Производные первого второго и третьего порядка

Данный калькулятор вычисляет первую вторую и другие производные заданной функции.
В поле функция введите математическое выражение с переменной x, в выражении используйте стандартные операции + сложение, – вычитание, / деление, * умножение, ^ — возведение в степень, а также математические функции. Полный синтаксис смотрите ниже. Для сложных функций калькулятор может работать довольно долго, так как используется не очень оптимальный алгоритм упрощения.

Данный калькулятор вычисляет производную функции и затем упрощает ее.
В поле функция введите математическое выражение с переменной x, в выражении используйте стандартные операции + сложение, – вычитание, / деление, * умножение, ^ — возведение в степень, а также математические функции. Полный синтаксис смотрите ниже.
Упрощение полученной производной может занять некоторое время, для сложных функций — весьма продолжительное. Если ждать до конца нет сил — нажмите кнопку остановить. У меня получался достаточно простой вариант уже после 10-15 секунд работы алгоритма упрощения.

Под понятием производные различных порядков обычно понимаются производные первого или высших порядков.

Производная производной второго порядка именуется производной третьего порядка, в этой связи производная n-го
порядка определяется как производная от производной n-1го порядка.

Синтаксис описания формул

В описании функции допускается использование одной переменной (обозначается как x), скобок, числа пи (pi), экспоненты (e), математических операций: + — сложение, – — вычитание, * — умножение, / — деление, ^ — возведение в степень.
Допускаются также следующие функции: sqrt — квадратный корень, exp — e в указанной степени, lb — логарифм по основанию 2, lg — логарифм по основанию 10, ln — натуральный логарифм (по основанию e), sin — синус, cos — косинус, tg — тангенс, ctg — котангенс, sec — секанс, cosec — косеканс, arcsin — арксинус, arccos — арккосинус, arctg — арктангенс, arcctg — арккотангенс, arcsec — арксеканс, arccosec — арккосеканс, versin — версинус, vercos — коверсинус, haversin — гаверсинус, exsec — экссеканс, excsc — экскосеканс, sh — гиперболический синус, ch — гиперболический косинус, th — гиперболический тангенс, cth — гиперболический котангенс, sech — гиперболический секанс, csch — гиперболический косеканс, abs — абсолютное значение (модуль), sgn — сигнум (знак), log__p — логарифм по основанию p, например log7(x) — логарифм по основанию 7, root__p — корень степени p, например root3(x) — кубический корень.

Пошаговый алгоритм вычисления одной производной, а также правила вычисления производных можно найти тут Производная функции.

Понятие
функции одной переменной не охватывает
все существующие функциональные
зависимости. Даже в самых простых задачах
встречаются величины, значения которых
определяются набором из двух, трех и
большего числа независимых переменных.
Например, издержки
производства при данной технологии
производства определяются расходами
на ресурсы, оборудование и т.п. и стоимостью
труда. То есть издержки являются
функцией материальных
затрат и расходов на оплату рабочей
силы. Для изучения подобных зависимостей
вводится понятие функции нескольких
переменных.

Определение
1. Переменная z
называется функцией
двух независимых
переменных x и
y,
если каждой упорядоченной паре чисел
(x,
y)
из некоторого
множества по какому – либо правилу или
закону ставится в соответствие
определенное значение z.
Обозначается

Определение
2. Множество G
упорядоченных пар значений

,
которые могут принимать переменные x
и y,
называется областью
определения функции
z, а
множество всех значений, принимаемых
z в
области определения, называется
областью значений
функции z.

Определение
3. Геометрическое
место точек плоскости, в которых функция

принимает постоянное значение z
= C, называется
линией уровня.

Придавая
С
различные значения и каждый раз строя
линию

,
получим семейство линий уровня. Это
семейство наглядно описывает функцию

.
Данный способ
представления функции двух переменных
широко используется как в картографии
и метеорологии, так и в экономике.

Определение
4. Функция

называется непрерывной
в точке

,
если бесконечно малым изменениям
значений x и
y
соответствует бесконечно малое
изменение функции z
.

