Методология планирования и реализация эксперимента в обработке средств данных excel
А такая характеристика как, например, склонность к принятию алкоголя может, по мнению эксперта, находиться в диапазоне – Min-0,4, Max-0,6 так, как это, например, показано в таблице, где Min-0,4, Max-0,6 – это вероятностные границы, в которых, по мнению эксперта, может находиться эта оценка. Естественно, вероятностная оценка не может быть ниже нуля и выше единицы. Также по каждой психиатрической характеристике эксперт оценивает, какое, по его мнению, влияние (в процентах) она оказывает на психическое состояние больного (см. столбец 6 табл. 1), где, для примера, приведены гипотетические, экспертные значения по названным психиатрическим характеристикам, идентифицирующим психическое состояние больного на конкретный момент времени.
Эксперт, отвечая на вопросы данной программы, не должен обсуждать с другими экспертами диапазоны существования и значимость предлагаемых для оценки характеристик, поскольку ценность представляют именно индивидуальные оценки, генерируемые каждым экспертом. После получения от экспертов ответов на вопросы программы оценки, данные ими по каждой характеристике, усредняются и средние оценки вводятся в соответствующую графу таблицы. Эксперт может добавить в таблицу новую характеристику или несколько характеристик, которые,по его мнению, должны быть в нее дополнительно включены с соответствующими им оценками. После чего вновь включенные характеристики предъявляются остальным экспертам для дальнейшего их включения с соответствующими оценками. После получения от экспертов ответов на вопросы программы оценки данные по каждой характеристике усредняются и средние оценки вводятся в соответствующую графу таблицы.
Окончательный вариант оценок вводится в пакет «Психиатрия» и результаты его работы представляются пользователю в виде вероятностных оценок психических заболеваний и рекомендаций по их лечению, что будет показано в статье, публикуемой в следующем номере данного сборника.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА:
1. Дубров Ю. И., Фролов В. В., Вахнин А. Н. Учет влияния неуправляемых факторов при анализе и синтезе критерия функционирования сложных систем / Экономика и математические методы. – АН СССР, 1986, №1 – С. 165-170.
2. Дубров Ю. И., Тарханов В. К., Путилов В. М., Вахнин А. Н. Гос. ФАП СССР № 50870000766 ППП «Метод выбора системы управления объектом с заданными свойствами» (ППП «Модель-состав»), 1987.
3. Дубров Ю. И., Путилов В. М., Тарханов В. К. Об одном методе повышения согласованности экспертной оценки / В кн.: Промышленная информатика: методология, средства и системы. Пермь: НПО «Парма», 1988. – С. 38-45.
4. Капица С. П., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г. Синергетика и прогнозы будущего. -М.: Эдиториал УРСС, 2001. – 288 с.
5. Управление риском. Риск. Устойчивое развитие. Синергетика // URL: http://www.keldysh.ru/papers/2003/source/book/gmalin/gl11.htm
УДК 519.242:519.233.5:519.254
МЕТОДИКА ПЛАНИРОВАНИЯ И ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА ПРИ ОБРАБОТКЕ ДАННЫХ СРЕДСТВАМИ EXCEL
Н. М. Ершова, д. т. н., проф.
Проблема. Несмотря на то, что эффективность методов планирования эксперимента, особенно при решении прикладных задач, была не раз доказана, идеи многофакторного эксперимента очень медленно внедряются в инженерную практику. Причины этого: сложность организации проведения эксперимента; параметры исследуемых систем носят сложный динамический характер и подвержены существенным влияниям изменений условий внешней среды; кажущаяся сложность матрицы планирования и расчетов отпугивает исследователей с
недостаточной математической подготовкой; многие руководства по применению многофакторного эксперимента написаны на недоступном для инженеров уровне, учитывая подготовку по математической статистике в технических вузах.
В приложении Excel имеется пакет анализа, надстройка «Поиск решения», мастер функций и другие средства, значительно облегчающие и ускоряющие процесс обработки данных эксперимента. Кроме того, упрощается методика планирования и проведения эксперимента.
