Метод фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны — киберпедия
Для решения смешанных задач во многих случаях используется так называемый метод Фурье или метод разделения переменных. В настоящем параграфе применение этого метода мы рассмотрим на примере смешанных задач для уравнения колебаний струны (2.8).
6.1. Случай свободных колебаний. Однородные граничные условия.Требуется найти решение уравнения
(6.1)
при граничных условиях
(6.2)
и начальных условиях
(6.3)
где 
заданные функции.
Метод Фурье решения задачи состоит в следующем.
I. Сначала находим частные решения уравнения (6.1), удовлетворяющие граничным условиям (6.2). Их будем искать в виде
(6.4)
где 
неизвестные функции одной переменной. С целью определения 
функцию (6.4) подставим в уравнение (6.1). Получим
,
откуда, разделяя переменные, будем иметь:
(6.5)
Соотношение (6.5) должно удовлетворяться тождественно при 
произвольно фиксированное положительное число). Зафиксировав произвольно 
в правой части (6.5) и меняя 
в левой части, приходим к выводу, что левая часть соотношения (6.5) необходимо должна равняться постоянной; этой же постоянной должна равняться и правая часть. Обозначая эту постоянную через 
, будем иметь:
откуда получим два обыкновенных дифференциальных уравнения относительно функций 
и 
:
(6.6)
(6.7)
Таким образом, уравнение (6.1) распалось на два уравнения (6.6), (6.7), из которых одно содержит функцию только от , а другое – функцию только от , или, как говорят, в уравнении (6.1) переменные разделились.
Теперь функцию (6.4) подставим в граничные условия (6.2). Получим
откуда
(6.8)
так как случай 
интереса не представляет. Таким образом, переменные разделились также и в граничных условиях.
Для определения функции мы пришли к следующей граничной задаче для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.
Задача Штурма- Лиувилля.Найти такие значения параметра 
, называемые собственными значениями,при которых существуют нетривиальные (т.е.не равные нулю тождественно) решения уравнения (6.7), удовлетворяющие граничным условиям (6.8), а также найти эти решения, называемые собственными функциями.
Найдем решение этой задачи. Уравнение (6.7) есть уравнение с постоянными коэффициентами; для его решения надо составить характеристическое уравнение
корни которого 
Следовательно, вид решения зависит от знака 
а) Пусть 
Общее решение уравнения (6.7) в этом случае имеет вид:
где 
произвольные постоянные. Подставляя его в граничные условия (6.8), будем иметь:
Относительно 
мы получили однородную систему линейных алгебраических уравнений. Так как ее определитель не равен нулю, система имеет только нулевое решение. Поэтому задача Штурма- Лиувилля в этом случае неразрешима.
б) Пусть 
Общее решение уравнения (6.7) имеет вид 
Из условий (6.8) получаем 
откуда 
Поэтому задача Штурма- Лиувилля также неразрешима.
в) Пусть 
В этом случае общее решение уравнения (6.7) дается формулой
(6.9)
Подстановка (6.9) в граничные условия (6.8) дает
(6.10)
Система (6.10) имеет ненулевое решение только тогда, когда ее определитель равен нулю. Так как определитель системы (6.10) равен 
то приравнивая его к нулю, для определения значений получаем уравнение
Решая его, находим корни 
, следовательно, собственные значения задачи Штурма- Лиувилля имеют вид:
(6.11)
Подставляя значения (6.11) вместо в систему (6.10), будем иметь: 
а 
произвольное. В дальнейшем будем считать, что 
Внося все это в (6.9), получаем собственные функции задачи (6.7), (6.8):
(6.12)
Решаем теперь уравнение (6.6) при 
, т.е. уравнение
Общее его решение имеет вид:
(6.13)
где 
произвольные постоянные.
Подставив функции (6.12),(6.13) в (6.4), получим бесконечную последовательность частных решений уравнения (6.1), удовлетворяющих граничным условиям (6.2):
(6.14)
II. Теперь построим решение, удовлетворяющее еще и заданным начальным условиям (6.3). С этой целью образуем бесконечный ряд из частных решений (6.14):
(6.15)
В дальнейшем будем предполагать, что ряд (6.15) сходится равномерно в области 
и допускает двукратное почленное дифференцирование по переменным и 
Ясно, что для этого нужно, чтобы функции 
удовлетворяли определенным условиям. Достаточно, например, выполнения следующих требований:
) 
дважды непрерывно дифференцируема на 
, третья производная кусочно непрерывно дифференцируема на и
) 
непрерывно дифференцируема на 
вторая производная кусочно непрерывна на 
Тогда в силу линейности и однородности уравнения (6.1) сумма ряда (6.15) из его решений также будет решением уравнения (6.1). Кроме того, поскольку каждое слагаемое ряда удовлетворяет однородным граничным условиям (6.2), то сумма ряда будет удовлетворять и этим условиям.
