число разрядов,
если в соответствующем
разряде множителя
стоит единица.
Таким образом,
операция умножения
в двоичной
системе сводится
к операциям
сдвига и сложения.
Умножение
производится,
начиная с младшего
или старшего
разряда множителя,
что и определяет
направление
сдвига. Если
сомножители
имеют дробные
части, то положение
запятой в
произведении
определяется
по тем же правилам,
что и для десятичных
чисел.
Пример.
Перемножить
двоичные числа
1011101
*1001101
1
0000000
1011101
1011101
0000000
0000000
1101111111001
Искомый
результат:
110111,1111001
Тот
же результат
получим, начиная
умножение со
старших разрядов
множителя:
1011101
*1001101
1
1011101
1011101
1011101
1101111111001
ДЕЛЕНИЕ.
Деление чисел
в двоичной
системе производится
аналогично
делению десятичных
чисел. Рассмотрим
деление двух
целых чисел,
так как делимое
и делитель
всегда могут
быть приведены
к такому виду
путем перениесения
запятой в делимом
и делителе на
одиноаковое
число разрядов
и дописывания
неоюходимых
нулей.
Деление
начинается
с того, что от
делимого слева
отделяется
минимальная
группа разрядов,
которая, рассматриваемая
как число, превышает
или равна делителю.
Дальнейшие
действия выполняются
по обычным
правилам, прием
последняя целая
цифра частного
получается
тогда, когда
все цифры делимого
исчерпаны.
Пример.
Разделить
100100
11010
Остаток
1100
Пример.
Разделить
10001111 11010
100111
11011
00000
Искомый
результат 101,1
Таким
образов, выполнение
арифметических
операций в
двоичной системе
счисления
достаточно
просто. Особенно
просто выполнять
операции сложения,
вычитания и
умножения.
Благодоря
этому, применение
двоичной системы
в вычислительных
машинах позволяет
упростить схемы
устройств, в
которых осуществляются
операции над
числами.
Формы
представления
чисел с
фиксированной
и плавающей
запятой.
При
представлении
числа в двоичном
коде с цифрами
0,1 в каждом разряде
записываются
цифры 0 или 1. Так
как в ЦВМ «запись»
числа осуществляется
с помощью технических
устройств, то
для представления
его в такой
форме необходимо
располагать
устройствами
с двумя надежно
различными
состояниями,
которым могут
быть сопоставлены
значения 0 или
1.
В качестве
таких устройств,
могут быть
использованы
триггеры. Набор
триггеров,
предназначенных
для представления
чисел в ЦВМ, а
также для выполнения
над ними некоторых
логических
преобразований,
называется
регистром.
Разумеется,
число разрядов,
отведенное
для записи
числа, соответствующее
числу триггеров,
в ЦВМ всегда
конечно.
Выбор
количества
разрядов для
представления
чисел в ЦВМ
является одним
из самых ответственных
этапов конструирования
вычислительной
машины и обуславливается
целым рядом
требований,
среди которых
одно из важнейших
– необходимая
точность вычислений.
В ЦВМ
используют
две формы
представления
чисел: естественную
и полулогарифмическую.
Числа
с фиксированной
запятой.
Числа
с фиксированной
запятой. При
этой форме
обычно запятая,
отделяющая
целую часть
числа от ее
дробной части,
фиксируется
перед старшим
разрядом модуля
числа.
Разряды
модуля числа
Знаковый
разряд
Место
запятой
Таким
образом, значение
модуля числа
всегда оказывается
меньше единицы.
Это условие
путем выбора
определенных
масштабных
коэффициентов
должно выполнятся
для исходных
данных задачи
и всех промежуточных
результатов
вычислений.
При
занесении числа
в ячейку памяти
свободные
младшие разряды
заполняются
нулями, а если
число значащих
разрядов модуля
больше n –
1, то младшие
разряды модуля,
которые не
поместились
в разрядной
сетке, теряются.
Это приводит
к погрешности,
значение которой
меньше единицы
младшего разряда
разрядной
сетки, т. е.
Если
число имеет
целую часть,
то для ее хранения
в разрядной
сетке места
нет, она теряется,
число в разрядной
сетке оказывается
ошибочным.
Достоинство
представления
чисел в форме
с фиксированной
запятой состоит
в простоте
выполнения
арифметических
операций.
Недостатки
– в необходимости
выбора масштабных
коэффициентов
и в низкой точности
представления
с малыми значениями
модуля ( нули
в старших разрядах
модуля приводит
к уменьшению
количества
разрядов, занимаемых
значащей частью
модуля числа
).
Числа
с плавающей
запятой.
Для
научно – технических
расчетов необходимо
представлять
числа в широком
диапазоны и
с достаточно
большой точностью.
Указанным
требованиям
отвечают числа
с плавающей
запятой.
m
m – 1
1 p p – 1
1
Знак
Модуль
мантиссы
Знак Модуль
порядка
числа
порядка
Число
состоит из
мантиссы, старший
разряд которой
определяет
знак числа, и
порядка со
знаком. Значение
модуля мантиссы
представляется
двоичным дробным
числом, т. е. запятая
фиксируется
перед старшим
разрядом модуля
мантиссы, порядок
представляется
целым числом.
Порядок указывает
действительное
положение
запятой в числе.
Код в приведенном
формате представляет
значение числа
в полулогарифмической
форме:
Нормализованные
двоичные числа
с плавающей
запятой представляют
значения модуля
в диапазоне
где
Рассмотрим
погрешность
представления
чисел с плавающей
запятой. Абсолютная
погрешность
числа
Предельная
относительная
погрешность
– отношение
абсолютной
погрешности
к числу при
минимальном
значении модуля
мантиссы
нормализованного
числа.
Отсюда
видно, что точность
представления
чисел определяется
количеством
разрядов, отводимых
в разрядной
сетке под мантиссу.
В современных
ЭВМ числа с
плавающей
запятой имеют
основания
системы счисления
16 и представляются
в двух форматах:
коротком ( с
числом разрядов
32 ) и длинном ( с
числом разрядов
64 ). Длинный формат
предусматривает
увеличения
количества
разрядов, отводимых
в разрядной
сетке под мантиссу,
за счет чего
повышается
точность
представления
чисел.