Цель работы. Ознакомить магистров, аспирантов, преподавателей и специалистов в области планирования эксперимента с методикой планирования и проведения эксперимента при обработке данных средствами Excel.
Технологию обработки данных эксперимента рассмотрим на конкретном примере.
Пример 1 [4]. Выполнить корреляционно-регрессионный анализ следующих признаков:
y – прочность на сжатие бетона в возрасте 28 суток; 1 – цементо/водное (Ц/В) отношение
бетона М200-М400;
12
R
– активность цемента
Qo
ц
МПа;
13
модуль крупности
Мкр . х4
содержание отмучиваемых примесеи
Определить прогнозируемые значения прочности бетона на сжатие. Кроме того, получить модель регрессии фактора Ц/В. В таблице 1 приведены уровни и интервал изменения факторов.
Условия планирования эксперимента
Таблица 1
В таблице 2 представлены: результаты измерения прочности трех образцов бетона в
каждой точке плана; среднее значение прочности, полученное в эксперименте рассчитанное по уравнению регрессии Л .
lcp
8
9
10 11 12
13
14
15
16
17
18
19
20 21 22
23
24
х1
Матрица планирования экспериментов
х2
Е
Матрица планирования
хЗ
х4
у1
44.2
4а
42
46
31.8
35
29.6
32
20,6
22,5
20.3
21,2
12.9
13,7
11
12
У2
уЗ
43
49,6
39,6
44
32
34
31
33
22
21
19,6
19
11
13
10,4
11
43,6
47,5
41,1
44,2
32,8
35,4
30,6
31,9
20,7
21,9
13,4
20,7
11,8
11,1
9,8
10,3
Yep
43,6
43,7
40,9
44,4
32,2
34,8
30,4
32,3
21,1
21,8
19,6
20,3
11,9
12,6
10,4
11,1
Yx
43,7938
46,7813
41,6313
43,6133
33,2063
35,1938
31,0438
33,0313
21,4313
23,4688
19,3133
21,3063
10,8938
12,8813
8,73125
10,7188
Таблица 2
Проверим воспроизводимость опытов и адекватность уравнения регрессии по первым четырем опытам. Для этой цели используем инструмент Однофакторный дисперсионный анализ пакета анализа (рис. 1). Устанавливаем курсор на свободную от информации ячейку,
и
входим в меню Сервис и выбираем операцию Анализ данных (если такой операции нет, то выбираем Надстройки и загружаем Пакет анализа). В диалоговом окне Анализ данных выбираем инструмент Однофакторный дисперсионный анализ. Выходная информация представлена в таблице 3.
^тах < ; F < ¥-,
Проверка выборок по критериям показывает, что р р . Следовательно,
выборки отклика однородны (можно проводить опыты) и модель линейной регрессии адекватна.
Рис. 1. Диалоговое окно инструмента Однофакторный дисперсионный анализ
Таблица 3
Дисперсионный анализ воспроизводимости опытов и адекватности уравнения регрессии
А В С 0 Е Г О
51 Однофакторный дисперсионный анализ
52
53 ИТОГИ
54 Группы Сумма Среднее Шсперсиа
55 у1 4 180,2 45,05 8,543333 ах а^а
56 У2 4 176,2 44,05 17,23667 0,52679299 0,05
57 уЗ 4 176,4 44,1 6,94 Окр
58 32,72 0,7977
59
ео Дисперсионный анализ
51 Уточник вэриэции М Р Р-Знэчение Р критическое
52 Между группами 2,54 2 1.27 0,116443 0,39140046 4,256404729
63 Внутри групп 98,16 9 10,9067
64
65 Итого 100,7 11
Так как последовательность расположения строк в матрице планирования не влияет на значения параметров модели регрессии, то дальнейшие опыты следует проводить в установленном матрицей планирования порядке (без использования таблицы случайных чисел).
Выходная информация инструмента Регрессия пакета анализа приведена в таблице 4.
В качестве значений отклика использованы средние значения прочности бетона СР .