Функция

называется непрерывной
в области

,
если она непрерывна в каждой точке этой
области. График непрерывной функции
представляет собой цельную, непрерывную
поверхность без скачков и разрывов.

В описании функции допускается использование одной переменной (обозначается как x), скобок, числа пи (pi), экспоненты (e), математических операций: + — сложение, – — вычитание, * — умножение, / — деление, ^ — возведение в степень.
Допускаются также следующие функции: sqrt — квадратный корень, exp — e в указанной степени, lb — логарифм по основанию 2, lg — логарифм по основанию 10, ln — натуральный логарифм (по основанию e), sin — синус, cos — косинус, tg — тангенс, ctg — котангенс, sec — секанс, cosec — косеканс, arcsin — арксинус, arccos — арккосинус, arctg — арктангенс, arcctg — арккотангенс, arcsec — арксеканс, arccosec — арккосеканс, versin — версинус, vercos — коверсинус, haversin — гаверсинус, exsec— экссеканс, excsc — экскосеканс, sh — гиперболический синус, ch — гиперболический косинус, th — гиперболический тангенс, cth — гиперболический котангенс, sech — гиперболический секанс, csch — гиперболический косеканс, abs — абсолютное значение (модуль), sgn — сигнум (знак), logP — логарифм по основанию P, например log7(x) — логарифм по основанию 7, rootP — корень степени P, например root3(x) — кубический корень.

Таблица синтаксиса математических выражений

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Вычисление производной

1) производная суммы:

2) производная произведения:

3) производная частного:

4) производная сложной функции равна произведению производных:

Таблица производных

Производная степенной функции:

Производная показательной функции:

Производная экспонециальной функции:

Производная логарифмической функции:

Производные тригонометрических функций:

Производные обратных тригонометрических функций:

Производные гиперболических функций:

ЛЕКЦИЯ
2.
ЧАСТНЫЕ
ПРОИЗВОДНЫЕ И
ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Частные
производные функции двух переменных.
Зафиксируем значение одной из переменных
функции

Определение
2.1.
Частной
производной первого порядкафункции
по переменной

Таким образом,
частной
производной по аргументу

функции

Определение
2.2.
Частными
производными второго порядка
функции

называются частные производные от её
частных производных первого порядка.

Частные производные

,

называются смешанными
частными производными второго порядка.

Отметим, что
смешанные частные производные второго
порядка равны между собой. Это замечание
справедливо для смешанных производных
любого порядка.

Таким образом,
частная производная

-го
порядка функции

есть первая частная производная от её
частной производной

Аналогично
определяются и вычисляются частные
производные второго и высших порядков
от функции трёх и большего числа
переменных.

► Пример.
Найти
частные производные второго порядка
функций:

в точке

.

Решение.
а) Найдем
частные производные первого порядка:

Найдем частные
производные второго порядка:

Геометрический
смысл частных производных функции двух
переменных.
Графиком функции

является некоторая поверхность (рис.
1). Уравнение

задаёт плоскость, параллельную
координатной плоскости

.
Линию пересечения функции

и плоскости

описывает функция

(функция одной переменной).
Её
производная в точке

– угол между осью

и касательной к кривой

в точке

Полное приращение
и полный дифференциал функции двух
переменных

Определение
2.3.
Полным
приращением функции
двух переменных называется изменение
функции при заданных приращениях всех
переменных.

В частности, полным
приращением функции

в точке

является разность

Представим эту
разность следующим образом:

Рассмотрим частную
производную функции

в точке

по переменной

:

В итоге получаем

где

при

,

.

Запишем полное
приращение функции

в точке

с учетом проведённых преобразований:

где

,

при

,

.

Сумма первых двух
слагаемых в последнем равенстве
представляет собой главную
часть приращения функции.

в точке
функции

называется главная линейная относительно

часть полного приращения функции в этой
точке:

Дифференциалы
независимых переменных равны их
приращениям:

поэтому полный
дифференциал функции

находится по формуле:

– частный дифференциал функции

по переменной

,

– частный дифференциал функции

по переменной

.

