Статистическое наблюдение

Средние индексы применяются в том случае, когда в исходной информации нет данных для расчета индексов в агрегатной форме. Получают средний индекс путем замены в исходном агрегатном ин­дексе индексируемого показателя его выражением, выведенным из индивидуального индекса. Если такая замена произведена в числите­ле исходного агрегатного индекса, то получим средний арифметиче­ский индекс, а если в знаменателе, то – средний гармонический ин­декс. Рассмотрим методику такого преобразования на примере индек­сов физического объема товарооборота и цен.

Например, имеются следующие данные фирмы о продаже фруктов (табл. 10.2).

Таблица l0.2.

Знаменатель этого индекса – товарооборот базисного периода, известен, а данных для расчета числителя нет, но есть индивидуаль­ные индексы физического объема товарооборота, исчисляемые по формуле , откуда . Подставив это выражение в числитель агрегатного индекса, получим средний арифметический ин­декс физического объема товарооборота

.

Рассчитаем его:

, или 111,7%.

На практике средние арифметические индексы используются при расчете индексов объемных показателей, когда знаменатель ис­ходного агрегатного индекса является реальной величиной. Весами индивидуальных индексов в них являются слагаемые знаменателя исходного агрегатного индекса.

Теперь допустим, что по той же фирме известны следующие данные (табл. 10.3).

Агрегатный индекс цен определяется по формуле

.

Числитель этого индекса – реальный товарооборот отчетного периода – известен, а данных для расчета знаменателя нет, но извест­ны индивидуальные индексы цен, исчисленные по формуле , откуда . Подставив это выражение в знаменатель формулы агрегатного индекса цен, получим средний гармонический индекс цен

.

Рассчитаем его величину для примера:

, или 102,8%.

На практике средние гармонические индексы используются при расчете индексов качественных показателей, когда числитель агрегатного индекса является реальной величиной. Весами индивидуаль­ных индексов в них являются слагаемые числителя исходного агрегатного индекса.

В зависимости от базы сравнения индексы могут быть базис­ными и цепными. Если изучается общее изменение явления за весь исследуемый период времени, то следует исчислять базисные индек­сы, а если изучается изменение явления от одного периода к другому, то – цепные индексы.

Базисные индексы характеризуют изменение уровней явления по сравнению с одной, постоянной базой сравнения. Цепные индексы характеризуют изменение уровней явления по сравнению с постоянно меняющейся базой сравнения. Обычно производится сравнение каж­дого последующего уровня с предыдущим. Базисные и цепные инди­видуальные индексы взаимосвязаны друг с другом следующим обра­зом: 1) отношение последующего базисного индекса к предыдущему дает соответствующий цепной индекс; 2) произведение ряда последо­вательных цепных индивидуальных индексов дает соответствующий базисный индекс.

Общие индексы также могут быть базисными и цепными, но при их построении возникает вопрос о системе весов, так как их можно построить с постоянными и с переменными весами. На прак­тике с постоянными весами обычно строят индексы объемных пока­зателей, а с переменными – индексы качественных показателей.

Например, если имеются данные о количестве проданных фир­мой за 4 года разнородных товаров и ценах на эти товары, , то общие индексы физического объема товарооборота будут построены с постоянными весами – ценами базисного периода по следующим формулам:

1) базисные

;

2) цепные

.

Общие индексы цен будут построены с переменными весами по следующим формулам:

1) базисные

;

;

2) цепные

.

Взаимосвязь, имеющая место в индивидуальных базисных и цепных индексах сохраняется в общих индексах только с постоянны­ми весами.

Обобщающую характеристику многих экономических явлений статистика обеспечивает с помощью средних величин. А величина средней зависит не только от величины признака у каждой единицы совокупности, но и от распределения единиц совокупности по данно­му признаку, т. е. от структуры совокупности. Поэтому при изучении динамики явлений, уровни которых выражены средними величинами, возникает задача определить динамику средних показателей под влиянием каждого фактора в отдельности. Решается эта задача с по­мощью системы взаимосвязанных индексов переменного состава, по­стоянного состава и структурных сдвигов.

Рассмотрим применение такой системы индексов на примере расчета индексов себестоимости продукции по следующим данным объединения, имеющего две фирмы, о производстве электроплит (табл. 10.4).

Таблица 10.4

Исходные данные	Расчетные данные
Фирмы	Произведено, шт.	Себестоимость	Издержки производства, тыс. руб	Структура продукции
	Базисный период	Отчетный период	Базисный период	Отчетный период	Базисный период	Отчетный период	Отчетный период по себестоимости базисного	Базисный период	Отчетный период
					5=1х3	6=2х4	7=2х3
			6,0	5,7				0,8	0,5
			5,0	4,5				0,2	0,5
Итого			–	–				1,0	1,0

Рассчитаем индивидуальные индексы себестоимости продукции по каждой фирме по формуле:

;

1) , или 95%; 2) , или 90%,

т. е. в первой фирме себестоимость электроплит снижена на 5%, а во второй – на 10%. Для изучения динамики себестоимости продукции в целом по двум фирмам необходимо рассчитать издержки производства zq в 5, 6 и 7 графах таблицы и показатели структуры продукции d в 8 и 9 графах таблицы.

Теперь рассчитаем индексы себестоимости продукции по двум фирмам в целом:

1. Индекс себестоимости продукции переменного состава оп­ределяется как отношение средней отчетной себестоимости продук­ции к ее средней базисной себестоимости. Он может быть построен двумя способами:

а) по абсолютным данным о количестве произведенной про­дукции:

, или 87,9%,

откуда

тыс. руб.,

т. е. средняя себе­стоимость одной электроплиты снижена на 0,7 тыс. руб., или на 12,1% (87,9% – 100,0%). Это снижение произошло под влиянием двух факторов: снижения себестоимости продукции в каждой фирме и изменения структуры продукции, т. е. распределения продукции между фирмами;

б) по относительным показателям структуры продукции:

, или 87,9%.

2. Индекс себестоимости продукции постоянного состава:

а) по абсолютным данным о количестве произведенной продукции

, или 92,7% ,

и

тыс. руб.,

т. е. снижение себестоимости продукции в каждой фирме привело к снижению себе­стоимости электроплит в среднем на 0,4 тыс. руб., или на 7,3%.

б) по относительным показателям структуры продукции

, или 92,7%.

Таким образом, за счет двух факторов средняя себестоимость продукции снижена на 12,1%, а за счет одного – первого фактора – только на 7,3%. Следовательно, второй фактор изменения в структуре произведенной продукции также привел к снижению средней себе­стоимости продукции. Чтобы определить величину этого снижения рассчитаем:

3. Индекс влияния структурных сдвигов:

а) по абсолютным данным о количестве произведенной про­дукции:

, или 94,8%,

тыс. руб.;

б) по относительным показателям структуры продукции:

, или 94,8%,

т. е. структурные сдвиги привели к снижению средней себестоимости продукции на 0 3 тыс. руб., или на 5,2% (94,8% – 100,0%).

Для выявления структурных сдвигов обратимся к нашей табли­це. Мы видим, что доля продукции с более низкой себестоимостью производимой второй фирмой, в общем объеме продукции возросла с 20% в базисном периоде до 50% в отчетном, а с высокой себестоимо­стью сократилась с 80 до 50%.

Проверим взаимосвязь исчисленных показателей:

а) индексов

;

б) абсолютных изменений

тыс. руб.

Эти индексы позволяют также рассчитать изменение издержек производства за счет изменения:

1) средней себестоимости продукции

тыс. руб.

В том числе:

2) себестоимости продукции на отдельных предприятиях

тыс. руб.

3) структурных сдвигов в выпуске продукции

тыс. руб.

Проверим взаимосвязь полученных показателей

тыс. руб.

Таким образом, экономия издержек производства за счет сни­жения средней себестоимости продукции составила 420 тыс. руб., в том числе 240 тыс. руб. – за счет снижения себестоимости продукции на каждой фирме и 180 тыс. руб. – за счет структурных сдвигов в выпуске продукции.

Аналогичным образом исчисляются индексы переменного со­става, постоянного состава и структурных сдвигов по другим качественным показателям: цене, заработной плате, производительности труда и т. п.

Контрольные вопросы

(выберите правильный ответ)

1. Что характеризуют индексы?

а) абсолютные уровни явлений;

б) относительное изменение явлений во времени или соот­ношение в пространстве;

в) структуру явлений в процентах.

2. Индивидуальный индекс цен в торговле характеризует:

а) абсолютное изменение цен на один товар;

б) цену товара;

в) относительное изменение цены одного товара.

3. Какие показатели служат весами в агрегатных индексах фи­зического объема товарооборота?

а) товарооборот;

б) цены на товары;

в) количество проданных товаров.

4. Выберите формулы для расчета агрегатного индекса:

1) цен;

2) физического объема товарооборота:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) .

5. Что характеризует разность между числителем и знаменате­лем агрегатного индекса цен?

а) процент изменения товарооборота за счет изменения цен;

б) абсолютное изменение цен;

в) абсолютное изменение товарооборота за счет изменения цен.

6. Укажите, какая из приведенных систем индексов является правильной:

а) ; б) ; в) .

7. По каким из нижеследующих формул исчисляются средние индексы:

1) себестоимости продукции?

2) физического объема товарооборота?

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) .

8. Какую базу сравнения имеют цепные индексы?

а) постоянную;

б) изменяющуюся от одного индекса к другому;

в) любую.

9. Индексы себестоимости продукции переменного состава ха­рактеризуют изменение:

а) себестоимости продукции на отдельных предприятиях;

б) средней себестоимости продукции;

в) издержек производства;

10. Если исчислены индексы заработной платы переменного состава и постоянного состава, то индекс влияния структурных сдви­гов исчисляется как:

а) отношение индекса постоянного состава к индексу пере­менного состава;

б) разность между индексами переменного состава и посто­янного состава;

в) отношение индекса переменного состава к индексу посто­янного состава.

Тема 11. Ряды динамики

Ряды динамики – это ряды статистических показателей, ха­рактеризующих развитие явлений природы и общества во времени. Публикуемые Госкомстатом России статистические сборники содер­жат большое количество рядов динамики в табличной форме. Ряды динамики позволяют выявить закономерности развития изучаемых явлений.

