Реферат: Дополнительные методы расчета определителей высших порядков

Обозначим через А матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных:

Через X — матрицу-столбец, составленную из неизвестных:

Через В — матрицу-столбец, составленную из свободных членов:

Произведение есть матрица-столбец:

Тогда система линейных уравнений может быть записана в матричном виде:

Если матрица А системы невырожденная, т. е. , то система уравнений (5.7) решается следующим образом:

· умножаем обе части уравнения на матрицу , обратную матрице А:

· используя сочетательный закон умножения матриц, можно записать:

· так как , а решение матричного уравнения получится в виде:

Пример 4.1. Решить матричным способом систему уравнений

В матричной форма эта система запишется в виде . Здесь

Матрица найдена в примере 4.1:

Решение системы записываем в виде:

Отсюда следует, что .

Формулы Крамера

Рассмотрим еще раз систему n уравнений с n неизвестными , для которой . Запишем матричное равенство (5.10) в следующем виде:

Или

Вспомним, что две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы:

Обратим внимание на то, что выражения в круглых скобках равенств (4.13) представляют собой определители, полученные из определителя системы заменой соответствующего номеру неизвестного столбца столбцом свободных членов данной системы уравнений (4.1). Обозначим их следующим образом:

С учетом этих обозначений формулы (4.13) можно переписать в виде:

Пример 4.2. Решить систему уравнений методом Крамера

Ранее определитель системы

уже был вычислен (пример 4.1).

Вычислим определители неизвестных:

Используя формулы Крамера, найдем:

Множества. Основные понятия

Понятие множества является основным, неопределяемым понятием, поэтому можно только пояснить этот термин. Под множеством понимается собрание определенных и различимых между собой объектов, мыслимое как единое целое.

В этом интуитивном определении, принадлежащем немецкому математику Георгу Кантору (1845-1918), существенным является то обстоятельство, что собрание предметов само рассматривается как один предмет. Что касается самих предметов, которые входя во множество, то относительно них существует значительная свобода. Это может быть и множество целых чисел, и множество точек на плоскости и множество белых носорогов. Множество не обязательно должно содержать в каком-то смысле однородные объекты. Можно объединить в одном множестве и множество объектов и его одиночных представителей. Множества обычно обозначается заглавными латинскими буквами A, B, C,…. Множество можно задать, перечислив все его элементы: При этом порядок, в котором элементы расположены при описании множества, не имеет значения. Не имеет значения также возможность неоднократного повторения одних и тех же элементов при описании множества.
Георг Фердинанд ЛюдвигФилипп Кантор

Символом обозначается отношение принадлежности. Запись означает, что элемент является элементом множества .

Определение 1.1. Множества и считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Записать утверждение о том, что множество равно множеству можно при помощи простой формулы

Если множества состоят из разных элементов, то этот факт записывают

Пример 1.1. Даны три множества , и . В силу того, что все три множества состоят из одних и тех же элементов, справедлива запись .

Пример 1.2. Даны два множества и . Эти множества нельзя считать равными, так как единственным элементом множества есть множество , множество состоит из двух элементов: чисел 1 и 2.

При рассмотрении способов задания множеств возникает проблема их эффективного описания. Частично эту проблему можно решить, если указывать условие, которому удовлетворяет любой элемент данного множества:

Пример 1.3. Множество содержит один элемент: состоит из набора элементов .

Зачем?

Пример 1.4. Парадокс брадобрея. Владелец парикмахерской в одном селе повесил следующее объявление: «Брею тех и только тех жителей села, кто не бреется сам». Спрашивается, кто бреет брадобрея?

Этот парадокс свидетельствует о том, что широко используемая теория множеств в ее интуитивном, «наивном» изложении является противоречивой. Формализация теории множеств, связанная, в частности, с устранением парадоксов, способствовала развитию не только методов теории множеств, но и такой науки, как математическая логика.