Аналогично
определяется полный дифференциал
функции любого числа переменных. Функция,
имеющая полный дифференциал в данной
точке, называется дифференцируемой
в этой точке.
Таким образом, если в данной точке и
некоторой её окрестности частные
производные функции непрерывны, то
функция дифференцируема в этой точке
(обратное также верно).

Полным дифференциалом
второго порядка функции

► Пример.
Найти
полные дифференциалы первого и второго
порядков функции

Решение.
Находим
частные производные первого порядка:

Полный дифференциал
первого порядка данной функции имеет
вид:

Находим частные
производные второго порядка:

Полный дифференциал
второго порядка данной функции имеет
вид:

При достаточно
малых

и

для дифференцируемой в точке

функции

верно приближенное равенство

Последняя формула
для приближенных вычислений значения
функции

в точке

► Пример.
Найти
изменение объема конуса с высотой 30 см
и радиусом основания 10 см при увеличении
этих измерений на 3 мм и на 1 мм
соответственно.

есть функция двух переменных

Найдем значения
частных производных

Соседние файлы в предмете Высшая математика

Простое объяснение принципов решения частных производных и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения частных производных

Вычисление частной производной функции из нескольких переменных осуществляется по тем же правилам, что и функций с одной переменной. Разница лишь той, что другие переменные не участвуют дифференцировании (вычислении производной).

Проще говоря, чтобы найти частную производную функции

будем считать константой (производная константы равна нулю), после чего находим производную функции по

с помощью таблицы производных элементарных функций –

Нужна помощь в написании работы?

Мы – биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Примеры решения частных производных

Найти частные производные функции

Частная производная функции по независимой переменной

Производная суммы равна сумме производных. Производная от

вычисляется по правилам вычислений производных функций одного аргумента, производная от слагаемого

вычисляется как производная от функции двух аргументов. При этом аргумент

считается константой. Производная от слагаемого

Здесь вычисления также происходят по правилам вычисления производной суммы. Производная от

вычисляется как производная от константы (независимым аргументом при этом считается

). Производная от слагаемого

считается константой, а

– независимым аргументом. Вычисление производной от слагаемого

Найдём частную производную функции по независимой переменной

является сложной. Производной показательной функции с основанием

является сама функция. Производная показателя степени вычисляется в при условии, что

является константой и равна

. Производная функции

По аналогии с предыдущим случаем производная функции будет равна произведению производных от функции

и показателя её степени

постоянной величиной, находим производную по независимому аргументу

будет равна производной от

находится аналогичным образом, при этом предполагается, что

. Производная второго слагаемого –

В свою очередь, частная производная функции

Таким образом, окончательно получаем:

При нахождении производной по независимой переменной

Производная по независимой переменной

находится по правилу вычисления производной показательной функции, которая, в свою очередь, определяется по правилам нахождения производных сложных функций, т.к. переменная

входит в показатель степени виде функции

Производная показательной функции равна:

Производная показателя степени равна:

В результате получаем:

Частная производная по независимой переменной

По правилу нахождения производной квадратного корня получаем, рассматривая

Т.к. функция является сложной, то результат вычисления производной от квадратного корня –

следует домножить на производную подкоренного выражения:

По аналогии с предыдущим случаем, результат вычисления производной от квадратного корня –

Данная функция является сложной, поэтому процесс нахождения производной данной функции целесообразно производить в несколько этапов.

Производная показательной функции с основанием

равна самой себе. Далее необходимо найти производную показателя степени:

. В свою очередь аргумент функции арктангенс в данном случае также представляет собой сложную функцию:

. Результирующая производная будет равна произведению производных трёх функций:

Нахождение частной производной функции по аргументу

Найти частные производные первого и второго порядков функции

Найдём частную производную первого порядка по аргументу

Найдём частную производную второго порядка по аргументу

Калькулятор производных второго и более порядка

Допустимые операции: + – / * ^
Константы: pi
Функции: sin cosec cos tg ctg sech sec arcsin arccosec arccos arctg arcctg arcsec exp lb lg ln versin vercos haversin exsec excsc sqrt sh ch th cth csch