Покажем, что постоянные 
и 
в (6.15) можно определить так, чтобы удовлетворялись и начальные условия (6.3). Продифференцируем ряд (6.15) по :
(6.16)
Подставляя (6.15),(6.16) в (6.3), получаем
(6.17)
Соотношения (6.17) представляют собой разложения функций в ряд Фурье по синусам. Из теории тригонометрических рядов Фурье известно, что всякая функция 
, непрерывная на отрезке вместе со своей производной первого порядка и удовлетворяющая условию 
, разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по синусам:
где
Заметим, что функции удовлетворяют указанным условиям. Поэтому соотношения действительно будут выполняться, если постоянные 
имеют вид:
(6.18)
Подставляя (6.18) в (6.15), получаем решение смешанной задачи (6.1)-(6.3).
Таким образом, решение задачи (6.1)- (6.3) дается формулой (6.15), в которой постоянные определены соотношениями (6.18).
Рассмотрим физическую интерпретацию решения (6.15). Если ввести обозначения 
то это решение можно записать в виде
(6.19)
Каждый член этого ряда представляет собой так называемую стоячую волну,при которой точки струны совершают гармоническое колебательное движение с одинаковой фазой 
, с амплитудой 
и частотой 
При таком колебании струна будет издавать звук, высота которого зависит от частоты колебаний 
. Частота основного (самого низкого) тона выражается формулой 
. Остальные тона, соответствующие частотам, кратным 
, называются гармониками. Решение (6.19) складывается из отдельных гармоник; амплитуда их, а поэтому и влияние их на интенсивность звука, издаваемого струной, обыкновенно быстро убывает при увеличении номера гармоники и все их действие сводится к созданию тембра звука. Приведенная интерпретация решения подтверждается экспериментально: с помощью резонаторов можно выделять гармоники, соответствующие различным значениям 
.
6.2. Случай вынужденных колебаний. Однородные граничные условия.Найти решение уравнения
(6.20)
удовлетворяющее граничным условиям
(6.21)
и начальным условиям
(6.22)
где заданные функции.
Эту задачу разобьем на две более простые. Для этого решение представим в виде
(6.23)
где 
есть решение задачи
(6.24)
(6.25)
(6.26)
а 
есть решение задачи
(6.27)
(6.28)
(6.29)
Задача (6.24)- (6.26) для функции рассмотрена нами в пункте 6.1; ее решение дается рядом (6.15). Решение задачи (6.27)- (6.29) будем искать в виде
(6.30)
где 
неизвестные функции.
Пусть ряд (6.30) равномерно сходится в области 
и допускает почленное двукратное дифференцирование по 
Тогда, подставляя (6.30) в (6.27), получаем
(6.31)
При произвольно фиксированном (6.31) представляет собой разложение функции 
в ряд Фурье по синусам. Поэтому для коэффициентов разложения (выражений в квадратных скобках) имеем
(6.32)
где
(6.33)
С учетом (6.30) и 
из условий (6.29) получим
(6.34)
Следовательно, для определения функций 
имеем задачу (6.32), (6.34), представляющую задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (6.32) с начальными условиями (6.34). Ее решение может быть получено с помощью метода вариации произвольных постоянных в следующем виде
(6.35)
Подставляя сюда вместо 
выражение (6.33), а затем полученный результат в (6.30), получаем решение задачи (6.27)- (6.29). Решение исходной задачи (6.20)- (6.22) найдем по формуле (6.23).
6.3. Случай вынужденных колебаний. Неоднородные граничные условия.Рассмотрим задачу: найти решение уравнения
(6.36)
удовлетворяющее граничным условиям
(6.37)
и начальным условиям
(6.38)
где 
заданные функции.