Определение 1.2. Если все элементы множества А принадлежат также множеству В, причем , то множество А является подмножеством В. Этот факт обозначают так:

Определение 1.3. Если каждый элемент множества А есть элемент множества В, причем возможно , то множество В включает подмножеством А:

	(1.6)
Для наглядного представления отношений между подмножествами какого-либо универсального множества используются диаграммы Венна. Простые и лаконичные рисунки, которые впервые предложил английский математик Джон Венн (1834-1923), используются для иллюстрации взаимосвязей и в теории вероятности, и в логике, и в статистике и в информатике. В теории множеств сами множества обозначают областями и размещают внутри прямоугольника, который представляет собой некое универсальное множество. Если два множества имеют общие элементы, то такие объекты иллюстрируются перекрывающимися областями.
	Джон Венн
Пример 1.5. Даны два множества , и . Для этих множеств справедливо , поскольку множество включает множество , и каждый элемент множества есть элемент множества .

Множество, не содержащее элементов, называется пустым, и обозначается символом Ø. Пустое множество есть подмножество любого множества.

Множества бывают конечные и бесконечные. Конечные множества содержат конечное число элементов. Множества, не являющиеся конечными, называются бесконечными.

Число элементов конечного множества называется его мощностью. Мощность множества обозначают .

Пример 1.6. Дано множество . Тогда =5.

Множество всех подмножеств множества называется множеством-степенью и обозначается . Если множество состоит из элементов, то множество состоит из элементов.

Пример 1.7. Дано множество . Множество-степень содержит следующие подмножества:

Операции над множествами

Рассмотрим методы получения новых множеств их уже существующих.

Определение 1.4. Пересечением множеств А и В называется множество С , состоящее из всех элементов, одновременно входящих и в множество А, и во множество В. Это записывается следующим образом:

Пример 1.7. Если множество А есть интервал (1; 5) а множество В есть интервал (2; 7), то пересечение множеств А и В есть интервал (2; 5): .

Определение 1.5. Объединением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из данных множеств или А, или В, или А и В одновременно. Это обозначается следующим образом:

Пример 1.8. Если множество А есть отрезок [1; 3] а множество В есть отрезок [2; 5], то объединение множеств А и В есть отрезок [1; 5]: .

Определение 1.6. Дополнением множества А называется множество всех элементов универсального множества U, каждый из которых не принадлежит множеству А.

Дополнение множества А будем обозначать через

Пример 1.9. Если множество А есть отрезок [1; 3], то множество представляет собой объединение двух интервалов: .

Определение 1.7. Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А, но не принадлежащих В:

Пример 1.10. Если множество А есть отрезок , а множество В есть отрезок , то разность представляет собой полуинтервал , а полуинтервал .

Определение 1.8. Симметрической разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих множествам А и B, но не принадлежащих ихобщим областям.

Пример 1.11. Если , , то .

Определение 1.9. Декартовым произведением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всевозможных пар элементов , у которых и .

Пример 1.12. Даны два множества: , . Для этих множеств можно составить два варианта декартового произведения этих множеств: и

Из примера видно, что множества и различны.

.

Тождества теории множеств.

То́ждество (в математике) — равенство, выполняющееся на всём множестве значений входящих в него переменных (равенство, верное при любых значениях переменных),

Запишем еще раз некоторые свойства операций с множествами:

21.Множество N натуральных чисел

Натуральные числа (естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:

• перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …);
• обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …). Принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа натуральными не являются.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком . Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.

Натуральные числа – числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления), т.е натуральные числа – это естественные числа.

Всего существуют два подхода к пониманию натуральных чисел- это числа, используемые при:
1) перечислении (нумеровании) предметов (например:первый, второй, третий…и т.д.). Этот подход, общепринятый во многих странах мира (в том числе и в России);
2) обозначении количества предметов (например: нет предметов, один предмет, два предмета…и т.д.). Принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.
Натуральными числами не являются: отрицательные и нецелые числа.
Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком N
Существует бесконечное множество натуральных чисел — для любого натурального числа найдётся другое натуральное число, большее его.

23.Счетные и несчетные множества .