Максимальное число производных

Формула

Частные производные для функции двух переменных $ z(x,y) $ записываются в следующем виде $ z’_x, z’_y $ и находятся по формулам:

Частная производная сложной функции

а) Пусть $ z (t) = f( x(t), y(t) ) $, тогда производная сложной функции определяется по формуле:

б) Пусть $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, тогда частные производные функции находится по формуле:

Частные производные неявно заданной функции

§ 2. Частные производные первого и второго порядка

Рассмотрим
функцию

.
Пусть независимая переменная y
зафиксирована и приняла постоянное
значение

,
а х
изменяется. Тогда

,
то есть функция двух переменных становится
функцией одной независимой переменной
x.
Если функция непрерывна и дифференцируема,
то существует производная функции по
переменной х.
Эта производная является частной
производной от функции

и обозначается символом

.
Частная производная функции по

представляет собой (аналогично функции
одной переменной) скорость изменения
функции при изменении переменной х
и фиксированном значении аргумента
у.

Определение
5. Частной
производной функции
нескольких переменных по какой-нибудь
переменной называется производная по
этой переменной, вычисленная при
фиксированных значениях прочих
переменных.

можно найти в каждой точке области
определения функции. Тогда частные
производные сами являются функциями
двух переменных, и могут быть также
продифференцированы.

Определение
6. Частная производная
от частной производной первого порядка
называется частной
производной второго порядка.

Производные
второго порядка в общем случае также
являются функциями двух переменных и
их будет уже четыре. Для производных
второго порядка приняты следующие
обозначения:

–
частная производная
второго порядка по х
дважды, находится последовательным
двукратным дифференцированием по

–
смешанная производная
второго порядка. Функция сначала
дифференцируется по y,
а результат дифференцируется по x.

Поскольку
при дифференцировании функции нескольких
переменных она рассматривается, как
функция одной переменной, то правила
дифференцирования здесь те же, что и
для функции одной переменной.
Дифференцирование производится по
одной из переменных, остальные переменные
при этом фиксированы, то есть постоянны.
Поэтому функция оказывается зависящей
только от той переменной, по которой
производится дифференцирование.

Например,
найдем частные производные первого и
второго порядка от функции

З
а м е ч а н и е. Смешанные
частные производные второго порядка

не зависят от порядка дифференцирования,
то есть всегда

Упорядоченная
пара частных производных первого порядка

Градиент
есть вектор скорости максимального
изменения функции. Он показывает
направление самого быстрого роста
функции
.
Ясно, что в каждой точке области
определения функции это – новый вектор
и соответствующее ему значение скорости
изменения функции.

Частные производные применяются в заданиях с функциями нескольких переменных. Правила нахождения точно такие же как и для функций одной переменной, с разницей лишь в том, что одну из переменных нужно считать в момент дифференцирования константой (постоянным числом).

Дифференцирование второго порядка

Производные в математике всегда находятся по определенной формуле. Итак, формула дифференцирования второго порядка записывается следующим образом:

В случае, если степень меньше, чем порядок производной, производная n-го порядка будет равна нулю.

Найти частные производные самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 5. Найти частные производные функции

Пример 6. Найти частные производные функции

Частная производная функции нескольких переменных имеет тот же механический смысл, что и производная функции одной переменной, – это скорость изменения функции относительно изменения одного из аргументов.

Пример 8. Количественная величина потока П пассажиров железных дорог может быть выражена функцией

где П – количество пассажиров, N – число жителей корреспондирующих пунктов, R – расстоянии между пунктами.

Частная производная функции П по R, равная

показывает, что уменьшение потока пассажиров обратно пропорционально квадрату расстояния между корреспондирующими пунктами при одной и той же численности жителей в пунктах.

Частная производная П по N, равная

показывает, что увеличение потока пассажиров пропорционально удвоенному числу жителей населённых пунктов при одном и том же расстоянии между пунктами.

Проверить решение задач с частными производными можно на
калькуляторе частных производных онлайн.