Решение этой задачи будем искать в виде
(6.39)
От функции потребуем, чтобы она имела непрерывные вторые производные по и и удовлетворяла ненулевым граничным условиям
(6.40)
Такую функцию всегда можно найти, например,
Считая теперь функцию известной, выведем задачу для функции 
Подставляя (6.39) в уравнение (6.36), получаем
или
(6.41)
где принято обозначение 
Далее, с учетом (6.37), (6.40) и соотношения 
вытекающего из (6.39), для получаем однородные граничные условия
(6.42)
Наконец, учитывая (6.38), будем иметь:
(6.43)
Таким образом, для определения функции мы пришли к задаче (6.41)- (6.43) для уравнения вынужденных колебаний струны с однородными граничными условиями; эта задача была рассмотрена нами в пункте 6.2.
Пример 6.1.Решить методом Фурье смешанную краевую задачу для уравнения свободных колебаний струны:
Решение.Решение этой задачи дается формулой (6.15), в которой коэффициенты определены соотношениями (6.18). В нашем случае
Внося эти данные в (6.18), получаем
Вычислим интегралы:
если 
если 
при 
при 
Подставив эти значения коэффициентов в (6.15), получим решение задачи в следующем виде
Покажем, что коэффициенты в некоторых случаях, как, например, в этом примере, можно найти и другим способом, не прибегая к формулам (6.18). Для этого функцию 
в виде (6.15) и ее производную 
в виде (6.16) подставим в начальные условия:
В правых частях этих равенств стоят разложения в ряд Фурье по синусам с известными коэффициентами. Поэтому приравнивая коэффициенты при 
, получаем систему
откуда 
остальные равны нулю.
Пример 6.2.Решить методом Фурье смешанную краевую задачу для уравнения вынужденных колебаний струны:
Решение. В соответствии с изложенным в разделе 6.2 §6 решение этой задачи ищется в виде
(6.44)
где есть решение задачи
а есть решение задачи
Сначала решаем задачу относительно функции 
решение которой дается формулой (6.15), в которой коэффициенты определены соотношениями (6.18). В нашем случае
Внося эти данные в (6.18), получаем
Вычислим интегралы:
если 
при 
если 
при 
Таким образом, все коэффициенты с четными номерами равны нулю. Подставив найденные значения коэффициентов в (6.15), получим решение первой задачи относительно в следующем виде
(6.45)
Перейдем к решению задачи относительно функции 
Ее ищем в виде (6.30), где 
и функции определяются формулой (6.35), которая в нашем случае примет вид:
, (6.46)
где для 
в силу (6.33) с учетом 
получаем
Вычислим интеграл: 
Первый интеграл в этой сумме вычисляется по частям:
Второй интеграл равен 
Следовательно, 
Внося это выражение в (6.46), для интегрированием по частям получаем
(6.47)
Теперь, если (6.47) подставить в (6.30), то получим решение второй задачи , которое вместе с (6.45) по формуле (6.44) дает решение исходной задачи.
Задачи
Методом Фурье найти решения следующих смешанных задач для уравнения колебаний струны:
6.1. 
6.2. 
6.3. 
6.4. 
6.5. 
6.6. 
§
В настоящем параграфе метод Фурье применим к решению первой начально-краевой задачи для уравнения (2.31) теплопроводности в тонком стержне.
7.1. Случай однородного уравнения.Рассмотрим задачу:найти функцию 
непрерывную при 
, удовлетворяющую уравнению
, 
(7.1)
граничным условиям
(7.2)
и начальному условию
(7.3)
где – заданная функция, имеющая непрерывную производную и 
Ищем решение уравнения (7.1), удовлетворяющее условиям (7.2), в виде
(7.4)
Подставляя (7.4) в уравнение (7.1) и разделяя переменные, получаем
или
(7.5)
(7.6)
Кроме того, из граничных условий (7.2) следует, что
(7.7)
Итак, для определения функции имеем задачу Штурма- Лиувилля (7.6), (7.7). Эта задача изучена нами в пункте 6.1 §6. Ее решение имеет вид:
(7.8)
Подставляя значения 
из (7.8) в уравнение (7.5), получаем
которое представляет собой дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение дается формулой
(7.9)
где 
произвольные постоянные.