В теории множеств, счётное мно́жество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Более формально: множество является счётным, если существует биекция , где обозначает множество всех натуральных чисел. Другими словами, счётное множество — это множество, равномощное множеству натуральных чисел.

Счётное множество является «наименьшим» бесконечным множеством, то есть в любом бесконечном множестве найдётся счётное подмножество. Мощность множества всех натуральных чисел обозначается символом (произносится: “алеф-нуль”)

Свойства

1. Любое подмножество счётного множества не более чем счётно (т.е. конечно или счётно).^[1]
2. Объединение конечного или счётного числа счётных множеств счётно.^[1]
3. Прямое произведение конечного числа счётных множеств счётно.
4. Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно.
5. Множество всех подмножеств счётного множества континуально и, в частности, не является счётным.

Связанные понятия

Несчётное множество — такое бесконечное множество, которое не является счётным. Таким образом, любое множество является либо конечным, либо счётным, либо несчётным.

Примеры

Счётные множества

• Простые числа
• Натуральные числа
• Целые числа
• Рациональные числа
• Алгебраические числа
• Кольцо периодов
• Вычислимые числа
• Арифметические числа
• Множество всех конечных слов над счётным алфавитом
• Множество всех слов над конечным алфавитом
• Любое бесконечное семейство непересекающихся открытых интервалов на действительной оси
• Множество всех прямых на плоскости, каждая из которых содержит хотя бы 2 точки с рациональными координатами
• Любое бесконечное множество точек на плоскости, все попарные расстояния между элементами которого рациональны

Несчётные множества

• Вещественные числа
• Комплексные числа
• Числа Кэли

24..Множество Q рациональных чисел

Рациональное число (лат. ratio — отношение, деление, дробь) — число, представляемое обыкновенной дробью , числитель — целое число, а знаменатель — натуральное число, к примеру 1/4. Понятие дроби возникло несколько тысяч лет назад, когда, сталкиваясь с необходимостью измерять некоторые вещи (длину, вес, площадь и т.п.), люди поняли, что не удаётся обойтись целыми числами и необходимо ввести понятие доли: половины, трети и т.п. Дробями и операциями над ними пользовались, например, шумеры, древние египтяне и греки.

Множество рациональных чисел обозначается и может быть записано таком в виде:

При этом оказывается, что разные записи могут представлять одну и ту же дробь, например, и , (все дроби, которые можно получить друг из друга умножением или делением на одно и то же натуральное число, представляют одно и то же рациональное число). Поскольку делением числителя и знаменателя дроби на их наибольший общий делитель можно получить единственное несократимое представление рационального числа, то можно говорить об их множестве как о множестве несократимых дробей со взаимно простыми целым числителем и натуральным знаменателем:

Здесь — наибольший общий делитель чисел и .

Множество рациональных чисел является естественным обобщением множества целых чисел. Легко видеть, что если у рационального числа знаменатель , то является целым числом. Множество рациональных чисел располагается на числовой оси всюду плотно: между любыми двумя различными рациональными числами расположено хотя бы одно рациональное число (а значит, и бесконечное множество рациональных чисел). Тем не менее, оказывается, что множество рациональных чисел имеет счётную мощность (то есть все его элементы можно перенумеровать). Заметим, кстати, что ещё древние греки убедились в существовании чисел, не представимых в виде дроби (например, они доказали, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2)

Свойства

Основные свойства

Множество рациональных чисел удовлетворяют шестнадцати основным свойствам, которые легко могут быть получены из свойств целых чисел.^[1]

1. Упорядоченность. Для любых рациональных чисел и существует правило, позволяющее однозначно идентифицировать между ними одно и только одно из трёх отношений: « », « » или « ». Это правило называется правилом упорядочения и формулируется следующим образом: два положительных числа и связаны тем же отношением, что и два целых числа и ; два неположительных числа и связаны тем же отношением, что и два неотрицательных числа и ; если же вдруг неотрицательно, а — отрицательно, то .