Таблица с формулами производных высших порядков

Формулы для нахождения производных высших порядков наиболее удобно представить в виде таблицы формул производных:

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Полный дифференциал

Произведение частной производной на приращение соответствующей независимой переменной называется частным дифференциалом. Частные дифференциалы обозначаются так:

Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал. Для функции двух независимых переменных полный дифференциал выражается равенством

Пример 9. Найти полный дифференциал функции

Решение. Результат использования формулы (7):

Функция, имеющая полный дифференциал в каждой точке некоторой области, называется дифференцируемой в этой области.

Алгоритм и примеры решений

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной
как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и
точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных
потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше
предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться
таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит
следующий алгоритм.

Чтобы найти производную, надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие
простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное)
связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице
производных, а формулы производных произведения, суммы и частного – в правилах
дифференцирования. Таблица производных и
правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

Из таблицы производных выясняем, что производная “икса” равна единице, а производная синуса – косинусу.
Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило,
проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования.
К ним мы и переходим прямо сейчас.

Пошаговые примеры – как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение,
а его сомножители – суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель.
Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.
В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим
и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная
которой равна нулю. Итак, “икс” у нас превращается в единицу, а минус 5 – в ноль.
Во втором выражении “икс” умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как
производную “икса”. Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем
требуемую условием задачи производную всей функции:

А проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного:
производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и
числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также,
что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где
сплошное нагромождение корней и степеней, как, например,

,
то добро пожаловать на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями”.

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых – квадратный корень
из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По
правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого – квадратный корень
из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили
и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на

Частные производные и дифференциалы высших порядков

Частными
производными второго порядка называют
частные производные,
взятые от частных производных первого
порядка

Аналогично
определяются частные производные
третьего и более высоких порядков.
Запись

означает, что функцияzk
раз продифференцирована по переменной
x
и

называютсясмешанными.
Значения
смешанных производных равны в тех
точках, в которых эти производные
непрерывны.

Полный дифференциал
второго порядка d 2z
функции z
= f(x;
y)
выражается формулой

Дифференциалы
высших порядков
определяются по аналогии

Пример 13.Найти
частные производные второго порядка
функции

Частные производные высших порядков

функции f(x, y) сами являются некоторыми функциями тех же переменных и, в свою очередь, могут иметь производные по разным переменным, которые называются частными производными высших порядков.

При этом употребляются следующие обозначения:

– производные от

по x и y.

Эти же производные можно записать и в другой форме:

Все эти производные являются частными производными второго порядка от функции f(x, y). От них можно опять взять производные. Например,

есть  частная производная третьего порядка функции f(x, y), взятая один раз по x и один раз по y.

Новых правил для составления частных производных высших порядков не требуется: производные составляются постепенно одна за другой, причём для смешанных частных производных справедлива следующая теорема.

Теорема. Если смешанные частные производные

непрерывны в некоторой открытой области, то они совпадают.

Другими словами, для непрерывной смешанной частной производной порядок дифференцирования не играет роли.

Пример 11. Найти частные производные

и убедиться в равенстве этих частных производных.

Как видно из решения, смешанные частные производные равны.

Пример 12. Для функции

вычислить частную производную

Решение. Первое и второе дифференцирование производим по x:

а третье – по y:

Поделиться с друзьями

Частные производные и полный дифференциал

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны, т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные – в статье “Производная произведения и частного функций”.

Здесь же (далее) – более простые примеры на производную произведения и частного, на которых Вы увереннее освоите алгоритмы вычислений.

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме
и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она
выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных,
но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое
, в котором – число,
например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё
слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка – механическое решение производной сложной
функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями,
то есть, когда функция имеет вид вроде

Если же перед Вами задача вроде

,
то Вам на занятие “Производные простых тригонометрических функций”.

Частные производные и дифференциал функции

Частной производной
функции нескольких переменных по
одной из этих переменных называется
предел отношения соответствующего
частного приращения функции к приращению
данной переменной, когда последнее
стремится к нулю (если этот предел
существует).

Из
определения частных производных следует,
что для нахождения производной

надо считать постоянной переменнуюy,
а для нахождения

При
нахождении частной производной пользуются
правилами дифференцирования
функции одной переменной, считая все
другие аргументы постоянными.