Теперь, если (7.8), (7.9) подставить в (7.4), то получим частные решения уравнения (7.1), удовлетворяющие граничным условиям (7.2), следующего вида
Чтобы удовлетворить начальному условию (7.3), составим ряд из этих частных решений:
(7.10)
Подставляя (7.10) в условие (7.3), будем иметь:
(7.11)
(7.11) есть разложение функции в ряд Фурье по синусам. Поступая как и в §6, приходим к тому, что соотношение (7.11) будет удовлетворено, если коэффициенты разложения (7.11) определены по формулам
(7.12)
Подставляя (7.12) в (7.10), получаем решение задачи (7.1)- (7.3).
По поводу обоснования полученного решения в виде (7.10) необходимо сказать то же самое, что и в §6: ряд (7.10) и ряды, получаемые формальным почленным дифференцированием этого ряда дважды по , один раз по , сходятся равномерно в области . Можно показать, что при условиях, наложенных выше на функцию , эти условия выполняются.
7.2. Случай неоднородного уравнения.Требуетсянайти функцию непрерывную при , удовлетворяющую уравнению
, (7.13)
граничным условиям
(7.14)
и начальному условию
(7.15)
где – заданная функция, имеющая непрерывную производную и
Решение задачи (7.13)- (7.15) будем искать в виде
(7.16)
где есть решение задачи
(7.17)
(7.18)
(7.19)
а есть решение задачи
(7.20)
(7.21)
(7.22)
Задача (7.17)- (7.19) для функции рассмотрена нами в пункте 7.1; ее решение дается рядом (7.10). Решение задачи (7.20)- (7.22) будем искать в виде
(7.23)
где неизвестные функции.
Пусть ряд (7.23) равномерно сходится в области и допускает почленное дифференцирование дважды по и один раз по . Тогда, подставляя (7.23) в (7.20), получаем
откуда
(7.24)
где
(7.25)
С учетом (7.23) из условий (7.22) получим
(7.26)
Следовательно, для определения функций имеем задачу (7.24), (7.26), представляющую задачу Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения первого порядка (7.24) с начальным условием (7.26). Ее решение дается формулой
(7.27)
Подставляя в (7.27) вместо выражение (7.25), а затем полученный результат в (7.23), получаем решение задачи (7.20)- (7.22). Решение исходной задачи (7.13)- (7.15) найдем по формуле (7.16).
Решение задачи для уравнения теплопроводности (7.13) в случае неоднородных граничных условий совершенно аналогично соответствующему случаю для уравнения колебаний струны (см. пункт 6.3).
В заключение параграфа отметим, что для уравнения теплопроводности может быть поставлена задача Коши:найти функцию , непрерывную при 
, удовлетворяющую уравнению
и начальному условию
где 
непрерывная и ограниченная функция.
Решение этой задачи Коши дается формулой Пуассона
где 
Функция 
называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности.
Пример 7.1. Решить методом Фурье начально-краевую задачу для однородного уравнения теплопроводности: 
Решение.Решение этой задачи дается формулой (7.10), в которой коэффициенты определены соотношениями (7.12). В нашем случае
Внося эти данные в (7.12), получаем
Вычислим интегралы:
если 
при 
Подставив эти значения коэффициентов в (7.10), получим решение задачи в следующем виде
Второй способ нахождения коэффициентов 
Функцию заданную соотношением (7.10), подставим в начальное условие:
Правая часть этого равенства представляет собой разложение в ряд Фурье по синусам. Поэтому, приравнивая коэффициенты при одинаковых 
, будем иметь: 
остальные равны нулю.
Пример 7.2.Решить методом Фурье начально-краевую задачу для неоднородного уравнения теплопроводности
Решение. В соответствии с изложенным в разделе 7.2 §7 решение этой задачи ищется в виде
(7.28)
где есть решение задачи
а есть решение задачи
Сначала решаем задачу относительно функции решение которой дается формулой (7.10), в которой коэффициенты определены соотношениями (7.12). В нашем случае 
Внося эти данные в (7.12), получаем
Вычислим эти интегралы с помощью двукратного интегрирования по частям:
Отсюда видно, что коэффициенты с четными номерами равны нулю. Подставив эти значения коэффициентов в (7.10), получим решение первой задачи относительно в следующем виде
(7.29)
Перейдем к решению задачи относительно функции Ее ищем в виде (7.23), где и функции определяются формулой (7.27), которая в нашем случае примет вид:
, (7.30)
где для в силу (7.25) с учетом 
получаем интеграл
который вычисляется по частям:
Внося это выражение в (7.30), для получаем
Теперь, если это значение подставить в (7.23), то получим решение второй задачи , которое вместе с (7.29) по формуле (7.28) дает решение исходной задачи.