Ряды динамики содержат два вида показателей. Показатели времени (годы, кварталы, месяцы и др.) или моменты времени (на начало года, на начало каждого месяца и т.п.), и показатели уровней ряда. Показатели уровней рядов динамики могут быть выражены аб­солютными величинами (производство продукта в тоннах или руб­лях), относительными величинами (удельный вес городского населе­ния в процентах) и средними величинами (средняя заработная плата работников отрасли по годам и т. п.). В табличной форме ряд дина­мики содержит два столбца или две строки.

Правильное построение рядов динамики предполагает выпол­нение ряда требований:

1) все показатели ряда динамики должны быть научно обосно­ванными, достоверными;

2) показатели ряда динамики должны быть сопоставимы по времени, т. е. должны быть исчислены за одинаковые периоды вре­мени или на одинаковые даты;

3) показатели ряда динамики должны быть сопоставимы по территории;

4) показатели ряда динамики должны быть сопоставимы по со­держанию, т. е. исчислены по единой методологии, одинаковым спо­собом;

5) показатели ряда динамики должны быть сопоставимы по кругу учитываемых хозяйств. Все показатели ряда динамики должны быть приведены в одних и тех же единицах измерения.

Статистические показатели могут характеризовать либо результаты изучаемого процесса за период времени, либо состояние изу­чаемого явления на определенный момент времени, т. е. показатели могут быть интервальными (периодическими) и моментными. Соответственно первоначально ряды динамики могут быть либо интервальными, либо моментными. Моментные ряды динамики в свою очередь могут быть с равными и неравными промежутками времени.

Первоначальные ряды динамики могут быть преобразованы в ряд средних величин и ряд относительных величин (цепной и базис­ный). Такие ряды динамики называют производными рядами дина­мики.

Методика расчета среднего уровня в радах динамики различна, обусловлена видом ряда динамики. На примерах рассмотрим виды рядов динамики и формулы для расчета среднего уровня.

Интервальные ряды динамики. Уровни интервального ряда ха­рактеризуют результат изучаемого процесса за период времени: про­изводство или реализация продукции (за год, квартал, месяц и др. пе­риоды), число принятых на работу, число родившихся и т. п. Уровни интервального ряда можно суммировать. При этом получаем такой же показатель за более длительные интервалы времени.

Средний уровень в интервальных рядах динамики исчисля­ется по формуле средней арифметической простой

,

где – уровни ряда,

п – число периодов (число уровней ряда).

Рассмотрим методику расчета среднего уровня интервального ряда динамики на примере данных о продаже сахара в России (табл. 11.1).

Таблица 11.1

, тыс. т,

т. е. это среднегодовой объем реализации сахара населению России за 1994 -1996 гг. Всего за три года было продано 8137 тыс. т сахара.

Моментные ряды динамики. Уровни моментных рядов динамики характеризуют состояние изучаемого явления на определенные моменты времени. Каждый последующий уровень включает в себя полностью или частично предыдущий показатель. Так, например, число работников на 1 апреля 1999 г. полностью или частично вклю­чает число работников на 1 марта.

Если сложить эти показатели, то получим повторный счет тех работников, которые работали в течение всего месяца. Полученная сумма экономического содержания не имеет, это расчетный показа­тель.

В моментных рядах динамики с равными интервалами време­ни средний уровень ряда исчисляется по формуле средней хронологи­ческой

,

где – уровни моментного ряда;

п – число моментов (уровней ряда);

п – 1 – число периодов времени (лет, кварталов, месяцев).

Рассмотрим методику такого расчета по следующим данным о списочной численности работников предприятия за 1 квартал.

Таблица 11.2

Необходимо вычислить средний уровень ряда динамики, в данном примере – среднюю списочную численность работников предприятия:

человек.

Расчет выполнен по формуле средней хронологической. Сред­няя списочная численность работников предприятия за 1 квартал со­ставила 155 человек. В знаменателе – 3 месяца в квартале, а в числи­теле (465) – это расчетное число, экономического содержания не имеет. В подавляющем числе экономических расчетов месяцы, независи­мо от числа календарных дней, считаются равными.

В моментных рядах динамики с неравными интервалами времени средний уровень ряда исчисляется по формуле средней арифметической взвешенной. В качестве весов средней величины принимается про­должительность времени (t-дни, месяцы). Выполним расчет по этой формуле.

Списочная численность работников предприятия за октябрь такова: на 1 октября – 200 человек, 7 октября принято 15 человек, 12 октября уволен 1 человек, 21 октября принято 10 человек и до конца месяца приема и увольнения работников не было. Эту инфор­мацию можно представить в следующем виде (табл. 11.3).

Таблица 11.3

При определении среднего уровня ряда надо учесть продол­жительность периодов между датами, т. е. применять формулу сред­ней арифметической взвешенной:

человек.

В данной формуле числитель имеет экономическое со­держание. В приведенном примере числитель (6665 человеко-дней) – это календарный фонд времени работников предприятия за октябрь. В знаменателе (31 день) – календарное число дней в месяце.

В тех случаях, когда имеем моментный ряд динамики с нерав­ными интервалами времени, а конкретные даты изменения показателя неизвестны исследователю, то сначала надо вычислить среднюю ве­личину для каждого интервала времени по формуле средней арифметической простой, а затем вычислить средний уровень для всего ряда динамики, взвесив исчисленные средние величины про­должительностью соответствующего интервала времени . Форму­лы имеют следующий вид:

.

Рассмотренные выше ряды динамики состоят из абсолютных показателей, получаемых в результате статистических наблюдений. Построенные первоначально ряды динамики абсолютных показате­лей могут быть преобразованы в ряды производные: ряды средних величин и ряды относительных величин. Ряды относительных вели­чин могут быть цепные (в % к предыдущему периоду) или базисные (в % к начальному периоду, принятому за базу сравнения). Рас­чет среднего уровня в производных рядах динамики выполняется по другим формулам.

Ряд средних величин. Сначала преобразуем приведенный выше моментный ряд динамики с равными интервалами времени в ряд средних величин. Для этого вычислим среднюю списочную числен­ность работников предприятия за каждый месяц, как среднюю из по­казателей на начало и конец месяца :

за январь ; за февраль ; за март: .

Представим это в табличной форме.

Таблица 11.4

Средний уровень в производных рядах средних величин рас­считывается по формуле средней арифметической простой:

человек.

Заметим, что средняя списочная численность работников предприятия за 1 квартал, вычисленная по формуле средней хроноло­гической на базе данных на 1 число каждого месяца, и вычисленная по формуле средней арифметической по данным производного ряда, равны между со­бой, т. е. 155 человек. Сравнение расчетов позволяет понять, почему в формуле средней хронологической начальный и конечный уровни ряда берутся в половинном размере, а все промежуточные уровни берутся в полном размере.

Ряды средних величин, производные от моментных или интервальных рядов динамики, не следует смешивать с рядами динамики, g которых уровни выражены средней величиной. Например, средняя урожайность пшеницы по годам, средняя заработная плата и т. д.

Ряды относительных величин. В экономической практике очень широко используют ряды относительных величин. Практиче­ски любой первоначальный ряд динамики можно преобразовать в ряд относительных величин. По сути, преобразование означает замену абсолютных показателей ряда относительными величинами динами­ки.

Средний уровень ряда в относительных рядах динамики назы­вается среднегодовым темпом роста. Методы его расчета и анализа рассмотрены ниже.

Для обоснованной оценки развития явлений во времени необ­ходимо исчислить аналитические показатели: абсолютный прирост, коэффициент роста, темп роста, темп прироста, абсолютное значение одного процента прироста.

В табл. 11.3 приведен цифровой пример, а ниже даны формулы расчета и экономическая интерпретация показателей.

Таблица 11.5

Анализ динамики производства продукта “А ” по предприятию за 1994 -1998 гг.

Абсолютные приросты показывают, на сколько единиц изменился последующий уровень ряда по сравнению с предыдущим (гр. 3 – цепные абсолютные приросты) или по сравнению с началь­ным уровнем (гр. 4 – базисные абсолютные приросты). Формулы расчета можно записать следующим образом:

;

где – базисный абсолютный прирост;

– цепной абсолютный прирост;

– уровень ряда за отчетный период;

– уровень ряда предыдущего периода;

– начальный уровень ряда.

Показатели абсолютного прироста свидетельствуют о том, что, например, в 1998 г. производство продукта “А” увеличилось по сравнению с 1997 г. на 4 тыс. т, а по сравнению с 1994 г. – на 34 тыс. т; по остальным годам см. табл. 11.5 гр. 3 и 4.

Коэффициент роста показывает, во сколько раз изменился уровень ряда по сравнению с предыдущим (гр.5 – цепные коэффици­енты роста или снижения) или по сравнению с начальным уровнем (гр.6 – базисные коэффициенты роста или снижения). Формулы рас­чета можно записать следующим образом:

.

Темпы роста показывают, сколько процентов составляет по­следующий уровень ряда по сравнению с предыдущим (гр. 7 – цеп­ные темпы роста) или по сравнению с начальным уровнем (гр. 8 -базисные темпы роста). Формулы расчета можно записать следую­щим образом:

, или .

Так, например, в 1997 г. объем производства продукта “А” по сравнению с 1996 г. составил:

,

а по сравнению с 1994 г.

.

Темпы прироста показывают, на сколько процентов увеличился уровень отчетного периода по сравнению с предыдущим (гр. 9 – цепные темпы прироста) или по сравнению с начальным уровнем (гр. 10 – базисные темпы прироста). Формулы расчета можно записать еле-дующим образом:

или .

Так, например, в 1996 г. по сравнению с 1995 г. продукта “А” произведено больше на 3,8 % (103,8%- 100%) или , а по сравнению с 1994 г. – на 9% (109% – 100%).

Если абсолютные уровни в ряду уменьшаются, то темп будет меньше 100% и соответственно будет темп снижения (темп прироста со знаком минус).

Абсолютное значение 1% прироста (гр. 11) показывает, на сколь­ко единиц надо произвести больше в данном периоде, чтобы уровень данного периода возрос по сравнению с предыдущим на 1 %. В нашем примере в 1995 г. надо было произвести 2,0 тыс. т, а в 1998 г. – 2,3 тыс. т, т. е. значительно боль­ше.

Определить величину абсолютного значения 1% прироста можно двумя способами:

1) уровень предшествующего периода разделить на 100;

2) цепные абсолютные приросты разделить на соответствую­щие цепные темпы прироста.