1. Операция сложения. Для любых рациональных чисел и существует так называемое правило суммирования, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число . При этом само число называется суммой чисел и и обозначается , а процесс отыскания такого числа называется суммированием. Правило суммирования имеет следующий вид: .

1. Операция умножения. Для любых рациональных чисел и существует так называемое правило умножения, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число . При этом само число называется произведением чисел и и обозначается , а процесс отыскания такого числа также называется умножением. Правило умножения имеет следующий вид: .

1. Транзитивность отношения порядка. Для любой тройки рациональных чисел , и если меньше и меньше , то меньше , а если равно и равно , то равно .

1. Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не меняется.

1. Ассоциативность сложения. Порядок сложения трёх рациональных чисел не влияет на результат.

1. Наличие нуля. Существует рациональное число 0, которое сохраняет любое другое рациональное число при суммировании.

1. Наличие противоположных чисел. Любое рациональное число имеет противоположное рациональное число, при суммировании с которым даёт 0.

1. Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не меняется.

1. Ассоциативность умножения. Порядок перемножения трёх рациональных чисел не влияет на результат.

1. Наличие единицы. Существует рациональное число 1, которое сохраняет любое другое рациональное число при умножении.

1. Наличие обратных чисел. Любое ненулевое рациональное число имеет обратное рациональное число, умножение на которое даёт 1.

1. Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения согласована с операцией сложения посредством распределительного закона:

1. Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства можно прибавлять одно и то же рациональное число.

1. Связь отношения порядка с операцией умножения. Левую и правую части рационального неравенства можно умножать на одно и то же положительное рациональное число.

1. Аксиома Архимеда. Каково бы ни было рациональное число , можно взять столько единиц, что их сумма превзойдёт .

Дополнительные свойства

Все остальные свойства, присущие рациональным числам, не выделяют в основные, потому что они, вообще говоря, уже не опираются непосредственно на свойства целых чисел, а могут быть доказаны исходя из приведённых основных свойств или непосредственно по определению некоторого математического объекта. Таких дополнительных свойств очень много. Здесь имеет смысл привести лишь некоторые из них.

• Отношение порядка «>» (с противоположным порядком аргументов) также транзитивно.

• Произведение любого рационального числа на ноль равно нулю.

• Рациональные неравенства одного знака можно почленно складывать.

— поле

• В позиционной системе счисления рациональное число представляется периодической дробью. Более того, наличие представления в виде периодической дроби является критерием рациональности вещественного числа.
• Каждое рациональное число является алгебраическим.

25..Множество J иррациональных чисел

Примеры иррациональных чисел:

• √ 2 = 1,41213652..
• √ 3 = 1,730508075..
• (число Пи ) π = 3,14159..
• (основание натурального логарифма ) e = 2,71845..

Обозначается множество иррациональных чисел большой английской буквой [ай] – ” I “.

Среди множества чисел иррациональные числа занимают особое место. Они не входят в рациональные числа.

Иррациональные числа ( в отличие от рациональных ) невозможно представить в виде дроби ^a/ _b, где a ∈ Z ( a принадлежит целым числам ), b∈N ( b принадлежит натуральным числам ).

26.Множество R действительных чисел

Вещественное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Веще́ственное, или действи́тельное число^[1] — математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений ^[2].

Числовая прямая

Если натуральные числа возникли в процессе счета, рациональные — из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемые иррациональными числами.

Наглядно понятие вещественного числа можно представить себе при помощи числовой прямой. Если на прямой выбрать направление, начальную точку и единицу длины для измерения отрезков, то каждому вещественному числу можно поставить в соответствие определённую точку на этой прямой, и обратно, каждая точка будет представлять некоторое, и притом только одно, вещественное число. Вследствие этого соответствия термин числовая прямая обычно употребляется в качестве синонима множества вещественных чисел.