Задачи
Методом Фурье найти решения следующих начально-краевых задач для уравнения теплопроводности:
7.1. 
7.2. 
7.3. 
7.4. 
7.5. 
7.6. 
§
Решение краевых задач для уравнения Лапласа в случае некоторых простейших областей (круг, сектор, кольцо, прямоугольник, шар, цилиндр) может быть найдено также методом Фурье. Получающиеся при этом задачи Штурма- Лиувилля на собственные значения приводят к различным классам специальных функций. В этом параграфе мы рассмотрим задачу Дирихле для кругового сектора и круга, при решении которых, как и в предыдущих параграфах, используются только тригонометрические функции.
При решении задач в круговом секторе или в круге удобно перейти к полярным координатам
Выражая производные 
через производные по переменным 
с
помощью формул (3.4), уравнение Лапласа 
в полярных коор-
динатах можно записать в виде
(8.1)
8.1. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круговом секторе.Найти функцию 
, непрерывную в замкнутом круговом секторе 
удовлетворяющую внутри кругового сектора уравнению Лапласа (8.1) и граничным условиям:
(8.2)
(8.3)
где 
заданная функция, удовлетворяющая условию 
.
Согласно методу Фурье решение уравнения (8.1) при условиях (8.3) будем искать в виде
(8.4)
Подставляя (8.4) в уравнение (8.1), получаем
,
откуда для определения неизвестных функций 
будем иметь уравнения:
(8.5)
(8.6)
Из граничных условий (8.3) следует, что
(8.7)
Итак, для определения функции 
имеем задачу Штурма- Лиувилля (8.6), (8.7). Эта задача изучена нами в §§6,7. Ее решение имеет вид:
(8.8)
Подставляя значения из (8.8) в уравнение (8.5), получаем
(8.9)
которое представляет собой однородное дифференциальное уравнение Эйлера второго порядка. Его решения можно искать в виде
, (8.10)
где 
– некоторая постоянная.
Подставляя (8.10) в уравнение (8.9) и сокращая на 
, для определения постоянной приходим к уравнению
,
корнями которого являются 
Следовательно, общее решение уравнения Эйлера (8.9) имеет вид
(8.11)
где 
произвольные постоянные.
Так как решение должно быть непрерывным в замкнутом круговом секторе, то 
Тогда из (8.11) получим
(8.12)
Теперь, если (8.8), (8.12) подставить в (8.4), то получим частные решения уравнения (8.1), удовлетворяющие граничным условиям (8.3), следующего вида
Чтобы удовлетворить условию (8.2), составим ряд из этих частных решений:
(8.13)
Подставляя (8.13) в условие (8.2), будем иметь:
(8.14)
(8.14) есть разложение функции 
в ряд Фурье по синусам. Поступая как и в §§6,7, приходим к тому, что соотношение (8.14) будет удовлетворено, если коэффициенты разложения (8.14) определены по формулам
откуда
(8.15)
Подставляя (8.15) в (8.13), получаем решение задачи Дирихле (8.1)- (8.3).
8.2. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге.Найти функцию , непрерывную в замкнутом круге 
удовлетворяющую внутри круга уравнению Лапласа (8.1) и граничному условию
(8.16)
где заданная непрерывная функция.
Прежде всего, заметим, что в случае круга искомая функция должна быть периодической с периодом 
:
(8.17)
Поэтому функция дополнительно должна удовлетворять условию
Ищем решение уравнения Лапласа (8.1), удовлетворяющее условию (8.17), снова в виде (8.4). Для определения функций , как и в предыдущем пункте 8.1, получаем уравнения (8.5), (8.6). Условие (8.17) дает
(8.18)
Итак, для функции имеем задачу Штурма- Лиувилля (8.6), (8.18). Решаем ее. Рассмотрим три случая.
1) Общее решение уравнения (8.6) имеет вид:
где 
произвольные постоянные. Ясно, что ни при каких постоянных 
не равных одновременно нулю, не является периодической, т.е. не выполняется условие (8.18), а значит, задача Штурма- Лиувилля в этом случае не имеет решения.