Абсолютное значение 1 % прироста равно:

.

В динамике, особенно за длительный период, важен совмест­ный анализ темпов прироста с содержанием каждого процента при­роста или снижения.

Рассмотренная методика анализа рядов динами­ки применима как для рядов динамики, уровни которых выражены абсолютными величинами (т, тыс. руб., число работников и т. д.), так и для рядов динамики, уровни которых выражены относительными показателями (процент брака, процент зольности угля и др.), или средними величинами (средняя урожайность в ц/га, средняя заработ­ная плата и т. п.).

Наряду с рассмотренными аналитическими показателями, ис­числяемыми за каждый год в сравнении с предшествующим или на­чальным уровнем, при анализе рядов динамики необходимо исчис­лить средние за период аналитические показатели: средний уровень ряда, средний годовой абсолютный прирост (уменьшение) и средний годовой темп роста и темп прироста.

Методы расчета среднего уровня ряда динамики были рассмот­рены выше. В рассматриваемом нами интервальном ряду динамики средний уровень ряда исчисляется по формуле средней арифметиче­ской простой

тыс. т.

Среднегодовой объем производства продукта за 1994 – 1998 гг. составил 218,4 тыс. т.

Среднегодовой абсолютный прирост исчисляется также по формуле средней арифметической простой

тыс. т.

Ежегодные абсолютные приросты изменялись по годам от 4 до 12 тыс.т (см. гр. 3), а среднегодовой прирост производства за период 1995 – 1998 гг. составил 8,5 тыс. т.

Методы расчета среднего темпа роста и среднего темпа прирос­та требуют более подробного рассмотрения. Рассмотрим их на при­мере приведенных в таблице годовых показателей уровня ряда.

Средний годовой темп роста и средний годовой темп прирос­та. Прежде всего, отметим, что приведенные в табл. 11.5 темпы роста (гр. 7 и 8) являются рядами динамики относительных величин – про­изводными от интервального ряда динамики (гр. 2). Ежегодные тем­пы роста (гр. 7) изменяются по годам (105%; 103,8%; 105,5%;. 101,7%). Как вычислить среднюю величину из ежегодных темпов роста? Эта величина называется среднегодовым темпом роста.

Среднегодовой темп роста исчисляется в следующей последо­вательности:

1) по формуле средней геометрической исчисляют среднегодо­вой коэффициент роста (снижения) ;

2) на базе среднегодового коэффициента роста определяют среднего­довой темп роста путем умножения коэффициента роста на 100%:

.

Среднегодовой темп прироста определяют путем вычита­ния из темпа роста 100%:

.

Среднегодовой коэффициент роста (снижения) по формулам средней геометрической может быть исчислен двумя способами:

1) на базе абсолютных показателей ряда динамики по формуле:

,

где: п – число уровней;

п – 1 – число лет в период;

2) на базе ежегодных коэффициентов роста по формуле:

,

где: т – число коэффициентов.

Результаты расчета по формулам равны, так как в обеих фор­мулах показатель степени – число лет в периоде, в течение которого происходило изменение. А подкоренное выражение – это коэффици­ент роста показателя за весь период времени (см. табл. 11.5, гр. 6, по строке за 1998 г.).

Среднегодовой темп роста равен

.

Среднегодовой темп прироста определяется путем вычитания из среднегодового темпа роста 100%. В нашем примере среднегодо­вой темп прироста равен:

.

Следовательно, за период 1995 – 1998 гг. объем производства продукта “А” в среднем за год возрастал на 4,0%. Ежегодные темпы прироста колебались от 1,7% в 1998 г. до 5,5% в 1997 г. (за каждый год темпы прироста см. в табл. 11.5, гр. 9).

Среднегодовой темп роста (прироста) позволяет сравнивать динамику развития взаимосвязанных явлений за длительный период времени (например, среднегодовые темпы роста численности рабо­тающих по отраслям экономики, объема производства продукции и др.), сравнивать динамику какого-либо явления по разным странам, исследовать динамику какого-либо явления по периодам историче­ского развития страны.

Сезонные колебания потребления горючего

Анализ сезонных колебаний

Изучение сезонных колебаний проводится с целью выявления закономерно повторяющихся различий в уровне рядов динамики в зависимости от времени года. Так, например, реализация сахара насе­лению в летний период значительно возрастает в связи с консервиро­ванием фруктов и ягод. Потребность в рабочей силе в сельскохозяй­ственном производстве различна в зависимости от времени года. За­дача статистики состоит в том, чтобы измерить сезонные различия в уровне показателей, и чтобы выявленные сезонные различия были закономерными (а не случайными) необходимо строить анализ на ба­зе данных за несколько лет, по крайней мере, не менее чем за три года. В табл. 11.6 приведены исходные данные, и методика анализа сезон­ных колебаний методом простой средней арифметической.

Таблица 11.6

Средняя величина за каждый месяц исчисляется по формуле средней арифметической простой. Например, за январь:

.

Индекс сезонности (табл. 11.5 гр. 7.) исчисляется путем деле­ния средних величин за каждый месяц на общую среднюю месячную величину, принятую за 100%. Средняя месячная за весь период может быть исчислена путем деления общего расхода горючего за три года на 36 месяцев:

т,

или путем деления на 12 сум­мы средних месячных, т. е. суммарного итога по гр. 6:

т.

Для наглядности на основе индексов сезонности строится гра­фик сезонной волны (рис. 11.1). По оси абсцисс располагают месяцы, а по оси ординат – индексы сезонности в процентах (табл. 11.6, гр. 7). Общая средняя месячная за все годы располагается на уровне 100%, а средние месячные индексы сезонности в виде точек наносят на поле графика в соответствии с принятым масштабом по оси ординат. Точки соединяют между собой отрезками прямых линий.

Рис. 11.1. Сезонные колебания потребления горючего

В сельскохозяйственных предприятиях за 3 года

В приведенном примере годовые объемы расхода горючего различаются незначительно. Если же в ряду динамики наряду с се­зонными колебаниями имеется ярко выраженная тенденция роста (снижения), т. е. уровни в каждом последующем году систематически значительно возрастают (уменьшаются) по сравнению с уровнями предыдущего года, то более достоверные данные о размерах сезонно­сти получим следующим образом:

1) для каждого года вычислим среднюю месячную величину;

2) исчислим индексы сезонности за каждый год путем деления данных за каждый месяц на среднюю месячную величину за этот год и умножения на 100%;

3) за весь период исчислим средние индексы сезонности по формуле средней арифметической простой из исчисленных за каж­дый год месячных индексов сезонности. Так, например, за январь средний индекс сезонности получим, если сложим январские значе­ния индексов сезонности за все годы (допустим за три года) и разде­лим на число лет, т. е. на три. Аналогично исчислим за каждый месяц средние индексы сезонности.

Переход за каждый год от абсолютных месячных значений показателей к индексам сезонности позволяет устранить тенденцию роста (снижения) в ряду динамики и более точно измерить сезонные колебания.

В условиях рынка при заключении договоров на поставку раз­личной продукции (сырья, материалов, электроэнергии, товаров) не­обходимо располагать информацией о сезонных потребностях в сред­ствах производства, о спросе населения на отдельные виды товаров. Результаты исследования сезонных колебаний важны для эффектив­ного управления экономическими процессами.

В экономической практике часто возникает необходимость сравнения между собой нескольких рядов динамики (например, пока­затели динамики производства электроэнергии, производства зерна, продажи легковых автомобилей и др.). Для этого нужно преобразо­вать абсолютные показатели сравниваемых рядов динамики в произ­водные ряды относительных базисных величин, приняв показатели какого-либо одного года за единицу или за 100%.Такое преобразование нескольких рядов динамики называется приведением их к одина­ковому основанию. Теоретически за базу сравнения может быть принят абсолютный уровень любого года, но в экономических исследованиях для базы сравнения надо выбирать период, имеющий опреде­ленное экономическое или историческое значение в развитии явле­ний. В настоящее время за базу сравнения целесообразно принять, например, уровень 1990 г.

Для исследования закономерности (тенденции) развития изу­чаемого явления необходимы данные за длительный период времени. Тенденцию развития конкретного явления определяет основной фак­тор. Но наряду с действием основного фактора в экономике на разви­тие явления оказывают прямое или косвенное влияние множество других факторов, случайных, разовых или периодически повторяю­щихся (годы, благоприятные для сельского хозяйства, засушливые и т. п.). Практически все ряды динамики экономических показателей на графике имеют форму кривой, ломаной линии с подъемами и сниже­ниями. Во многих случаях по фактическим данным ряда динамики и по графику трудно определить даже общую тенденцию развития. Но статистика должна не только определить общую тенденцию развития явления (рост или снижение), но и дать количественные (цифровые) характеристики развития.

Тенденции развития явлений изучают методами выравнивания рядов динамики:

1) метод укрупнения интервалов;

2) метод скользящей средней;

3) метод аналитического выравнивания.

В табл. 11.7 (гр. 2) приведены фактические данные о производ­стве зерна в России за 1981 – 1992 гг. (во всех категориях хозяйств, в весе после доработки) и расчеты по выравниванию этого ряда тремя методами.

Метод укрупнения интервалов времени (гр. 3).

Учитывая, что ряд динамики небольшой, интервалы взяты трехлетние и для каждого интервала исчислены средние. Среднегодо­вой объем производства зерна по трехлетним периодам исчислен по формуле средней арифметической простой и отнесен к среднему году соответствующего периода. Так, например, за первые три года (1981 – 1983 гг.) средняя величина записана против 1982 г.:

млн. т.

За следующий трехлетний период (1984 – 1986 гг.) средняя величина

млн. т

записана против 1985 г.

За остальные периоды результаты расчета приведены в гр. 3.

Приведенные в гр. 3 показатели среднегодового объема произ­водства зерна в России свидетельствуют о закономерном увеличении производства зерна в России за период 1981 – 1992 гг.

Метод скользящей средней (см. гр. 4 и 5) также основан на ис­числении средних величин за укрупненные периоды времени. Цель та же – абстрагироваться от влияния случайных факторов, взаимопогасить их влияние в отдельные годы. Но метод расчета другой.