Полным дифференциалом
функции называется
сумма произведений частных производных
этой функции на приращения соответ-
ствующих
независимых переменных, т. е.

Для независимых
переменных x
и y
любые приращения x
и y
будем считать их дифференциалами, т. е.

Тогда полный
дифференциал функции
z
= f(x;
y)
вычисляется по следующей формуле:

а для функции трех
переменных u
= f(x;
y;
x):

Полный дифференциал
часто используется для приближенных
вычислений
значений функции, т. е.

Существование
частных производных является лишь
необходимым,
но недостаточным условием дифференцируемости
функции.

Следующая теорема
выражает достаточное
условие дифференцируемости функции
двух переменных.

Теорема.
Для того
чтобы функция z
= f(x;
y)
была дифференцируемой в данной точке,
достаточно, чтобы она обладала частными
производными, непрерывными в этой точке.

Пример 11.Вычислить
частные производные и полный дифференциал
функции

Найти производные самостоятельно, а затем посмотреть решения

Каждая частная производная (по x и по y) функции двух переменных представляет собой обыкновенную
производную функции одной переменной при фиксированном значении другой переменной:

(где x = const).

Если Вам не нужен разбор примеров и необходимого для этого минимума
теории, а нужно лишь решение Вашей задачи, то переходите к
калькулятору частных производных онлайн.

Если тяжело сосредоточиться, чтобы отслеживать, где в функции константа, то можно в черновом решении
примера вместо переменной с фиксированным значением подставить любое число – тогда можно будет быстрее вычислить
частную производную как обыкновенную производную функции одной переменной. Надо только не забыть при чистовом оформлении вернуть
на место константу (переменную с фиксированном значением).

Описанное выше свойство частных производных следует из определения частной производной, которое
может попасться в экзаменационных вопросах. Поэтому для ознакомления с определением ниже можно открыть
теоретическую справку.

Теоретическая справка (открыть/закрыть)

Понятие непрерывности функции z = f(x, y) в точке

Функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке

Разность (2) называется полным приращением функции z (оно получается в результате приращений обоих аргументов).

Пусть заданы функция z = f(x, y) и точка

Если изменение функции z происходит при изменении только одного из аргументов, например, x, при фиксированном значении другого аргумента y, то функция получит приращение

называемое частным приращением функции f(x, y) по x.

Рассматривая изменение функции z в зависимости от изменения только одного из аргументов, мы фактически переходим к функции одной переменной.

Если существует конечный предел

то он называется частной производной функции f(x, y) по аргументу x и обозначается одним из символов

Аналогично определяются частное приращение z по y:

и частная производная f(x, y) по y:

Пример 1. Найти частные производные функции

Решение. Находим частную производную по переменной “икс” (табличная производная 3):

Находим частную производную по переменной “игрек” (тоже производная 3 в таблице производных):

Как видно, не имеет значения, в какой степени переменная, которая фиксирована:
в данном случае это просто некоторое число, являющееся множителем (как в случае обычной производной) при переменной, по которой находим частную производную.
Если же фиксированная переменная не умножена на переменную, по которой находим частную производную, то эта одинокая
константа, безразлично, в какой степени, как и в случае обычной производной, обращается в нуль.

Пример 2. Дана функция

(по иксу)
и

(по игреку) и вычислить их
значения в точке А (1; 2).

Решение. При фиксированном y производная первого слагаемого находится как производная степенной функции
(таблица производных функций одной переменной):

При фиксированном x производная первого слагаемого находится как производная показательной функции
(формула 17 в таблице производных), а
второго – как производная постоянной (формула 1):

Теперь вычислим значения этих частных производных в точке А (1; 2):

Пример 3. Найти частные производные функции

Решение. В один шаг находим

(y фиксировано и является в данном случае множителем при x, как
если бы аргументом синуса было 5x: точно так же 5 оказывается перед знаком функции);

(x фиксировано и является в данном случае множителем при y).

Аналогично определяются частные производные функции трёх и более переменных.