Общий вид модели многомерной линейной регрессии для кодированных факторов имеет
вид:
7х = 60 *1X 62Х 2 63 Х 3 64Х 4,
(1)
В ячейках К46:К50 выходной информации находятся значения коэффициентов уравнения регрессии. Следовательно, сразу можно записать полученную модель многомерной линейной регрессии:
Ух = 27,256 11,156Х1 5,293X2 1,081Х3 – 0,994X4.
№ 2 лютий 2009 року Таблица 4
Выходная информация инструмента Регрессия
J К I. М Н О Р
30 ВЫВОД итогов
31
32 Регрессионная статистика аКа
33 Множественный Р 0,996 0,05
34 Р- квадрат 0,002 Ркр
35 Нормированный Р-к 0,9891 3,35669002
36 Стандартная ошибк 1,3437 1кр
37 Наблюдения 16 2,20098516
38
39 Дисперсионный анализ
40 М Р З^зчимоста Р
41 Регрессия 4 2474 618,569375 342,57909 1,8461 Е-11
42 Остаток 11 19,9 1,805625
43 Итого 15 2404
44
45 йозффициеютная статистика Р-Значение Нижние Э5% Верхние 9596
46 У-пересечение 27,256 0,34 31,1357613 1,242 Е-16 26,5160645 27,9956355
47 х1 11,156 0,34 33,2096615 2.204Е-12 10,4168645 11,8056355
48 5,2938 0,34 15,75831 6.774Е-09 4,55436455 6,03313545
40 хЗ 1,0313 0,34 3,21863947 0,0081780 0,34186455 1,82063546
50 х4 -0,004 0,34 -2,05817153 0,0130178 -1,7331355 -0,25436465
Выполним анализ качества полученной модели регрессии: 2
Л = 0 992
• _ ‘ ‘ следовательно, 99,2 % дисперсии значений прочности объясняется влиянием факторов;
• расчетное значение критерия Фишера Р = 342,579. Критическое значение критерия
т. = 4; т2 = 11;« = 0,05; Р, = 3,356> Фишера при Р Следовательно, уравнение регрессии в
целом статистически значимо, т. е. имеется хорошее соответствие данным эксперимента;
• Критическое значение ^ – статистики при уровне значимости
а = 0,05 ; т = т2 = 11 t^ = 2,2. Ь ■
Р Для всех параметров 3 модели регрессии
расчетное значение ^ – статистики больше критического значения, т. е. все параметры модели
Р Р
регрессии статистически значимы. Об этом же свидетельствуют: – значения ( < 0,05) и границы доверительного интервала (нижние 95 % и верхние 95 %) этих параметров.
Следовательно, нулевая гипотеза о том, что параметры 3 модели регрессии могут принимать нулевые значения, отвергается;
• коэффициент множественной корреляции равен 0,996.
Так как уравнение и параметры модели регрессии статистически значимы, то модель регрессии можно использовать для прогнозирования.
Если в матрице планирования таблицы 2 вместо « 1» записать значения верхних уровней факторов, а вместо «-1» – значения нижних уровней факторов, то получим матрицу планирования (таблица 5) в натуральных значениях факторов.
Переход от модели регрессии в кодированных переменных к модели регрессии в натуральных переменных осуществляется по формулам:
к
а■ = Ь■ / Ах■, 3 = 1,2,…,к; ^ = Ь0 – 1= Ь^х ■ 0 / А^
3=1 , (2) Ь х 30
где ■> – параметр модели регрессии в кодированном виде; ■> – нулевой уровень фактора;
Ах ■
■! – интервал изменения фактора. Результаты расчета приведены в таблице 6, выходная информация инструмента Регрессия для факторов в натуральном виде – в таблице 7.