В приведенном примере исчислены пятизвенные (по пятилет­ним периодам) скользящие средние и отнесены к серединному году в соответствующем пятилетнем периоде. Так, за первые пять лет (1981 — 1985 гг.) по формуле средней арифметической простой исчислен сред­негодовой объем производства зерна и записан в табл. 11.7 против 1983 г.

млн. т;

за второй пяти­летний период (1982 – 1986 гг.) результат записан против 1984 г.

млн.т.

За последующие пятилетние периоды расчет производится ана­логичным способом путем исключения начального года и прибавле­ния следующего за пятилетним периодом года и деления полученной суммы на пять. При этом методе концы ряда остаются пустыми.

Какой продолжительности должны быть периоды времени? Три, пять, десять лет? Вопрос решает исследователь. В принципе, чем больше период, тем больше происходит сглаживание. Но надо учи­тывать длину ряда динамики; не забывать, что метод скользящей средней оставляет срезанные концы выравненного ряда; учитывать этапы развития, например, в нашей стране долгие годы социально-экономическое развитие планировалось и соответственно анализиро­валось по пятилеткам.

Таблица 11.7

Годы	Про­изве­дено, млн. т	Сред­няя за 3 года, млн. т	Скользящая сумма за 5 лет, млн. т	Расчетные показатели
t		yt
Сум­ма	Сред­няя
	73,8	–	–	–			73,8	89,5
	98,0	92,0	–	–			196,0	91,1
	104,3	–	459,8	92,0			312,9	92,6
	85,1	–	493,5	98,7			340,4	94,2
	98,6	97,1	494,1	98,8			493,0	95,8
	107,5	–	483,5	96,7			645,0	97,3
	98,6	–	503,2	100,6			690,2	98,9
	93,7	99,1	521,3	104,3			749,6	100,4
	104,8	–	502,9	100,6			943,2	102,0
	116,7	–	511,2	102,2			1167,0	103,5
	89,1	104,2	–	–			980,1	105,1
	106,9	–	–	–			1282,8	106,7
Итого	1177,1	–	–	–			7874,0	1177,1

Метод аналитического выравнивания (гр. 6-9) основан на вычислении значений выравненного ряда по соответствующим мате­матическим формулам. В табл. 11.7 приведены вычисления по урав­нению прямой линии

,

где: – уровни выровненного ряда (теоретические показатели);

t – года (1, 2, 3, …, п);

a и b – неизвестные параметры уравнения.

Для определения параметров надо решить систему уравнений

Необходимые величины для решения системы уравнений вы­числены и приведены в табл. 11.7 (см. гр. 6 – 8). Подставим их в систему урав­нений:

Умножим первое уравнение на – 6,5, сложим со вторым уравнением системы и получим уравнение:

В результате вычислений получаем: а = 87,96; b = 1,555.

Подставим значение параметров и получим уравнение прямой линии:

.

Для каждого года подставляем значение t и получаем уровни выравненного ряда (см. гр. 9):

1981 г. ;

1982 г. ;

1983 г. и т. д.

Заметим, что .

В выравненном ряду происходит равномерное возрастание уровней ряда в среднем за год на 1,555 млн. т (значение параметра b). Метод основан на абстрагировании влияния всех остальных факторов, кроме основного.

Явления могут развиваться в динамике равномерно (рост или снижение). В этих случаях чаще всего подходит уравнение прямой линии. Если же развитие неравномерно, например, сначала очень медленный рост, а с определенного момента резкое возрастание, или, наоборот, сначала резкое снижение, а затем замедление темпов спада, то выравнивание надо выполнить по другим формулам (уравнение параболы, гиперболы и др.). При необходимости надо обратиться к учебникам по статистике или специальным монографиям, где более подробно изложены вопросы выбора формулы для адекватного отра­жения фактически сложившейся тенденции исследуемого рада динамики.

Рис. 11.2. Производство зерна в России за 1981 -1982 гг.

Для наглядности показатели уровней фактического ряда дина­мики и выравненных рядов нанесем на график (рис. 11.2). Фактиче­ские данные представляет ломаная линия черного цвета, свидетельст­вующая о подъемах и снижениях объема производства зерна. Осталь­ные линии на графике показывают, что применение метода скользя­щей средней (линия со срезанными концами) позволяет существенно выровнять уровни динамического ряда и соответственно на графике ломаную кривую линию сделать более плавной, сглаженной. Однако выравненные линии все же остаются кривыми линиями. Построенная на базе теоретических значений ряда, полученных по математическим формулам, линия строго соответствует прямой линии.

Каждый из трех рассмотренных методов имеет свои достоин­ства, но в большинстве случаев метод аналитического выравнивания предпочтителен. Однако его применение связано с большими вычис­лительными работами: решение системы уравнений; проверка обос­нованности выбранной функции (формы связи); вычисление уровней выровненного ряда; построение графика. Для успешного выполнения таких работ целесообразно использовать компьютер и соответствую­щие программы.

Контрольные вопросы

(выберите правильный ответ)

1. Определите правильный результат расчета среднесписочной численности работников предприятия, если численность на начало года составляла 200 человек, на середину года – 198 человек и на конец года – 220 человек:

а) ; б) ; в) .

2. Назовите правильный результат расчета среднегодового раз­мера сберегательного вклада, если сумма вклада с января по май включительно составляла 50 тыс. руб.; с июня по сентябрь – 65 тыс. руб.; с октября по декабрь – 70 тыс. руб.:

а) ; б) ; в) .

3. Определите правильный метод расчета остатка товаров в ма­газине за 1 квартал, если остаток товаров на 01.01 – 600 тыс. руб.; на 01.02 -540 тыс. руб.; на 01.03 – 560 тыс. руб.; на 01.04 – 620; на 01.05 – 580 тыс. руб.:

а) ; б) ; в) ; г) .

4. Определите правильный метод расчета среднего остатка то­варов по магазину за 1 квартал, если средний остаток товаров соста­вил за январь – 500 тыс. руб.; за февраль – 460 тыс. руб.; за март – 530 тыс. руб.; за апрель – 520 тыс. руб.:

а) ; б) ; в) .

5. Определите правильный результат расчета среднесписочной численности работников предприятия за год, если средняя списочная численность работников составила за 1 полугодие – 200 человек; за 3 квартал – 220 человек; за октябрь – 190 человек; за ноябрь – 230 че­ловек; за декабрь — 180 человек:

а) ; б) ;

в) ; г) .

6. Товарооборот магазина составил, млн. руб.: 1995 г. – 200; 1996 г. – 220; 1997 г. – 226; 1998 г. – 230. Определите правильный результат расчета среднегодового абсолютного прироста за анализи­руемый период, млн. руб.:

а) ; б) ; в) ; г) .

7. Объем производства продукции по предприятию в 1997 г. по сравнению с 1996 г. увеличился на 5%, а в 1998 г. по сравнению с 1997 г. увеличился на 7%. Определите правильный метод расчета темпа прироста объема производства продукции в 1998 г. по сравне­нию с 1996 г.:

а) ; б) ; в) .

8. Назовите правильный метод вычисления среднегодового темпа роста, если производство продукта в 1994 г. составило 200 т, а в 1998 г. – 225 т, т. е. увеличилось на 12,5%:

а) ; б) ; в) .

9. Объем производства продукции предприятия в 1998 г. по сравнению с 1994 г. увеличился на 26%. Определите правильный ме­тод вычисления среднегодового темпа роста за анализируемый пери­од:

а) ; б) ; в) ;

г) .

10. Численность персонала по предприятию на начало 1999 г. по сравнению с началом 1995 г. уменьшилась на 20%. Определите правильный метод вычисления среднегодового темпа снижения чис­ленности персонала за анализируемый период:

а) ; б) ; в) ;

г) .

Общее представление о корреляционно-регрессионном анализе

Тема 12. Методы изучения взаимосвязи социально-экономических явлений с помощью корреляционно-регрессионного анализа

Существующие между явлениями формы и виды связей весь­ма разнообразны по своей классификации. Предметом статистики являются только такие из них, которые имеют количественный харак­тер и изучаются с помощью количественных методов. Рассмотрим метод корреляционно-регрессионного анализа, который является ос­новным в изучении взаимосвязей явлений.

Данный метод содержит две свои составляющие части – корреляционный анализ и регрессионный анализ. Корреляционный анализ – это количественный метод определения тесноты и направления взаимосвязи между выборочными переменными величинами. Регрессионный анализ – это количественный метод определения вида математи­ческой функции в причинно-следственной зависимости между переменными величинами.

Для оценки силы связи в теории корреляции применяется шка­ла английского статистика Чеддока: слабая – от 0,1 до 0,3; умеренная – от 0,3 до 0,5; заметная – от 0,5 до 0,7; высокая – от 0,7 до 0,9; весьма высокая (сильная) – от 0,9 до 1,0.

Данная корреляция характеризует линейную взаимосвязь в ва­риациях переменных. Она может быть парной (две коррелирующие переменные) или множественной (более двух переменных), прямой или обратной – положительной или отрицательной, когда перемен­ные варьируют соответственно в одинаковых или разных направле­ниях.

Если переменные – количественные и равноценные в своих не­зависимых наблюдениях при их общем количестве n, то важ­нейшими эмпирическими мерами тесноты их линейной взаимосвязи являются коэффициент парной корреляции знаков австрийского пси­холога Г. Т. Фехнера (1801 – 1887) и коэффициенты парной, чистой (частной) и множественной (совокупной) корреляции английского статистика-биометрика К. Пирсона (1857 – 1936).

Коэффициент парной корреляции знаков Фехнера определяет согласованность направлений в индивидуальных отклонениях пере­менных х и y от своих средних и .

Он равен отношению разности сумм совпадающих C и несовпадающих H пар знаков в отклоне­ниях и к сумме этих сумм:

, (1)

где n – число наблюдений.

Величина изменяется от -1 до 1. Если какое-то одно отклонение или , то оно не входит в расчет. Если же сразу оба отклонения нулевые: , то такой случай считается совпадающим по знакам и вхо­дит в состав С. В табл. 12.1 показаны данные для расчета по формуле (1).

Таблица 12.1

Магазин	Число работников, тыс. чел.	Товарооборот, усл. ден. ед.	Отклонение от средних величин и	Сравнение знаков и
к					совпадение	несовпадение
	0,2	3,1	0,0	-0,9
	0,1	3,1	-0,1	-0,9
	0,4	5,0	0,2	1,0
	0,2	4,4	0,0	0,4
	0,1	4,4	-0,1	0,4
Итого	1,0	20,0	–	–

По (1) имеем

.