2) Общее решение уравнения (8.6)
Из условия (8.18) следует, что 
, следовательно, задача Штурма- Лиувилля имеет решение вида
3) Общее решение уравнения (8.6) есть
Это решение будет удовлетворять условию периодичности (8.18) лишь при 
Таким образом, решения задачи Штурма- Лиувилля (8.6), (8.18) имеют вид:
(8.19)
(отрицательные значения не дают новых решений), где 
произвольные постоянные.
Теперь значения 
подставим в уравнение (8.5) и, рассуждая как в пункте 8.1, находим его решения в виде
(8.20)
Внося выражения 
из (8.19), (8.20) в (8.4), получаем частные решения уравнения Лапласа (8.1), удовлетворяющие условию периодичности (8.17), в виде
(8.21)
Чтобы удовлетворить граничному условию (8.16), из частных решений (8.21) образуем ряд
(8.22)
Подставляя (8.22) в граничное условие (8.16), получаем
(8.23)
Ряд слева в (8.23) есть полный тригонометрический ряд Фурье для отрезка 
Поэтому мы удовлетворим условию (8.23), если положим 
равными коэффициентам Фурье функции 
(8.24)
Подставляя значения коэффициентов 
из (8.24) в (8.22), получаем решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге.
Отметим, что построенные решения задачи Дирихле в круговом секторе (8.13) и в круге (8.22) являются формальными. Для их обоснования необходимо провести те же рассуждения, что и в случае уравнения колебаний струны (§6).
В заключение отметим, что решение задачи Дирихле в круге (8.22) можно представить в виде
Эта формула называется формулой Пуассона, а интеграл справа – интегралом Пуассона.
Пример 8.1.Решить методом Фурье краевую задачу для уравнения Лапласа в круговом секторе 
, 
:
Решение.Решение этой задачи дается формулой (8.13), в которой коэффициенты определены соотношениями (8.15). В нашем случае
Подставляя эти значения в (8.15), для определения коэффициентов 
получаем 
Вычислим интегралы:
если
при
Таким образом, все коэффициенты 
с четными номерами равны нулю.
Теперь, подставив найденные значения коэффициентов в формулу (8.13), получим решение исходной задачи в следующем виде
Пример 8.2.Решить методом Фурье краевую задачу для уравнения Лапласа в круге 
, 
:
Решение.Решение этой задачи дается формулой (8.22), в которой коэффициенты 
определены при помощи соотношений (8.24). Сначала коэффициенты найдем с помощью (8.24). Так как в нашем случае 
то из формул (8.24) будем иметь:
если
при
если
при
Внося найденные значения коэффициентов в формулу (8.22), получаем решение исходной задачи в виде
Второй способ нахождения коэффициентов 
Функцию (8.22) подставим в граничное условие:
Сравнивая коэффициенты при 
и 
, для определения получаем
откуда 
остальные 
и все 
равны нулю.
Задачи
Методом Фурье найти решения следующих краевых задач для уравнения Лапласа:
8.1. 
8.2. 
8.3. 
8.4. 
8.5. 
8.6. 
Использованная литература
1.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1972.- 736 с.
2. Крикунов Ю.М. Лекции по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям.- Казань: Изд-во Казанск. ун-та,1970.- 210 с.
3. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике.- М.: Физматлит,2004.-688 с.
4. Вуколов Э.А., Ефимов А.В., Земсков В.Н. и др. Сборник задач по математике для втузов. Ч.4. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения.- М.: Наука,1990.-304 с.
Содержание
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§1. Основные понятия и определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§2. Основные дифференциальные уравнения математической физики. Постановка задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1. Малые поперечные колебания струны . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . 5
2.2. Распространение тепла в изотропном твердом теле . . . . . . . . 9
2.3. Установившаяся температура в однородном теле . . . . . . . . . 12
§3. Классификация и приведение к каноническому виду уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
§4. Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
§5. Метод Даламбера решения задачи Коши для уравнения свободных колебаний струны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
§6. Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.1.Случай свободных колебаний. Однородные граничные усло-
вия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.2. Случай вынужденных колебаний. Однородные граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 31
6.3. Случай вынужденных колебаний. Неоднородные граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
§7. Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.1. Случай однородного уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.2. Случай неоднородного уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
§8. Метод Фурье решения краевых задач для уравнения Лапласа . 46
8.1. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круговом секторе . 47
8.2. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге . . . . . . . . . . 49
Использованная литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