Матрица планирования в натуральном виде
Т и V № X У
2 х1 х2 хЗ х4 Уср Ух
3 2.6 51,3 3 5 43,6 43,8125
4 2.6 51,8 3 1 48,7 45,7875
5 2,6 51,8 1,4 5 40,9 41,6375
6 2.6 51,8 1.4 1 44,4 43,6125
7 2.6 38,8 3 5 32,2 33,2125
8 2,6 38,8 3 1 34,8 35,1875
9 2.6 33,8 1.4 5 30,4 31,0375
10 2,6 38,0 1.4 1 32,3 33,0125
11 1.4 51,8 3 5 21,2 21,5125
12 1.4 51,8 3 1 21,8 23,4875
13 1.4 51,8 1.4 5 19,6 19,3375
14 1,4 51,8 1,4 1 20,3 21,3125
15 1.4 38,0 3 5 11,9 10,9125
10 1.4 38,0 3 1 12,6 12,8875
17 1,4 38,8 1,4 5 10,4 8,7375
15 1.4 38,8 1.4 1 11,1 10,7125
Таблица 6
Расчет параметров
а
Ух=27,25625 11,15625Сх1 -х1 ср)/() 1 5,2
переход к натуральным факторам
а0= -48,307
а1 = 18,5938
а2= 0.81442
аЗ= 1.35156
а4= -0,4969
Таблица 7
Выходная информация инструмента Регрессия
А В С 0 Е Г е
1 ВЫВОД ИТОГОВ
2
3 Регрессионная статистика
4 Множественный Р 0,996022
5 Р-к&адрат 0,992061
6 Нормированный Р- 0,989173
7 Стандартная сшиб 1,341387
8 Наблюдения 16
9
10 Дисперсионный анализ
11 о// 1И5 Р ^
12 Регрессия 4 2473 618,28125 343,61974 1.815Е-11
13 Остаток 11 19,79 1,799318182
14 Итого 15 2493
15
16 Ноэффициеньотная ^-статистика Р-Значение Нижние Э5% Верхние Э5%
17 У-пересечение -43,3505 2,816 -17,1724094 2.724Е-09 -54,547537 -42,1533929
18 х1 18,58333 0,559 33,24917505 2,176 Е-12 17,353178 19,81348839
19 х2 0,815385 0,052 15,80454061 6.568Е-09 0,7018318 0,92893739
20 хЗ 1,359375 0,419 3,242912814 0,0078333 0,4367587 2,281991293
21 х4 -0,49375 0,168 -2,94471393 0,0133349 -0,8627965 -0,12470348
Сравнивая значения параметров модели регрессии в таблицах 6 и 7, отмечаем их идентичность. Результаты расчета среднего значения прочности по различным уравнениям регрессии (таблицы 2 и 5) совпадают.
Значения факторов, обеспечивающих максимальное значение прочности бетона на сжатие, получены с помощью надстройки «Поиск решения» по линейным моделям регрессии и приведены в таблицах 8 и 9.
Оптимальные значения факторов линейной модели регрессии соответствуют второй точке плана экспериментов, а значение прочности совпадает с точечным прогнозом для этой точки
?х 45,78 МПа (таблицы 2 и 5).
Как и следовало ожидать, для линейной модели регрессии точка оптимального плана расположена в вершине многогранника множества допустимых решений х^ = 2,6; Х2 = 51,8; х^ = 3; Х4 = 1
Таблица 8
Результаты оптимизации (линейная модель регрессии, факторы кодированные)
К V. М N О
17 Х0 х1 хЗ х4
10 1 1 1 1 -1
19 ЬО М Ь2 ЬЗ Ь4
20 27,256 11,1563 5,29375 1,08125 -0,9937
21 значение целевой функции
22 45,7813
23 х1 п х2п хЗп х4п
24 -1 -1 -1 -1
25 х1 V у2и хЗи Х4¥
26 1 1 1 1
Таблица 9
Результаты оптимизации линейной модели регрессии
X У г АА АБ
20 *0 х1 х2 хЗ х4
21 1 2,6 51,8 3 1
22 аО а1 а2 аЗ а4
23 -48,35 18,5833 0,8154 1,3594 -0,494
24 значение целевой функции
25 45,788
26 х1 п у2п хЗп х4п
27 1.4 38,8 1.4 1
28 х1 V Х2 ¥ хЗ¥ Х4У
29 2,6 51,0 3 5
Как видно из таблиц 8 и 9, результаты оптимизации не зависят от вида представления факторов. Следовательно, при проведении корреляционно-регрессионного анализа результатов эксперимента можно использовать оба вида представления модели регрессии, но удобнее отказаться от кодирования факторов.