Направление взаимо­связи в вариациях численности работников и объема товарооборота – положительное (прямолинейное): знаки в отклонениях и в своем большинстве (в 3 случаях из 5) совпадают между собой. Тесно­та взаимосвязи переменных по шкале Чеддока – слабая.

Коэффициенты парной, чистой (частной) и множественной (совокупной) линейной корреляции Пирсона, в отличие от коэффици­ента Фехнера, учитывают не только знаки, но и величины отклонений переменных. Для их расчета используют разные методы. Так, соглас­но методу прямого счета по несгруппированным данным, коэффици­ент парной корреляции Пирсона имеет вид

. (2)

Этот коэффициент также изменяется от -1 до 1.

При наличии нескольких переменных рассчитывается коэффициент множественной (совокупной) линейной корреляции Пирсона. Для трех переменных х, у, z он имеет вид

. (3)

Этот коэффициент изменяется от 0 до 1.

Если элиминировать (совсем исключить или зафиксировать на постоянном уровне) влия­ние z на x и у, то их “общая” связь превратится в “чистую”, образуя чистый (частный) коэффициент линейной корреляции Пирсона

. (4)

Этот коэффициент изменяется от -1 до 1. Квадраты коэффи­циентов корреляции (2) – {4) называются коэффициентами (индекса­ми) детерминации, соответственно, парной, чистой (частной), мно­жественной (совокупной):

;

; (5)

.

Каждый из коэффициентов детерминации изменяется от 0 до 1. Он оценивает степень вариационной определенности в линейной взаи­мосвязи переменных, показывая долю вариации одной переменной у, обусловленную вариацией другой (других) – х и y. Многомерный случай наличия более трех переменных здесь не рассматривается.

Согласно работам английского статистика Р. Э. Фишера (1890 – 1962), статистическая значимость парного и чистого (частно­го) коэффициентов корреляции Пирсона проверяется в случае нор­мальности их распределения, на основании t-распределения англий­ского статистика В. С. Госсета (псевдоним “Стьюдент”; 1876 – 1937) с заданным уровнем вероятностной значимости и имеющимися степе­нями свободы , где m – число связей (факторных перемен­ных). Для парного коэффициента имеем его среднеквадратическую ошибку и фактическое значение t-критерия Стьюдента

; . (6)

Для чистого коэффициента корреляции при расчете его , вместо надо брать , так как в этом случае т = 2 (две факторные переменные х и z). При большом числе , вместо или в (6) можно брать п, пренебрегая точностью расчета.

Если , то коэффициент парной корреляции – общий или чистый является статистически значимым, а при – статистически незна­чимым.

Значимость коэффициента множественной корреляции R про­веряется по F-критерию Фишера путем расчета его фактического зна­чения

. (7)

При коэффициент R считается статистически значимым с заданным уровнем значимости и имеющимися степенями свободы и , а при – статистически незначимым.

В совокупностях большого объема для оценки значимо­сти всех коэффициентов Пирсона вмести критериев t и F применяется непосредственно нормальный закон распределения (табулированная функция Лапласа-Шеппарда).

Наконец, если коэффициенты Пирсона не подчиняются нор­мальному закону, то в качестве критерия их значимости используется Z-критерий Фишера, который здесь не рассматривается.

Условный пример расчета (2) – (7) дан в табл. 12.2, где взяты исходные данные табл. 12.1 с добавлением к ним третьей переменной z – размера общей площади магазина (в 100 кв. м).

Таблица 12.2

Мага­зины	Показатели
k
	0,2	3,1	0,1	0,62	0,02	0,31	0,04	9,61	0,01
	0,1	3,1	0,1	0,31	0,01	0,31	0,01	9,61	0,01
	0,4	5,0	1,0	2,00	0,40	5,00	0,16	25,00	1,00
	0,2	4,4	0,2	0,88	0,04	0,88	0,04	19,36	0,04
	0,1	4,4	0,6	0,44	0,06	2,64	0,01	19,36	0,36
Итого	1,0	20,0	2,0	4,25	0,53	9,14	0,26	82,94	1,42

Согласно (2) – (5), коэффициенты линейной корреляции Пир­сона равны:

;

;

;

;

;

; ; .

Взаимосвязь переменных x и y является положительной, но не тесной, составляя по их парному коэффициенту корреляции величину и по чистому – величину и оценивается по шка­ле Чеддока соответственно как “заметная” и “слабая”.

Коэффициенты детерминации и свиде­тельствуют, что вариация у (товарооборота) обусловлена линейной вариацией х (численности работников) на 35,4% в их общей взаимо­связи и в чистой взаимосвязи – только на 0,37%. Такое положение обусловлено значительным влиянием на х и у третьей переменной z – занимаемой магазинами общей площади. Теснота ее взаимосвязи с ними составляет соответственно и .

Коэффициент множественной (совокупной) корреляции трех переменных показывает, что теснота линейной взаимосвязи x и z с у составляет величину R = 0,844, оцениваясь по шкале Чеддока как “высокая”, а коэффициент множественный детерминации – величину , свидетельствуя, что 71,3 % всей вариации y (товарооборота) обусловлены совокупным воздействием на нее переменных х и z. Ос­тальные 28,7% обусловлены воздействием на y других факторов или же криволинейной связью переменных у, х, z.

Для оценки значимости коэффициентов корреляции возьмем уровень значимости . По исходным данным имеем степени свободы для и для . По теоретической таблице находим соответственно и . Для F-критерия имеем: , . По таблице находим . Факти­ческие значения каждого критерия по (6) и (7) равны:

;

;

.

Все расчетные критерии меньше своих табличных значений: все коэффициенты корреляции Пирсона статистически незначимы.

Коэффициенты линейной корреляции Пирсона имеют своей теоретической предпосылкой нормальное или близкое к нему распре­деление переменных и их количественное выражение. При других Условиях возникает непараметрическая корреляция, в частности, ранговая корреляция, которая применяется в тех случаях, когда наблюдения неравноценны между собой или когда переменные (признаки) – качественные. Ранги бывают несвязными и связными – соответствен­но неповторяющимися и повторяющимися по наблюдениям , задаваясь субъективно или по специальным методикам.

Среди всех ранговых показателей важнейшими являются ран­говые коэффициенты парной линейной корреляции и английских статистиков-биометриков Ч. Спирмена (1863 – 1945) и М. Кендэла (род. 1907). В случае неповторяющихся (несвязных) рангов и для переменных и в их наблюдениях искомые ранговые коэффициенты равны:

а) ;

б) , (8)

где: – квадрат разности рангов и двух переменных х и y в наблюдении к;

– число рангов , превышающих данный ранг зависимой переменной у, при сравнении ее наблюдения k со всеми последующими наблюдениями для ;

– аналогичное число последующих рангов, не превы­шающих данный ранг ;

– сумма превышающих и не превышающих рангов.

Ранги и для и r обычно задаются целочисленными – от 1 до n и в зависимости от исходных значений переменных и : чем эти значения больше (меньше), тем выше (ниже) их ранги. Например, наименьшие значения х и y получают свои единичные , а наибольшие – свои максимальные ранги . В принципе возможна другая система ранжирования переменных по их наблюдениям.

Для многомерного случая наличия m переменных на основе определяется коэффициент линейной конкордации (экспертного со­гласия) Кендэла – коэффициент множественной ранговой корреляции, который в случае несвязных рангов имеет вид

. (9)

Случай связных (повторяющихся) рангов для показателей , , W здесь не рассматривается ввиду громоздкости математических вы­ражений и трудоемкости расчетов.

Значимость коэффициентов Спирмена и Кендэла оценивается по-разному. Значимость при проверяется по “Таблице зна­чимости коэффициентов Спирмена”, которая разработана английски­ми биометриками Г. Т. Глиссером и Р. Ф. Винтером в 1961 г. и при­водится в редких русских источниках. Поэтому чаще всего использу­ется классический t-критерий Стьюдента путем расчета его фактиче­ского значения на основе среднеквадратической ошибки

. (10)

Если , то коэффициент статистически значим с за­данным уровнем значимости и имеющимися степенями свободы , а при – статистически незначим.

Значимость при оценивается аналогично (10), с учетом замены на и на .

При большом числе наблюдений, когда , значимость оценивается по нормальному закону, путем расчета на основе ошибки его порогового зна­чения :

; (11)

где – аргумент нормального закона (табулированной функции Лапласа-Шеппарда) при заданном уровне доверительной вероятности .

Если , то коэффициент статистически значим, а при – статистически незначим. Значимость W проверяется по – распределению Пирсона путем расчета его фактического значения

. (12)

При коэффициент W значим с уровнем значимости и числом степеней свободы , а при – незначим.

Все критерии (10) – (12) рассмотрены для случая несвязных рангов. Практически считается, что , , W являются значимыми, ко­гда они превышают число 0,5. В табл. 12.3 – 12.5 на условных данных проведен расчет коэффициентов для несвязных рангов с единым уровнем значимости .

Таблица 12.3.

Подготовка данных для расчета рангового коэффициента Спирмена

По данным товарных запасов х, товарооборота у, кредита z, в усл. ден. ед.

Подготовка данных для расчета коэффициента конкордации Кендэла

Для случая несвязных рангов по (9) получаем

.

Теснота взаимосвязи переменных х, у, z по шкале Чеддока – умеренная. По таблице распределения Пирсона находим с уровнем значимости и степенями свободы . Фактическое значение критерия по (12) равно

.

Так как фактическое значение критерия Пирсона меньше таб­личного, то коэффициент конкордации W – статистически незначим.

Наряду с рассмотренными ранговыми коэффициентами корре­ляции Ч. Спирмена и М. Кендэла, для измерения корреляции качест­венных признаков применяются также коэффициенты контингенции (сходства) К. Пирсона, ассоциации (связи) английского статистика Э. Дж. Юла (1871 – 1951), взаимной сопряженности К. Пирсона и А.А. Чупрова (1874 – 1926), биссериальный коэффициент корреляции Тате и некоторые другие. Они отличаются от ранговых коэффициентов и тем, что используют для оценки качества не ранги (экспертные оценки), а численности единиц в выборке с данным качествен­ным признаком или его частоты и доли.