Понятие вещественного числа прошло долгий путь становления. Ещё в Древней Греции в школе Пифагора, которая в основу всего ставила целые числа и их отношения, было открыто существование несоизмеримых величин (несоизмеримость стороны и диагонали квадрата), то есть в современной терминологии — чисел, не являющихся рациональными. Вслед за этим Евдоксом Книдским была предпринята попытка построить общую теорию числа, включавшую несоизмеримые величины. После этого, на протяжении более двух тысяч лет, никто не ощущал необходимости в точном определении понятия вещественного числа, несмотря на постепенное расширение этого понятия^[3]. Лишь во второй половине XIX века, когда развитие математического анализа потребовало перестройки его основ на новом, более высоком уровне строгости, в работах К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда, Г. Кантора, Э. Гейне, Ш. Мере^[3] была создана строгая теория вещественных чисел.

С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел — непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.

Множество вещественных чисел имеет стандартное обозначение — R («полужирное R»), или (англ. blackboard bold «R») от лат. realis — действительный.

27.Системы счисления

Система счисле́ния — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.

Система счисления:

• даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных);
• даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление);
• отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.

Системы счисления подразделяются на позиционные, непозиционные и смешанные.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления возникла во второй половине третьего тысячелетия до н. э. Для обозначения чисел 0, 1, 10, 10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶, 10⁷ использовались специальные цифры. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из цифр повторялась не более девяти раз. Значение числа равно простой сумме значений цифр, участвующих в его записи.

Вавилонская система счисления

Основная статья: Шестидесятеричная система счисления

Алфавитные системы счисления

Основная статья: Алфавитная запись чисел

Алфавитными системами счисления пользовались древние армяне, грузины, греки (ионическая система счисления), арабы (абджадия), евреи (см. гематрия) и другие народы Ближнего Востока. В славянских богослужебных книгах греческая алфавитная система была переведена на буквы кириллицы.

Еврейская система счисления

Еврейская система счисления в качестве цифр использует 22 буквы еврейского алфавита. Каждая буква имеет своё числовое значение от 1 до 400 (см. т. ж. Гематрия). Ноль отсутствует. Цифры, записанные таким образом, наиболее часто можно встретить в нумерации лет по иудейскому календарю.

Римская система счисления

Основная статья: Римские цифры

Каноническим примером почти непозиционной системы счисления является римская, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:
I обозначает 1,
V — 5,
X — 10,
L — 50,
C — 100,
D — 500,
M — 1000

Например, II = 1 1 = 2
здесь символ I обозначает 1 независимо от места в числе.

На самом деле, римская система не является полностью непозиционной, так как меньшая цифра, идущая перед большей, вычитается из неё, например:

IV = 4, в то время как:
VI = 6

Система счисления майя

Основная статья: Цифры майя

Майя использовали 20-ричную систему счисления за одним исключением: во втором разряде было не 20, а 18 ступеней, то есть за числом (17)(19) сразу следовало число (1)(0)(0). Это было сделано для облегчения расчётов календарного цикла, поскольку (1)(0)(0) = 360 примерно равно числу дней в солнечном году.

Для записи основными знаками были точки (единицы) и отрезки (пятёрки).

Кипу инков

Прообразом баз данных, широко использовавшихся в Центральных Андах (Перу, Боливия) в государственных и общественных целях в I—II тысячелетии н. э., была узелковая письменность Инков — кипу, состоявшая как из числовых записей десятичной системы, так и не числовых записей в двоичной системе кодирования. В кипу применялись первичные и дополнительные ключи, позиционные числа, кодирование цветом и образование серий повторяющихся данных. Кипу впервые в истории человечества использовалось для применения такого способа ведения бухгалтерского учёта как двойная запись

28.Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую

Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.

1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

Таблица 4. Степени числа 2

Пример .Число перевести в десятичную систему счисления.

2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:

Таблица 5. Степени числа 8

Пример .Число перевести в десятичную систему счисления.

3. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:

Таблица 6. Степени числа 16

Пример .Число перевести в десятичную систему счисления.

Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример.Число перевести в двоичную систему счисления.

Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример.Число перевести в восьмеричную систему счисления.

Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример.Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

7. Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).

Пример.Число перевести в восьмеричную систему счисления.

8. Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).

Пример.Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.