Общий вид нелинейной модели регрессии в кодированных переменных:
— 2 2 2
Ух = Ь Ь х Ь х* Ь х^ Ь х, Ь х Ь х Ь х х 0 11 2 2 3 3 4 4 11 1 22 2 33 3
2
Ь х Ь х х Ь х х Ь х х Ь х х Ь х х Ь х х .
44 4 12 1 2 13 1 3 14 1 4 23 2 3 24 2 4 34 3 4 (3)
Выходная информация инструмента Регрессия для нелинейной модели регрессии представлена в таблице 10.
Параметры модели оказались равными нулю, а параметры 13, 23, 24, 34
статистически незначимы (р -значение > 0,05).
В таблице 11 приведены значения остальных параметров и результаты оптимизации по нелинейной модели регрессии.
Нелинейная модель регрессии не изменила точку оптимального плана. Значение прочности находится в границах интервального прогноза для этой точки (последняя строчка таблицы 14).
Следовательно, оптимальное решение получено на линейной модели регрессии. Нелинейную модель регрессии строить нецелесообразно, так как оптимальное решение определяется границами изменения факторов.
Последовательность проведения корреляционно-регрессионного анализа данных эксперимента рассмотрим на матрице планирования с натуральными значениями факторов.
Выходная информация инструмента Регрессия нелинейной модели
А В С С Е
1 ВЫВОД ИТОГОВ
2
3 Регрессионная стэтиояикэ
4 Множественный Р 0,99901
5 Р-квадрат 0,99922
6 Нормированный Р-( 0,19767
7 Стандартная ошибк 0,6226
3 Наблюдения 16
9
10 Дисперсионный анализ
11 Р
12 Регрессия 14 2492 178,014375 642,94131
13 Остаток 5 1,94 0,387625
14 Итого 19 2494
15
10 Коэффициен ■>тная Статистика Р-Значение
17 У-пересечение 27,2503 0,10 175,1137323 1.152Е-10
18 х1 11,1503 0,16 71,67576543 1,001 Е-08
19 х2 5,29375 0,16 34,0108534 4.132Е-07
20 хЗ 1,08125 0,16 6,946726846 0,0009495
21 х4 -0,9937 0,10 -0,384563979 0,0013956
22 х1Л2 0 0 65535 ¡СЧИСЛО!
23 х2л2 0 0 65535 ¡ечисло!
24 хЗл2 0 0 65535 # ЧИСЛО!
25 х4*2 0 0 65535 ¡ечисло!
26 х1х2 0,69375 0,16 4,457143438 0,006658
27 х1хЗ 0,33125 0,10 2,128187993 0,0866026
28 х1″х4 -0,6438 0,16 -4,135912515 0,0090329
29 х2хЗ 0,16375 0,16 1,084171242 0,3277703
30 х2″х4 -0,2563 0,16 -1,646334108 0,1006129
31 хЗ”х4 -0,1438 0,16 -0,92355328 0,3980986
Таблица 11
Нелинейная модель оптимизации
В£> ВЕ ВР ВО ВН В1 BJ вк
1 хО х1 хЗ х4 х1*х2 х1*х4
2 1 1 1 1 -1 1 -1
3 ьо М Ь2 ьз Ь4 М2 Ы4
4 27,2563 11,1563 5,29375 1,08125 -0,9937 0,69375 -0,6438
5 значение целевой функции
6 47,1188
7 х1 п х2п хЗп х4п XIV хЗ¥ х4¥
8 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1
Проверка соответствия отклика нормальному закону распределения. По условиям планирования эксперимента отклик должен подчиняться нормальному закону распределения. Основой для выдвижения гипотезы о том, что случайная величина подчиняется нормальному закону распределения, может быть внешний вид гистограммы и значения численных характеристик. Если близки по значению оценки выборочного среднего, моды и медианы, а оценки асимметричности и эксцесса незначительно отличаются от нуля, то случайная величина подчиняется нормальному закону распределения.