Коэффициенты ассоциации Юла и контингенции Пирсона и определяют тесноту связи между двумя разными альтернатив­ными признаками, каждый из которых принимает только два своих противоположных значения 1 или 0, означающих наличие или отсутствие данного качества. Численности единиц этих признаков распределяются по двум своим группам в четырехклеточной таблице взаимной сопряженности, образуя ее соответствующие клеточные объемы а, b, с, d – частоты единиц с сопряженными аль­тернативными признаками, когда общий объем совокупности п со­ставляют группировки . Математи­ческие формулы коэффициентов и , приведены со своими рас­четами после исходной табл. 12.6.

Таблица 12.6

Распределение п = 100 человек трудового персонала предприятия

По условию число групп обоих признаков составляет . Распределительные частоты даны в сопряженных клетках табли­цы. Маргинальные частоты и рассчитаны в итоговых строках и столбцах. По (14.а) получаем:

;

.

Взаимосвязь качественных признаков х и у, согласно полученным значениям и , является прямолинейной и положительной, оцениваясь по шкале Чеддока для обоих коэффициентов как “умеренная”. Предпоч­тение следует отдать коэффициенту Чупрова как учитывающему чис­ло групп s и t в вариациях признаков х и у.

Модифицированные коэффициенты Пирсона и Чупрова отли­чаются от предыдущих (14.а) и (14.б) использованием вместо “средней квадра­тической сопряженности” показателя “общей квадратической со­пряженности” – критерия Пирсона:

а) ; (15.а)

б) . (15.б)

С учетом ранее найденного значения по (15.а) получаем . Тогда искомые коэффициенты (15.а), (15.б) равны:

.

Статистическая значимость коэффициентов сопряженности проверяется по табличному критерию – квадрат Пирсона. Так, для уровня значимости и числа степеней свободы .

Расчетное значение этого критерия превышает табличное , значит оба ­коэффициента сопряженности C и T статистически значимые.

Биссериальный коэффициент корреляции Тате предназначен для измерения тесноты связи между альтернативным признаком х и количественным признаком у.

Исходные данные для расчета этого коэффициента содержит двумерная таблица сопряженности, имеющая две групповые строки (столбца) для альтернативных значений , при , и не­сколько групповых столбцов (строк) для при . Если при­знак у – интервальный, то он центрируется в виде

как полусумма нижнего (н) и верхнего (в) значений в группе j. Рабо­чее поле таблицы образуют распределенные по группам единицы на­блюдения п – их частоты с сопряженными признаками и в клетке ij. Рассчитывается биссериальный коэффициент по формуле:

; (16)

где

– средние величины количественного признака y в альтер­нативных группах 1 и 2;

– средняя величина и среднеквадратическое отклонение признака y во всей таблице;

– доли наблюденных единиц в альтернативных группах 1 и 2 соответственно с нужным и ненужным качественным призна­ком x;

– табличное значение Z-распределения Фишера в зависимо­сти от доли единиц . Условные данные для расчета биссериального коэффициента приведены в табл. 12.8.

Таблица 12.8

По (16) рассчитываем

;

;

;

.

Между альтернативными группами продовольственных и не­продовольственных магазинов и объемами их товарооборота отсутст­вует корреляционная связь. Значимость проверяется по t-критерию Стьюдента аналогично (6).

12.5.1. Общее представление о регрессионном анализе

После установления с помощью корреляционного анализа на­правления и тесноты связи между переменными величинами следует определить вид ее математической функции. Такая задача решается с помощью регрессионного анализа, который находит эту функцию с некоторой вероятностью по данным статистического наблюдения.

Вид функции определяется путем построения и анализа так называемого “уравнения регрессии” , показывающего зависимость среднего значения переменной y от переменных , векто­ра и вектора параметров (коэффициентов) , где – свободный член уравнения, , – параметры (коэффициенты) факторов .

Если уравнение регрессии имеет один фактор, то оно называется “парным”, а если более одного – “множественным”.

Уравнение регрессии сначала задается аналитически или же подбирается графически по расположению фактических данных у. После расчета своих коэффициентов и решения других вопросов оно проверяется по определенным критериям достоверности и при необ­ходимости пересматривается до получения статистически значимого результата.

12.5.2. Определение коэффициентов уравнения регрессии методом наименьших квадратов

Если математический вид уравнения регрессии выбран, то да­лее определяются его коэффициенты . Существует несколько ме­тодов их определения. Самый распространенный – метод наимень­ших квадратов (МНК), который состоит в сведении к минимуму об­щей суммы квадратов отклонений фактических наблю­дений от теоретических значений путем минимизации функ­ционала:

. (17)

Этот функционал следует продифференцировать по искомым параметрам , приравнять к нулю полученные выражения, упро­стить их и решить полученную систему дифференциальных уравне­ний, проверив ее, кроме того, на свою “минимальность” (во избежа­ние “максимальности”) по знаку второй производной от функционала F. Решение этой системы не всегда существует и сопряжено со зна­чительными сложностями. Наиболее надежный вариант, когда берет­ся линейная функция

. (18)

Тогда после всех математических преобразований по МНК образуется линейная “система нормальных уравнений” (СНУ), со­держащая исходные наблюдения переменных и и искомые ко­эффициенты регрессии :

. (19)

Суммирование переменных x и y производится по наблюдени­ям , индекс которых под знаками сумм снят ради упрощения. Решение СНУ в (19) можно получить по-разному, используя метод подстановки неизвестных, метод определителей Крамера, итерацион­ный метод Гаусса-Зейделя, метод обратной матрицы и другие мето­ды, а в случае парной регрессии ее решение при получается сразу по методу прямого счета

. (20)

Для многомерного случая факторов наилучшим методом решения СНУ является метод обратной матрицы, который позволяет получить не только наименее трудоемкое решение, но и оценить его на статистическую значимость. Матричная форма СНУ в (19) имеет вид:

, (21)

где – краткие обозначения соответствующих результатов.

Матрица исходных факторов , ее расширенная на первый (нулевой) единичный столбец матрица и транспонированная по отношению к матрица имеют вид

.

Единичные элементы и при в двух последних матрицах необходимы для получения первого столбца и первой стро­ки СНУ в (19), представляя собой зарезервированные места для рас­чета коэффициента .

Размерность исходной факторной матрицы X равна , ее рас­ширенной матрицы – , транспонированной матрицы – , матрицы C – , матрицы – , матриц и – .

Так как квадратная матрица C в левой части СНУ является симметричной относительно положительных элементов главной диа­гонали (с левого верхнего угла в правый нижний угол) и ввиду этого невырожденной, то СНУ в (19) имеет единственное решение

. (22)

Это решение дает минимум, а не максимум функционала F в (17), так как его вторые производные, в случае линейной регрессии, – положительные величины, составляя для свободного члена вели­чину и для факторных коэффициентов – удвоенную величину положительных диагональных элементов в матрице С.

12.5.3. Линеаризация нелинейных функций

Наличие единственности решения (21) и относительная лег­кость его получения обусловливают использование линейного МНК для нелинейных функций. Поэтому до МНК нелинейную функцию стремятся по возможности привести к линейному виду относительно коэффициентов . Для этого используются разные способы – услов­ная замена переменных, тейлоровское разложение сложных функций в полиномный многочлен, логарифмирование и другие приемы ли­неаризации. Например, мультипликативная степенная функция ли­неаризируется относительно параметров , путем своего логарифми­рования:

а) ;

б) . (23)

Далее в (19) образуется “скорректированная” СНУ, где все ис­ходные данные х и у будут прологарифмированы. Аналогичные “скорректированные” СНУ свойственны некоторым другим функци­ям. Так, для гиперболической и параболической функций

, (24)

с помощью за­мены переменных из (19) получают скорректированные СНУ

а) ;

б) . (25)

Все соотношения (19) – (25) основывались на исходных несгруппированных наблюдениях. При наличии аналитической группировки или корре­ляционной таблицы в случае линейной регрессии можно также скор­ректировать все ее СНУ путем умножения переменных х и у на часто­ты и . Образуется “частотная” СНУ. Так, при для парной ли­нейной регрессии и гиперболической регрессии их частотные СНУ имеют вид:

а) ;

б) . (26)

Для многомерного случая наличия более разных факторов частотная СНУ уже непригодна. Надо переходить от двумерной ана­литической группировки и двумерной корреляционной таблицы к многомерным группировкам. Однако они себя практически не оправ­дывают, будучи громоздкими и трудоемкими. Поэтому лучше огра­ничиться несгруппированной СНУ (19) и действовать по общему алгоритму МНК.

12.5.4. Сравнительные показатели факторного воздействия

Основополагающей в регрессионном анализе является нестандартизованное (натуральное) уравнение регрессии с найденными по МНК коэффициентами , т. е. гиперплоскость

. (27)

Коэффициент (свободный член) – это расстояние гипер­плоскости от начала координат. Для парной регрессии при та­ким расстоянием является линия среднего уровня , когда при образуется .

Коэффициенты , при факторах (факторные коэффициен­ты) – это первые производные уравнения регрессии по переменному фактору . Они показывают, как в среднем изменится переменная y, если изменится на одну единицу своего измерения при постоянстве других регрессионных факторов.

Свободный член измеряется в одинаковых с результатив­ной переменной y единицах. Факторные коэффициенты , имеют смешанные единицы, измеряясь в относительных единицах перемен­ной y к фактору . Поэтому сравнивать их между собой нельзя, как и сопоставлять по ним воздействие на у разных факторов. Для этого надо перейти от различных коэффициентов , к безразмерным “стан­дартизованным” коэффициентам , путем построения “стандартизо­ванного (нормированного)” уравнения регрессии, которое выражает связь между нормированными отклонениями и , переменных y и ,

. (28)

Это уравнение связано с переносом начала координат в точку пересечения средних величин .

Безразмерные стандартизо­ванные коэффициенты показывают, на сколько своих нормиро­ванных отклонений изменится в среднем переменная y, если фак­тор изменится на одно свое нормированное отклонение , при постоянстве других регрессионных факторов. Чем больше , тем сильнее это воздействие, и наоборот.

Наряду с коэффициентами для факторного сравнения рас­считываются другие показатели – коэффициенты эластичности вариационные коэффициенты , коэффициенты раздельной детер­минации , коэффициенты долевого вклада и некоторые другие. В случае линейной регрессии эти коэффициенты равны

, (29)

где – коэффициент вариации фактора , выражен­ный в долях единицы (а не в процентах). Интерпретация коэффици­ентов (29) дана далее в 12.5.7 на условном примере.