Для функций трёх и более переменных геометрической интерпретации не существует.

Частные производные функции нескольких переменных определяются и вычисляются также в предположении, что меняется только одна из независимых переменных, а другие при этом фиксированы.

Пример 4. Найти частные производные функции

Решение. y и z фиксированы:

x и z фиксированы:

x и y фиксированы:

Производная функции

Показать детали вычисления

Показать шаги вычисления производной и упрощения формулы

Продолжаем искать производные вместе

Пример 12. Найти производную функции

Решение. Применяя правила вычисления производной алгебраической суммы функций, вынесения постоянного множителя за знак производной и формулу производной степени (в таблице производных – под номером 3), получим

Пример 13. Найти производную функции

Решение. Применим правило дифференцирования произведения, а затем найдём производные сомножителей, так же, как в предыдущей задаче, пользуясь формулой 3 из таблицы производных. Тогда получим

Пример 14. Найти производную функции

Решение. Как и в примерах 4 и 6, применим правило дифференцирования частного:

Теперь вычислим производные в числителе и перед нами уже требуемый результат:

Пример 15.Найти производную функции

Шаг1. Применяем правило дифференцирования суммы:

Шаг2. Найдём производную первого слагаемого. Это табличная производная квадратного корня (в таблице производных – номер 5):

Шаг3. В частном знаменатель – также корень, только не квадратный. Поэтому преобразуем этот корень в степень:

и далее дифференцируем частное, не забывая, что число 2 в первом слагаемом числителя –
это константа, производная которой равна нулю, и, следовательно всё первое слагаемое равно нулю:

Корень из константы, как не трудно догадаться, является также константой, а производная константы, как мы знаем из таблицы производных, равна нулю:

а производная, требуемая в условии задачи:

Ещё больше домашних заданий на нахождение производных

Напоминаем, что чуть более сложные примеры на производную произведения и частного – в статьях “Производная произведения и частного функций” и
“Производная суммы дробей со степенями и корнями”.

Также настоятельно рекомендуем изучить производную сложной функции.

Весь блок “Производная”

Примеры нахождения производных

Как найти производную первого порядка функции по формуле произведения:

Как найти производную второго порядка в данном выражении:

Упростим полученное решение:

Нахождение производной различных порядков от функций на следующем частном примере:

Ответ: решение не является сложным и не потребует онлайн-калькулятора. Наибольшая степень одной из переменных
равна 3, что меньше степени производной. Следовательно, производная четвертого порядка равна 0.

Решение: найдем производную первого порядка (и затем 2-4 порядков)

Используем формулу нахождения производной высшего порядка

Учтем, что p=8, n=4

Таблица производных простых функций

2. Производная независимой переменной. Чаще всего “икса”. Всегда равна единице. Это тоже важно запомнить надолго

3. Производная степени. В степень при решении задач нужно преобразовывать неквадратные корни.

4. Производная переменной в степени -1

5. Производная квадратного корня

14. Производная натурального логарифма

15. Производная логарифмической функции

17. Производная показательной функции

Решение

Вначале найдем
частные производные первого порядка

Продифференцировав
их еще раз, получим

Сравнивая последние
два выражения, видим, что

Пример 14.Найти полный
дифференциал второго
порядка функции

Тест9.Частная
производная второго порядка

Тест10.Частная
производная второго порядка

функцииz
= 7x2y
– 4y2
равна:

Найти полный дифференциал самостоятельно, а затем посмотреть решение

Так же как и в случае функции одной переменной, из дифференцируемости функции в некоторой области следует её непрерывность в этой области, но не наоборот.

Сформулируем без доказательств достаточное условие дифференцируемости функции.

Теорема. Если функция z = f(x, y) имеет непрерывные частные производные

в данной области, то она дифференцируема в этой области и её дифференциал выражается формулой (7).

Для функции двух переменных полное приращение функции имеет вид

где α и β – бесконечно малые при

есть частное значение функцииf(x;
y)
= xy
при x
= 1,07, y
= 3,97. Известно, что f(1;
4) = 1. Поэтому принимаем x0
= 1, y0
= 4. Тогда