Гистограмма строится для отклика с помощью инструмента «Гистограмма» пакета анализа.
Диалоговое окно «Гистограмма» приведено на рисунке 2. Гистограмму (рис. 3) следует располагать на рабочем листе ЭТ с исходной информацией.
Рис. 2. Окно диалога инструмента Гистограмма
Рис. 3. Гистограмма
Значения численных характеристик для всех исследуемых признаков определяются с помощью инструмента «Описательная статистика» пакета анализа. Для вызова диалогового
окна (рис. 4) следует выполнить последовательность операций Сервис данных ^ Описательная статистика.
Анализ
Рис. 4. Окно диалога инструмента Описательная статистика Результаты статистической обработки выборки представлены в таблице 12.
Статистическая обработка выборки
х1 х2 хЗ хА Уср
Среднее 2 Среднее 46,3 Среднее 2,2 Среднее 3 Среднее 27,2625
Стандари 0,15402 Стандарп 1,67829 Стан дари 0,20656 Стандарч 0,5164 Стандари 3,22291
Медиана 2 Медиана 46,3 Медиана 2,2 Ме диана 3 Медиана 26,1
Мода 2,6 Мода 51,8 Мода 3 Мода 5 Мода #н/д
Стандарп 0,61968 Стандарп 6,71317 Стан да рп 0,82624 Стандарп 2,06559 Стандарп 12,8916
Дисперс 0,384 Дисперс 45,0667 Дисперс 0,68267 Дисперс 4,26667 Ди с п е р с 166,195
Эксцесс -2,3077 Эксцесс -2,3077 Эксцесс -2,3077 Эксцесс -2,3077 Эксцесс -1,3031
Асиммет 3.7Е-15 Асиммет 3.6Е-15 Асиммет 2.6Е-15 Асиммет 0 Асиммет 0,19635
Интервал 1.2 Интерваг 13 Интерваг 1.6 Интерваг 4 Интерваг 38,3
Минимум 1.4 Минимум 38,8 Минимум 1.4 Минимум 1 Минимум 10,4
Максиму 2,6 Максиму 51,8 Максиму 3 Максиму 5 Максиму 48,7
Сумма 32 Сумма 724,8 Сумма 35,2 Сумма 48 Сумма 436,2
Счет 16 Счет 16 Счет 16 Счет 16 Счет 16
По внешнему виду гистограммы и численным характеристикам можно предположить, что прочность бетона на сжатие подчиняется нормальному закону распределения.
Корреляционный анализ данных эксперимента. Парная корреляция – это связь между двумя признаками, один из которых фактор, а другой – отклик или оба фактора.
Коэффициент парной корреляции характеризует тесноту связи между признаками X и У в случае линейной зависимости. Оценкой теоретического коэффициента парной корреляции
является выборочный коэффициент парной корреляции ху, который обладает свойствами коэффициента корреляции. Коэффициент множественной (многомерной) корреляции характеризует тесноту связи отклика с совокупностью факторов.
Инструмент “Корреляция” пакета анализа (рис. 5) позволяет вычислить корреляционную матрицу (таблица 13), содержащую коэффициенты парной корреляции многомерной выборки.
Рис.5. Окно диалога инструмента Корреляция Матрица коэффициентов парной корреляции
х1 х2 хЗ х.4 Уср
х1 1
Х2 -1Е-17 1
хЗ □ -4Е-17 1
х4 □ 0 0 1
Уср 0,39327 0,4246 0,08712 -0,0791 1
Таблица 13
Как видно из таблицы 13, все коэффициенты парной корреляции между факторами равны нулю, т.е. факторы независимы между собой. Между фактором Ц/В и прочностью бетона наблюдается сильная корреляционная связь, связь прочности бетона с активностью цемента заметная, а с модулем крупности и содержанием отмучиваемых примесей слабая.