12.5.5. Статистическая адекватность уравнения регрессии

Статистическая адекватность уравнения регрессии (его досто­верность) проверяется по F-критерию Фишера-Снедекора путем рас­чета фактического значения этого критерия как соотношения фактор­ной и остаточной вариаций и в расчете на одну степень их сво­боды и , или же, как соотношение теоретических коэффициентов множественной детерминации и недетерминации в расчете на те же степени свободы и :

;

, (30)

где – общая, факторная и остаточная дисперсии.

Преобразования в (30) основаны на правиле сложения дисперсий, которое применительно к регрессионному анализу означает, что

,

и

при .

Теоретический коэффициент детерминации показывает до­лю факторной вариации в общей вариации . Его следует отли­чать от эмпирического коэффициента детерминации , который применяется в дисперсионном анализе и показывает долю межгруп­повой дисперсии в общей дисперсии , когда

;

, (31)

где: – объем группы i и групповая средняя;

– внутригрупповая дисперсия.

Корни квадратные из эмпирического и теоретического коэффи­циентов детерминации дают их соответственно эмпирическое и тео­ретическое корреляционное отношения

. (32)

Все четыре коэффициента, изменяются от 0 до 1. Показатель служит в дисперсионном анализе мерой влияния на вариацию переменной у группировочного признака х, взятого за основание аналитической группировки, а показатель является в регрессионном анализе мерой определенности (причинности) той части вариации переменной у, которая описывается уравнением регрессии. Чем адекватнее уравнение регрессии, тем больше (ближе к единице), и наоборот: чем неадекватнее уравнение, тем ближе к нулю.

Если уравнение регрессии – линейное, то теоретический ко­эффициент множественной детерминации превращается в сово­купный коэффициент линейной детерминации . Тогда (30) прини­мает вид (7).

При уравнение регрессии считается статистически значимым (адекватным), а при – статистически незначимым (неадекват­ным).

В последнем случае вид уравнения регрессии должен быть за­менен на другой с повторением всей процедуры нового МНК. Обра­зуется “многошаговый” МНК. На этом основан “метод перебора функций “, продолжающийся до получения значимого критерия и далее – до максимума .

Вместе с тем анализ будет усилен, если вместо и ис­пользовать их корректирующие коэффициенты, применяемые в том случае, когда соотношение числа степеней свободы и числа факто­ров т меньше своего порогового значения . Тогда имеем

; (33.а)

. (33.6)

Подставив (33.а) в (30) и (33.6) в (7), получим и . Если теперь окажется, что , то уже есть полное основание счи­тать, что замена линейной регрессии на криволинейную была эффек­тивной.

12.5.6. Статистическая значимость коэффициентов регрессии

Выяснив вопрос об адекватности уравнения регрессии, надо определить далее значимость (достоверность) его коэффициентов, которая проверяется по t-критерию Стьюдента путем расчета его фактических значений как модульных отношений оцениваемых показателей , к их несмещенным ошибкам :

, (34)

где: – скорректированная остаточная дисперсия (квадратическая ошибка регрессии);

– диагональный элемент обратной матрицы в СНУ.

Если , то коэффициент считается статистиче­ски значимым с уровнем значимости и степенями свободы , а если – то статистиче­ски незначимым.

Незначимость коэффициента означает необходимость ис­ключения из уравнения регрессии фактора , или замены его на дру­гой, ранее не рассматриваемый. Если незначимых коэффициентов несколько, то в первую очередь исключается тот, который имеет ми­нимальный долевой вклад или минимальный средний ранг по разным показателям факторной эффективности. Исключение фактора сказывается на коэффициентах и F. Если они от этого увеличи­лись, то отсев факторов был эффективен, а если не увеличились, то неэффективен.

Процедура исключения-включения факторов продолжается в многошаговом МНК до тех пор, пока все , не будут значимыми. Это не всегда возможно. Тогда надо менять исходные условия: снизить уровень значимости ; уменьшить число факторов т; увеличить число наблюдений п.

Если ни одно из этих условий или их комплекс не дает нуж­ных результатов, то следует отказаться от данного вида регрессии и перейти к другому ее виду, который допускает значимость своих ко­эффициентов при существующих условиях.

12.5.7. Условный пример регрессионного анализа

По исходным данным табл. 12.2 об объеме розничного това­рооборота у (условные денежные единицы), численности работников (тыс. человек) и размере торговой площади (100 кв. м) в пяти магазинах проведем регрессионный анализ с помощью линейного МНК. Необходимые для двухфакторной модели подготовительные расчеты проведены в табл. 12.9.

Таблица 12.9

Магазины к	Исходные дан­ные	Расчетные операции
	3,1	0,2	0,1	0,04	0,02	0,62	0,01	0,31
	3,1	0,1	0,1	0,01	0,01	0,31	0,01	0,31
	5,0	0,4	1,0	0,16	0,40	2,00	1,00	5,00
	4,4	0,2	0,2	0,04	0,04	0,88	0,04	0,88
	4,4	0,1	0,6	0,01	0,06	0,44	0,36	2,64
Итого	20,0	1,0	2,0	0,26	0,53	4,25	1,42	9,14

По итоговой строке предварительно рассчитываем средние величины:

; ;

средние квадратические от­клонения:

; ;

и коэффициенты вариации:

.

Согласно (19), образуется СНУ:

.

Решение СНУ с помощью метода обратной матрицы по (21) дает коэффициенты уравнения регрессии:

.

Нестандартизованное (натуральное) уравнение линейной регрессии имеет вид:

.

Коэффициенты этого уравнения показывают, что при измене­нии фактора на 1 тыс. человек или фактора на 100 кв. м товаро­оборот у изменится в среднем соответственно на и условных денежных единиц, а при нулевых значениях и составит в среднем условных денежных единиц.

Хотя , нельзя говорить, что фактор сильнее воздействует на у, чем , так как оба они – разноизмеряемые. Для их сопоставления надо построить стандартизованное (нормиро­ванное) уравнение регрессии (28)

.

Если каждый фактор изменится на одно свое нормированное отклонение и при неизменности другого фактора, то товарооборот у изменится соответственно на и своего нормированного отклонения . Так как все – безразличные величины и , то фактор сильнее воздействует на у, чем а именно в раза.

Другие факторные показатели (29) рассчитаны в табл. 12.10. При этом используются парные коэф­фициенты корреляции , полученные ранее в табл. 12.2 раздела 12.2.

Таблица 12. 10

Фак­тор i	Исходные показатели	Расчетные показатели (при ; )
	0,2	0,109	54,5	0,595	0,341	0,048	0,017	0,009	0,029	0,041
	0,4	0,352		0,844	1,763	0,809	0,176	0,155	0,683	0,959
Ито­го	–	–	–	–	–	–	–	–	0,712	1,000

Коэффициенты эластичности показывают, что с изменением или на 1% при неизменности другого фактора товарооборот у из­менится в среднем соответственно на и ус­ловных денежных единиц.

Если же фактор или изменится не на 1%, а на все своей полной вариации при неизменности другого фактора, то товарооборот у изменится соответственно на и .

Коэффициенты раздельной детерминации d показывают, что вариация товарооборота у обусловлена линейной связью с каждым фактором или соответственно на (на 2,9%) и на (на 68,3%).

Долевой вклад первого фактора в совокупное факторное воздействие на вариацию переменной у, т. е. в совокупный коэффи­циент линейной детерминации , составляет величину (4,1%), а вклад второго фактора – величину (95,9%). Дальнейший анализ продолжен в табл. 12.11.

Таблица 12.11

№ п/п
	3,1	3,4705	0,8100	0,2804	0,1373
	3,1	3,4364	0,8100	0,3176	0,1132
	5,0	5,1254	1,0000	1,2665	0,0157
	4,4	3,6468	0,1600	0,1248	0,5673
	4,4	4,3179	0,1600	0,1011	0,0067
Итого	–	–	2,9400	2,0904	0,8402

Расчетные значения получены путем подстановки в урав­нение регрессии факторных данных по наблюдению к. Например, для первого наблюдения при и имеем

.

Теоретические коэффициенты множественной детерминации и корреляции (31) равны:

.

Коэффициент практически совпал по всем трем методам своего расчета – по методу коэффициентов корреляции (3), по методу коэффициентов раздельной детерминации (29) и по методу теорети­ческого коэффициента детерминации (32), отличаясь численно по ним за счет округлений лишь третьей цифрой после запятой: соответ­ственно 0,713, 0,712 и 0,711.

Полученный коэффициент показывает, что 71,1% всей ва­риации товарооборота y объясняется ее линейной зависимостью от изменения факторов и , а оставшиеся 28,9 % приходятся на до­лю других (не рассматриваемых) факторов или же обусловлены кри­волинейной связью y со своими факторами.

Коэффициент множественной корреляции свиде­тельствует о наличии прямолинейной зависимости вариации у с сово­купной вариацией факторов и , которая оценивается по шкале Чеддока как “высокая”.

Для проверки значимости уравнения регрессии с помощью ко­эффициента следует сначала установить, какое его значение надо использовать – исходное (теоретическое) или же скорректированное.

Так как , то надо брать скорректированный коэффициент. Тогда по (33.6) и (7) получим:

.

При уровне значимости и имеющихся степенях свобо­ды и находим . Так как , то уравнение регрессии является стати­стически незначимым и связь между признаками подлежит замене на криволинейную.

Для проверки значимости коэффициентов уравнения регрес­сии находим при и . Фактические значения этого критерия с учетом найденных диаго­нальных элементов обратной матрицы и согласно (33) равны:

.

Так как больше, a и меньше , то коэффици­ент – значим, а коэффициенты и – незначимы. Незначимые факторные коэффициенты указывают на возможность отсева из урав­нения регрессии соответствующих факторов. Очередность отсева целесообразно ус­тановить по значению , т.е. пер­вым должен отсеиваться фактор как имеющий минимальный вклад в совокупный коэффициент детерминации . Отсевом факторов заниматься не будем. Критерием правильности отсевов должен служить рост критерия .

Аналогичным образом проводится регрессионный анализ для криволинейных уравнений регрессий с той лишь разницей, что в та­ком случае в основе будет находиться не СНУ, а система дифферен­циальных уравнений, которая по учебной программе не предусмотре­на.

Контрольные вопросы

(выберите правильный ответ)

1. Корреляционная связь – это:

а) качественно-содержательная взаимосвязь статистических показателей;

б) функциональная зависимость переменных величин;

в) строгое соответствие вариаций переменных величин;

г) изменение переменных y в среднем при изменениях пере­менной в пределах своих законов распределения;

д) вероятностное изменение закона распределения перемен­ной y с изменением законов распределения переменных .

2. Главная целевая задача регрессионного анализа – это:

а) измерение тесноты связи между вариациями переменных;

б) установление направления вариаций переменных;

в) определение вида математической функции, описываю­щей зависимость средней величины переменной y от до­пустимых изменений факторных переменных ;

г) расчет коэффициентов уравнения регрессии по методу наименьших квадратов;

д) оценка статистической адекватности (достоверности) уравнения регрессии по исходным данным результатив­ного (функционального) показателя y.

3. У двух из трех предприятий совпали знаки в отклонениях пе­ременных величин х и у, а у третьего – не совпали. Рассчитать коэф­фициент знаков Фехнера и указать ответ для :

а) -1; б) -0,5; в) -0,33; г) 0,33; д) 0,5; е) 1.

4. Имеются абстрактные данные по двум переменным в двух наблюдениях: ; ; ; . Рассчитать парный коэф­фициент корреляции Пирсона и указать один ответ для :

а) -1; б) -0,5; в) 0; г) 0,5; д) 1.

5. Указать допустимое значение для совокупного коэффициента линейной детерминации :

а) -2; б) -1; в) -0,5; г) 0; д) 0,5; е) 1; ж) 2.

6. Приняв исходные данные в тесте 4 за ранги переменных и , рассчитать ранговый коэффициент Спирмена и указать один ответ для :

а) -2; б) -1; в) -0,5; г) 0; д) 0,5; е) 1; ж) 2.

7. Приняв исходные данные в тесте 4 за значения четырехклеточной табл. 1. с распределением 6 единиц по двум альтернативным признакам x (строки) и y (столбцы), рассчитать коэффициент ассо­циации Юла и указать один ответ для :

а) -1; б) -0,5; в) -0,6; г) 0; д) 0,5; е) 0,6; ж) 1.

Таблица 1

8. Коэффициенты взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова – это корреляции между:

а) двумя количественными признаками х и у;

б) двумя качественными признаками х и у, имеющими не­сколько своих состояний;

в) двумя альтернативными признаками х и y с двумя проти­воположными своими значениями (состояниями);

г) одним количественным и одним качественным (альтерна­тивным) признаками;

д) безразлично какими по своему характеру признаками х и у.

9. Определить коэффициенты и в парной регрессии , если известна система нормальных уравнений:

10. Коэффициент в парной регрессии – это:

а) эмпирическая мера тесноты связи переменных х и у;

б) эластичность переменной х;

в) вклад фактора x в парный коэффициент детерминации ;

г) показатель среднего изменения переменной y от измене­ния переменной х на одну свою единицу измерения;

д) соотношение темпов роста переменных y и х.

11. Если коэффициенты , , в двухфакторной регрессии определены по методу наименьших квадратов двумя путями – без группировки и с группировкой исходных данных, то:

а) их значения не зависят от метода расчета;

б) “без группировки” они больше, чем “с группировкой”;

в) “без группировки” они меньше, чем “с группировкой”;

г) не равны, и соотношения могут быть любыми.

12. Если в двухфакторной линейной регрессии вариация переменной y определяется на 81% совокупным воздействием переменных и , то чему будет равен совокупный коэффициент линейной корреляции R:

а) ±0,19; б) ±0,14; в) ±0,9; г) -0,9; д) 0; е) ±1.

13. Статистическая значимость парных коэффициентов корреляции в случае малой выборки при нормальности их распреде­ления оценивается с помощью:

а) нормального закона распределения Гаусса;

б) t-распределения Стьюдента;

в) F-распределения Фишера-Снедекора;

г) Z-распределения Фишера;

д) – распределения Пирсона.

14. Исходя из перечня критериев в тесте 13, определить, какой из них применяется для оценки статистической значимости коэффи­циентов уравнения регрессии.

15. Исходя из перечня критериев в тесте 13, определить, какой из них применяется для оценки статистической значимости совокуп­ного коэффициента множественной детерминации.

16. Исходя из перечня критериев в тесте 13, определить, какой из них применяется для оценки значимости коэффициентов взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова.

17. Исходя их перечня критериев в тесте 13, определить, какой из них применяется для оценки значимости парных и чистых (част­ных) коэффициентов корреляции Пирсона, если они распределены не по нормальному закону.

18. Исходя из перечня критериев в тесте 13, определить, какой из них применяется для оценки адекватности уравнения регрессии.

19. Для нестандартизованного уравнения регрессии , где – численность работников, – банковская прибыль, определить, какой фактор сильнее влияет нa y, выбрав правильный ответ:

а) фактор ;

б) фактор ;

в) одинаково;

г) нельзя сравнивать.

20. Для стандартизованного уравнения регрессии определить аналогичный тесту 19 правиль­ный ответ.

21. В результате обработки наблюдений получено криво­линейное уравнение регрессии и определено, что общая, факторная и остаточная дисперсии равны соответствен­но . Рассчитать теоретический коэффи­циент детерминации, фактический – критерий Фишера-Снедекора. Сравнить с при уровне значимости и степе­нях свободы и и установить, что уравнение регрессии:

а) статистически значимо (адекватное);

б) статистически незначимо (неадекватное).

Список литературы

Основной

1. Гусаров В. М. Теория статистики: Учеб. пособие для ву­зов. М: Аудит, ЮНИТИ, 1998.

2. Елисеева И. И., Юзбашев М. М. Общая теория статистики: Учебник, / Под ред. И. И. Елисеевой. М. :Финансы и статистика, 1995.

3. Ефимова М. Р., Петрова Е. В., Румянцев В. Н. Общая тео­рия статистики: Учебник. / М.: Инфра – М, 1998.

4. Ряузов Н. Н. Общая теория статистики: Учебник. М: Фи­нансы и статистика, 1984.

5. Статистика: Курс лекций. Харченко Л. П. и др. / Под ред. В. Г. Ионина. Новосибирск: Изд-во НГАЭиУ; М.: Инфра – М, 1997.

6. Статистика: национальные счета, показатели и методы анализа: Справочное пособие / Под ред. И. Е. Теслюка. Минск: БГЭУ, 1995.

7. Теория статистики: Учебник / Под ред. Р. А. Шмойловой. 2-е изд., доп. и перераб. М.: Финансы и статистика, 1998.

8. Экономическая статистика: Учебник / Под ред. Ю. Н. Ива­нова. М.: Инфра – М, 1998.

9. Практикум по теории статистики: Учеб. пособие /Под ред. Р. А. Шмойловой. М.: Финансы и статистика, 1998.

10. Сборник задач по общей теории статистики: Учеб. пособие / Под ред. Л. И. Савченко. Рос. экон. акад. М., 1992.

11. Назарова М. Г. Учебник по социально-экономической ста­тистике. М.: Финстатинформ, 1998.

12. Сиденко М. В., Матвеева В. М. Учебник по социально-экономической статистике. М.: Финстатинформ, 1998.

13. Симчера В. М. Практикум по теории статистики. М: Фин­статинформ, 1999.

14. Боровиков В. П., Ивченко Г. И. Прогнозирование в систе­ме statistica в среде Windows: Учеб. пособие М.: Финансы и статисти­ка, 1998.

15. Макарова Н. В. Статистика в Excel: Учеб. пособие М.: Фи­нансы и статистика, 1998.

16. Ляшенко В. И. Фондовые индексы и рейтинги: Учеб. по­собие. М.: Сталкер, 1998.

17. Айвазян С. А., Енюк6в И. С, Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика. М.: Финансы и статистика, 1983.

18. Алгоритмы и программы восстановления зависимостей / Вапник В. Н., Глазкова Т. Г., Кощеев В. А., Михальский А. И., Червоненкис А. Я. М.: Наука, 1984.

19. Венецкий И. Г., Венецкая В. И. Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе: Спра­вочник. М.: Статистика, 1979.

20. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969.

21. Глазкова Т. Г. Оценка информации в классификации и прогнозировании. Учеб. пособие. М.: ГКРФ ВО, Рос. экон. акад., 1997.

22. Глинский В. В., Ионин В. Г. Статистический анализ: Учеб. пособие. М.: Информационно-издательский дом “Филинъ”, 1998.

23. Громыко Г. Л. Статистика. М.: Изд-во МГУ, 1981.

24. Додж М., Кината К., Стинсон К., The Cobb Group. Эффек­тивная работа с Excel 7.0 для Windows 95: Пер. с англ. – СПб.: Питер, 1997.

25. Дубов А. М., Мхитарян В. С, Трошин Л. И. Многомерные статистические методы. М.: Финансы и статистика, 1998.

26. Елисеева И. И., Юзбашев М. М. Общая теория статистики: Учеб. для вузов. М.: Финансы и статистика, 1995.

27. Зайцев Г. Н. Математическая статистика. М.: Наука, 1984.

28. Кокрен У. Методы выборочного исследования. М.: Стати­стика, 1976.

29. Математическая статистика. / Иванова В. М., Калинина В. Н., Нешумова Л А. и др. М.: Высшая школа, 1975.

30. Методологические положения по статистике. Выпуск 1. М.: Госкомстат России, 1996.

31. Национальное счетоводство: Учебник / Под ред. Г. Д. Ку­лагиной. М.: Финансы и статистика, 1997.

32. Новиков М. М., Теслюк И. Е. Макроэкономическая стати­стика. Минск: БГЭУ, 1996.

33. Общая теория статистики / Кильдишев Г. С, Овсиенко В. Е., Рабинович Т. Е., Рябушкин Т. В. М.: Статистика, 1980.

34. Общая теория статистики: Статистическая методология в коммерческой деятельности: Учеб. для вузов / Под ред. Спирина А. С, Башиной О.Е. М.: Финансы и статистика, 1994.

35. Статистика. Статистический контроль качества. М.: Мир,

1970.

36. Тюрин Ю. Н.; Макаров А. А. Статистический анализ дан­ных на компьютере. М.: Инфра – М, 1998.