Регрессионный анализ данных эксперимента. Задачи регрессионного анализа: построение математической модели регрессии в виде зависимости среднего значения отклика от факторов; оценка параметров модели регрессии и установление ее соответствия выборочным наблюдениям (оценка качества модели регрессии); определение точечных и интервальных прогнозов отклика.
Математическая модель многомерной линейной регрессии прочности бетона на сжатие имеет общий вид:
Y = ап алхл a.x. a^x-, aAxA, x 0 11 22 33 4 4′ (4)
где 0, 1, , 4 – неизвестные параметры модели регрессии. Оптимальные значения этих параметров определяем на основе метода наименьших квадратов, математическая запись которого:
16 2 S(а0,ai,а2,а^,а4) = 2 ^ а^у а2X2j азx^. а4x- y.) ^ min.
Конкретные значения параметров модели регрессии и расчетные значения критериев качества определяем с помощью инструмента Регрессия пакета анализа (рис. 6).
Диалоговое окно инструмента Регрессия появится после выполнения последовательности
операций Сервис Анализ данных Регрессия.
Рис. 6. Диалоговое окно инструмента Регрессия
Выходная информация инструмента Регрессия приведена в таблице 7. Следовательно, модель многомерной линейной регрессии имеет вид:
Ух =-48,35 18,583х1 0,815х2 1,359х3 – 0,493х4.
Оценка качества модели регрессии аналогична ранее приведенной оценке для модели регрессии в кодированных переменных.
Прогнозирование на основе уравнения регрессии. Точечный прогноз получают путем подстановки в уравнение регрессии значений факторов. В выходной информации инструмента
Регрессия выдается точечный прогноз значений отклика ^х для всех опытных точек.
Значения отдельных данных наблюдений рассеиваются вокруг средних значений, поэтому фактические значения отклика не будут совпадать с расчетными (прогнозами). Для каждого прогнозируемого точечного значения отклика необходимо определять доверительный интервал
^ У ^ °0*Р,
(интервальный прогноз) по соотношениям:
0 kp
0 kp-
где
1kp
критическое значение ^ -статистики. Оценим влияние фактора 1 на среднее значение прочности бетона на сжатие на основе полученной модели регрессии. Точечный прогноз
х, = 2,6; х2 = 51,8; х3 = 1,4; х4 = 1 прочности для 4-й точки плана эксперимента ( 1 2 3 4 таблица 5)
У = 43,6188. х.
равен х Изменим значение 1 на 15 % в обе стороны и для этих значений
получим точечный и интервальный прогнозы. Для построения интервального прогноза
(к = 2,2
принимаем р , из выходной информации инструмента «Регрессия» выбираем
а0 = 1,3413
стандартную ошибку вычисления прочности 0
и выполняем расчет в таблице 14.
Таблица 14
Результаты прогнозирования
‘^нЦа Ух Ухп Уху
Ух= 43,613 2,952372139 40,660128 46,56487214
Ух1 = 36,365 2,952372139 33,412628 39,31737214
Ух2= 50,86 2,952372139 47,907628 53,81237214
Ух= 45,783 2,952372139 42,835128 48,73987214
Результаты расчета показывают, что с вероятностью 95 % истинное значение прочности бетона на сжатие должно находиться в полученных границах доверительных интервалов.
у = 44 4
Фактическое значение прочности, полученное в четвертой точке плана * ‘ МПа. Следовательно, экспериментальное значение прочности находится в границах доверительного интервала.
х1
Среднее значение прочности тесно связано с фактором Ц/В: при уменьшении значения 1
прочность уменьшается, при увеличении значения х1 – увеличивается, причем уменьшение на прочность уменьшается, при увеличении значения – увеличивается, причем уменьшение на
У ^х,
15 % должно уменьшить значение х на величину, равную 0,15 1=0,15* 18,583*2,6=7,2475.
Ух – У л Уг? – у
На самом деле х1 = 7,2475 и х = 7,2475. В последней строке таблицы 14 выполнен
расчет интервального прогноза для второй точки плана (точка оптимального плана). В таблице 15 представлена выходная информация для построения линейной модели регрессии фактора Ц/В.
Таблица 15
Выходная информация модели регрессии фактора Ц/В
Следовательно, модель регрессии фактора Ц/В имеет вид:
Х1 = 2,59589 – 0,0434х2 – 0,0724х3 0,02631х4 0,05328У
Аналогично можно создать модели регрессии для остальных факторов и решать с их помощью требуемые задачи исследования. Более подробные сведения приведены в работе [7].
На основе анализа результатов выполненных расчетов можно предложить следующую методику планирования и проведения эксперимента при обработке данных средствами Excel:
У1, У о ?…? У^м Xi, x^,…, x tr-
• выбрать отклики 12 и факторы 12 k;
• составить матрицу планирования полного факторного эксперимента (ПФЭ 2k) в соответствии с таблицами 4.1 или 4.2 работы [7], в которых вместо « 1» записать значения верхних уровней факторов, а вместо «-1» – значения нижних уровней факторов;
• провести 4 опыта (на нескольких образцах) в последовательности, определенной матрицей плана, фиксируя в каждом из них значения откликов;
• в среде ЭТ, используя инструмент Однофакторный дисперсионный анализ пакета анализа, проверить однородность выборок откликов (возможность воспроизведения опытов) и адекватность линейной модели регрессии;
• в случае отрицательных результатов следует отрегулировать приборы измерения, повторить опыты и их обработку;
• после получения адекватной модели линейной регрессии продолжить опыты по плану эксперимента;
• используя инструменты пакета анализа, обработать полученные многомерные выборки в соответствии с методикой корреляционно-регрессионного анализа;
• выполнить прогнозирование на основе уравнения многомерной линейной регрессии и методов оптимизации;
• решить дополнительные, предусмотренные методикой исследования, задачи.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА:
1. Барабащук В. И., Креденцер Б. П., Мирошниченко В. И. Планирование эксперимента в технике. К. : Техшка, 1984. – 200 с.
2. Вознесенский В. Статистические решения в технологических задачах. – Кишинев : Картя Молдовеняскэ, 1969. – 232 с.
3. Вознесенский В. А., Ляшенко Т. В., Огарков Б. Л. Численные методы решения строительно-технологических задач на ЭВМ: Учебник. К. : Вища школа, 1989. – 328 с.
4. Дворкин Л. И., Шамбан И. Б. Проектирование составов бетона с применением математического моделирования: Учебное пособие. К. : УМК ВО, 1992. – 144 с.
5. Ершова Н. М. Корреляционно-регрессионный анализ данных наблюдений. Методические указания и задания. Днепропетровск : ПГАСА, 2008. – 58 с.
6. Ершова Н. М. Обработка данных наблюдений средствами Excel. – Днепропетровск : ПГАСА, 2009. – 164 с.
7. Карлберг Конрад. Бизнес-анализ с помощью Excel : пер. с англ. – К. : Диалектика, 1997. -448 с.
8. Красовский П. С. Исследование и оптимизация свойств строительных материалов с применением элементов математической статистики : Учебное пособие. – Хабаровск : ДВГУПС, 2004. – 128 с.
9. Сивец С. А. Статистические методы в оценке недвижимости и бизнеса. – Запорожье, 2001. -320 с.
УДК 536.24:539.3:624.044
ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ТЕМПЕРАТУРНЫХ РЕЖИМОВ ЭКСПЛУАТАЦИИ РЕЗИНОКОРДНОЙ ОБОЛОЧКИ ШИНЫ 40..00 – 57
Э. Н. Кваша, д. т. н., проф., В. В. Ткачева, к. т. н., доц.
Постановка задачи исследований. Известно, что основным фактором, приводящим к преждевременному выходу из строя резинокордных оболочек пневматических шин, является расслоение в результате перегрева [1]. Перегрев возникает вследствие неправильных режимов эксплуатации (из-за перегрузки, недостаточного времени охлаждения, повышенной скорости движения, влияния климатических условий и т.д.).
